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Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : Frage zur Formel der Unschärferelation


Varg
14.09.10, 13:59
Hallo und guten Tag,

ich lese seit einiger Zeit begeistert mit und habe mich nun auch mal registriert, natürlich auch, weil ich eine Menge Fragen habe. Ich bin leider absoluter mathematischer Laie aber sehr sehr interessiert an Astro- und Quantenphysik. Also scheinbar genau richtig hier.

Ich habe eine Frage zur Unschärferelation, genau genommen zur Formel. Ich habe bei Onkel Wiki gelesen (auf der Briefmarke gesehen), dass die Unschärferelation mit Δp*Δq ~ h angegeben wird.

Andernorts finde ich meist Δp*Δq ≥ 1/4pi*h


1. Frage: Ist die bei Wiki gefundene Formel (die von der Briefmarke) korrekt? Was drückt sie aus?

2. Wie lautet die korrekte Formel mit dem reduzierten Wirkungsquantum?

3. Welches ist die kürzeste zulässige Formel für die Unschärferelation? es geht hierbei wirklich nur um die Länge der Formel an sich.

Ich danke euch recht herzlich für eure Hilfe!

Viele Grüße

Erik

EMI
14.09.10, 16:23
Ich habe eine Frage zur Unschärferelation, genau genommen zur Formel.
1. Frage: Ist die bei Wiki gefundene Formel korrekt? Was drückt sie aus?
Willkommen Varg,

schau mal hier:
Die klassische Physik kennt zwei Arten der Bewegung. Die Lageveränderung von Körpern auf bestimmten Bahnen und die Ausbreitung von Wellen.
Ungeachtet des verschiedenen Wesens dieser Bewegungen stimmen die Gesetze, denen beide gehorchen, manchmal völlig überein.
Das gilt für die Fälle, in denen die Wellenlänge klein genug ist im Vergleich zu den Abmessungen des Raumes, in dem sich der Wellenvorgang ausbreitet.
Bei den Elementarteilchen (z.B. Elektronen) wissen wir allerdings nicht im voraus welche Maße als klein anzusehen sind.
Es hat sich gezeigt, dass, wenn ein Elektronenstrahl durch ein Beugungsgitter hindurchgeht, die gleichen Beugungseffekte entstehen wie bei hochfrequenten el.mag. Wellen. Es gibt also eine Elektronenbeugung! Nun sind aber die Elektronen keine Wellen sondern Teilchen.

Der Beugungsversuch zeigt, dass jedes Elektron wie eine Welle das Gitter durchläuft, ohne dabei aufzuhören ein unteilbares Teilchen zu sein.
Wir wissen aber auch, dass sich das Elektron in manch anderen Fällen ganz wie ein Teilchen bewegt, was keinerlei Welleneigenschaften aufweist.
So fliegen die Elektronen z.B. in einer Bildröhre auf festen Bahnen, die man genau so exakt vorausberechnen kann wie die Bahnen der Planeten.

Warum verhält sich ein Elektron mal wie eine Welle, mal wie ein Teilchen?
Wir erinnern uns, dass auch Licht das gleiche zweiseitige Verhalten zeigt.
Alles hängt vom Verhältnis zwischen der Wellenlänge und den Ausmaßen des Raumes ab, in dem die Bewegung vor sich geht.

Welche Wellenlänge entspricht nun aber der Bewegung eines Elektrons?
Man kann die Wellenlänge anhand des Beugungsbildes mit der gleichen Formel ermitteln, die zur Bestimmung der Wellenlänge von Röntgenstrahlen dient.
Dabei ergibt sich, die Wellenlänge ist umgekehrt proportional dem Impuls eines Teilchens. λ = h/p
Der Proportionalitätsfaktor zwischen ihnen ist eine universelle Konstante, die Planckkonstante h!

Mit h können wir nun die Frage beantworten weshalb sich in einer Bildröhre die Welleneigenschaften des Elektrons nicht äußern, während sie es im Kristall tun.
Die Wellenlänge des Elektrons in einer Bildröhre berechnet sich zu λ≈10^-11 m, der Durchmesser des Elektronenstrahls ist ungefähr 10^-4 m.
Der Durchmesser ist 10 Millionen mal größer als die entsprechende Wellenlänge!
Hier wird deutlich, dass sich in einer Bildröhre keinerlei Welleneigenschaften bei der Bewegung von Elektronen auf Bahnen zeigen können, dass es aber unbedingt zu Beugungserscheinungen kommen muss, wenn der gleiche Elektronenstrahl durch ein Kristall geht.

