1.
Wenn ich das durchrechne komme ich auf
1/√(2πħ) * Ψo * √(2π)/a * exp(-p²/(2ħ²a²))
Laut Aufgabenstellung soll man aber auf:
1/√(2πħ) * exp(-p²/(2ħ²a²))
kommen.
2.
Warum setzt du
exp(-a²x²/2) = 1/2
?
Kommt das irgendwie aus
ΔxΔp ≥ 1/2 * ħ
?
Ich sehe es nicht...
Und offensichtlich benutzt du hierfür ja die Exponenten aus den Wellengleichungen. Die Vorfaktoren [Ψo und 1/√(2πħ)] lässt du weg?
Wieso?
Also, zu (1):
Auf das komme ich auch. Aber das macht ja nix; ich denke, dass man die Ausgangsfunktion noch normieren müsste, also ∫dx |Ψ(x,t)|² = 1 setzen, und dann wird man vermutlich Ψo = a/√(2π) erhalten, so dass sich das wegkürzt. Bin aber grad zu faul es auszuprobieren :D , weil es eh nichts macht - damit kommen wir nämlich zu (2):
Hier hab ich wohl auch wieder einen Fehler gemacht; war wohl echt nicht mein Tag :) Ich wollte die Breite der Gauß-Funktion rausfinden, indem ich die sog. Halbwertsbreite ausrechne, d.h. die Breite des "Peaks" in der Höhe, wo der Wert auf die Hälfte des Maximalwerts abgefallen ist. Wenn man also Ψ(x,t) = 1/2 · Ψ(0,t) setzt, kommt man auf exp(-a²x²/2) = 1/2.
Das stimmt aber wohl nicht ganz... um die Breite auszurechnen, muss man natürlich <x²> bestimmen, also Δx = ∫dx x²|Ψ(x,t)|² ausrechnen; das selbe gilt dann für Δp = <p²>. Soweit ich weiß, kriegt man bei einer Gauß-Funktion exp(-bx²) die Unschärfe (Δx)² = 1/(4b). Mit den angegebenen Funktionen haben wir also (Δx)² = 1/(2a²) und (Δp)² = a²ħ²/2; insgesamt also ΔxΔp = ħ/2, wie es sein soll.