Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : Math - Polya und Primzahlen
Hi
Im Thread "Wasserwellen..." hat Timm auf interessante Aspekte zum Thema Primzahlzwillinge, "n-linge" von Polya und Lehmer aufmerksam gemacht. Ich wuerde die Diskusion an dieser Stelle gerne weiterfuehren.
Ich hoffe Timm hat nichts dagegen wenn ich den Gegenstand derselben, den Timm mir per PN gesendet hat, hier zitiere :
Zitat von Prof. Oskar Herrmann
Sei X eine "große" Schranke, n eine eine ganze Zahl mit 0<n<X. d eine "kleine" ganze Zahl. Die Wahrscheinlichkeit, daß n oder n+d durch p teilbar ist, ist jeweils 1/p. Somit ist die Wahrscheinlichkeit, daß eine dieser beiden Zahlen durch p teilbar ist,
2/p, falls p die Differenz nicht teilt.
bzw. 1/p, falls p die Differenz teilt.
Die Wahrscheinlichkeit, daß p keine der beiden Zahlen teilt ist also
(p-2)/p bzw. (p-1)/p.
Wir definieren:
W(p,D) = (p-2)/p, falls p kein Teiler von D ist.
W(p,D) = (p-1)/p, falls p ein Teiler von D ist.
Diese Überlegung stellen wir für alle Primzahlen
{2, 3, 5, 7, ..., P}
an. Haben wir nur wenige Primzahlen, dann ist dieWahrscheinlichkeit, daß n und n+D durch keine unsererPrimzahlen teilbar ist, das Produkt der Wahrscheinlichkeiten.
Das bedeutet: Die Anzahl der Paare (n, n+D), wo keine Zahl durch eine "kleine" Primzahl teilbar ist, ist
W(2,D)*W(3,D)* ... *W(P,D) * X
Hier sehen wir, daß D eine gerade Zahl sein muß, sonst erhalten wir ein triviales Resultat.
Bis zu dieser Stelle war alles korrekt beweisbar.
Wir interessieren uns nun für Primzahlzwillinge mit der Differenz D.Bei festem P und wachsendem X wächst obige Funktion linear an,Sie ergibt also ein Resultat, das größer ist als die Anzahl derZwillinge. Bei festem X und wachsendem P, wenn wir alsoimmer mehr Primzahlen nehmen, konvergiert das Produkt gegen Null.Wir erhalten also ein zu kleines Resultat, wenn wir zuviele Faktorenhaben. Das bedeutet, daß bei richtiger Kopplung von P und X man dieAnzahl der Primzahlzwillinge mit der Differenz D erhält.
Es ist aber nicht bewiesen, wie man P und X zu koppeln hat.(Hier gibt es eine Vermutung, auf die ich nicht eingehe.)
Nun machte Polya den folgenden Vorschlag: Diese Schranke, die ja auch vonD abhängig sei kann, versuchsweise als von D unabhängig anzunehmen.Er dividierte die vermutete Anzahl der Primzahlzwillinge mitDifferenz D durch die vermutete Anzahl der Zwillinge mit derDifferenz 2. Dabei kann man durch X kürzen und erhält
W(2,D)*W(3,D)*W(5,D)*...*W(P,D)
W(2,2)*W(3,2)*W(5,2)*...*W(P,2)
Da D gerade ist, ist W(2,D)=W(2,2)=1. Aber für fast alle Primzahlenist W(p,D)=W(2,D)=(1-2/p). Damit können übereinanderstehende Faktoren weggekurzt werden und es bleiben die Quotienten stehen,wo p ein Teiler von D ist.
Das Resultat ist das Produkt der Quotienten
(p-1)/p-2)
wo p ein ungerader Teiler von D ist.
Das ergibt folgende Häufigkeiten:
D 2 4 6 8 10 12 14 16 18
Häufigkeit
1.00 1.00 2.00 1.00 1.33 2.00 1.20 1.00 2.00
Timm hat dazu folgende Ergebnisse aus numerischen Expermenten erhalten :
Am häufigsten sind Primzahl-Paare, deren Differenzen Primfakultäten sind. Differenzen D, die nur den Primfaktor 2 enthalten, 2^n mit n=1,2,3 ... , sind vergleichsweise selten aber alle gleich häufig und dienen als Basis zur Bestimmung der Häufigkeit H. Findet man x Paare mit D=2, so enthält die gleiche Primzahlenmenge 2,66*x Paare mit D=30, 3,2*x Paare mit D=210 ... . Die Häufigkeit H von D=30 ergibt sich also als Zahl der Paare mit D=30 geteilt durch Zahl der Paare mit D=2. H der Differenz 30 ist somit = 2,66.
Theoretische Häufigkeit der Superdifferenz SD=210 mit (p-1)/(p-2): Für p=3, 5, 7 erhält man 2, 4/3, 6/5. Das Produkt der Quotienten (p-1)/p-2) ist somit 2*4/3*6/5 = 3,2. Die Superhäufigkeit SH der SD 210 (= 2*3*5*7) ist also 3,2. Jede Differenz enthält natürlich den Primfaktor 2. In H, bzw. SH geht die 2 aber nicht ein, da sie Vergleichsbasis ist. Anders gesagt ist H von D=2 trivialerweise =1.
Vergleich gefundener mit theoretischen Häufigkeiten
Herangezogen wurden alle Primzahlpaare der ersten 10^5 Primzahlen und mit einem kleinen Programm die Zahl Z der Paare pro Differenz D ermittelt.
....................gefunden.................theor etisch nach (p-1)/(p-2)
D ......... Z ......... H=Z/10250......... H ......... Primfaktoren
2 ......... 10250 ..... 1 .................... 1 .......... 2
4 ......... 10214 ..... 0,996 .............. 1 ........ 2*2
6=SD ... 20472 ..... 1,997=SH ....... 2 .........2*3
8 ......... 10336 ..... 1,008 ............... 1 ..... 2*2*2
.
18 ....... 20515 ..... 2,001 .............. 2 ...... 2*3*3
20 ....... 13687 ..... 1,335 ............ 1.33 ... 2*2*5
.
28 ....... 12253 ..... 1,195 ............. 1,2 ..... 2*2*7
30=SD.. 27434 ..... 2,676=SH ..... 2,66 ... 2*3*5
60 ....... 27312 ..... 2,664 ............ 2,66 .. 2*2*3*5
.
210=SD ............... 3,192=SH ..... 3,2 .... 2*3*5*7
2310=SD ............. 3,543=SH ..... 3,55 .. 2*3*5*7*11
Die Übereinstimmung H gefunden / H theoretisch ist erstaunlich.
Verglichen mit den SD erkennt man eine starke Abflachung der SH. Dennoch könnten, wie schon beschrieben, die SH gegen unendlich gehen.
Hi Timm
Zu Polyas Wahrscheinlichkeit habe ich auch nur einen kleinen Abschnitt im www gefunden :
http://books.google.de/books?id=1MTcYrbTdsUC&pg=PA123&lpg=PA123&dq=Polya+und+Lehmer&source=bl&ots=9E8_LdPqWa&sig=BaFzCNckf-AlB2EMAR1rhn7a83M&hl=de&ei=kUvISv6cLNuosgbO68XrDg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=4#v=onepage&q=Polya%20und%20Lehmer&f=false
Hat man hier den Bruchstrich vergessen ?
Polyas Argumentation,um was es ueberhaupt geht verstehe ich jetzt schon besser, aber noch nicht komplett.
Unter diesem Link habe ich jede Menge interessanter Informationen zum Stand der "Primzahlforschung" gefunden.
http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/skripte/zahlenth/zahlenth.pdf
Ich bin lediglich E-Ing, kein Mathematiker und mich erschlaegt es regelmaessig, wenn ich lese mt welchen Problemen sich die Mathematiker nur mal so als Uebungsaufgaben beschaeftigen :-)
Der Beweis dass zwei folgende Fib Zahlen keinen gemeinsamen Teiler aufweisen ist in dem PDF auch als Uebungsaufgabe mit dabei :-)
Dieser Summensatz ist somit wohl zu trivial, dass er extra erwaeht wird. Aber gerade weil er so schoen einfach ist gefaelt es mir damit zu argumentieren.
In dem PDF kommt an einer Stelle auch die Primfakultaet vor. Anscheinend gibt es dafuer tatsaechlich keinen ofiziellen Namen, was mich schon wundert. In dem Skript wird fuer dieselbe lustigerweise das Symbol p# verwendet. (Ich hatte das frei erfunden) p? faende ich auch passend.
Kleine Ueberlegung :
Wenn man in der Primfakultaet p(n)# auch Mehrfachheiten der Primfaktoren zulaesst, also 2^k2* 3^k3* 5^k5* 7^k7 ... dann stellt diese "Mehrfachprimfakultaet" eine verallgemeinerte Form der Fakultaet n! dar.
Einfaches Beispiel wie dies zu verstehen ist :
Betrachten wir 10!
10!=2*3*4*5*6*7*8*9*10
und zerlegen die Nichtprimzahlen in ihre Primfaktoren :
10!=2*3*(2*2)*5*(2*3)*7*(2*2*2)*(3*3)*(2*5)
10!=2^8 * 3^4 * 5^2 * 7
so sieht man, dass die Fakultaet natuerlich nur eine spezielle Form der Primfakultaet ist. Mit Mehrfachheiten.
Damit lassen sich die im PDF betrachteten Primzahlen n! +1 auf die Betrachtungen im regeli Thread ueber den Summensatz zurueckfuehren. Allerdings ist es manchmal ungeschickt n! zu verwenden statt n# oder n#/pi.
Die grundlegende Eigenschaft von n# ist die, dass es die kleinste Fakultaet ist, in der alle Primfaktoren lueckenlos vorkommen. Dafuer ist n! analytisch berechenbar.
Man koennte einen Kompromiss finden, indem man z.B. alle geradzahligen Faktoren aus n! streicht.
Will ich in Kuerze mal ausprobieren.
EDIT :
Die offizielle Bezeichnung unserer Primfakultaet p# lautet Primfakultaet oder Primorial
http://de.wikipedia.org/wiki/Primfakult%C3%A4t
Auf der Seite ist auch schon durchgefuehrt was ich gerade noch ausprobieren wollte.
http://upload.wikimedia.org/math/1/f/3/1f3e8276b2fcb29457063ef2d57556d1.png
Das bietet sich natuerlich an, weil diese Konstante das Gegenstueck zur Eulerschen Zahl e ist.
Die Engel-Entwicklung (Stammbruch-Entwicklung) dieser Zahl bildet die Folge der Primzahlen (Siehe Folge A064648 in OEIS)
Hi Timm
Zu Polyas Wahrscheinlichkeit habe ich auch nur einen kleinen Abschnitt im www gefunden :
http://books.google.de/books?id=1MTcYrbTdsUC&pg=PA123&lpg=PA123&dq=Polya+und+Lehmer&source=bl&ots=9E8_LdPqWa&sig=BaFzCNckf-AlB2EMAR1rhn7a83M&hl=de&ei=kUvISv6cLNuosgbO68XrDg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=4#v=onepage&q=Polya%20und%20Lehmer&f=false
Hat man hier den Bruchstrich vergessen ?
Sehr interessanter Link, richy.
In aller Kürze: Ich habe mir erlaubt das Zitat in Deinem Beitrag mit dem Autor zu ergänzen. Herr Herrmann, der damals, als ich ihn in 2001 aufsuchte, schon emeritiert war, hatte die Orginal Publikationen von Polya und Lehmer nicht zur Hand, hat diese Herleitung aber aus dem Gedächtnis geschöpft.
Ja, der Bruchstrich fehlt,
Gruß, Timm
Das bietet sich natuerlich an, weil diese Konstante das Gegenstueck zur Eulerschen Zahl e ist.
