Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : Math - Zahlenspielerei
Was passiert eigentlich wenn man statt der Fib Folge :
y[k+2]=y[k+1]+y[k]
das Produkt verwendet
y[k+2]=y[k+1]*y[k]
Ueber den ln erhaelt man eine Art Fib Folge :
ln(y[k+2])=ln(y[k+1]*y[k])
ln(y[k+2])=ln(y[k+1])+ln(y[k])
ln(y[k+2])/ln(y[k+1])=1+ln(y[k])/ln(y[k+1])
Substituiert man s=[k+1]=ln(y[k+2])/ln(y[k+1])
s[k+1]=1+1/s[k]
Diese Iteration konvergiert bekanntlich gegen den goldenen Schnitt
D.h. ln(y[k+2])/ln(y[k+1])=goldener Schnitt fuer n->00
Die Erklaerung ist relativ einfach. Das Produkt besteht aus Potenzen deren Exponent die Fib Reihe darstellen. Durch das Logarithmieren entsteht der Fib Quotient und die Basis kuerzt sich zu eins
x[1]=a, x[2]=b
ln(x[k+1])/ln(x[k])=ln(b^(fib(k+1)*a^(fib(k))/ ln(b^(fib(k)*a^(fib(k-1))=
[ln(b^(fib(k+1))+ln(a^(fib(k)]/[ ln(b^(fib(k))+ln(a^(fib(k-1)))]=
[fib(k+1)*ln(b)+fib(k)*ln(a)]/[fib(k)*ln(b)+fib(k-1)*ln(a)]=
(limit k->oo)
fib(k+1)*[ln(b)+fib(k)/fib(k+1)*ln(a)]/[fib(k)*[ln(b)+fib(k-1)/fib(k)*ln(a)]]=
g*[ln(b)+ln(a)/g][ln(b)+ln(a)/g]
=g=0.5*(1+Wurzel(5))
****************
Kann man die Eigenschaft fuer Primzahlen anwenden ?
Ich vermute der Quotient zweier Primzahlen ist meist eine schlechte Naeherung des goldenen Schnittes.
3,2 sind natuerlich Ausnahmen.
D.h. Zwei aufeinanderfolgende Fib Zahlen sind selten zwei Primzahlen.
EDIT
Danach habe ich gerade gegoogelt. Naja auch ich habe auch mal eine gute Nase :-)
http://www.thorstenreinecke.de/information/fibonacci/node6.html#SECTION00061000000000000000
Zwei aufeinanderfolgende Fib(n) Zahlen, n>4 sind niemals zwei Primzahlen
Denn n und n+1 sind niemals zwei ungerade Zahlen.
ANM:
Eiigentlich betraf meine Vermutung den ln[] der Primzahlen
und
Kann man den Operator f{} einer DZGL x[k+1]=f{x[k],x[k-1]} in eine Summe zerlegen, so dass gilt f(x[k+1])=f(x[k])+f(x[k-1]) oder ein Produkt f(x[k])*f(x[k-1]) so laesst sich der Grenzwert des Quotienten zweier Glieder der Folge bestimmen.
Kann man den Operator f{} einer DZGL x[k+1]=f{x[k],x[k-1]} in eine Summe zerlegen, so dass gilt f(x[k+1])=f(x[k])+f(x[k-1]) oder ein Produkt f(x[k])*f(x[k-1]) so laesst sich der Grenzwert des Quotienten zweier Glieder der Folge bestimmen.
Hallo Richy,
ich denke man darf zerlegen, so lange die Summe endlich bleibt.
M.f.G. Eugen Bauhof
Hi Bauhof
Ich wollte damit nur festhalten, dass diese Reduzierung der DZGL 2 ter Ordung speziellen Form auf die DZGL 1 ter Ordnung :
s[k+1]=1+c/s[k]
die dann den Grenzwert einer Funktion zweier folgender Glieder der DZGL 2 ter Ordung angibt eventuell auch mit anderen Operatoren statt dem ln() moeglich ist.
Hier war das einfach :
y[k+2]=y[k+1]*y[k]
ln(y[k+2])=ln(y[k+1]*y[k])
Der Logarithmus fuehrt auf die gewuenschte Summe :
ln(y[k+2])=ln(y[k+1])+ln(y[k])
Und ich kann sofort angeben, dass ln(y[k+2])/ln(y[k+1])
gegen den goldenen Schnitt konvergiert.
Ist auch so wenn man das ausprobiert.
Faell dir noch ein anderer Operator auf eine Funktion ein der diese von mir bischen schwammig formuliert Eigenschaft hat ?
Im Moment interessiert mich aber auch was anderes zu der Fib DZGL.
Ist fib(n) eine Primzahl ist n eine Primzahl
fib(13)=233 (prim)
Aber fib(233)=22112364063039145456994129697448739933879 56988653
nicht prim
denn der Satz gilt leider nicht umgekehrt.
fib(2211236406303914545699412969744873993387956988 653) waere eine gigantische Zahl.
Im Prinzip ist das doch aehnlich wie bei den Mersenne Primzahlen.
Wenn 2^p-1 eine Primzahl ist ist auch p eine Primzahl.
Und ich kann eine Fibonacci DZGL fuer 2^n formulieren:
y[0]=1,y[1]=2
y[k+2]=y[k+1]+2*y[k]
hat die Loesung
y[k]=2^k
Da muss doch ein Zusammenhang bestehen. Blos das minus 1 fehlt mir
Hast du eine Idee ?
Zwischen Fib DZGL und Primzahlen gibt es einen Zusammenhang und sicherlich auch zu Quadratzahlen.
Es lassen sich auch ander Loesungen y[k]=n^k konstruieren
Das sieht man ueber
s[k+1]=1+a/s[k]
Der Attraktor ist
s[k+1]-s[k]=
1+a/s[k]-s[k]=0
s1=1/2+1/2*(1+4*a)^(1/2)
s2=1/2-1/2*(1+4*a)^(1/2)
EDIT HAT SICH ERLEDIGT
Der Attraktor kann nur ganzzahlig sein wenn git (1+4*a) ist eine Quadratzahl also (1+4*a)=m^2
a=(m^2-1)/4
Hier (b3) hab ich mal (recht schnelll und unkonventionell) bewiesen dass m^2+4 keine Quadratzahl sein kann :
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/frac.htm
Das hillt mir gerade aber nicht weiter
Dann muss man noch bischen die Anfangswerte anpassen und erhaelt z.B :
f(0):=1;f(1):=3;
f(n) = f(n-1)+6*f(n-2)
f(n)=3^n
f(0):=1;f(1):=5;
f(n) = f(n-1)+20*f(n-2);
f(n)=5^n
allgemein :
f(0):=1;f(1):=m;
f(n) = f(n-1)+((2*m-1)^2-1)/4*f(n-2)
f(n)=m^n
so ganz blicke ich das noch nicht ..
((2*m-1)^2-1)/4 scheint immer ganzzahlig. Warum das denn ? Sogar geradzahlig. kratz kratz.
ciao
Hallo richy,
so ganz blicke ich das noch nicht ..
((2*m-1)^2-1)/4 scheint immer ganzzahlig. Warum das denn ? Sogar geradzahlig. kratz kratz.
löse einmal die enthaltene binomische Formel auf (s.o.) - Dann kommt raus:
((2*m-1)^2-1)/4 = m² - m
Danke :-)
Habs eben auch grad bemerkt :-)
Und daher ist (1+4*a) immer eine Quadratzahl wenn gilt a=m^2-m denn
1+4*a=4*m^2-m+1=(2*m-1)^2
Das sind die Quadrate ungerader Zahlen.
(Gibt es eine Ausgangsgleichung fuer gerade Zahlen ?)
EDIT HAT SICH ERLEDIGT
Aehem.... vielleicht kannst du mir jetzt auch erklaeren wie wir da drauf gekommen sind ?
Fuer welche ganzahligen a ist 1+4*a immer eine Quadratzahl ?
Ohne das Aussenrum wuerde ich nicht gleich auf a=m^2-m kommen
Schreibt sich nun auch schoener :
allgemein :
f(0):=1;f(1):=m;
f(k) = f(k-1)+(m^2-m)*f(k-2)
f(k)=m^k
Aehem.... vielleicht kannst du mir jetzt auch erklären wie wir da drauf gekommen sind ?
Gerne: Du hattest eine Frage gestellt und ich habe Dir geantwortet.
Ich meinte eher wie sich die ganze Loesung jetzt ergab. Ich hab naemlich den roten Faden verloren.
Anders gefragt. Wie wuerdest du folgende Aufgabe loesen :
Gegeben ist die Gleichung
1+a/s-s=0
Fuer welche ganzzahligen Werte von a ergeben sich ganzzahlige positive Werte der Loesung s ?
Ui ich Seggel, jetzt sehe ich es selber.
Das mit den Quadratzahlen kriegt man dann als kostenlose Zugabe.
Will ich dennoch nochmal mit ner anderen Methode probieren.
Die DZGL funktioniert im Grunde voellig billig.
f(0):=1;f(1):=m;
f(k) = f(k-1)+(m^2-m)*f(k-2)
f(k)=m^k
Man kennt den aktuellen und vorherigen Wert.
Mit dem vorherigen Wert fuehrt man zwei Operationen durch (m^2-m):
ueber den Term -m loescht man den aktuellen Wert
ueber den Term m^2 erzeugt man den neuen aktuellen Wert
Thats all
Nur wie komme ich jetzt auf f(n)=(2^k)-1 (Mersenne Primzahlen) statt f(n)=(2^k)
Ich versuchs mal :
Im aktuellen Wert steht 2^k-1
im vorherigen Wert steht 2^(k-1)-1
Aus dem moechte ich alle Operationen durchfuehren :
aktuellen Wert loeschen :
-2* (2^(k-1)-1)= -2^(k)+2. Da hab ich eine eins zu viel
neuen Wert hinzufuegen :
2*2*(2^(k-1)-1)=2^(k+1)-4. Da hab ich 3 zu wenig
eins minus drei hmmmm MOMENT ich starte mal MAPLE :D
1-3=-2, ja genau das dachte ich mir
Ich muss also 2 wieder dazuzaehlen
Die Anfangswerte noch anpassen :
f(0):=0;f(1):=1;
f(k+1) = f(k)+(4-2)*f(k-1)+2
******************
f(n)=2^k-1
*********
Traerae die Mersenne Primzahlen ueber die Fib DZGL dargestellt !
Die Saetze
Ist Fib(n) eine Primzahl, so ist n eine Primzahl sowie
Ist 2^n-1 eine Primzahl, so ist n eine Primzahl
basieren somit sicherlich auf dem selben oder aehnlichen Prinzip.
Und man koennte fuer beide Saetze die Beweismethoden vertauschen.
fib(k+1)*[ln(b)+fib(k)/fib(k+1)*ln(a)]/[fib(k)*[ln(b)+fib(k-1)/fib(k)*ln(a)]]=
g*[ln(b)+ln(a)/g][ln(b)+ln(a)/g]
=g=0.5*(1+Wurzel(5))
****************
Hallo Richy,
was steht für den Buchstaben "g" in der Gleichung
g=0.5*(1+Wurzel(5)) ?
M.f.G. Eugen Bauhof
P.S.
Deine Herleitungen erinnern mich an meine Verzweiflung, wenn ich in Mathematik-Bücher reinsehe, die zu hoch für mich sind und der Autor kündigt eine Herleitung an mit den Worten:
Wie man leicht sieht...
Ich habe zwar auch Interesse an mathematischen Spielereien, aber meine Mathematik-Ausbildung an der Ingenieurschule liegt rund 45 Jahre zurück. Also Nachsicht...
Hi Bauhof
Was steht für den Buchstaben "g" in der Gleichung
Das ist phi, ich schreibe vereinfacht meist g. Das ist die boese Zahl der Esoteriker Bildhauer Maler Musiker Dichter .... :D
Und natuerlich meine Lieblingszahl : Der goldene Schnitt phi=1.618033989..
(Bilde davon mal den Kehrwert und betrachte die Nachkommastellen :-) Daraus habe ich ein Schnellkriterium fuer die Identifikation irrationaler Zahlen hergeleitet. (Nur hinreichend nicht notwendig)
phi ist Loesung der quadratischen Gleichung Gleichung 1+1/s-s=0
Ich merke mir die GL in der Form, weil das der Attraktor folgender DZGL ist :
f[k+1]=1+1/f[k] (Die DZGL ist uebrigends weniger bekannt )
Wenn du diese Iteration als verkettete Funktion anschreibst, Also fuer f[k] immer wieder die rechte Seite einsetzt, was ja so eine Iteration aussagt ...dann ist Phi der spezielle Kettenbruch [1,1,1,1,1,1...]
http://upload.wikimedia.org/math/5/e/c/5ec9e81a45182c04df3560660b6a9449.png
http://de.wikipedia.org/wiki/Kettenbruch
und darueber laesst sich zeigen, dass phi die als Bruch am schwersten approximierbare und daher "irrationalste" aller Zahlen ist.
Das hat ganz konkrete physikalische Auswirkungen. So findet sich phi nicht nur in platonischen Koerpern sondern auch in Verhaeltnissen im Sonnensystem. phi ist ein Antiresonator und nur daher kann unser Sonnensystem ueberhaupt stabil sein.
Phi kommt neben Pi auch als einzigste mathematische Konstante in der Heim Theorie vor.
Eine der wichtigsten Eigenschaften duerfte sein :
Satz1
Teilt man zwei aufeinanderfolgende Fibonaccizahlen,
y[0]=1,y[1]=1,
y[k+1]=y[k]+y[k-1] so konvergiert der Bruch fuer k->00 gegen phi.
Das ist der selbe Bruch der s[k+1]=1+1/s[k], s[0]=1 oder der Kettenbruch von phi erzeugt.
Substitution
Das siehst du am elegantesten wenn du fuer s(k)=y(k+1)/y(k) substituerst. Darauf beruhen meine ganzen Ueberlegungen hier.
Der erste Thread erscheitkompliziert benutzt aber nur Satz 1 und die Substitution.
(1+1/s = (s+1)/s =1/s/(s+1) ist der Kehrwert der alternierenden Reihe s-s^2+s^3-s^4+s^5 ... Man koennte phi auch so noch verkettet darstellen.)
Man koente natuerlich hunderte Buecher ueber das Thema schreiben.
oder zeichnen :rolleyes:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/22/Da_Vinci_Vitruve_Luc_Viatour.jpg/180px-Da_Vinci_Vitruve_Luc_Viatour.jpg
[
Ich habe zwar auch Interesse an mathematischen Spielereien, aber meine Mathematik-Ausbildung an der Ingenieurschule liegt rund 45 Jahre zurück. Also Nachsicht...
Bin auch "nur" Ingenieur.
Na immerhin hattest du den entscheidenden Tipp mit der Summe(1/primzahl). Hatte ich nicht mehr im Kopf. Und ohne den Tipp wuesste Timm immer noch nicht ob sein Produkt divergiert.
Was ich jetzt noch Vorhabe :
Ist Fib(n) eine Primzahl, so ist n eine Primzahl sowie
Ist 2^n-1 eine Primzahl, so ist n eine Primzahl
Beide Beweise versuchen Nachzuvollziehen.
Hast du den mit den Mersenne Pimzahlen in etwa parat ? Oder ne verstaendliche Quelle.
Dann wuerde ich gerne noch paar frac() Gesetze herleiten.
frac() = Nachkommastellen einer Zahl.
Vielleicht ergibt sich auch etwas voellig anderes.
ciao
War der schnellste in Malreihen aufsagen, kein Wunder ich hatte die komplett im Kopf
He he. Bei mir grad das Gegenteil. Gedaechtnis wie ein Sieb. Oder merke mir immer das Unwichtige.
Geschichte das Horrorfach.
Wann und wo wurde Otto der 12 te zum Koenig gekroent ? Meine Antworten in der Pruefung :
zu wo :
Im Hauptsaal eines Domes auf einem Thron.
zu wann :
Im Rahmen einer feierlichen kirchlichen Veranstaltung.
Gab sogar nen halben Punkt !
Ich meine die Antworten waren ja richtig. Die Frragen waren gluecklicherweise nicht exakt..
In der Grundschule hatten meine Erinnerungsluecken noch Vorteile. Wenn der Pfarrer im Reliunterricht fragte ob man denn am So in der Kirche war. Da konnte mich meist an letzten So nicht mehr so richtig erinnern. War ich denn dort ?
Mensch was war denn da ? Ja es gab eine Predigt ! Ach so von was die handelte ? Ich glaube es ging um Schafe.
Irgendwann hat er mich dann der Pfarrer vor der Befragung verschont.
Otto der 12., den gab es nie!
