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Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : Fragen zur SGL


richy
22.08.10, 07:13
Hi
Viele Dinge bezueglich der Schroedingergleichung sind mir immer noch nicht klar.
Ich moechte den Thread mit einer ganz einfachen Frage starten, die eher dazu dienen soll Missverstaendnisse zu vermeiden. Ich meine die Antwort zu kennen und dass man diese ohne Kenntnisse ueber partielle Differentialgleichungen einfach finden kann :
http://www.quanten.de/forum/images/misc/quanten_header.jpg
V(r,t) soll eine reelle Funktion sein.
Warum muessen Loesungen Psi(r,t) dieser Gleichung (der SGL) komplexwertig sein ?
Warum koennen sie weder reell noch rein imaginaer sein ?
B.z.w welche Bedingungen muessten gegeben sein, dass dies moeglich waere ?
Gruesse

Hawkwind
22.08.10, 12:29
Hi
http://www.quanten.de/forum/images/misc/quanten_header.jpg
V(r,t) soll eine reelle Funktion sein.
Warum muessen Loesungen Psi(r,t) dieser Gleichung (der SGL) komplexwertig sein ?


Ich war mir zu Anfang, als ich deine Frage gelesen hatte, nicht sicher, ob sie komplex sein müssen - ich dachte, sie sind es halt im allgemeinen Fall.
Aber nach ein wenig Nachdenken komme ich zu dem Schluss, dass es rein reelle Lösungen nicht geben kann: mit Psi und V reell ist die rechte Seite der SGL reell (die Ableitung einer reellen Funktion nach einer Koordinate ist ebenfalls reell). Wenn Psi reell ist, muss aber die linke Seite rein imaginär sein, weil die Ableitung einer reellen Funktion multipliziert mit i rein imaginär ist, d.h. für reelle Psi stände auf der rechten Seite ein reeller Term und auf der linken ein imaginärer: das Gleichheitszeichen ist nicht zu erfüllen.

Einige Lösungen der zeitunabhängigen SGL liefern aber rein reelle Wellenfunktionen. Wenn das V nur von den Koordinaten und nicht von der Zeit abhängt, dann kannst du einen Separationsansatz für die Lösung der zeitabhängigen SGL machen (nur eine Raumdim. x, geht für 3 aber genauso)

PSI(x,t) = exp(-i*w*t) * Psi(x)

damit gehst du in die SGL und du erhältst

Psi(x) * hquer*w* exp((-i*w*t)
= -(hquer^2/(2*m) *Psi''(x) * exp((-i*w*t) + V(r)*Psi(x) * exp((-i*w*t)

Das kann für beliebige t nur dann erfüllt sein, wenn (Exponentialfaktor "herausgekürzt")

hquer*w * Psi(x) = -(hquer^2/(2*m) *Psi''(x) + V(r)*Psi(x)

das ist die zeitunabhängige Schrödinger-Gl. und wir identifizieren
hquer*w
wie üblich als Energie (w="omega" (Kreisfrequenz)).

http://upload.wikimedia.org/math/b/a/9/ba921ff03c40dabe99124d7d797157d1.png

Diese zeitunabhängige SGL hat z.B. für das didaktisch sehr interessante Kastenpotenzial rein reelle Lösungen. Jedoch ist die komplette Lösung der zeizabhängigen SGL selbst dann das Produkt aus

exp(-i*w*t)

und dem rein reellen ortsabhängigen Anteil der Lösung - also doch wieder komplexwertig.

Lösung der zeitunabhängigen SGL für eine räumliche Dimension x im Kastenpotenzial ist z.B. hier
http://sandphysik.de/quant15.pdf
beschrieben. Die Diskussion - dieses noch simplen - ist übrigens sehr zu empfehlen; sie demonstriert bereits, wie es zu einigen typischen "Quanteneffekten" kommt (diskrete Energieniveaus, Tunneleffekt, ...).

Gruß,
Hawkwind

richy
22.08.10, 20:22
Hallo Hawkwind

Ich habe die selben Argumente wie du verwendet um zu folgern, dass die Loesung der SGL tatsaechlich nur komplexwertige Loesungen zulaesst. Tatsaechlich=nicht nur aufgrund rechentechnischer komplexwertiger Exponentialansaetze.
Lediglich der Ansatz 0=0 wuerde auf zusaetzliche Bedingungen fuer reelle Loesungen fuehren die wohl weniger Sinn machen. (PSI = zeitlich konstant).

Man koennte salopp auch ausdruecken "PSI ist komplexwertig Weil i auf der linken Seite der Gleichung steht"
Und das bereitet mir am meisten Kopfzerbrechen.
Meine Fragen
- Wie kam Herr Schroedinger zu dieser Gleichung ?
Kann man dies kurz auch unter historischen Aspekten skizzieren ? (oder ein guter Link)

aber ganz besonders :
Wie kam Schroedinger auf die Idee, Loesung, dass auf der linken Seite die imaginaere Einheit stehen muss ?

Mein Gedanke waere, dass er hier ein Modell aehnlich der komplexen Wechselstromrechnung verwendet hat.
http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Wechselstromrechnung
Auch hier kennt man komplexwertige Ausdruecke wie zum Beispiele : u=(R+jwL)*i und rechnet zur Vereinfachung dann mit komplexen Exponentialfunktionen.
Diese Methode ist nichts weiter als eine vereinfachte Anwendung der Fouriertransformation !
Man betrachtet das System im Bildbereich, so dass man z.B. die Korrospondenz d/dt 0-0 jw (z.B. bei der Spule) verwendet.
Ebenso nuetzt man aus, dass der Sinus und Kosinus im Bildbereich Diracimpulsen entspricht, so dass man das ganze System schliesslich bequem beschreiben kann.

Es gibt aber bei der SGL einen entscheidenden Unterschied zur komplexen Wechselstromrechnung. In der SGL treten Ableitungen ueber x und t auf. Wenn die Einheit i aus einer Integral (Fourier) Transformation resultiert, wie bei der komplexen Wechselstromrechung, dann kann diese Transformation, Integration nicht den Wellenzahl oder Frequenzbereich betreffen, denn dann waeren die Differentiale durch jw oder jk ersetzt.In der Wechselstromrechnung treten dementsprechend keine Differentiale mehr auf.

Dass schliesslich das Betragsquadrat einer interpretierbaren Messgroesse entspricht weist ebenfalls darauf hin, dass die SGL eine Betrachtung in einem integraltrasformierten Bildbereich darstellt. (Vergleich : Betragsquadrat beim Frequenzgang) Blos was sollte das fuer ein Bildbereich sein ?
Mich wundert dabei auch folgendes :
Anscheinend verwendet man "das j" auf der linken Seite in selber Weise wie das j zum Beispiel im Ansatz : Psi(x,t)=exp(-j*w*t)*f(x).
Setzen wir das mal in die linke Seite der SGL ein :
i*h_q*d (exp(-j*w*t)*f(x))/ dt = -i*j*w*exp(-j*w*t)*f(x)
Jetzt wird man -j*i zusammenfasst zu 1 und das wird man wohl so handhaben oder ?, dann hat sich das eventuelle Mysterium der tatsaechlichen Komplexwertigkeit der SGL gelichtet.
i*d/dt stellt einen speziellen Differenzierer dar mit einer speziellen Phaseneigenschaft. i dreht dessen Phase nochmals um Pi/2.In der E Technik waere i ein Allpass oder Hilberttransformator.

Einige Lösungen der zeitunabhängigen SGL liefern aber rein reelle Wellenfunktionen.
Das ist gemaess unserer Vorueberlegung doch gar nicht moeglich.
Ah du praezessierts nachher. Man muss die Loesung mit exp(-i*w*t) multiplizieren.
Psi(x,t)=exp(-i*w*t)*f(x).
Man muss mit der Angabe "komplexwertig" somit sehr vorsichtig umgehen.
Auch ohne ein Kastenpotential genau zu betrachten wuerde ich folgern :
Wenn der Faktor f(x) rein reell ist, dann kann x unmoeglich in die Phase w*t des linken Exponentialausdruckes eingehen. Und dann ist das wohl eine stehende Welle oder ?