Hallo Richy,
inwiefern ist diese Konstante 0,70523... das Gegenstück zur Eulerschen Zahl e?
M.f.G. Eugen Bauhof
Hi Bauhof
inwiefern ist diese Konstante 0,70523... das Gegenstück zur Eulerschen Zahl e?
Gegenstueck ist der falsche Ausdruck. Habe ich schlecht formuliert.
exp(1) ist die Summe der Kehrwerte aller Fakultaeten
e=1+1/1!+1/2!+1/3!+1/5! .....
Im Grunde ist es zunaechst eine rein formelle Spielerei hier die Primfakultaet statt Fakultaet einzusetzen. Als unvollstaendige Taylorapproximation kann man dies dann nicht betrachten, denn die Fakultaet resultiert auf einer fortgesetzten Differentation der Terme x^n.
Man koennte sich fragen welche Funktionsbasis diese Primorials bei einer Approximation erzeugen wuerde, aber solch eine Funktion kann es in geschlossener Form natuerlich nicht geben.
Wie man sieht hat diese Idee dennoch schon jemand aufgegriffen. Die Konstante scheint leider keine besondere Bedeutung zu haben. Die Kettenbruchdarstellung des Wertes enthaelt natuerlich auch keine erkennbare Struktur, denn ansonsten haette man die Primzahlen "geknackt". Ich gehe uebrigends davon aus, dass man prinzipiell keinen analytischen Ausdruck finden kann , der alle Primzahlen erzeugt. Mit ein paar wenigen gebe ich mich schon zufrieden :-)
Hast du eine Idee wie man diese Reihe interpretieren koennte ?
... exp(1) ist die Summe der Kehrwerte aller Fakultaeten e=1+1/1!+1/2!+1/3!+1/5! .....
Hallo Richy,
vermutlich hast du dich dabei nur vertippt. Das ist nicht e, sondern e wird durch folgende unendliche Reihe angenähert:
e=1+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+1/6+...
Die Reihe, die man durch die Summierung der Kehrwerte der Primzahlen erhält, sieht so aus:
1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+1/13+1/17+...
Diese Reihe divergiert, aber sehr langsam.
M.f.G. Eugen Bauhof
Hi Bauhof
Bin zu bloed um bis fuenf zu zaehlen :-)
Ja, ich hab statt 1/4! 1/5! getippt
Die Reihe, die man durch die Summierung der Kehrwerte der Primzahlen erhält, sieht so aus:
1/2!+1/3!+1/5!+1/7!+1/11!+1/13!+1/17!+...
Sicherlich auch nur vertippt. Du meintest Summierung der Kehrwerte der Fakultaet der Primzahlen
Weiterhin :
Die Fakultaet einer Primzahl ist nicht die Primfakultaet=Primorial.
Offizielles Symbol: p#
Das Primorial entspricht der Fakultaet in der man alle nichtprimzahligen Faktoren streicht 2*3*5*7*11*13 ....
Oder eben dem Produkt der Primzahlen bis zu einer Stelle n.
Das besondere daran ist, dass das Primorial wie die Fakultaet alle aufeinanderfolgenden Primfaktoren enthaelt, (aber nicht so steil waechst wie die Fakultaet).
Einen geschlossenes Ausdruck gibt es dafuer natuerlich leider nicht, denn sonst koennte man ueber p(n+1)#/p(n)# jede Primzahl berechnen.
In Timms zitierter Vermutung zeigt sich, dass Primzahlen im Abstand von Primorials am haeufigsten auftreten. Das ist auch das eigentliche Thema, von dem ich bischen abgewichen bin.
1/2!+1/3!+1/5!+1/7!+1/11!+1/13!+1/17!+...
Diese Reihe divergiert, aber sehr langsam.
Verstehe nicht warum die Reihe divergent sein soll. Das ist doch e-R, wobei R die Summe der Fakultaet der Kehrwerte der Nichtprimzahlen ist, also R=1+1/4!+1/6!+1/8!+1/9! und negativ kann die Summe nicht sein.
Es muessste doch gelten 0 < 1/2!+1/3!+1/5!+1/7!+1/11!+1/13!+1/17!+... < e
BTW
Mit der "ungerade"Fakultaet(n) + 2 komme ich immerhin auf eine 241 stellige Primzahl (Test n=1..150)
65639426708018986672507151381772735265405805254795 22779750428143933771428487157029025600572193689502 76104285285516744221164562355173053752804275846126 24336324231768502783970671432560740560286937050977 03902486688990937373600900173187255859377
ist prim
Bis prim(150)#/2 + 2 sind es nur 188 Stellen
Mit (n!+1) bis n=150 sind es auch nur 191 Stellen
... Sicherlich auch nur vertippt. Du meintest Summierung der Kehrwerte der Fakultaet der Primzahlen.
Hallo Richy,
nein, ich habe mich nicht vertippt. Denn die Summierung der Kehrwerte der Fakultaet der Primzahlen kann ich gar nicht gemeint haben, denn die ist mir bisher völlig unbekannt. Gibt es dazu eine Quelle?
M.f.G. Eugen Bauhof
Hi Bauhof, Timm, all
Doch, du hast dich irgendwo vertippt.
Denn die Summierung der Kehrwerte der Fakultaet der Primzahlen kann ich gar nicht gemeint haben, denn die ist mir bisher völlig unbekannt.
Du hast aber die Reihe mit dem Fakultaetszeichen angeschrieben :)
1/2!+1/3!+1/5!+1/7!+1/11!+1/13!+1/17!+...
Hauptsache wir reden nicht aneinander vorbei :)
Gibt es dazu eine Quelle?
Es gibt eine grosse Datenbank fuer Zahlenreihen OEIS
http://de.wikipedia.org/wiki/On-Line_Encyclopedia_of_Integer_Sequences
Dort habe ich die Summe der Kehrwerte der Primorials gefunden, aber nicht die der Fakultaet der Primzahlen. Scheint tatsaechlich zu fehlen
Hier wenigstens die Reihe der einfachen Fakultaet der Primzahlen :
http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=2%2C6%2C120%2C5040&sort=0&fmt=0&language=german&go=Suche
(Die Primzahlen als Kettenbruchkoeffizienten gibt es dort auch)
Mit Maple kann man den gesuchten Wert leicht numerisch simulieren.
Die Reihe konvergiert sehr schnell gegen s := 0.6751984380
Die SUmme der Nichtprimzahlkehrwertfakultaeten muesste dann sg:=2.043083390 sein.
Man koennte spasseshalber Taylorreihen von Funktionen in ihre primzahligenund und nichtprimzahligen Reihen zerlegen. Aber Sinn macht das wohl keinen, ansonsten waere schon jemand anderes auf die Idee gekommen.
Hast du eine Quelle fuer die von dir gemeinten divergenten Reihe ?
1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+1/13+1/17+...
Und damit waeren wir nahe bei der eigentlichen Fragestellung von Timm.
Ich moechte erstmal zusammenfassen ob ich diese richtig verstanden habe :
i=0..N sei die Folge der natuerlichn Zahlen
ifactors(i)=p1,p2,p3...p_anzahl seien die Primfaktoren von i
"anzahl" sei die Anzahl der Primfaktoren von i
Jetzt bestimmt man fuer jeden Primfaktor pk den wert ak=(pk-1)/(pk-2)
k=1..anzahl
Da waere meine erste Frage: Fuer i=2 geht a doch gegen unendlich.
2 wird also ausgeschlossen und H(2) zu 1 normiert ?
Ansonsten berechnet sich H(i) als product(ak,k=1..anz) ?
So hast du es im Beispiel erlaeutert :
Das Produkt der Quotienten (p-1)/(p-2) ist somit 2*4/3*6/5 = 3,2.
Die Frage waere dann, ob das Produkt H gegen unendlich strebt oder konvergiert. Der Ausdruck besteht aus zwei Teilen. Der inneren Funktion, die im Intervall [3...OO] monoton vom Wert 2 auf 1 faellt.
Mit jeder neuen Primzahl naehert sich der Bruch dem Wert 1.
Und mit jeder neuen Primzahl wird ein Faktor groesser eins hinzugefuegt. So dass es rein formell klar ist, dass der Wert fuer die Primonials am groessten ist, da sie die meisten Faktoren enthalten. Allerdings ist mir noch immer nicht ganz klar wie Polya auf diesen Ausdruck kommt.
Jetzt koennte man voreilig argumentieren :
Na ich habe unendlich viele Faktoren eines Produkts, denn es gibt unendlich viele Primzahlen und jeder ist groesser 1 kleiner 2.
Das divergiert.
Ich meine aber dem ist nicht so.
Aehnlich wie bei exp(1)=limit( (1+1/n)^n,n=infinity) tritt der entscheidende Vorgang genau beim Grenzuebergang auf.
(1+1/n)^n ist dem Produkt H auch ansonsten recht aehnlich. Der Ausdruck in der Klammer strebt genauso gegen eins und der Exponent erzeugt schliesslich unendlich viele Faktoren.
Aber der Wert konvergiert gegen exp(1)
@timm
Das Problem ist nun, dass wir keinen analytischen Ausdruck dafuer haben. wie der Wert des jeweils neuen Primfaktors waechst. Man koennte sich hier vielleicht dem Primzahlsatz von Gauss bedienen, dass die Verteilung etwa x/ln(x) betraegt. Zunaechst ueberlegen, wie sich dies auf das Wachstum der Primfaktoren auswirkt.
Hier einige Beispiele die ich mit Maple gerechnet habe und die Problematik anschaulich darstellen. Fuer die unbekannte Wachstumsfunktion der Primzahlen habe ich einfach mal einige elementare Funktionen wie 2*p, p^2, p! eingesetzt:
product((p-1)/(p-2),p=3..infinity) = infinity
product((2*p-1)/(2*p-2),p=3..infinity) = infinity
product((10*p-1)/(10*p-2),p=3..infinity) = infinity
p waechst aber natuerlich nicht linear
lassen wir es quadratisch wachsen :
product((p^2-1)/(p^2-2),p=3..infinity)=1.536421919
Schon jetzt konvergiert das Produkt. (uebrigends gegen sehr eigentuemliche algebraische Ausdruecke, die natuerlich die Gammafunktion als allgemeine Fakultaet enthalten)
product((p!-1)/(p!-2),p=3..infinity)
kann Maple nicht loesen,komisch gestern ging das noch,stattdessen
product((p!-1)/(p!-2),p=3..10)=
s:=evalf(product((p!-1)/(p!-2),p=3..10))= 1.320027113
s:=evalf(product((p!-1)/(p!-2),p=3..100))=1.320027149
Wenn p^2 konvergiert muss auch p! konvergieren.
(Ich dachte anfangs in p wird die Primfakultaet eingesetzt.
Schliesslich noch ein Programm fuer die reale Situation :
a:=1;
> for i from 2 to 10000 do
> p:=ithprime(i);
> a:=evalf(a*(p-1)/(p-2));
> od;
ithprim(10 000)=104729
a=15.597311318
Da liege ich noch weit unter deinem numerischen Experiment ..
Moment geht gleich weiter ... i=100 000 laeuft gerade
...
hab das Programm bei 33409, der Primzahl 394129 abgebrochen.
a=17.38318378
So kommt man ja nicht viel weiter, sondern man benoetigt
1) eine Abschaetzung des Wachstums der Primzahlen
2) Eine Angabe ob die von dir genannte Haeufigkeit H damit konvergiert oder divergiert
2a) Indem man das Produkt direkt auswertet
2b) Indem man ein Konvergenzkriterium fuer Produkte anwendet
zu1)
http://www.math.uni-bielefeld.de/birep/number/leit01-2.pdf
Wir bezeichnen mit pk die k-te Primzahl, also p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, usw.
