Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : Hyperfeinstruktur des Wasserstoffs
Hallo zusammen!
Ich bin neu hier im Forum angemeldet, und hoffe, es macht euch nichts aus, wenn ich eine kleine Frage stelle, die bei der Bearbeitung einer Klausuraufgabe von mir aufgetaucht ist.
Es geht um die Hyperfeinstruktur des Wasserstoffs. Der Übergang zwischen den beiden Hyperfeinniveaus im Grundzustand des H-Atoms hat eine Wellenlänge von 21 cm und ist sehr wichtig in der Radioastronomie (sagt man).
Die Kenntnis dieser Wellenlänge erlaubt es eigentlich, das Magnetfeld zu bestimmen, das das Elektron durch seine Bewegung im Atom verursacht, da dieses der Grund für die Hyperfeinaufspaltung ist.
Die Energie der Hyperfeinstruktur ist gegeben durch
E = - μ · B
mit μ als magnetischem Moment des Kerns und B dem Magnetfeld, das durch das Elektron erzeugt wird.
Das magentische Moment des Kerns ist:
μ = - g · μ/ħ · I
wobei I der Kenrspin ist.
Der Kenrspin ist ein Drehimpuls, weshalb für sein Betragsquadrat gilt |I| = I(I+1)ħ² und seine z-Komponente Iz = mħ.
Man kann die Energie also schreiben als
E = g · μ/ħ · |I| · B · cos θ , wobei θ der Winkel zwischen I und B ist. B zeigt in Richtung des Drehimpulses des Elektrons, also B || J. Führt man nun den Gesamtdrehimpuls F = I + J ein, so erhält man cos θ = (F(F+1)-I(I+1)-J(J+1)) / (2·√(I(I+1))·√(J(J+1))). Strahlung der Wellenlänge λ = 21 cm ergibt sich aus dem Übergang von F = 1 nach F = 0, also
ΔE = hc/λ = g · μ · √(I(I+1)) / (√(I(I+1))·√(J(J+1)))
Mit J = 1/2 (der Grundzustand) und g = 5,58 (der Landé-Faktor des Protons) wäre das Magnetfeld:
B = hc√(3/4) / (λ·g·μ) = 29,1 T
Wenn man aber davon ausgeht, dass der Kernspin sich im Magnetfeld ausrichtet, und entsprechend die z-Komponente betrachtet, hätte man mit |I| = mħ für die Energie:
E = g · μ · m · B
Die 21cm-Strahlung entspricht dann einem Übergang von m = 1/2 nach m = -1/2, und somit erhält man
B = hc / (λ·g·μ) = 33,6 T.
Die Frage ist nun: Welcher Rechenweg ist korrekt? Richtet sich der Kernspin im Magnetfeld aus, oder ist dieses "Vektorbild" hier ohnehin fehl am Platz?
Vielen Dank schon mal, und wie gesagt, ich hoffe die Frage ist euch nicht zu trivial.
Matz
Ich würde so sagen: das Magnetfeld des Elektrons ist aus Sicht des Kerns eine Art externes Feld, das eine Vorzugsrichtung definiert. Diese können wir ohne Verlust an Allgemeinheit als z-Richtung annehmen.
Die z-Komponente des Kernspins kann aber 2 Eigenwerte annehmen:
+ 1/2
und
- 1/2
Daraus resiultiert eine Aufspaltung der Energieniveaus E
E + 1/2 ...
und
E - 1/2 ...
Die Einführung eines Winkels
cos teta
macht m.E. keinen Sinn. Die Spins können ja keine Eigenwerte
(1/2) cos teta
oder so annehmen. Es ist ja gerade die Eigenschaft der Quantisierung, dass nur ganz genau diese 2 Werte möglich sind.
Gruß,
Uli
Hey!
Danke für die Antwort. Was du sagst leuchtet mir ein; das Magnetfeld definiert eine ausgezeichnete Raumrichtung, welche als Quantisierungsachse dient, und die Eigenwerte des Kernspins bezüglich dieser Achse sind +1/2 ħ und -1/2 ħ. Was mich aber wundert ist, was passiert, wenn ein externes Magnetfeld angelegt wird? Laut Literatur (http://www.wmi.badw.de/teaching/Lecturenotes/Physik4/Physik4_Gesamt_2002.pdf <- ich beziehe mich hier meist auf dieses Dokument) sollte dann ein Hyperfeinniveau mit F = 1 analog zum Zeemann-Effekt in drei Komponenten aufspalten. Wenn man aber die Richtung des Magnetfelds der Hülle als Quantisierungsachse verwendet, gibt es m.E. gar keinen Gesamtdrehimpuls F, da dann stets I || J gilt. Es wäre dann immer F = I + J. In der ersten Rechnung gibt es auch immer zwei Einstellungen des Kernspins: I und J koppeln zu F = I + J, und damit gilt F = I - J oder F = I + J (für I = 1/2).
