Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : goldener Schnitt-Raumstruktur
weis jemand warum alles im goldenen Schnitt ist, hat es etwas mit der Raumstruktur zu tun, dass sich alle Tatsachen nach diesem richten??
Hat jemand eine Vermutung oder eine interessante Idee?
Will niemand Antworten ?
Ich denke die Raumstruktur spielt hier weniger eine Rolle.
Im Fuenfeck kommt natuerlich der goldene Schnitt vor.
Aber ob das Fuenfeck in einer Raumstruktur vorkommt weiss man nicht.
Man weiss gar nicht ob es eine solche gibt. Dazu muesste der Raum natuerlich quantisiert sein. Meiner Meinung nach ist er das. Er muss es aber nicht sein.
Der Zahlenwert g=Phi wird oft unterschaetzt. Und dass er in der Physik so selten vorkommt ist ein Zeichen dafuer, dass die Physik teilweise noch am Anfang steht.
Der goldene Schnitt hat unzaehlige spezielle Eigenschaften. Sowohl in der Mathematik, der Natur, also der realen, nicht abstrahierten Physik, sowie den Kuensten, der Kosmologie, der Biologie ...
PHI ist allgegenwaertig, verbindet alle Diszipinen und fuer jedes Themengebiet kann man eine andere spezielle Eigenschaft hervorheben.
Was ist nun aber das besondere an diesem Zahlenwert ?
Meine Antwort waere recht eindeutig und basiert auf dem mathematischen Aspekt :
Der goldene Schnitt ist diejenige irrationale Zahl, die in einer Bruchdarstellung am schlechtesten gegen den exakten Wert konvergiert. (Das laesst sich mathematisch herleiten) Man kann dies auch so formulieren, dass der goldene Schnitt diesbezueglich die irrationalste aller Zahlen ist.
Das ist fuer mich die fundamentalste Eigenschaft des goldenen Schnittes.
Diese Besonderheit spiegelt sich auch in dessen Kettenbruchdarstellung wieder (1,1,1,1,1,.........)
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/golden/index.htm
Dies hat physikalisch Auswirkung auf Systemresonanzen. Die der goldene Schnitt vermeidet und so als Antiresonator Systeme stabilisiert. Z.B. Mehrkoerpersysteme wie unser schoenes Sonnensystem.
Die natuerlichen Zahlen sind physikalisch gesehen Resonatoren.
Das Zusammenspiel zwischen Resonatoren und Antiresonatoren, Chaos und Ordnung bildet eine fraktale Grenzschicht. Auf dieser spielt sich alles Leben im Universum ab. Jenseits des thermodynamischen Geichgewichts.
Das ist aber natuerlich noch lange nicht alles.
Als zweitwichtigste Eigenschaft wuerde ich die Rolle von Phi in den Fibonacci Zahlen nennen.
Der Quotient zweier wachsenden aufeinanderfolgenden Fib Zahlen konvergiert gegen den goldenen Schnitt. Sind die Fib Zahlen daher so fundemantal ? oder umgekehrt
Ist der goldene Schnitt Phi wegen den Fib Zahlen fundamental ?
Das kann man schlecht sagen. Wohl beides.
Jeder moege selber entscheiden.
Die Fib Zahlen sind ein Prototyp einer diskreten Wachstumsfunktion.
Das diskrete, etwas komplexere Gegenstueck zur Exponentialfunktion.
Wobei die Fib Zahlen als komplexwertige Expofunktion dargestellt werden koennen, mit Phi als Wachsumskonstante im Exponenten. Komplexwertig sind Fib Zahlen eine Spiral / Helixfunktion.
Ich hab frueher uebrigends oft zu umstaendlich gerechnet um den Zusammenhang zwischen PHI und FIB darzustellen. Es geht auch ganz einfach. Mit nur einfachster Schulmathematik
Die Fib Zahlen folgen der DZGL (Differenzengleichung,Iterationsanweisung) :
1)fib(k+1)=fib(k)+fib(k-1), fib(0)=fib(1)=1
Was ist daran so besonders ? Die DZGL laesst eine einfache Substitution zur Chrakterisierung zu :
2) g(k)=fib(k+1)/fib(k), g(0)=1
Man sieht schon, wozu dies gut sein koennte.
Man betrachtet mit g(k) nun nicht mehr die Fib Zahlen sondern deren aufeinanderfolgenden Quotienten.
Und diese konvergieren "angeblich" gegen welchen Wert ? ... :-)
Ok! Fuehren wir die Substitution durch :
Wir formen 1) um indem wir durch f(k) teilen :
fib(k+1)/fib(k)=1+fib(k-1)/fib(k)
Un sehen sofort die damit moegliche einfache Substitution :
3) g(k+1)=1+1/g(k) (Klaro warum ?)
Eine nichtlineare DZGL. Obwohl ich diese noch lange nicht ganz verstehe, kann man wiederum mit einfachster Schulmathematik bestimmen gegen welchen Grenzwert, Attraktor diese DZGL strebt :
Attraktor bedeutet :
Fuer diesen aendert sich der Wert der Iteration nicht mehr.
D.h. einfach und anschaulich, dass das Differential (in einer Iteration die Differenz) aufeinanderfolgender Werte sich nicht mehr aendert.
dg(k)/dk=0
In der Differenzengleichung ist es noch einfacher :
g(k+1)-g(k)=0
Aha ! :D Naja g(k+1)-g(k) koennen wir doch ganz einfach bestimmen :
1+1/g(k)-g(k)=0
Wir multiplizieren beide Seiten mit g(k)
4) g+1-g^2=0
Und verwenden z.B die quadratische Loesungsformel fuer diese GL :
g1=[1+Wurzel(5)] / 2 = 1.618033989 ...
g2=[1-Wurzel(5)] / 2 =-0.618033989 ...
Und die Loesung, Attraktor ist der goldene Schnitt !
***************************************
Wobei man sich nicht so recht einig ist :
Ist 1.618033989 ... oder 0.618033989 ... der goldene Schnitt PHI ?
Da muss man etwas aufpassen :-)
Ich moechte jetzt noch eine interessante Eigenschaft dieses Zahlenwertes vorstellen.
Die einem etwas staunen laesst. Das kann ja nie schaden.
(Wobei viele irrationale Zahlen diese Eigenschaft aufweisen.)
Dazu formen wir Gl 3), (nicht 4) ganz einfach mal um :
g=1+1/g =>
5) 1/g=g-1
Was sagt uns diese Umformung ?
Wenn wir von g, also der Loesung Phi den Kehrwert bilden, so muesste dies der selbe Zahlenwert sein wie wenn wir von Phi die Zahl eins abziehen.
g = 1.618033989 ... => g-1 = 0.618033989 ...
g = 1.618033989 ... => 1/g = ?
