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Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : Math - Das grosse Fenster ...


richy
30.08.10, 03:23
... der Ordung ist ein besonders interessanter Teil der Verhulst Gleichung.
Es oeffnet sich genau fuer den Parameter r:=1+Wurzel(8)

3.828 427124

http://www.gymnasium-unterrieden.de/fbaum/fbaum02.gif
Das grosse Fenster der Ordnung ist hier als Fenster 4 bezeichnet (3.ter Ordnung=Dreierzyklus)
http://www.gymnasium-unterrieden.de/fbaum/fbaum.htm

Fuer diesen Wert ergibt sich ein Dreierzyklus mit zunehmender chaotischer Immitenz der Iterationswerte im determinierten Bereich wenn man das Fenster durchlaeuft.
(Der 3-er Zyklus laesst sich aufgrund von Phasomatbildern nicht fuer Primzahlen ausnuetzen :)
BTW :
Ungeradzahlige Zyklen sind logisch nur schwer erklaerbar. Wir erklaeren uns den Weg ins Chaos ueber Periodenverdoppelung. Also geradzahlige Zyklen. Da gibt es keine 3 er oder 5 er Zyklen.
Erst ab dem Ueberschreiten des Feigenbaumpunktes (Linie 5) wird alles scheinbar anders.
Das Auftreten von ungeradzahligen Zyklen ist natuerlch in keinster Weise ueber Periodenverdoppelung erklaerbar.
Ungeradzahlige Zyklen gleichen im Grunde komplexen Zahlen. Oder konjungierten Groessen der Quantenmechanik. Den Feigenbaumpunkt koennte man in einer Analogie daher auch als Dekohaerenzpunkt bezeichen. Aber zurueck zum Thema :

Es zeigt sich, dass im Bereich des grossen Fensters die Iterationswerte Zipf- also 1/k verteilt sind.
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/zipf/erg1.gif
rot = Gauss (richies) Guetmass bezueglich Zipfverteilung
blau=Ljapunovexponent

Bei kleinen Fenstern der Ordnung (blaue Kurve gleich Null) scheint keine Zipf Verteilung vorzuliegen.
Die rote Kurve faellt scheinbar nicht bei allen Nullgaengen der blauen Kurve auf Null. D.h. wirklich genau kann man dies nicht sagen. Dazu waeren noch weitere numerischen Simulationen in einem schmalen Bereich dieser kleinen Fenster notwendig. Wieviele es davon gibt weiss sicherlich kein Mensch. Wahrscheinlich unendlich viele.
Wie schmal man den Bereich waehlen muesste weiss wohl auch kein Mensch. Wahrscheinlich unendlich schmal wie beim grossen Fenster der Ordnung.
Ich betrachte erstmal das grosse Fenster der Ordnung.
(Das erinnert mich auch irgendwie an das grosse Tor von Kiev)

Grosses Fenster der Ordnung :
Abbildung A:
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/zipf/erg2.gif

Im Bild sieht man anhand des Ljapunovexponenten, dass vor dem Fenster Chaos herrscht, danach Ordnung. Ich moechte nun etwas genauer untersuchen, wie sich dies konkret auf in der Amplitude diskretisierte Zahlenfolgen auswirkt. Dazu teile ich die kontinuierliche Iterationsgroesse in "N_range" Stufen, Klassen.
Programmiertechnisch : Direkte effiziente Abbildung der Iterationswertes auf die Klassennummer :
j:=floor(Iterationswert*(N_range-1)+1)
(Der Iterationswert nimmt Werte zwischen 0 und 1 an)

Zielgedanke :
Ich moechte erkennen ob die Buchstabenanordnungen innerhalb eines Textes einer Sprache (diese sind Zipf verteilt) eher der Verteilung vor oder nach dem grossen Fenster der Ordnung entsprechen. Wobei dies im Grunde schon aus Abbildung A ersichtlich ist. Im Fenster der Ordnung steigt das Zipf Fehlermass schnell an. Es liegt keine Zipf Verteilung mehr vor.
Damit waere der chaotische Teil vor dem Fenster naeher zu einer Sprache. Ist eine solche aber tatsaechlich eher ein zufaelliger Prozess ?
Ebenso folgt eine Sprache nicht exakt der Zipf Verteilung.
Welcher Parameter r kommt einer solchen am naechsten ?

Ein neues Werkzeug um dies zu beurteilen stellt der PHAS-O-MAT dar !
Bei welchen Parameter entsprechen die diskretisierten Werte der Verhulst Gleichung am ehesten dem Phasomaten Bild einer Sprache ?

Faellt dies guenstig aus koennte man die Verhulst Gleichung dafuer verwenden einfache Woerter zu bilden. Wobei ich natuerlich eher an eine musikalische Anwendung denke. Anhand des Phasomaten kann man schon im Voraus beurteilen ob die Anstrengung ueberhaupt erfolgreich sein koennte.

richy
30.08.10, 04:15
Sprachreferenz :
Es sollen 28 Buchstabenklassen verwendet werden sowie eine Klasse fuer das Leerzeichen :
http://de.wikipedia.org/wiki/Buchstabenh%C3%A4ufigkeit

Die Verhulst Gleichung erzeugt vor dem Fenster auch leere Klassen. Ueber 36 Klassen lassen sich jedoch mindestens 29 belegte Verhulst Klassen erzeugen. Eine Klasse die vielleicht alle 5000 Schritte auftritt kann man auch mit einem voellig unwahrscheinlichen Zeichen, Information belegen. Das Prinzip auch solche sehr unwahrscheinlichen Klassen anzulegen um 29 Klassen zu garantieren scheint mir natuerlich und daher praktisch und sinnvoll.

r:=1+Wurzel(8)=3.828427124 ist unser "Grenzwert"

SIMULATION 1
***********
Annaeherung an 1+Wurzel(8) ueber die "linke", chaotische Seite.
Numerischer Versuch :
r:=3.824, 3.825, 3.826, 3.827, 3.828
Fuer jeden Parameter wurden 50 000 Iterationen durchgefuehrt und die Haeufigkeit des Zeichens/Klasse 0..36 ermitelt.

http://home.arcor.de/richardon/2010/plapper1.gif

Ergebnis :
Vorauf es mir hier ankam. Die Kurvenform verschiebt sich zwar etwas, aber nicht drastisch.
Abgesehen von Peaks der roten Kurve r=3.824 z.B bei Klasse 26. Wie dies zu beurteilen ist bleibt noch offen. Ansonsten alles im gruenen Bereich.
Der Bereich r= 3.826-3.828 scheint im Sinne der Zipf Verteilung fuer eine groessere Klassenanzahl guenstig.

SIMULATION 2
***********
Wiederum 50 000 Iterationen pro Parameter.
Geht man nun ins Fenster der Ordnung ergeben die Werte
r:=3.828, 3.829, 3.83, 3.831, 3.832 scharfe Dreierzyklen. Das ist unguenstig hinsichtlich einer kuensterlisch sprachlichen Anwendung. Ausser fuer Drummer.

Auch im Bereich r:=3.828.. 3.869 dominiert der Dreiezyklus. So wie es aus Abbildung A vorhersagbar ist. Dabei geht zudem unstetig die Zipfverteilung verloren. Und das ist voellig konfus.
Siehe der unstetige Verlauf der roten Kurve in Abbildung A.

http://home.arcor.de/richardon/2010/plapper2.gif

Hier nochmals die Verteilung exakt fuer 1+Wurzel(8):
http://home.arcor.de/richardon/2010/plapper3.gif
Das ist eine Gleichverteilung !
Diese Grafik widerspricht einigen Aussagen anerkannter Chaosforscher !
Auch einem Bild auf meiner Webseite das ich korrigieren muss. Ich wusste damals nicht was hier wirklich vor sich geht und habe damals versucht mich ueber unzaehlige numerische Experimente dem Grenzwert 1+sqrt(8) linksseitig anzunaehern. 1+sqrt(8) ist aber nicht nur ein spezieller Wert des Verhulst Parameters. Das scheint ein echter Grenzwert zu sein !
limit r->1+sqrt(8)
Warum limit ? Ich weiss es nicht.
Vielleicht weil man unendlich viele Nachkommastellen benoetigt um ihn zu erreichen.

Man naehert sich einem Grenzwert 1/k und wenn man ihn erreicht springt er ploetzlich auf eine Konstante. k=Konstant !

Herr Hume oder Herr Popper wuerden sich darueber vielleicht sogar freuen.

Der Dreierzyklus ist gleichverteilt und voellig determiniert ! 123123123 ....
Nur bei der linksseitigen Annaeherung an das grosse Fenster der Ordnung (vom Chaos aus) erhaelt man die Zipf Verteilung !
Aber na gut. Rege ich mich mal ab.

Erste Conclusion :
Will man die Verhulst Gleichung fuer kuenstlerische Simulationen verwenden bietet sich das grosse Fenster der Ordnung an. Bei "linksseitiger" Annaeherung aus dem chaotischen Bereich r<1+Wurzel(8) naehert man sich immer mehr der Zipf Verteilung. Die allerdings bei dem Grenzwert in eine voellig determinierte Gleichverteilung uebergeht !
Dieser Grenzwert r=1+Wurzel(8) ist ziemlich verrueckt. Er ist unstetig .

Anmerkung:
Es duerfte klar sein, auf was ich versuche zuzusteuern.
Eine primitive Simulation menschlicher Worte anhand der Verhulst Gleichung vor dem grossen Fenster der Ordnung. Vielleicht habe ich auch Pech und es ist ein anderes Fenster. Oder der Bereich in dem man solch ein Fenster der Ordnung verlaessst.

Meine Vorgabe waere dass solch ein Plapperautomat wenigstens bei 100 Worten ein sinnvolles deutsches Wort erzeugt. :-)

JGC
30.08.10, 09:21
Hi Richy...


