Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : Thermodynamik, Entropie, Schrödinger & Co.
Hallo zusammen,
ich erlaube mir hier einmal eine kleine grundsätzliche Anmerkung:
Der Zweite Hauptsatz der Thermodynamik stellt eine Erfahrungstatsache dar. Es ist bis heute nicht gelungen, dieses fundamentale Gesetz der klassischen Physik in seiner allgemeinen Gültigkeit für beliebige makroskopische Systeme ausgehend von der Grundgleichung der Quantentheorie, der Vielteilchen-Schrödingergleichung, zu beweisen. Dies gilt selbstverständlich auch umgekehrt: Die Schrödingergleichung stellt eine Erfahrungstatsache dar. Es ist bis heute nicht gelungen, die allgemeine Gültigkeit dieses fundamentalen Gesetzes quantenmechanischer Systeme für beliebige makroskopische Systeme, ausgehend von den beiden Hauptsätzen der Physik (und nicht nur der Thermodynamik!) zu beweisen.
Man nehme zwei identische Behälter mit gasförmigen Inhalt, die keine Unterschiede hinnsichtlich ihrer physikalischen Kenngrößen aufweisen (chem. Element/Molekül, Temperatur, Druck, Menge, ..).
Beide Behälter seien über zwei Öffnungen miteinander verbunden.
Die Öffnungen seien so klein, dass die Atome/Moleküle des verwendeten Gas jeweils nur einzeln in den anderen Behälter übertreten können.
Bei dieser Versuchsanordnung wird beständig der zweite Hauptsatz der Thermodynamik verletzt -> Er ist in mikroskopischen Bereichen generell nur mit dem entsprechenden Augenmaß anzuwenden (Diese Feststellung gilt unabhängig von der mit dem Beispiel häufig assoziierten Problemstellung "Maxwells Dämon").
Alle Prozesse, bei denen Reibung stattfindet, sind irreversibel.
In physikalischen Modellen werden Reibungskräfte zur Vereinfachung oft vernachlässigt. In der Realität tritt Reibung jedoch in jedem mechanischen Prozess auf. Meist wird die beim Reiben verrichtete Arbeit in Wärme umgewandelt, es kann aber auch Reibungselektrizität entstehen.
Konzentrieren wir uns einmal auf die Wärme:
Wärme in der Thermodynamik ist über eine Systemgrenze hinweg transportierte thermische Energie.
Thermische Energie ist die Energie, die in der ungeordneten Bewegung der Atome oder Moleküle eines Stoffes gespeichert ist. [...] Eine Wärmezufuhr steigert die mittlere kinetische Energie der Moleküle und damit die thermische Energie, eine Wärmeabfuhr verringert sie.
Schlußfolgerung: Alle Prozesse, bei denen Bewegung stattfindet, sind irreversibel.
Alle spontan (in eine Richtung) ablaufenden Prozesse sind irreversibel.
Ausgleichs- und Mischungsvorgänge sind irreversibel.
Zwei Gase vermischen sich. Hintergrund: Ihre Gasmoleküle bewegen sich spontan.
Schlußfolgerung: Alle Prozesse, bei denen Bewegung stattfindet, sind irreversibel.
Mit Bewegungen gehen einher: Impuls, Geschwindigkeit, ...
? :rolleyes:
Marco Polo
10.03.10, 11:46
Schlußfolgerung: Alle Prozesse, bei denen Bewegung stattfindet, sind irreversibel.
In der Praxis dürfte das hinkommen. In der Theorie aber nicht. Für genaueres müsste ich auch noch mal nachschauen. Ist alles schon so lange her.
Gruss, Marco Polo
Hi Marco Polo,
In der Praxis dürfte das hinkommen. In der Theorie aber nicht.
Genau das ist mein Problem: Wenn die Theorie der Praxis widerspricht verhält sich doch die Natur nicht so, wie sie sollte. ;)
Schlußfolgerung: Alle Prozesse, bei denen Bewegung stattfindet, sind irreversibel.
Das trifft in dieser Allgemeingültigkeit nicht zu.
Das Wiki Zitat handelt von Ungleichgewichtszuständen. Im thermischen Gleichgewicht sind die Bewegungen von Atomen und Molekülen reversibel,
Gruß, Timm
Hallo Timm,
den Einwand verstehe ich nicht ganz.