Welchen Wert muss 1/g aufgrund der Ausgangsgleichung aufweisen ?
Es muss so sein. Dennoch darf man staunen :
1/1.618033989 ... = 0.618033989 ...
Wie kann man diese Eigenschaft noch formulieren ?
Die Nachkommastellen der Zahl g sind gleich der Nachkommastellen der Zahl 1/g.
"Nachkomastellen" ist kein analytisches, schoes Wort.Wie kann man dieses noch anders ausdruecken ?Es gibt dafuer einen mathematischen Operator, der den Programmierern hier sicherlich bekannst sein duerfte. Das ist der frac{} (fractional) Operator. Dieser Operator (Arbeitsanweisung) besagt :"Nimm von der Zahl x lediglich den Nachkomma-Anteil !"
Beispiel :
frac{1234.5678} = 0.5678
Mit diesem Operator koennen wir die eben gefundene Eigenschaft des goldenen Schnittes nun noch formaler darstellen :
frac(1/PHI)=frac(PHI)
BTW:
Ueber einige Umwege eines komplexwertigen Polynoms laesst sich folgendes zeigen :
Gegeben sei die Zahl y.
Erfuellt y die Gleichung
frac(1/y)=frac(y) und damit
frac(1/y)=frac(n+y), n element N ...
So ist y eine irrationale Zahl.
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/frac.htm
ciao
Nochmals der Fib-Phi Zusammenhang zusammengfasst :
1) fib(k+1)=fib(k)+fib(k-1), fib(0)=fib(1)=1
Substitution :
2) g(k)=fib(k+1)/fib(k), g(0)=1
=>
3) g(k+1)=1+1/g(k)
Bestimmungsleichung des Attraktors von g ueber g(k+1)-g(k)=0 :
4) g+1-g^2=0
Loesung fuer 3,4 :
g1=[1+Wurzel(5)] / 2 = 1.618033989 ...
g2=[1-Wurzel(5)] / 2 =-0.618033989 ...
g1 ist der goldene Schitt. g2 eine Variante.
Spezielle Eigenschaft von g
frac(1/g)=frac(g)
Es laesst sich zeigen :
Falls gilt frac(1/y)=frac(y)
so ist y irrational
ciao
Was ist nun aber das besondere an diesem Zahlenwert ?
Meine Antwort waere recht eindeutig und basiert auf dem mathematischen Aspekt :
Der goldene Schnitt ist diejenige irrationale Zahl, die in einer Bruchdarstellung am schlechtesten gegen den exakten Wert konvergiert. (Das laesst sich mathematisch herleiten) Man kann dies auch so formulieren, dass der goldene Schnitt diesbezueglich die irrationalste aller Zahlen ist.
Das ist fuer mich die fundamentalste Eigenschaft des goldenen Schnittes.
Diese Besonderheit spiegelt sich auch in dessen Kettenbruchdarstellung wieder (1,1,1,1,1,.........)
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/golden/index.htm
Dies hat physikalisch Auswirkung auf Systemresonanzen. Die der goldene Schnitt vermeidet und so als Antiresonator Systeme stabilisiert. Z.B. Mehrkoerpersysteme wie unser schoenes Sonnensystem.
Die natuerlichen Zahlen sind physikalisch gesehen Resonatoren.
Das Zusammenspiel zwischen Resonatoren und Antiresonatoren, Chaos und Ordnung bildet eine fraktale Grenzschicht. Auf dieser spielt sich alles Leben im Universum ab. Jenseits des thermodynamischen Geichgewichts.
So habe ich das noch nicht gekannt, klingt aber einleuchtend. Da ich mich auch etwas mit Schwingungstechnik, insbesondere mit Resonanzerscheinungen beschäftige, interessiert mich, ob es auch eine " 2.-beste" irrationale Zahl, bzw. allgemeine Regeln zum Aufstellen solcher Zahlen gibt, um Resonanzen z.B. in Mehrkörpersystemen möglichst zu vermeiden.
Bitte :-)
Da ich mich auch etwas mit Schwingungstechnik, insbesondere mit Resonanzerscheinungen beschäftige, interessiert mich, ob es auch eine " 2.-beste" irrationale Zahl, bzw. allgemeine Regeln zum Aufstellen solcher Zahlen gibt, um Resonanzen z.B. in Mehrkörpersystemen möglichst zu vermeiden.
Das ist eine ziemlich gute und interessante Frage. Aus dem Stehgreif kann ich diese zunaechst nicht beantworten. Es ist auch nicht so, dass Phi in allen Proportionen des Sonnensystems auftritt. Das kann auch gar nicht sein, denn sonst waeren zwei Proportionen wiederum ganzzahlige Vielfache voneinander.
Aber in einigen Verhaeltnissen findet sich Phi im Sonnensystem (Kann man auch mal googeln) Oder man betrachtet Keplers "Harmonices Mundi".
Im Dodekaeder ist mit Sicherheit der goldene Schnitt enthalten.http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/120px-Dodecahedron-slowturn.gif
Ebenso im Isoader:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/73/120px-Icosahedron-slowturn.gif
Dazu gibt es im Forum einen interessanten Thread. Wobei der Autor dort unter Keplers Weltharmonie eine musikalische Harmonie vermutet.
http://www.quanten.de/forum/showthread.php5?t=1271&Demgegenueber
Da bin ich etwas skeptisch.
A)
Die musikalische Methode waere jedoch ein Ansatzpunkt um Einiges zu zeigen:
- Ob die "Quantitaet einer Irrarionalitaet" einen Sinn macht.
- Abschaetzungen fuer die zwoelfte Wurzel. f(n)=f0*2^(n/12)
- ...
Beispiel: Eine kleine Sekunde klingt disharmonischer als die Quinte =>
2^(1/12) ist irrationaler als 2^(7/12) ?
Das koennte sogar ziemlich spannend werden, denn wir verbinden hier ein qualitatives und quantitatives Maß.
B)
Die Fragestellung koennte man auch rein analytisch versuchen anzugehen. Den Link dazu habe ich hier schon dargestellt. Grundlage waeren die Kettenbrueche und der Satz von Liouville. Dazu muesste man die Beweisfuehrung aber erst noch einmal durchgehen. Und es ist mit massifen Problemen zu rechnen. Denn nicht alle irrationalen Zahlen sind von der einfachen Form [k,k,k,k,k,k....]
Transzendente Zahlen wie Pi folgen iterativen Funktionen f(k).
Um diese zu bestimmen muss man recht komplexe Verfahren anwenden. Z.B eine recht kniffelige Koordinatentransformation von Euler. Srinivasa Ramanujan war wie Euler ein Spezialist fuer Kettenbrueche und so sind wenigstens viele Abbildungen f(k) bekannt.