Ich wollte mal fragen, wieso der Ast der oberen Hälfte des Feigenbaumes andere Winkelverzweigungs-Verhältnisse aufweist, wie die untere Hälfte des Feigenbaums..

Liegt das an der Beschaffenheit der Ausgangsformel??(dem willkürlich gesetzten Anfangspunkt?)


Der Feigenbaum spiegelt doch die Verteilungskurven vom Mandelbrot-Männchen wieder, oder?

Gehören also Feigenbaum und Apfelmännchen zusammen?


Gruß....................JGC

richy
30.08.10, 18:06
Hi JGC

Feigenbaumdiagramm und Mandelbrotmenge gehoeren zunaechst nicht zusammen. Sondern das Feigenbaumdiagramm gehoert zur Verhulst Gleichung, auch logistische Abbildung genannt :
http://de.wikipedia.org/wiki/Logistische_Gleichung

y(k+1)=r*y(k)*(1-y(k)) . Ja, sieht ganz harmlos aus ! :D
Ein nichtlinearer rueckgekoppelter Prozess. Nicht komlexwertig wie Mandelbrot.
Je nachdem wie man den Parameter r waehlt weist diese Gleichung verschiedene Verhaltensmuster auf. Der Bereich r=0 bis 4 ist am einfachsten zu erfassen.
(Die simulierte Funktion y(k) ist selten dargestellt, denn man kann wenig in ihr erkennen.) Nur fuer 3 Werte r ist die Gleichung bis heute loesbar. Die meisten Bilder die man sehen kann sind daher numerische Simulationen.
BTW:
Fuer r=4 wird die Iteration voellig chaotisch, zufaellig. Aber gerade den Fall kann man die Gleichung loesen.
Das Feigenbaumdiagramm stellt nicht direkt die Funktion y(k) dieser Gleichung dar. Sondern es sind die Haeufungspunkte (Attraktoren) dieser Funktion dargestellt ueber r.

Grafisch ausgedrueckt.
Man laesst die Iteration erstmal einschwingen, indem man irgendeinen Anfangswert y(0) zwischen 0 und 1 einfach einige Male durchratten laesst. Danach verhaelt sich die Iteration fuer alle Startwerte gleich. Zum Beispiel springt sie zwischen zwei Punkten hin und her (vergleichbar einer Rechteckfunktion).
Erhoeht man den Wert r nun in der naechsten Simulation springt sie zwischen zwei anderen Attraktoren hin und her. (Der Anfangswert spielt keine Rolle)
In der Feigenbaumgrafik sind die zwei Aeste vor dem Verzweigungspunkt 1 ein solcher 2 er Zyklus. Leider ist die untere Achse nicht beschriftet. Das ist der Parameter r. Man sieht auch schoen. warum es im Fenster 4 ein Dreierzylus ist. Das Feigenbaumdiagramm resultiert somit nicht aus einer Simulation ueber ein festes r der logistischen Abbildung, sondern fuer jedes r muss man eine Simulation durchfuehren. Also vielleicht 1000 oder 10000 Simulationen mit jeweils 500 Iterationen. Das macht man natuerlich in einer Schleife und geht auf heutigen Rechnern ruck zuck. Wenn du eine senkrechte Linie durch das Feigenbaumdiagramm zeichnest. Das ist das Ergebnis einer numerischen Simulation.
Ich wollte mal fragen, wieso der Ast der oberen Hälfte des Feigenbaumes andere Winkelverzweigungs-Verhältnisse aufweist, wie die untere Hälfte des Feigenbaums..
Liegt das an der Beschaffenheit der Ausgangsformel??(dem willkürlich gesetzten Anfangspunkt?)

Ja das liegt an der Beschaffenheit der Gleichung y(k+1)=r*y(k)*(1-y(k)).
Aber nicht am Startwert ! Also welchen Wert du am Anfang rein steckst. Der hat keinen Einfluss. Einiges kann man sogar noch analytisch ausrechnen und das hab ich auch mal durchgefuehrt (Recht arbeitsaufwendig):
Hier hab ich statt "r" die Bezeichnung "a" gewaehlt.
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/abb17.jpg
Das Feigenbaumdiagramm folgt nur abschnittsweise zwischen zwei Verzweigungen einer gemeinsamen Gleichung. Bei jeder Verzweigung wird eine ,besser zwei, neue Gleichungen erzeugt und die alte ist nicht mehr gueltig. Daher die Unsymetrie. Aber es herrscht ab dem (nicht genau berechenbaren) Feigenbaumpunkt r=3,57.... soundso das Chaos. Nur an einigen Punkten wird dieses kurz durch Ordnung unterbrochen. Fenster der Ordnung, die hellen senkrechten Streifen. (Siehe auch Ljapunovexponent zur Detektion der Fenster)
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/le1.htm

Beispiel
Dass das Feigenbaumdiagramm der Gleichung (r-1)/r folgt ist nur zwischen 0 und 3 gueltig. Ab dem Wert 3 existiert der Attraktor noch aber er verliert seine Anziehungsfaehigkeit. Dann gilt die "blaue" Gleichung. Deren Attraktoren sind anziehend. Fuer diese muss man schon ein Polynom 4 ter Ordnung loesen.(Das man auf Ordnung 2 reduzieren kann). Aber mit jeder neuen Verzweigung 4er 8er 16er Zyklus wird die Aufgabe schwieriger, denn das Polynom immer hoeherer Ordnung. Auch ein Computer kann diese nicht loesen.
Grob gesagt. Daher weiss man bis heute nicht bei welchem Parameter r dieser Schritt ins Chaos ueber die Periodenverdoppelung genau vollzogen ist.
Dass ich den Punkt 1+sqrt(8) kenne ist reiner Zufall. Wobei schlaue Leute den Wert wohl auch berechnen koennen. Aber niemals die Verhulst Gleichung selbst. Heuristisch :
Alle Punkte 1+Wurzel(n) stellen im Diagramm Besonderheiten dar.
Zwei ist zum Beispiel 1+Wuzel(1) :D
Vier ist zum Beispiel 1+Wuzel(9) :D

Gehören also Feigenbaum und Apfelmännchen zusammen?
Wie erwaehnt ist die Antwort nein. Aber Juliamengen lassen sich auch in der Verhulst Gleichung finden. Selbstaehnlichkeit im Feigenbaumdiagramm, Die Verhulst Gleichung sicherlich auch in der Mandelbrotmenge ...
In der Chaostheorie sprich man daher von Dialekten. Verhulst und Mandelbrot gehoeren dem selben quadratischen Dialekt an.

Gruesse

JGC
30.08.10, 19:12
Hi Richy...


Die Frage stellte ich, weil ich diesen Vergleich mal gefunden hab...



http://de.academic.ru/pictures/dewiki/86/Verhulst-Mandelbrot-Bifurcation.jpg


Quelle:


http://de.academic.ru/dic.nsf/dewiki/433032


Zufall oder ein Fehler in der Deutung?


JGC

JGC
30.08.10, 19:49
PS:

Hallo Richy..(dein Postfach ist voll..)


Ich hab da ein Charaktererzeuger für Southpark gefunden..

Vielleicht gefällt dir das ja.. :D


http://www.sp-studio.de/


Gruß...........JGC

richy
30.08.10, 20:26
Hi JGC
Das ist kein Fehler in der Deutung oder Zufall ! Schau mal was die fuer Punkte der Mandelbrotmenge verwenden. Die reelle Achse. Man kann das Bild so beschreiben, dass die Bifurkationen des Feigenbaumdiagrammes auch ausgezeichneten Punkten auf der reellen Achse der Mandelbrotmenge darstellen. Die Intervalllaenge von Zyklen.

Der Zusammenhang wird deutlich wenn man in der Mandelbrotmenge die Farbe nicht nur spektakulaer sondern besser sinnvoll waehlt. Indem man ihr zuordnet wieviele Zyklen der Attraktor der durchgefuehrten Iteration enthaelt. Ein farbliches Feigenbaumprinzip. Dann zeigt sich, dass die Hauptkreise gleichmaessig eingefaerbt sind. Also zu einem Zyklus gehoeren. Bei den Nebenkreisen weiss ich es nicht genau, denke aber es ist genauso. So ist man auf den Vergleich wohl auch gekommen. Naja und dann ist anhand deines Vergleichs klar zu welchem Zyklus der Kreis links neben dem grossen Apfel gehoert. Zu einem Zweierzyklus. Und das wuerde die Simulation auch zeigen. Ob man dies mathematisch steng herleiten kann ? Eher nicht. Nur dass der Vergleich sinnvoll ist.
Es ist nur ein Aufzeigen gleicher Verhaeltnisse.

Ebenso kann man in der Mandelbrotmenge ueber die Zyklen die Fibonacci Zahlen finden :
http://math.bu.edu/DYSYS/FRACGEOM2/GRAPHICS/fig11.gif
Sicherlich weil der goldene Schnitt zum quadratischen Dialekt gehoert.
Man kann in der Mandelbrotmenge so ziemlich alles finden :-)

Alles haengt somit zusammen.
Und damit kann man auch in der Verhulstgleichung so ziemlich alles finden.
Zum Beispiel wenn man die Zeit umkehrt !
Dann betrachtet man die Rueckwaertsiteration und damit die mehrdeutge Umkehrabbildung einer Wurzelfunktion. Wie bei meinem Phasomaten. Und genauso muss man dann komplex rechnen. Und erhaelt dann z.B. dieses Bild :
http://home.arcor.de/richardon/2010/mathe/chaos31.gif
Eine Juliamenge. Aber erzeugt durch die Verhulst Gleichung bei rueckwaerts laufender Zeit. (Als ich 25 Jahre alt war erschien dies auf meinem Atari ST.Hatte keinen Drucker und es abphotografiert. Chemisch natuerlich :-). Auch hier spielt die reele Achse eine besondere Rolle. Alle Punkte sind komplexe Nullstellen des verketteten Verhulst Vorwaerts-Polynoms. Und die reelen Nullstellen damit echte Schnittpunkte.
Das kann man sich mathematisch ... nein logisch herleiten.