Erstmal vielen Dank fuer deine Rechenbeispiele.
Fuer den Seperationsansatz ist es zunaechst nicht notwendig komplexe Exponentialfunktionen zu verwenden. Diese erweisen sich wie in der komplexen Wechselstromrechnung lediglich als besonders praktische Rechengroessen. Hierzu nochmals einige Fragen :

Der komplexe Exponentialansatz erlaubt nur die Beschreibung eingeschwungener, linearer Systeme. (Cos+ISin, CIS, sind periodische Funktionen)
Wie ist dies bei der SGL zu beruecksichtigen ?
Die Bewegung eines Teilchens waere ein transienter Vorgang, den man mit diesem Ansatz nicht beschreiben kann. Aber man betrachtet kein Teilchen sondern dessen PSI- Wahrscheinlichkeitswelle .... Aaaarg es ist verrueckt :D
Ab wann ist denn diese Wahrscheinlichkeitswelle existet, so dass ich einen eingeschwungenen Vorgang annehmen darf ? Ab dem Moment in dem ich den Versuch aufbaue ? Ich meine klingt laecherlich, aber dann muesste man den Versuchsaufbau wie einen Hefeteig erstmal ruhen lassen, damit sich die Wahrscheinlichkeiten einschwingen ? (Nicht ganz ernst gemeint :D)
Wann beginnt der Prozess des Einschwingens ? Wenn z.B. eine "Elektronenwelle" erzeugt ist ?

PSI(x,t) = exp(-i*w*t) * Psi(x)
Ok jetzt verstehe ich die Vorgehensweise besser. Das waere ein spezieller Seperationsansatz (In der E Technik sagt man auch Produktansatz)
Stimmst du mir zu , dass die Funktion exp(-i*w*t) zunaechst lediglich eine willkuerliche Annahme ist, die sich spaeter als praktisch erweisen wird ? Eher eine Ratemethode.
Und ebenso, dass man nur aufgrund der Rechnung mit komplexen Exponentialfunktionen keinesfalls annahmen kann, dass PSI tatsaechlich komplewertig ist. Dass Psi tatsaechlich komplexwertig ist hatten wir bereits festgestellt, aber das i auf der linken Seiten geht in den komplexen Ansatz mit ein, so dass die anfangs noch erkennbare Bedeutung (Psi ist tatsaechlich in der Realitaet komplexwertig) verloren geht.

Beispiel.
U(jw)=jwL*I(jw)
komplexweriger Ansatz : I(jw)=I0*exp(jwt)
Sind jetzt Spannung und Strom ploetzlich unphysikalische Groessen weil ich sie als komplexwertig angenommen habe ? Nein.

Man muss beides also trennen. Das i auf der linken Seite und den komplexwertigen Exponentialansatz. Fuehre ich den Exponentialansatz durch kann ich anhand von Ergebnissen daraus ueberhaupt nicht mehr mit der Komplexwertigkeit argumentieren. Die habe ich ja selbst kuenstlich eingebaut. Wir haben bereits festgestellt, dass das Argument mit der Phase schon Gewicht hat. Mit der Komplexwertigkeit hat dieses aber meiner Meinung nach nur wenig zu tun.
(Ich hab natuerlich noch mehr Fragen)
Gruesse

Hawkwind
22.08.10, 23:23
aber ganz besonders :
Wie kam Schroedinger auf die Idee, Loesung, dass auf der linken Seite die imaginaere Einheit stehen muss ?

Gruesse

Richy, ich kenne mich in der Historie der Physik leider nicht allzu gut aus.

Aber die imaginäre Einheit auf der linken Seite ist zwingend, wenn du eine Wellengleichung haben willst. Das hängt damit zusammen, dass die Ableitung nach der Zeit nur von 1. Ordnung ist.
Die Ableitungen nach den räumlichen Koordinaten sind ja von 2. Ordnung; diese Asymmetrie hängt damit zusammen, dass die SGL nichtrelativistisch ist.

In einer Dimension x kann man die SGL auch schreiben als:

(-hquer/i) d/dt Psi = 1/(2*m) {(-hquer/i) d/dx}^2 Psi + V * Psi

Das wurde wohl "nahegelegt" durch die klassische Energie-Impuls-Beziehung:

E = p^2/(2*m) + V

Dabei wurden die Observablen p und E durch Operatoren ersetzt

p -> (hquer/i) d/dx
E -> (-hquer/i) d/dt

die nun auf die Wellenfunktion Psi wirken.
Das lineare Auftreten von E in der nichtrelativistischen klassischen Mechanik in der Energie-Impuls-Beziehung ist also letztlich dafür verantwortlich, dass da explizit ein Faktor i auf der linken Seite steht.

Mit der ersten Ordnung in der Ableitung nach t und ohne explizite imaginäre Einheit hätten wir keine Wellen, keine zeitlich oszillierenden Lösungen.
exp(i*w*t)
Denk an den Separationsansatz aus meinem letzten Posting. Ohne i auf der linken Seite der SGL könnte die zeitliche Abhängigkeit nicht als
exp(i*w*t)
herausfaktorisiert werden. Man bräuchte eher etwas wie
exp(w*t)
also zeitlich exponentiell wachsende oder gedämpftes Verhalten. Das wären keine Wellen.

Benjamin
23.08.10, 00:36
Warum koennen sie weder reell noch rein imaginaer sein ?
B.z.w welche Bedingungen muessten gegeben sein, dass dies moeglich waere?

Die SGL folgt historisch aus den Ergebnissen de Broglies, dass nämlich Teilchen, wie Elektronen, Wellencharakter besitzen. Die Gleichung selbst ist daher auch eine Wellengleichung, jedoch eine Wellengleichung in einem Potential. Es gibt dazu Analogons in der Optik.

Für stationäre Zustände, also zeitunabhängige, ist die Wellenfunktion rein reell (oder imaginär, das ist nur Definitionssache). Jedenfalls handelt es sich bei dieser Lösung um eine stehende Welle.
Man könnte eine stehende Welle freilich auch mit exp(i wt) multiplizieren und man bekäme eine komplexe Lösung. Physikalisch ist das aber unrelevant, das einzige was passiert, ist, dass die Amplitude unserer stehenden Welle oszilliert, wie das eine mechanische stehende Welle im Normalfall tut, z.B. eine schwingende Gitarrenseite. In der Quantenmechanik gibt es dazu nichts Äquivalentes, weil wir nicht wissen was oder ob da etwas schwingt. Messbar ist nur die Wahrscheinlichkeit, sprich das Betragsquadrat unserer Wellenfunktion. Dennoch ist die Zeitentwicklung aber wichtig, nur so ist die Interferenz gewährleistet. Das ist ja das Interessante: Wir wissen nicht was da schwingt, aber es verhält sich eins zu eins wie eine wirkliche Welle.

Aber wozu die Frage? Reell oder komplex ist doch egal. Der Raum der komplexen Zahlen erweitert lediglich den Raum der reellen. Oft reichen eben die reellen Zahlen nicht aus, um ein Problem zu lösen, dann kommen die komplexen ins Spiel. In der SGL erhält die zeitliche Entwicklung einen imaginären (oder komplexen) Charakter, weil die reellen Zahlen für die Raumkoordinaten besetzt sind.
Ich vermute mal, man könnte statt einer imaginären Koordinate auch einfach eine vierte reelle einführen. Dann müsste man aber auch einen neuen Nabla-Operator kreieren und eine Art zeitliches Potential schaffen.
So gesehen denke ich ist die imaginäre Lösung einfacher.

Benjamin
23.08.10, 00:46
Ich vermute mal, man könnte statt einer imaginären Koordinate auch einfach eine vierte reelle einführen.