Na kein Wunder wie sollte ich dann wissen wann so ein Phantom zum Koenig gekuert wird !:D
Ausserdem sah die Geschichtslehrerin wirklich top aus. Wenigstens etwas Positives an dem Unterricht, das mich fachlich aber nicht weitergebracht hat. Im Gegenteil die Zahlendreher nahmen durch diese Ablenkung eher zu.
Und diese Typen in ihren Gewaendern mit ihren Peruecken und Staeben im Geschichtsbuch ...Mit solchen Schwuchteln gibt sich ein 17 jaehriger doch nicht ab. ( Lange her )
Die hier ist breiter als hoch :
http://home.arcor.de/richardon/2009/carlota.jpg
Ist das ne Dia Leinwand ? *fg
Dazu staendig Tafeln mit hunderten von Pfeilen. Andauernd sind Voelker durch die Gegen gewandert. Von Ost nach West. Sued nach Ost. Wieder zureuck.
http://home.arcor.de/richardon/2009/vw.jpg
Die Asterix Baende waren da sehr viel lehrreicher.
Mich haette interessiert wie die Leute damals gelebt haben. Nicht deren Politik und Kriege.
Was ich jetzt noch Vorhabe :
Ist Fib(n) eine Primzahl, so ist n eine Primzahl sowie
Ist 2^n-1 eine Primzahl, so ist n eine Primzahl
Beide Beweise versuchen Nachzuvollziehen.
Hast du den mit den Mersenne Pimzahlen in etwa parat ? Oder ne verstaendliche Quelle.
Hallo Richy,
ja da habe ich Quellen. Ich suche sie dir morgen heraus. Denn für Nachtarbeit bin ich schon ein bischen zu alt. Sonst ergeht es mir so wie EMI mit seinem "Herzkasper"...
M.f.G. Eugen Bauhof
Ok dann lass ich das auch mal bis morgen ruhen.
Koennte durchaus interessant werden.
ciao
Naja, eigentlich wollte ich mich mit der Primzahlgeschichte nicht mehr infizieren.
Fuer einen Schnelleinstieg eignet sich uebrigends das Video hier von Prof. Terence Tao
http://www.youtube.com/watch?v=PtsrAw1LR3E
Allerdings sollte man dazu schnelles englisch verstehen (Kopfhoerer)
zu Tao
http://de.wikipedia.org/wiki/Terence_Tao
Die groesste bekannte Primzahl :
Die jetzt größte Primzahl heißt mathematisch 2 hoch 30 402 457 minus 1. Cooper und Boone hatten sie mit Hilfe von 700 Computern entdeckt. Sie ist inzwischen von einem Forschungszentrum im französischen Grenoble bestätigt worden. Die Entdeckung hätte auf einem einzelnen durchschnittlichen PC rund 4500 Jahre benötigt, betont das Primzahlenprojekt Gimps. In seinem weltweiten "PrimeNet" suchen daher 70.000 Rechner gemeinsam nach neuen Primzahlen.
Die beiden Amerikaner verpassen mit ihrem neuen Rekord nur knapp das von der Electronic Frontier Foundation ausgelobte Preisgeld von 100.000 Dollar (84 613 Euro) für die erste Primzahl mit mehr als zehn Millionen Stellen. Die neue Primzahl ist erst die 43. entdeckte so genannte Mersenne-Primzahl.
http://www.stern.de/wissen/natur/neue-rekord-primzahl-2-hoch-30402457-minus-1-552436.html
Oha 100.000 Dollar Preisgeld stehen noch offen :-)
fib(233)=
2211236406303914545699412969744873993387956988653 ist keine Primzahl.
Wieviele Stellen haette fib(2211236406303914545699412969744873993387956988 653) in etwa ?
http://upload.wikimedia.org/math/0/1/3/013a27fe134fb845e2edde86f60af170.png
Das ist etwa 1.618^n/2.24
Eine Fibonaccizahl Fib(n) hat etwa
log10(1.618^n/2.24) (Die 2.24 kann man sich sparen ...)
n*log10(1.618) =n*0.21 Ziffern
13*0.21 = 2.73 [233]
fib(13)*0.21=233*0.21 =48.93 [2211236406303914545699412969744873993387956988653]
fib(fib(13)) hat 49 Ziffern falls ich mich nicht verzaehlt habe. Die Naeherung der Anzahl Ziffern passt also.
fib(fib(233))*0.21=hat etwa 0.5*10^48 Ziffern !
Etwa Wurzel(Anzahl) der Atome im Universum.
Diese Zahl fib(fib(fib(13))) nuetzt uns leider nichts. Sie hat etwa "fast" so viele Ziffern ! wie Atome im Universum. Ich habe keinerlei Vorstellung ueber diese Zahl. Aber eines kann man sicher sagen :
fib(2211236406303914545699412969744873993387956988 653) ist keine Primzahl ! :)
Weil fib(fib(13))=2211236406303914545699412969744873993 387956988653 keine Primzahl ist. (Ueber Maple bestimmt)
Aber zwischen 2 und exp(1) gibt es vielleicht noch andere Moeglichkeiten :-)
Daher diese Fib DZGL
Ich meinte eher wie sich die ganze Lösung jetzt ergab.
# O.K. #
Ja, aber mein Interesse betreffs Primzahlen liegt ganz wo anders. Nicht in der Spielerei. Wenn diese auch zweifellos sehr lehrsam und unterhaltend ist. :)
Gruß,
Lambert
Wenn die Primzahlen tatsaechlich die Atome der Zahlen sind, dann gibt es keine ihnen untergeordnete Menge. Dann waere es unmoeglich diese ueber die natuerlichen Zahlen und eine Rechenvorschrift vollstaendig zu beschreiben. Das wuerde ganz deutlich zeigen, dass die Zahlen kein Produkt des menschlichen Geistes sind. Woher kommen die Primzahlen ?
Ich finde das ein spannendes Thema.
Aber es gibt auch rein praktische Aspekte.
Die moderne Verschluesselung basiert auf den Primzahlen. Und das ist natuerlich eine sehr handfeste Anwendung. Ich gehe aber dennoch lieber selbst auf die Bank :-)
Hab grad gesehen, dass der Grundgedanke fuer die Mersenne Primzahlen recht einfach ist.
M=2^n-1
Wenn n zusammengesetzt ist n=m*k
M=2^m*k-1
so laesst sich die allgemeine dritte Binomische Formel anwenden :
http://upload.wikimedia.org/math/e/2/7/e27ad70c779d74e928e125bf3c113769.png
M=(2^m)^k-1^k=(2^m-1)*(2^(k-1)+2^(k-2)....+1)
Damit ist auch M zusammengesetzt.
Beispiel :
2^4-1=15
4^2-1^2=(4-1)*(4+1)=3*5
Was ich jetzt noch Vorhabe :
Ist Fib(n) eine Primzahl, so ist n eine Primzahl sowie
Ist 2^n-1 eine Primzahl, so ist n eine Primzahl
Beide Beweise versuchen Nachzuvollziehen.
Hast du den mit den Mersenne Pimzahlen in etwa parat ? Oder ne verstaendliche Quelle.
ciao
Hallo Richy,
die Mersenne Primzahlen sind lückenhaft, welchen Beweis meinst Du? Vermutet wird, daß es unendlich viele Mersenne Primzahlen gibt. Dieser Beweis steht aber aus.
Gut nachvollziebar ist Deine fettgedruckte Aussage, so ist die Mersenne Zahl ja definiert,
Gruß, Timm
Hi Timm
die Mersenne Primzahlen sind lückenhaft,
Ist M(p) eine Primzahl, so ist p prim. Aber die Umkehrung folgt daraus nicht zwingend.
welchen Beweis meinst Du? Vermutet wird, daß es unendlich viele Mersenne Primzahlen gibt. Dieser Beweis steht aber aus.
Alle Beweise, Zusammenhaenge die man ueber Mersenne und Fibonacci finden kann.
Alleine schon das Argument ueber zusammengesetzte Zahlen, dritte binomische Formel s.o. Das zieht bei den Fib Zahlen nicht direkt, da der goldene Schnitt keine ganze Zahl ist.
Formel von Binet :Fib(n)=(PHI^n-phi^n)/sqrt(5)
(Sehe gerade, Fib muesste langsamer wachsen als Mersenne !)
Ansonsten sieht man auch hier die Verwandtschaft :
mit phi=1-PHI, phi ist also negativ.
1) PHI^n-phi^n
2) 2^n-1^n
Wende ich dir dritte binomische Formel auf 1) an, so kann ich kein Beweis fuehren wie bei Mersenne. Es ergibt sich eine Summe von Potenzen des goldenen Schnittes mal einer Fib Zahl. Da ich auf anderem Weg zeigen kann, dass die Zahl zusammengesetzt sein muss, muss die Summe ganzzahlig sein.
sum((P**k)^(M-n)*(p**k)^n,n=0..M-1)
So habe ich einen neuen Zusammenhang fuer PHI gefunden, angeregt durch Mersenne.
Zum Beispiel kann ich nun die Fib zahlen selbst als eine Summe von PHI Potenzen darstellen :
Fib(M)=sum(P^(M-n)*p^n,n=0..M-1)
Das Gegenstueck zu Mersenne fuer Fib laeuft ueber eine Argumentation mit dem mod Operator.
BTW: Ein Gesetz fuer Fib(a*b) habe ich bisher ueber Googel nicht gefunden. Lediglich fuer Fib(a+b)
GL ADD:
http://upload.wikimedia.org/math/b/f/5/bf52cf8954d25e0ee1f7dbe1980adc96.png
Ich hab ich Forum auch mal vergeblich versucht eine Fib Reihentransformation herzuleiten. Dazu haette ich auch eine neue Idee. Man muesste Fib mod n betrachten !
http://www.ijon.de/mathe/fibonacci/formeln/img263.png
Die Gleichunge gelten fuer Fib mod n und Perioden von n
Und ich meine diese Spektrum Betrachtung gibt es schon. Meine Idee damals war kein Quatsch.
Ich betrachte gerne solche Verwandtschaften.
ZWEI und PHI sind ueber die Primzahlen verwandt. Ebenfalls 1-PHI=-1/PHI und die Zahl EINS.
Gruesse
Mit Gleichung ADD kann ich auch mal fib(fib(k)) versuchen zu erfassen :
y[k]=y[k-1]+y[k-2]
Auf beiden Seiten den Fib Operator :
FIB(y[k])=FIB(y[k-1]+y[k-2])
FIB(y[k])=FIB(y[k-1]+1)*FIB(y[k-2]) + FIB(y[k-1])*FIB(y[k-2]-1)
... das fuehrt gerade aber zu weit.
Ich will erstmal den mod Beweis nachvollziehen.
Allerdings nach den Gigs am Wochenende
Ist 2^n-1 eine Primzahl, so ist n eine Primzahl. Beide Beweise versuchen Nachzuvollziehen. Hast du den mit den Mersenne Pimzahlen in etwa parat ? Oder ne verstaendliche Quelle.
Hallo Richy,
wie ich aus deinen zahlreichen Folgebeiträge sehen kannn, ist dein Wissen über die Mersenne-Primzahlen viel größer als mein Wissen. Damit ich nicht etwas für dich an Quellen hersuche, was du schon längst kennst, schildere mir doch ein (und nur ein! :) ) Problem übert die Mersenne-Pimzahlen, das du noch nicht gelöst hast. Vielleicht kann ich dir anhand meiner Quellen weiterhelfen.
Wie definierts du genau die Menge der Mersenne-Primzahlen?
Folgende Defintion erscheint mir verständlich: Nur dann, wenn in Gleichung (1) die natürliche Zahl n eine Primzahl ist, dann ist die natürliche Zahl n eine Mersenne-Primzahl:
(1) n = 2^p - 1
n = Mögliche Mersenne-Primzahl
p = Primzahl 2, 3, 5, 7, 11,...
Stimmen wir da in der Definition überein? Oder definierst du sie anders?
M.f.G. Eugen Bauhof
H Bauhof
So viel weiss ich ueber die Mersenne Primzahlen nicht.
Ich konnte mit dieser Summe die auch bei Wiki als Begruendung angegeben wird bisher nichts anfangen. Da habe ich gestern nochmals intensiver nachgeschaut. Das folgt aus der allgemeinen dritten binomischen Formel. (Ueber zwei verschobene Summen)
Der Beweis bei den Fib Zahlen verlauft wie erwaehnst anders :
http://www.thorstenreinecke.de/information/fibonacci/node6.html#SECTION00061000000000000000
Ein induktiver Beweis ueber den mod Operator. Raffiniert.
BTW: Er erwaehnt dass er Fib(a*b) so leider nicht herleiten kann. Scheint ein groesseres Problem zu sein.
Hier ist jemand die formelle Aehnlichkeit zwischen Fib und Mersenne auch schon aufgefallen :
http://de.wikipedia.org/wiki/Benutzer:Helmut_Rasinger
Folgende Defintion erscheint mir verständlich: Nur dann, wenn in Gleichung (1) die natürliche Zahl n eine Primzahl ist, dann ist die natürliche Zahl n eine Mersenne-Primzahl:
(1) n = 2^p - 1
n = Mögliche Mersenne-Primzahl
p = Primzahl 2, 3, 5, 7, 11,...
Stimmen wir da in der Definition überein? Oder definierst du sie anders?
Ja, die Definition ist zutreffend. Denn waere p in dem Fall zusammengesetzt koennte M(p) keine Primzahl sein .
Wegen der Zweierpotenz gilt auch :
Eine Mersenne Primzahl weist in binarer Darstellung nur Einsen auf, denn 2^n weist nur eine Eins auf.
Wie ist deine Einschaetzung zu folgender Frage :
M(n)= 2^n-1
Wenn n =(a*b) zusammengesetzt ist kann man schreiben
M(n)= 2^(a*b)-1
Und fuer (2^a)^b oder (2^b)^a die dritte allgemeine binomische Formel anwenden.
Daraus muesste doch folgen dass 2^(a*b)-1 sowohl durch (2^a -1) als auch durch (2^b -1) teilbar ist.
Es ist doch willkuerlich wie ich die Exponenten a,b anordne.
Stimmt das ?
EDIT : FOLGENDES IST NUR EINE VERMUTUNG
Dann muesste auch gelten Fib(a*b)=Fib(a)*Fib(b)*k, k=ganze Zahl
Wobei ich fuer k eine Summendarstellung kenne.
Beispiel in dem es passt :
fibonacci(5*7)/fibonacci(5)=1845493
fibonacci(5*7)/fibonacci(7)=709805
fibonacci(5*7)/fibonacci(5)/fibonacci(7)=141961
fibonacci(10*6)/fibonacci(10)/fibonacci(6)=3518201718
fibonacci(10*11)/fibonacci(10)/fibonacci(11)=8900260727038783399
DAS FATALE FUER DEN SPAETEREN VERLAUF:
DIE VERMUTUNG TRIFFT FUER DEN GOLDENEN SCHNITT ALS BASIS RECHT OFT ZU !
Hier gibt es eine Gleichug fuer Fib(a*b) die dies aber nicht direkt bestatigt :
http://www.thorstenreinecke.de/information/fibonacci/node10.html#SECTION000102000000000000000
Hi ! Sollte man sich wieder einschalten ?
Letztlich sind Bausteine auf dem Wege , die nicht zum Erfolg
führen vielleicht kontraproduktiv.
Richy sollte veröffentlichen , die einzig sichere Methode ,
Beachtung zu finden.
Jedenfalls hat sich Richy sehr intensiv mit Fibonacci beschäftigt.
Ich erinnere mal an einen alten Beitrag über Begleitzahlen. So hat
2 exp n , n natürliche Zahl die nat. Zahl 3 als > Begleitzahl<
So werden für alle ungeraden Exponenten die Folgezahl (2 hoch n )+ 1
und für alle geraden n , der Vorläufer durch 3 geteilt. (2 hoch n ) -1
MfG regeli :eek:
Wie ist deine Einschaetzung zu folgender Frage :
M(n)= 2^n-1
Wenn n =(a*b) zusammengesetzt ist kann man schreiben
M(n)= 2^(a*b)-1
Und fuer (2^a)^b oder (2^b)^a die dritte allgemeine binomische Formel anwenden.
Daraus muesste doch folgen dass 2^(a*b)-1 sowohl durch (2^a -1) als auch durch (2^b -1) teilbar ist.
Es ist doch willkuerlich wie ich die Exponenten a,b anordne.
Stimmt das ?
Hallo Richy,
scheint zu stimmen, denn ich habe kein Gegenbeispiel gefunden.