Es gehoert schon so zusammen :
z(k+1)=z(k)^2+C :
komplex : Mandelbrotmenge , Juliamenge

y(k+1)=r*y(k)^2-r*y(k)
reell : Feigenbaumdiagramm, Iterarionsfunktionen
Umkehrabbildung :
komplex : Juliamenge

Uebrigends eine super Grafik in deinem letzten Beitrag :-)
Gruesse

richy
31.08.10, 02:13
Schnoede ist jede Theorie.
Was ist denn dran an der Buchstaben Zipf, Zeta Verteilung ?
Wiki schreibt dazu :
Auch die Verteilung der Buchstabenhäufigkeiten ähnelt einer Zipfschen Verteilung. Die Statistik mit 20–30 Buchstaben ist aber zu schlecht, um den Verlauf mit einer Potenzfunktion anzupassen.
Das will ich mir selber anschauen :
Hier die Buchstabenhaufigkeit der deutschen Sprache aus WIKI fuer Maple aufbereitet :

restart;
buch[1]:=17.40;
buch[2]:=9.78;
buch[3]:=7.55;
buch[4]:=7.27;
buch[5]:=7.00;
buch[6]:=6.51;
buch[7]:=6.15;
buch[8]:=5.08;
buch[9]:=4.76;
buch[10]:=4.35;
buch[11]:=3.44;
buch[12]:=3.06;
buch[13]:=3.01;
buch[14]:=2.53;
buch[15]:=2.51;
buch[16]:=1.89;
buch[17]:=1.89;
buch[18]:=1.66;
buch[19]:=1.21;
buch[20]:=1.13;
buch[21]:=0.79;
buch[22]:=0.67;
buch[23]:=0.31;
buch[24]:=0.27;
buch[25]:=0.04;
buch[26]:=0.03;
buch[27]:=0.02;

Diese Werte muessen wir normieren.
nor:=0;
for i from 1 to 27 do nor:=nor+buch[i]; od:
for i from 1 to 27 do buch[i]:=buch[i]/nor;od:

Erstellen die normierte Zipf Verteilung :
czipf:=1/evalf(sum(1/kk,kk=1..27));
for i from 1 to 27 do zipf[i]:=czipf*1/i; od:

Und stellen beides dar :

druck:=seq([i,buch[i]],i=1..27);
plot([druck]);
druckz:=seq([i,zipf[i]],i=1..27);
plot([[druck],[druckz]]);

http://home.arcor.de/richardon/2010/plapper4.gif

Wobei die doppellogarithmische Darstellung weitaus aussagekraeftiger ist, denn darin wird die Zipf Verteilung zu einer Geraden :

druck:=seq([log(i),log(buch[i])],i=1..27):
druckz:=seq([log(i),log(zipf[i])],i=1..27):
plot([[druck],[druckz]]);

http://home.arcor.de/richardon/2010/plapper5.gif

Naja, also so schlecht ist das gar nicht.
Die letzen 7 Buchstaben stoeren die Zipf Verteilung am meisten.
Das waeren :

21. P 00,79 %
22. V 00,67 %
23. ß 00,31 %
24. J 00,27 %
25. Y 00,04 %
26. X 00,03 %
27. Q 00,02 %

Die koennte man sich auch sparen und mach einer schreibt schon ss statt beta :-)

Die Umlaute ä, ö und ü wurden wie ae, oe und ue gezählt, die Ligatur ſz als eigenständiges Zeichen ß[2].

richy
31.08.10, 02:32
Es zeigt sich, dass die Buchstabenhaeufigkeit nicht exakt der Zipf Verteilung entspricht. Ich koennte es mir nun einfach machen und ueber die Methode des aequivalenten Ereignisses einen Zufallsgenerator programmieren, in dem ich die die Wahrscheinlichkeiten dem programmierbaren Zufallsgenerator vorgebe :
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/rnd.htm
Das wuerde sicherlich schon einen kleinen Plapperautomaten ergeben.

Ich will das aber der logistischen Gleichung ueberlassen. Aus irgendeinem Grund.
Wie gehe ich nun weiter vor ?
Ich verwende einfach die Methode mit der ich bereits die Zipf Verteilungen in der logistischen Gleichung detektiert habe. Ein Guetemass ueber Gauss kleinste Quadrate.
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/zipf/verh1.htm
Als Referenz verwende ich dabei nun die Buchstabenhaeufigkeit der deutschen Sprache statt die Zipf Verteilung. Muss das Programm somit nur geringfuegig veraendern und kann damit aufspueren wo sich in der logistischen Gleichung denn nun die deutsche Sprache versteckt :-)
Also prinzipiell wenigstens :D
Das Ergebnis ist dann ein einziger Zahlenwert fuer r.

richy
31.08.10, 03:10
Und schon fertig :

restart;
N_range:=36; # Klassenintervalle
N:=N_range*10; # Verhulst Schritte > Intervalle
N_vorlauf:=10;
N_big:=100; # Anzahl Parameter r Werte
r_min:=3; # r-range
r_max:=3.9;


buch[1]:=17.40:
buch[2]:=9.78:
.........
nor:=0;
for i from 1 to 27 do nor:=nor+buch[i]; od:
for i from 1 to 27 do buch[i]:=buch[i]/nor;od:

# Grosse v-Schleife fuer alle r
################################
for v from 1 to N_big do

# Verhulst Parameter
r[v]:=evalf(r_min+(v-1)/(N_big-1)*(r_max-r_min)):
for i from 1 to N_range do
b[i]:=0; # Anzahl Treffer initialisieren
od:

####### Vorlauf Verhulst
s:=0.1:
for i from 1 to N_vorlauf do s:=r[v]*s*(1-s);od:
####### Verhulst Schleife
for i from 1 to N do
s:=r[v]*s*(1-s);
j:=floor(s*(N_range-1)+1);
b[j]:=b[j]+1;
od:
#b sortieren nach Wert(Bubblesort)
for i from 1 to N_range-1 do
for j from i to N_range do
if (b[i]<b[j]) then
mem:=b[i];b[i]:=b[j];b[j]:=mem;
mem:=a[i];a[i]:=a[j];a[j]:=mem;
fi;
od: od:
Nmax:=27:
#Normieren der Messwerte
s:=0:
for i from 1 to Nmax do s:=s+b[i]; od:
for i from 1 to Nmax do b[i]:=b[i]/s; od:

# Gauss Fehlerintegral
gauss[v]:=0:
for i from 1 to Nmax do

gauss[v]:=gauss[v]+(buch[i]-b[i])**2; # Gaussches Fehlerintegral
od:
od: # Ende grosse Schleife
################################

druck1:=seq([r[v],gauss[v]],v=1..N_big):
plot([[druck1]]);

richy
31.08.10, 04:13
Gesamtuebersicht r=2 bis 4

http://home.arcor.de/richardon/2010/plapper6.gif

Sieht doch wirklich gut aus. Mit solch einem Bild haette ich nicht gerechnet. Dargestellte ist das Gauss Guetemass zwischen der deutschen Buchstabenhaeufigkeit und Haufigkeitsklassen einer diskretisierten logistischen (Verhulst) Gleichung. Man muss das Bild so interpretieren.
Wenn der Wert auf Null sinkt sind beide Verteilungen gleich !
Klar der Bereich 2 ..3 ist quatsch.
Auch der 2 er Zyklus ab 3.0 . Wirklich ? Es gibt kleine Menschen die plappern nur :
Mama mama mama oder papa papa papa dada dada lalalala
Spaeter dann ein 4 er Zyklus
Auto Auto Auto ....
Das Bild oben zeigt in der Tat auch eine evolutionaere Entwicklung.
Aber egal. Es ist klar. Fuer eine richtige Sprache ist der Bereich zwischen 3.5 und 4 interessant.
Ein Problem hab ich noch. Die 36 Klassen hab ich willkuerlich gewaehlt um dem grossen Fenster besser gerecht zu werden. Ich denke ich verwende jetzt doch lieber 27 Klassen. Das muss ich noch genau ueberlegen. Es ist im Grunde ok, denn es ist die schaerfste Forderung.

Damit sieht der interessante Bereich wie folgt aus :
http://home.arcor.de/richardon/2010/plapper7.gif

Damit haette ich niemals gerechnet. Die Verhulst Verteilung erzeugt Verteilungen die eher der Buchstabenverteilung gleichen als der Zipf Verteilung ! Jede Menge Nullstellenkandidaten. Trotz Y X Q.

Das gehe ich noch schnell abschnittsweise durch und dann mache ich Schluss fuer heute :-)
http://home.arcor.de/richardon/2010/3637.gif
http://home.arcor.de/richardon/2010/3738.gif
Vor und nach dem grossen Fenster der Ordnung
http://home.arcor.de/richardon/2010/3839.gif
http://home.arcor.de/richardon/2010/3940.gif
Argh ... da sind ja ueberall Nullstellenkandidaten.
Ich meine aber wie gehabt : The Winner ist der Bereich vor und nach dem grossen Fenster der Ordnung.

richy
31.08.10, 05:04
Diese Uebereinstimmung der Buchstabenverteilung mit der logistischen Gleichung, diese vielen Nullstellen. Das darf doch eigentlich gar nicht wahr sein. Hab ich mich verrechnet ? Oder ein Programmierfehler ?
NEIN :
Beispiel eines Verteilungsvergleiches hinter dem grossen Fenster :
http://home.arcor.de/richardon/2010/hf.gif
rot = Buchstabenverteilung
gruen= von Verhulst erzeugte Verteilung
Das ist verblueffend.