Allgemeine Saetze fuer Addition und Multipikation von Kettenbruechen gibt es dennoch leider bis heute nicht. Allerdings lassen sich die Koeffizienten auch stets numerisch berechnen. (Kleiner Programmcode auf meiner Webseite)
Vielleicht koennten wir fuer deine Fragestellung die irrationalen Zahlen nochmals einteilen (natuerlich in auch transzendete) und zunaechst in Unterklassen deine Frage beantworten.
i)
Unter der Klasse der konstanten Kettenbrueche, also quadratischen Gleichungen wuerde ich den Kettenbruch [2,2,2,2,2...] vorschlagen. (Nur eine Vermutung) Das waere eine einfache Uebeung und auf meiner Webseite habe ich auch schon eine allgemeine Loesung fuer die Kettenbrueche der Form [a0,k,k,k...] hergeleitet.
ii)
Interessante Kandidaten waeren auch Kettenbrueche der Form [k,l,l,l,l ...] oder [k,k,l,l,l,l ...] [k,k,k,l,l ...]. Ich denke diese koennte man mit gewissem Rechenaufwand noch handhaben. Ich hab gerade eine Idee parat, aber keinen wirklichen Trick. Du ?
Bei Kettenbruechen gibt es eine Problematik bezueglich der Reihenfolge. So waere [l,l,l,l ...k] wohl schwieriger zu handeln.
Dementsprechend waeren [2,1,1,1,1 .. ] und [1,1,1,1...2] geeignete Kandidaten.
Interessant waere es schliesslich zu vergleichen ob die musikalische Methode A) sich auch in der Kettenbruchmethode B) widerspiegelt. Mich interessiert das Thema. Aber dazu muss ich zunaechst diese Beweisfuehrung hier nochmals durchgehen.
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/golden/index.htm
Man muss auch beachten, dass es meines Wissens nur eine Hypothese ist, dass die Kettenbruchentwicklung die effizienteste Approximationsmethode einer Zahl ist.
Letztdendlich gibt es in der Elektrotechnik tatsaechlich bereits Methoden um ueber die Kettenbruchentwicklung die Stabilitaet eines Systems zu beurteilen. Ebenso findet man bei Global Scaling einiges Material dazu. Wobei dieses nicht sonderlich vertrauenswuerdig ist. Vieles dort ist auch einfach falsch.
Gruesse
Vorbetrachtungen :
Blatt 1)
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/golden/gs1.gif
Einfuehrung des Kettenbruchs, Notation, Satz von Liouville.
Der Satz besagt, dass eine Zahl x durch einen Bruch p/q umso besser approximiert wird, je groesser der Nenner q ist,multipöiziert mit dem letzten Gewicht der Kettenbruchentwicklung.
Ohne Beweis wird angegeben, dass dies der Fall ist, je groesser die Gewichte der Kettenbruchapproximation sind. Ueber die Reihenfolge gibt es zunaechst keine Aussage.
Aufgabe :
Es ist zu Bestimmen wie der Nenner ueber die Gewichte konkret bestimmt wird. Da wir die Reihenfolge beruecksichtigen wollen, muss man beachten, dass diese bei der iterativen Kettenbruchentwicklung in umgekehrter Reihenfolge eingeht. Die zeigt folgender einfache Maplecode :
http://home.arcor.de/richardon/2010/mathe/gold1.gif
Wie entwickelt sich der Nenner ?
Wenn man die Substitition meines ersten Beitrag betrachtet kann man dies erraten. Aber berechnen wir die Loesung :
Dazu zerlegen wir f[k] der Iteration in p2/q2 ("2" bedeutet Index k+2)
p2/q2=r1+q1/p1, r1 erweitern
p2/q2=p1*r1/p1+q1/p1
p2/q2=(p1*r1+q1)/p1
p2=(p1*r1+q1) und
q2=p1
*****
Der Nenner in jedem Iterationsschritt ist wie bei den allg. Fib Zahlen gleichen dem Zaehler des letzten Iterationsschrittes. Auch diesen kennen wir:
q2=p1=(p0*r0+q0)
p0 ist aber gleich q1 =>
q2=(q1*r0+q0) ... ausfuehrlicher :
***********
Nenner[k+2]=(Nenner[k+1]*r[k]+Nenner[k])
*********************************
Der Nenner entwickelt sich somit wie erwartet in einer Fibonaccifolge mit dem Koeffizienten r[k]
************************************************** ********************
Blatt 2)
Das Guetekriterium ueber den Satz von Liouville war von der Form
r[n+1]*Nenner[n]^2. Im Grunde ist dies bereits ausreichend um die Klasse i) zu behandeln. Insbesonders wir der Nenner stets so gross sein, dass dieser fuer Vergleiche maßgeblich ist und nicht r[n+1].
Den Verlauf des Nenners koennen wir bereits ueber die Fib Zahlen bestimmen. =>
Je groesser r, umso groesser der Nenner.
Es wird sich zeigen, dass dies noch kein ausreichendes Kriterium ist und insbesonders Grenzwerte der Form y[k+1]=y[k]*r+s/y[k] betrachtet werden muessen.
Auf Blatt 2 wird nun ein noch schaerferes Kriterium vorgestellt :
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/golden/gs2.gif
(8) |x-x_n|<const / q_n^K
An dieser Stelle wird K nun als eine weiteres Maß der Irrationalitaet aufgefaßt. Es zeigt sich (ohne Beweis), dass der Parameter k zu einer Klassifizierung herangezogen werden kann.
@ Frank
Die Klassifizierung wird deine Fragestellung einfach loesen.
Erlaeuterung zum Kriterium (8) :
(8) |x-x_n| < const / q_n^K
Die linke Seite stellt die Abweichung, Fehler der Approximation dar.
Ist dieser Fehler klein => Zahl ist wenig irrational
Ist dieser Fehler gross => Zahl ist sehr irrational
Druecken wir dies jetzt so aus :
const / q_n^k ist klein => Zahl ist wenig irrational
const / q_n^k ist gross => Zahl ist sehr irrational
Nun stelt sich heraus (ohne Beweis) , dass k in unmittelbarem Zusammenhang zur Form der Zahl x_n gehoert. Ist diese Loesung eines Polynomes des Grades N, so ist K=N die hoechstens beste Approximation.
Je groesser K wird, umso kleiner wir die rechte Seite der Fehler.
Und daraus folgt unmittelbar :
Die algebraischen Zahlen vom Grade "zwei" sind die irrationalesten aller Zahlen !
Ich finde dies ueberraschend. Bin auch noch nicht so ganz ueberzeugt davon, dass diese Aussage allgemein gueltig ist. Denn dem Parameter "Nenner" wird hier nicht Rechnung getragen. So koennte es doch durchaus sein, dass die Loesung eines bestimmten Polynoms dritter Ordnung irrationaler ist als eines Polynoms zweiter Ordnung.