In welchen Grenzen hat der Begriff der Bahn eines Strahls einen Sinn?
Der Begriff der Teilchenbahn hat dann einen vernüftigen Sinn, wenn die Amplitute der Welle, die mit der Bewegung verknüpft ist, nach beiden Seiten der Bahn schnell zu Null wird.

Wie wirkt sich nun eine seitliche Begrenzung(Spalt) der Bahn aus?
Der Strahl hat hinter dem Spalt einen bestimmten(von der Wellenlänge abhängigen) Öffnungswinkel.

Wohin ist nun die Geschwindigkeit eines den Spalt durchlaufenden Teilchen gerichtet?
Ein Teilchen weist nur dann eine genau bestimmte Geschwindigkeitsrichtung auf wenn dessen Bewegung seitlich durch nichts begrenzt ist.
Wenn nun die den Spalt durchlaufenden Teilchen nicht genau parallel aus dem Spalt heraustreten, sondern in einem bestimmten Öffnungswinkel so liegt eben innerhalb dieses Winkels auch die Richtung der Geschwindigkeit des Teilchens.
Die Geschwindigkeit ist eine vektorielle Größe und wenn sie um einen bestimmten Winkel abweicht so bedeutet das, dass sie eine senkrechte Komponente erhalten hat die gleich dem Produkt der Geschwindigkeit und diesem Winkel ist.
Folglich zeigt die Geschwindigkeit des Teilchens nach dem Spaltdurchgang eine gewisse Streuung in der Fläche des Spaltes, denn wir wissen ja nicht, um welchen Winkel das Teilchen gerade abweicht.
Die Geschwindigkeit unterliegt einer Unbestimmtheit. Auch die Koordinate x zeigt eine Unbestimmtheit Δx.
Mit der Unbestimmtheit der Geschwindigkeit hat auch der Impuls p eine Unbestimmtheit. Δp = m Δv
Nach weiteren Rechnungen kommt man zu der für die Quantenmechanik fundamentalen Beziehung:
h ≤ Δp Δx
Je genauer die Koordinate gegeben ist um so weniger genau ist der Impuls gegeben, weil Δp umgekehrt proportional zu Δx ist.

Koordinate und Impuls eines Teilchens existieren als genaue physikalische Größe nicht gemeinsam!
Es ist prinzipell unmöglich ein Verfahren anzugeben was zu ihrer genauen Bestimmung führen würde.
Das liegt nicht an einer subjektiven Unvollkommenheit sondern das ist ein objektives Naturgesetz.
Diejenigen die das Unbestimmtheitsprinzip wiederlegen möchten, erwartet das traurige Schicksal der Erfinder der Perpetuum mobile!

Die Koordinate und der Impuls eines Teilchens, als genaue physikalische Größe, existieren nicht gemeinsam.
Auch existieren der Winkel(Azimut) und das Moment eines Teilchens, als genaue physikalische Größe, nicht gemeinsam.
Das ist ein objektives Gesetz.

Und hier:
Wir senden einen Teilchenstrahl durch einen Spalt der Breite ∆b auf einen Bildschirm.
Die Teilchen des Strahls, z.B. Elektronen, haben die Ruhemasse mo.
Nach Planck kommt einem Schwingungsvorgang die Energie einer dem ruhenden Teilchen zugeordneten stationären, ebenen Welle
die im Ruhesystem S' in jedem Punkt x' die gleiche Phase hat mit der Frequenz f' gleich hf' zu.
Dieser Energie kommt wegen der Äquivalenzbeziehung E= moc² auch eine Masse zu.
Es gilt moc² = hf'
Auf dem Bildschirm stellen wir ein Beugungsmuster fest!

Im System S' ruht die Teilchenmasse mo. Ein im System S befindlicher Beobachter misst bei einer Relativgeschwindigkeit v zwischen den Systemen die Masse:

m = mo/√1-ß² , mit ß=v/c

Für die Schwingungsamplitute in S' gilt:

Ψ = Ψo sin 2Π f't'

Der Beobachter in S findet:

Ψ = Ψo sin 2Π f'/√1-ß² * (t - vx/c²)

er misst also eine geänderte Frequenz:

[1] f = f'√1-ß² = moc²/h√1-ß²

Für einen ruhenden Beobachter im gestrichenen System S' sollen an den Punkten x1' und x2' zwei Schwingungen mit gleicher Phase auftreten.
Gleichzeitig sei die Amplitute Null, wenn t2'=t1' ist.
Für einen im ungestrichenem System S ruhenden Beobachter sind die Zeiten t2≠t1, also ∆t=t2-t1≠0
Das ergibt sich aus den Transformationsformeln:

t1 = (t1' + x1'v/c²)/√1-ß²
t2 = (t2' + x2'v/c²)/√1-ß²

wonach

∆t = t2-t1 = t1 = ((x2'-x1')v/c²)/√1-ß² = (x2-x1)v/c² = ∆xv/c² ist.