Satz.
Es gibt positive reelle Zahlen A < 1 < B, mit
A · n · ln n < pn < B · n · ln n,
So etwas habe ich mir fast gedacht. Das Wachstum liegt irgendwo zwischen linear und quadratisch.
Hier habe ich die Funktion fuer 2 Schranken bis 10 000 dargestellt :
http://home.arcor.de/richardon/2009/primxlogx.gif
Den Faktor 1.18 koennte man ueber die Methode der kleinsten Quadrate natuerlich noch genauer bestimmen.
Hier nochmals fuer die ersten 15 Primzahlen
http://home.arcor.de/richardon/2009/primxlogx2.gif
Die Approximation ist hier noch sehr ungenau
Jetzt mal sehen was Maple zu dem Grenzwert meint :
s:=evalf(product((p*ln(p)-1)/(p*ln(p)-2),p=3..10000));
Error, (in product) object too large for the Student Edition
Tja, diese ewigen Studenten :-)
Fuer das Produkt
s:=evalf(product((1.18*p*ln(p)-1)/(1.18*p*ln(p)-2),p=3..1000));
spuckt Maple noch den Wert s := 7.180852157 aus
NUMERISCHES
***********
Ich will jetzt erstmal untersuchen wie gut 1.18*x*ln(x)
EDIT 1.15*x*ln(x)
das Haufigkeitsprodukt approximiert. Fuer kleine Primzahlen ist die Uebereinstimmung sehr schlecht. Also starte ich den Vergleich bei der tausendsten Primzahl :
Das kleine Programm :
N1:=1000;N2:=5000;aa:=1;bb:=1;c:=1.15;
> for i from N1 to N2 do
> aa:=aa*evalf((ithprime(i)-1)/(ithprime(i)-2)):
> bb:=bb*evalf((c*i*ln(i)-1)/(c*i*ln(i)-2)):
> a[i]:=aa;
> b[i]:=bb;
> od:
> druck1:=seq([k,a[k]],k=N1..N2):
> druck2:=seq([k,b[k]],k=N1..N2):
> plot([[druck1],[druck2]]);
Den Faktor C habe ich jetzt zu 1.15 statt 1.18 gewaehlt das passt besser und wie man sieht recht gut :
http://home.arcor.de/richardon/2009/timmvgl.gif
NUMERISCHE IDEE
**************
Sachgemaess waere es natuerlich ein Konvergenzktiterium auf das Produkt anzuwenden. Mein hohler Bauch sagt mir aber jetzt schon, dass dies eventuell nicht so einfach sein koennte.
Dieses Produkt liegt wahrscheinlich irgendwo an der Grenze zwischen Konvergenz und Divergenz.
Und falls es konvergiert wuerde mich ein Naeherungswert interessieren. Kann aber durchaus auch sein, dass es divergiert.
Im Moment habe ich folgenden numerischen Plan :
Wir koennen das Produkt relativ einfach numerisch simulieren.
Allerdings ergibt sich das Problem, dass unser Rechengeraet sehr viel Zeit benoetigt um grosse Primzahlen zu berechnen.
Dafuer scheint fuer grosse Primzahlen die Funktion c*x*ln(x) wenigstens qualitativ eine gute Naeherung zu sein.
Daher zerlege ich das Produkt, nennen wir es H, an der Stelle m in zwei Faktoren.
H=product(f(i),i=3..infinity)
H=product(f(i),i=3..m)*prod(f(i),i=m+1..infinity)= H1*H2
H1 haben wir fuer m=10000 bereits exakt numerisch simuliert.
Der Wert fuer H1 war :
H1(m=10000)=15.597311318
Meine Idee waere es H2 nun durch c*x*ln(x) x=m+1..grosse Zahl
versuchen numerisch zu ermitten. Damit erspart man sich grosse
Primzahlen und kann daher eine sehr gross obere Schranke verwenden.
OK lets go :)
Maple benoetigt auch fuer die Produkte von c*x*ln(x) recht lange Rechenzeiten.
Ich meine momentan dieses Produkt, die Haeufigkeit H konvergiert.
@Bauhof,Timm,all
Kennt jemand eine Quelle fuer Konvergenzkriterien von Produkten ?
Ansonsten muss ich wohl dochmal wieder in die Bronstein Bibel schauen.
Zuvor noch zwei bescheidene Versuche um Timms Prob zu loesen :
Statt dem Produkt H kann ich auch ln(H) betrachten.
Dann wird das Produkt natuerlich zu einer Summe :
H(i)=product( c*(p*ln(p)-1)/(p*ln(p)-2), p=3..N)
ln(H(i))=sum(ln[c*(p*ln(p)-1)/(c*p*ln(p)-2)], p=3..N)
Fuer ln(c*p*ln(p)-1)/(c*p*ln(p)-2) muss ich jetzt nach einem geeigneten Konvergenzkriterium fuer Summen suchen.
Damit laesst sich die Konvergenz der Abschaetzung beurteilen.
Das waere die grundlegende Aufgabe, die man zunaechst loesen sollte um die Konvergenz wenigstens abzuschaetzen.
Der zweite bescheidene Versuch waere es das Differential des Produktes H zu betrachten.
Viele Gruessse
Hi Bauhof, Doch, du hast dich irgendwo vertippt. Du hast aber die Reihe mit dem Fakultaetszeichen angeschrieben :)
Hallo Richy,
danke für den Hinweis, du hast recht. Ich habe das inzwischen richtiggestellt.
M.f.G. Eugen Bauhof
Verstehe nicht warum die Reihe divergent sein soll.
Hallo Richy,
die Reihe
(1) 1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+1/13+1/17+... divergiert, hingegen die Reihe
(2) 1/2!+1/3!+1/5!+1/7!+1/11!+1/13!+1/17!+... konvergiert, weil die Reihe für e
(3) e=1+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+1/6+... die Majorante zu (2) ist.
So richtig?
M.f.G. Eugen Bauhof
Hallo Richy,
vor ein paar Jahren schrieb ich ein Fortran-Programm, das mit Hilfe der Riemannschen Näherung die Anzahl der Primzahlen bis zu einer bestimmen natürlichen Zahl N (N kleinergleich 10^308) auf den Bildschirm ausgibt. Falls es für dich hilfreich ist, kannst du dir das EXE-File hier herunterladen:
http://www.eugen-bauhof.homepage.t-online.de/Fortran/RIEMANN_TEST.exe
Diese Programm läuft auf den Windows-Systemen, z.B. unter Windows Vista, vielleicht auch unter XP oder Windows 98. Unter Vista habe ich es gerade noch mal ausprobiert.
Falls nötig, kann ich dir auch das Quellprogramm zur Verfügung stellen. Das könntest du dann mit dem kostenlosen Fortran-Entwicklungssystem von "openwatcom" für spezielle Zwecke erweitern. Dieses Fortran-Entwicklungssystem kann hier heruntergeladen werden:
http://ftp.openwatcom.org/ftp/
Mit freundlichen Grüßen
Eugen Bauhof
@Richy
mir brennt's :) , die Primzahlen mit der Physik zu verbinden.
Sonst wird's doch viel zu mathematisch hier, oder?
Gruß,
Lambert
Jetzt mal sehen was Maple zu dem Grenzwert meint :
s:=evalf(product((p*ln(p)-1)/(p*ln(p)-2),p=3..10000));
Error, (in product) object too large for the Student Edition
s := 15.06469260
Grüsse, rene
Hi
s := 15.06469260
Danke, die Naherung passt in etwa. Aber vermutlich wird auch die Vollversion hier aussteigen :
s:=evalf(product((c*p*ln(p)-1)/(c*p*ln(p)-2),p=3..infinity));
(1) 1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+1/13+1/17+... divergiert, hingegen die Reihe
(2) 1/2!+1/3!+1/5!+1/7!+1/11!+1/13!+1/17!+... konvergiert, weil die Reihe für e
(3) e=1+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+1/6+... die Majorante zu (2) ist.
Ja, so duerfte das stimmen. Hast du eine Quelle fuer (1) ?
EDIT : Die harmonische Reihe divergiert, daher wahrscheinlich.
Danke fuer das Programm. Sicherlich ist das schneller als Maple, aber rein numerisch kommen wir wohl nicht weiter. Eine Naeherung fuer die Primzahlen ist c*x*ln(x), so dass fuer die Konvergenzbetrachtung die Primzahlen nicht mehr notwendig sind.
Auf den ln der Funktion habe ich das Wuerzelkriterium angewendet :
http://de.wikipedia.org/wiki/Wurzelkriterium
a:=ln((c*x*ln(x)-1)/(c*x*ln(x)-2));
limit(a^(1/x),x=infinity)=1
Na toll, denn ausgerechnet fuer den Wert 1 ist damit keine Aussage ueber die Konvergenz moeglich.
Aehnliches liefert das Quotientenkriterium :
http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenkriterium
a:=ln((c*x*ln(x)-1)/(c*x*ln(x)-2));
a1:=ln((c*(x+1)*ln(x+1)-1)/(c*(x+1)*ln(x+1)-2));
q:=a1/a
Die Funktion ist monoton wachsend und kleiner 1 strebt aber fuer x->00 gegen 1. Damit ist keine Konvergenzaussage moeglich.
Im Fall der Konvergenz muss q von n unabhängig und echt kleiner als 1 sein. Gilt lediglich |{a_{n+1}/{a_n}|<1, kann also |{a_{n+1}/{a_n}| beliebig nahe an 1 herankommen, so liefert das Quotientenkriterium keine Aussage über die Konvergenz oder die Divergenz.
Damit bin ich mit meinem Latein zunaechst mal am Ende. Hat jemand noch eine Idee ?
@Lambert
Ich meine nicht dass du ueber physikalische Anschauungen Timms Frage beantworten kannst.
Danke, die Naherung passt in etwa. Aber vermutlich wird auch die Vollversion hier aussteigen :
s:=evalf(product((c*p*ln(p)-1)/(c*p*ln(p)-2),p=3..infinity));
Hallo richy
Die Berechnung mit einer unendlichen Anzahl Faktoren kann mein Maple aus dieser Gleichung auch nicht angeben:
"Cannot show that (c*p*ln(p)-1)/(c*p*ln(p)-2) is continuous on [3,infinity]"
Grüsse, rene
@Lambert
Ich meine nicht dass du ueber physikalische Anschauungen Timms Frage beantworten kannst.
Hi Richy,
nein, aber mir geht es um Mathematik und Physik, nicht um reine Mathematik. Da sehe ich ein Wenig Zeitvergeudung in diesem Stadium.
Ich setze an bei Primzahlen und Unendlichkeiten, wie Du weißt. Und möchte wissen, was das Zeug :) miteinander zu tun hat.
Gruß,
Lambert
Ja, so duerfte das stimmen. Hast du eine Quelle fuer (1) ? EDIT : Die harmonische Reihe divergiert, daher wahrscheinlich.
Hallo Richy,
ja, die harmonische Reihe
(1) 1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10+1/11+...
divergiert, aber das macht die Divergenz der Reihe der Primzahl-Kehrwerte
(2) 1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+...
nicht wahrscheinlicher, weil (1) die Majorante zu (2) ist. Wenn man aus einer Majorante sehr viele Glieder herausnimmt, dann könnte es sein, dass die neue Reihe konvergiert. Nur wenn (2) die Majorante zu (1) wäre, dann wäre die Divergenz von (2) bewiesen.
Der Beweis für die Divergenz der Reihe der Primzahl-Kehrwerte ist in [1] im Kapitel "3.2 Harmonische Primzahlreihe" zu finden. Leonhard Euler lieferte den ersten Beweis und Erdös verallgemeinerte danach Eulers Beweis. Die Beweisführung von Erdös führte zur Entstehung der analytischen Zahlentheorie.