Ich nehme das zurück. Ich denke das geht nicht. Man müsste eher jeder einzelnen Raumkoordinate eine zeitliche Entwicklung anhängen.

richy
23.08.10, 06:41
Hi Benjamin
Für stationäre Zustände, also zeitunabhängige, ist die Wellenfunktion rein reell (oder imaginär, das ist nur Definitionssache).
Bezueglich der Funktion PSI(x,t) gibt es keine Auswahl. Diese muss immer komplexwertig sein. Siehe rhetorische Eingangsfrage.
Du meinst in PSI(x,t) = exp(-i*w*t) * Psi(x) kann Psi(x) rein reell sein.
(Finde die Unterscheidung alleine durch Klein und Grossschreibung etwas unguenstig. Nennt man Psi(x) Wellenfunktion? Fuer mich ist das ein Amplitudenfaktor)
Jedenfalls handelt es sich bei dieser Lösung um eine stehende Welle. Das hatte ich auch schon festgestellt.
Man könnte eine stehende Welle freilich auch mit exp(i wt) multiplizieren und man bekäme eine komplexe Lösung.Man muss Psi(x) sogar mit exp(i wt) multiplizieren sonst ist es keine stehende Welle. Eine stehende Welle steht ja nicht voellig still als ein zeitlich kontantes Psi(x) sondern oszilliert. Und genau dies gibt der Phasenfaktor exp(i wt) wieder. PSI(x,t) muss aufgrund der SGL komplexwertig sein !
Waere Psi(x) komplexwertig koennte man es zum Beispiel in der Form schreiben exp(i*k*x)*f(x) und wir haetten ein exp(-i(w*t-K*x))*f(x) und das waere keine stehende sondern fortschreitende Welle.
In der Quantenmechanik gibt es dazu nichts Äquivalentes, weil wir nicht wissen was oder ob da etwas schwingt. Sehe ich auch so.Es kommt aber auch darauf an von welchen Standpunkt aus ich dies betrachte. (Wie existiert da unten eine Zeit ?)
Aber wozu die Frage? Reell oder komplex ist doch egal.
So ganz egal ist dies bezueglich dem i auf der linken Seite der SGL nicht.

Man kann leicht in die Versuchung kommen zu argumentieren :
Alleine dass PSI(x.t) komplexwertig zeigt schon dass PSI(x.t) keine reale physikalische Groesse sein kann. Nur deren Betragsquadrat (und Phase falls messbar) sind dies. Das ist kein Argument wenn die SGL gar nicht in einem physikalischen Raum formuliert ist so wie es fuer 1/(jwC) oder jwL in der Wechselstromrechnung gegeben ist. Da rechnet man bezueglich der Systenmfunktionen im Bildbereich der Fouriertransformierten. Und da man noch mit einem komplexen Exponentialansatz rechnet ist die Verwirrung noch groesser..
Daher waere es wichtig zu wissen wie dieses j der linken Seite der SGL zustande kommt.
Man kann eindimensional die SGL z.B. auch wie folgt umformulieren.
(j*w2)*dPSI(x,t)/dt=-(h_q)^2/2m*dPSI(x,t)/dx+V(x.t)*PSI(x,t),w2=h_q
Ah das ganze ist eine energetische Gleichung
http://upload.wikimedia.org/math/c/6/3/c63e66e26ee6ba923092476af5cca469.png
Ob das nun etwas bringt weiss ich nicht, damit will ich nur zum Ausdruck bringen dass dieses i wohl aus einer Fouriertransformation stammt. Blos von welcher Groesse ? Sie koennte die Dimension von 1/h_quer aufweisen. Also zum Beispiel Frequenz/Energie.
Ich vermute mal, man könnte statt einer imaginären Koordinate auch einfach eine vierte reelle einführen.
E.Rauscher oder Penrose fuehren eine negative Zeit und drei zusaetzliche imaginaere Koordinaten ein. Eine Spiegelwelt. Das sollte ich mir nochmals anschauen.

@Hawkwind
Ich muss deinen Beitrag noch etwas genauer durchgehen.
Gruesse

richy
23.08.10, 08:21
Um meine Argumente nochmals zusammenzufassen :

Stellt die SGL den Anspruch direkt einen (physikalischen) Vorgang zu beschreiben dann wuerde ich zugestehen :
Ja, alleine dass PSI(r,t) eine komplexwertige Funktion sein muss (nicht aufgrund eines exp(a+i*b) Ansatzes) zeigt, dass dieser Vorgang nur schwer eine physikalische Realitaet darstellen kann.

Stellt die SGL gar nicht diesen Anspruch sondern beschreibt einen physikalischen Vorgang im Bildbereich einer Fouriertransformation, dann ist es selbstverstaendlich, dass PSI(r,t) komplexwertig ist und selbst nicht interpretierbar. Nur z.B. dessen Betragsquadrat. Dennoch beschreibt PSI(r,t) eine physikalische Realitaet. Naemlich ueber deren Fourierruektransformierten.

Wenn ich den scheinbaren Wellenkollaps weiter in Form einer Wahrscheinlichkeit fuer unsere Realitaet formuliere egaebe dies immer die selbe langweilige Funktion: Einen mit eins gewichteten Deltaimpuls(0)
Dessen Fourierruecktransformierte waere die konstante Funktion physikalisches Ereignis=1. Wahrscheinlichkeit und Ereignis sind Einheitenlos.
So koennte man das Auftreten von i ohne Faktor ebenfalls erklaeren. Rein formell :
Wir definieren eine dimensionslose Ereignis/Moeglichkeitskoordinate x5.
Mit dieser wuerde die SGL im Urbereich lauten :
1) Wurzel(2*Pi)*h_q*d^2PSI(x,t)/dt/dx5=-(h_q)^2/2m*dPSI(x,t)/dx+V(x.t)*PSI(x,t)
Und fuer unsere Realitaet gilt fuer ein eingetretenes Ereignis x5=1.
Tritt das Ereignis nicht ein gilt x5=0.
Die Fouriertransormierte von 1) ueber exp(-i*x5) dx5 sollte dann die SGL in gewohnter Form ergeben. Falls mir auf die Schnelle kein Denkfehler unterlaufen ist :-)
Eine Version mit exp(-i*E/h*x5) dx5 finde ich allerdings fast huebscher.
Wahrscheinlichkeit als Energie pro Wirkumsquantum klingt ja auch ganz nett :D

Bauhof
23.08.10, 09:44
Wie kam Herr Schroedinger zu dieser Gleichung ?
Hallo richy,

ich las folgendes (nach meiner Erinnerung):

Schödinger hat seine Geichung frei erfunden. Er hat sie also nicht aus irgendwelchen bekannten physikalischen Prizipien hergeleitet. Der Erfolg gab ihm recht. Falls das interssant für dich ist, suche ich nach der Quelle.

Außerdem hat Schrödinger die Äquivalenz seiner Gleichung mit der Matrizen-Mechanik (von Heisenberg und Jordan) bewiesen.

M.f.G. Eugen Bauhof

Hawkwind
23.08.10, 09:50
Stellt die SGL gar nicht diesen Anspruch sondern beschreibt einen physikalischen Vorgang im Bildbereich einer Fouriertransformation, dann ist es selbstverstaendlich, dass PSI(r,t) komplexwertig ist und selbst nicht interpretierbar.



Fourier-Transformationen (FT) spielen bei der Diskussion der SGL tatsächlich eine Rolle: mittels einer FT wechselt man zwischen Orts- und Impulsdarstellungen. Bislang reden wir hier über die Orstdarstellung, d.h. Psi(x); man kann äquivalent aber auch die SGL in der Impulsdarstellung ausdrücken. Die enstprechenden Lösungen gehen aus einer FT von Psi in der Ortsdarstellung hervor.
siehe
http://de.wikipedia.org/wiki/Schr%C3%B6dingergleichung
Abschnitt: "Verschiedene Darstellungen der Schrödingergleichung "

Natürlich ist Psi in der einen wie in der anderen Darstellung keine Messgröße.

Bauhof
23.08.10, 09:53
Ja, alleine dass PSI(r,t) eine komplexwertige Funktion sein muss (nicht aufgrund eines exp(a+i*b) Ansatzes) zeigt, dass dieser Vorgang nur schwer eine physikalische Realitaet darstellen kann.

