Harmonischer Oszillator

[chris]

Hallo Leute,

ich verzweifele schon seid geraumer Zeit an einer Aufgabe, vielleich kann mir jemand helfen. Hier die Aufgabestellung:
Für den eindimensionalen harm. Oszillator soll der Erwartungswert des Hamiltonoperators (H = (p² / 2m) + (mw²x²/2)) im niedrigesten Ernergiezustand (n=0) mit Hilfe der Unschärfe relation bestimmt werden. Gesucht ist der min. Wert <H> im normierten Eigenzustand n = 0. Dieser Eigenzustand ist gegeben durch: psi = b * exp (-x²*a)
Beachten DIe bei der Auswertung der Inegrale, dass psi² eine normierte Gaußfunktion mit Mittelwert Null ist.
1.Zeigen Sie: |0> gilt <x> = 0, dh.h (deltax)² = <x²>-<x>² = <x²>
2. Berechnen Sie den Hamilton Operator <H> als Funktion von deltax = Wurzel(<deltax>²

Ich hoffe, dass mir jemand helfen kann, ich bin ziemlich ratlos.
Vielen Dank schonmal an alle!

Chris

[Matz]

Hey!
Gar keine schlechte Aufgabe; ich glaube, ich hab die Lösung, und hoffe, du hast nichts dagagen, wenn ich sie dir jetzt ohne viel Drumherum verrate (Ich halte nicht viel von Andeutungen, die dann doch nicht weiter helfen; wenn man lange genug über eine Aufgabe nachgedacht hat, behält man die Lösung im Gedächtnis, auch wenn man nicht selbst drauf gekommen ist.)
Also, zunächst mal zu (1):
Der Eigenzustand ist Ψ = <x|0> = b exp(-ax²). Für den Erwartungswert <x> berechnet man <0|x|0> = ∫dx b²xexp(-2ax²). Das ist eine gerade Funktion (Ψ²) multipliziert mit einer ungeraden Funktion (x), also gibt das Integral null. Die Unschärfe (Δx)² = <x²> - <x>² ist also (Δx)² = <x²>. Das gleiche gilt für die Impulsunschärfe (Δp)², diese ist <p²>. Das kommt denke ich daher, dass der Zustand in Impulsdarstellung <p|0> ja die Fourier-Transformierte von Ψ ist, also auch wieder eine Gauß-Funktion, und damit das gleiche Argument angewendet werden kann.
Zu (2) dann folgendes:
Die Unschärferelation ist (Δp)²·(Δx)² ≥ ħ²/4. Also hat man (Δx)² ≥ ħ²/(4(Δp)²).
Der Erwartungswert <H> ist <H> = 1/(2m) · <p²> + mw²/2 · <x²>. Hier setzt man nun die Unschärferelation ein und erhält
<H> ≤ ħ²/(8m(Δx)²) + mw²/2 · (Δx)². Den minimalen Wert findet man, wenn man das ganze bezüglich (Δx)² minimiert, also nach Δx ableitet und null setzt.
Somit erhält man (Δx)² = ħ/2mw. Setzt man das in <H> ein, ergibt sich <H> = ħw/2. Das stimmt mit der bekannten Formel E = ħw(n + 1/2) für n = 0 überein.

Ich hoffe, dass das soweit richtig ist, und die Lösung dir etwas geholfen hat.
Grüße,

Matz

[chris]

Hi Matz,

vielen Dank für Deine Antwort, das hat mir wirklich viel geholfen!

Eine Frage hätte ich noch zum letzten Teil Deiner Lösung: Warum minimierst Du den Erwartungswert nach Einsetzen der Unschärferelation? Bzw. wieso ist dies erlaubt, mit anderen Worten, wieso darf man beim harm. Oszillator von minimaler Unschärfe ausgehen?

Danke für Deine Hilfe!