Vielleicht hätte ich erwähnen sollen, dass ich im Grunde den ersten Rechenweg für richtig halte; sogar in der Wikipedia (http://de.wikipedia.org/wiki/Hyperfeinstruktur) wird ja der 21cm-Übergang so beschrieben. Allerdings lasse ich mich natürlich gern überzeugen :D
Was ich noch zur Diskussion stellen möchte, ist, dass m.E. die Energien der Hyperfeinstruktur sich doch anaolg zur Feinstruktur berechnen lassen sollten. Hier wird ja das durch den Kern aufgrund seiner Bewegung relativ zum Elektron erzeugte Magnetfeld betrachtet, für das gilt
B ~ L.
Die entsprechende Energie ist
E = -μ · B ~ g · μ/ħ · S · L.
Hier führt man den Gesamtdrehimpuls J = S + L ein, um das Produkt
S · L = 1/2 · (J² - S² - L²) =
= ħ²/2 · ( J(J + 1) - S(S+1) - L(L + 1) )
auszurechnen. Anaolg zu oben könnte man aber auch argumentieren, dass das Magnetfeld eine Vorzugsrichtung definiert, zu der Sz die Eigenwerte ± ħ/2 hat, und so auf J verzichten. Dann wären aber die bekannten spektroskopischen Symbole nutzlos, und der Zeemann-Effekt wäre nicht erklärbar.
Bin auf Antworten bespannt!
Greetz,
Matz
Der Ausdruck a der Hyperfeinkonstante berechnet sich allgemein aus:
a = 2/3*mu0*g_e*muB*g_I*mu_K*│Ψ(0)│² (Wellenfunktion am Kernort)
und ergibt für den atomaren Wasserstoff (s-Orbital) ausgerechnet 5.873e-6eV.
Über den Kosinussatz und anschliessendes Umformen erhält man
ΔE_HFS = a/2*(F*(F+1)-I*(I+1)-J*(J+1))
und ergibt mit I=1/2 ; J=1/2 und F=0 und 1 (die einzigen Zustände im s-Orbital des H)
ΔE_HFS = a
Das Magnetfeld B_J kann nun über
B_J:=a*sqrt(J*(J+1))/(g_I*mu_k)
bestimmt werden und gibt nach meiner Rechnung 28.91T.
Grüsse, rene
Hey!
Danke für die Antwort.
...
Bin auf Antworten bespannt!
Greetz,
Matz
Hallo Matz,
ich war wohl etwas vorschnell mit meiner Beantwortung deiner Frage: es geht ja nicht um die Eigenwerte des Kernspins, welche die Aufspaltung des Orbitals bewirken, sondern um die Eigenwerte der Kombination aus Bahndrehimpuls und Elektronen-Spin. Es geht ja um die Elektronen-Orbitale.
Zu lang her: ich müsste micht da erst nochmal reindenken bzw. reinlesen.
Vergiss meinen Antwort am besten ganz schnell. :)
Sorry,
Uli
Was mich aber wundert ist, was passiert, wenn ein externes Magnetfeld angelegt wird?
Ist das äussere angelegte Magnetfeld B0 gering zum inneren Feld B_J, so dass die magnetische Energie klein zum energetischen Abstand der Hyperfein-Terme ist, bleibt im Falle des Zeeman-Effekts die Kopplung der Drehimpulsvektoren I und J zu F erhalten. Bei genügend starkem externen Magnetfeld B0 wird diese Kopplung aufgehoben (Paschen-Back-Effekt).
Der resultierende Gesamtdrehimpulsvektor F präzediert um B0 (Zeeman). Für die möglichen Orientierungen des Vektors F relativ zu B0 gibt es 2F+1 Möglichkeiten, die durch die Quantenzahl m_F gegeben sind. Es gilt
│F_z│ = m_F*h mit m_F = F, F-1..., -F
Die Zeeman-Aufspaltung mit Hyperfeinwechselwirkung ergibt sich mit
E_HFS = -mu_F*B0
Die Verschiebung im schwachen Feld gibt
ΔE_HFS = g_F*mu_B*B0*m_F
und im starken Feld
ΔE_HFS = g_J*mu_B*m_J*B0 +a*m_I*m_J – g_I-*mu_K*B0*m_I
Grüsse, rene
:) Sehr gut, dann hätten wir das geklärt. Danke!