Nochmals der Vergleich zwischen Zipf und Buchstabenverteilung :
http://home.arcor.de/richardon/2010/plapper4.gif
Sehr viel schlechter. Und dennoch spricht man von etwa Zipf verteilten Buchstabenverteilungen.
Zipf ist eben nur eine Idealisierung.
Real kommen die Verhulst Verteilungen den konkreten in der Praxis auftretenden Verteilungen weitaus naher. Das zeigen auch ganz drastisch alle meine letzten Schaubilder.

Die Verhulst Gleichung erzeugt selbstverstaendlich auch Gleichverteilungen.
Ebenso die idealisierte Zipf Verteilung.
Wie sieht es aus mit Gauss Verteilungen ?
Ist das gar ein universeller Generator fuer Verteilungen ?

JGC
31.08.10, 09:19
Hallo Richy...


Kann es sein, das die Verhulst Gleichung und die Zipf-Verteilung einfach die "komplementären" Seiten ein und der selben Geschichte sein könnten??

Das Ideal als Theorie und die Praxis in Form der jeweils wirklich angetroffenen Verteilung?

JGC

richy
31.08.10, 19:45
Hi JGC
Kann es sein, das die Verhulst Gleichung und die Zipf-Verteilung einfach die "komplementären" Seiten ein und der selben Geschichte sein könnten??
Du meinst die Verteilungen die Verhulst erzeugt. Ja, aber in dem Fall muss man nichteinmal den Begriff "komplementaer" verwenden.
Ideal Zipf verteilt ist die Verhulst Gleichung wahrscheinlich nur kurz vor dem grossen Fenster. Ansonsten produziert die Gleichung angenaehert 1/k Verteilungen die eher der angenaeherten Buchstabenverteilung einer Sprache entsprechen.
Und dahinter liegt ein gemeinsames Prinzip.

Wenn man Zipf die 1/k Verteilung und 1/f Leistungsdichtespektren vergleicht muss man wahrscheinlich den Aspekt des "komplementaeren" hinzufuegen.
Die Zipf Verteilung laesst sich wie 1/f Spektren bisher nicht genau erklaeren. Aber man kann schon Aussagen treffen, dass diese aus einem ergonomischen Prinzip basieren. Wenn ein unbegrenzt breiter Uebertragungs oder Informationskanal zu Verfuegung steht, dann verteilt man die Leistungsdichte am guenstigsten logarithmisch ueber die Frequenzbaender.
Ich bin das an anderer Stelle im Forum schon mal recht genau mit vielen Beispielen durchgegangen.
Die Frage wie 1/k sowie 1/f konkret in einem Zusammenhang stehen konnte ich leider bis heute nicht loesen. Klassenverteilung und Spektren sind zwei paar Stiefel. Ich bin mir aber sicher, dass ein Zusammenhang existiert. Der Begriff "komplementaer" koennte dabei eine Rolle spielen.

Gruesse

richy
01.09.10, 18:12
Das laengste deutsche Wort das mein Plapperautomat bisher erzeugt hat ist uebrigends die "Hasenrente"
Wer Mr. Zake oder Durod Gake ist weiss ich nicht so genau :-)
Die Saetze sind ueberhaupt seltsam :-)

EiLEFURZNEinEiLEMRZAKEinEinEi
EiLE FURZ NEin EiLE MR ZAKE in Ein Ei
(Das Leerzeichen habe ich noch nicht im Griff)

Noch kurz zur Programmiertechnik :
**************************
Im Syntheseteil, der Spracherzeugung, soll der erzeugte Verhulst Wert einen Buchstaben erzeugen, dessen Wahrscheinlichkeit dem erzeugten Verhulst Wert entspricht.
Wobei sich letztere Verteilung staendig aendert.
Das laesst sich recht elegant und ohne if Anweisungen implementieren.
Zuerst lege ich eine primitive Index Tabelle an, die mir spaeter anzeigen wird in welcher Form die Indizes fuer das Histogramm vertauscht wurden.
(Diese primitive Tabelle muss man jedesmal innerhalb der grossen r Schleife neu anlegen)

> for i from 1 to N_range do index[i]:=i; od:

Die primitive Tabelle :
index[1]:=1;
index[2]:=2;
index[3]:=3;
... und so weiter

Beim Erstellen des Histogrammes muss ich mir "merken" wie die Indizes vertauscht wurden. Und dies leistet die Tabelle index[] wenn ich deren Werte im Bubble Sortier Algo mit vertausche :-)

> for ii from 1 to N_range-1 do
> for jj from ii to N_range do
> if (b[ii]<b[jj]) then
> mem:=b[ii];b[ii]:=b[jj];b[jj]:=mem;
> mem:=index[ii];index[ii]:=index[jj];index[jj]:=mem;
> fi;
> od:od:
So geht mir die urspruengliche Information nicht verloren.

Jetzt fuehre ich einen Zielindex ein um die Information direkt ansprechen zu koennen :
> for ii from 1 to N_range do ziel[index[ii]]:=ii; od;

Und so kann ich ohne jedliche Schleife und if Abfrage den Verhulst Wert direkt ueber eine zweifache Indizierung in das ueber die Verteilung zugeordnete Zeichen "uebersetzen" :D

> s:=r[v]*s*(1-s);
> j:=floor(s*(N_range-1)+1);
> printf(`%c`,ch[ziel[j]]);

richy
01.09.10, 21:12
Trotz der "Hasenrente" hab ich grad eine andere Idee. Wenn man die logistische Gleichung nicht allgemein fuer alle r loesen kann. Kann man vielleicht eine aehnliche nichtlineare DZGL loesen ?
http://mathworld.wolfram.com/LogisticMap.html

In general, this recurrence equation cannot be solved in closed form. Wolfram (2002, p. 1098) has postulated that any exact solution must be of the form
http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LogisticMap/NumberedEquation3.gif

where f is some function and f^(-1) is its inverse function. M. Trott (pers. comm.) has shown that smooth solutions cannot exist for generic values of r, with the possible exception of r even and nonzero. The only exact solutions known are for r=-2, r=2 and r=4, summarized in the table below (Wolfram 2002, p. 1098), and R. Germundsson (pers. comm., Apr. 25, 2002) has proved that no other solutions of this form are possible.

http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LogisticMap/NumberedEquation3.gif
http://home.arcor.de/richardon/2010/verhulstlsg.gif

Es gibt einen Satz in der Regelungstechnik bezueglich dem offenen und geschlossenen Regelkreis. Dabei wird die Umkehrfunktion der Rueckkopplungsfunktion erzeugt. Hat den jemand gerade parat ?
Oder eine Integraltransformation bezueglich inverser Funktionen ?

richy
02.09.10, 00:04
Hi
Kann man aus der Verhulst Loesung fuer r=2 andere Loesungen generieren ?
Ich meine ich bin schon fuendig geworden. Das will ich mal kurz dokumentieren.

Verhulst :
y(t+1)=r*y(t)*(1-y(t))
Den Ausdruck kann man umschreiben zu
y(t+1)/y(t)= r*(1-y(t))

Nun betrachte ich Wolframs oder auch richies Loesung r=2 (beide von 2002)
und bilde sie fuer t und t+1. Da es Funktionen sind schreibe ich y und x

y:=(1/2*(1-exp((r^(t))*ln( (1-2*x) ))));
y1:=(1/2*(1-exp((r^(t+1))*ln( (1-2*x) ))));
(Fuer Verhulst gilt r=2)

Wenn man nun den Quotienten y1/y bildet spuckt Maple nur fuer t=0 das erwartete Ergebnis aus.
fuer r=2 : 2-2*x
(Warum man t=0 waehlen muss ist mir noch nicht ganz klar )

Man erhaelt allgemein fuer r ein spezielles Polynom :

http://home.arcor.de/richardon/2010/richie_y1_y.gif

Variante
*******
Man formt Verhulst um zu :
1-y(t+1)/(r*y(t)) = y(t)

Das Loesungspolynom lautet dann :

http://home.arcor.de/richardon/2010/richie_2.gif

Diese Polynome weisen natuerlich erstaunliche Eigenschaften auf. Das gehe ich morgen mal durch.

richy
02.09.10, 01:13
Somit sollte gelten :

Die analytische Loesung der Differenzengleichung :
y(n+1)=y(n)*(3-6*y(n)+4*y(n)^2) lautet :

http://upload.wikimedia.org/math/5/1/d/51d64d95809dfa29c0598033631c94c3.png

mit 3^n

Ebenso
y[n+1]:=y[n]*(4-12*y[n]+16*y[n]^2-8*y[n]^3);
mit 4^n

Es sind andere Faelle wie die einfache Verkettung der Verhulst Gleichung.

Aus der chaotischen Loesung folgt nebenbei (nur fuer r=4) :

-1/2*(-1+cos(2*arccos(-1+2*x)))=4*x*(1-x)

Anm:
Verhulst laesst sich auch darstellen als r/4-r*(x-1/2)^2

JGC
02.09.10, 19:10
Hi Richy..


Ich hab mir auch schon oft Gedanken darüber gemacht, WIE sich Sprache und deren jeweiligen möglichen Bedeutungen miteinander und ineinander Verknüpfen und entsprechend jeweils deuten lassen..