Die Schwingungen, die in jedem Punkt x' im System S' mit gleicher Phase erfolgen, erscheinen dem ruhenden Beobachter in S als eine Welle, in der jeder Punkt mit einer Phasenverschiebung gegen seinen Nachbarn schwingt.
In der Zeit ∆t=T schreitet diese Welle um ∆x=λ fort.
T ist die Schwingungsdauer und λ der Abstand zwischen den Punkten die in gleicher Phase schwingen.
λ ist also die Wellenlänge und 1/T=f die Frequenz. Man erhält somit:

∆t = T = 1/f = λv/c²
λf = c²/v

Hier ist λf die Phasengeschwindigkeit u der Welle.

[2] u = c²/v

Die Wellenlänge λ ist mit [1] und [2]:

λ = u/f = c²/v * h√1-ß²/moc² = h/mv, und mit dem Impuls p=mv:

[3] λ = h/p

Der Teilchenstrahl wird durch den Spalt mit der Breite ∆b begrenzt.
Wie wirkt sich nun diese seitliche Begrenzung aus?
Der Strahl hat hinter dem Spalt einen Öffnungswinkel α.

Die hinter dem Spalt in Richtung α auslaufenden Strahlen haben gegeneinander einen Gangunterschied.
Das Begungsmuster auf dem Schirm ergibt sich dadurch, dass sich die einzelnen Strahlen in Richtung α überlagern.
Der Gangunterschied G zwischen den beiden Rändern des Spaltes hängt mit der Spaltbreite ∆b und dem Öffnungswinkel α wie folgt zusammen:

G = sinα * ∆b

Damit das erste Interferenzminimum auf dem Schirm noch optisch erkennbar ist, muss der Gangunterschied mindestens so groß sein wie die Wellenlänge λ des Teilchens:

[4] ∆b * sinα ≥ λ

Wenn nun die den Spalt durchlaufenden Teilchen nicht genau parallel aus dem Spalt heraustreten, sondern mit dem Öffnungswinkel α so liegt eben innerhalb dieses Winkels auch die Richtung der Geschwindigkeit v des Teilchens.
Die Geschwindigkeit v ist eine vektorielle Größe und wenn sie um einen bestimmten Winkel abweicht so bedeutet das, dass sie eine senkrechte Komponente erhalten hat die gleich dem Produkt der Geschwindigkeit und diesem Winkel ist.
Folglich zeigt die Geschwindigkeit des Teilchens nach dem Spaltdurchgang eine gewisse Streuung in der Fläche des Spaltes, denn wir wissen ja nicht, um welchen Winkel das Teilchen gerade abweicht.
Die Geschwindigkeit unterliegt einer Unbestimmtheit ∆v.
Mit der Unbestimmtheit der Geschwindigkeit hat auch der Impuls p eine Unbestimmtheit. Δp = m Δv

Die Teilchen, deren Ablenkungswinkel α einem Impuls entsprechen, der innerhalb des Δp des ersten Beugungsminimums auf der Impulsskala liegen, sind genau diejenigen, welche der folgenden Bedingung genügen:

[5] p * sinα ≤ ∆p

[3], [4] und [5] ergeben nunmehr:

∆p/p ≥ sinα ≥ h/p∆b , man kann hier sinα weglassen und ohne weiteres auch schreiben:

∆p/p ≥ h/p∆b , das nun mit p∆b multipliziert und wir erhalten:

∆p ∆b ≥ h.

Setzten wir hier für b das übliche x ein folgt die uns bekannte Unschärferelation:

∆p ∆x ≥ h

Gruß EMI

PS: Ich bevorzuge h, das reduzierte ђ ist gleich h/2Π

Varg
14.09.10, 19:05
Grüß dich, EMI,

danke erstmal für deine Mühe. Wenn ich das richtig verstanden habe - und davon gehe ich bei der Fülle an Infos und Formeln einfach mal nicht aus - kann man die Unschärferelation also mit dem Term

∆p ∆q ≥ h

beschreiben. Soweit richtig?

Wenn die weitere Frage gestattet ist: Was drückt dann, im Unterschied zu der oben gegebenen Formel, Δp*Δq ≥ 1/4pi*h aus? Der 1/4pi Term beeinflusst das Ergebnis doch maßgebend, oder?