Aber eins noch:
Der Ausdruck a der Hyperfeinkonstante berechnet sich allgemein aus:
a = 2/3*mu0*g_e*muB*g_I*mu_K*│Ψ(0)│² (Wellenfunktion am Kernort)
und ergibt für den atomaren Wasserstoff (s-Orbital) ausgerechnet 5.873e-6eV.
@rene:
Diese Formel habe ich auch schon oft gesehen. Weißt du zufällig, wie sie zustande kommt? Klassisch gesehen würde doch ein Elektron im s-Zustand gar kein Magnetfeld verursachen, weil der Drehimpuls L = 0 ist? (Daher kann ich die Formel selbst nicht herleiten.. :cool: )
:) Sehr gut, dann hätten wir das geklärt. Danke!
Aber eins noch:
@rene:
Diese Formel habe ich auch schon oft gesehen. Weißt du zufällig, wie sie zustande kommt? Klassisch gesehen würde doch ein Elektron im s-Zustand gar kein Magnetfeld verursachen, weil der Drehimpuls L = 0 ist? (Daher kann ich die Formel selbst nicht herleiten.. :cool: )
Das Elektron hat doch Spin, was in einem magnetischen Moment resultiert.
Gruß,
Uli
Na gut, aber wieso braucht man die Aufenthaltswahrscheinlichkeit bei r = 0?
Na gut, aber wieso braucht man die Aufenthaltswahrscheinlichkeit bei r = 0?
Weil die Feldstärke B_J der Elektronen am Kernort nicht unabhängig von den magnetischen Eigenschaften des Kernes gemessen werden können. Um B_J aus der Hyperfein-Aufspaltung von Spektrallinien zu berechnen, muss man das Kernmoment kennen. Das Magnetfeld B_J der Elektronen am Kernort wird bei s-Elektronen überwiegend durch die nichtverschwindende Aufenthaltswahrscheinlichkeit am Kernort verursacht.
Grüsse, rene
Weil die Feldstärke B_J der Elektronen am Kernort nicht unabhängig von den magnetischen Eigenschaften des Kernes gemessen werden können. Um B_J aus der Hyperfein-Aufspaltung von Spektrallinien zu berechnen, muss man das Kernmoment kennen.
Okay, das ist klar, die Energie und damit die Aufspaltung der Spektrallinien ist ja gegeben als E = - μ · B. Man kann B also aus experimentellen Daten (λ = 21 cm) errechnen, wenn man das Kernmoment kennt. Das habe ich oben versucht, und komme auf B = 29,1 T.
Der Ausdruck a der Hyperfeinkonstante berechnet sich allgemein aus:
a = 2/3*mu0*g_e*muB*g_I*mu_K*│Ψ(0)│² (Wellenfunktion am Kernort)
und ergibt für den atomaren Wasserstoff (s-Orbital) ausgerechnet 5.873e-6eV.
Wenn ich das ausrechne, komme ich auf A = 2,936e-6 eV. Das Magnetfeld ist dann B = 14,45 T. Wie kommt es, dass die Ergebnisse so unterschiedlich ausfallen?
Das Magnetfeld B_J der Elektronen am Kernort wird bei s-Elektronen überwiegend durch die nichtverschwindende Aufenthaltswahrscheinlichkeit am Kernort verursacht.
Aber wie? Wenn man das ganze klassisch ausrechnet, erhält man
B = (e · μ0 / 4πm) · <1/r³> · L.
Für L = 0 erhält man auch kein Magnetfeld. Mir ist klar, dass man das so wohl nicht rechnen kann, aber wie kommt man auf die angegebene Formel für die s-Zustände?
Hallo Matz,
so unterschiedlich sind die Ergebnisse nicht - Faktor 2. Irgendjemand von euch hat einfach eine 2 "verloren". (imho)
Gruss, Johann
Der g-Faktor für das anormale magnetische Moment geladener Dirac-Teilchen beträgt g_e:=2.0023. Mit diesem kommst du aufs richtige Ergebnis. Der Ausdruck a = 2/3*mu0*g_e*muB*g_I*mu_K*│Ψ(0)│² (Wellenfunktion am Kernort) gilt übrigens für alle Alkali-Atome und stammt von Fermi.
Gruss
Der g-Faktor für das anormale magnetische Moment geladener Dirac-Teilchen beträgt g_e:=2.0023.
Sollte ich das wirklich übersehen haben? Wie peinlich... :eek:
Danke!
Der Ausdruck a = 2/3*mu0*g_e*muB*g_I*mu_K*│Ψ(0)│² (Wellenfunktion am Kernort) gilt übrigens für alle Alkali-Atome und stammt von Fermi.
Okay, vielen Dank. Ich nehme an, dass der Ausdruck dann nur für die s-Zustände gilt, oder?
Damit kommt man also auf den gleichen Wert wie oben. Vielen Dank für die Hilfe!
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