Im Buch wird auch erwähnt, dass die Reihe der Kehrwerte der Primzahlzwillinge:
(3) (1/3+1/5) + (1/5+1/7) + (1/11+1/13) + (1/17+1/19) +... konvergiert.
Die Summe von (3) beträgt ungefähr 1,902160582... und wird als Brunsche Konstante bezeichnet. Ein gewisser Thomas Nicely bildete die Summe von (3) auf seinem Computer und entdeckte dabei 1994 den berüchtigten Divisionsfehler des Pentium-Prozessors.
Man weiß bis heute nicht, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt. Wenn (3) divergieren würde, wäre die Unendlichkeit der Primzahlzwillinge gegeben. Aber aus der Konvergenz von (3) folgt nicht, dass es nur endlich viele Primzahlzwillinge gibt.
Mit freundlichen Grüßen
Eugen Bauhof
[1] Julian Havil
GAMMA. Eulers Konstante, Primzahlstrände und die Riemannsche Vermutung.
Berlin 2007. ISBN=978-3-540-48495-0
http://www.science-shop.de/artikel/865725
Hi Bauhof
Vielen Dank fuer die Quellenangabe. Ein Buch ueber Erdoes steht bei mir im Regal. Wohl zu lange her, dass ich das gelesen habe.
ja, die harmonische Reihe
(1) 1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10+1/11+...
divergiert, aber das macht die Divergenz der Reihe der Primzahl-Kehrwerte
2) 1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+...
nicht wahrscheinlicher, weil (1) die Majorante zu (2) ist.
Ja, da hast du recht. Das ist natuerlich kein Beweis. Aber fuer mich ist es wenigstens eine Art Plausibilisierung.
Leonhard Euler lieferte den ersten Beweis und Erdös verallgemeinerte danach Eulers Beweis. Die Beweisführung von Erdös führte zur Entstehung der analytischen Zahlentheorie.
Dann kann man wohl nicht erwarten, das der Beweis einfach ist :)
Selbiges trifft dann auch fuer Timms Frage zu. Meine Naeherung ueber C*x*ln(x) waere auch nur eine qualitative Abschaetzung.
Da nun aber bekannt ist dass die Summe der Primzalkehrwerte divergiert, koennte man das Majorantenkriterium verwenden.( Falls meine Vorgehensweise ueberhaupt korrekt ist das Produkt ueber den ln in eine Summe zu transformieren und dann zu argumentieren, dass wenn diese Summe divergiert auch das Produkt divergiert. )
Ich hab mir das nur mal kurz graphisch mit der Naeherung ln[(C*x*ln(x)-1)/(C*x*ln(x)-2)] angeschaut. Die scheint fuer alle C groesser zu sein als 1/(C*x*ln(x)) Wobei beide Funktionen fuer groessere Werte "fast gleich" sind. (Warum eigentlich ?) Korrekterweise muesste man dies statt C*x*ln(x) fuer die Primzahlen zeigen. Und dann waere Timms Produkt divergent.
Ich vermute jetzt doch eher, dass es divergent ist.
Ein gewisser Thomas Nicely bildete die Summe von (3) auf seinem Computer und entdeckte dabei 1994 den berüchtigten Divisionsfehler des Pentium-Prozessors.
Daran kann ich mich noch erinnern. Glaube es war der mathematisch Co Prozessor. Ich habe damals HP Workstations benutzt :-)
Man weiß bis heute nicht, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt
Dewegen ist das auch ein beliebtes Thema fuer Hobbyforscher.
Ich bin davon aber nicht infiziert.
Wenn (3) divergieren würde, wäre die Unendlichkeit der Primzahlzwillinge gegeben.
Tja, das waere zu schoen gewesen :-)
Aber aus der Konvergenz von (3) folgt nicht, dass es nur endlich viele Primzahlzwillinge gibt.
Fuer Konvergez mussen die Summanden nur schnell genug gegen Null streben. Sie werden also immer seltener.
@Timm
Anhand der Vorbetrachtungen hatte ich eine Beweisidee :
1) Zeige dass gilt : exp(1/x) < (x-1)/(x-2), fuer alle x>epsilon, z.b. x>=3
Leider ist mir dies bisher noch nicht gelugen :-(
Die Idee waere dann wie folgt gewsen :
2) Damit wuerde die Ungleichung auch fuer alle Primzahlen gelten : exp(1/p) < (p-1)/(p-2)
3) Untersuche statt
product( (prim(i)-1)/(prim(i)-2), i=2..infinity)
das Produkt
product( exp(1/prim(i)), i=2..infinity)) =
exp(sum(1/prim(i), i=2..infinity))
Dank Herrn Euler, Erdoes und Herrn Bauhof wissen wir, dass die Summe im Exponenten divergent ist
Wuerde 1) gelten, so wuerde auch das Produkt
product( (prim(i)-1)/(prim(i)-2), i=2..infinity)
divergieren.
warum ich an der Bedingung 1) etwas zweifle :
1/p hat die Ableitung -1/p^2
ln((p-1)/(p-2)) hat die Ableitung -1/[(p-1)*(p-2)]
-1/p^2 = -1/[(p-1)*(p-2)] hat nur eine Loesung p=2/3
Der Betrag der Ableitung von ln((p-1)/(p-2)) ist fuer p>3 groesser als der von 1/p. Und da sich beide Ableitungen hier nicht mehr schneiden bleibt dies auch so.
ln((p-1)/(p-2)) faellt somit stets schneller als 1/p und muss 1/p daher zwangslaeufig schneiden. Bestenfalls im Unendlichen.
Da beide Funktionen dort gegen Null streben scheint dies plausibel. Aber wie zeigt man dies ?
Folgendes scheint recht einfach zum Erfolg zu fuehren :
Dass die Kehrwertsumme der Primzahlen divergiert, lässt sich folgendermaßen beweisen:
Dazu benutzt man folgendes Lemma (ohne Beweis):
∑ an = ∞ <=>
n
∏ (1-an)^-1 = ∞ ,falls 0 ≤ an < 1
n
Der Beweis, dass ∑ 1/p = ∞ , folgt dann einfach aus:
∏(1-1/p)^-1 =
p prim
∏ ∑ 1/p^n =
p n≥0
∑ 1/n = ∞
n≥1
Verwendet wurde dabei:
die Taylorentwicklung von (1+h)^-1=
die Eindeutigkeit der Primzahldarstellung
die Divergenz der Kehrtsumme der natürlichen Zahlen
http://www.wer-weiss-was.de/theme50/article3337586.html
Anmerkung :
die Taylorreihe von 1/(1-x) lautet 1+x+x^2+x^3+x^4 ...
die Eindeutigkeit der Primzahldarstellung
Damit ist gemeint, das das Produkt ueber die Summe der Primkehrwerte eindeutig die Summe aller moeglichen Kombinationen erzeugt und damit die Summe der Kehrwerte der natuerlichen Zahlen.
Und ich meine jetzt fuehrt das Minorantenkriterium tatsaechlich zum Erfolg.
Betrachten wir nur :
∏(1-1/p)^-1 = ∞
p prim
1/(1-(1/p)) laesst sich auch schreiben als p/(p-1). Dies ist fuer p element N der direkte Nachfolger von
(p-1)/(p-2). Da die Funktion monoton faellt gilt nun wirklich :
p/(p-1)<(p-1)/(p-2) Und da dies fuer alle p gilt, gilt es auch fuer alle Primzahlen.
Da das Produkt ueber p/(p-1) divergiert, divergiert auch das Produkt ueber (p-1)/(p-2).
Jetzetles aber :-)
Traera und A u s m a r s c h
Da beide Funktionen dort gegen Null streben scheint dies plausibel. Aber wie zeigt man dies ?
Hallo Richy,
hast du es schon mal mit der Regel von L'Hospital probiert?
M.f.G. Eugen bauhof
Hi Bauhof
Erstmal
warum habe ich geschrieben die Funktionen streben gegen 0 ?
exp(1/x) und (x-1)/(x-2) streben gegen 1 oder
(1/x) und ln[(x-1)/(x-2)] streben gegen 0
Aber ich betrachte ja den Fall exp(1/x) und (x-1)/(x-2) "... streben gegen 1" waere korrekt.
hast du es schon mal mit der Regel von L'Hospital probiert?
Meinst du um den Grenzwert zu berechnen ? Der ist nicht das Problem.
Geht auch z.B. ueber (1-1/x)/(1-2/x)
1) Fuer x>2 sind beide Funktionen streng monoton fallend.
Das sieht man an den Ableitungen.
2) und fuer z.B. x= 2 oder x=3 ist (x-1)/(x-2) groesser als exp(1/x).
http://home.arcor.de/richardon/2009/exprim.gif
Die Expo Funktion ist rot.
3) Die Funktionen "schneiden" sich im Unendlichen bei dem Wert 1
Kann ich daraus schon folgern dass die gruene Funktion stets groesser ist als die rote ? Sich beide also nur im Unendlichen schneiden und nicht zuvor ?
Aber Maple hat ueber einen numerischen Loeser "behauptet" es gaebe zuvor schon ein Schnittpunkt.
Bei x=360897195.4 Daher bin ich verunsichert. Das kann aber auch eine numerische Fehlfunktion sein.
Was meinst du ?
Im Grunde ist die Divergenz mit dem zweiten Beweis aber bestaetigt.
Die erste Methode waere fast eleganter. Wobei Timm die Frage anscheinend nicht mehr interessiert :-)
Gruesse
richy
Aber ich betrachte ja den Fall exp(1/x) und (x-1)/(x-2) "... streben gegen 1" waere korrekt.
Hallo Richy,
Falls ich das richtig verstehe, dann betrachtest du die Gleichung
(1) exp(1/x) = (x-1)/(x-2)
und willst wissen, ob ein endlicher, reeller Wert für x>0 existiert, der die Gleichung befriedigt. Wenn nicht, was möchtest du dann wissen?
3) Die Funktionen "schneiden" sich im Unendlichen bei dem Wert 1. Kann ich daraus schon folgern dass die gruene Funktion stets groesser ist als die rote ? Sich beide also nur im Unendlichen schneiden und nicht zuvor ?
Aber Maple hat ueber einen numerischen Loeser "behauptet" es gaebe zuvor schon ein Schnittpunkt. Bei x=360897195.4 Daher bin ich verunsichert. Das kann aber auch eine numerische Fehlfunktion sein.
Was meinst du ?
Ich meine, dass man das daraus nicht folgern kann, dass die grüne Funktion stets grösser ist als die rote. Ich besitze kein Maple, aber ich könnte (falls es dich weiterbringen könnte) ein Fortran-Program schreiben, das für (1) einen Schnittpunkt annähern könnte, falls er überhaupt existiert.
Mit Fortran ist man natürlich viel flexibler als mit Maple oder Mathematika, denn man kann problemangepasst programmieren. Die Programmierung dauert natürlich länger, da müsstest du dich schon ein paar Tage gedulden. Mein PC verfügt über eine CPU mit zwei Kernen mit je 3,2GHz Taktfrequenz und einen Hauptspeicher mit 4GB.
M.f.G. Eugen Bauhof
Hi Bauhof
Falls ich das richtig verstehe, dann betrachtest du die Gleichung
(1) exp(1/x) = (x-1)/(x-2)
und willst wissen, ob ein endlicher, reeller Wert für x>0 existiert, der die Gleichung befriedigt. Wenn nicht, was möchtest du dann wissen?
Im Grunde moechte ich wissen ob gilt :
UGL) exp(1/x) < (x-1)/(x-2) fuer x>epsilon, z.b. x>3
Den nur dann kann ich das Minorantenkriterium anwenden.