Und dabei bin ich über das Problem der "Wichtigkeit"(Bedeutungsstärke) eines in einem Wort gesprochenen Buchstabens gestoßen und der Art, WIE ein Wort, Buchstabe oder Satz gesprochen wird( langsam, schnell, von oberer Stimmlage zur tieferen Stimmlage und umgekehrt usw.... sozusagen der "Krümmungsfaktor") und bin dann zu dem Schluss gekommen, das ein "Universalübersetzer" theoretisch mit mindestens 4 (/oder gar 6) verschiedenen Parametern gleichzeitig arbeiten muss, um den Sinn einer Information in einen brauchbaren Kontex zu bringen..(2 reale Parameter und 2 imaginäre Parameter wie Wahr/unwahr/zusammenfügbar zu einer übergeordneten Bedeutung oder auch aufteilbar zu entsprechenden untergeordneten Bedeutungen, plus noch den zeitlichen Bezügen die jeweils für die zukünftigen Bedeutungen und den vergangenen Bedeutungen steten müssten, um eine "korrekte" Verbindung untereinander zu erlauben)


Andererseits habe ich mir gedacht, wenn wir auf der Welt uns entschließen könnten, unsere jeweiligen Sprachen und ihre jeweiligen grammatischen Ausdrucksformen, so wie deren jeweiligen Betonungen/Sprechgeschwindigkeiten/Tonhöhen zu vereinheitlichen und zu vereinfachen, so wäre es kein Problem, auch eine Maschinensprache zu entwickeln, die universell für unsere ganze Welt gültig sein könnte und uns universell ohne Missverständlichkeiten weltweit kommunizieren lässt...

Unsere jeweiligen einzelnen örtlichen Sprachen haben im Laufe der Jahrtausende viele Entwicklungen durchgemacht und sind daher sozusagen "separiert/spezialisiert" worden, obwohl letztlich überall der selbe "Senf" gequasselt wird.

Selbst die Vögel unterhalten sich auch nur darüber, wer Feind und wer Freund ist, WO es das beste Futter gibt, wer wen "vögeln" darf und wer Buh und Bäh gemacht hat..

Letztlich geht jegliche Art von Kommunikation also immer um Ein und das Selbe!!

Und der ganze Zweck der Geschichte liegt scheinbar darin begründet, immer ein intellektuelles, geistiges und emotionales Gleichgewicht untereinander zu schaffen, um ein harmonisches Zusammenspiel zu gewährleisten.

Ein natürliches Bestreben sozusagen..


Ein Naturgesetz??


Gruß....................JGC

richy
03.09.10, 16:50
Hi JGC
... und bin dann zu dem Schluss gekommen, das ein "Universalübersetzer" theoretisch mit mindestens 4 (/oder gar 6) verschiedenen Parametern gleichzeitig arbeiten muss, um den Sinn einer Information in einen brauchbaren Kontex zu bringen..
Schon beim Buchstaben im Wort ist es schwierig. Buchstaben eines Wortes einer Sprache weisen sicherlich mehrere Parameter auf die sie erfuellen muessen, damit sich dieses in die Wortliste der betrachteten Sprache einfuegt. Alleine die Buchstabenhaeufigkeit reicht noch nicht ganz aus. Es gibt auch Regeln fuer den ersten Buchstaben, den letzen Buchstaben. Allgemein die Stelle an der der Buchstabe autritt wie beim Benfordschen Gesetz. Ebenso muss man zwischen Vokalen und Konsonanten unterscheiden. Eine Art innere Grammatik.
Ebenso verhaelt es sich mit den Wortlaengen :
http://de.wikipedia.org/wiki/Gesetz_der_Verteilung_von_Wortl%C3%A4ngen
Der empirische Befund für das Deutsche ist, dass die einsilbigen Wörter immer, von althochdeutscher Zeit an, bei allen Autoren, in allen Textsorten etc. am häufigsten sind, es folgen als nächsthäufige die zweisilbigen, usw. Bei knapp 2000 Texten gab es immer dasselbe Ergebnis. Alle Texte bis auf 5 entsprechen der Hyperpoisson-Verteilung.

(Fuer die ersten drei Klassen ist es eine Z-Verteilung)
Man muss dabei in Betracht ziehen, dass sich Woerter und Sprache in einem Entwicklungsprozess ergeben haben. Unter Aspekten der Ergonomie. Und dieser verlief fuer verschiedene Kulturen aehnlich, aber nicht gleich. Das ist ein recht faszinierende Angelegenheit. Die sich auch in der Worthaeufigkeit widerspiegelt :
http://de.wikipedia.org/wiki/Liste_der_h%C3%A4ufigsten_W%C3%B6rter_der_deutsche n_Sprache
Und wenn man wollte koennte man diesen Prozess noch besser verstehen. Wenn man noch genauer statistisch, linguistisch untersuchen wuerde wie Kinder eine Sprache lernen.
Dass man also nicht nur Texte der FAZ auswertet sondern systematisch die Sprache und Texte von Kindern verschiedener Altersstufen. Von 0 ab. Auch verschiedener Nationen und Phonemen. Waere sicherlich interessant.
Ah das ist ja interessant :
Die Kindersprache wird für gewöhnlich im Alter von drei Jahren abgelegt [1]. Kinder, die keinen (regelmäßigen) Umgang mit Erwachsenen haben, die Kindersprache anwenden, benutzen diese Wörter nicht, sondern sprechen gleich fast ausnahmslos normale Erwachsenenwörter.

Diese ei ei ei, da da da , mama mama kommt gar nicht von den Kindern, sondern wenden die Eltern unbewusst als Trainingsprogramm an !
Und meine Idee gibt es schon :
http://de.wikipedia.org/wiki/Spracherwerb
Ein Beispiel :
Das sogenannte kanonische Lallen (siehe auch: Idiolalie) tritt auf, welches durch Verdoppelung von bekannten Silben gekennzeichnet ist und die Vorstufe zur Wortbildung darstellt.
Das entspricht in der logistische Gleichung den Zyklen.
Vom Programm erzeugt :

2 er Zyklus : Ei Ei Ei Ei Ei Ei Ei Ei Ei Ei Ei Ei Ei Ei
4 er Zyklus : Eins Eins Eins Eins Eins Eins Eins Eins
8 er Zyklus : EinREisA EinREisA EinREisA EinREisA EinREisA

auf dem Weg ins Chaos :
insLiRACEDEUEnsHiRACEDEDEDEUEnsHiRATEnEUinsTinsLiR ATinsLiRACEDEDEDEDEDEULiRATEDEU

schon erstaunlich nicht :-) ?
Die Gleichung durchlauft mit ihrer Periodenverdoppelung einen aehnlichen Prozess wie beim Erlernen einer Sprache. Aber das ist wohl auch schon alles.
Dein Argument mit dem Stimmmelodie trifft zu. Auch auf die Betonung der ersten oder zweiten Silbe kommt es an. Wir haben unsere Sprache im Prinzip gar nicht systematisch erlernt sondern aus der Sprechsprache herausgefiltert.

... so wäre es kein Problem, auch eine Maschinensprache zu entwickeln, die universell für unsere ganze Welt gültig sein könnte und uns universell ohne Missverständlichkeiten weltweit kommunizieren lässt...
Es gibt Esperanto aber das hat sich gegenueber Englisch nicht durchgesetzt.
http://de.wikipedia.org/wiki/Esperanto

Ach ja ein Aspekt ist noch interessant. Sprache ist ein formales System aber es enthaelt scheinbar keine Axiome. D.h. sie kann sich nicht ueber sich selbst definieren, sondern nur ueber physikalische Gegenstaende, Realationen e.t.c. ..

Gruesse

richy
03.09.10, 17:43
Interessanter Bericht zum Thema :
http://www.zeit.de/zeit-wissen/2006/01/Spacherwerb_Titel.xml

richy
05.09.10, 21:19
Hi JGC
Nochmal zu deinem Vergleich Mandelbrot und Feigenbaumdiagramm. Die Verhulst Gleichung laesst sich in die Mandelbrotgleichung ueberfuehren. Beide Gleichungen stellen somit das selbe dar :
http://www.gefilde.de/ashome/artikel/rand_als_math_idee/peripherie_artikel_as.pdf
Der VERHULST-Prozess ist nicht-linear, was sofort klar wird, wenn man den Klammerausdruck zu ax−ax^2 auswertet. Er lässt sich sogar rein-quadratisch darstellen. Dazu ersetzen wir die Variable x durch 1/2-z/a und erhalten nach kurzer Rechnung die auf z umgeschriebene Übergangsregel: z-> z^2 +c , wobei c = a/2*(1−a/2). MANDELBROT hat die VERHULST-Dynamik in dieser einfachen Form untersucht, dabei allerdings nicht mit reellen, sondern mit komplexen Zahlen gerechnet. Von vielen Sachverhalten gewinnt man dabei ein umfassenderes Bild.

JGC
05.09.10, 23:56
Hi JGC
Nochmal zu deinem Vergleich Mandelbrot und Feigenbaumdiagramm. Die Verhulst Gleichung laesst sich in die Mandelbrotgleichung ueberfuehren. Beide Gleichungen stellen somit das selbe dar :
http://www.gefilde.de/ashome/artikel/rand_als_math_idee/peripherie_artikel_as.pdf




Hi Richy...


Genau DIESES scheint mir der springende Punkt zu sein!!

Ich weiß gerade nicht wie ich das genauer spezifizieren soll, aber wir haben im realen Leben im Grunde doch immer mit Transformationen zu tun, oder etwa nicht?

Bevor ein gegebener Sachverhalt existieren kann, müssen doch zuerst vorher die entsprechend notwendigen(benötigten) Voraussetzungen existieren, DAMIT der entsprechende jetzt vorfindbare Sachverhalt existieren kann..

Ob jetzt eine Wahrnehmung, ein Bild, ein Geräusch, oder überhaupt eine Idee, eine Gestalt, eine Eigenschaft, eine Form, ein Umriss, eine Größe oder ein darin manifestierter Inhalt betrachtet wird....

IMMER müssen doch schon vorher die benötigten vorherigen Voraussetzungen geherrscht haben, damit durch die sowieso schon stetige Bewegung/Veränderungs-Abläufe die momentanen betrachtbaren Voraussetzungen existieren können... (und natürlich ein "betrachtendes" Was)

Und erst durch entsprechende Transformationen(die jeweiligen momentan stattfindenden Zustandsveränderungen durch die jeweils möglichen gegebenen Voraussetzungen) in entsprechende Realitäten verwandelt werden..