1. Nehmen wir einen Behälter mit einer Trennwand.
In der Trennwand zwei Löcher - gerade so groß, dass immer genau ein Molekül passieren kann.
Jetzt führen wir auf der einen Behälterseite ein Molekül ein.
Dieses hält sich nun im weiteren Verlauf der Beobachtung "zufällig" http://www.hausinfo-forum.ch/images/smilies/Engel_Smilie_34.gif einmal im linken und einmal im rechten Behälterbereich auf.
Handelt es sich hierbei jetzt
a) um einen Ungleichgewichtszustand?
und
b) Falls Ja: Warum ist der nicht reversibel?
2. Wir nehmen drei Moleküle und setzen zwei links und eines rechts ein.
Auch hier beobachten wir über einen längeren Zeitraum und stellen uns die gleichen Fragen wie bei 1.
3. Wir nehmen vier Moleküle und setzen alle links ein.
Auch hier beobachten wir über einen längeren Zeitraum und stellen uns die gleichen Fragen wie bei 1 und 2.
(Alternativ selbstverständlich gerne auch jede andere Antwort die mich dem Verständnis Deines Einwandes näher bringt ;)).
Hallo Timm,
den Einwand verstehe ich nicht ganz.
1. Nehmen wir einen Behälter mit einer Trennwand.
In der Trennwand zwei Löcher - gerade so groß, dass immer genau ein Molekül passieren kann.
Jetzt führen wir auf der einen Behälterseite ein Molekül ein.
Dieses hält sich nun im weiteren Verlauf der Beobachtung "zufällig" http://www.hausinfo-forum.ch/images/smilies/Engel_Smilie_34.gif einmal im linken und einmal im rechten Behälterbereich auf.
Handelt es sich hierbei jetzt
a) um einen Ungleichgewichtszustand?
und
b) Falls Ja: Warum ist der nicht reversibel?
2. Wir nehmen drei Moleküle und setzen zwei links und eines rechts ein.
Auch hier beobachten wir über einen längeren Zeitraum und stellen uns die gleichen Fragen wie bei 1.
3. Wir nehmen vier Moleküle und setzen alle links ein.
Auch hier beobachten wir über einen längeren Zeitraum und stellen uns die gleichen Fragen wie bei 1 und 2.
(Alternativ selbstverständlich gerne auch jede andere Antwort die mich dem Verständnis Deines Einwandes näher bringt ;)).
Bei einem System von 3 Teilchen links und 4 rechts macht es keinen Sinn, die Frage nach dem thermischen Gleichgewicht zu stellen. Prozesse in Wenig-Teilchen Systemen sind allesamt reversibel.
Uli
Hi Uli,
wieviele soll ich nehmen?
Hi Uli,
wieviele soll ich nehmen?
Eine für die Thermodynamil bzw. statistische Physik typische Menge wäre 1 Mol, also etwa 600 Trilliarden Teilchen.
Hallo SCR, ich hatte Deine Antwort leider übersehen, aber Uli hat sich ja inzwischen dankenswerterweise der Sache angenommen,
Gruß, Timm
Hi Timm,
Hallo SCR, ich hatte Deine Antwort leider übersehen, aber Uli hat sich ja inzwischen dankenswerterweise der Sache angenommen,
kein Problem!
Hi Uli,
also etwa 600 Trilliarden Teilchen.
o.k. - Aber das sind aber doch nur ein paar Nullen mehr im Vergleich zu obigen Beispielen.
Du willst mir also sagen, dass sich physikalische Gesetzmäßigkeiten ändern wenn ich Mengen ändere? :rolleyes:
Si in dem Sinne: "Drei Birnen faulen noch, dreihundert Trilliarden aber nicht mehr ..." ;)
Hi Timm,
kein Problem!
Hi Uli,
o.k. - Aber das sind aber doch nur ein paar Nullen mehr im Vergleich zu obigen Beispielen.