Nach einem Produkt suchen dessen Faktoren kleiner als die des betrachteten Produktes sind und das dennoch divergiert.
Dafuer waeren natuerlich die Loesungen der Gleichung exp(1/x) = (x-1)/(x-2) interessant. Die ist aber transzendent.
Gibt es fuer x>3 keinen endlichen reelen Wert als Schnittpunkt, so gilt die UGL).
Ich meine aus meinen Punkten 1)2)3) geht dies bisher nicht hervor.
Ein Punkt 4) waere aber, dass sich die Ableitungen der beiden Funktionen fuer x>3 nicht schneiden. D.h. der Betrag der Steigung der gruenen Funktion ist stets groesser als der der roten. Sie faellt stest steiler.
Und daher kann sie sich nicht unterhalb der roten Funktion dem Grenzwert 1 naehern.
Ud aus selbigem Grund die rote Funktion auch nicht mehrmals schneiden.
Das koennte mit 1)2)3) ausreichend sein, das der einzigste Schnittpunkt im Unendlichen liegt.
Mit Fortran ist man natürlich viel flexibler als mit Maple oder Mathematika, denn man kann problemangepasst programmieren. Die Programmierung dauert natürlich länger, da müsstest du dich schon ein paar Tage gedulden.
Ja danke fuer das Angebot. Waere schon interessant, wobei der zweite Beweis die Betrachtung nicht benoetigt :
Dass die Kehrwertsumme der Primzahlen divergiert, lässt sich folgendermaßen beweisen:
Lemma (ohne Beweis):
∑ an = ∞ <=>
n
∏ (1-an)^-1 = ∞ ,falls 0 ≤ an < 1
n
Der Beweis, dass ∑ 1/p = ∞ , folgt dann einfach aus:
∏(1-1/p)^-1 = (Anwenden Taylorreihe)
p prim
∏ ∑ 1/p^n = ("Ausmultiplizieren")
p n≥0
∑ 1/n = ∞ (Divergenz der harmonischen Reihe)
n≥1
Minorantenkriterium
Von dem obigen Beweis nutzen wir lediglich :
∏(1-1/p)^-1 = ∞
p prim
1/(1-(1/p)) laesst sich auch schreiben als p/(p-1). Dies ist fuer p element N der direkte Nachfolger von
(p-1)/(p-2). Da die Funktion monoton faellt gilt nun :
p/(p-1)<(p-1)/(p-2) Und da dies fuer alle p gilt, gilt es auch fuer alle Primzahlen.
Da das Produkt ueber p/(p-1) divergiert, divergiert auch das Produkt ueber (p-1)/(p-2).
Viele Gruesse
richy
Im Grunde moechte ich wissen ob gilt :
UGL) exp(1/x) < (x-1)/(x-2) fuer x>epsilon, z.b. x>3
Hallo Richy,
welchen Wert soll epsilon haben? Vielleicht hast du gemeint:
für x>epsilon mit epsilon=3?
M.f.G. Eugen Bauhof
Die Expo Funktion ist rot.
3) Die Funktionen "schneiden" sich im Unendlichen bei dem Wert 1
Kann ich daraus schon folgern dass die gruene Funktion stets groesser ist als die rote ? Sich beide also nur im Unendlichen schneiden und nicht zuvor ?
Aber Maple hat ueber einen numerischen Loeser "behauptet" es gaebe zuvor schon ein Schnittpunkt.
Bei x=360897195.4 Daher bin ich verunsichert. Das kann aber auch eine numerische Fehlfunktion sein.
Was meinst du ?
Ich habe einen eigenen Solver über Maple laufen lassen (manchmal muss man ihm nachhelfen) und es handelt sich bei den “gefundenen Schnittpunkten“ lediglich um numerische Artefakte, deren Werte sich in Abhängigkeit zur fortschreitenden Genauigkeit über die Anzahl der verwendeten Kommastellen erhöhen.
(x-1)/(x-2) - exp(1/x) = 0
Die beiden Funktionen verlaufen asymptotisch und die Differenzen ihrer Funktionswerte konvergieren im Unendlichen gegen Null.
Als einen Beweis kann man das nicht gelten lassen, jedoch als ein sehr starkes numerisches Indiz.
Grüsse, rene
Hi rene , Bauhof
Erstmal vielen Dank fuer eure Muehe.
welchen Wert soll epsilon haben? Vielleicht hast du gemeint:
für x>epsilon mit epsilon=3?
Ja, zum Beispiel.
Bei den beiden Funktionen ist es so , dass nicht eine davon fuer alle x groesser ist. Auch nicht fuer alle x>0.
Ich moechte das Minorantenkriterium anwenden.
http://de.wikipedia.org/wiki/Majorantenkriterium
Dazu muss ich ein Intervall finden [epsilon....oo] in dem garantiert ist , dass meine zu testende Funktion stets groesser ist als die Verglechsfunktion. Alles im Intervall von [startindex.. epsilon] interessiert nicht, da die Summe oder das Produkt endlich bleibt. Vorausgesetzt es gibt keine Polstellen. Den Pol x=2 hat Polya umgangen. Die Divergenz verursacht dann letztendlich ein unendlich langes Intervall.
@rene
Ich habe einen eigenen Solver über Maple laufen lassen (manchmal muss man ihm nachhelfen) und es handelt sich bei den “gefundenen Schnittpunkten“ lediglich um numerische Artefakte, deren Werte sich in Abhängigkeit zur fortschreitenden Genauigkeit über die Anzahl der verwendeten Kommastellen erhöhen.
Ich vermute auch das dies Numerik ist. Und ich meine die Tatsache, dass ab x=3 die groesse Funktion stets steiler faellt genuegt als Arguent, dass es nur einen Schnittpunkt im Unendlichen gibt.
Davon mache ich noch ne Skizze.
Und dann waere exp(1/x)<(x-1)/(x-2) fuer x>3 oder x>100. Das spielt keine Rolle.
Polya startet mit der Primzahl 3. Die Primzahl 2 nimmt er als Referenzwert.
Polyas Herleitung habe ich noch nicht so ganz verstanden. Aber es ist interessant, dass seine Haeufigkeit fast identisch ist mit dem Produkt in dem Beweis zur Primzahlkehrwertsumme. (Der Beweis ist ueberhaupt ausgesprochen raffiniert)
ciao
Die erste Methode waere fast eleganter. Wobei Timm die Frage anscheinend nicht mehr interessiert :-)
richy, natürlich interessiert mich das noch, ich war ein paar Tage weg. Jetzt stelle ich fest, daß Ihr Euch intensiv mit meiner Frage beschäftigt habt, habe es eben überflogen. Danke für viel Mühe.
1/(1-(1/p)) laesst sich auch schreiben als p/(p-1). Dies ist fuer p element N der direkte Nachfolger von
(p-1)/(p-2). Da die Funktion monoton faellt gilt nun wirklich :
p/(p-1)<(p-1)/(p-2) Und da dies fuer alle p gilt, gilt es auch fuer alle Primzahlen.
Da das Produkt ueber p/(p-1) divergiert, divergiert auch das Produkt ueber (p-1)/(p-2).
Mit aller Vorsicht eines Nicht-Mathematikers, mir leuchtet Deine Argumentation ein, richy. Demnach strebt das Produkt (p-1)/(p-2) gegen unendlich, wobei p die Primfaktoren solcher Differenzen von Primzahl Paaren sind, die sich als Primfakultät darstellen lassen. Die relative Häufigkeit derartiger Differenzen (verglichen mit der Häufigkeit von D=2^n) ginge gegen unendlich. Wobei es bereits vermutlich von D=2^n unendlich viele gibt, der Beweis für die Zwillinge D=2 steht allerdings noch aus.
Das ganze steht und fällt mit dem Gültigkeitsbereich von (p-1)/(p-2). Polya spricht von der großen Schranke X. Was passiert, wenn X gegen unendlich geht?
Gruß, Timm
warum ich an der Bedingung 1) etwas zweifle : 1/p hat die Ableitung -1/p^2
ln((p-1)/(p-2)) hat die Ableitung -1/[(p-1)*(p-2)]
-1/p^2 = -1/[(p-1)*(p-2)] hat nur eine Loesung p=2/3
Der Betrag der Ableitung von ln((p-1)/(p-2)) ist fuer p>3 groesser als der von 1/p. Und da sich beide Ableitungen hier nicht mehr schneiden bleibt dies auch so.
ln((p-1)/(p-2)) faellt somit stets schneller als 1/p und muss 1/p daher zwangslaeufig schneiden. Bestenfalls im Unendlichen. Da beide Funktionen dort gegen Null streben scheint dies plausibel. Aber wie zeigt man dies ?
Hallo Richy,
leider verstehe ich deine Formulierungen nicht immer. Einmal schreibst du (p-1)/(p-2) und dann
wieder (x-1)/(x-2). Die Variable x steht für reelle Zahlen und p steht für Primzahlen. Ist das überall von dir konsequent eingehalten?
Für alle reelle Zahlen x soll gelten:
(1) exp(1/x) = (x-1)/(x-2) (mit 3 ≤ x ≤ unendlich)
Setze y=1/x ? x=1/y; dann ergib sich:
(2) exp(y) = (1/y - 1)/(1/y - 2) (mit 0 < y ≤ 1/3)
(3) exp(y) = (1 - y)/(1 - 2y)
(4) ln[exp(y)] = ln[(1 - y)/(1 - 2y)]
(5) y = ln(1 - y) - ln(1 - 2y)
Für y → 0 strebt ln(1 - y) - ln(1 - 2y) gegen Null, die Gleichung (5) ist also erfüllt.
Wegen y → 0 und x=1/y strebt exp(1/x) gegen 1 für x → unendlich. Somit muss wegen (1) auch (x-1)/(x-2) gegen 1 streben für x → unendlich.
Das heißt, beide Terme in der Gleichung (1) "treffen" sich im Unendlichen bei dem Wert 1. Vermutlich in asymptotischer Annäherung. Wenn tatsächlich asymptotische Annäherung vorliegt, dann gibt es vorher keinen Schnittpunkt, dann gilt die Ungleichung:
(6) exp(1/x) < (x-1)/(x-2); für alle reellen x im Wertebereich 3 ≤ x < unendlich
Nehmen wir mal an, dass dies so ist (die asymptotische Annäherung können wir vielleicht später noch beweisen, falls dein Argument mit den Steigungen nicht hinreichend sein sollte). Mit dem Hilfsmittel (6) möchtest du etwas beweisen. Was war das genau?
Mit freundlichen Grüßen
Eugen Bauhof
Hi
@Timm
Demnach strebt das Produkt (p-1)/(p-2) gegen unendlich,
Ja, ich denke beide Beweise zeigen das.
wobei p die Primfaktoren solcher Differenzen von Primzahl Paaren sind, die sich als Primfakultät darstellen lassen.
Ich denke so koennte man dies formulieren. Der Beweis gilt fuer die Faktoren (ohne Mehrfachheit) einer Primzahlfakultaet. Wenn ich fuer p alle aufeinanderfolgenden Primzahlen einsetze.
Mehrfachheiten waeren auch keine Primzahlen.
In einem Intervall(2....X) soll es N Primzahlen geben. Dann ist fuer die Prifakultaet dieses Produkt maximal, denn es enthaelt die groesste Anzahl, naemlich N Faktoren. Fuer eine Folge der natuerlichen Zahlen wuerde das Produkt in einer Art Saegezahnform oder aehnlichem schwanken. An diese Kurve laesst sich eine konvexe Huellenkurve anlegen. Diese habe ich betrachtet. Also alle Primfakultaeten.
Die relative Häufigkeit derartiger Differenzen (verglichen mit der Häufigkeit von D=2^n) ginge gegen unendlich.