Fuer den goldenen Schnitt ist die Aussage aber klar. Das ist die irrationalste aller Zahlen.
Die Klassifizierung ueber den Parameter K=N koennte einen Ansatz fuer die "musikalische" Klassifizierung liefern. Ich meine das wird noch sehr spannend.
Marco Polo
24.01.10, 14:14
Hallo richy,
zur Irrationalität ein paar Bemerkungen. So wie ich das verstanden habe, ist eine Zahl entweder irrrational oder eben nicht irrational.
Dass aber die eine irrationale Zahl noch irrationaler sein kann als die andere, ist mir neu.
So ist z.B. sqrt2 eine irrationale Zahl, da man diese nicht durch einen Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen kann.
Was für Abstufungen soll es da bitte geben?
Ich vermute, dass das von dir angesprochene Maß an Irrationalität einer Zahl nicht der Lehrmeinung entspricht. Liege ich da richtig?
Gruss, Marco Polo
Blatt 3)
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/golden/gs3.gif
Hier wird ein Vergleich zwischen den noblen Zahlen, also auch Phi, sowie 1+Wurzel(2) sowie 1+Wurzel(3) durchgefuehrt.
Ebenso ein konkretes Beurteilungsverfahren, dass ich spaeter gerne noch etwas genauer betrachten moechte. Aber zunaechst soll Franks Frage beantwortet werden.
Wobei sich zeigt, dass es ausser fuer Phi stets nur Unterklassen von Zahlen gibt, die eine gemeinsame Quantitaet an Irrationalitaet aufweisen.
Dennoch meine ich das man aus Blatt 3) entnehmen kann :
Der goldene Schnitt ist die irrationalste aller Zahlen !
[1,1,1,1,1,1 ....]
Die noblen Zahlen sind die zweitirrationalsten aller Zahlen (Klasse ii) :
[a1,a2...a_m,1,1,1,1....]
Die Zahl 1+-Wurzel(2) ist die drittirrationalste aller Zahlen.
Diese Zahl ist Loesung der Gleichung :
x=2+1/x
Deren Kettenbruchdarstellung ist [2,2,2,2,2,2 ...]
Die Zahl 1+-Wurzel(3) ist die viertirrationalste aller Zahlen.
Diese Zahl ist Loesung der Gleichung :
x=2+2/x
Deren Kettenbruchdarstellung ist periodisch [2,1,2,1,2,1 ...]
Hier sieht man, dass es nicht ausreichend ist alleine die Gewichte der Kettenbruchdarstellung zu beurteilen. Und weiterhin, dass x=r+s/x betrachtet werden muss.
So hat x=3+1/x die Loesungen (3+Wurzel(13))/2
Zitate aus Blatt 3)
Es laesst sich beweisen, dass die aus Phi und 1-Wurzel(2) repraesentierten Klassen diejenigen mit dem hoechsten Grad der Irrationalitaet sind, so dass sich die noblen Zahlen von allen uebrigen Zahlen deutlich absetzen.
...
In diesem praezisen Sinne ist Phi endlich die irrationalste aller Zahlen.
Hi Marco
Ich vermute, dass das von dir angesprochene Maß an Irrationalität einer Zahl nicht der Lehrmeinung entspricht. Liege ich da richtig?
Nein, da liegst du voellig falsch !
Dieses Maß der Irrationalitaet ist im Grunde ein alter Hut der Mathematik der Chaostheorie.80 er Jahre. Das Guetemaß ergibt sich aus dem Satz von Liouville. Und vereinfacht gesprochen gibt es an wie gut oder schlecht, d.h. mit welchem Restfehler(n) sich eine irrationale Zahl ueber einen Bruch, speziell einen Kettenbruch approximieren laesst.
Wenn du Blatt 1-3) gelesen und verstanden haettest, wuerdest du deine Aussage wohl gerne zuruecknehmen.
Gruesse
Diese wichtige Eigenschaft hat sich sogar schon bis nach WIKI herumgesprochen.
http://de.wikipedia.org/wiki/Goldener_Schnitt#Approximationseigenschaften_der_G oldenen_Zahl
Ich koennte dir auch viele andere serioese www Seiten nennen. Kannst ja selbst googeln.
Meinst du WIKI verbreitet Infos entgegen der Lehrmeinung ?
Und wie gesagt. Lehrmeinungen gibt es im Gegensatz zur Physik in der Mathematik nicht !
Mathematik beschreibt Wahrheiten.
Physik ist ein Affenzirkus, an dem ich hoechstens am Rande noch teilnehmen werde.
Gruesse
Marco Polo
24.01.10, 15:29
Nein, da liegst du voellig falsch !
So was in der Art hatte ich befürchtet. :(
Dieses Maß der Irrationalitaet ist im Grunde ein alter Hut der Mathematik der Chaostheorie.
Das Guetemaß ergibt sich aus dem Satz von Liouville. Und vereinfacht gesprochen gibt es an wie gut oder schlecht, d.h. mit welchem Restfeler(n) sich eine irrationale Zahl ueber einen Bruch, speziell einen Kettenbruch approximieren laesst.
Aha. Ach so ist das gemeint.
Wenn du Blatt 1-3) gelesen und verstanden haettest, wuerdest du deine Aussage wohl gerne zuruecknehmen.
Huch, ja stimmt. Hatte alles nur überflogen. :o
Das musste ja auch so ausgehen, wenn man den Mathe-Experten herausfordert. :)
Grüsse, Marco Polo
Ich bin kein Matheexperte. Praxis in der Tensorrechnung fehlt mir z.B in meiner Sammlung. Ebenso die Uebersicht zu mathematischen Beweisen.
Ich habe lediglich u.a.erkannt, dass die Fib Zahlen eine aehnlich wichtige Stellung einnehmen wie die Primzahlen. Und dass der goldene Schnitt PHI in der (dynamischen, belebten) Natur eine ebensogrosse Rolle spielt wie Pi oder exp(1). In vielen Bereichen wohl sogar eine noch zentralere Rolle. Du wirst Phi dennoch kaum in einem physikalischen Lehrbuch finden. Weil er mit diskreten Prozessen verbunden ist, sowie mit nichtlinearen Prozessen.
Die Physik kann noch nicht viel sonderlich exakt beschreiben.
Das liegt aber auch an der Mathematik, die bei nichtlinearen Differenzengleichungen in der Regel kapitulieren muss.
Zur Irrationalitaet.
Versuche mal in unserem Sonnensystem nach ganzzahligen Verhaeltnissen zu suchen.
Es hat seinen Grund, dass diese sehr selten sind.
ciao
Marco Polo
24.01.10, 15:43
Physik ist ein Affenzirkus, an dem ich hoechstens am Rande noch teilnehmen werde.
Diesmal liegst du aber völlig falsch, richy. :p
Als E-Technik-Ingenieur solltest du wissen, dass die Ingenieurswissenschaften im beträchtlichen Maße von physikalischen Erkenntnissen abhängen.