Ohje, so viele Fragen wieder. Hoffe auf nervenstarke Antwortgeber und freue mich schon, mehr zu lesen.

Grüße,

Erik

Hawkwind
15.09.10, 12:57
Grüß dich, EMI,

danke erstmal für deine Mühe. Wenn ich das richtig verstanden habe - und davon gehe ich bei der Fülle an Infos und Formeln einfach mal nicht aus - kann man die Unschärferelation also mit dem Term

∆p ∆q ≥ h

beschreiben. Soweit richtig?

Wenn die weitere Frage gestattet ist: Was drückt dann, im Unterschied zu der oben gegebenen Formel, Δp*Δq ≥ 1/4pi*h aus? Der 1/4pi Term beeinflusst das Ergebnis doch maßgebend, oder?

Ohje, so viele Fragen wieder. Hoffe auf nervenstarke Antwortgeber und freue mich schon, mehr zu lesen.

Grüße,

Erik


1.) Das ist in den Unschärferelationen kein exaktes "größergleich", sondern ein "mindestens von der Größenordnung". Besser sind deshalb die Schreibweisen:

http://upload.wikimedia.org/math/d/0/d/d0dade047760067c8cb277f60ea10b1b.png

http://upload.wikimedia.org/math/4/f/8/4f8b475e4f314e77a2c8585b01e52182.png

1.) Physiker nutzen auch gerne die größe hquer statt h, definiert über

http://upload.wikimedia.org/math/d/d/8/dd8d1fc5051e1eb9bdf72deeec3185e2.png


Das bringt dann eínen zusätzlichen Faktor 2*pi, aber nicht 4*pi wie bei dir. Weiss nicht, wo du das her hast - vielleicht hat man in den Relationen für Drehimpulse so was. Aber - wie gesagt - allzu bedeutend ist es eh nicht: es geht hier um Größenordnungen und nicht um exakte Zahlen, denn die Quantenmechanik beginnt nicht "schlagartig" bei Überquerung exakter Schwellenwerte zu wirken, sondern wird einfach zunehmend wichtig je "näher man dem Mikroskopischen" ist.

Varg
17.09.10, 21:11
Hallo Hawkwind,

danke dir auch für deine Ausführungen! Das mit dem 1/4 pi habe ich von:


http://www.quanten.de/pdf/unschaerferelation.pdf

Sehe aber gerade, dass da was von Impuls steht...

Hier (http://www.leifiphysik.de/web_ph12/grundwissen/09unschaerfe/unschaerfe.htm) habe ich das aber auch gefunden...

Ich muss zusätzlich noch erwähnen, dass ich die korrekte und schlankste Form der Relation nicht zur Berechnung brauche, sondern da ich mir zu diesem Thema ein Motiv eines Illustrators erstellen lasse. Da ich dies u.a. auf Kleidung drucken möchte, wollte ich nochmal ganz sicher gehen.

Man sagt ja immer, dass die Welt zu schwanken beginnt, wenn man sie exakt betrachten möchte. Aber was würde sein, könnte man - rein hypothetisch - eine Messung durchführen, ohne durch den Energieeinfluss dieser das Ergebnis zu verfälschen. Würden wir dadurch nachhaltige Erkenntnisse über kausale Vorgänge zum Beginn des Universums erhalten?

Mir ist die grundlegende Bedeutung der Unschärferelation klar, ich kann mir aber nicht erklären was wäre, würden wir sie "überlisten" können...

Grüße,

Erik

Marco Polo
17.09.10, 22:03
Mir ist die grundlegende Bedeutung der Unschärferelation klar, ich kann mir aber nicht erklären was wäre, würden wir sie "überlisten" können...

Hallo Varg,

das brauchst du dir auch nicht zu erklären, da die Unschärferelation prinzipieller Natur ist. Sie ist also prinzipiell nicht überlistbar.

Das geht zwar im Nachhinein aber nicht im Sinne einer Vorhersage.

Grüsse, Marco Polo

Hawkwind
17.09.10, 22:54
Hier (http://www.leifiphysik.de/web_ph12/grundwissen/09unschaerfe/unschaerfe.htm) habe ich das aber auch gefunden...


Da steht aber auch gleich unter der Formel:

Anmerkung: In der Literatur finden sich für die rechte Seite dieser Ungleichung verschiedene Werte. Wesentlich ist dabei die Größenordnung!

... was den Nagel auf den Kopf trifft.

Varg
18.09.10, 11:19
Na dann bin ich ja beruhigt, jetzt ist das Rätsel (für mich) gelöst! Danke nochmal!!