Ja
Wobei es bereits vermutlich von D=2^n unendlich viele gibt, der Beweis für die Zwillinge D=2 steht allerdings noch aus.
Ja. Dass es unedlich mal mehr Primfaktorlinge gibt als Zwilinge ist kein Beweis, dass die Anzahl der Zwillinge endlich ist.
Polya spricht von der großen Schranke X. Was passiert, wenn X gegen unendlich geht?
Ist das nicht der Fall den wir betrachtet haben ?
@Bauhof
Die Variable x steht für reelle Zahlen und p steht für Primzahlen. Ist das überall von dir konsequent eingehalten?
Ich hoffe es mal. x kann auch fuer die natuerlichen Zahlen stehen. Aber fuer welche Zahlen x oder p steht ist bei den Betrachtungen zunaechst unerheblich. Daher hab ich vielleicht die Unterscheidung x und p nicht immer konsequent eingehalten. Weil es irrelevant ist. Lediglich in den Summen oder Produkten ist es relevant. Auch hier gibt es zwei Notierungen:
p(i) i=1...N oder
p, p=2,3,5....N
Warum ist es in manchen Faellen ncht relevant ?
Die Primzahlen kann ich analytisch nicht erfassen. Auch die natuerlichen Zahlen sind recht unhandlich. Benutze ich das Minorantenkriterium so interessieren Ungleichungen :
f(x) < g(x), x element R
Gilt dies fuer reele Zahlen, so gilt dies auch fuer natuerliche Zahlen :
f(i) < g(i), i element N
und ebenso fuer Primzahlen
f(p) < g(p), p element Primzahlen
Das heißt, beide Terme in der Gleichung (1) "treffen" sich im Unendlichen bei dem Wert 1. Vermutlich in asymptotischer Annäherung. Wenn tatsächlich asymptotische Annäherung vorliegt, dann gibt es vorher keinen Schnittpunkt, dann gilt die Ungleichung:
(6) exp(1/x) < (x-1)/(x-2); für alle reellen x im Wertebereich 3 ≤ x < unendlich
Genau. Und dann gilt dies auch fuer alle Primzahlen.
Und das Prob war die asymptodische Naeherung, ob es zuvor keinen Schnittpunkt gibt. Wobei der Betrag der Ableitung von (x-1)/(x-2) stets groesser ist als der von exp(1/x). Bin mir jetzt fast sicher, dass daher nur der Schnittpukt im Unendlichen existieren kann.
Mit dem Hilfsmittel (6) möchtest du etwas beweisen. Was war das genau?
Ob das Produkt ueber (p-1)/(p-2) fuer alle Primzahlen divergiert. Mit dem Hilfsmittel von Euler, dass die Summe der Kehrwerte der Primzahlen divergiert. Das ginge dann einfach ueber ein Minorantenkriterium :
exp(1/x) < (x-1)/(x-2), fuer alle x>=3, x element reelle Zahlen
Dies gilt auch fuer alle Primzahlen :
exp(1/p) < (p-1)/(p-2) fuer alle p>=3, p element Primzahlen
Minorantenkriterium :
Untersuche statt
product( (prim(i)-1)/(prim(i)-2), i=2..infinity)
das Produkt der stets kleineren Faktoren
product( exp(1/prim(i)), i=2..infinity)) =
exp(sum(1/prim(i), i=2..infinity))
Dank Herrn Euler, Erdoes und Herrn Bauhof wissen wir, dass die Summe im Exponenten divergent ist
Daraus folgt :
exp(sum(1/prim(i), i=2..infinity)) = exp(00) = 00
Und daher auch
product( exp(1/prim(i)), i=2..infinity)) = 00
und daher auch
product( (prim(i)-1)/(prim(i)-2), i=2..infinity) = 00
Viele Gruesse
Dass sich g(x)=exp(1/x) und f(x)=(x-1)/(x-2) im Intervall [3...oo] nur im Unendlichen schneiden folgt wahscheinlich aus deren Ableitung |f´(x)|>|g´(x)| und aus dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
Anschaulich:
Voraussetzung : alle Ableitungen kleiner 0, beide Funktionen streng monoton fallend
Gilt f(x0)>g(x0) so koennen sich die Funktionen fuer x>xo nur schneiden wenn gilt |f´(x)|>|g´(x)|
xs sei dieser Schnittpukt
Entweder ist dies eine Tangente oder es gilt nun g(x>xs)>f(x>xs)
Damit sich die Funktionen ein zweites Mal schneiden muesste gelten |g´(x)|>|f´(x)| (oder f´(x)>0)
Dieser Fall liegt aber nicht vor :
http://home.arcor.de/richardon/2009/schnitt.gif
Kuerzer formuliert :
Wenn im betrachteten Intervall die Funkrion f(x)=(x-1)/(x-2) kleiner waere als g(x)=exp(1/x) dann muesste es auch eine Stelle geben an der der Betrag deren Ableitung kleiner ist als der von g(x), da sich beide Funktionen im Unendlichen schneiden. Das ist aber nicht der Fall und daher muss f(x) stets groesser als g(x) sein.
Offtopic : ...
zum Beispiel...
Welche physikalische Relevanz hat die Divergenz von Zahlenreihen?
Gruß,
ÖLambert
Hallo richy,
ein letzter Blick auf diese Tabelle
SD / Log(SD) / Faktoren / Zahl der Faktoren / SH
6 ---- 0.7782 ---- 1*2*3 ----- 3 --- 2
30 --- 1.4771 --- 1*2*3*5 ---- 4 -- 2.6667
210 -- 2.3222 -- 1*2*3*5*7 -- 5 -- 3.2
.
----- 8.3485 -----*19*23 -- 10^1 - 4.5894
----- 217 ------- *523 ----- 10^2 -- 8.5160
----- 3389 ------ *7907 ----- 10^3 -- 12.1230
----- 45332 ---- * 104723 -- 10^4 - 15.5972
----- 563914 --- * 1299689 -- 10^5 - 18.9914
----- 6722801 -- *15485857 - 10^6 - 22.3329
SH, Superhäufigkeit, ist die Häufigkeit der Superdifferenzen SD. Die gigantische Differenz mit 10^6 Primfaktoren (letzter Faktor ist 15485857) ist 22.3329 mal häufiger als die Differenz 2, 4, 8, ... . . .
Diese Zahlen wurden mit Polya's Produkt der Quotienten (p-1)/(p-2) berechnet, also nicht anhand einer Analyse der Differenzen vieler Primzahlen.
Ab der Differenz, deren Primfakultät aus 10^3 Primfaktoren besteht, gibt es offensichtlich eine lineare Abhängigkeit der Superhäufigkeit SH von log(Zahl der Primfaktoren).
log(Zahl der Primfaktoren) ---- SH
3 ----------------------------- 12,1230
4 ----------------------------- 15,5972
5 ----------------------------- 18,9914
6 ----------------------------- 22,3329
Daraus folgt die Geradengleichung
SH = 3,4033*log(Zahl der Primfaktoren) + 1,9131
Sollte sich diese Gleichung nicht unmittelbar aus dem Produkt der Quotienten (p-1)/(p-2) in verallgemeinerter Form ableiten lassen? Aber wie?
Die Nichtlinearität bei < 10^3 dürfte von dem Fehler herrühren, daß ich die nicht zu SH beitragenden Faktoren 1*2 einbezogen habe, 8 statt 10, 98 statt 100 usw.
Dein Beweis unterstützt ja nun diesen linearen Zusammenhang. Er besagt, daß mit jeder verzehnfachung der Zahl der Primfaktoren einer Differenz, deren SH um den konstanten Betrag 3,4033 zunimmt. In diesen Trippelschritten nähert sich SH offensichtlich abzählbar dem Unendlichen.
Es wird häufig von der Zufallsverteilung der Primzahlen gesprochen. Mir scheint, die Systematik bei der Häufigkeit der Differenzen, ist mit einer reinen Zufallsverteilung nicht vereinbar, sondern Ausdruck der Definition der Primzahlen. Würde man mit einem idealen Zufallsgenerator Zahlen abnehmender Dichte generieren, analog zu der von Primzahlen, dann müßte bei der Häufigkeitsbetrachtung der Differenzen Gleichverteilung herauskommen, wie ich es ursprünglich auch für die Primzahlen erwartet hatte.
Was ist es, das so viele an den Primzahlen fasziniert? Als ich noch auf der Suche war, hatte ich Kontakt mit einem amerikanischen Medizin Studenten, der am selben Problem arbeitete. Ist es diese noch immer von Geheimnissen umwobene absolute Eigenständigkeit dieses Zahlenkonstrukts? Die in der Natur keinerlei Ausprägung findet? Mir zumindest nicht bekannt.
Gruß, Timm
@Lambert
Welche physikalische Relevanz hat die Divergenz von Zahlenreihen?
Hier eine praktische Anwendung :
http://de.wikipedia.org/wiki/Harmonische_Reihe#Anwendungsbeispiel
@Timm
Der Logarithmus beruht sicherlich auf dem Zusammenhang, das die Prinzahlen etwa einen x*ln(x) Verlauf haben. Das muesste man sich genauer ueberlegen. Die Funktion in das Produkt einsetzen. Aber Maple finde keine geschlossene Loesung. Wird nicht einfach sein.
Es wird häufig von der Zufallsverteilung der Primzahlen gesprochen.
Prof. Tao weist darauf hin, dass es eine Mischung zwischen Ordnung und determiniertem Zufall ist. Einige grobe Strukturen finden sich schon.
Was ist es, das so viele an den Primzahlen fasziniert?
Mich faszinieren die Fib Zahlen mehr. Da diese analytisch erfassbar sind. Die Primzahlen sind die Atome der Zahlen. Warum faszinieren so viele die Atome ? Man will die Grenze des Erfahrbaren suchen.
@Lambert
Hier eine praktische Anwendung :
http://de.wikipedia.org/wiki/Harmonische_Reihe#Anwendungsbeispiel
Hallo Richy,
ich kann unter dem Link keine physikalische Relevanz erkennen. Denn es war die physikalische Relevanz von divergenten Reihen gefragt. Ich hake nur deshalb nach, weil ich vor längerer Zeit etwas über eine Vermutung gelesen habe, dass zwischen bestimmten quantalen Vorgängen und Primzahlen ein Zusammenhang besteht.
M.f.G. Eugen Bauhof
Hi Bauhof
Das Beispiel mit den Baukloetzen ist ein konstruktives Beispiel. Wahrscheinlich nicht wie es Lambert erwartet hat, dass die Divergenz einer Reihe immer etwas destruktives ist.
In dem Beispiel fuehrt die Divergenz der harmonischen Reihe dazu, dass der oberste Ausleger schliesslich unendlich lang werden kann, ohne dass die Konstruktion zusammenbricht. Auch unabhaengig von l0. Dazu muss man sich das Bild um 180 Grad gedreht vorstellen.
Aber du hast Recht. Man kann darueber streiten ob das eine physikalische Anwendung ist. Der Gesamtschwerpunkt aus einzelnen Koerpern. Das waere der physikalische Teil.
In der Physikvorlesung wurde das Beispiel unter dem Aspekt mal behandelt.
Hi Bauhof
Das Beispiel mit den Baukloetzen ist ein konstruktives Beispiel. Wahrscheinlich nicht wie es Lambert erwartet hat, dass die Divergenz einer Reihe immer etwas destruktives ist.
In dem Beispiel fuehrt die Divergenz der harmonischen Reihe dazu, dass der oberste Ausleger schliesslich unendlich lang werden kann, ohne dass die Konstruktion zusammenbricht. Auch unabhaengig von l0. Dazu muss man sich das Bild um 180 Grad gedreht vorstellen.