Ohne diesen "Affenzirkus" könnten wir hier gar nicht via Internet kommunizieren.
Gruss, Marco Polo
Marco Polo
24.01.10, 15:46
Ich bin kein Matheexperte.
Vielleicht nicht global gesehen. Aber lokal mit Sicherheit. :)
Physik ist ein Affenzirkus, an dem ich hoechstens am Rande noch teilnehmen werde.
Gruesse
Das ist dummes Zeug und sollte Dir unwürdig sein.
Gruß,
Lambert
hab zum Thema einen neuen Thread eroeffnet.
Mit dem Thema der Klassifizierung der irrationalen Zahlen bin ich auch noch lange nicht durch.
@Lambert
Naja wenn ich es als Affenzirkus empfinde :-)
Hallo Richy,
danke für die ausführliche Antwort.
Ich finde das Thema sehr interessant und es würde mich nicht wundern, die entsprechenden Zahlen ebenso wie den goldenen Schnitt in der Natur an vielen Stellen wiederzufinden.
Der Hinweis auf musikalische Dissonanzen und Stabilitäten komplexer Systeme (Sonnensystem) deutet ja schon darauf hin.
Selbst dem Menschen scheint ja mit dem Sinn für Ästhetik ein Gefühl für solche Zahlen angeboren zu sein.
Leider fehlt mir als Maschinenbau-Ing. der mathematischen Hintergrund, um Deinen Ausführungen auf die schnelle komplett folgen zu können. Ich werde mich wohl da in Ruhe mal durcharbeiten.
Hi Frank
Die Reihenfolge der Irrationalitaet hatte ich ja schon angegeben :
Bezueglich Oberklassen :
Klasse 2 : Polynom 2 ten Grades
Klasse 3 : Polynom 3 ten Grades
Klasse 4 : Polynom 4 ten Grades ...
Innerhalb der Polynome 2 ten Grades (Quadratische Polynome)
Unterklasse 1+-Sqrt(5) (noble Zahlen)
Unterklasse 1+-Sqrt(2)
Unterklasse 1+-Sqrt(3)
Das ist in den 3 Webseiten im Grunde alles gut erklaert.
Nur Seite 3 muss ich selbst auch noch mal wieder genauer anschauen.
Ich meine in dem Weblink (Weiss nicht mehr aus welchem Buch ich das mal kopiert habe) ist eine kleine Missverstaendlichkeit. Es ist keinesfalls so, dass alle Zahlen (Wurzeln) der Klasse 2 immer irrationaler sind als z.B. Wurzeln der Klasse 3 :
Gegenbeispiel :
x=1+2/x
Loesungen x1=-1, x2=2. Rationaler geht es ja nicht :-)
Wenn es sich in der Praxis um Verhaeltnisse handelt, so ist klar, dass man in den Komponenten dann haeufig die Fibonacci Zahlen findet. Es gibt noch einen anderen Aspekt. Die Fib Folge stellt auch eine Besonderheit dar bezueglich dem Aufwand / Nutzen Aspekt. Z.B. beim Zugang zum Sonnenlicht. Das schlaegt sich dann in der besonderen Form des goldenen Schnittes als goldener Winkel wieder.
http://de.wikipedia.org/wiki/Goldener_Schnitt
ciao
Gruesse
hab zum Thema einen neuen Thread eroeffnet.
Mit dem Thema der Klassifizierung der irrationalen Zahlen bin ich auch noch lange nicht durch.
@Lambert
Naja wenn ich es als Affenzirkus empfinde :-)
Nur wenn Mathematiker und Physiker zusammenarbeiten, wird aus dem Universum ein Schuh.
Zwischen Feuchtnasenaffen und Trockennasenaffen sollte es nichts geben, was nicht zum Vakuum beiträgt. :)
Gruß,
Lambert
Als Bauing koennten Aspekte zum Bau eines Doppelpendels fuer dich vielleicht recht nuetzlich sein. Das ist auch ein Antiresonatormodell.
Im Maschinenbau hat man besonders bei schnelllaufenden Getrieben und Maschinen (mehrstufige Getriebe, Pressen, ...)das Problem von Resonanzen.
Das mit dem Doppelpendel werde ich mal ausprobieren. Da sollte es ziemlich chaotisch zugehen, wenn die Pendellängen im goldenen Schnitt zueinander stehen, im Gegensatz zum Fall, dass beide Pendellängen in ganzzahligem Verhältnis zueinander stehen.
MfG Frank
Atlantis hin oder her ... :-)
@Lambert
Naja sollen die Feuchtnasenaffen sich weiterhin austoben.
Deren Methoden gefallen mir nicht.
@Frank
Ja, ich erwarte, dass bei einem chaotischen Pendel die Pendellaengen und die Pendelmassen moeglichst irrational aufeinander abgestimmt sind. Es gibt da Freaks im www, die Anleitungen fuer ein moeglichst chaotisches, also disresonantes Pendel angeben.
Ich war / bin im Bereich der Akustik taetig. Da sind Resonanzen natuerlich auch ein Problem.
Man daempft die aber auch ganz gerne nachtraeglich aus, anstatt auf Dissonante Konstruktion zu achten.
Ein Dissonantes Element im Sonnensystem sind natuerlich auch die Ellipsen- statt Kreisbahnen.
Und Chaos bei einer Maschine klingt vielleicht negativ, aber ist natuerlich das beste Mittel um destruktive Resonanzen zu vermeiden.
Ich will versuchen die bisherigen Betrachtungen noch etwas weiter zu untersuchen. Zunaechst fuer N=K=2.
Insbesonders unter dem Aspekt wie die Reihenfolge der Zahlen unter der Wurzel weiter gemaess ihrer Irrationalitaet geordnet werden koennen.
Und ob sich hier eine Gesetzmaessigkeit erkennen laesst.
Bisher haben wir 5,2,3 ... Und als naechste Zahl wird sicherlich nicht 4 zu erwarten sein, denn Wurzel(4)=2
Es hat sich gezeigt, dass die Gleichung y=r+1/y nicht ausreichend ist, um alle wichtigen Wurzeln der quadratischen Polynome zu bestimmen.
So erhaelt man 1+Wurzel(3) z.B. aus dem Polynom (Attraktorgleichung) y=2+2/y
Es ist also y=r+s/y zu betrachten. Auf meiner Webseite gibt es dazu etwas Information, die aber noch nicht ausreichend ist :
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/frac2.htm
Eine etwas schwierigere Aufgabe waere es fuer y=r+s/y die Kettenbruchkoeffzienten, Gewichte zu bestimmen. Dazu waere wohl schon die Euler Transformation notwendig. Vielleicht faellt mir noch ein Trick ein. Oder hat jemand eine Idee ?