Bei deinen Fibonacci-Überlegungen kann ich leider nicht mitdiskutieren, denn mit den Fibonacci-Zahlen habe ich mich kaum beschäftigt. Ich kenne bei diesem Thema nur den geschlossenen Ausdruck für die n-te Fibonacci-Zahl, mehr nicht. Aber diesen Ausdruck kennst du sicherlich auch schon.
Nur mit Primzahlen habe ich mich (vor längere Zeit) etwas beschäftigt. Da berechnete ich mal für einen Amateur-Mathematiker mit Hilfe eines Fortran-Programms etwas, das er dann auf seiner Homepage dargestellt hat. Falls es dich interessiert, dann siehe hier:
http://www.c-eagle.com/index.php?content=primzahlzwillinge2
Mit freundlichen Grüßen
Eugen Bauhof
Hi ! Obwohl der Beitrag nicht direkt an mich gerichtet ist,
ging es wohl um prime und nichtprime Exponenten. Hier wohl
zur Basis 2.
Begleitzahlen könnten verschiedene Zahlen sein , die einen
Vorgang begleiten. Hier sind es Teiler der Nachbarn von aufsteigenden
Potenzen . Mit n ---> aufsteigend gegen unendlich.( zur Basis a)
Nehmen wir mal 2^6 (2 hoch 6)
So sollten die Nachbarn teilbar sein durch die Nachbarn von 2^2 und 2^3
Diese werden normal im Zahlenstrahl festgestellt.
Diese sind 3 und 5 , da 2 hoch 2 =4 ist und analog dazu 7 und 9 da die
dritte Potenz 8 ist.
Also muß diese Teilerschar bei 2 hoch 6 = 64 auftauchen.
9x7 = 63 und der Teiler von 65 ist die 5. Die hier neu aufgenommene 13 wird
nicht wieder abgegeben , sondern erscheint wieder bei 2^12.
So müssen die Zahlen 31 und 33 die 2^5 = 32 flankieren ,wieder als
Teiler bei 2 ^ 10 (als Teiler einer Nachbarzahl )erscheinen.
Wichtig ist, dass der Exponent im Exponentenprodukt eines höheren n
erscheint. regeli
Ich hab das mal früher hier veröffentlicht , vor der Umgestaltung des
Forums.
Es ist eine allgemeingültige Eigenschaft , auch für andere a Basis mit
a natürliche Zahl.
Gruss regeli :D :cool:
Hi regeli
Berechnungen die ich fuer besonders interessant halte stelle ich auf meine Homepage. Abgesehen von der Loesung der logistischen Gleichung halte ich dort sicherlich auch Dinge fest, die nichts Neues sind. Das reicht mir als Veroeffentlichung. Jeder der interesse am Thema hat kann es lesen.
Man muss sich stets vor Augen halten wie lange die Menschen sich schon mit den Prim und Fibonaccizahlen beschaeftigen. Nicht nur Amateure. Lediglich die Zipf Verteilung der Primfaktoren der Fib Zahlen koennte vielleicht wenigstens ein neuer Aspekt sein.
@Bauhof
Hab mir das noch einmal ueberlegt.
Meine Annahme, dass beide Faktoren, die die dritte binomische voraussagt, Faktoren des Ausdrucks 2^n-1 sind muss zutreffen.
Denn die Faktorisierung besagt nicht dass dies Faktoren sein koennen sonder sein muessen. Also muessen beide Varianten Teiler der Zahl sein.
Ich kenne bei diesem Thema nur den geschlossenen Ausdruck für die n-te Fibonacci-Zahl, mehr nicht. Aber diesen Ausdruck kennst du sicherlich auch schon.
Das ist die Form von Moivre Binet. An der siehst du die Verwandtschaft zu den Mersenne Zahlen.
Und noch deutlicher ueber die "Mersenne Differenzengleichung" die ich hergeleitet habe.
y(k+2)=y(k+1)+2*y(k)+2
Dies DZGL hat die Loesung y(k)=2^k-1
@regeli
"Begleitzahlen" ist sicherlich ein von dir gepraegtes Kunstwort. Nachbarn von Potenzen bedeutet B^n -1 und B^n +1. Vermutlich folgen deine Beobachtungen aus der dritten binomischen Formel. Jedenfalls fuer den Vorgaenger. Ebenso fuer den Nachfolger wenn man beachtet dass fuer den Ausdruch B^n+1 gilt :
B^n+1=B^n-(-1)^n fuer ungerade n
Kannst du das hier kurz nachvollziehen ? Und dann angeben welche Zusamenhaege NICHT aus der verallgemeinerten dritten binomischen Formel folgen ?
Beispiel:
So werden für alle ungeraden Exponenten
a) die Folgezahl (2 hoch n )+ 1
b) und für alle geraden n , der Vorläufer durch 3 geteilt. (2 hoch n ) -1
b) Ist n gerade, so kann man schreiben n=2*m
2^n-1 = 2^(2*m) -1 = (binomische Formel)
(2^2-1^2)*ganzzahliges Restpolynom =
3*ganzzahliges Restpolynom
Deine Vermutung ist somit richtig, aber nicht geradezu sensationell.
Man kann sofort fuer eine beliebige Basis B angeben:
Fuer alle geraden Exponenten n ist (B^2-1) ein Teiler der Zahl B^n-1
************************************************** *
Aussage a) ist etwas unhandlicher :
Bei Wiki ist eine Faktorisierung fuer (B1^n+B2^n) fuer ungerade n in der Form (B1+B2)*ganzahliges Restpolynom angegeben.
http://de.wikipedia.org/wiki/Binomische_Formel
Damit ist erklaert dass (2^n+1) fuer ungerade n durch (2+1) teilbar ist.
Wie bist du auf diese Zusammenhaenge gekommen ? Auch ueber Faktorisierung ?
Rein interessehalber nochmal zum Ausdruck Fib(a*b) den man auch ueber die Formel von Moivre Binet anschreiben kann.
Wendet man hier die dritte binomische Formel an, so sieht man, dass sowohl Fib(a) als auch Fib(b) Teiler von Fib(a*b) sind.
EDIT :
FOLGENDES IST EIN TRUGSCHLUSS !
Daher ist auch Fib(a)*Fib(b) ein Teiler. Fib(a*b) hat die Form Fib(a)*fib(b)*G, wobei G eine ganze Zahl ist.
ES FOLGT NICHT DASS AUCH DAS PRODUKT EIN TEILER IST.
DAS FATALE : DER TRUGSCHLUSS IST BEI DEN FIBONACCIZAHLEN DENNOCH OFT GUELTIG !
Es waere interessant zu bestimmen ob es ene relativ einfache Form fuer G gibt.
EDIT
SIEHE ANMERKUNG OBEN. DENNOCH IST DAS BEISPIEL RICHTIG
Mal als Beispiel :
Fib(3*5)=610
Fib(3)=2
Fib(5)=5
610 ist durch 2*5 teilbar
Fib(3*5)=Fib(3)*Fib(5)*61
61 waere der Wert des Restpolynoms, das ich analytisch erfassen moechte. Prinzipiell laesst sich dies ueber die 3 te binomische Formel erreichen :
Fib(a*b)*Fib(a)*Restpolynom_a*Fib(b)/Fib(b)
Restploynom_ab=Restpolynom_a/Fib(b)
Restpolynom_a=61*5=305
Restpolynom_b=61*2=122
http://upload.wikimedia.org/math/e/2/7/e27ad70c779d74e928e125bf3c113769.png
Die entsprechende Summe in Maple waere :
P=goldener Schnitt
p=1-P oder -1/P
> a:=3;b:=5;
A)
> (sum((P**a)^(b-n-1)*(p**a)^n,n=0..b-1));
oder vereinfacht :
B)
> ( (P**a)**(b-1)*sum((p**a)^n/(P**a)^n,n=0..b-1));
passt beides
Vereinfachungen :
(P**a)^(b-1)=P^(a*b-a)
In der Summe von B laesst sich ausnuetzen das gilt p=-1/P
und man erhaelt vereinfacht
Summe( (-1/P^2)^(a*n),n=0..b-1 )
Das ist schonmal ein schoenes Ergebnis :
Fib(a*b)=Fib(a)*P^(a*b-a)*Summe( (-1/P^2)^(a*n),n=0..b-1 )
************************************************
In P^(a*b-a)*Summe( (-1/P^2)^(a*n),n=0..b-1 ) muss der Teiler Fib(b) enthalten sein.
Die naechste Aufgabe waere somit
P^(a*b-a)*Summe( (-1/P^2)^(a*n),n=0..b-1 ) / Fib(b) zu vereinfachen
Wobei man die Summe geschlossen angeben kann :
Summe( (-1/P^2)^(a*n),n=0..b-1 )=[(-1/P^2)^(a*b)-1]/[(-1/P^2)^(a)-1]
Fib(a*b)=Fib(a)*P^(a*b-a)*[(-1/P^2)^(a*b)-1]/[(-1/P^2)^(a)-1]
**************************************************
Hi ! Muss zugeben , dass in der Schnelle nicht zu durchschauen , weil
ich hatte jetzt immer Probleme. Nach meiner Meinung gibt es einen
math.Satz , der vielleicht mehr Klarheit bringt.
Zuerst will ich nochmals meine Sache darstellen.
Für a hoch n wird für n eine Primteilerprodukt angenommen, Gegenbeispiel
wäre n ist prim.
Da n Primteilerprodukt wird nach dem Gesetz des Potenzierens , so gibt es mehrere
Darstellungen einer solchen Potenz, mehrere darstellbare Potenzen zu a .
Beispiel
Für 64 gibt es z.B. 4 ^3 mit 4= 2² Die Nachbarn sind hier 3 und 5. Diese Zahlen sind im Zahlenstrahl
neben der 4.
Für ungerade nat.Zahlen ( auch Primzahlen ) als Exponent gilt der untere
Teiler teilt unten und der obere teilt oben.
die 3 teilt 64 -1 und die 5 teilt 64 +1.
Die andere mögliche Darstellung ist 8² mit 8 = 2³ = 64
7 und 9 sind die Nachbarn von 8 und bei geradem Exponenten teilen beide unten bei 64 ist das nach der 3.Binomischen Formel 64-1 , das geteilt wird. (8+1)x(8-1)
Unten teilt unten ( Vorläufer teilt Vorläufer ) Oben teilt oben bei ungeradem
Exponenten und unten bei ungeradem Exponenten.
In dem Fall hier sind die Teiler richtig platziert und es ist erklärt , wie es
geht. Man muss wohl etwas üben.
Für den Fall dass der Exponent eine Primzahl ist ,schreibe ich noch etwas.
Gruss regeli :D :cool:
Bischen weiter bin ich gekommen.
Hier das Ergebnis :
http://home.arcor.de/richardon/2009/fibAB.gif
P=goldener Schnitt
Die drei Klammerausdruecke konvergieren fuer grosse a,b,gegen -1, so dass man auch naeherungsweise anschreiben kann:
Fib(a*b) etwa fib(a)*fib(b)*PHI^(a*b-a-b+1)*(PHI^2+1)/(PHI^2)
Fib(a*b) etwa fib(a)*fib(b)*PHI^(a*b-a-b+1)*(PHI+2)/(PHI+1)
Hi ! Wahnsinnstolle Formel , vorallem der Näherungstrick
an und mit dem Grenzwert. :D
Da fühlt man sich mit seinen einfachen Zahlenspielereien doch
etwas zu einfach aufgestellt.
Trotzdem noch eine kl. Fortsetzung , weil man ja nie weiß....
Man kann also z. B . die Zahl 64 durch verschiedene Potenzen
darstellen.
2^6 ,4^3 , 8 ^2 .
Die Basiswert 2,4,8 haben die Vorgänger 1,3,7 und die Nachfolger
3,5,9
Diese Vorgängerzahlen und Nachfolger teilen
die Nachbarn des Zahlenwertes der Potenz 64.
Dabei gelten zwei Regeln. Die Vorgänger der Basiswerte (1,3,7) teilen (Vorgänger teilen immer nur den Vorgänger)
den Vorgänger des Potenzwertes 64-1 (63) unabhängig davon ,ob der Exponent geradzahlig oder ungeradzahlig ist.
Die Nachfolger (3,5,9) teilen abhängig vom Exponenten entweder
die Vorgängerzahl der Potenz , bei geradzahligem Exponenten , oder
den Nachfolger bei ungeradem Exponenten.
Ist der Exponent primzahlig , so liegt ein ungerader Exponent vor.
Ist der Exponent primzahlig , so hat die Potenz nur eine Basis , ( Man kann die Ptenz nicht auf mehrere
Arten darstellen) Für Mehrfachdarstellungen ist die zerlegbarkeit des Exponenten in Primfaktoren
Voraussetzung.
Hier in der Diskussion
hatten wir ja die 2 als Basis , wegen Mersenne.
Die 2 hat den Vorgänger 1 und den Nachfolger 3.
Der Nachfolger 3 teilt die Folgezahl der Potenz ( des Zahlenwertes der
Potenz) Die Zahl 1 teilt den Vorgänger . Die 1 schränkt den Vorgänger-
wert der Potenz nicht ein. Verbietet den primen Charakter der Vorgänger-
zahl der Potenz nicht.
Da das Gesetz für alle a (Basiszahl) gilt , kann man eigentlich nur
sagen ob eine Teilbarkeitsaussage vorliegt oder keine Aussage gemacht
werden kann. Und wenn ja , so kann man Teiler angeben , wie in vor-
beschriebener Weise angegeben.
Also an die Primzahlen kommt man da nicht heran. Trotzdem ist es ein universales Zahlengesetz , mit dem ich Teiler auch für sehr große Potenzen
bzw. deren Nachbarn direkt vorherbestimmen kann.
Gruss regeli
Hi regeli
Es ist normal, dass man dem was man so herleitet selbst immer am besten folgen kann. Aber auch nur solange man sich noch intensiv mit dem Thema befasst. Die Ascii Schreibweise ist natuerlich auch sehr unanschaulich. Ich schreibe ganz gerne in Maple Code. Dann kann ich mir die Gleichungen jederzeit wieder in Maple reproduzieren.
Es gibt bereits recht komplizierte Zusammenhaenge fuer Fib(a*b). Zur Erinnerung. Der Ausdruck hat Bedeutung wenn man wie bei den Mersenne Primzahlen die dritte binomische Formel anwenden moechte um die Fibonacci Primzahlen zu begruenden. Das leistet mein Ausdruck leider nicht. P ist darin der goldene Schnitt (1+Wurzel(5)), irrational. Dennoch ist neben fib(a) und fib(b) der restliche Ausdruck ganzzahlig.
Das kann ich nur indirekt beweisen. Es ist ja eher wie ein Wunder :-) (Im Grunde ist die Begruendung einfach. Weil fib(a) und fib(b) Teiler von fib(a*b) sein muessen ! )
Dennoch bin ich zum Teil zufrieden, da in meinem Ausdruck die Zahlen a und b voellig gleichberechtigt sind. Der Ausdruck ist symetrisch. Immerhin.
Nachdem ich nun weiss wie man dieses Zwischenziel einfach erreicht, will ich dies auch nochmal auf die Mersenne Primzahlen anwenden. Da wird die Vorgehensweise wohl am klarsten. Und dann nochmal allgemein fuer x^(a*b)-y^(a*b) herleiten. Der Genaue Zweck ist mir noch unklar. Mal sehen was sich ergibt.
Dein ganzen Zusammenhaenge will ich dann nachvollziehen. Wie kommst du auf diese ? Wahrscheinlich haengen die meisten mit der dritten binomischen Formel zusammen. Hast du einen anderen Weg fuer die Herleitung ? Es waere interessant dies einmal gemeinsam zusammenzustellen.
ciao
Symetrische Darstellung des Mersenne Arguments
*************************************
Wiederholung der uebliche Vorgehensweise :
Man setzt in 2^(n)-1 fuer n eine zusammengesetzte Zahl n=a*b ein :
Mers(a*b)=2^(a*b)-1
Und wendet ein Exponentilagesetz und die dritte allgemeine binomische Formel an, sowie den Sachverhalt : 1^(a*b)=1 :
2^(a*b)-1^(a*b)=(2^a)^b-(1^a)^b
*****************************
ebenso gilt aber auch
2^(a*b)-1^(a*b)=(2^b)^a-(1^b)^a
*****************************
Fuer die dritte binomische Formel kann man aber zunaechst nur einen der beiden Ausdruecke verwenden : Zum Beispiel :
(2^a)^b-(1^a)^b=(2^a-1^a)*Restpolynom_a
***********************************
Mers(a*b)=Mers(a)*Restpolynom_a
Das genuegt als Begruendung, dass die Zahl Mers(a*b) zusammengesetzt ist.