Aber du hast Recht. Man kann darueber streiten ob das eine physikalische Anwendung ist. Der Gesamtschwerpunkt aus einzelnen Koerpern. Das waere der physikalische Teil.
In der Physikvorlesung wurde das Beispiel unter dem Aspekt mal behandelt.
Hi Richy,
wo ich mit den Primzahlen hin will, hat Eugen oben angedeutet. Ich suche
eine mengentheoretische Aussonderung aus der Menge der natürlichen Zahlen, die quantentheoretisch bedeutungsvoll sein könnte. Die Primzahlen scheinen mir wunderbare Kandidate dafür, nicht zuletzt auch, weil sie - saloppe Meinung - neben anderen Eigenschaften ein höchstes Maß an Individualität besitzen. Das scheint mir ausgesprochen wichtig, da es - falls sie ein physikalisches Äquivalent haben - den entsprechenden physikalischen Teilchen Stabilität und Unabhängigkeit verleiht.
Gruß,
Lambert
Die Primzahlen scheinen mir wunderbare Kandidate dafür, nicht zuletzt auch, weil sie - saloppe Meinung - neben anderen Eigenschaften ein höchstes Maß an Individualität besitzen. Das scheint mir ausgesprochen wichtig, da es - falls sie ein physikalisches Äquivalent haben - den entsprechenden physikalischen Teilchen Stabilität und Unabhängigkeit verleiht.
Die Problematik sehe ich darin, daß, falls Primzahlen ein "physikalisches Äquivalent" haben,
ein letztlich durch bloßes Abzählen entstandenes mathematisches Konstrukt mit Naturgesetzen verwoben wäre. Und das erscheint mir unvorstellbar. Welchen spekulativen Ansatz dazu sollte es geben?
Gruß, Timm
Die Problematik sehe ich darin, daß, falls Primzahlen ein "physikalisches Äquivalent" haben,
ein letztlich durch bloßes Abzählen entstandenes mathematisches Konstrukt mit Naturgesetzen verwoben wäre.
So sehe ich das auch, Timm.
Warum sollten, wenn ein Kind seine Bausteine abzählt, die "Primzahlbausteine" z.B. eine besondere Stabiliät haben.
Unsinn.
Gruß EMI
Die Problematik sehe ich darin, daß, falls Primzahlen ein "physikalisches Äquivalent" haben,
ein letztlich durch bloßes Abzählen entstandenes mathematisches Konstrukt mit Naturgesetzen verwoben wäre. Und das erscheint mir unvorstellbar. Welchen spekulativen Ansatz dazu sollte es geben?
Gruß, Timm
Hallo Timm,
nicht durch Abzählen entsteht ein mit Naturgesetzen verwobenes Konstrukt sondern durch zwangshafte geeignete Aussonderung aus einem gravitär-wirksames Zahlenfeld, das sein physikalisches Äquivalent in einem strukturierten Vakuum besitzt.
Gruß,
Lambert
Hi Lambert,
tut mir leid, mit
zwangshafte geeignete Aussonderung aus einem gravitär-wirksames Zahlenfeld, das sein physikalisches Äquivalent in einem strukturierten Vakuum besitzt.
kann ich nichts anfangen, aber Hauptsache, Du hast Spaß daran.
Gruß, Timm
Hi Lambert,
tut mir leid, mit
Zitat:
zwangshafte geeignete Aussonderung aus einem gravitär-wirksames Zahlenfeld, das sein physikalisches Äquivalent in einem strukturierten Vakuum besitzt.
kann ich nichts anfangen, aber Hauptsache, Du hast Spaß daran.
Gruß, Timm
Hallo Timm,
habe ich.
Ich wollte nur zum Ausdruck bringen, dass es nach meiner unbedeutenden Meinung
1) Ein geordnetes Vakuum gibt
2) die Ordnung des Vakuums das übliche Gravitionsfeld mit den Eigenschaften eines Zahlenfelds ist
3) dieses Feld, das gleichzeitig ein Volumenfeld bzw. Raumquantenfeld sein soll, bei der Inflation zum Zeitpunkt t=0 bis ca. 4 an ihren Rändern instabil geworden ist
4) die Ränder rundherum an der Aktualen Unendlichkeit jenes Feldes liegen
5) die Instabilität während des Volumeninflationprozesses (bei Inflationsgeschwindigkeit c) zu Aussonderung von Volumenteilen geführt hat, die ebensoviele Photonen sind.
6) danach (aus mir undeutlichen Gründen) aus Photonen ganz brav symmetrisch Elektronen und Positronen entstanden, die sich aus hier nicht geklärten Gründen raumlich trennten.
7) danach Material und den ganzen weiteren Zirkus gab
Gruß,
Lambert
Ich wollte nur zum Ausdruck bringen, dass es nach meiner unbedeutenden Meinung
1) Ein geordnetes Vakuum gibt
2) die Ordnung des Vakuums das übliche Gravitionsfeld mit den Eigenschaften eines Zahlenfelds ist
3) dieses Feld, das gleichzeitig ein Volumenfeld bzw. Raumquantenfeld sein soll, bei der Inflation zum Zeitpunkt t=0 bis ca. 4 an ihren Rändern instabil geworden ist
4) die Ränder rundherum an der Aktualen Unendlichkeit jenes Feldes liegen
5) die Instabilität während des Volumeninflationprozesses (bei Inflationsgeschwindigkeit c) zu Aussonderung von Volumenteilen geführt hat, die ebensoviele Photonen sind.
6) danach (aus mir undeutlichen Gründen) aus Photonen ganz brav symmetrisch Elektronen und Positronen entstanden, die sich aus hier nicht geklärten Gründen raumlich trennten.
7) danach Material und den ganzen weiteren Zirkus gab
Hallo Lambert,
ich möchte das mit Ausnahme der "Ränder" nicht kommentieren. Man geht heute von einem Friedmann-Lemaitre Universum aus. Dieses ist homogen und isotrop. Ich kenne kein ernst zu nehmendes kosmologisches Modell, das Ränder enthält,
Gruß, Timm
Die Problematik sehe ich darin, daß, falls Primzahlen ein "physikalisches Äquivalent" haben,
ein letztlich durch bloßes Abzählen entstandenes mathematisches Konstrukt mit Naturgesetzen verwoben wäre. Und das erscheint mir unvorstellbar. Welchen spekulativen Ansatz dazu sollte es geben?
Na, sowas, kaum schreibe ich das, finde ich ein Beispiel aus der Tierwelt, bei dem Primzahlen eine Rolle spielen.
Es gibt zwei Zikadenarten, die gemeinsam vorkommen und Lebenszyklen von 13, bzw. 17 Jahren haben. Erst im letzten Jahr entwickeln sie sich aus dem Puppenstadium zum ausgereiften Tier, kommen aus dem Boden und vermehren sich. Die Vermutung geht dahin, daß die Prim-Zikaden sich sich so maximal aus dem Weg gehen. Sie kommen sich nur alle 221 Jahre in die Quere. Alternativ wird ein für beide Zikadenarten giftiger Pilz diskutiert, der alle paar Jahre auftritt.
Nachzulesen auf Seite 41 in "Die Musik der Primzahlen - Auf den Spuren des größten Rätsels der Mathematik", von Marcus du Sautoy.
Die Evolution machts möglich, was mit einem physikalischen Äquivalent allerdings nichts zu tun hat.
Marco Polo
16.10.09, 19:43
Na, sowas, kaum schreibe ich das, finde ich ein Beispiel aus der Tierwelt, bei dem Primzahlen eine Rolle spielen.
Hallo Timm,
interessant in diesem Zusammenhang finde ich auch die Tasache, dass uns z.B. die Fibonacci-Zahlen in der Natur auf Schritt und Tritt begegnen.
So z.B. bei der Anzahl von Blütenblättern wie der Sonnenblume und selbst bei Kaninchenpopulationen.
Aber da ist glaube ich richy der Experte.
Gruss, Marco Polo
Hallo Lambert,
ich möchte das mit Ausnahme der "Ränder" nicht kommentieren. Man geht heute von einem Friedmann-Lemaitre Universum aus. Dieses ist homogen und isotrop. Ich kenne kein ernst zu nehmendes kosmologisches Modell, das Ränder enthält,
Gruß, Timm
Hallo Timm,
da ist gewiss ein ganz großer Unterschied. Nach meiner bescheidenen Meinung läuft Dunkle Materie jedoch nur mit begrenzten Raumzeiteinheiten. Also mit Rändern. Dieser Ansatz des begrenzten Gravitationsfeldes wird - wie Du sagst - nicht ernst genommen. Dafür muss man überzeugen. Zeugen sind schlussendlich Experimente und Beobachtungen.
Gruß,
Lambert
interessant in diesem Zusammenhang finde ich auch die Tasache, dass uns z.B. die Fibonacci-Zahlen in der Natur auf Schritt und Tritt begegnen.
So z.B. bei der Anzahl von Blütenblättern wie der Sonnenblume und selbst bei Kaninchenpopulationen.
Hi Marc,
ja, schon erstaunlich. Fibonacci kam am Hof von Pisa im 13ten Jahrhundert auf seine Zahlen, als er die Fortpflanzung von Hasen untersuchte,
Gruß, Timm
da ist gewiss ein ganz großer Unterschied. Nach meiner bescheidenen Meinung läuft Dunkle Materie jedoch nur mit begrenzten Raumzeiteinheiten. Also mit Rändern.
Jetzt kann ich Dir nicht folgen, Lambert.
Masseansammlungen, wie dunkle Materie, Galaxien u.s.w. haben Ränder. Wir sprachen aber soeben noch vom Universum. Das kann einen Rand haben, wenn man Explosion in einen vorhandenen Raum annimmt. Wie gesagt, eine ernst zunehmende Theorie dieser Art kenne ich nicht. Trotzdem kann sie dem jeweiligen Verfechter Freude bereiten,
Gruß, Timm
Jetzt kann ich Dir nicht folgen, Lambert.
Masseansammlungen, wie dunkle Materie, Galaxien u.s.w. haben Ränder. Wir sprachen aber soeben noch vom Universum. Das kann einen Rand haben, wenn man Explosion in einen vorhandenen Raum annimmt. Wie gesagt, eine ernst zunehmende Theorie dieser Art kenne ich nicht. Trotzdem kann sie dem jeweiligen Verfechter Freude bereiten,
Gruß, Timm
Nein, wenn ich von Rändern spreche, Timm, so spreche ich von Galaxien. Denn innerhalb diesen tut sich das Phänomen der extra Massenanziehungskraft, also der Dunklen Materie (DM). Verwirre diese bitte nicht mir Dunkle Energie (DE), denn das ist was ganz anderes. DE halte ich für eine Fehlinterpretation der Beobachtungen, aber das ist besides the point.
Wenn ich das SRT-kompatibele Newtonsche Gravitationsfeld (lasse die ART mal außen vor), das wir kennen, als Vakuumeigenschaft nach einer Rauminflationsphase und als begrenzt, da sich das Ordnungsprinzip bei zunehmender Inflation verliert, ansehe, da stellt sich mir die Frage: bis wohin streckt dieses Gravitationsfeld sich aus? Die Antwort, die ich sehe, ist bis zu den Rändern einer Galaxie. Denn nur so entstehen die zusätzlichen inner-galaktischen Kräfte, die als DM referiert worden sind. Interdisziplinäre Forschung (mit Mathematik, Astronomie und Physik) könnte dieses Postulat bestätigen. Das Newtonsche Gravitationsfeld wird sich betreffs Homogenität und Isotropie in asymmetrischer Weise modifizieren. Das Friedmann-Lemaitre Universum ist hinfällig.
Das macht jedoch nichts, denn ein homogenes und isotropes Universum ist imho außerstande, DM zu erklären. Ich möchte längst nicht vom Universum reden, so lang die Struktur einer Galaxie nicht verstanden worden ist.