Eine einfachere Aufgabe :
******************
Wie bestimmt sich nun der Nenner des approximierenden Bruches ?
Diesmal der schnelle Weg :
Wir wissen : y[n+1]=r+s/y[n] ist eine Substitution des Quotienten zweier aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen. Damit laesst sich unmittelbar anschreiben :
Nenner[k+2]=Nenner[k+1]*r+s/Nenner[k]
*******************************
Die Groesse des Nenners steigt nun sowohl ueber r und s.
Je groesser der Nenner, umso weniger irrational die Zahl.
Ein Test ob wir auf dem richtigen Weg sind :
*********************************
Ein Vergleich der folgenden Wurzeln / Attraktoren :
y[k+1]=2+1/y[k]
Kettenbruch=[2,2,2,2,2,.....]
Loesung : 1+-Wurzel(2)
y[k+1]=2+2/y[k]
Kettenbruch=[2,1,2,1,2,.....]
Loesung : 1+-Wurzel(3)
y[k+1]=3+1/y[k]
Kettenbruch=[3,3,3,3,3,.....]
Loesung : 3+-Wurzel(13)
y[k+1]=1+3/y[k]
Kettenbruch=[?,.....]
Loesung : 1+-Wurzel(13)
Mich erstaunt hier, dass die Gewichte [2,1,2,1,2,.....] doch offenbar in der Summe kleiner sind als die Gewichte [2,2,2,2,2,.....], aber dennoch die Gewichte [2,2,2,2,2,.....] eine irrationalere Zahl (1+-Wurzel(2)) darstellen.
Numerische Bestimmung des Nenners ueber die allg. Fib Folge :
Skizze Quellcode
... Initialisieren ...
for k from 1 to 15 do
> fA[k+1]:=2*fA[k]+fA[k-1];
> fB[k+1]:=2*fB[k]+2*fB[k-1];
> fC[k+1]:=3*fC[k]+fC[k-1];
> fD[k+1]:=fD[k]+3*fD[k-1];
> od:
> for k from 1 to 15 do
> printf(`A=%9d B=%9d C=%9d D=%9d \n`,fA[k],fB[k],fC[k],fD[k]);
> od;
Ausdruck :
http://home.arcor.de/richardon/2010/mathe/gold2.gif
Diskussion :
Es ergibt sich fuer A,B,C die erwartete Reihenfolge.
Nicht jedoch fuer D !
Delbst dann wenn man gemaess Liouville das Ergebnis mit dem Gewicht r[n] multipliziert, liefert D stest kleinere Werte als A.
Hat sich der Autor geirrt ?
Demnach waere die Klasse (1+Wurzel(13))/2 und nicht 1+-Wurzel(2) die zweitirrationalste Klasse.
Das muss ich noch genauer pruefen.
Atlantis hin oder her ... :-)
@Lambert
Naja sollen die Feuchtnasenaffen sich weiterhin austoben.
Deren Methoden gefallen mir nicht.
:) sie brauchen nur ein Taschentuch... und schon ist die Nase trocken...
Zitat:
Deren Methoden gefallen mir nicht.
Welche Methoden genau?
Gruß,
Lambert
Der Vergleich zwischen Wurzel(13) und Wurzel(2) muss natuerlich noch genauer untersucht werden, mittels der Methoden aus Blatt 3.
Es stellt sich folgende Aufgabe :
Umrechnen der Form
y[k+1]=r+s/y[k]
in die Form
y[k+1]=r[k]+1/y[k]
Diese Form mit dynamischem r[k] war in Blatt 3 ohne Beweis fuer 1+- Wurzel(3) angegeben :
y[k+1]=2+2/y[k]
y[k+1]=r[k]+1/y[k]
mit r[k]=[2,1,2,1,2,1 ...]
Loesungsmoeglichkeiten :
- Eulertransformation
- Substitution
@Lambert :-)
Loesen wir erstmal die DZGL (am besten mittels MAPLE)
y[k+2]=r*y[k+1]+s*y[k]
http://home.arcor.de/richardon/2010/mathe/gold5.gif
(Anmerkung)
Die wichtigsten Terme der Loesung sind :
http://home.arcor.de/richardon/2010/mathe/gold7.gif
Insbesonders entscheidet der Ausdruck unter der Wurzel ueber den Charakter der Loesung.
r^2+4*s
*******
Wir legen fest : s>0 und r>0
Damit wird unsere Loesung nicht komplexwertig.
Die Loesung besteht aus 2 Summanden.
Der Linke Summand alterniert dann nie, denn der Wurzelausdruck ist stets groesser r^2
der rechte Summand alterniert stets.
ciao
Hi richy,
hoffentlich hast Du ein großes Taschentuch bereit gelegt... ;)
Ziel ist, mit den drei DZGL in Richtung Naturkonstanten (c,epsilon0,mu0 usw.) zu spazieren. Zwei Schwingungen (zusammen: das Photon) sind mathematisch gekuppelt und sind u.a. um 90° phasengedreht. Die dritte dämpft weg bei einer ganz bestimmten Distanz x=r. Für x<r gilt Vakuum. Ab x>r ist die zersprengende Schale anjesagt. Ich denke dass r :: Kardinalzahl der unendlichen Menge natürlicher Zahlen ist. Darüber hinaus gilt als Schale die unendliche Menge der Primzahlen bis in der Summe der beiden die unendliche Menge der reellen Zahlen. Das sind Ansätze, die m.E. untersucht werden könnten.
Ich hoffe, dass ich einigermaßen deutlich bin.
Gruß,
Lambert
Hi Lambert
Du bist im falschen Thread.
Ziel ist es :
Aufgabe a)
Zu pruefen ob 1+Wurzel(2) oder (1-Wurzel(13))/2 irrationaler (schwerer approximierbar ist)
Also ob dem Autor von Blatt (1-3) ein Fehler unterlaufen ist.
Wurzel(13) wuerde dann in der Natuer evtl. eine mindestens so grosse Rolle spielen wie Wurzel(2). Das haben wir vielleicht nur noch nicht bemerkt.
Aufgabe b)
Umrechnen der DZGL :
(1) y[k+1]=r+s/y[k]
in die Form
(2) y[k+1]=r[k]+1/y[k]
http://de.wikipedia.org/wiki/Kettenbruch
http://upload.wikimedia.org/math/d/1/9/d19d72866abb6e65a4360e62d7b0f008.png
wobwi bei unserem Kettenbruch (1) einfach gilt :
a1, a2, a3 ... an =s
b1, b2, b3 ... bn =r
und wir diesen in die regulaere Form bringen wollen :
http://upload.wikimedia.org/math/c/a/0/ca01a4ed4a344e18b70304609ddd07a6.png
In der die bn nun nicht mehr konstant sondern altenierend sind.