Du willst mir also sagen, dass sich physikalische Gesetzmäßigkeiten ändern wenn ich Mengen ändere? :rolleyes:
Si in dem Sinne: "Drei Birnen faulen noch, dreihundert Trilliarden aber nicht mehr ..." ;)
Ich will sagen, dass statistische Methoden und die daraus abegeleiteten Konzepte wie Entropie und Wärme, die für die Irreversibilität von Prozessen verantwortlich sind, für Systeme von 7 Teilchen nicht anwendbar sind.
http://de.wikipedia.org/wiki/Statistische_Physik
Also was die Irreversibilität von physikalischen Prozessen anbelangt möchte ich auch noch das Stichwort Dekoheränz einwerfen. Meines Erachtens ist das die einzig stichhaltige Erklärung warum überhaupt irgendetwas irreversibel wird, warum ein Zeitpfeil existiert und die Entropie mit der Zeit zunimmt. Ohne Dekohärenz würde meines Erachtens im Universum genau nix passieren.
Eyk van Bommel
14.03.10, 18:01
Also was die Irreversibilität von physikalischen Prozessen anbelangt möchte ich auch noch das Stichwort Dekoheränz einwerfen. Meines Erachtens ist das die einzig stichhaltige Erklärung warum überhaupt irgendetwas irreversibel wird, warum ein Zeitpfeil existiert und die Entropie mit der Zeit zunimmt. Ohne Dekohärenz würde meines Erachtens im Universum genau nix passieren.
Mir langt der Impulserhaltungssatz:) Aber ich kann mich auch irren:rolleyes:
Gruß
EVB
Wenn man nun in Betracht zieht, dass die Dekohaerenz etwas mit der Gravitation, der Temperatur und der Entropie zu tun hat, aber ebenso mit der Zeitumkehrbarkeit, dann muss auch ein Zusammenhang zwischen Zeitumkehrbarkeit und Entropie bestehen.
Du willst mir also sagen, dass sich physikalische Gesetzmäßigkeiten ändern wenn ich Mengen ändere?
Si in dem Sinne: "Drei Birnen faulen noch, dreihundert Trilliarden aber nicht mehr ..."
Genau das zeigt doch die Dekohaerenz. Und letztendlich muss dies mit der Zeitumkehrbarkeit zusammenhaengen.
Ich will sagen, dass statistische Methoden und die daraus abegeleiteten Konzepte wie Entropie und Wärme, die für die Irreversibilität von Prozessen verantwortlich sind, für Systeme von 7 Teilchen nicht anwendbar sind.
Analytische Methoden versagen bei 7 Teilchen aber ebenfalls, denn es ist ein n-Koeperproblem. Es bleibt nur die numerische Simulation.
Und ich meine schon bei 7 Teilchen aendert sich etwas gegenueber 2 Teilchen. Meines Wissens werden die Gleichungen bei n-Koerpersystemen nichtlinear. Das koennte man anhand des Doppelpendels vereinfacht ueberpruefen.
Und falls ich mich richtig erinnere ist eine Begruendung dass ein System nicht zeitumkehrbar ist seitens der nichtlinearen Systemdynamik, dass ein System nichtlinear ist.
Allerdings habe ich nie richtig verstanden wie dies konkret gemeint sein soll. Dazu muss man wahrscheinlich die Trajektorien im Phasenraum betrachten. Weisen die eine Verzweigung auf, so kann man bei einer zeitumkehr nicht mehr sagen von welchem Birfurkationszweig sich die Trajektorie her entwickelte. Kann es real denn ueberhaupt Birfukationen geben ? Welche Groesse bestimmt dann welcher Zweig eingenommen wird ? In der QM ist es der Zufall. Aber makroskopisch determiniert ? Da kenne ich nur den Menschen der dazu in der Lage ist Birfukationen zu erzeugen. Indem er mittels freiem Willen eine Auswahl treffen kann.
Determiniert kann es physikalisch keine zeitliche Birfukationen fuer Teilchen geben.
Ausser sie waeren schizophren :-)
Nur die Mathematik kennt diese. Aber diese widerum keine determinierte Auswahl dafuer.
Das Feigenbaumdiagramm enthaelt scheinbare Birfukationen. Diese werden aber nicht zeitlich durchlaufen, sondern ueber einen Parameter. Und fuer einen festen Parameter springen die Werte zwischen den Attraktoren hin und her, so dass sich graphisch dann eine Birfukation ergibt.
Wenn ich die Gleichung y=x^2 betrachte, so ist dies keine bijektive Abbildung. Es gibt zwei Loesungen fuer die Umkehrfunktion : x=plus/minus Wurzel(y) Welche nehme ich ?