Gruß,
Lambert
Wenn ich das SRT-kompatibele Newtonsche Gravitationsfeld (lasse die ART mal außen vor), das wir kennen, als Vakuumeigenschaft nach einer Rauminflationsphase und als begrenzt, da sich das Ordnungsprinzip bei zunehmender Inflation verliert, ansehe, da stellt sich mir die Frage: bis wohin streckt dieses Gravitationsfeld sich aus?
Hallo Lambert,
was ist ein "SRT-kompatibles Newtonsches Gravitationsfeld"?
M.f.G. Eugen Bauhof
Nein, wenn ich von Rändern spreche, Timm, so spreche ich von Galaxien.
Das ist immerhin eine Klarstellung, Lambert. Wenn Du von Inflation sprichst, heißt das nun. daß diese lokal da stattfindet, wo sich Galaxien bilden?
Hoffentlich motivieren Dich Eugens und meine Reaktion dahingehend, Dich auf klare Begrifflichkeit zu besinnen. Du garnierst eine neu Idee (nichts dagegen) mit selbstgebackener Begrifflichkeit. Damit tust Du der Idee aber nichts gutes.
Gruß, Timm
Das ist immerhin eine Klarstellung, Lambert. Wenn Du von Inflation sprichst, heißt das nun. daß diese lokal da stattfindet, wo sich Galaxien bilden?
Gruß, Timm
Korrekt.
@Eugen
Zitat: was ist ein "SRT-kompatibles Newtonsches Gravitationsfeld"?
Damit meine ich ein vom Koordinatennullpunkt unabhängiges Gravitationsfeldes. Man kann damit z.B. den x,y,z,t-Ursprung für Berechnungen frei wählen. Ich erinnere mich, dass das in H. ein konservatives Feld (u.a. Freiheit des Berechnungsweges) genannt wird. Die Newtonsche Gravitation geht vom gleichen Prinzip aus. Und auch in der SRT ist die Koordinatenwahl unabhängig vom Raum. Um die DM zu erklären, bezweifle ich jedoch bescheiden die Richtigkeit dieser Annahme. Ich postuliere mit Vorsicht eine quantifizierte Volumen-Gravitation pro Galaxy mit einem Ausgangszentrum und einer Raum-Inflationsphase. Ich brauche dazu allerdings einen Äther, der sich zum strukturierten Vakuum aufblasen lässt.
Gruß,
Lambert
Schau doch mal bei eBay nach Lampe.
Gruß EMI
Hallo EMI,
habe ich. Ist ausverkauft. Wird nicht mehr gehandelt. Mein Dilemma.
Gruß,
Ölambert
Zitat von Timm
Das ist immerhin eine Klarstellung, Lambert. Wenn Du von Inflation sprichst, heißt das nun. daß diese lokal da stattfindet, wo sich Galaxien bilden?
Gruß, Timm
Korrekt.
Heißt das, diese lokalen Inflationen finden in einem a priori vorhandenen leeren Raum statt?
Gruß, Timm
Heißt das, diese lokalen Inflationen finden in einem a priori vorhandenen leeren Raum statt?
Gruß, Timm
Das ist eine schwierige Frage. Man kann dabei - wenn ich darüber reflektiere - kaum von "Raum" sprechen. Denn unangestoßen muss es eine offene Möglichkeiten-Umgebung (ich versuche dabei dabei ähnlich zu denken wie bei der "Möglichkeitentheorie" von Prof. Karl Friedrich von Weizsäcker und Prof. Görnitz, weiß aber nicht, ob diese das so akzeptieren würden) sein, für die für jeden Punkt zumindest gilt x=y=z=0. Über t kann ich keine Aussage machen. Diese Möglichkeiten- Umgebung muss ich mir zudem offenbar quantifiziert vorstellen.
Übrigens folgert daraus, dass dadurch die Distanz zwischen zwei Inflationen eine energetisch Distanz, kein raumliche Distanz ist.
Das sind solche Abweichungen von Gängigem, dass sie schier unmöglich erscheinen.
Gruß,
Lambert
Übrigens folgert daraus, dass dadurch die Distanz zwischen zwei Inflationen eine energetisch Distanz, kein raumliche Distanz ist.
Das sind solche Abweichungen von Gängigem, dass sie schier unmöglich erscheinen.
Hallo Lambert,
mit letzterer Aussage bist wahrscheinlich sehr viel näher an der Realität als mit der ersten.
Zwischen den durch Deine Inflation hervorgegangenen Galaxien gibt es gewaltige Leerräume. Hier nicht von Distanz zu sprechen stellt alles auf den Kopf.
Wie die großskalige Durchmusterung der Universums ergab, sieht man das gleiche Bild der Galaxienverteilung, in welche Richtung man auch schaut. Das Universum scheint isotrop zu sein. Aber wie ist das möglich, wenn es doch zwischen gegenüberliegenden Gebieten keine kausalen Wechselwirkungen gibt? Alan Guth bot mit dem inflatonärem Universum eine Problemlösung an, die dem damals winzigen sichtbaren Universum eine gleichmäßige Temperaturverteilung erlaubte . Die später entdeckte Hintergrundstrahlung mit Abeichungen von 10^-5 K waren eine glänzende Bestätigung. Daran ändert sich auch nichts, wenn Details der Inflation umstritten sind.
Das ist Dir sicherlich alles bekannt. Wissenschaftliche Vorgehensweise setzt sich das Ziel, Theorie und Beobachtung in Einklang zu bringen. Es sei Dir natürlich unbenommen, ganz andere Ziele zu verfolgen. Etwa Dir ein Universum auszudenken, das mit dem beobachteten möglichst wenig gemeinsam hat.
Gruß, Timm
Hallo Lambert,
mit letzterer Aussage bist wahrscheinlich sehr viel näher an der Realität als mit der ersten.
Zwischen den durch Deine Inflation hervorgegangenen Galaxien gibt es gewaltige Leerräume. Hier nicht von Distanz zu sprechen stellt alles auf den Kopf.
Es sei Dir natürlich unbenommen, ganz andere Ziele zu verfolgen. Etwa Dir ein Universum auszudenken, das mit dem beobachteten möglichst wenig gemeinsam hat.
Gruß, Timm
Hallo Timm,
die Begründungen sind mir bekannt, sie befriedigen mich jedoch nicht. Das liegt daran, weil das merkwürdige Phänomen der schnelldrehenden Galaxien durch sie nicht geklärt wird.
Ich suche Wege, die postulierte DM ins galaxy-eigene Gravitationsfeld unterzubringen. Die Distanz zwischen Galaxien ist kolosal, das ist ohne Zweifel richtig. Ob die beobachtete Lichtfrequenzdifferenzen über Doppler mit einem x,y,z erklärt werden müssen, oder aber ganz eigenwillig über Energieniveaudifferenzen der einzelnen Galaxien bleibt m.E. dahingestellt.
Die Hintergrundstrahlung, die bei ca. doppelter Frequenz des normalen scihtbaren Lichtes liegt, kann - so möglich noch eigenwilliger - als Effekt eines Raumes interpretiert werden, der über e^jCt definiert mit C=2*c bzw. c^2.
Ich habe deswegen ein mit den bekannten Beobachtungen aus meiner beschränkten Sicht schlüssiges Gesamtbild.
Das aber - trotz meinem Widerstand - an vielen Stellen von den gängigen Interpretationen abweichend ist. Das will ich nicht, kann es aber nicht ändern. Sonst komme ich mit DM nicht klar.
Gruß,
Lambert
Hallo an alle,
hier der Beweis, dass das unendliche Produkt (p-1) /(p-2) über
alle Primzahlen p divergiert, siehe die beiden PDF-Anhänge.
Viele Grüße,
Steffen
Danke, darauf haben wir lange gewartet
hier der Beweis, dass das unendliche Produkt (p-1) /(p-2) über
alle Primzahlen p divergiert, siehe die beiden PDF-Anhänge.
Danke nochmal Steffen, daß Du Dich der Sache angenommen und und Deinen Beweis der Divergenz hier gezeigt hast.
Leider weilen Bauhof und richy, die sich insbesondere dafür interessiert hätten, nicht mehr unter uns.
@ alle: Zum linearen Verlauf meiner Graphik, auf die Steffen in der letzten Zeile Bezug nimmt, hier die zugehörige Tabelle:
Häufigkeit H von Primzahl-Abständen berechnet als Produkt der Quotienten (p-1)/(p-2)
Z....... P.....................H .......Abstände.............Liste
3........3....................2................6.. ................1*2*3
4........5....................2,667.........30.... .............1*2*3*5
5........7....................3,200.........210... ............1*2*3*5*7
6........11..................3,555.........2310.
.
10^1...23.................4,5894.......223.092.870
10^2...523...............8,5160
10^3...7907.............12,1230
10^4...104.723........15,5972
10^5...299.689........18,9914
10^6...15.485.857....22,3329
Z Zahl der Faktoren
P letzte Primzahl der Liste
H gegen den Exponenten von Z aufgetragen verläuft annähernd linear.
Auffallend sind die scharfen Maxima der Häufigkeitsverteilung
208 1,0909
210 3,2
212 1,0196
weil bei 210 +-2 nur die letzte Primzahl der Liste beiträgt, alle anderen Faktoren sind 2.
Ferner "Zwischenmaxima" bei ganzzahligen Vielfachen der Maxima
30 2,667
60 2,667
90 2,667
120 3,2
Für mich überraschend ist, daß (p-1)/(p-2) im Internet offenbar nicht zu finden ist (außer bei quanten.de), auch nicht in "The new Book of Prime Number Records" von Paulo Ribenboim, der sich auf 17 Seiten Prime Gaps widmet.
Danke, darauf haben wir lange gewartet
Stimmt. Im Gegensatz zu den bekannten Welterklärer-Themen ist dieses Thema, abgesehen von den Off-Topic-Kommentaren, nämlich durchaus lesenswert.
Ich würde den Beweis anders angehen. Idee ist, den Bruch (p-1)/(p-2) auf die Form [1 - f(p)] zu bringen und mittels Konvergenz bzw. Divergenz für die zeta-Funktion zu argumentieren.
Nächster Schritt wäre, die analytische Fortsetzung sowie die Pole in einer komplexen Variablen s zu diskutieren.
(steht auf meiner Liste für morgen)
Nächster Schritt wäre, die analytische Fortsetzung sowie die Pole in einer komplexen Variablen s zu diskutieren.
Au weia :( . Ich glaube nicht, dass der Beweis dadurch vereinfacht wird, aber bitte: Webspace ist ja bekanntlich geduldig :) .
Au weia :( . Ich glaube nicht, dass der Beweis dadurch vereinfacht wird, aber bitte: Webspace ist ja bekanntlich geduldig :) .
Der Beweis der Divergenz ist sicher sehr kurz; die analytische Fortsetzung wird dafür nicht benötigt, ist aber der nächste sinnvolle Schritt zur Analyse des Produktes.
Beweis:
A)
Die Riemannsche ζ-Funktion ζ(s) ist definiert als Summe über 1/n^s bzw. als Produkt über 1/(1-p^-s); die Identität dieser beiden Darstellungen ist algebraisch beweisbar; beide Darstellungen divergieren für |s| ≤ 1; speziell für s = 1 kann man die Terme im Produkt umformen zu 1 + 1/(p-1).
B)
Man formt (p-1)/(p-2) um zu 1 + 1/(p-2)
Da gemäß (A) das Produkt über 1 + 1/(p-1) divergent ist, und da 1 + 1/(p-2) > 1 + 1/(p-1) für alle Primzahlen p > 2, folgt, dass auch das Produkt über (p-1)/(p-2) für p > 2 divergent ist.
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