Chris

[Matz]

Hi Matz,
(...) wieso darf man beim harm. Oszillator von minimaler Unschärfe ausgehen?
Chris

Das nicht unbedingt, soweit ich weiß, aber bei einer Gauß-Funktion ist die Unschärfe minimal; siehe dazu auch den anderen Thread, den stefan123 heute eröffnet hat.
Eine etwas anschaulichere (und von mir stammende) Erklärung wäre folgendes:
Du hast ja, wenn man den zweiten Term mal weglässt <H> ~ <p²> = Δp, und Δp ~ 1/Δx, also insgesamt <H> ~ 1/Δx. Daher kommt das kleiner-gleich-Zeichen, denn bei minimaler Ortsunschärfe ist <H> maximal; da aber die Ortsunschärfe meist größer ist als die minimale Ortsunschärfe (logisch..), ist kriegt man den kleinsten Wert von <H>, indem man bezüglich Δx minimiert.
Alles klar? ;)

[Uli]

Bzw. wieso ist dies erlaubt, mit anderen Worten, wieso darf man beim harm. Oszillator von minimaler Unschärfe ausgehen?

Chris

Hier geht es ja um den Grundzustand; in diesem hat der Oszillator die niedrigstmögliche kinetische Energie. Im klassischen Fall entspräche er einem Teilchen, das am Nullpunkt gebunden ist. Mit wachsender Energie werden dem Teilchen in der klassischen Physik größere Ortsbereiche (Amplituden) zugänglich. Man darf also erwarten: je niedriger die Energie, desto stärker bindet das Potential und desto geringer deshalb die Ortsunschärfe.

Uli

[chris]

OK, das mit der Unschärfe habe ich verstanden. Die

Proportionalitäten auch. Danke auch an Uli, schöne Erklärung.

@Matz:
Wenn ich bezüglich Δx minimiere, sollte <H> doch GRÖSSER werden

und nicht kleiner, oder? Es ist doch eben antiproportional...
Andererseits: Wenn ich bezüglich Δx "minimiere" tue ich ja nichts

anderes, als die Ableitung null zu setzen. So erhalte ich einen

Extremwert, was nicht unbedingt ein Minimum sein muss. Ist es also

ein Maximum und somit stimmt meine Überlegung mit dem

anti-proportionalen Verhältnis von <H> zu Δx ?

[Matz]

@Matz:
Wenn ich bezüglich Δx minimiere, sollte <H> doch GRÖSSER werden und nicht kleiner, oder?


Hm, aber das habe ich ja geschrieben, oder? "Bei minimaler Ortsunschärfe ist <H> maximal". Minimieren bezüglich Δx heißt ja nicht, dass Δx minimal wird, sondern <H> als Funktion von Δx.


Wenn ich bezüglich Δx "minimiere" tue ich ja nichts anderes, als die Ableitung null zu setzen. So erhalte ich einen Extremwert, was nicht unbedingt ein Minimum sein muss. Ist es also ein Maximum und somit stimmt meine Überlegung mit dem anti-proportionalen Verhältnis von <H> zu Δx ?


Doch, es ist ein Minimum. Schau dir mal den Graph von 1/x² + x² an:
147

Das ganze ist im Grunde genommen eine Minimierung unter Zwangsbedingungen: Wir suchen das Minimum von <H> ~ a<p²> + b<x²> unter der Bedingung <p²><x²> ≥ ħ²/4. Weil wir wissen, dass der Zustand eine Gauß-Form hat, können wir <p²><x²> = ħ²/4 setzen, und somit das <p²> in <H> eliminieren. Und nachdem das minimale <H> gesucht ist, kriegt man das durch minimieren; dabei ist die Unschärferelation in obiger Form automatisch erfüllt.

Man kann übrigens den Erwartungswert <H> in einem beliebigen Zustand ausrechnen, und hat dann immer <Ψ|H|Ψ> ≥ E, mit E als der Grundzustandsenergie. Wenn man dann bezüglich einem beliebigen Parameter minimiert, kommt man der gesuchten Energie u.U. recht nahe. Hier sind <x²> und <p²> unsere Parameter, wobei man halt noch die Unschärfe beachten muss.

Sorry, falls ich dir hier was erzähl, was du vllt. gar nicht wissen willst, aber ich bin auch grad am Quantenmechanik-Lernen, und da kann ich mich manchmal nicht beherrschen ;)

[chris]

so jetzt habe (so hoffe ich doch) alles verstanden!
Vielen dank für die sehr gute Hilfe, hat mir sehr geholfen!

Gruß Chris