Ein Plan nimmt z.B. Gestalt an oder ein Gedanke wird zu einem gesprochenen Wort, das wiederum einschneidende physikalische Konsequenzen zeigt...



Ein rekursiver Vorgang in einer gegebenen Voraussetzung??

Anders ausgedrückt...

Um DA zu stehen, wo JETZT GERADE jeder Mensch geistig/körperlich/emotional, oder jedes Atom oder jede Regierung, jeder Staat (oder sonst noch jede Form existierender Sachverhalte) momentan steht, waren IMMER schon vorherige Bedingungen, sowie ein entsprechender Mangel oder Überschuss daran beteiligt, DAS jetzt alles gerade DA steht, WO sie sich jetzt gerade alles befindet

Die Gegenwart ist also eine determinierte Folge der jeweilig betrachteten "schon geschehenen" Vergangenheiten und all ihrer damaligen Sachverhalte wie zugehörigen Umstände...

All das, was JETZT ist, lässt sich also im Grunde letztlich logisch auf einen einzigen Ursprung zurück führen, der durch seine damalige entsprechende Startbedingung genau DAS Universum schuf und DEN menschlichen Geist zugelassen hat, welchem wir heute begegnen..


Könnte die jeweilige Transformation der Schlüssel allen Seins sein??

Das z.B. ein Vogel gleichzeitig MIT der Voraussetzung, sich über das Ei zu vermehren, in der Evolution auftauchen konnte..

Das es SO gesehen gar nicht um die Henne/Ei-Frage geht, WAS vorher da war, sondern eher darum, welche Voraussetzungen mit den jeweiligen gleichzeitig vorhandenen, möglichen Realitäten verknüpfbar sind?

Sucht sich z.B. ein Blitz aus einer Wolke sein Ziel aus oder wird der Blitz schon vorher von seinem möglichen Ziel "aufmerksam" gemacht, das er DORT einschlagen könnte...(dazu gibt es interessante Highspeed-Filme)

http://www.chilloutzone.net/video/blitz-in-super-slowmotion--1.html
oder im Wiki

Aber gut, ich will jetzt nicht alles verwirren, letztlich wollte ich nur damit sagen, das eigentlich alles irgendwie von 2 Seiten her gleichzeitig bestimmt wird


Der abstrakte Raum in Interaktiver Rückkopplung mit dem realen Raum??

Nach genau all denen Gesetzen, die man in all den Fraktalen wiederfindet??


Gruß............................JGC

richy
06.09.10, 01:07
Das Video ist der absolute Hammer.
Genauso wie dieses :
http://www.youtube.com/watch?v=GQqMoxF3vEA
Hier einige Bilder. Die Nichtlinearitaet laesst gruessen :-)
http://www.youtube.com/watch?v=AaHqJHx0t-I&feature=related

JGC
06.09.10, 14:24
Hi Richy...


Die Blitzzeit in meinem Linkverweis betrug übrigens gerade nur 0,4 Sek.

Gedehnt auf 1.24 Min...

richy
06.09.10, 16:28
Hi JGC
aber wir haben im realen Leben im Grunde doch immer mit Transformationen zu tun, oder etwa nicht?
Transformation ... ist ein gewichtiger Ausdruck. In der Wissenschaft ist der Ausdruck mit den Integraltransformationen verknuepft.
Zum Beispiel der Fouriertransformation
Diese Transformation ermeglicht es dir nicht das Zeitsignal sondern die darin enthaltenen Frequenzen wahrzunehmen.
Aufgrund dieser sprachlichen Vorbelegen sollte man unverfaenglicher von Abbildungen reden. Oder noch allgemeiner von Operatoren.
Bevor ein gegebener Sachverhalt existieren kann, müssen doch zuerst vorher die entsprechend notwendigen(benötigten) Voraussetzungen existieren, DAMIT der entsprechende jetzt vorfindbare Sachverhalt existieren kann..
Das nennt man Kausalitaet.
Dazu musst du Vorgaenge aber zeitlich ordnen koennen. Man benoetigt also den Zeitpfeil. Und der haengt an der Entropie. Daher sind Vorgaenge vor der Dekohaerenz akausal.
Eindringlichstes Beispiel : Der objektive Zufall.
Aber wenn man die physikalische Realitaet (Makrowelt) betrachtet hast du Recht. Da ist alles kausal. Sogar die Mathematik ist kausal. Lediglich unsere Emotionen nicht.
Ob jetzt eine Wahrnehmung, ein Bild, ein Geräusch, oder überhaupt eine Idee, eine Gestalt, eine Eigenschaft, eine Form, ein Umriss, eine Größe oder ein darin manifestierter Inhalt betrachtet wird....

IMMER müssen doch schon vorher die benötigten vorherigen Voraussetzungen geherrscht haben, damit durch die sowieso schon stetige Bewegung/Veränderungs-Abläufe die momentanen betrachtbaren Voraussetzungen existieren können... (und natürlich ein "betrachtendes" Was)

Jawohl so ist es !
Das hast du super erkannt. Zu unserer Realitaet gehoert immer eine Stueck Vergangenheit. D.h. ohne Dynamik gibt es gar keine Realitaet. Die Dekohaerenz zeigt es noch eindringlicher. Ohne Entropieaenderung gibt es fuer uns keine Realitaet. Und daher gibt es fuer uns auch in einer VWI nur eine Realitaet. Die Realitaet mit der wir verschraenkt sind. An deren Entropie wir haengen. Ausgenommen hiervon sind wie erwaehnt der Zufall und z.B. unsere Emotionen.
Die benoetigen keinerlei Realitaet. Auch wenn wir traeumen benoetigen wir keine Realitaet.
Darum erscheint uns das Schlafen auch zeitlos.
Schon verrueckt. Aber ohne "thermische Verluste" Reibung gaebe es keine Realitaet. Und der Anschluuss an die Entropie erfolgt ueber die Gravitation. Ohne Gravitation gaebe es somit auch keine Realitaet.
Kleiner Gag :
Manche missverstehen dies und meinen ohne Realitaet gaebe es auch keine Gravitation.
Das sind die Leute die unter Drogen dann vom Balkon springen :D
D.h. im Grunde mehr als ein Gag. Denn es zeigt dass Zeit und Gravitationsgefuehl zusammenhaengen.
Meist siegt die Gravitation ueber die Emotion :-)
Man landet auf dem harten Boden der Tatsachen :-)
Ein rekursiver Vorgang in einer gegebenen Voraussetzung??

Ja, Treffer :-) Wobei "rekursiv" eine diskretisierte Betrachtungsweise voraussetzt.
Diese iterativen Gleichungen wie Verhulst oder Mandelbrot sind nichts weiter als Differentialgleichungen die man in diskretisierter Zeit betrachtet.
Das sind Differenzengleichungen. Diskretisierte Differntialgleichungen.

Die ganze Naturwissenschaft basiert auf Differentialgleichungen. Das hier waere eine solche :
http://www.quanten.de/forum/images/misc/quanten_header.jpg
Sogar eine partielle , also raumliche.
Wenn du diese auf einem Rechner simulieren willst musst du sie diskretisieren, denn der Rechner ist getaktet und die Speicherzellen sind diskret. Und dann wird aus der SGL eine Differenzengleichung. Im hyperbolischen Fall eine iterative, step by step Rechenvorschrift.
Und es ist einfacher dann die Z-Transformation statt der Fourier oder La place Transformation zu verwenden.
Im Bildbereich entspricht dies einer Substitution :
z=exp(s) s=alpha+i*omega
(Mit alpha=0 wird aus der Laplace die Fouriertransformation.)

Verhulst Gleichung und Mandelbrotmenge sind auch ueber soch eine Substitution miteinander verknuepft.
x = 1/2-z/a
Achtung das ist eine seltsame Substitution. Denn die Iterationswerte werden ueber einen bereits existierenden Parameter ersetzt.
Eine Substitution kann man physikalisch als Beobachtersysemwechsel interpretieren.
Mandelbot und Verhulst betrachten somit den selben Sachverhalt aus verschiedenen Perspektiven.
Und so eigentuemlich es klingen mag. Diskretisierte und Kontinuierliche Welt entsprechen ebenfalls einem Beobachtersystemwechsel. Allerding in der Betrachtung des Bildbereiches einer Integralltransformation.

Die Gegenwart ist also eine determinierte Folge der jeweilig betrachteten "schon geschehenen" Vergangenheiten und all ihrer damaligen Sachverhalte wie zugehörigen Umstände...
Ja, so dachte sich das Herr La Place schon.
Allerdings macht die Unschaerfe , besser der Zufall ein Strich durch diese Rechnung. Ebenfalls die Chaostheorie plus Goedel.
Denn der La Placesche Daemon scheitert auch ohne Zufall an der Beschreibung seiner selbst.

Aber in der Regel passt diese Vorstellung des iterativen Fortschreitens des Weltenverlaufs.

Gruesse

BTW:
Im Moment bist du mit deiner Intuition auf dem richtigen Weg.

richy
09.09.10, 19:46
Ich mach mal hier weiter :

n cycle (2^n) r_(2^n) Sloane
1 2 3
2 4 3.449490 A086180
3 8 3.544090 A086181
4 16 3.564407 A091517
5 32 3.568750
6 64 3.56969
7 128 3.56989
8 256 3.569934
9 512 3.569943
10 1024 3.5699451
11 2048 3.569945557
infty accumulation point 3.569945672 A098587
=>

MAPLE Code zum Ansteuern einiger Periodenverdopplungen

if zyk=01 then r_min:=3.00000000; r_max:=3.449490;fi;
if zyk=02 then r_min:=3.44949000; r_max:=3.544090 ;fi;
if zyk=03 then r_min:=3.54409000; r_max:=3.564407;fi;
if zyk=04 then r_min:=3.56440700; r_max:=3.568750;fi;
if zyk=05 then r_min:=3.56875000; r_max:=3.56969;fi;
if zyk=06 then r_min:=3.56969000; r_max:=3.56989;fi;
if zyk=07 then r_min:=3.56989000; r_max:=3.569934;fi;
if zyk=08 then r_min:=3.56993400; r_max:=3.569943;fi;
if zyk=09 then r_min:=3.56994300; r_max:=3.5699451;fi;
if zyk=10 then r_min:=3.5699451; r_max:=3.569945557;fi;

Wolframs Postulat

http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LogisticMap/NumberedEquation3.gif

f ist eine spezielle Funktion. f-1 deren Umkehrfunktion
f(x)=exp(x) fuehrt auf die Wolfram/richy Loesung von r=2.