Gesucht ist somit b[n]=f(r,s)
Geht dies ueberhaupt ?
Ja :
Da die beiden Formen von Kettenbrüchen ineinander überführt werden können, genügt es die zweite Art von Kettenbrüchen zu betrachten, bei denen alle Teilnenner positiv und ganzzahlig sind.
Euler Transformation waere das Stichwort. Und ich hatte das im Forum an anderer Stelle schon angesprochen.
Viele Quellen im www gibt es dazu uebrigends nicht.
ciao
Hier einige Quellen :
http://www.quanten.de/forum/showpost.php5?p=40345&postcount=10
Unter dem Wiki Link tifft man uebrigends direkt auf die Loesung :-)
Damals gings um den Kettenbruch von exp(1) von Herrn Mueller (Global Scaling)
Der ist erheblich schwerer herzuleiten.
Hier steht alles was man zur Umrechnung benoetigt :
http://home.arcor.de/richardon/2010/mathe/eulertrans.gif
Um b[n] des regulaeren Kettenbruches zu ermitteln bildet man zunaechst die Folge c[n] :
c[n]=1/(a[n]*c[n-1]); mit c[0]=1
b[n] ergibt sich dann zu b[n]*c[n]
Test mit r=s=2
c[n]=1/(2*c[n-1])); mit c[0]=1
c1=1/2
c2=1/(2*1/2)=1
c3=1/2
c4=1 ...
=> rO=2, r1=1, r2=2, r3=1, r4=1 ...
[2,1,2,1,2 ...]
Weiterer Test fuer
x=1+3/x
x=(1+sqrt(13)/2);
Kleines Programm um die b[n] zu erzeugen :
> restart; N:=15; Digits:=90;
> z:=(3+sqrt(13))/2;
> for i from 0 to N do
> zf:=evalf(frac(z)); #frac
> a[i]:=evalf(z-zf); #Koeffizient=integerwert
> z:=1.0/zf; #weiter mit fracanteil
> od:
> for i from 0 to N do
> printf(`%g,`,a[i]);
> od;
Programmausgabe :
Programmausgabe und Umrechnung ergibt [3,3,3,3,3,3...]
Allerdings ist die Umrechnung nicht immer ganzzahlig. Das koennte man noch verbessern.
(1+Wurzel(13))/2 liefert uebrigends die Gewichte [2,3,3,3,3....]
Interessant waere auch ob man die Umrechnung ueber
fib(n-1)*fib(n+1)-(fib(n))^2=(-1)^n
herleiten kann.
ciao
BTW: @Lambert
Was du dir da zusammengebastelt hast ...
Das ist das selbe wie JGC's Federn. Das Allerselbe. Nur hast du zwei Differentialgleichungen einer Feder angepinselt anstatt wie JGC zwei Federn zu malen. Wobei du wohl gar nicht weisst was eine DGL ist und wie man sie loest.
Und die dritte konvergiert oder divergiert exponentiell. Oder schwingt vielleicht auch.
Eine Raumdimension die verschwindet oder den Kosmos zu einer langen Nadel entartet.
Beides wird nicht beobachtet ! Niemals. Es waere grotesk.
Kennst Du
Prime Curios!
The Dictionary of Prime Number Trivia
von Caldwell und Honaker?
Das ideale Buch (eine Fete...) für Prime-Fetischisten... ;)
Gruß,
Lambert
PS. Primes interessieren mich nur als "Raumtrenner"... sonst überhaupt nicht...
Noch ein muehsam erarbeitetes Ergebnis :
Gegeben ist die Fibonacci Reihe :
fib[k+1]=fib[k]+fib[k-1]
Es gilt der oben bereits erwaehnte Zusammenhang :
fib[k-1]*fib[k+1]-fib[k]^2=(-1)^(k-1)
VERALLGEMEINEREUNG :
Gegeben ist die allgemeine Fibonacci Reihe :
frs[k+1]=r*frs[k]+s*frs[k-1]
Fuer diese gilt der Zusammenhang
frs[k-1]*frs[k+1]-frs[k]^2=(-s)^(k-1)*(r+s-1)
****************************************
Das koennte noch nuetzlich werden um einige DZGL's zu knacken
Wollte es nur mal festhalten.
Hi Lambert
Seit wann sind die Fib Zahlen Primzahlen ?
Hier geht es gerade um etwas ganz anderes.
Die wenigsten Fib Zahlen sind prim. Primzahlen finde ich auch nicht so interessant.
Die entziehen sich zu sehr unserer Kenntnis. Fib Zahlen kommen dagegen in der Natur ueberall vor.
Und wie du siehst rudere ich im Moment auch nur rum.
Gruesse
Hi Lambert
Seit wann sind die Fib Zahlen Primzahlen ?
Hier geht es gerade um etwas ganz anderes.
Die wenigsten Fib Zahlen sind prim. Primzahlen finde ich auch nicht so interessant.
Die entziehen sich zu sehr unserer Kenntnis. Fib Zahlen kommen dagegen in der Natur ueberall vor.
Und wie du siehst rudere ich im Moment auch nur rum.
Gruesse
ach ja, ich lese auch nur halb mit. Meine Interessen liegen woanders.
Gruß,
Lambert
Nur damit ich es nicht vergesse .
Implementation eines nichtregulaeren Kettenbruches :
Beispiel 4/Pi
http://upload.wikimedia.org/math/0/a/5/0a5fb106de4c742fe64b133aa607af92.png
Programmcode
restart;
N:=500;
s[1]:=1;
for i from 1 to N do
q:=N-i+1;
k:=2*(q-1)+1;
s[i+1]:=2+(k)^2/s[i];
od:
evalf(factor(s[N+1]))-1;
evalf(4/Pi);
Programmcode
restart;
N:=500;
s[1]:=1;
for i from 1 to N do
q:=N-i+1;
k:=2*(q-1)+1;
s[i+1]:=2+(k)^2/s[i];
od:
evalf(factor(s[N+1]))-1;
evalf(4/Pi);
Hallo Richy,
was ist das für ein Programmcode? Ich kenne nur FORTRAN 77.
M.f.G. Eugen Bauhof
Hi Bauhof
Ich kenne nur FORTRAN 77.
Ah Fortran 77 kenne ich auch noch. Die Juengeren sicherlich nicht mehr :-)
Der Programmcode oben ist Maplecode.
http://de.wikipedia.org/wiki/Maple_%28Software%29
Eine mathematisches auf C basierendes Rechneralgebrasystem, das neben Mathematica und C im wissenschaftlichen Bereich verwendet wird. Mathematica ist numerisch orientiert. Man koennte sagen ein komplexes Exel fuer Naturwissenschaftler. Maple ist dagegen ein echtes Algebrasystem, das analytische Loesungen berechnen kann. Fuer sehr aufwendige Simulationen sind beide Programme zu langsam, aber man kann damit auch C oder Fortran Code erzeugen.