Haloo richy,

ja. Deshalb hat Max Born die Schrödingergleichung als "Wahrscheinlichkeitswelle" interpretiert. Und diese existiert laut Zeilinger nur in unserem Kopf.

M.f.G. Eugen Bauhof

Hawkwind
23.08.10, 13:03
Wenn der Faktor f(x) rein reell ist, dann kann x unmoeglich in die Phase w*t des linken Exponentialausdruckes eingehen. Und dann ist das wohl eine stehende Welle oder ?


Nein keineswegs: eine ebene Welle z.B.
exp(i*(kx-wt)) = exp(ikx)*exp(-iwt)
kann ebenfalls so separiert werden.



Der komplexe Exponentialansatz erlaubt nur die Beschreibung eingeschwungener, linearer Systeme. (Cos+ISin, CIS, sind periodische Funktionen)
Wie ist dies bei der SGL zu beruecksichtigen ?
Die Bewegung eines Teilchens waere ein transienter Vorgang, den man mit diesem Ansatz nicht beschreiben kann. Aber man betrachtet kein Teilchen sondern dessen PSI- Wahrscheinlichkeitswelle .... Aaaarg es ist verrueckt :D
Ab wann ist denn diese Wahrscheinlichkeitswelle existet, so dass ich einen eingeschwungenen Vorgang annehmen darf ?


Eine gedämpfte Wahrscheinlichkeitswelle wäre eine solche, bei der die Wahrscheinlichkeit (z.B. ein Teilchen irgendwo bei einer Messung vorzufinden) mit der Zeit sinkt. Solche Anteile machen Sinn für Systeme, in denen die Wahrscheinlichkeit nicht erhalten ist (Zerfallsprozesse ez.B.). Aber das ist ein anderes Kapitel.


Ok jetzt verstehe ich die Vorgehensweise besser. Das waere ein spezieller Seperationsansatz (In der E Technik sagt man auch Produktansatz)
Stimmst du mir zu , dass die Funktion exp(-i*w*t) zunaechst lediglich eine willkuerliche Annahme ist, die sich spaeter als praktisch erweisen wird ? Eher eine Ratemethode.


Motiviert war der exp(-iwt) - Faktor sicher durch deBrolies Materiewellen. Bei Wellen wird nun einmal oszilliert.

Woanders schreibst du


Ja, alleine dass PSI(r,t) eine komplexwertige Funktion sein muss (nicht aufgrund eines exp(a+i*b) Ansatzes) zeigt, dass dieser Vorgang nur schwer eine physikalische Realitaet darstellen kann.



Dem stimme ich immer noch nicht zu. Komplexwertigkeit alleine zeigt nicht, "dass dieser Vorgang nur schwer eine physikalische Realitaet darstellen kann."
Denk z.B. an die Impedanz
http://de.wikipedia.org/wiki/Impedanz
Das ist eine komplexwertige Größe, deren Real- und Imaginäranteile physikalische Bedeutung haben (Ohmscher Widerstand und Induktivität).
Das Besondere bei der Wfkt. ist die "Unphysikalität" des Phasenfaktors.

Benjamin
23.08.10, 13:04
Schödinger hat seine Geichung frei erfunden. Er hat sie also nicht aus irgendwelchen bekannten physikalischen Prizipien hergeleitet. Der Erfolg gab ihm recht. Falls das interssant für dich ist, suche ich nach der Quelle.


Ja, Feynman hat einmal geschrieben: "It came directly out of his mind."
Aber das stimmt nicht. Man erfindet nicht einfach eine Gleichung, die dann zufällig passt. Schrödinger kam auf diesen Ansatz durch de Broglie, und dem Umstand, dass sich Elektronen wie Wellen verhalten. Ihm war also klar, dass es eine Wellenfunktion geben muss, die die Heisenberg'sche Matrizenmechanik erfüllt. Das waren seine Ansätze, der Rest ist nicht streng logisch ableitbar - soweit ich das sehe zumindest nicht.
Aber Newtons Axiome sind schließlich auch nicht logisch ableitbar.

Benjamin
23.08.10, 13:14
Ja, alleine dass PSI(r,t) eine komplexwertige Funktion sein muss (nicht aufgrund eines exp(a+i*b) Ansatzes) zeigt, dass dieser Vorgang nur schwer eine physikalische Realitaet darstellen kann.


Mir fehlt nun leider die Zeit, genauer zu antworten. Du darfst jedoch nicht den Fehler machen, zu glauben, nur weil eine Funktion komplex ist, kann sie nicht wirklich sein. Denn dann läufst du einem falschen Verständnis von dem auf, was die komplexen Zahlen darstellen.

Ich kann zum Beispiel die Kreisbewegung eines Punktes über F(t)=A*exp(i wt) beschreiben. Das Ergebnis davon ist auch eine komplexe Zahl, die jedoch steht dennoch für einen völlig reellen Ort unseres Punktes. Die reelle Achse und imaginäre Achse entspricht einfach den Koordinaten Achsen.

Wenn z.B. F = 3 + i4 wäre das dasselbe wie F = 3x + 4y.

Der komplexe Zahlenraum ist lediglich eine Erweiterung des reellen, sowie die negativen Zahlen, den Raum der positiven Zahlen erweitern. Ob diese Zahlen einer physikalischen Wirklichkeit entsprechen, hat nichts damit zu tun, ob die Zahlen postiv, negativ oder imaginär sind.

richy
23.08.10, 17:30
Hi
@Bauhof
Schödinger hat seine Geichung frei erfunden. Er hat sie also nicht aus irgendwelchen bekannten physikalischen Prizipien hergeleitet.
So hab ich das auch in Erinnerung. Vergleichbar mit den Maxwellgleichungen, die auch nicht aus uebergeordneten Gleichungen hergeleitet sind. Angeblich soll bei der SGL eine Flasche Wein eine Rolle gespielt haben :-) Ich habe bisher kaum Information darueber gefunden. "Erfunden" ist bischen hart, daher auch Benjamins Anmerkung. Im Grunde stimme ich aber Feynman schon zu.
"It came directly out of his mind."

Und ich wuerde zu gerne wissen was er da gedacht hat. Alleine diesbezueglich dem j. Erstaunlich ist, dass er noch keine Wahrscheinlichkeitsinterpretation des Betragsquadrates im Hinterkopf haben konnte. Hat er dennoch ueber eine FT gedacht ?

@Hawkwind
Fourier-Transformationen (FT) spielen bei der Diskussion der SGL tatsächlich eine Rolle:

Kleiner Ausflug
************************************************** ***
Sie spielt alleine schon eine Rolle wenn du fuer den Seperationsansatz u(t)*v(x) die komplexe Exponentialfunktion waehlst.
PSI(t,x)=exp(i*w*t+k*x).
exp(i*w*t) ist nicht aus Zufall die orthogonale Basisfunktion der FT. Als Ing. wuerde man sich vorstellen, dass man das System ueber w durchwobbelt.
Und wenn du als Testfunktion SUMME(n, a_n*exp(i*n*w*t)) verwendest bist du schon bei der Fourierreihe.
Mit dem Ansatz PSI(t,x)=exp(i*w*t+k*x) erhaelt man aber immer nur spezielle Loesungen. Die allgemeine Loesung der Wellengleichung lautet
L(t,x)=f(w*t+k*x)+g(w*t-k*x)
oder mit w/k=die Phasengeschwindigkeit c
http://upload.wikimedia.org/math/6/c/9/6c9f8077af1cada9155f9d7fd33a3890.png
(Die Gruppengeschwindigkeit waere dw/dk)
f und g sind beliebige Funktionen ! Man denke an die Akustik. Waere schlimm wenn wir immer nur einen Sinus hoerern koennten. Da ist f bzw g das Musiksignal !
************************************************** ***
mittels einer FT wechselt man zwischen Orts- und Impulsdarstellungen.