Hier nochmals die allgemeine dritte binomische Formel :
http://upload.wikimedia.org/math/e/2/7/e27ad70c779d74e928e125bf3c113769.png
a ud b wird hier anders verwendet. In unserem Fall gilt :
a=2^a
b=1^a
n=b
Wir koennen somit direkt (in Maple Code zum Testen) anpinseln :
2^(a*b)-1=(2^a-1)*2^(a*(b-1))*sum(1/2^(a*k), k=0..b-1);
**********************************************
passt :-)
Nun ist die Summe eine geometrische Reihe und laesst sich geschlossen Darstellen :
sum(1/2^(a*k), k=0..b-1)=2^a*((1/(2^a))^b-1)/(1-2^a)
(Wobei diesere Vereinfachungsschritt vielleicht kontraproduktiv ist)
Bis jetzt ist das alles nichts Neues.
Der optische Trick
besteht nun darin aus dem Ausdruck 2^(a*(b-1))*sum(1/2^(a*k), k=0..b-1);
den enthaltenen Faktor (2^b-1) zu extrahieren. Das muss ein Faktor dieser Summe sein !
Aber so einfach will dies nicht gelingen :-(
Mers(a*b)=Mers(a)*Rest_a
Mein erster Ansatz ist zunaechst eine Erweiterung um Mers(b)/Mers(b)
Mers(a*b)=Mers(a)*Mers(b) * (Rest_a/Mers(b))
Naja ... das ist noch nicht ganz die angestrebte Symetrie.
Und ich (oder Maple) bekomme (Rest_a/Mers(b)) nicht faktorisiert, so dass man etwas kuerzen koennte. Rest_a/Mers(b) liefert natuerlich in Beispielen den gewuenschten Restfaktor, aber das gefaellt mr so nicht.
Was tun ?
Der eigentliche "Trick" :
************************
Ich stelle Mers(b) so dar, dass es der Form von Rest_a entspricht.
Und das geht ganz einfach denn :
Mers(1*b)=Mers(1)*Rest_1
Und da gilt Mers(1)=1 ergibt sich Rest_1=Mers(b)
Mers(b)=2^(1*(b-1))*sum(1/2^(1*k), k=0..b-1);
Damit haben wir auch kostenlos eine geometrische Reihe der Mesenne Zahlen erhalten. Die wir wie oben auch geschlossen angeben koennen :
Mers(b)=2^(b-1)*(-2*(1/2)^b+2);
Und wenn man dies aufloest, sieht man, dass die ganze Maßnahme eher nur ein optischer Trick ist.
Dennoch laesst sich nun wenigstens der Ausdruck so vereinfachen, dass eine Symetrie vorliegt.
Das schreibe ich im naechsten Beitrag in allgemeiner Form an
ciao
Symetrische allgemeine Form plus Beispiel Mersenne
http://home.arcor.de/richardon/2009/mersenne1.gif
Was passiert wenn man (y/x)^(a*b)-1 genau so nachmals entwickelt ?
Du bist mal wieder so richtig in deinem Element richy, stimmst?
Ja klar. Was denkst du wie ich drauf brenne das (y/x)^(a*b) zu entwickeln. Man sieht doch, dass dann der ganze Nenner gekuerzt wird. Leider gibt es dafuer nen neuen Nenner *fg
Damit sollten(theoretisch) alle Primzahlen auffindbar sein.
Na dann ist schon was faul an der Sache :-)
Die Zahl p ist dann und nur dann eine Primzahl wenn:
1*2*3*...(p-1)+1 , sprich (p-1)!+1 durch p ohne Rest teilbar ist.
Du meinst mit 1*2*3*5...(p-1) = (p-1)! die Primzahlfakultaet auch Primorials genannt ? Offizielles Zeichen p#
Der haben regli und ich schon viele Winterabende gewidmet. :-)
Oder 1*2*3*4*5 ? Die einfache Fakultaet ? Wobei dies 1*(2^3)*3*5 ist,
Sollte ich zunaechst wissen.
Na ja, Du weist ja ich und Mathe, Schwamm drüber.
Kommt mir bei deinen Berechnungen aber nicht so vor .
wenn (p-1)!+1 / (p) ohne Rest teilbar ist, dann ist p ne Primzahl
...
Nagut nehmen wir mal eine etwas groessere Primzahl :
Wobei das Problem ist, dass die Fakultaet natuerlich irre gross wird.
frac((1986!+1)/1987)=0
Da stimmt deine Vermutung also
1987 ist die 300. te Primzahl und mit 4 Ziffern noch recht harmlos.
Von 1986! kann man das weniger behaupten. Denn das ist eine Zahl mit 5690 Stellen. Fuer den Heimgebrauch schon grenzwertig.
Deine Vermutung, die mich natuerlich naeher interessiert erzeugt keine Primzahlen, sondern ist ein Primzahltest.
Das schoene daran.
Man muss nur wenige Operationen durchfuehre. Aber als Beispiel ....
Bei diesem 100 000 $ Wettbewerb wird eine Primzahl mit ueber 10 Millionen Stellen gesucht !
http://www.computerbase.de/news/allgemein/forschung/2005/dezember/neue_rekord-primzahl/
"Deine" Testzahl (10^(10^7)) ! waere da .. hmm.. wie soll man sagen. Recht lang ! :D
Wie koennte man deren Stellenzahl abschaetzen ?
*************************************
Statt der Fakultaet wurde ich vorschlagen die Gamma Funtion zu betrachten. Das ist deren nichtdiskrete Form :
http://de.wikipedia.org/wiki/Gammafunktion
Und hier findet man die Sterling Naeherung fuer Gamma, also der Fakultaet:
http://upload.wikimedia.org/math/e/e/5/ee5e126de1c34b2b18e7f64d9a08da90.png
Fuer die Stellenzahl bilden wir den Log10(Sterling) und wenden die ln Regeln an :
Log10(sterling(x))=log10(2*Pi*x^(x-1/2)*exp(-x));
Testen wir das mal mit 1986!
Log10(sterling(1986))= 5686.4.. das passt.
Mit der Zahl 10^(10^7) kann der Heimwerker PC natuerlich nichts anfangen. log10(sterling(10^(10^7))) laesst sich aber leicht abschaetzen, indem man die ganzen Peanuts vernachlaessigt.
log10(sterling(x)) etwa log10(x^x)=x*log10(x)
Jetzt setzen wir x=10^(10^7) ein
Stellenzahl = 10^(10^7) * 10^7
Die 10 hoch 7 kann man natuerlich auch vergessen.
10^(10 Millionen) Faklulatet ist somit eine Zahl mit 10^(10 Millionen) Stellen !
************************************************** *******
Die Anzahl der Atome in Universum (10^80) ist schon gegen die groesste bekannte Primzahl laeppisch. Deren Fakultaet .....
Aber natuerlich interessiert mich dieser Primzahltest.
Warum besteht der von dir vermutete Zusammenhang ?
Bis dahin(Wiederlegung) sind so alle Primzahlen auffindbar. IMHO.
Das sind sie auch so. Du musst nur auf jede fortlaufende Zahl als einfacheren Primzahltest das Sieb von Eratosthenes anwenden.
Unendlich mal.
Dein Primzahltest koennte aber von theoretischer Natur aus interessant sein.
Beweis fuer deine Vermutung :
(p-1)! +1 ist stets groesser gleich p (Nur als Voraussetzung fuer Teilbarkeit, sonst unwichtig)
Da (p-1)! als Fakultaet bereits alle moeglichen Primteiler enthaelt gilt wegen (richies) Summensatz:
(p-1)! +1 kann keinen Primteiler des Intervalls [2..(p-1)] aufweisen.
Alle Primteiler von (p-1)! +1 sind somit groesser als (p-1)
Der kleinste dieser Primteiler ist p (Falls p ein Teiler ist)
Der kleinste zusammengesetze Teiler ist p^2
Wie kann man deine Aussage anders formulieren ?
Alle Primteiler von (p-1)! +1 sind groesser als (p-1)
Wenn (p-1)! +1 ohne Rest durch p teilbar ist, dann enthaelt (p-1)! +1 den kleinsten moeglichen Primteiler p
Waere der Teiler zusammengesetzt so muesste dieser Teiler groesser p^2 sein.
Dann muesste aber gelten p>=p^2 und das ist nur fuer p=+-1 kein Widerspruch.
Das ist der Widerspruchs Beweis, dass deine Aussage allgemein gueltig ist.
Entscheidend ist der Fett hervorgehobene Satz. Aus dem kannst du dir auch selbst alles weitere herleiten.
Nochmal in einfachen Worten
Man stelle sich die Primfaktorzerlegung von (p-1)! + 1 vor.
Alle Primfaktoren muessen groesser als (p-1) sein. Dass (p-1)! + 1 durch p teilbar ist, kann gerade noch erfuellt werden. (Vorausgesetzt p ist als Primfaktor enthalten.)
Denn p>p-1
Waere p aber keine Primzahl, so waere es das Produkt mindestens zweier der Primfaktoren von (p-1)! + 1.
Das kleinste Uebel waere p^2. Aber selbst dies ist zu gross.
Also kann p hoechstens ein Primfaktor von (p-1)! + 1 sein und nicht ein Produkt mehrerer seiner Primfaktoren.
Zwei Zahlen. Beide groesser gleich p. Deren Produkt soll gleich p sein. Des geht net :-) (Ausser fuer eins)
EDIT: elegantere genauere Verifikation hier :
http://www.quanten.de/forum/showthread.php5?p=61644#post61644
ciao
BTW:
Dass p der kleinste Primteiler sein muss koennte man vielleicht geschickt ausnuetzen.
Dein Test muss auch fuer die Primfakultaet gelten. Diese ist etwas kleiner als die Fakultaet.
So koennte man tatsaechlich rekursiv alle Primzahlen erzeugen. Mit den in vorherigen Beitrag genannten Komplikationen.
Ich meine wenn (p-1)!+1 / p ohne Rest teilbar ist, dann ist p halt ne Primzahl und das gilt bis auf Wiederlegung.
Hallo EMI,
das ist der Primzahlsatz von Wilson und der ist bereits bewiesen:
Ist p eine Primzahl, dann ist [1+(p-1)!] / p eine ganze Zahl.
Anders formuliert:
Die Zahl p ist dann und nur dann eine Primzahl, wenn 1•2•3•4• ... •(p - 1)+1 durch p ohne Rest teilbar ist.
Anders als beim Fermatschen Test ist der Wilsonsche Test notwendig und hinreichend dafür, dass eine Zahl prim ist. Diesen Satz hat John Wilson Armiger (1741 - 1793) entdeckt. Den Beweis dafür erbrachte Joseph Louise Lagrange (1736 - 1813). Praktisch hat der Satz jedoch keine große Bedeutung für die Primzahlforschung, denn schon für kleine p-Werte ergibt der Ausdruck (p-1)! riesige Zahlen.
Mit freundlichen Grüßen
Eugen Bauhof
Den Beweis dafür erbrachte Joseph Louise Lagrange (1736 - 1813)
War der auch so kurz wie mein Beweis ?
Alle Primteiler von (p-1)! +1 sind groesser als (p-1)
Wenn (p-1)! +1 ohne Rest durch p teilbar ist, dann enthaelt (p-1)! +1 den kleinsten moeglichen Primteiler p
Waere der Teiler zusammengesetzt so muesste dieser Teiler groesser p^2 sein.
Dann muesste aber gelten p>=p^2 und das ist nur fuer p=+-1 kein Widerspruch.
Daher kann p keine zusammengesetzte Zahl sein.
EDIT: elegantere genauere Verifikation hier :
http://www.quanten.de/forum/showthread.php5?p=61644#post61644
Hab nochmals kurz nachgedacht. Mit der Primfakultaet 1*2*3*5*7... funktioniert der Ansatz leider doch nicht. Denn findet man keine neue Primzahl kann man nicht die naechste Primfakultaet bilden. Bei der Fakultaet kann man die naechte Fakultaet dagegen immer bilden.
Man koennte auf die Idee kommen stattdessen nun (p-1)#+n zu testen.
Das geht aber schief, denn in (p-1)#+n koennen (p-1)# und n nun gemeinsame kleine Primteiler haben, der/die dann auch ein Primteiler von (p-1)#+n ist/sind. Damit bricht die Argumentationskette zusammen.
Um gemeinsame Teiler zu vermeiden waere eine weitere Idee daher (p-1)#/n +n zu testen, wobei n eine Primzahl kleiner p ist. Das nuetzt aber nur etwas wenn gilt :
(p-1)#/n +n > (p-1)#
Man will ja schliesslich eine groessere Zahl als der Vorgaenger erzeugen.
(p-1)# +1 > n*(p-1)#
Das laesst sich fuer n>1 leider auch nicht erfuellen :-(
Keine 100 000 $ Preisgeld !
Keine Fields Medallie !
Nichtmal HartzIV
Es ist zum Verzweifeln :D
denn schon für kleine p-Werte ergibt der Ausdruck (p-1)! riesige Zahlen.
Ist "riesig" nicht untertrieben ? :D ( p Fakultaet waechst etwa mit p hoch p ) und ist daher fuer grosse p eine Zahl mit p Stellen. (Sterling Naeherung)
Keine 100 000 $ Preisgeld !
Keine Fields Medallie !
Nichtmal HartzIV
Es ist zum Verzweifeln :D
Ist "riesig" nicht untertrieben ? :D ( p Fakultaet waechst etwa mit p hoch p ) und ist daher fuer grosse p eine Zahl mit p Stellen. (Sterling Naeherung)
Hallo Richy,
mein Beileid, ich hätte es dir gegönnt. :) Mit Langrage und Wilson können wir leider nicht mithalten. Ich noch weniger als du. Es gibt aber noch das Preisgeld für den Beweis der Riemannschen Vermutung. Aber das ist dir vermutlich nicht neu.
Ja, riesig ist untertrieben. Ich verbessere auf gigantisch :cool:
M.f.G. Eugen Bauhof
Na Danke :-)
Mit Langrage und Wilson können wir leider nicht mithalten.
Das ist anzunehmen :-) Mich wuerde noch interessieren wo Emi den Test aufgegabelt hat.
Hi ! Prinzipiell haben wir zwei Potentiale --- das des Unbekannten.
Und natürlich halten wir unser Wissen für ein geeignetes Potential.
Soweit ich Richy verstanden habe , strebte er bewußt nach Symmetrie.
( Wegen Riemann ? )
Eine gewisse Metakommunikation , die nicht unbedingt an einer
konkreten Form zwanghaft hängen muss, kann uns viellwicht weiter-
bringen.
Hartz IV kennzeichnet unseren Standort Deutschland. u.a.
Im Moment scheint Primzahlwettbewerb durch Computer- Ausrechnen noch
finanziell die günstigste Variante zu sein .:D
Gruss regeli: cool:
Soweit ich Richy verstanden habe , strebte er bewußt nach Symmetrie.
Wenn ich fuer den Exponenten der Mersenne Zahlen ein Produkt schreibe n=a*b so stellt dies nun mal eine Symetrie bezueglich a,b dar. Denn a*b=b*a
Und warum ich solch eine symetrische Darstellung anstrebe hat ganz praktische Gruende. Dann wuerde man sofort erkennen, dass sowohl (x^a-y^a) als auch (x^b-y^b) Teiler der Zahl (x^ab-y^ab) sind.
Um dies zu sehen muss man bisher die binomische Formel zwei mal anschreiben. Allerdings ist meine Umformung bisher noch keine Loesung des Problems
http://home.arcor.de/richardon/2009/mersenne1.gif
Denn man erkennt nicht sofort, dass dieser Restfaktor ganzzahlig ist. Zufrieden kann ich daher noch nicht sein.
EDIT
ES IST "ZUFALL", DASS IM BEISPIEL DIE ZAHL DURCH DAS PRODUKT TEILBAR IST
Beispiel :
2^(2*3)-1=63=3*21
2^(2*3)-1=63=7*9
Dieser Restfaktor ist in dem Fall 21/7 oder 9/3 also 3.
Aber wie du siehst weigert sich dieser doofe Faktor sich allgemein anschaulich darstellen zu lassen. Wobei die ganzen Mersenne Primzahlforscher diese Aufgabe sicherlich schon geloest haben. Falls dies ueberhaupt moeglich ist.
Hi !
Ich dachte , ich müßte mir tiefere Sorgen machen , aber ich vertraue
Bauhof , dass es bisher keinen Beweis dafür gibt , dass es unendlich
viele Mersenneprimzahlen gibt.
Symmetrien sind ein eigenes Forschungsthema und vor allem auch
von Biologen gern behandelt. Man kommt wieder --- auch ---
auf die großen Namen.
Ansonsten hatte ich schon einen kleinen Nutzen . Wie Du schon sagst
, : Jeder bewegt sich am liebsten in den eigenen Vorstellungen.