Ich habe hier mal ein Experiment vorgestellt, dass zeigt, dass eine objektiv zufaellige Wahl zwischen plus und minus fast so "gut" ist wie wenn ich stets mit beiden Loesungen weiterrechne.
Waehle ich die Loesung anhand eines Schemas geht Information verloren.
Meine momentane Frage waere aber :
Wie ueberprueft man denn korrekt die Zeitumkehrbarkeit. Gut man verwendet -t statt t als Argument. Und dann ? Ich will ja nicht zeigen ob der Operator gerade oder ungerade ist sondern zeitumkehrbar. Wir dies ueber Symetrien ausgedrueckt ?
Gibt es dazu eine Seite ?
Mir schwebt momentan gerade eine Bedingung vor ueber die Umkehrfunktion. Besser einen Umkehroperator. Also y[t]=F_invers{F(y[t]}}.
Ob diese Funktion eindeutig ist. Innerhalb einer Differenzengleichung.
Edit :
F_invers{F{y[t]}}=F{F_invers{y[t]}} fuer alle y[t]
**************************************
Hier noch ein interessanter Spektrum Beitrag :
http://www.schattenblick.de/infopool/natur/physik/npthe034.html
Diese Diplomarbeit geht auf die Birfukations, Symetrieaspekte ein :
http://www.wiwi.uni-frankfurt.de/~rainerh/Diplomarbeit/dbdzh03.htm
Zum Zeitpfeil
http://de.wikipedia.org/wiki/Ilya_Prigogine
Gruesse
Eyk van Bommel
16.03.10, 11:45
Dazu passend (vielleicht:rolleyes: ):
Ultrakalte Atome mit starker Wandlungsfähigkeit (http://www.pro-physik.de/Phy/leadArticle.do?laid=12741)
Zitat:
So braucht die Beschreibung eines beliebigen Zustandes von 300 Teilchen mit einem quantenmechanischen Spin auf einem Computer bereits mehr Speicherplatz als selbst bei Verarbeitung aller Materie im sichtbaren Universum zu Speichermedien verfügbar wäre.
Gruß
EVB
Und ich meine schon bei 7 Teilchen aendert sich etwas gegenueber 2 Teilchen. Meines Wissens werden die Gleichungen bei n-Koerpersystemen nichtlinear.
Gruesse
Das ist ja nun auch eine Frage der Wechselwirkung, die man betrachtet. Führst du eine Wechselwirkung ~ 1/r ein, so ist es schon bei n=1 vorbei mit der Linearität.
Hi Uli
Den Begriff der "Nichtlinearitaet" seitens der nichtlinearen Systemdynamik, Chaostheorie muss man wohl genauer differenzieren.
Ich versuche mich gerade in diesem Thread hier daran :
http://www.quanten.de/forum/showpost.php5?p=49957&postcount=14
Man sollte erstmal unterscheiden :
Ist damit eine nichtlineare DGL, DZGL gemeint ?
oder
Ist damit eine nichtlineare Loesungsfunktion gemeint ?
Das ist sicherlich ein Unterschied. Wie kann man dies moeglichst praegnant unter physikalischen Aspekten zusammenfassen ?
Die Loesungsfunktion eines Fadenpendels der allgemeinen Form y=sin(w*t) ist nicht eindeutig umkehrbar,nichtlinear. Man koennte daher argumentieren : Naja wenn das Pendel sich in der Auslenkung y1 befindet koennte es durchaus auch eine Periodendauer uebersprungen haben.
Das nimmt aber wohl niemand ernsthaft an. Bei solchen Mehrdeutigkeiten betrachtet man nur die physikalisch sinnvollen Loesungen.
Die Nichtlinearitaet betrifft somit die Diffentialgleichungen. Nicht die Loesungsfunktionen.
Und die Nichtlinearitaet ist gar nicht das eigentliche Kriterium.
Im Bezug auf die Zeit(in)varianz die anscheinend "irgendwie" auch etwas mit der Entropie zu tun hat geht es weniger um die Linearitaet sondern um die Bijektivitaet. Eindeutige Umkehrbarkeit. Es muessen erstmal Auswahlen zur Verfuegung stehen, damit ich eine andere Auswahl treffen kann (zeitinvarianz) Es gibt nichtlineare Funktionen die eindeutig umkehrbar, bijektiv sind. Das kann auch mit dem Intervall zu tun haben auf dem ich diese Funktion betrachte.
sin(x) ist fuer x=0..Pi/2 eine bijektive Funktion. Im Intervall x=0..Pi aber nicht mehr.