Ja, das ist aber wieder etwas anderes, das vielleicht mit dem i der SGL zusammenhaengt.Und hier gehen die Geister auseinander. Obwohl es doch relativ klar ist.Konjungierten Groessen koennen niemals eine Realitaet gemeinsam beschreiben.Weil sie einmal zum Ur und einmal zum Bildbereich einer FT gehoeren. Der Mensch hat aber Probleme dies zu trennen, da seine Sinnesorgane beide Beschreibungsmethoden kennen. Das Residualhoeren ist ein Beispiel dafuer, dass er sogar beide Beschreibungsmethoden gleichzeitig (in dem Fall im Frequenzbereich ) verarbeiten kann. Das Residualhoeren ist aber eine Sinnestauschung ! Genauso wie die Intermodulationen Schwebungen beim weihnachlichen Floetenspiel (mehrere Floeten). Total interessante Sache, denn jeder interpretiert dies physiologisch anders. Weil Zeit und Frequenz konjungierte Groessen sind.
Das Gehirn hat dann Probleme ob es sich fuer die Schwebung (Zeit) oder die Frequenz entscheiden soll.Insbesonders wenn de Schwebungsperiodendauer sehr kurz wird.
Eine Schwebungsfrequenz existiert fuer sin(w1*t)+sin(w2*t) nicht !
w1+w2 oder w1-w2 existieren im Spektrum nicht !
Audio Demo (Laut, variable Kopfstellung, hoert man de Schwebung am aetzendsten)
http://home.arcor.de/richardon/schweb2.mp3
(Tritt auch am E Piano auf. Manche Musiker meinen dann es waere kaputt)

Und genauso sind ein Schwarzweiss und Farbbild zweierlei Stiefel ohne dass wir dies bemerken.
So kann man auch die Unschaerferelation als Sinnestaeschung bezeichnen. Man will beides parallel verstehen.
Das hat die Bohmsche Mechanik erkannt ! Finde ich gut !
Sie gesteht nur einer Groesse eine physikalische Realitaet zu.In dem Fall dem Ort.
Bislang reden wir hier über die Orstdarstellung, d.h. Psi(x);

D'accordo. Orstdarstellung und Zeitdarstellung.
Und Ereignis oder Moeglichkeitsdarstellung x5 ?
Die SGL kann nicht in einem reinen Urbereich formuliert sein !
Ansonsten duerftest du niemals die imaginaere Einheit i der linken Seite in deinen komplexen Exponentialansatz multiplizieren.
Warum darf man dies denn ueberhaupt so praktizieren ? !
Das i koennte doch auf allem Moeglichen basieren.
Das hier (richies x5-SGL) waere ein Beispiel einer rein formalen reinen Urbilddartstellung :

1) Wurzel(2*Pi)*h_q*d^2PSI(x,t,x5)/dt/dx5=-(h_q)^2/2m*dPSI(x,t,x5)/dx+V(x,t,x5)*PSI(x,t.x5)

Ich mach mal nen Punkt, sonst wird es zu .. aehem noch unuebersichtlicher.

richy
23.08.10, 17:50
Leider hat meine Argumentation anscheinend noch niemand verstanden :(

Aussage A
Stellt die SGL den Anspruch direkt einen (physikalischen) Vorgang zu beschreiben dann wuerde ich zugestehen :
Ja, alleine dass PSI(r,t) eine komplexwertige Funktion sein muss (nicht aufgrund eines exp(a+i*b) Ansatzes) zeigt, dass dieser Vorgang nur schwer eine physikalische Realitaet darstellen kann.

EDIT Ich habe PSI(r,t) hier zu PSI(r,t,x5) erweiter.
Aussage B
Stellt die SGL gar nicht diesen Anspruch sondern beschreibt einen physikalischen Vorgang im Bildbereich einer Fouriertransformation (fuer x5), dann ist es selbstverstaendlich, dass PSI(r,t,x5) komplexwertig ist und selbst nicht interpretierbar. Nur z.B. dessen Betragsquadrat. Dennoch beschreibt PSI(r,t,x5) eine physikalische Realitaet. Naemlich ueber deren Fourierruektransformierten.
Beides gehoert zusammen. Entweder gilt Aussage A oder Aussage B.
Und das haengt davon ab woher das i auf der linken Seite dieser Gleichung stammt.
http://www.quanten.de/forum/images/misc/quanten_header.jpg
Und vieles weist darauf hin, dass es aus einer Fouriertransformation hervorgeht. Einer bisher nicht spezifizierten Variablen fuer die ich daher mal beispielhaft x5 angenommen habe.
Das i stammt dann von einer FT der Variablen x5. Im Grunde muss i aus einer FT hervorgehen, sonst duerfte man i nicht in den ansatz exp(i*w+t) reinmultiplizieren.
Und dann wuerde Aussage B zutreffen !

richy
23.08.10, 18:20
Hi Bauhof
ja. Deshalb hat Max Born die Schrödingergleichung als "Wahrscheinlichkeitswelle" interpretiert. Und diese existiert laut Zeilinger nur in unserem Kopf.

Deshalb=wegen Aussage A.
Aussage B ist aber sehr viel konsistenter. Born hat das Betragsquadrat gebildet weil die SGL bezueglich Moeglichkeiten x5 bereits eine Fouriertransformierte darstellt. Es muss im Grunde so sein. Es bleibt ueberhaupt keine andere Wahl als das Betragsquadrat zu bilden.

@Hawkwind
Dem stimme ich immer noch nicht zu. Komplexwertigkeit alleine zeigt nicht, "dass dieser Vorgang nur schwer eine physikalische Realitaet darstellen kann."
Denk z.B. an die ImpedanzIch hoffe es ist klar geworden, dass beide Aussagen zusammengehoeren. A oder B. Und mit "schwer" meine ich dass es dann immer noch nicht zwingend notwendig waere. Gerade hinsichtlich als Rechentechnik eingefuehrter komplexwertiger Groessen.
Formuliert man die Impedanzen ueber jwL oder 1/jwC ist dies eine Darstellung im Frequenzbereich ! Es gilt Aussge B !
Die Korrospondenzen sind
d/dt O-O jw
Integral(... dt) O-O 1/jw

Nein keineswegs: eine ebene Welle z.B.
exp(i*(kx-wt)) = exp(ikx)*exp(-iwt)
kann ebenfalls so separiert werden.

Na das moecht ich aber mal sehen. Dass man exp(-iwt)*f(x) , f(x) reell, als exp(ikx)*exp(-iwt) schreiben kann :D
exp(-iwt)*f(x) , f(x) reell, ist sicherlich eine stehende Welle.
Die Phase wirkt auf alle Orte gleich.
Motiviert war der exp(-iwt) - Faktor sicher durch deBrolies Materiewellen. Bei Wellen wird nun einmal oszilliert.
Wenn du meine x5 Variante betrachtest.
d^2 PSI(x,t,x5)/dt/dx5 (d partiell)
Man kann t und x5 vertauschen.
d^2 PSI(x,t,x5)/dx5/dxt
Die Welle oszilliert dann nicht in der Zeit sondern ueber die Moeglichkeiten.Das geht auch.
Das Besondere bei der Wfkt. ist die "Unphysikalität" des Phasenfaktors.
Hatten wir schon :-) und uns auf Nichtmessbarkeit geeinigt oder ?

@Benjamin
Ob diese Zahlen einer physikalischen Wirklichkeit entsprechen, hat nichts damit zu tun, ob die Zahlen postiv, negativ oder imaginär sind.Kommt drauf an aus welchem Umstand die Imaginaeritaet hervorgeht.
Wenn dich die bessere Haelfte bittet 200gr Salami einzukaufen und du kommst mit i*200 gr Salami also imaginaerer, gar zeitartiger Salami nach hause, wird sie nicht zufrieden sein :D
Wobei eine imaginaere Salami durchaus eine Salami sein koennte, die erst morgen geliefert wird.

Hawkwind
23.08.10, 19:07
Na das moecht ich aber mal sehen. Dass man exp(-iwt)*f(x) , f(x) reell, als exp(ikx)*exp(-iwt) schreiben kann


Na gut, dann nimm einfach sin(kx) * exp(-iwt)
Das ist eine ebene Welle mit dem Wellenvektor k.