Auf jeden Fall werde ich mich weiterhin melden. :cool: Gruss regeli
Ich habe mich im Kreis gedreht :
Wenn ich in der obigen Gleichung den Zaehler Term mit x^ab erweitere und die Nennerterme mit x^b und x^a dann steht da
(x^ab - y^ab)=(x^ab - y^ab)
Das ist durchaus lobenswert, denn es ist eine wahre Aussage :-)
Aber es zeigt, dass ich die Vereinfachungen der Summen wohl etwas zu weit getrieben habe und mich damit wieder dem Ausgangsterm naehere.
Wahrscheinlich an der Stelle als ich diese geschlosssen dargestellt habe.
Ich hatte dies schon geahnt :
Nun ist die Summe eine geometrische Reihe und laesst sich geschlossen darstellen :
sum(1/2^(a*k), k=0..b-1)=2^a*((1/(2^a))^b-1)/(1-2^a)
(Wobei diesere Vereinfachungsschritt vielleicht kontraproduktiv ist)
Dort muesste man also nochmals neu ansetzen. Aber das ganze deutet darauf hin, dass eine geschlossene Faktorisierung beider Terme in der Form wohl gar nicht moeglich ist.
Die geometrische Reihe hat mir nicht nur eine lange Nase gezeigt, sondern auch wie man mit ihrer Hilfe sehr schnell die allgemeine dritte binomische Formel herleiten kann :
Beispiel mit y^n=1
q^n-1 = ? erweitern mit (q-1)/(q-1)
q^n-1 = (q-1)*(q^n-1)/(q-1)
Voila das wars auch schon :-)
http://upload.wikimedia.org/math/7/4/3/74316cd16345b003ef2ffb179e1bbc1d.png=>http://upload.wikimedia.org/math/a/1/a/a1ab23d807d4bfb72741122b5c65bfb4.png
Funktioniert auch mit y<>1
@Bauhof, Emi
Satz 1) Ist p eine Primzahl, dann ist [1+(p-1)!] / p eine ganze Zahl.
Satz 2) Wenn (p-1)!+1 / p ohne Rest teilbar ist, dann ist p eine Primzahl
Ich habe nur Satz 2) bewiesen.
Satz 1) zu beweisen ist erheblich schwerer und fuer Primfakultaeten (Primorials) gilt er nicht.
ICH BIN VOLL IN DIE FALLE GETAPPT !
und niemand ist es aufgefallen :confused:
dafuer wird es jetzt vielleicht erst richtig spannend.
DER FEHLER :
Folgende beide Aussagen sind wahr :
(x^ab-y^ab)/(x^a-y^a) ist ganzzahlig
(x^ab-y^ab)/(x^b-y^b) ist ganzzahlig
aber daraus folgt nicht in allen Faellen :
(x^ab-y^ab)/[(x^a-y^a)*(x^b-y^b)] ist ganzzahlig
Ist eine Zahl sowohl durch m als auch durch n teilbar, so folgt nicht daraus, dass sie auch immer durch das Produkt n*m teilbar ist.
Kein Wunder dass die symetrische Darstellung nicht allgemein gelang. Aber in speziellen Faellen muesste der Restfaktor dennoch ganzzahlig sein und als Summe darstellbar.
Die Gleichungen sind zwar richtig, aber der Restfaktor muss nicht immer ganzzahlig sein.
Mersenne Beispiel das misslingt :
255/3=85
255/15=17
aber
255/(3*15)=17/3 (nicht ganzzahlig)
als Primfaktoren
3*5*17/3=5*17
3*5*17/15=17
255/(3*3*5)=17/3
Folgendes muss geklaert werden :
A) In welchen Ausnahmefaellen ist (x^ab-y^ab)/[(x^a-y^a)*(x^b-y^b)] ganzzahlig.
B) Sind die Fib Zahlen ein Sonderfall ? (NEIN)
ciao
Hier habe ich am Rechner Gegenbeispiele fuer Fib und Mersenne Zahlen aufgelistet.
Dargestellt sind die gekennzeichneten Indizes :
Mersienne 2 2
Mersienne 2 4
Mersienne 2 6
Mersienne 2 8
Mersienne 2 10
fib 3 3
Mersienne 3 3
fib 3 6
Mersienne 3 6
fib 3 9
Mersienne 3 9
Mersienne 4 2
fib 4 4
Mersienne 4 4
Mersienne 4 6
fib 4 8
Mersienne 4 8
Mersienne 4 10
Mersienne 5 5
Mersienne 5 10
Mersienne 6 2
fib 6 3
Mersienne 6 3
Mersienne 6 4
fib 6 6
Mersienne 6 6
Mersienne 6 8
fib 6 9
Mersienne 6 9
Mersienne 6 10
fib 7 7
Mersienne 7 7
Mersienne 8 2
fib 8 4
Mersienne 8 4
Mersienne 8 6
fib 8 8
Mersienne 8 8
Mersienne 8 10
fib 9 3
Mersienne 9 3
fib 9 6
Mersienne 9 6
fib 9 9
Mersienne 9 9
Mersienne 10 2
Mersienne 10 4
Mersienne 10 5
Mersienne 10 6
Mersienne 10 8
fib 10 10
Mersienne 10 10
Die Mersenne Zahlen sind weniger haeufig durch das Produkt teilbar.
Ist die fib Zahl nicht teilbar ist die Mersenne Zahl nicht teilbar.
Ich komme auf folgende Aussage :
Wenn die beiden Teiler keine gemeinsamen Primfaktoren haben ist auch deren Produkt Teiler.
Haben die Teiler einen gemeinsamen Primfaktor, so muss die Mersenne Zahl diesen Primfator mindestens in einer Vielfachheit der Summe der Vielfachheiten der Teiler aufweisen. Auch dann ist das Produkt ein Teiler.
Es muss aber auch ein Kriterium ueber die Indizes geben.
Fuer 5 ergibt sich bei den Fib Zahlen z.b. speziell :
fib(5*x)/fib(5)/fib(x)=ganzzahlig, getestet fuer x=1...5000
Im Grunde waere es jetzt Zeit sich mit den mod Divisionen zu beschaeftigen.
Wenn ich fuer den Exponenten der Mersenne Zahlen ein Produkt schreibe n=a*b so stellt dies nun mal eine Symetrie bezueglich a,b dar. Denn a*b=b*a
Und warum ich solch eine symetrische Darstellung anstrebe hat ganz praktische Gruende. Dann wuerde man sofort erkennen, dass sowohl (x^a-y^a) als auch (x^b-y^b) Teiler der Zahl (x^ab-y^ab) sind.
Um dies zu sehen muss man bisher die binomische Formel zwei mal anschreiben. Allerdings ist meine Umformung bisher noch keine Loesung des Problems
http://home.arcor.de/richardon/2009/mersenne1.gif
Denn man erkennt nicht sofort, dass dieser Restfaktor ganzzahlig ist. Zufrieden kann ich daher noch nicht sein.
EDIT
ES IST "ZUFALL", DASS IM BEISPIEL DIE ZAHL DURCH DAS PRODUKT TEILBAR IST
Beispiel :
2^(2*3)-1=63=3*21
2^(2*3)-1=63=7*9
Dieser Restfaktor ist in dem Fall 21/7 oder 9/3 also 3.
Aber wie du siehst weigert sich dieser doofe Faktor sich allgemein anschaulich darstellen zu lassen. Wobei die ganzen Mersenne Primzahlforscher diese Aufgabe sicherlich schon geloest haben. Falls dies ueberhaupt moeglich ist.
Hi ! Der Geist gibt nicht auf ! regeli
Für (2^ab) -1 mit a,b > 1 und a,b nat.Zahlen.
sind (2 ^a)-1 und (2 ^b ) -1 Teiler .Im Beispiel sind es 3 , 7 ---> 21 .
Versuche noch mehr zu verstehen , was d en Zusammenhang von Mersenne
und Fibonacci betrifft. Gruss regeli :cool:
Ein kl . Spiel zur Erinnerung p! für 3 = 1x2x3 = 6 P!/2 =3
3 +2
3 +4
3 +8
3+16
:D
Hi! Noch ein Beispiel für P! / 2 1x2x3x5 =30/ 2 =15
15 +- 2, 15+- 4, 15+-8 und 15+-2x7 liefert die Primzahlen:
13,17 , 11,19, 7,23 , 1,29
Einerseits sind das Potenzen der 2 und die erste Primzahl > 5 in Verbindung
mit einer Potenz der 2.
Ich habe vor der neuen Form hier mal in " Krieg der Sterne " über meine
Vorstellungen etwas darüber geschrieben. Gruss regeli.
Für Dein Problem und die Entwicklung der Formeln brauche ich noch Zeit.
Gruss regeli :cool:
Hi regeli
Deine Beispiele basieren darauf, dass die Summe teilerfremder Zahlen zu diesen teilerfremd ist. Das hatten wir im alten Forum schon besprochen.
Und die Methode funktioniert fuer p(i)# sicher nur bis zu einer Schranke (p(i+1))^2, damit nur fuer wenige Zahlen. Ab dort ist sie mit Mersenne verwandt und es existieren nur noch Wahrscheinlichkeiten fuer Primzahlen.
Nochmal die Begruendung an deinem Beispiel :
Bei der Primfakultaet p# sind alle Primfaktoren bis p bereits belegt.
Die kleinste moegliche zusammengesetzte Zahl in deinem Beispiel 2*3*5 kann nur 7*7=49 sein.
Alle "geschickten" Addiditionen, Subtraktionen mit zwei Summanden des Primorials die kleiner sind als 49 muessen Primzahlen sein:
2*3+5=11
2+3*5=17
2*5+3*3=19
2*5+3*3*3=37
2*2*5+3*3=29
5*5+2*3=31 ... und so weiter, Subtraktion geht auch
2*2*2*5+3*3=49=7*7 (nichtprim, denn die Schranke ist erreicht)
Du verwendest eine eingeschraenkte Variante.
Wenn du p#/2 bildest entsprich dies den Primfaktor 2 aus p# zu entfernen. 30/2=15=3*5
Jetzt kannst du nur noch Potenzen von 2 addieren, subtrahieren.
Und das Ergebnis muss fuer eine sichere Aussage kleiner 49 sein.
Dennoch ist das Ergebnis relativ oft prim, da du eine Art Mersenne Eigenschaft erzeugst. (BTW: 15=2^4-1)
Beispiel: 2^k+15
17 true 10001
19 true 10011
23 true 10111
31 true 11111
47 true 101111
79 true 1001111
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Beispiel: 2^k-15
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Beispiel mit Potenzen von 3
2*5+3^k
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Die eigentliche Mersenne Methode waere
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Viele Gruesse
....
Für Dein Problem und die Entwicklung der Formeln brauche ich noch Zeit.
Gruss regeli :cool:
Aber was ist denn dasjenige, das Du da brauchst:confused:
Oder "braucht" die sog. "Zeit" Dich...:confused:
"Schau' mer mol!":D
Gruß, möbius
Teil 2 :
Unser Spielchen funktioniert perfekt bis zur Schranke (p(i+1))^2
Leider waechst die Primfakultaet sehr viel schneller als das Quadrat der Schranke :
3*5*7=105, 11*11=121
3*5*7*11=1155, 13*13=169
Bei 7#/2+2^k erhalten wir nur noch wenige sichere Ergebnisse
und ab 11#/2+2^k keine sichere Aussage mehr
Dennoch einige Beispiele :
105+2^k (true=Primzahl)
107 true (kleiner Schranke)
109 true (kleiner Schranke)
113 true (kleiner Schranke)
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das ist der Primzahlsatz von Wilson und der ist bereits bewiesen:
Ist p eine Primzahl, dann ist [1+(p-1)!] / p eine ganze Zahl.
Interessant in dem Zusammenhang ist, dass der Satz fuer Primzahlfakultaeten entgegen der Erwartung in der Form nicht gilt.
Die symetrische Betrachtung habe ich an der Stelle abgebrochen an der keine einfache Methodik mehr moeglich ist.
Allgemein ist die Darstellung mit ganzzahligem Rest nicht moeglich ! Nur in speziellen Faellen.
(Bitte keinen tieferen Sinn darin suchen, denn der liegt ziemlich tief :-)
Der naechste Schritt waere die Behandlung der Mersenne und Fibonacci Zahlen ueber den mod Operator nachzuvollziehen.
Mal sehen wann ich das angehe.
Die 100 000$ sind uebrigends schon vergeben :-(
Hi ! I<ch freue mich über euer Interesse und das Richy sich erinnert
hat. Seine Korrelationsidee zwischen Fibonacci und Primzahlen ist eine
große Idee. Ich wußte nur nicht ,ob es um Anzahlen geht oder um einen
direkten rechnerischen Zusammenhang.
Richtig ist , dass die Addition von Teilerfremden wiederum andere Teiler erzwingt und wenn diese nicht vorhanden sind , so folgt zwangsläufig die
prime Eigenschaft.
Es geht erst einmal um Ansätze ,also eine Art Entwicklung.
z.B. für 1x2/2 ---> =1 mit 1+2 = 3
1+3 = 5
1 +2x3 =7
was darüberhinaus geht mit 1+2x5 = 11
Die Kenntnis der 2 wird dabei vorausgesetzt.Was geschieht davor ? Das kann man schlecht sagen.
Aber das ist ja erst einmal nur die Spielerei oder ? :D
Gruss regeli
Hi ! Die verschiedenen Kombinationen von 2,3,5,7 als Summe bzw.
Differenz von Produkten liefert gute Beispiele
z.B. 5x7 +- 2x3 = 41,29 oder 2x3x5 +-7 = 37,23
Es müssen immer alle vier Ziffern kombiniert werden.
3x7+-2x5 =31,11
3x5+-2x7 = 29,1 usw.
Die Schranke ist 121 ( 11² ) , wird für diese Rechnung nicht erreicht.
denn 3x5x7 +-2 =103,107 prim
:cool: regeli
Hi ! Zur Ergänzung soll darauf hingewiesen werden , dass auch
mit Potenzen der Primfaktoren gerechnet wird.
Beispiel 2³ x 3 +- 5x7 = 11(Absolutwert),59
Die Grundlage ist das Gesetz der kleinen Teiler und wie Richy richtig
zu bemerken weiß : Teilerfremde Operation.
Für Möbius : D
Gruss regeli :cool:
Hi regeli
Anscheinend hast du das Prinzip jetzt erkannt.
2³ x 3 +- 5x7 = 11(Absolutwert),59
Genau, das waere ein Bespiel. Die Schranke ist 11*11
11 und 59 muessen somit Primzahlen sein.
Die Begruendung folgt aus dem einfachen Satz :
A und B seien Zahlen die keine Primfaktoren gemeinsam haben.
Dann hat C=A+B weder mit A noch B gemeinsame Primfaktoren.
Das laesst sich einfach beweisen :
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/fib/fibbeweis.txt
In der Primfakultaet sind alle Primfaktoren lueckenlos besetzt. Bildet man in der typischen Weise Summen, kann diese keine Primfaktoren der Summanden A,B aufweisen. Ist diese Summe kleiner als die kleinste moegliche zusammengesetzte Zahl, die obere Schranke, so ist es ein einzelner neuer Primfaktor, damit eine Primzahl.
Schlecht zu erklaeren, aber im Grunde ganz trivial.
Hier nochmals ein paar Beispiele :
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/fib/summensatz.htm
Bedingt hat das etwas mit den Mersenne Primzahlen zu tun.
Anmerkung :
Dass der Betrag von -11 hier ebenfalls in der Schranke eine Primzahl ist, hat mich damals zu der Auesserung bewogen, dass dieser "Symetriebruch" mit zur Komplexitaet der Primzahlen beitraegt. Unsere kleine Spielerei hat sehr schnell seine Schranke. Aber die Mersenne Primzahlen sowie deren verwandte Reihen nicht. Und dort wird dieses Phaenomen auch auftreten. Die Betragsbildung entspricht einer Spiegelung am Nullpunkt. Und diese ist recht willkuerlich. Schon von dem Aspekt aus ist keine einfache Struktur innerhalb der Primzahlen zu erwarten.
Seine Korrelationsidee zwischen Fibonacci und Primzahlen ist eine große Idee. Ich wußte nur nicht ,ob es um Anzahlen geht oder um einen direkten rechnerischen Zusammenhang.
Es ist nicht nur ein korrelativer Zusammenhang sondern ein formaler.
Das sieht man an der Differenzengleichung oder auch deren Loesung.
Mersenne Zahlen und Fibonacci Zahlen folgen der selben Iteration, nur mit anderen Parametern.
Man kann Methoden beider Zahlenreihen daher austauschen. Dazu muss man diese aber nachvollziehen, denn 1:1 lassen sich die Erebnisse nicht uebernehmen. Nur die Methodik laesst sich jeweils uebernehmen.