Ganz vereinfacht :
Je groessere Intervalle, Amplituden ich betrachte umso groesser ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Abbildung nicht mehr eindeutig ist.
Das hat aber nur fuer nichtlineare DGL oder DZGL weitreichende Konsequenzen. Und so beobachtet man das auch. Je groesser die Amplituden desto groesser werden zunaechst die nichtlinearen Effekte.
Nichtlinearitaet ist zwar kein hinreichendes, aber notwendiges Kriterium, dass dann ein sehr viel weitreichenderes Phaenomen eintritt. Dass ploetzlich die Systemfunktion nicht mehr bijektiv ist. Und dann kann sich das Systemverhalten schlagartig aendern. (Muss nicht).
Wenn ich zu fest in eine Floete reinblase (Ueberblase), dann verhaelt diese sich sprungartig ganz anders wie ich es unter kleinen Amplituden, linearem, besser bijektivem Verhalten erwaerte.
Zur Gravitation :
Faellt ein ideal harter Apfel vom Baum und der Boden ist ideal hart, so dreht der Apfel dort seinen Impuls um und landet wieder auf dem Baum. Ein reversibler Vorgang. Nur wenn der Apfel beim Aufprall inelastisch verformt wird, landet ein Teil der Energie durch innere Reibung im Entropie Nirvana. Die Frage ist eben. Wie geht das konkret vor sich ?
Wenn ich eine verlustbehaftete (reale) Antenne ueber die Maxwellgleichungen beschreibe, also das ohmsche Gesetzt auftritt. Sehe ich dann an den Gleichungen, dass diese nicht mehr zeitinvariant sind ? An J=kappa*E alleine sehe ich das nicht.
Baue ich in einen Schwingkreis einen Widerstand ein, sehe ich aber schon an den Gleichungen, dass die Schwingung gedaempft wird. Betrachte ich die Energie, wird sie am Widerstand umgesetzt. ABer dass sie in thermische Energie umgesetzt wird geht daraus alleine nicht hervor. Das schliesse ich nur daraus, weil ich weiss, dass ein ohmscher Widerstand im Schwingkreis ist.
Gruesse
Hi Uli,
Ich will sagen, dass statistische Methoden und die daraus abegeleiteten Konzepte wie Entropie und Wärme, die für die Irreversibilität von Prozessen verantwortlich sind, für Systeme von 7 Teilchen nicht anwendbar sind.
Vielleicht kann man ein solches Wenig-Teilchen-System unter dem Dachbegriff Fluktuationen behandeln. Selbst wenn 10 oder 15 Teilchen vorhanden sind, ist es nur eine Frage der Zeit, alle in der einen oder der anderen Behälterhäfte zu finden. Die Prozesse vorwärts oder rückwärts in der Zeit betrachtet ergäben keine bevorzugte Richtung. Die Prozesse sind reversibel. Falls man überhaupt von einem Gleichgewichtszustand sprechen möchte, könnte man sagen, alle denkbaren Verteilungszustände sind möglich. Gleichviele Teilchen in jedem Behälter wäre eine Momentaufnahme, aber natürlich kein Gleichgewichtszustand.
Erhöht man die Zahl der Teilchen, dauert es immer länger, bis durch Flukuationen alle möglichen Zustände erzeugt werden. Wahrscheinlich ließe sich das rechnen. Aber welche Beobachtungsdauer lassen wir zu, um noch von Fluktuationen sprechen zu können?
Beim Vielteilchen-System sind diese reversiblen Fluktuationen auch im Gleichgewichtszustand vorhanden. Aber bei einem Mol eines Gases eben verschwindend gering.
Na ja, es sind nur ein paar Gedanken,
Gruß, Timm
Hi, Eyk!
Mir langt der Impulserhaltungssatz:) Aber ich kann mich auch irren:rolleyes:
Kannst du näher spezifizieren inwieweit der Impulserhaltungssatz die irreversibilität gewisser phylikalischer Prozesse mit sich bringt?