Die drei bisher bekannten analytischen geschlossenen Loesungen :
http://home.arcor.de/richardon/2010/verhulstlsg.gif
Wuerden weitere geschlossene Loesungen existieren entsprechen sie nicht Wolframs Postulat !

Die r=2 Loesung laesst sich verallgemeinern zu
http://home.arcor.de/richardon/2010/richie_y1_y.gif
(dies ist nicht das verkettete r=2 Polynom sondern p2/p1)

Beispiel der Anwendung :

y[n+1]:=y[n]*(4-12*y[n]+16*y[n]^2-8*y[n]^3);

hat die Loesung :
http://upload.wikimedia.org/math/5/1/d/51d64d95809dfa29c0598033631c94c3.png

mit 4^n statt 2^n

************************************************** *
Nur Anmerkungen :
Verhulst laesst sich auch darstellen als r/4-r*(x-1/2)^2

Mandelbrot Verhulst :
Verhulst lässt sich sogar rein-quadratisch darstellen. Dazu ersetzen wir die Variable x durch 1/2-z/a

Aus der r=4 Loesung folgt :
-1/2*(-1+cos(2*arccos(-1+2*x)))=4*x*(1-x)


Hilfsmittel :
http://www.hawo.stw.uni-erlangen.de/~siflfran/uni/IuK/Formelsammlungen/dsv.pdf

Konservativer Versuch
************************************************** ***************
FRAGEN (an mich selbst) :
Warum funktioniert die Umformung Fib_1/Fib so aalglatt obwohl sie auf eine nichtlineare Differenzengleichung fuehrt ?
Wie kann ich Verhulst umgekehrt in eine DZGL 2 ter oder m ter Ordnung ueberfuehren ?
************************************************** ****************
Progressiver Teil :
************************************************** ****************

Wenn ich Wolframs chaotische r=4 Loesung betrachte ist diese von der Periodizitaet bestimmt.
Im Kern enthaelt sie eine Frac Funktion.
Die r=2 Loesung entspricht einem Fall in dem die Frac funktion voellig eindeutig ist.
Zyklen entsprechen Resonanzen mit einer Frac Funktion.
=>
Im Falle des Chaos steht die Frac Funktion in einem irrationalen Verhaeltnis zu der Gleichung. Im Falle der Zyklen in einem rationalen Verhaeltnis.
=>
Der Kern von Wolframs Frac Funktion sieht zunaechst grauenhaft aus.
Das ist er aber gar nicht, denn cos-1(1-2*x0) ist nur ein Parameter, so dass sich der Kern reduzieren laesst zu cos( exp(a*n)*w) w=f(x0)
Das exponentiell steigende Argument exp(a*n) ist somit die Groesse die man in den Griff bekommen muss. Es ist gar nicht die Umkehrabbildung die den Frac Charakter erzeugt, sondern die zunehend steigende Frequenz im Argument des Kosinus.
Teuflisch
Denn diese Frequenz im Kosinus steigt exponentiell mit jedem Iterationsschritt.
************************************************** ****************

richy
13.09.10, 00:25
Noch ein Merkzettel, den ich im alten Forum mal aufgestellt habe :
ANHANG 1

Differenzialgleichungstypen erster Ordnung, fuer die analytische
Loesungsmethoden existieren:
(Die also analytisch geloest werden koennen)

dv/dx=f(x)/g(v) :
*************
Lsg: TRENNEN DER VARIABLEN

dv/dx=f(v/x) :
***********
Lsg: SUBSTITUTION z(x)=v(x)/x, dv(x)/dx=z+x*dz/dx

Beispiel :
(x^3*y - 2*y^4)
----------------- = dy(x)/dx
y^3*x - 2*x^4

dv/dx=f [ (ax+bv+c)/ (Ax+By+C) ]
***************************
Fall 1)
Determinante (a b A B) <> 0
c=C=0
dv/dx=f[ (a+b*v/x) / (A+B*v/x)] =F(v/x]

Fall 2)
c und C ungleich Null
Erfordert einen etwas hoeheren mathematischen Aufwand, der mittels Substitution schliesslich auf den Fall c=C=0 abgebildet werden kann.

Fall 3)
Determinante (a b A B) = 0
Substitution u(x)=ax+b*v(x) fuehrt auf eine DGL die sich durch Trennen der Variablen loesen laesst.

*********************
ALLGEMEINE LINEARE DGL:
dv/dx=p(x)*v(x)+q(x)
*********************
LSG:
v(x)=exp(a(x))*Integral(q(t)*exp(-a(t)) dt * C
mit
a(x)= Integral(0..x, p(u) du

***************
Bernoullische DGL
***************
dv(x)/dx = p(x)*v(x) + q(x)*v(x)^n, n ungleich 0,1
LSG:
SUBSTITUTION u(x)=v^(1-n)
fuehrt auf die lineare DGL


****************
RICCATISCHE DGL
****************
dv(x)/dx=p(x)*v(x)^2 +q(x)*v(x) +r(x)
******************************
Die RICCATiSCHE DGL enthaelt die Bernoullische DGL fuer r(x)=0
und die lineare DGL fuer p(x)=0 als Spezialfaelle.
Sie ist die Verallgemeinerung der bernoullischen und allgemeinen DGL.

Man kann diese DGL nur loesen indem man durch Probieren eine spezielle Loesung v1(x) findet.
Dann fuehrt die Substitution:
v(x)=v1(x) + 1/u(x)
auf die lineare DGL:
du/dx = -(2*p*y1 +q )*u - p

Die exakte DGL
************
D()/Dx steht fuer den partiellen Ableitungsoperator.

Das ist auch ein sehr wichtiger DGL Typ:
P(x,v)dx+Q(x,v)*dv=0
Diese Differentialgleichung ist exakt , wenn fuer die partiellen Ableitungen in einem einfachen zusammenhaengenden Gebiet der x,v Ebene gilt:
DP/Dv=DQ/Dx

Es existiert dann eine Funktion f(x,v) mit:
df/dx=P und df/dv=Q
Das Bestimmen der Loesung ist etwas komplizierter.

Die nichtexakte DGL
****************
ist von der Form:
P(x,v)dx+Q(x,v)*dv=0
wobei die partiellen Ableitungen die Bedingungen :
DP/Dv=DQ/Dx nicht erfuellen !
Solche DGL`s koennen dennoch geloest werden indem man sie mittels eines geeigneten Faktors u(x,v) in eine exakte DGL ueberfuehrt.
u heisst dann integrierender Faktor.
Es muss gelten:
Du/Dv*P + u*DP/Dv = Du/Dx*Q + u*DQ/Dx

richy
15.09.10, 11:04
Rein algebraische Loesung Verhulst r=2:

Ausgangsgleichung
y(k+1)=2*y(k+1)*(1-y(k))
********************
Umformen zur (bekannten) Zielsubstitution

y(k+1)=2*y(k+1)-2*y(k)^2
2*y(k+1)=4*y(k+1)-4*y(k)^2
1-2*y(k+1)=1-4*y(k+1)-4*y(k)^2
1-2*y(k+1)=(1-2*y(k))^2
ln(1-2*y(k+1))=2*ln(1-2*y(k))

Zielsubstitution : (allgemein g{y[k+1]}/g{y[k]}=konstant
Das ist der wichtigste Punkt bei DZGL's !

ln(1-2*y(k+1))
-------------- =2
ln(1-2*y(k))

Substitution : z(k)=ln(1-2*y(k))
z(k+1)=2*z(k)

Loesung :
*******
z(k)=z0*2^k
=> Loesung Ruecksubstitution

ln(1-2*y(k))=ln(1-2*y0)*(2^k) (Hierauf basiert Wolframs Postulat der Umkehrfunktion)
ln(1-2*y(k))=ln((1-2*y0)^(2^k))
(1-2*y(k))=(1-2*y0)^(2^k)

y(k)=1/2*(1-(1-2*y0)^(2^k))
***********************

Fuer den chaotischen Fall r=4 lautet die Zielsubstitution
arccos(1-2*y(k+1))
---------------------------- =2
arccos(1-2*y(k))

Diese Transformation ist noch abgefahrener :-) ...
Die spezielle cos .... arccos Funktion erzeugt in jedem Iterationsschnritt doppelt so viel Nullstellen wie zuvor. An der selben Stelle wie das entsprechende verkettete Polynom.
Sie ist das verkettete Polynom. Und alle Nullstellen sollen reell sein !

y(k)=1/2*(1-(1-2*y0)^(2^k))
ist ein Polynom 2^k ter Ordnung.
Das ist offensichtlich.

y(k)=(1-cos(2^n*arccos(1-2*y(0))))/2
ist exakt ein Polynom 2^k ter Ordnung. (keine Naeherung, abgebrochen Potenzreihe)
Aber nur fuer die speziellen veketteten p(4,k) Polynome

Das ist unglaublich

richy
15.09.10, 12:24
Ich will es einfach nicht glauben.
Daher habe ich mal folgenden Ausdruck in der Iteration nachgeprueft :

arccos(1-2*y(k+1))
---------------------------- = gagga = ????
arccos(1-2*y(k))


Ja, sehr oft liefert der Ausdruck 2 aber nicht immer.

gagga := .02112117989
gagga := 2.000000024
gagga := 1.999999996
gagga := 1.999999999
gagga := 2.000000000
gagga := 2.000000000
gagga := .9903649613
gagga := 1.019457552
gagga := .9618276370
gagga := 1.079374644
gagga := .8529247570
gagga := 1.344872725
gagga := .4871295719
gagga := 2.000000000


Das sieht nicht nach Rechenungenauigkeit aus oder ?