Gruß, Hawkwind

richy
23.08.10, 19:22
Sagte Benjamin oder ich doch :-)
Wenn der Faktor f(x) rein reell ist, dann kann x unmoeglich in die Phase w*t des linken Exponentialausdruckes eingehen. Und dann ist das wohl eine stehende Welle oder ?
sin(kx) ist rein reell daher eine stehende Welle. Die Phase aendert sich zwar ueber den Ort, aber sie breitet sich nicht aus. Ist f(x) komplexwertig, dann weist f(x) eine von x abhaengige Phase arg(f(x)) auf. Die kann man darstellen als exp(j*arg(f(x))
exp(j*arg(f(x))*exp(j*w*t)=exp(j* (arg(f(x) ) + w*t)
Bin mir aber nicht ganz sicher ob das Argument ausreichend ist.

Gruesse

Hawkwind
23.08.10, 21:17
Sagte Benjamin oder ich doch :-)

sin(kx) ist rein reell daher eine stehende Welle. Die Phase aendert sich zwar ueber den Ort, aber sie breitet sich nicht aus. Ist f(x) komplexwertig, dann weist f(x) eine von x abhaengige Phase arg(f(x)) auf.

Gruesse

Das stimmt; jedoch ist zu beachten, dass aus der Linearität der SGL ein Superpositionsprinzip folgt:

wenn Psi(x) eine Lösung ist und Phi(x) eine andere, dann ist auch
a*Psi + b*Phi eine Lösung. Ebene Wellen kann man aber als solche Linearkombinationen stehender Wellen darstellen. Tatsächlich sind ebene Wellen Lösungen der SGL, wenn V=0.
Ebene Wellen sind übrigens auch Impulseigenzustände, d.h. Zustände mit einem scharfen Impuls.

richy
23.08.10, 23:03
Hi Hawkwind
TEIL 1

jedoch ist zu beachten, dass aus der Linearität der SGL ein Superpositionsprinzip folgt:
wenn Psi(x) eine Lösung ist und Phi(x) eine andere, dann ist auch
a*Psi + b*Phi eine Lösung.

Daher finde ich es auch etwas unbefriedigend stets nur mit dem Exponentialansatz und speziellen Loesungen zu hantieren.
Zudem hab ich bei der SGL gewisse mathematische Zusammenhaenge noch nicht richtig verstanden. D.h. momentan stehe ich geradezu auf dem Schlauch.
Wenn ich bei Googel "Allgemeine Loesung der Schroedingergleichung" eintippe erhalte ich zum Beispiel fuer ein freies Teichen ohne Potential :
http://www-public.rz.uni-duesseldorf.de/~mschmitt/AllgemeineLsg.htm
Allgemeine Lösungen lassen sich durch folgende Linearkombination darstellen:
http://www-public.rz.uni-duesseldorf.de/~mschmitt/Image42.gif
deren Koffizienten A und B für jedes Problem bestimmt werden müssen.

Kritik an der Sprache im Link :
Mehrere allgemeine Loesungen ? Eine PDE beschreibt ein eindeutiges Prinzip !
Fuer jedes Problem ? Es wurde doch das Problem eines freien Teilchens betrachtet.

Kannst du deine Aussage und die aus dem Link mal fuer einen Elektrolurch und Musiker uebersetzen ?
Nehmen wir Steve_Lukather (Gitarrero von TOTO) den wir als Schallquelle betrachten und irgendeinen sehr kurzen Ton von sich gibt. ton(t,x=x_quelle) Wir betrachten den Vorgang nachdem Steve den kurzen Ton gespielt hat, der sich bereits im Raum ausgebreitet hat. Zusaetzlich nehmen wir an sein Ton breitet sich als ebene Welle aus (kein Bassgitarrist) und wir betrachten nur die Ausbreitungsrichtung ins Publikum (1d Welle). Den Zustand frieren wir ein.

Was sehen wir ?
Eine oertlich raumliche Schallwechseldruckfunktion p(x,t)
p(x,t) kann jede beliebige Funktion g(t,x) darstellen, denn Steve kann beliebiges spielen und sich sicher sein, dass die Wellengleichung der Akustik seine Klaenge bei guenstigen Randbedingungen zu den Ohren des Publikums transportiert. Das ist die einzigste Aussage der Wellengleichung. Sie transportiert lediglich (im entkopplungsfaehigen,ebenen Fall) Funktionen durch den Raum. Die Anfangswerte bestimmt die Quelle, Stevie, damit die Funktion g der eingefrorenen Situation g(t0,x).
Wie diese Information zu den Publikumsohren gelangt bestimmen die Randbedingungen, der Saal. Ueber Anfangswerte und Ranbedingungen liefert die Wellengleichung natuerlich keine Aussage. Die muessen wir selber bestimmen. Eine PDE beschreibt nur allgemeine Prinzipien.
Das halte ich fuer sehr wichtig.
So lautet die Loesung der Wellengleichung daher ganz allgemein :
http://upload.wikimedia.org/math/6/c/9/6c9f8077af1cada9155f9d7fd33a3890.png
Du schreibst :
wenn Psi(x) eine Lösung ist und Phi(x) eine andere, dann ist auch
a*Psi + b*Phi eine Lösung.

Dies beschreibt nach meinem Verstaendnis nichts anderes wie die oben angegebene allgemeine Loesung. Ueber den Umweg dass ich beliebige g(x+-ct) z.B. aus einer Fourierreihe approximieren kann ! Ich nehme einfach Summe(a_k*Psi(k,x,),k=0..oo). Approximiere g(t,x) ueber eine Fourierreihe. Mit den bekannten Einschraenkungen.
Ebene Wellen kann man aber als solche Linearkombinationen stehender Wellen darstellen. Tatsächlich sind ebene Wellen Lösungen der SGL, wenn V=0.

"Stehend" spielt sicherlich fuer die Wellenform keine Rolle. Aber schon klar.
Kurz. Es gilt in dem Fall die allgemeine Loesung einer Wellengleichung :
http://upload.wikimedia.org/math/6/c/9/6c9f8077af1cada9155f9d7fd33a3890.png
(Da fehlt uebrigends noch ein Integral)
Man kann diese ueber viele Methoden Herleiten. Charakteristiken, allgemeine Seperation, Einhuellende ...
Wenn man es kompliziert musikalisch mag kann man sich f(x,t) und g(x,t) (bei einer Kugelwelle f=g) natuerlich aus einer Fouriersumme zusammengesetzt vorstellen. Warum schreiben die Quantenphysiker aber nicht einfach auch mal solch einen einfachen allemeinen Ausdruck an ? Der ist doch weitaus aussagekraeftiger als irgendwelche Superpositionsformulierungen.

Ok was mich jetzt interessieren wuerde. Was haben solche Elementarteilchen denn musikalisch konkret zu bieten ? Ich vermute mal wenig. (Sinus) Das sind lediglich harmonische Oszillatoren ?

richy
25.08.10, 12:55
Was ich im Moment noch nicht auf die Reihe bekomme ist, dass hier das Betragsquadrat einer Loesungsfunktion gebildet wird. Ach so ... das entspraeche einer spektralen Leistungsdichte.

EMI
25.08.10, 23:42
Wie kam Herr Schroedinger zu dieser Gleichung ?
Hallo richy,

Schrödinger selbst soll mal gesagt haben: "Die habe ich erraten".
Erraten, nicht erfunden.

Gruß aus dem Urlaub.