Na ja, es sind nur ein paar Gedanken,
Aber IMHO keine schlechten.
10 oder 15 isolierte Elementarteilchen sind aber wohl noch gar nicht so richtig Teilchen. Ist das nicht der Knackpunkt ?
Ja, das ist IMHO denkbar: Diese Größenordnungen lassen sich nicht vom Grundrauschen der Fluktuationen isoliert betrachten / unterscheiden.
Ich meine dass sie auch noch mehr Welle statt Teilchen sind. Wobei der Kasten selber natuerlich eine Rolle spielt.
dass sie auch noch mehr Welle statt Teilchen sind
:confused: Bin überfordert -> Wie meinst Du das?
Na Zeilinger hat schon Fulerene mit sich selbst interferieren lassen und demnaechst auch Viren.
http://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/0,1518,446109,00.html
Die Aussage der Dekohaerenz ist ja, dass der Uebergang Welle-Teilchen nicht abrupt verlauft. Das haengt davon ab wie die Teilchen mit der Umhebung wechselwirken koennen, aber vor allem auch mit anderen Teilchen. Von dem schreibe ich ja die ganze Zeit. Wie Teilchen sich denn konkret untereinander "selbst messen". Man weiss das nicht.
Wenn ich von 10 oder 15 Teilchen rede, dann heist das nicht 15 Teilchen und eine irrsinnige Anzahl Aufgrund eines Kastens aussenrum.
Der muesste gekuehlt sein, wenn das ueberhaupt realisierbar ist, dass ich so die Dekohaerenz beobachten koennte.
Das hier war der Aufhaenger des Threads :
Der Zweite Hauptsatz der Thermodynamik stellt eine Erfahrungstatsache dar. Es ist bis heute nicht gelungen, dieses fundamentale Gesetz der klassischen Physik in seiner allgemeinen Gültigkeit für beliebige makroskopische Systeme ausgehend von der Grundgleichung der Quantentheorie, der Vielteilchen-Schrödingergleichung, zu beweisen
Wenn ich den Kasten thermodynamisch mitbetrachte, dann spielen die 15 Teilchen darin doch statistisch gar keine Rolle. Die koennen tun und lassen was sie wollen. Oder sehe ich das falsch ?
Die Aussage der Dekohaerenz ist ja, dass der Uebergang Welle-Teilchen nicht abrupt verlauft. Das haengt davon ab wie die Teilchen mit der Umhebung wechselwirken koennen, aber vor allem auch mit anderen Teilchen. Von dem schreibe ich ja die ganze Zeit. Wie Teilchen sich denn konkret untereinander "selbst messen". Man weiss das nicht.
Wenn ich von 10 oder 15 Teilchen rede, dann heist das nicht 15 Teilchen und eine irrsinnige Anzahl Aufgrund eines Kastens aussenrum.
Der muesste gekuehlt sein, wenn das ueberhaupt realisierbar ist, dass ich so die Dekohaerenz beobachten koennte.
Das hier war der Aufhaenger des Threads :
Wenn ich den Kasten thermodynamisch mitbetrachte, dann spielen die 15 Teilchen darin doch statistisch gar keine Rolle. Die koennen tun und lassen was sie wollen. Oder sehe ich das falsch ?
Hi richy,
diese Frage stelle ich mir auch. Leider verstehe ich viel zu wenig von der Quantentheorie. Die wenigen Atome oder Moleküle in den beiden verbundenen Kästen könnten sich bei sorgfältiger Präperation in einer Superposition befinden. Allerdings vermute ich, daß sofortige Dekohärenz unvermeidlich ist (falls der Spezialfall Bose-Einstein-Kondensat ausgeschlossen wird). Dann hätten wir klassisches Verhalten.
Es dürfte einen großen Unterschied in den Freiheitsgraden ausmachen, ob man ein Fulleren Molekül betrachtet oder eine gleich große Ansammlung individueller Atome. Aber ich gebe hier reine Spekulationen von mir,
Gruß, Timm
Man sollte EVB`s Link ernster nehmen.
Ohne Quantenrechner fuer die Simulation geht hier so gut wie nichts.
Vielleicht spendiert uns die Forumsleitung einen :-)
Hier ein einfacher Ansatz :
http://homepage.ruhr-uni-bochum.de/Dennie.Lange/quantenchaos.html
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