Das Arsenal an Zusammenhaengen fuer Fib Zahlen ist gigantisch gross. Koennt man alles auf die Mersenne Zahlen anwenden und umgekehrt.
Ob man etwas davon hat ist zunaechst offen. Dazu muesste man das praktisch angehen. Learning by doing.
Aber im Moment bin ich zu faul dazu:-)
Ich habe hier einen Autor genannt dem dies auch aufgefallen ist. Unbekannt ist der Zusammenhang somit nicht, aber dennoch nicht sehr weit verbreitet.
Hi! Vielen Dank für den Beitrag . Du warst damals auch der Meinung ,
dass es nach der Schranke weitergeht.
Vereinfacht kann man sagen , dass eine Primzahl mit ihrem Quadrat dessen
einziger Teiler ist. , während davor alle Zahlen noch kleinere Teiler haben,
eben die kleinen Teiler. Wenn wir einen volständigen Satz für p! haben ,
so sind das auch die kleinen Teiler.
Es ist schwierig , sich zu erinnern . Ich bin jedoch nie davon weggegangen.
Strapaziert haben wir damals 7! ----> 210 und bis dahin gibt es nur
wenige Produkte mit Primzahlen > 7 . 11x11,11x13,11x17 11x19,
13x13 ,
Rechnungen , bei denen man die Primzahlen selbst alle speichern muß ,
reichen nicht weit leider.
C=A+B meint doch , wenn ich es sagen darf: Ist ein Primfaktor in zwei,
Zahlen , so ist er auch in der dritten mit auch B = C-A . Eine Teilung
funktioniert nur , wenn der Primfaktor selbst Bestandteil einer Zahl ist.
Ist in der Primfakultät ein Faktor entfernt , so ist diese nicht mehr
durch diesen Faktor teilbar. Entfernen wir die 3 , so erhalten wir
1x2x5x7 =70 ----->70 +-3 = 67,73 <11²
Wir können aber auch diesen Nachbereich bis 11x13 und 13² ziehen oder.?
Gruß regeli
hi regeli
Strapaziert haben wir damals 7! ----> 210 und bis dahin gibt es nur wenige Produkte mit Primzahlen > 7 . 11x11,11x13,11x17 11x19,
13x13 ,
11*11 waere hier die ober Schranke. Und genau die naechste Schranke ist dann 11*13. Klar, man kann hier alle Faelle auch einfach aufzaehlen. Das zeigt auch, dass die Dichte der Primzahlen eine Rolle spielt. Ich wuesste jetzt aber nicht einmal wie man die Groesse der Zahlen einteilen koennte abhaengig davon an welcher Stelle man das Additions oder Substraktionszeichen setzt. Und nimmt man die Potenzen hinzu wird es noch komplizierter.
EMI hatte uebrigends recht. Mit dem Primzahlsatz von Wilson laesst sich sukzessive die komplette Reihe der Primzahlen erzeugen. Wohl der kuerzeste Programmcode um alle Primzahlen zu erzeugen. Aber wegen dem Wachstum der Fakultaet ist der Code in der Praxis nur fuer kleine Primzahlen geeignet. Theoretisch gesehen ist das aber egal. Interessanterweise gilt Wilsons hinreichende Bedingung nicht fuer die Primzahlfakultaet. Ich haette das eher erwartet. Die Fakultaet ist damit mehr als ein Spezialfall der Primfakultaet mit Potenzen. Beispiel wie ich das meine :
1*2*3*4 =1*(2^2)*3
1*2*3*4*5*6 =1*(2^3)*(3^2)*5
Waere auch mal interessant den Verlauf der Mehrfachheiten graphisch darzustellen.
C=A+B meint doch , wenn ich es sagen darf: Ist ein Primfaktor in zwei,
Zahlen , so ist er auch in der dritten mit auch B = C-A .
Ja, das waere die Kurzfassung des Widerspruchbeweises. A und B duerfen also keine gemeinsamen Primfaktoren aufweisen um das Prinzip anzuwenden. Und sie muessen alle Primfaktoren < eine Schranke aufweisen wie zwei Tele der Primfakultaet.
Hier ist dies erfuellt. A=1*2*5*7 waere ein Teil und der andere B=3
1x2x5x7 =70 ----->70 +-3 = 67,73 <11²
Du hast damals die Primfakultaet durch zwei geteilt und dann Potenzen von 2 addiert.
Sollte jetzt klar sein warum das bis 11*11 sicher funktioniert hat.
Mit der eins funktioniert das auch und man kann Primzahlzwillinge erzeugen :
2*3+1=7
2*3-1=5
2*3*5+1=31
2*3*5-1=29
Wie man sieht, sind die Zwillinge 11,13 von anderer "Natur".
Gaebe es die obere Schranke nicht waere das der Beweis, dass es unendlich viele Zwillinge gibt.
Wilson waere ein guter Ansatzpunkt fuer solch einen Beweis.
Gruesse
richy
Hi ! Die Ziffer 1 und deren Verwendung zielt doch wohl auf die
Fakultät . ( Unter Verwendung aller Teiler , war die Bedingung ).
2x3x5 ist z. B. so eine Fakultät.
Zahlen p! +-1 können nicht durch die Faktoren der Fakultät geteilt
werden.( Hier der Primfakultät ). Jedenfalls wächst die p! stärker als
die Parabel ( Quadrate --- sind Punkte einer Parabel )
Zur Entwicklung will ich mal drei Primzahlen bezeichnen .p ist die größte
zu p! , die beiden folgenden Primzahlen als p next , und p next,next
Für 3! sdind das 5,7 ----> zur Verwendung 5² 5x7 und 7²
( Den Fall 5²<5³< 7² ausschließend.) Wir könnten also bis 25 ,35,49 unsere
Rechnung organisieren und wenn ein Ergebnis eine der genannten
Zahlen ist dies ausschließen . So könnte die obere Schranke hinausge-
schoben werden.
Zu Deinem gewählten Beispiel ---> pnext = 7 --- 49 und pnextnext ist 11
49 ,77, 121
2x3x5
2²x3x5 = 60 klappt so noch , mit 60+-1 = 59,61 , 49 < 60 < 77
2x3²x5 = 90 +- 1 sind 89 , 91 und 91 ist teilbar mit 7x13 = 91
und 13 >> 7,11
Es ist ja auch bekannt , dass Zwillinge an der Fakultät nicht immer prim
sind.
Die Bedingung lautet alle Primzahlen in einen Ausdruck zu bringen.
Also mit Zwillingsbeweis und Fieldsmedaille wirds wohl so noch nichts.
Gruß regeli :cool:
Hi ! 7! = 210 und da ist +-1 = 209 = 11x19. und 211 prim.
Bei der Methode mit der 1 kann ich die anderen Teiler einfach nur so
einsetzen.
Dies zur Ergänzung. Man sollte erst einmal die Rechnung selbst ak-
zeptieren und deutlicher ausformen und begründen.
z.B. muß es für Zwillinge geeignete algebraische Ausrücke geben.
u.a.
Also insgesamt umfassender darstellen. Vielleicht gewinnt man ja mal
ne neue Kaffeemaschine. :D
Gruss regeli :cool:
Hi ! Hoffe , die > Kaffeemaschine < wurde nicht falsch verstanden.
Die 1 kann vielleicht doch noch zu Ehren kommen. Bei den Rechnungen
erscheint sie als Ergebnis. Trotzdem , es gibt auch Gegenbeispiele.
Ich stelle mir die 1 als "Ersatzzahl" vor.
Wenn wir z.B. die Rechnung 2x5x7 +-3 nehmen, so erhalten wir
67,73 ganz regulär nehmen wir aber 70 +-1 nehmen , so ergibt sich die
Bedingung , dass in 70 kein Faktor 3 enthalten ist , 73 ist prim.
bleiben 71 ,72 .Wäre 71 durch 3 teilbar , so erhielten wir keinen
Primzahlzwilling . verbleibt die 72 und das bedeutet , dass auch 69
teilbar ist , was ebenfalls bedeutet , dass es kein Primzahlzwilling ist.
Die 3 scheint die Chance auf Primzahlzwillinge zu verhindern.
Anders die 30 mit 2x3x5 . Dies ist ein geradzahliger Sockel und enthält
die 3 , die so > gezähmt < ist .
Wir können nun die 30 als Teil einer größeren Rechnung sehen.
z.B . 30+-7 mit 23, 37 .Hier kann man die 1 sozusagen einsetzen , muß
aber , wenn allgemein angewandt überprüfen , ob die Nachbarn der
Sockelzahl nicht vielleicht doch von einem Teiler geteilt werden.
30+- 11 wird prim 19,41
30+- 13 wird prim 17,43
30+- 17 wird prim 13, 47
30 +- 19 erreicht die obere Schranke mit 11,49 wegen 49 = 7²
30 +- 23 ergibt 7 , 53
30 +- 29 ergibt 1 ( sehr bemerkenswert ) und 59
Zusammenfassung : Die 1 erscheint wie die anderen Primzahlen
als Ergebnis der Rechnung . man muß aber beim Einsatz der 1 ,
berücksichtigen , dass eine höhere Rechnung erfüllt wird , werden
muß .
30+-31 = -1,61
30+-37 = -7,67
30+-41 = -11,71
30+-43 = -13,73
30+-47 = 77 = 7x11 erweiterte Schranke
30+-53 = 83
30+-59 = 89
30+-91 = 91 = 7 x 13
Hier wissen wir ja und können kontrollieren , weil wir diese Primzahlen
kennen . Bei Zahlen , die man nicht kennt , sollte die Rechnung
sichere Kriterien haben. Die Rechnung muß stimmen d.h eindeutig
entscheiden können.
Es tauchen mit dieser Rechnung eine Reihe neuer Fragen auf.
Ich denke einmal so die Primzahlen bis 1000 sollte man locker
machen können .
Kann man mit dieser Methode immer die nächste Primzahl berechnen?
Vielleich sogar ein Programm darauf ausrichten ??
Echt krass regeli :D
Hi regeli
Die eins ist in dem Fall zwar nicht als Primzahl, aber als Faktor der Primzahlfakultaet zu betrachten.
nehmen wir aber 70 +-1 nehmen , so ergibt sich die
Bedingung , dass in 70 kein Faktor 3 enthalten ist , 73 ist prim.
Das Beispiel funktioniert mit der eins natuerlich nicht sicher. Denn in 2*5*7 ist der Primfaktor 3 nicht besetzt. 2*5*7 +- 1 ist eine Primzahl oder durch 3 teilbar und weder durch 2,5,7 teilbar. Und promt huepft ein Teiler von 69=3*23 mit der 3 in die offene Luecke :-)
Und ebenso logisch : 70+1 = 69+2 kann nun nicht auch durch 3 teilbar sein. Es muss daher eine Primzahl sein. 71=prim
und enthält die 3 , die so > gezähmt < ist .
Yepp so eine bildliche Vorstellung verwende ich auch :-)
30+-31 = -1,61
30+-37 = -7,67
30+-41 = -11,71
30+-43 = -13,73
He he, diese loechrige Variante ist auch nicht schlecht. Hier muss man aber neue Bedingungen ,Schranken formulieren.
Mal ganz grob :
Wir bilden PA+PB
PA sei ein Prinominal zb: p1*p2*p3
PB sei die i te Primzahl pi > p3
Es existieren noch die Primzahlen p4,p5...p(i-1)
Ein Teiler der Summe PA+PB kann p4,p5...p(i-1) oder px >p(i) sein
kratz kratz :-)
Warum dennoch so viele Primzahlen ?
Ich denke ich habs :
Es liegt an dem von dir bereits erwaehnten Ausschlussverfahren.
30+19=49 belegt die erste obere Schranke
Die naechste waere 7*11=77 und alle deine Beispiele sind kleiner als diese.
Sehe gerade. Das hast du genauso erkannt.
Kann man mit dieser Methode immer die nächste Primzahl berechnen?
Muesste man mal genauer ueberdenken. Eher nicht. Vor allem musst du ja immer schon groessere Primzahlen kennen. Aber die willst du ja erst berechnen. Dazu sind die oberen Schranken sehr schnell kleiner als die Primzahlfakultaet selbst. Die wachsen quadratisch aber die Fakultaet sehr viel schneller.
Vielleich sogar ein Programm darauf ausrichten ??
Das waere dann kein Problem.
Mit Wilsons Kriterium kann man wie gesagt alle Primzahlen der Reihe nach ermitteln. Sind gerade 3 oder 4 Programmzeilen.
Hoffe , die > Kaffeemaschine < wurde nicht falsch verstanden.
Lol, nee wieso denn ?
Und du kannst ja nicht wissen, dass ich seit Jahren Hobby-Barista bin.
Das was es da an Kaffemaschinen zu gewinnen gibt wuerde bei mir wohl in der Muelltonne oder bei ebay landen :D
Gruesse
Hi ! Ganz so abwerten möchte ich diese Primzahlrechnung nicht ,
Sie wurde nur durch die Frage der 1 problematisiert. Die eins kann
durch den üblichen Definitionssatz definiert werden: Sie ist nur durch
1 und sich selbst teilbar. Warum nun negative Primzahlen funktionieren
ist die Antwort einfach . Wir haben ja eigentlich Arithmetik d.h.
Addition und Subtraktion zweier Ausdrücke . Wenn man negative
Zahlen addiert bzw.subtrahiert , tauscht sich nur die Reihenfolge .
Aus - 11 wird subtrahiert +11 und addiert -11..
1! ist unbenommen richtig . Was axiomatisch festgelegt werden muß
sind die Dezimalzahlen , wie sollte man sonst 1+1 darstellen. ?
Ich denke das ist schon geleistet . Weitere Problematisierung muß
momentan ein wenig warten ,
Ich will noch drei Rechnungsbeispiele geben , die zeigen , dass
eine Primzahl auf mehrere Arten berechnet werden kann.
7x5 -3²x2 , 2x3x7 - 5² , 3²x5 - 2²x7 , ..... da ist nicht geklärt ,ob es
noch weitere Rechnungen für die 17 gibt.
Die oberen Schranken müssen vom Programm überprüft werden.
Ob wir in einen flash kommen . Erläuterst Du mal Dein Hobby ?
würde mich freuen. gruss regeli :)
Hi regeli
Warum nun negative Primzahlen funktionieren ...
Eine andere Antwort waere, weil auch hier der "Summensatz" gilt
Hier mal der kuerzeste Programmcode fuer alle Primzahlen bis 1000
Rechenzeit 3 Sekunden
Bis 3000 sind es schon 3 Minuten, weil 3000! ne riesen Zahl ist.
Satz von Wilson
Ist p eine Primzahl, dann ist [1+(p-1)!] / p eine ganze Zahl.
"Implementation" in 2 Zeilen :-)
> for p from 1 to 1000 do
> if frac(((1+(p-1)!)/p))=0 then printf(`%g `,p);fi;od;
Ausgabe
1 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997
Der Satz ist tatsaechlich hinreichend
Funktioniert er auch mit der Primfakultaet statt der Fakultaet ?
Umindizierung zu p! :
> for p from 1 to 1000 do
> if frac(((1+p!)/(p+1)))=0 then printf(`%g `,p+1);fi;od;
Fakultaet elementar berechnen :
> for p from 1 to 20 do
> if frac(((1+f)/(p+1)))=0 then printf(`%g `,p+1);fi;
> f:=f*(p+1);
> od;
Ersetzen der Fakultaet durch die Primfakultaet :
f:=1;
> for p from 1 to 5000 do
> if frac(((1+f)/(p+1)))=0 then printf(`%g `,p+1);fi;
> if isprime(p+1) then f:=f*(p+1); fi;
> od;
Rechenzeit etwa 3 Sekunden
Die Primfakultaet waechst signifikant kleiner als die Fakultaet
Detektierte Primzahlen ueber die Pimzahlfakultaet :
2 3 19 1471 3001
Hier ist die Bedingung somit nicht hinreichend.
Sagen dir diese Zahlen etwas ?
Zwei der detektierten Primzahlen kenne ich etwas genauer.
Vierzehnhundereinundsiebzig und dreitausendeins.
Hamilton meinte hier mal zu meinen Zahlenspielereien :
Naja, es wäre schön, wenn du den Thread hier etwas öffentlicher umstrukturieren könntest- merkzettel kannst du dir zuhause an den Kühlschrank klebenTja haette ich das blos getan :-)
Erinnerst du dich an meine Threads : DER ZIPFELSINN ?
Ich denke das war noch im alten Forum.
Da habe ich in einem numerischen Experiment die Haeufgkeitsverteilung der Primfaktoren der Fibonaccizahlen emittelt. Die folgen perfekt der Zipf Verteilung. (Ein wichtiges Ergebnis um in der Musik den goldenen Schnitt zu detektieren.)