EMI

richy
26.08.10, 03:32
Hi EMI
Feynman meinte das auch,
„Woher haben wir diese Gleichung? Von nirgendwo. Es ist unmöglich, sie aus irgend etwas Bekanntem herzuleiten. Sie ist Schrödingers Kopf entsprungen.“

...aber dennoch kann er aus seinen Pfadintegralen die SGL herleiten.
Naja, wenn man weiss wie es geht ist es ein wenig anders :-)
http://mikomma.de/qph3htm/qph3a.htm

Interessanterweise tritt in der Klein Gordon Gleichung die imaginaere Einheit links nicht mehr auf :
http://upload.wikimedia.org/math/8/0/5/8057fc415dc19f1401abe5daf1cc55b5.png
Aber anscheinend ist |PSI|^2 dann auch nicht mehr als Wahrscheinlichkeit interpretierbar.
Ist beides miteinander verknuepft ?
Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist bei Klein Gordon negativ. Macht doch nichts :D Wenn ich die Wahrscheinlichkeit ueber eine Information betrachte ln(1/pi) dann entspraeche dies einer imaginaeren Information. Also einer imaginaeren Zeit ?
Ich meine fast E.Rauschers Gleichung basiert auf der Klein Gordon Gleichung.
Wobei bei ihr i auf der linken Seite erhalten bleibt und die Zeit komplexwertig ist.t=t_re+j*t_im
Es gibt doch auch zwei Entropieformen. Global nimmt die Entropie stets zu.
Aber lokal kann die Entropie auch ueber selbstorganisierende Prozesse abnehmen.
Das koennte man genausogut ueber zwei Zeitdimensionen beschreiben.
Und die gewohnte Zeit t kann aufgrund der fehlenden Ankopplung an die globale Entropie vor der Messung soundso keine Rolle spielen. Die Dekohaerenz stellt dann einen Pfad in der komplexen t-Ebene dar der vom Imaginaerteil(t) zum Realteil(t) fuehrt.

Eine eine andere Auslegung :
Rauscher oder Penrose vermeiden das Mischen konjungierer Groessen in dem sie einen komplexwertigen Minkowskiraum annehmen (somit 8 Dimensional) der beides ueber seine komplexwertige Koordinaten trennt !
Das muesste auch mit der Hilberttransformation zusammenhaengen :
http://de.wikipedia.org/wiki/Hilbert-Transformation
Die linke Seite der SGL ist Hilberttransformiert, die rechte Seite nicht.Da ist etwas kausales mit etwas akausalem verknuepft. Das kann ja nicht gut gehen und ist nur in einem komplexwertigen Minkowskiraum beschreibbar.

Aber amtlich geht es anders weiter :
http://www.einsteins-erben.de/dirac.php?men=gen
Ein Wahrscheinlichkeitsdichten-Interpretation kommt also nicht in Betracht. Allzu schnell ließ man die Klein-Gordon-Gleichung deshalb einstauben. Bis man die Bedeutung von in der Ladungsdichte sah (Ladungsdichten > 0 bzw. < 0 machen dann einen Sinn). Dieses Ergebnis liegt daran, dass die Klein-Gordon-Gleichung in den zeitlichen Ableitungen von zweiter Ordnung ist. Man musste also eine relativistische quantenmechanische Gleichung finden, die von erster Ordnung in der Zeit ist. Nun kamen Diracs geniale Gedanken ins Spiel. Um eine positiv definite Dichte für eine relativistische, quantenmechanische Gleichung zu bekommen, benötigt man eine Differentialgleichung von erster Ordnung in der Zeitableitung.
http://upload.wikimedia.org/math/c/c/b/ccba4be81855f59d6775d5a34dc6496c.png
Auch hier hat man wieder das imaginaere Vorzeichen.Aber auch bei der raeumlichen Ableitung.
(Das ist ein PDE-system nicht ?)
Schoenen Urlaub noch !
Gruesse

richy
26.08.10, 04:58
Der Big Boss sieht alles. Dank Einseitenbandmodulation / SSB ? :p
Die ist energiesparend und er erschuf die Schwaben nach seinen Vorbild :D

Hawkwind
26.08.10, 20:04
Ein Wahrscheinlichkeitsdichten-Interpretation kommt also nicht in Betracht. Allzu schnell ließ man die Klein-Gordon-Gleichung deshalb einstauben. Bis man die Bedeutung von in der Ladungsdichte sah (Ladungsdichten > 0 bzw. < 0 machen dann einen Sinn). Dieses Ergebnis liegt daran, dass die Klein-Gordon-Gleichung in den zeitlichen Ableitungen von zweiter Ordnung ist. Man musste also eine relativistische quantenmechanische Gleichung finden, die von erster Ordnung in der Zeit ist. Nun kamen Diracs geniale Gedanken ins Spiel. Um eine positiv definite Dichte für eine relativistische, quantenmechanische Gleichung zu bekommen, benötigt man eine Differentialgleichung von erster Ordnung in der Zeitableitung.


Das klingt irgendwie so, als sei Klein-Gordon-Gleichung falsch und die Dirac-Gleichung richtig. Das ist aber nicht so: die Klein-Gordon-Gleichung ist die korrekte Wellengleichung für Spin-0 -Teilchen und die Dirac-Gleichung für Spin-1/2 - Teilchen. Die Klein-Gordon-Gleichung ist aus diesem Grunde halt ungeeignet, die Orbitale von Elektronen zu beschreiben.

Marco Polo
26.08.10, 20:30
Das klingt irgendwie so, als sei Klein-Gordon-Gleichung falsch und die Dirac-Gleichung richtig. Das ist aber nicht so: die Klein-Gordon-Gleichung ist die korrekte Wellengleichung für Spin-0 -Teilchen und die Dirac-Gleichung für Spin-1/2 - Teilchen. Die Klein-Gordon-Gleichung ist aus diesem Grunde halt ungeeignet, die Orbitale von Elektronen zu beschreiben.

Das klingt einleuchtend.

Der Big Boss sieht alles. Dank Einseitenbandmodulation / SSB ? :p
Die ist energiesparend und er erschuf die Schwaben nach seinen Vorbild :D

Hör bloß auf. So ein Schmarrn. :D

Sollte der Big Boss die Schwaben nach seinem Vorbild erschaffen haben, dann könnte man ja gleich ne Weltmeisterschaft im Eierlaufen aufmachen.

Btw: Dagegen spricht auch die Tatsache, dass der S04 im krassen Gegensatz zum VFB in der CL verteten ist. :D

S04 rules...:cool:

richy
27.08.10, 00:49
Hi Marco
Der Big Boss sieht alles. Dank Einseitenbandmodulation / SSB ?
Die ist energiesparend und er erschuf die Schwaben nach seinen Vorbild
Dem Satz sollte ich vielleicht eine Erklaerung hinzufuegen.
1) (Ich muss da leider gaaanz weit ausholen :-)
Die prinzipielle Nichtlokalität der QM kann kein ernst zunehmender Physiker bestreiten - unabhängig, ob KD oder BM oder VWI.
Dem stimme ich nicht ganz zu, denn die KD nimmt selbstverstaendlich das EPR Experiment und die Bellschen Ungleichungen zur Kenntnis. So meint das Roko wohl auch. Aber die KD hat sich leider in eine Situation "reingeritten" in der sie auf keinen Fall der Natur eine Nichtlokalitaet, Globalitaet zugestehen kann. Denn dies fuehrt automatisch auf eine VWI oder die BM.
Ich habe an anderer Stelle geschrieben, dass die KD das EPR Experiment mittels Psychokinese erklaert. Das ist natuerlich kein Witz sondern mein voller Ernst. Und wer meint, dass die KD die Nichtlokalitaet nicht durch Psychokinese ersetzt, der muss dies schluessig darstellen.

@bauhof:
Also los gehts :-) ... aber

Die Dekohaerenz fuehrt in dem Fall auf eine VWI oder BM. Und nimmt man deren Parallel-Raeume als lediglich gedacht, abstrakt an ...
Dann landet die KD noch tiefer in der Paraphysik. Maledetta !
Spiele den Gedanken einfach mal durch. Die Nichtlokalitaet ueber eine lediglich abstrakte PSI Funktion erklaert. Dagegen ist jeder aurale Pyramidenanhaender ein durchaus logisches Objekt..
Den paranormalen Charakter der KD zeigt besonders anschaulich deren Interpretation des Zeno Effekts.
Tja und warum nennen sich denn die ganzen Parawissenschaften auch ganz gerne mal PSI-Wissenschaft ? Die berufen sich auf die Quantenmechanik und die Interpretation aus Kopenhagen. Zu recht, denn die KD ist Paraphysik.Als Paraphysikus kann man sich jederzeit auf Herrn Bohr berufen. Das werde ich im Folgenden auch teilweise praktizieren.