Ich kenne den Nullstellenplan der Verhulstgleichung in der komplexen Ebene recht gut. Es gibt zwar sehr viele reelle Nullstellen fuer r=4. Aber auch einige konkungiert komplexe Nullstellen. Mich hat immer schon gewundert wie Wolfram diese in der doch recht einfachen Form untergebracht hat.
Es gibt nur einen mir bekannten Fall in denen alle Nullstellen reell sind und 2^n fach. Und das ist r=2.

Manno, Stephen Wolfram ist der Erfinder von Mathematika. Eine Art mathematisches Wunderkind.

Aber seine Loesung fuer r=4 kann doch eigentlich nicht stimmen.
Insbesonders zeigt die Simulation dass hier etwas nicht stimmt !
Muss man die Mehrdeutigkeit des arccos noch unterbringen ?
Stimmt seine Loesung mit dieser Ueberlegung dann also doch ?
:confused:
EDIT:
Die komplexwertigen Nullstellen ergeben sich in der Umkehrabbildung. Man kann diese somit nicht ohne komplexwertige Rechnung beurteilen. In der Simulation sind dies Schnittpunkte die nicht existieren.
Acuscosinus ist eine ungerade Funktion. Letztendlich wird aber der Cosinus darueber gebildet, so dass dies einer Betragsbildung entspricht. Die Betragsbildung behebt den Mangel im Gagga Test.
Siehe DGL versus DZGL
Die Loesung von Wolfram ist korrekt !

richy
19.09.10, 22:56
Weitere Gedanken.

Was besagt Woframs r=1+Wurzel(9) Loesung ? Den Fall den wir persoenlich und ein Ljapunov Detektor als maximal chaotisch einschaetzen wuerden, ist in Wahrheit einer der einfachsten Faelle. Eine harmonische Schwingung. Sie verdoppet mit jedem Iterationsschritt ihre Frequenz. (Bilder folgen) Daher erscheint uns die Zeitreihenbetrachtung chaotisch. Das ist aber nicht der zentrale Punkt. Zusaetlich tastet die Zeit die Polynomfunktion in einem irrationalen Verhaltnis ab. Daher erkennen wir in der Zeitreihe den Cosinus nicht.
In der Polynomfunktion erkennt man ihn besser.
Aber in emprischen Zeitreihen wie Aktienkursen kennt man die Polynomfunktion nicht !

Diese spezielle Kosinusfunktion ist ziemlich verrueckt. Denn sie ist gewissermaßen in sich selbst verpackt. Sie traegt eine passende Koordinatentransformation der
Anfangswerte mit sich. arccos(1-2*y0). Wenn man die verketteten Polynome pn[i] in einer Parameterdarstellung nicht ueber die Anfangswerte y=0..1 darstellt sondern ueber arccos(1-2*y)) oder ln(1-2*y0) dann erscheint der eigentlichee Charakter der logistischen Abbildung. fuer r=4 ueber 0..2*Pi. eider bisher nur fuer r=2 und r=4

Fuer kuenstlerische Zwecke wird meist die Zeitreihe verwendet. Viel interessanter ist aber Anfangswertreihe. Die Polynome.

Prognose :
Die naechste Loesung die man fuer die logistische Gleichung finden wird ist die fuer 1+Wurzel(5)
Koennte allerdings noch ein bis 10 Jahre dauern :-)
Oder heute oder morgen ? Bin vedammt nahe dran :D

richy
20.09.10, 13:02
YEAH ich habs !
r=4=(1+wurzel(9)) ist der Sinusgenerator.
Und =(1+wurzel(5)) ist der Rechteckgenerator !

JGC
20.09.10, 14:13
Hi Richy...


Schön deine Freude zu sehen...


Wenn du mal nen "Lotto-Algorythmus" gefunden hast, dann lass es mich wissen:D
(wirklich zu schade, das ich mathematisch gesehen "blind" bin)

richy
20.09.10, 14:55
Hi JGC
Danke fuers "Mitfiebern" :-)
Im Moment ist meine Freude etwas gedaempft. Ich habe eine quadratische Gleichung gefunden, die mein Mathematikprogramm MAPLE nicht loesen kann ! Eine QUADRATISCHE Gleichng ! Die koennen Gymnasiasten loesen. Und wenn Maple mit der quadratischen Loesungsformel unter die Arme helfe spuckt es sogar eine falsche Loesung aus !
Haengt damit zusammen, dass ich im Herzen des goldenen Schnittes der Verhulst Gleichung gelandet bin. Alles verrueckt hier :D
Ich werd vieles von Hand rechnen muessen.

Schritt zum Teilerfolg :
Ich bin von den Substitutionsmethoden die auch Stephen Wolfram verwendet hat wieder back to the roots. Meiner graphischen Methode. Wenns funktioniert kann ich dir den Loesungsweg auch graphisch in etwa skizzieren.
Nur fuer die komplette Loesung wird es dann sehr heftig mathematisch werden.

Nochmals zur Erinnerung :
Die Verhulst Gleichung ist eng verwandt mit der Mandelbrotmege.
Das komplizierteste Gebilde im Universum. Man kann also nur Teilprobleme loesen.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b4/Verhulst-Mandelbrot-Bifurcation.jpg/120px-Verhulst-Mandelbrot-Bifurcation.jpg
Wie man sieht operiere ich gerade mitten im Kopf des Apfelmaennchens :D
(Mitte des zweir Zyklus)

http://mathworld.wolfram.com/LogisticMap.html
In den 80 er Jahren hielt man die Gleichung noch fuer analytisch, exakt unloesbar.
Seither laesst sie mir keine Ruhe mehr.
The only exact solutions known are for r=-2, r=2 and r=4, summarized in the table below (Wolfram 2002, p. 1098), and R. Germundsson (pers. comm., Apr. 25, 2002) has proved that no other solutions of this form are possible.

Ich habe 2002 unabhaengig auf einfach graphisch analytischem Weg ebenfalls die Loesung fuer r=2 hergeleitet.
Eine Loesung fuer r=1+sqrt(5) (doppelte des goldenen Schnittes) waere schon sensationell.

Die Verhulst Gleichung sieht abgesehen vom Feigenbaumdiagram und dem komplexen Schnittstellenplan nicht so spektakulaer aus wie die Mandelbrotmenge. Es steckt aber genausoviel drin. Wenn man das Feigenbaumdiagramm von 1 nach 4 durchschreitet meine ich fundamentale universale Prinzipien evolutionaerer Entwicklungen zu sehen.

Im Moment betrachte ich sie als E-Ing. Es ist wahnsinn. Sie ist ein unglaublich variabler Signal - Funktionsgenerator. Ebenso Verteilungsgenerator. Mit Funktionen eines gewaltigen Synthersizers. Waere ich in den 80 ern schon so weit wie heute gewesen haette ich den analogen nachbau (grad ein paar Bauteile) zum Patent angemeldet. Koennte man ja immer noch tun :D

Ok jetzt geht erstmal weiter. Hab noch einiges vor mir. Aber der Weg ist stimmt. Warum der goldene Schnitt ? Weil hier wie bei r=2 der Ljapunovexponent auf Null sinkt besteht ueberhaupt nur dieser Hauch einer Hoffnung das Ding hier zu loesen.

Gruesse

EMI
20.09.10, 15:08
(wirklich zu schade, das ich mathematisch gesehen "blind" bin)
Hast physikalisch vergessen.
"mathematisch und physikalisch" blind JGC, und für das "schade" bist Du ganz allein zuständig!

EMI

richy
20.09.10, 17:24
Hi Emi
In der Chaostheorie ist JGC eigentlich recht gut augehoben. Hier kommt es auch auf die Interpretation an. Zu Berechnen gibt es eher weniger, da nur wenig berechenbar ist. Man sollte die Interpretiererei meiner Meinung nach aber immer nur als kleine Denkanstoesse ansehen, die letzendlich in konkreten Berechnungen enden sollten. Es wundert mich immer wie wenig solche "Wundermenschen" wie Herr Z oder ... berechnen. Ich nenne das TOE in Gedichtform :D Solche Theorien meistern im ernsten wissenschaftlichen Betrieb nichtmal den Weg ueber den Fussabtreter.
So zum Spass ist es allerdings ok sich eine TOE auszudenken. Das ist ja nichts weiter wie die eigene Weltvorstellung. Eine solche hat jeder Mensch.

Ob meine Rechnung die ich gerade angefangen habe jemals endet ? :-)
Ich stehe gerade vor 3 Loesungsmoeglichkeiten. Um jede zu testen sicherlich 10-20 Stunden Arbeit.
Eines meine ich schon sagen zu koennen. Die Losung ist wahrscheinlich nur implizit moeglich. Dazu Summen, allerdings kenne ich deren Grenzwert den sie schnell erreichen.


Hilfe bin gerade auf Kettenwurzeln gestossen :D
Fuer 1*sqrt(5) sogar komplexwertig und mit nichtkonstanten Koeffizienten. Au Backe

EMI
20.09.10, 20:08
In der Chaostheorie ist JGC eigentlich recht gut aufgehoben.
Nach dem chaotischen Zeugs was er hier so von sich gibt, hast Du wohl den Nagel auf den Kopf getroffen.

Gruß EMI

PS: Fuer 1*sqrt(5) sogar komplexwertig und mit nichtkonstanten Koeffizienten.
Das war zu erwarten. Du meinst hier sicherlich 1+√5