Das habe ich auf meiner Homepage dokumentiert. Aber leider keine Tabelle der haeufigsten Primfaktoren der Fibonacci Zahlen.
Mit der Zahl 3001 konnte ich einfach nichts anfangen und ich meine die 1471 war auch ganz vorne mit dabei.
Na gut. Dann suche ich mal nach der Tabelle oder lasse den Programmcode nochmals durch dern Rechner rattern :-)
Erläuterst Du mal Dein Hobby ?Du meinst den Hobby Barista ?
Gerne. Ich fang da mal ganz von vorne an.
Als ich so um die 4 Jahre alt war, Ende der 60 er Jahren hatte mein Dad schon ein Auto, weil er das als Vertreter fuer Baumaschinen benoetigte.
Und wie in den Songs aus dieser Zeit stopfe er einmal im Jahr die ganze Familie (4 Kinder + Frau) in den Kaefer (Anfangs war es ein DKW, Kaefer, dann VW 1500)
Oben drauf den Dachgepaecktraeger fuer das Zelt und ab ging es ueber den Spluegen oder St Gotthard nach Italien.
In Como schraubten italienische Mafioses die Nebelscheinwerfer vom VW 1500 und in Genua wurde gar das ganze Auto aufgebrochen und ausgeraubt :-) Wir fuhren dennoch weiterhin jedes Jahr ueber den Spluegen nach Italien.
Und es blieb auch Tradition an einem Tag dieser Urlaubstage ein italienisches Restaurant ausserhalb des Zeltplatzes zu besuchen.
Und jedesmal bestellte meine Ma nach dem Essen einen Kaffee.
Und jedesmal bekam sie einen Espresso.
Und jedesmal verfluchte sie die Italiener, dass sie extra fuer deutsche Touristen ganz kleine Kaffes zubereiten.
Und jedesmal war ich fasziniert davon mit welcher Heimtuecke italienische Gastronomen harmlose deutsche Touristen uebers Ohr hauen.
Erst spaeter hab ich verstanden dass ein Espresso kein deutscher Kaffee ist. Anfang der 80 er Jahre habe ich dann versucht dieses faszinierende Getraenk mittels Bialetti Mokkakanne herzustellen.
Im Grunde stilecht. Aber das ist kein Espresso !
Aha ! Man benoetigt eine richtige italienische Kaffemaschine.
Es muss das beste sein ! Also eine La Pavoni Handhebelmaschine !
Die hab ich mir 1990 fuer 250 EUR in Ialien gekauft.
Yepp. in einem Hinterhof und den Rueckweg musste ich mir freischiessen ;D
Leider fehlt bei den La Pavonis die genaue Gebrauchsanweisung.
Insbesonders der Hinweis, dass man ohne Kaffemuehle keinen italienischen Espresso zubereiten kann.
All mein Bemuehen war damit vergeblich.
Nach 25 Jahren Espresso Odyssee weiss ich jetzt endlich wie man dieses Getraenk herstellt.
Man benoetigt :
- Eine hochwertige Kaffemuehle
- Frische Kaffebohnen dirket vom Roester
- Eine Maschine mit Messingsiebtraeger. Z.B. als Anfaengermodell eine Gaggia Classic C.
Alle weiteren Informationen hier :
http://www.kaffee-netz.de/
Zielsetzung : Der beste Espresso in einem Umkreis von 500-1000 km.
Nach 25 Jahren Espresso Odyssee weiss ich jetzt endlich wie man dieses Getraenk herstellt.
Man benoetigt :
- Eine hochwertige Kaffemuehle
- Frische Kaffebohnen dirket vom Roester
- Eine Maschine mit Messingsiebtraeger. Z.B. als Anfaengermodell eine Gaggia Classic C.
Hallo Richy,
wo könnte man diese Maschine (Gaggia Classic C) kaufen? Ich möchte auch mal einen anständigen Espresso daheim trinken.
M.f.G. Eugen Bauhof
Hi! ....Der Kaffee ist fertig !
Was Ebay betrifft , war ich dort noch nie , spreche aber gelegent-
lich mit Leuten über ihre Erfahrungen.
Ich finde es toll , was Richy hier so zeigt. Wir könnten weiter kommen,
da man nur die kleinen Teiler braucht , also bis Hundert oder 101 , Damit
könnten wir bis zum Quadrat der nächsten Primzahl rechnen. 103² wäre
das.
Ich gebe mal Beispiele . Eines davon verletzt die Methode , was
heißt , dass nicht alle Primzahlen verwendet werden . Es gibt noch
andere Konstruktionen , nur die angegebene Rechnung gibt aber die
Sicherheit , dass die errechnete Zahl eine Primzahl ist.
3+2 -- > 5
3+4 -- > 7
3+8 -- > 11
3+2x5 --> 13
3+2x7 --> 17 (linke Seite fehlt die 5 )
3+ 16 --19
3 + 4x5 --> 23
Ansonsten gilt eben 2,2²,2³ , üsw.
Gruss regeli sollte die detektierte Zahl eine einzige Zahl sein oder ? eine
Zahlenfolge . ? :)
Hi Eugen
Die Gaggia Classic Coffe wird bei ebay fuer ca 200 EUR neu angeboten.
Nach Erfahrungsberichten ist die Quelle serioes.
Ansonsten kostet sie um die 300-400 EUR.
http://www.plus.de/is-bin/INTERSHOP.enfinity/WFS/Plus-PlusDE-Site/de_DE/-/EUR/ShopViewShortLink-Product?ProductSKU=46106400&RefID=PSM_801_0840_40_02
Eine etwas abgespeckte Version (ohne Magnetventil) waere die Gaggia Evolution fuer um die 180 EUR :
http://www.yatego.com/italia-tua/p,464f42acdcc8e,45d437e90fc397_3,gaggia-espressoautomat-evolution-silber
Oder eine Gaggia Baby. Bei den neuen Modelle gibt es aber viel Plastik.
Kleiner "Nachteil" der Gaggias ist der Alukessel. Man muss zwingend kalkarmes Wasser verwenden wie Valon von Lidl.
Eine Klasse hoeher (Kupfer statt Alukessel) die Rancilio Silvia fuer um die 500 EUR
http://www.yatego.com/casa-del-espresso/p,4722e6ef31f06,463f2615926179_3,rancilio-silvia-espressomaschine-modell-2009
Dampfleistung ist bei den Maschinen sehr gut.
Frueher gingen auch billigere Maschinen aber die haben heute alle ein Crema Sieb oder Cremasiebtraeger. Genauso die Vollautomaten. Die machen alles kaputt. Hab ich mit Muehle schon getestet.
Hier gibt es gebrauchte Maschinen und Informationen zu allen Fragen :
http://www.kaffeewiki.de/index.php?title=Hauptseite
http://www.kaffee-netz.de/
Beim Gebrauchtkauf sollt man die Maschine zerlegen. Alle Ersatzteile gibt es im www.
Wichtig ist :
Auch wenn du den teuersten vorgemahlenen Kaffe fuer diese Maschinen verwendest ist das Ergebnis nicht besser als bei einer Billigmaschine oder einem Vollautomaten. Rausgeworfenes Geld. Es kommt kein Espresso mit Crema raus, da das Kaffemehl zu grob ist.
Das wichtigste ist somit
Die Muehle :
Ich verwende eine Ibertal Challenge fuer 159 EUR ohne Timer (der taugt wenig)
http://www.espressolutions.at/shop/product_info.php/info/p121_Iberital-Challenge-Timer.html
Billigmuehelen mit Schlagemesser kann man nicht verwenden. Eine Alternative waere eine Espresso Handmuehle von Zassenhausen. Man muss aber fuer eine Tasse etwa 200 mal kurbeln.
Da auch das Wetter eine Rolle spielt, muss man den exakten Mahlgrad experimentell ermitteln und auch nachstellen.
Der Kaffee
Mit Bohnen vom Supermarkt geht in der Regel wenig. Zu alt, zu schnell geroestet, kaum Crema. Wenn man Glueck hat gibt es beim italienischen Grosshandel etwas brauchbares. Viele kaufen bei Roestern im Internet wie Fausto. Bei mir ist die Ettli Roesterei in der Naehe. Espresso Roma ist mein Favorit von denen.
80% Arabica 20% Robusta ist eine gute Mischung.
Das Ergebnis sollte dann etwa so aussehen :
http://www.youtube.com/watch?v=oikkap00MUE&feature=related
(Gaggia CC. Nicht optimal aber ordentlich)
Mit weniger Aufwand geht leider nichts. Wenn du nur einen Espresso pro Trag trinkst waere eine Kapselmaschine eine Alternative.(Keine Pads) Recht teuer. Hab ich auch noch nicht getestet. Liefert wahrscheinlich auch keine echte Crema sonden verwirbelte Luft.
Was verwendest du denn momentan ?
gruesse
Hermes konnte diesen Radikalkult um die optimale Zubereitungs-/Konsumform der jeweiligen Lieblingsdroge noch nie nachvollziehen....
;)
Ich meine, 5 Cent in den Automat, lecker Zeug runter - wach. Was soll da mehr kommen von Kaffee?! Sehe ich wie gesagt relativ unabhängig, welche Droge man konsumiert; klar ist ein Gras mit lecker Aroma lecker und ein 'Strawberry Cough' würde ich auch gerne mal testen, aber vom Zehnten ins Hundertste deswegen...
richy, Du kennst doch bestimmt im Audio-Bereich auch diese Ultra-High-End-'Snobs', die meinen sie brauchen vergoldete Kabel und Plattenspieler die die Eigendrehung der Galaxie berücksichtigen und ausgleichen usw....
Sind der Aufwand und die Kosten für solche Kaffeemaschinen nicht entsprechend?
Das ganze scheitert an der Vergänglichkeit des Seins...;) .
Ich meine, da ist eine Bohne, und sie enthält Koffein, das einen nützlichen, aber doch eher profanen 'Rausch' erzeugt.
Au weia, die Steinigung naht.....
:eek:
Grüße Hermes
PS: Geschätzte Wahrscheinlichkeit des Auftauchens des Worts "Banause" bei Antwort auf diesen Beitrag: 96%....:D
Kaffeebanause :-)
Bei Lidl gibt es gerade eine Espressomaschine fuer 45 EUR. Wie die Aldi- FIF eine umgelabelte De Longhi. Hatte ich auch schon. Kannst du dir kaufen und nach 6-12 Monaten wegwerfen weil das Cremasieb irreperabel verstopf ist. Oder du besorgst dir ein normales passendes Sieb. Mit solch einem waere diese Maschine empfehlenswert.
Bis auf das Material (Messing) und Groesse des Bruehkopfes + Siebtraeger + keine! Cremamechanik hat die Maschine den geringsten Einfluss auf das Ergebnis. In der Rancilio fuer 500 EUR ist z.B. die selbe Ulka Pumpe drin wie in der Lidl Maschine.
Das Problem ist :
Siebtraegermaschinen ohne Crema System gibt es nur noch ab dem mittleren Preissegment. Warum ?
Weil die Benutzer billiger Maschinen keine Muehle haben und vorgemahlenes Pulver verwenden. Damit das ungeniessbare Gebraeu wenigstens optisch etwas hergibt wird Luft reingewirbelt. Und leider verhindert diese Mechanik oder ein Cremasieb das Herstellen einer echten Crema aus frischen, frisch gemahlenen Bohnen.
Hab ich an einer Krups Novo schon selbst ausprobiert. Bohnen frisch vom Roester. Optimaler Mahlgrad. Ergebnis war Ploeree mit Pseudocrema und Plastik Beigeschmack.
Der Witz: Dieses Thermoblockmaschinchen wurde bei Waretest mit 2.1 bewertet und die Gaggia Evolution mit 2.7
Warum wohl ? Letzteres ist eine absolut hochwertige Maschine.
Die La Pavoni Handhebel ueberhitzt nach 2 Espressi, der Kaffee verbrennt.
http://www.lapavoni.de/images/produkte/plh_150_1.jpg
Kann man z.B. am Pressostaten tricksen, aber dann fehlt der Dampf. Daher hab ich eine defekte Gaggia Baby fuer 30 EUR bei ebay ersteigert, komplett zerlegt und restauriert. Geht also auch guenstiger. Die Maschine ist anders als die Pavoni voellig unkritsch und ideal fuer Anfaenger. Auch ideal fuer Capuccino.
Was soll da mehr kommen von Kaffee?!
Das weisst du erst wenn du mal einen richtigen Espresso getrunken hast. Aber selbst in der Spitzengastronomie gibt es den kaum noch. Entweder Vollautomat oder das Problem steht hinter der Maschine. In Ka kenne ich neben zwei Barista Shops gerade mal noch eine oder zwei ital. Eisdielen die einen echten Spitzenespresso anbieten. Den Rest kann man vergessen. Dann lieber eine Tasse Kaffee oder Cappuccino, da ist der Espresso weniger kritsisch.
Wenn du willst frage ich im Kaffenetz nach einer guten Adresse in deiner Naehe.
Du kennst doch bestimmt im Audio-Bereich auch diese Ultra-High-End-'Snobs', die meinen sie brauchen vergoldete Kabel und Plattenspieler die die Eigendrehung der Galaxie berücksichtigen und ausgleichen usw....
Ja, vergoldete Stecker, Spezialkabel ist alles Quatsch. Und heute sind auch billige Lautsprecher recht gut.
Sind der Aufwand und die Kosten für solche Kaffeemaschinen nicht entsprechend?
Ganz klar Nein ! Das mit der Maschine habe ich erlaeutert.
Das wichtigste ist die Muehle. Da habe ich ebenfalls schon billige getestet. Negativ, ausser einer Handmuehle. Die geht.
Kaffeebohnen vom Supermarkt sind meist ueber ein Jahr alt. Und nicht geroestet sondern die werden einfach verbrannt.
90-180 Sekunden (Kleinroester 20-30 Minuten) Im Grunde ein Verbrechen, aber Zeit=Geld.
Und der aus der Klein Roesterei ist nur 10% teurer. Dennoch Welten zu Segafredo, Lavazza, Illy oder gar Tschibo.
Selber roesten z.B. in der Popcornmaschine ist noch guenstiger, denn auf den Bohnen ist keine Kaffeesteuer drauf.
Viele Gruesse
Snobisten bevorzugen uebrigends Schleichkatzenkaffee.
Das Kilo 1000 bis zu 4700 EUR
http://www.rp-online.de/panorama/ausland/Kaffee-aus-Katzenkot-ist-der-Renner_aid_364999.html
Soll aber nicht sonderlich gut sein.
Gaggia Evolution (Kein Magnetventil, kein Bruehdruckventil) im perfekten Einsatz (Bodenloser Siebtraeger)
http://www.youtube.com/watch?v=Fmlcz0bheQw&feature=related
New Espresso/Dose/Color/Pure des Herstellers sind nicht empfehlenswert
Hi Eugen
Die Gaggia Classic Coffe wird bei ebay fuer ca 200 EUR neu angeboten. Nach Erfahrungsberichten ist die Quelle serioes.
Ansonsten kostet sie um die 300-400 EUR.
http://www.plus.de/is-bin/INTERSHOP.enfinity/WFS/Plus-PlusDE-Site/de_DE/-/EUR/ShopViewShortLink-Product?ProductSKU=46106400&RefID=PSM_801_0840_40_02 [...] Was verwendest du denn momentan ?
gruesse
Hallo Richy,
vielen Dank für die umreichen Informationen. Bei ebay kaufe ich nichts. Aber ich werde in deinen anderen Links suchen.
Ich verwende momentan nur einen "Phillips-Kaffezubereiter". Der macht keine Crema. Mehr als :o
M.f.G. Eugen Bauhof
Hi Bauhof
Der macht keine Crema.
Und die macht den Geruch aus, zeigt dass alle Parameter stimmen und versiegelt die Aromen. Aber bitte daran denken
Ohne eine Muehle, mit Pulver, liefert auch eine Gaggia CC oder Pavoni keine Crema.
Nichteinmal so eine weisse Luftcrema die nach nichts riecht und schmeckt.
Echte Crema schmeckt uebrigends penetrant bitter. Sie ist lediglich ueber den Geruch ein Geschmacksfaktor."Phillips-Kaffezubereiter"
Also ein Vollautomat ? Versuch es mal mit dem feinsten Mahlgrad und dem Fausto India Monsoon Malabar.
https://www.caffe-fausto.de/index.php?id=62&no_cache=1
Das ist ein Cremabomber. Mosoonkaffe schmeckt auch super.