Bei Maple muss man sich sehr wenig um programmiertechnische Details kuemmern. Es ist fast so einfach zu bedienen wie ein Basic Interpreter und rechnet permanent komplexwertig, so dass man sich nichteinmal um dieses Detail kuemmern muss. Der groesste Vorteil ist aber der, dass das Wissen aus so ziemlich allen Bereichen der Mathematik direkt zur Verfuegung steht.
Will man in einem Programmteil z.B. mit dem Intergral einer Funktion f(x) weiterrechnen genuegt die Programmzeile g(x):=int(f(x),x); Das kann keine andere Programmiersprache.
Um ein Polynom hoher Ordnung analytisch zu loesen genuegt ebenfalls eine Programmzeile :
meine_loesung:=solve(a*x^5+b*x^3+c*x=0, x) ... kein Problem
In dem Beispiel erzeugt Maple fuer meine_loesung z.B. automatisch einen Vektor mit 5 Eintraegen. Tippt man "meine_Loesung[1]" ein erhalt man in dem Fall eine der Loesungen :
1/2/a*(-2*a*(b-(b^2-4*a*c)^(1/2)))^(1/2)
Das sind nur einfachste Beispiele.
Kaum jemand wird heute eine Differentialgleichung noch per Hand loesen. Bei vielen Aufgabenstellungen wuerde dies viel zu viel Zeit beanspruchen oder waere unmoeglich praktizierbar, weil die Ausdruecke zu unhandlich waeren. Natuerlich sollte ein guter Ingenieur wissen, wie er eine Problemstellung per Hand loesen koennte, aber ebenso welches Programm dies erledigen kann.
Gruesse
Beispiel einer Maple Anwendung :
Die Fibonacci Differenzengleichung ist linear und laesst sich daher mittels Z-Transformation loesen. Die Z-Transformation stellt die diskrete Variante der La Placetransformation dar und ist daher fuer diese Aufgabenstellung geeignet. Man transformiert somit die Gleichung in den Z-Bildbereich. Das ist nicht sonderlich schwierig. Im Bildbereich muss man eine Partialbruchzerlegung durchfuehren und die Ruecktransformation fuehrt zum Ergebnis :
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/fib/fib1.htm
(Auf der Seite habe ich alles per Hand gerechnet)
Ich denke mal, dass man "per Hand" gut eine halbe Stunde fuer diese Aufgabe benoetigt. Mit Maple erhaelt man die Loesung innehalb weniger Sekunden.
Das Schluesselwort zu Loesung rekursiver Gleichungen lautet "rsolve". Um eine Anleitung und Beispiel dafuer zu finden tippt man ein "?rsolve". Man kopiert ein geeignetes Beispiel und kann so die Aufgebe besonders schnell formulieren :
lsg:=rsolve({y(n+2)=y(n+1)+y(n), y(0)=1,y(1)=1},y(n));
http://home.arcor.de/richardon/2011/maple1.gif
Die Loesung ist natuerlich komplexwertig. Das sieht man besonders schoen, wenn man, sie in Realteil und Imaginaerteil zerlegt. Ein Befehl genuegt dazu :
evalc(lsg);
http://home.arcor.de/richardon/2011/maple3.gif
Ein Plot ist somit nur in der komplexen Ebene Moeglich. Dafuer bietet Maple eine Vielzahl von Plotroutinen an, die man mit dem Befehl with(plots) zur Verfuegung stehen.
with(plots);
complexplot(lsg,n=0..5);
http://home.arcor.de/richardon/2011/maple2.gif
Man sieht sehr schoen wie die Fibonacci Zahlen fuer positive Indizes aus einer frequenzmodulierten harmonischen Schwingung in der komplexen Ebene hervorgehen. Die evalc Darstellung liefert hier die Erklaerung. Mit der analytischen Loesung kann man nun auch negative Indizes (Zeiten) betrachten :
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/fib/fibspirale.gif
Die Cosinusfunktion des Imaginaerteiles fuehrt dabei zu einer Spiralform.
Fuer diese Darstellung waren nur 3 Maple Zeilen notwendig :
with(plots);
lsg:=rsolve({y(n+2)=y(n+1)+y(n), y(0)=1,y(1)=1},y(n));
complexplot(lsg,n=-6..4);
Ich meine das ist sehr viel anschaulicher, wie wenn man nur die Loesung von Binet betrachtet.
Was MAPLE in Version 4 nicht kann
Danach muss man sehr lange suchen. Maple V R4 kann nichtlineare auch partielle Differentialgleichungen loesen falls eine Loesung (auch implizit) existiert. Aber es kann keine nichtlinearen Differenzengleichungen loesen.
Nun kann man sich einfach eine solche herleiten, deren Loesung man kennt.
Fuehrt man in der Fib DZGL die Substitution g(n)=y(n+1)/y(n) durch erhaelt man die DZGL g(n+1)=1+1/g(n)
lsg:=rsolve({y(n+1)=1+1/y(n), y(0)=1},y(n));
Maple versagt muerrisch seinen Dienst :D
Aber wir kennen die Loesung ! Das ist ja lediglich der Quotient zweier Fib Folgen deren Argument um den Wert eins verschoben ist :
http://home.arcor.de/richardon/2011/maple4.gif
Der Mensch bleibt in dem Fall der Sieger :-) Maple erledigt dafuer die unhandliche Schreibarbeit. Der Ausdruck dieser komplexwertigen Loesung ergibt erwartungsgemaess eine huebsche Spirale, die gegen den goldenen Schnitt strebt.
http://home.arcor.de/richardon/2011/maple5.gif
Gruesse
Das Beispiel des unregularen Kettenbruches ist uebrigends schon bischen zu kompliziert um die Besonderheit von MAPLE darzustellen. Ich habe da einfach eine Uminduzierung vorgenommen um die Euler Transformation zu vermeiden.
Ein einfaches Beispiel fuer Maple waere die Kettenbruchdarstellung z.B. des goldenen Schnittes :
for k from 1 to 10 do
y(k+1):=1+1/y(k);
od;
Welches Ergebnis wuerde hier Fortran77 liefern ? Wahrscheinlich einen Programmabsturz, denn fuer y(1) ist kein Wert festgelegt. Maple rechnet dagegen stets symbolisch und fuehrt genau das aus was in dieser Schleife angegeben ist und in dem Fall zu einem Kettenbruch fuehrt :
http://home.arcor.de/richardon/2011/maple6.gif
Den Thread habe ich wieder hervorgekramt, weil hier die Euler Transformation angegeben ist und mir die Frage noch nicht geklaert scheint ob Zahlenklassen die Wurzel(2) oder Zahlenklassen die Wurzel(13) enthalten als Bruchapproximation schneller konvergieren.
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