2)
Ich selber habe hier eher eine Meinung wie Zeilinger. Der sich zwar als Vertreter der KD verkauft (verkaufen muss) aber doch der Meinung ist, dass irgendwo in der Mitte zwischen KD und VWI,BM eine "Wahrheit" liegen koennte. Die Heimsche Theorie ist so ein Mittelweg.
Und ich nehme nicht an, dass Zeilinger mit der abstrakten Information einen Informationsbegriff meint der lediglich auf einen persoenlichen Beobachter und dessen Bewusstsein beschraenkt ist. Solch eine rein pesonenbezogene Welt waere schon aus ethischen Gruenden ein "Grauen aus Kopenhagen". Sondern dass diese abstrakte oder irreale Information tatsaechlich eine Groesse in der Natur darstellt.
Das bedeutet, dass geistige und physikalsche Welt tatsaehlich in irgendeiner Form miteinander verbunden sind. Konform zur KD. Und ueber die konjungierten Groessen stossen wir doch gerade darauf.
Auch makroskopisch gibt es solche konjungierten Groessen.
Wir maehen wie selbstverstaendlich den Rasen und sind uns dennoch nicht im Klaren darueber, dass diese physikalische Zustandaenderung des Rasens durch geistige Aspekte bedingt ist:
"Sieht besser aus." "Weil der Nachbar sich sonst beschwert" "Weil man es machen muss" Der gemaehte Rasen ist eine physikalische Wirkung deren Ursache im abstrakten liegt. Ein konjungiertes Variablenpaar.
Ursache : Der Gedanke "Menschen muessen Rasen maehen" abstrakt
Wirkung : Der Rasen wird gemaeht. physikalisch
Uns erscheint dies allerdings so trivial dass wir keinen Gedanken darueber verschwenden.
3)
Man koennte annehmen, dass die Verbindung zwischen geistiger und physikalischer Welt ueber makroskopische Geister gegeben ist. Unser makroskopisches Bewusstsein, dass uns raet den Rasen zu maehen waere solch ein Geist. Aber wie kommt dieser Geist zustande ? Es ist doch voellig naheliegend dass dieser sich genauso wie alles Physikalische aus mikroskopischen Bausteinen zusammensetzt. Und eine Erklaerung dessen Bausteine sich daher auch auf Quantenebene ergeben muss. Dort wo sich nach Prof. Leschs oder Prof. Zeilingers oder Prof. Bohrs Meinung oder Herrn Heisenbergs Gleichung konjungierter Groessen die abstrakte Welt und die physikalische Welt Welle/Teilchen, Information/Gravitation "Guten Tag" sagen.
4)
Die SGL
******
Unter diesen Vorbetrachtungen muessten sich diese zwei Welten (abstrakt/physikalisch) dann doch auch in der SGL wiederspiegeln ?
Und selbstverstaendlich kann man beide Welten dort finden. Man denke nur an |PSI|^2. Aber wie laesst sich dies genau aufschluesseln ?
Und da meine ich das diese imaginaere Einheit auf der linken Seite der SGL die entscheidende Rolle spielt. Thats all.
Und nur mal aus dem hohlen Bauch raus.
j*h koennte man als (j*x5*h)|x5=1 verstehen und -h^2 als (j*x5*h)^2|x5=1
Also als eine unvollstaendige FT fuer die Variable x5. Die dann vergleichbar mit einem Reynoldsfaktor waere.
Aber ich meine das ist es nicht.
Diese imaginaere Einheit auf der linken Seite resultiert meiner Meinung nach aus einer Hilberttransformation.
5) Heims G4
*********
Wie bei Penrose oder E.Rauscher existiert bei Heim eine Spiegelwelt zur physikalischen Welt. Bei Heim ist diese abstrakt und er kann kaum Aussagen ueber diese treffen. Lediglich ueber den Datenaustausch beider Welten.
Dieser erfolgt ueber zwei zweidimensionale Unterraeume
I2 : Information, abstrakt
S2 : Organisation, physikalisch
Heim hat fuer die Abbildung von G4 ueber I2,S2 nach M4 (Minkowski4) eine zweidimensionale Fouriertransformation verwendet. Ich dachte vor ein paar Jahren noch, dass er aus rein rechentechnischen Gruenden die FT verwendet hat.
Wenn man aber betrachtet wie unsere Sinnesorgane arbeiten scheint etwas ganz anderes sehr viel naheliegender. Dass die Bezeichnung "Spiegelwelt" beinhaltet, dass unser geistiges Abbild der physikalischen Welt deren Fouriertransformierte darstellt. Scheint plausibel. Wir hoeren z.B. bevorzugt keine Zeitsignale sondern deren Fouriertransformierten.
Anhand der SGL wuerde ich aber inzwischen eine andere Hypothese annehmen.
Unsere geistige, abstrakte Sinneswelt ist die Hilberttransformierte der physikalischen Welt.

6) Sodele, jetzt also endlich :
Der Big Boss sieht alles. Dank Einseitenbandmodulation / SSB ?
Die ist energiesparend und er erschuf die Schwaben nach seinen Vorbild

Der BIG BOSS = Der abstrakte Raum
sieht alles = steht ueber die Quantenebene in Verbindung mit dem physikalischen Raum.
Dank Einseitenbandmodulation = ueber ein effizientes, sparsames Modulationsverfahren, dass auf der Hilberttransformation beruht.
exp(iy)=cos(y)+i*sin(y) ist z.B. ein sparsames Signal, denn es belegt nur postive Frequenzen. Denn es ist ein analytisches Signal und Real und Imaginaerteil ueber die miteinander Hilberttransformation verknuepft.
Eine holomorphe Funktion.

7) Gott und der schwaebische Kartoffelsalat
*********************************
G4 laesst sich nur schwer charakterisieren. Aber es laesst sich erahnen , dass in diesem gewisse Minimalprinzipien herrschen. Wenn es einen Geist Gottes gaebe, der diese Prinzipien verkoerpert und zwischen physikalischer und geistiger Welt in der Mikrowelt ein Datenaustausch stattfinden. Und wenn dieser Datenaustausch ueber ein Modulationsverfahren stattfindet. Dann wuerde Gott genauso wie ein Schwabe wohl ein energieschonendes effizientes Einseitenbandmodulationsverfahren SSB wahlen, dass die Hilberttransformation enthaelt. Und dann kommt in irgendwelchen Gleichungen unerwartet ein j vor.
Im schwaebischen Kartoffelsalat kommt kein j vor. Dennoch erfiuellt er physikalische Minimalprinzipien.
Wenn Gott, die Natur also sparsam ist, dann hat er zuerst die Schwaben erschaffen :-)
Adam und Eva waren Schwaben oder Schotten.
Und es war gut so ! hmm ... EDIT also es war wenigstens nicht schlecht :D

Gruesse

Marco Polo
27.08.10, 03:06
Dem Satz sollte ich vielleicht eine Erklaerung hinzufuegen.
1) (Ich muss da leider gaaanz weit ausholen :-)

Das wird bei weitem nicht ausreichen...


Wenn Gott, die Natur also sparsam ist, dann hat er zuerst die Schwaben erschaffen :-)
Adam und Eva waren Schwaben oder Schotten.
Und es war gut so ! hmm ... EDIT also es war wenigstens nicht schlecht


Ach du meine Güte. Das würde ich in die Kategorie "Grauen aus Kopenschwaben" einstufen. :D

Grüsse, Marco Polo

richy
27.08.10, 03:55
Hi Marco Polo
Du findest meine Hypothesen also als wenig glaubhaft ? Die waeren KD fest !
Na gut :-) Einigen wir uns auf die durchaus sinnvolle Version : Und Gott schuf den Menschen aehnlich nach seinem Ebenbild. Also mit erheblichen Fehlern in der Kopie.
Der Schwabe, das Occhamsche Messer sind nur idealisierterte Prototypen :-)

ciao