Bei Fausto gibt es ein Probierpaket fuer Vollautomaten:
https://www.caffe-fausto.de/index.php?id=38&no_cache=1
Falls du fuendg wirst :
Oben erwaehnte Maschine mit Alu Boiler oder Alu Thermoblock Maschinen muss man mit kalkarmem Wasser betreiben.
Valon von Lidl z.B. Sonst ist die Maschine nach 6 Monaten werkstattreif.
Entkalken ueber den Wassertank funktioniert allgemein im Grunde gar nicht. Bei Alu Elementen ist selbst Zitronensaeure "angeblich" zu stark. Man muss die noch schwaechere teure Weinsteinsaeure verwenden.
Schon mit Essig- oder Zitronensaeure kann man einen Boiler nicht richtig entkalken. Mit Weinsteinsaeure schon gar nicht. Da hilft nur zerlegen oder praeventif fast voellig kalkfreies Wasser wie Valon zu verweden.
Um Kaffeefett zu entfernen eignet sich Natron, Backpulver. Damit man den Bruehkopf mittels Blindsieb und Natron rueckspuelen kann muss die Maschine ein Magnetventil aufweisen. Dann ist das eine saubere Sache.
Viel Erfolg
Da war doch noch was ?
Ach ja : 1471 und 3001
Meinen Zipfelsinn Thread von 2006 hab ich im alten Forum gefunden.
Darin auch die eigentuemlich Rangfolge der Haeufigkeiten der Primfaktoren der Fibonacci Zahlen.
Folgende Tabelle zeigt die Rangliste dieser Zipf Verteilung :
2
3
5
13
7
17
11
89
233
29
61
47
1597
19
37
113
41
421
199
28657
23
3001
521
53
109
281
514229
31
557
2417
2207
19801
3571
141961
107
73
149
2221
9349
135721
2161
59369
2789
211
433494437
Mit der 1471 habe ich mich geirrt. Das war die Zahl 1597. 3001 ist der 22-haeufigste Primfaktor der Fibonacci Zahlen. Aber ich vermute mal es ist Zufall dass der Faktor auch bei dem Primorial Algo auftritt.
Also knapp daneben :)
Hi ! Ich kann mich erinnern , allerdings war ich wohl nicht der Diskussions-
partner.
Ansonsten hatte ich einen Onkel mit vier Kindern der Bundeswehr , unsere
Generation hatte wohl eher die Neigung zu verweigern . Soldaten sind
wohl nicht unbedingt immer Geschäftsleute.
Wünsch allen eine schöne Adventszeit. Regeli :cool:
Hi ! Ob sich hier jemand weiterhin interessiert ?
Habe jetzt die > Primzahlrechnung< fertig. Allerdings weiß ich nicht ,
ob es jetzt passt. Sie enthält auch die Zahl 1 , die multiplikativ nichts
bedeutet , sondern nur additiv.
Erste Berechnung mit 1,2
Die entstehende Primzahlfolge wird gespeichert und dann mit der ver-
lichen , die bei 1,2,3 entsteht usw. so dass wir diese Folge ( die der
Primzahlen unter Kontrolle behalten. Negative Primzahlen werden
vermieden.
Es gibt zwei Grenzwerte G1,G2
Wir bilden zwei Ausdrücke die saldierend verbunden werden , die aber nicht
immer ein Produkt sein müssen , sondern einzelne Primzahl sein kann.
2+- 1 --> 1,3 ----> G1 = 3²
2²+-1 --> 3,5 ----> G2 = 3x5
2³+-1 --> 7,9 (mit 9 = G1)
2 hoch 4 +- 1 --> 15,17 ( 15 = G2)
Man würde also die Primzahlfolge 1,2,3,5,7 , notieren eventuell auch die
Zahl 17,
Die nächste Berechnung erfolgt dann mit 1,2,3 fortgesetzt. Da müssten
wiederum 5,7 errechnet werden und weitere Primzahlen in Folge.
Will be continued ... regeli :D
Das ist und wird die Primzahlrechnung.
Hi ! Da in der ersten Rechnung 17> G2 ist würde man die Zahl 17 wohl
streichen und auch die gesamte Rechnung 2hoch4 +-1 --> 15,17 wegen
15 =G2.
Man erspart sich damit die vierte Potenz. Das ist zunächst die eine
festzulegende
Bedingung , wieweit eine solche Rechnung in den Exponenten gesteigert
werden muss , was da sinnvoll ist.
Ferner wollte ich noch erwähnen , dass G1 durch Wurzelziehen gefunden
werden kann und G2 durch teilen mit dieser Wurzel. Ansonsten müßte die
Rechnung immer mindestens zwei Primzahlen Vorlauf in der Folge haben.
mit 1,2,3,5,7 ginge das ---> 5² für G1 und 35 (5x7) für G2
Ab gehts mit der Rechnung 1,2,3
2x3+-1 --> 5,7
2²x3+-1--> 11,13
2x3²+-1--> 17,19
2²x3² +-1 --> 35,37 mit 35 = G2 < 37 ( Diese letzte Rechnung wird
verworfen und die Saldierung der Zahl 1 ist beendet.
Man könnte eigentlich mit der entstanden Folge zufrieden sein, nur ist
man unsicher bezüglich der Vollständigkeit.
Daher noch andere , wobei die 1 wechselt.
1x3+-2 --> 1,5
1x2²+-3 --> 1,7
1x3² +-2 --> 7,11
1x 3² +-2² --> 5,13
1x2³ +-3 --> 5,11
2 hoch 4 +-3 = 13,19
3²+-2³ --> 17,1
2hoch 4 +-3² --> 7,25 mit 5²= G1
3³+-2hoch 4 --> 11,19
Die Potenzen könnten gesteigert werden , es wurde immer darauf ge-
achtet , dass der erste Ausdruck größer als der zweite ist. Und dass die
Zahl 1 im Produkt entfallen kann ,sieht man.
Die Frage wie weit muss sinnvoller Weise gerechnet werden , lasse ich
unbeantwortet.
Wir würden darstellen, nach Größe :
1,2,3,5,7,11,13,17,19, .Das sieht schon richtig nach Primzahlfolge aus.
:D Die nächsten Rechnungen erfolgen dann mit 1,2,3,5, ...
Alles ist nicht ge>regeli<et , aber die Richtung und Methode wird
deutlich. Durch Richys Einlassung über die Zahl 1 -- nicht zu vergessen.
Gruß Regeli ;)
Hi ! Die nächste Stufe der Rechnung ist auch ziemlich verworren.
Auf Anhieb wird man da keine Folgerung für das Zwillingsproblem
ziehen können.
Jedenfalls kann man nicht mehr behaupten , dass Primzahlen
völlig willkürlich im System der natürlichen Zahlen stehen.
Einige Beweise z.B. für den Satz der kleinen Teiler werden noch gebraucht.
Jeder kann es jetzt ausprobieren z.B. 1,2,3,5 ,
Man bildet arithmetische Ausdrücke aus diesen 4 Zahlen und ihren Potenzen und rechnet die aus . für G1 gilt 7² und G2 7x11 = 77.
Gruß regeli :cool:
Meinen Zipfelsinn Thread von 2006 hab ich im alten Forum gefunden.
Darin auch die eigentuemlich Rangfolge der Haeufigkeiten der Primfaktoren der Fibonacci Zahlen.
Folgende Tabelle zeigt die Rangliste dieser Zipf Verteilung :
Mit der 1471 habe ich mich geirrt. Das war die Zahl 1597. 3001 ist der 22-haeufigste Primfaktor der Fibonacci Zahlen. Aber ich vermute mal es ist Zufall dass der Faktor auch bei dem Primorial Algo auftritt.
Also knapp daneben :)
Hi ! Richy u.a. Dachte , Du würdest mal so eben ein Programm schreiben, das die neue Rechnung etwas weiter bringt
Was nun Zufall ist oder Gesetz , da fragt man sich , wenn man so gar
keine Erklärung hat , keine Theorie und keine Vorträge (Vordenker ,Vorredner )
Nehme mal eine Struktur der Primzahlen:
1,2,3
3,5,7
(5,7)(11,13)(17,19)
((11,13)(17,19)) ((101,103)(107,109)) ((191,193)(197,199))
Wie könnte die Folge weitergehen ?
Die Doppelzwillinge stehen symmetrisch in p! mit p=7
Zugegebenermaßen schart sich heutzutage alles um fraktales Denken ,
Komlexe Zahlen und Polynome .
Gesundes Neues Jahr regeli
P.S. Fand meinen Spruch :" A new world is born " :)
Ergaenzung :
Im Ausgangsposting dieses Threads
http://www.quanten.de/forum/showthread.php5?t=1257
hatte ich zunaechst eine Variablentransformation z=ln(y) vorgestellt um die DZGL y[k+2]=y[k+1]*y[k] auf die lineare Fibonacci Form zu transformieren.
Eine Substitution.
Gelingt es eine DZGL ueber eine Substitution auf die Form y[k+2]=y[k+1]*y[k] zu transformieren laesst diese Form sich natuerlich dann auch weiter durch eine zweite Substitution auf die Fibonacci Form transformieren.
So dass man einen allgemeinen Satz formulieren kann :
Kann man den Operator f{} einer DZGL x[k+1]=f{x[k],x[k-1]} in eine Summe zerlegen, so dass gilt f(x[k+1])=f(x[k])+f(x[k-1]) oder ein Produkt f(x[k])*f(x[k-1]) so laesst sich der Grenzwert des Quotienten zweier Glieder der Folge bestimmen.
Im Folgenden beschaeftigte mich die Frage wie man die modifizierte Fib DZGL mit der Loesung 2^k auf die Mersenne Form mers[k]=2^k-1 transformierne koennte. Anhand meiner bisherigen mathematischen Ueberlegung kenne ich folgende DZGL Darstellung der Funktion y[k]=2^k :
Tja, manche Zusammenhaenge klebe ich mir tatsaechlich an die Kuelschranktuer.
DZGL 1)
******
y[0]=1,y[1]=2
y[k+2]=y[k+1]+2*y[k]
Loesung :
*******
y[k]=2^k
Die Herleitung dieser Darstellung ist nicht voellig trivial. Man kann hier mehrere Wege beschreiten. Z.b. die expizite Loesung einer verallgemeinerten Fibonacci Folge oder die frac() Lemmas von richy.
frac() ist der Nachkommastellenoperator. Eine Saegezahnfunktion.
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/frac2.htm
(Die Seite sollte ich verbessern. Kapiert in der Form ja kein Mensch :-)
DZGL 1 beschreibt einen gueltigen Zusammenhang.
Wie kann ich die Loesung 2^k nun auf die Mersenne Form 2^k-1 transformieren ?
Vor ein zwei Jahren ist mir dies rein logisch gelungen. Bei einer Fahrt zum Supermarkt. Diese logische Loesung hatte ich hier angegeben :
http://www.quanten.de/forum/showpost.php5?p=42134&postcount=8
Der eigentliche Nachtrag :
Diese komplizierte Ueberlegungen von mir lassen sich sehr viel einfacher mittels einer Substitution darstellen :
y[k+2]=y[k+1]+2*y[k]
y[k]=2^k
Einfuehren der gewuenschten Zielfunktion (Substitutiuon) mers=2^k-1
mers[k] =y[k]-1
y[k]=mers[k]+1
Substitution der Ausgangsgleichung :
mers[k+2]+1=mers[k+1]+1+2*(mers[k]+1)
mers[k+2]=mers[k+1]+2*(mers[k]+1)
mers[k+2]=mers[k+1]+2*(mers[k]+1)
mers[k+2]=mers[k+1]+2*mers[k]+2
****************************
So erhaelt man auch ohne viele Nachdenken, alleine durch stupide Substitution die gewuenschte Zielform.
=>
Anhand dieses Beispiels wird nochmals deutlich, dass alle klassischen Verfahren zur Loesung von Differentialgleichungen auch fuer Diffenzengleichungen anwendbar sind. Nicht nur der Uebergang von Fourier Transformation oder LaPlace Transformation zur Z-Transformation.
Differenzengleichungen sind diskretisierte Differentialgleichungen .
Ich hab jetzt eine DZGL 2 ter Ordnung fuer 2^n hergeleitet.
Welche Rolle spielt 2^n ?
http://home.arcor.de/richardon/2010/verhulstlsg.gif
ciao
Vielleicht basiert "Wolframs Postulat" zur Loesung der Verhulst Gleichung ebenfalls auf einer Substitution :
http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LogisticMap/NumberedEquation3.gif
So wuerde ich mir die Umkehrfunktion f-1 erklaerden. Vielleicht maile ich ihn mal an.
Der Thread enthaelt einige sehr praktische Erkenntnisse. Z.b. die Herleitung der 3 ten Binomischen Formel aus der geometrischen Reihe. Verwandte Strukturen zwischen Fibonacci und Mersenne Zahlen e.t.c
Als Zusammenfassung eines Teilaspektes moechte ich nochmal den Satz von Wilson nennen. Damit lassen sich tatsaechlich alle Primzahlen in geordneter Reihenfolge erzeugen. Allerdings nicht in geschlossener Form.
WILSON :
Satz 1) Ist p eine Primzahl, dann ist [1+(p-1)!] / p eine ganze Zahl.
Satz 2) Wenn (p-1)!+1 / p ohne Rest teilbar ist, dann ist p eine Primzahl
Widerspruchsbeweis von Satz 2
EDIT: elegantere genauere Verifikation hier :
http://www.quanten.de/forum/showthread.php5?p=61644#post61644
Alle Primteiler von (p-1)! +1 sind groesser als (p-1)
Wenn (p-1)! +1 ohne Rest durch p teilbar ist, dann enthaelt (p-1)! +1 den kleinsten moeglichen Primteiler p
Waere der Teiler zusammengesetzt so muesste dieser Teiler groesser p^2 sein.
Dann muesste aber gelten p>=p^2 und das ist nur fuer p=+-1 kein Widerspruch.
Daher kann p keine zusammengesetzte Zahl sein.
Satz 1 ist weitaus schwieriger zu beweisen und nur damit ist das Kriterium von Wilson hinreichend um alle Primzahlen zu erzeugen :
Praktische Anwendung :
Der kuerzeste Primzahlgenerator den es gibt :
> for p from 1 to 1000 do
> if frac(((1+(p-1)!)/p))=0 then printf(`%g `,p);fi;od
(fi und od sind nur Blockzeichen von Ansi C {}. Maple ist in C geschrieben.
Mal lese fi und od rueckwaerts, dann wird deren Funktion klar.)
Ausgabe des Programms :
1 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997
Weiterer Nachtrag :
1)
Vielleicht basiert "Wolframs Postulat" zur Loesung der Verhulst Gleichung ebenfalls auf einer Substitution
Die Frage kann ich jetzt beantworten. Die beiden Loesungen basieren auf Substitutionen.
Wenn man nun beachtet
arccos(2*x^2-1) = |2*arccos(x)|
so kann man aus der Fib Folge eventuell eine neue Klasse nichtlinearer loesbarer DZGL's einfach herleiten. Hierzu muesste man zunaechst untersuchen ob auch gilt :
arccos(f(a,b)) = |arccos(a)+arccos(b)|
2)
Folgendes Ergebnis des Threads ist ebenso praktisch und wollte ich nochmals festhalten :
Mit der geometrische Reihe kann man sehr schnell die allgemeine dritte binomische Formel herleiten kann :
Beispiel mit y^n=1
q^n-1 = ? erweitern mit (q-1)/(q-1)
q^n-1 = (q-1)*(q^n-1)/(q-1)
Voila das wars auch schon :-)
http://upload.wikimedia.org/math/7/4/3/74316cd16345b003ef2ffb179e1bbc1d.png=>http://upload.wikimedia.org/math/a/1/a/a1ab23d807d4bfb72741122b5c65bfb4.png
Funktioniert auch mit y<>1
3) Fuer Pi lassen sich ueber nichtregulaere Kettenbrueche ebenfalls Fib Reihen herleiten.
Allerdings scheinen diese nur schlecht zu konvergieren.
Helau
zu 1 :
Additionstheorem der Arccos-Funktion
arccos(x)+arccos(y)=arccos(x*y-sqrt(1-x^2)*(sqrt(1-y^2)), x+y>=0
arccos(x)+arccos(y)=2*Pi-arccos(x*y-sqrt(1-x^2)*(sqrt(1-y^2)), x+y<0
http://www.matha.rwth-aachen.de/lehre/ss02/ana2/formel.pdf
Folgende DZGL ist somit loesbar (auch kompexwertig ?)
f[k]=f[k-1]*f[k-2]-sqrt(1-f[k-1]^2)*(sqrt(1-f[k-2]^2)
Begruendung aus 1 und Anfangsgedanke des Thraeds :
http://www.quanten.de/forum/showpost.php5?p=42122&postcount=3
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