Elektron Elektron Wechselwirkung

[Phi]

Hi,

ich lerne im Moment für eine Prüfung und versuche, die BCS Theorie für Supraleitung zu verstehen. Diese fußt darauf, dass ein attraktives Potential zwischen Elektronen im Festkörper besteht (unter gewissen Vorraussetzungen)

In dem Buch, aus dem ich lerne (Kopitzki, Festkörperphysik) wird das Matrixelement <k1', k2' | V | k1, k2> eines Potentialoperators V mit den Wellenfunktionen zweier Elektronen ausgerechnet. Dabei sollen |k1> und |k2> die entsprechenden Wellenvektoren vor der Streuung, |k1'>, |k2'> nach der Streuung sein. V ist ein modifiziertes Coulombpotential, das zum einen die Coulomb-Wechselwirkung der Elektronen miteinander und zum anderen eine Polarisierung des Festkörpers berücksichtigt.

Lange Rede, kurzer Sinn: <k1', k2' | V | k1, k2> kann größer, oder auch kleiner Null sein. Im Fall kleiner Null wird der Streuung k1, k2 -> k1', k2' eine attraktive Energie zugeordnet. Nur weiß ich nicht, was das heißen soll, bzw. wie diese Aussage zustande kommt.
Erstens weiß ich nicht, was es bedeutet, einer Streuung eine Energie zuzuordnen, zweitens verstehe ich nicht, was diese Energie mit den nicht-diagonal-Matrixelementen des V Operators zu tun haben soll.
Die Größe <k1', k2' | V | k1, k2> ist meiner Meinung nach die Projektion der Wellenfunktion von 2 Elektronen mit k1,k2 nach einer Wechselwirkung auf den Zustand k1', k2'. Demnach sollte dieses Matrixelement ein Maß für die Wahrscheinlichkeit sein, dass diese 2 Elektronen in den Zustand k1', k2' gestreut werden (bzw. das Betragsquadrat)

Wer kann etwas Licht ins dunkel bringen?

liebe Grüße
Phi

[Hawkwind]

Hi,
Lange Rede, kurzer Sinn: <k1', k2' | V | k1, k2> kann größer, oder auch kleiner Null sein. Im Fall kleiner Null wird der Streuung k1, k2 -> k1', k2' eine attraktive Energie zugeordnet.


Dieses Matrixelement ist eine komplexwertige Größe. Was soll da "kleiner Null" bedeuten ?


Nur weiß ich nicht, was das heißen soll, bzw. wie diese Aussage zustande kommt.


Das kann ich gut nachvollziehen.



Erstens weiß ich nicht, was es bedeutet, einer Streuung eine Energie zuzuordnen, zweitens verstehe ich nicht, was diese Energie mit den nicht-diagonal-Matrixelementen des V Operators zu tun haben soll.


Nicht-diagonale Matrixelemente bedeutet hier, dass die 2 Elektronen Impuls und Energie austauschen.
Eine diagonale Matrix würde Übergänge vermitteln, bei denen die Elektronen ihre Impulse k1 und k2 nicht ändern. Mit "Energie der Streuung" ist also hier offenbar der Energietransfer augrund der Streuung von einem Elektron zum anderen gemeint.


Die Größe <k1', k2' | V | k1, k2> ist meiner Meinung nach die Projektion der Wellenfunktion von 2 Elektronen mit k1,k2 nach einer Wechselwirkung auf den Zustand k1', k2'. Demnach sollte dieses Matrixelement ein Maß für die Wahrscheinlichkeit sein, dass diese 2 Elektronen in den Zustand k1', k2' gestreut werden (bzw. das Betragsquadrat)


Dem würde ich auf jeden Fall zustimmen. Sorry für die vermutlich nicht hlifreiche Antwort.

[Phi]

Dieses Matrixelement ist eine komplexwertige Größe. Was soll da "kleiner Null" bedeuten ? Wenn man für die Wellenfunktionen der Elektronen ebene Wellen ansetzt ( exp(ikx) ) und das Matrixelement für das Coulombpotential ausrechnet, bekommt man als Ergebnis (nach einer trickreichen Rechnung) <k1',k2'|V|k1,k2>= 1/V * e²/(epsilon_null (k1-k1')²) (das ist reell), wobei e die Elementarladung und V das Kristallvolumen ist.
Anschließend wird epsilon_null durch epsilon*epsilon_null ersetzt, wobei epsilon eine dielektrische Funktion ist (Jellium Modell). Die dielektrische Funktion soll von k1-k1' und von E(k1)-E(k1') abhängen.
Nach einer länglichen Rechnung kommt man auf die Bedingung, dass das (reelle) Matrixelement kleiner als null wird, wenn k1-k1' klein genug ist.

Dieses negative Matrixelement soll hier ganz klar nicht für einen Energieübertrag der Elektronen miteinander stehen, sondern es sorgt dafür, dass Cooper-Paare einen energetisch günstigeren Zustand erreichen können. 2 Elektronen senken ihre gemeinsame Energie genau dadurch ab, dass sie im Jellium miteinander streuen. Anschaulich wird durch das negative Elektron eine positive Ladung im Festkörper induziert, die unter oben genannter Bedingung die negative Ladung des Elektrons überkompensiert. Das andere Elektron sieht dadurch insgesamt ein attraktives Potential. Im Rahmen der BCS Theorie führt diese attraktive Wechselwirkung zur Ausbildung von Cooperpaaren.

Unter
http://www.itp.phys.ethz.ch/education/prev_lectures/ws06/fkp/script.pdf
findet man auf Seite 249 im Prinzip das, was der Kopitzki auch schreibt,
Das Modellpotential Vkk' ordnet der Streuung k ↑, k ↓→ k ↑, k ↓ die attraktive Energie −V < 0 zu.

Anmerkung: up und down stehen für k1 und k2, wobei schon angesetzt wird, dass k1=-k2 sein soll.
allerdings mit einer etwas anderen Herleitung, die ich nicht verstehe (dazu fehlt mir der Hintergrund, die schmeißen einen tot mit Leiteroperatoren usw.). Egal, mein Verständnisproblem liegt ja nicht in der Herleitung sondern in der Bedeutung der Größe.

[Hawkwind]

Sorry, ich fürchte, in der Thematik bin ich nicht fit genug, um dir weiterhelfen zu können.