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Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : Bestätigung für Bornsche Regel


Bauhof
13.11.10, 15:05
Hallo zusammen,

im neuen Heft "Physik in unserer Zeit" befindet sich ein Artikel

Bestätigung für Bornsche Regel
Abstract
Im Jahre 1926 begründete Max Born die Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Quantenmechanik. Er erkannte, dass das Quadrat der Wellenfunktionsamplitude eines quantenmechanischen Teilchens oder Photons dessen Aufenthaltswahrscheinlichkeit angibt. Der berühmte Doppelspaltversuch ist eine direkte Konsequenz daraus. Die Bornsche Regel besagt, dass Interferenz immer von zwei Wegen herrührt. Bislang wurde nie nachgeprüft, ob es nicht auch Interferenz über mehr als zwei Wege gibt, was eine schwere Verletzung der Quantenmechanik wäre. Unsere Gruppe in Kanada konnte nun eine Dreiwege-Interferenz mit gewisser Genauigkeit ausschließen.

Siehe: http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/piuz.201090077/abstract

Mir ist nicht klar, warum es eine schwere Verletzung der Quantenmechanik wäre, wenn die Interferenz von mehr als zwei Wegen herrühren würde. Hat jemand dazu nähere Informationen?

M.f.G. Eugen Bauhof

eigenvector
13.11.10, 15:13
Das Experiment wurde doch hier im Forum bereits thematisiert:
http://www.quanten.de/forum/showthread.php5?t=1639

Bauhof
13.11.10, 15:25
Das Experiment wurde doch hier im Forum bereits thematisiert:
http://www.quanten.de/forum/showthread.php5?t=1639

Hallo eigenvector,

du hast recht, das hatte ich übersehen. Aber meine Frage bleibt trotzdem.

M.f.G. Eugen Bauhof

Hawkwind
16.11.10, 15:49
Mir ist nicht klar, warum es eine schwere Verletzung der Quantenmechanik wäre, wenn die Interferenz von mehr als zwei Wegen herrühren würde. Hat jemand dazu nähere Informationen?


Das ist ganz einfach, Eugen.
Die Bornsche Interpretation besagt, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Übergang von einem Anfangs- zu einem Endzustand proportional zum Betragsquadrat der Wahrscheinlichkeitsamplitude ist. Wenn nun zu einem Übergang A(total) unterschiedliche Übergänge A1, A2, ... möglich sind, so hat man

A(total) = A1 + A2 + ...

d.h., kohärente Addition der Amplituden.

Physikalisch beobachtbar ist das Betragsquadrat dieser Größe

|A(total)|^2 = (A1)^2 + 2*A1*A2 + (A2)^2 + ...

Da die Bornsche Regel auf Quadraten basiert, folgt also direkt aus der Binomialformel
(a + b)^2 = a^2 + 2*a*b + b^2

dass höchstens Interferenzen 2er Amplituden ("Wege") beitragen. Eine Interferenz aus 3 Wegen wäre so etwas wie

A1 * A2 * A3

das kann nie vorkommen, wenn - wie nach Born - das Betragsquadrat die Wahrscheinlichkeit bestimmt. In so einem Fall müsste die Wahrscheinlichkeit schon mindestens wie die dritte Potenz der Amplitude gehen.

Es können also evtl. beliebig viele Wege beitragen (... + 2*A1*A2 + 2*A1*A3 + 2*A2*A3 + ...) ; es interferieren aber nie mehr als 2 (die gemischten Terme sind die Interferenzterme).

Gruß,
Hawkwind

Bauhof
16.11.10, 18:31
Es können also evtl. beliebig viele Wege beitragen (... + 2*A1*A2 + 2*A1*A3 + 2*A2*A3 + ...) ; es interferieren aber nie mehr als 2 (die gemischten Terme sind die Interferenzterme). Gruß, Hawkwind

Hallo Hawkwind,

danke für deine Erläuterungen, aber so ganz habe ich es leider noch nicht verstanden. Bei Roger Penrose habe ich eine mathematische Veranschaulichung der Quanteninterferenz in der Gaußen Zahlenebene gefunden, siehe Grafik-Anhang.

Dort erscheint das Betragsquadrat zweier komplexer Zahlen w und w. Das heißt, hier werden die Wahrscheinlichkeiten durch komplexe Zahlen dargestellt. Der Interferenzterm beträgt 2•|w|•|z|•cos(ß). Liegt vielleicht der tiefere Grund darin, dass immer nur zwei Wege miteinander interferieren können darin, dass die Wahrscheinlichen komplex sind?

Bei drei Wegen würden drei komplexe Wahrscheinlichkeiten w, z, y miteinander interferieren. Da würde der Interferenzterm vermutlich ganz anders aussehen.

M.f.G. Eugen Bauhof

JoAx
16.11.10, 19:25
Hallo zusammen!


Liegt vielleicht der tiefere Grund darin, dass immer nur zwei Wege miteinander interferieren können darin, dass die Wahrscheinlichen komplex sind?


Oder vlt. daran, dass es grundsätzlich nur zwei unterschiedliche Wege gibt, vom Punkt 0 zu |w+z| (in deiner Grafik) zu kommen, wenn man "Teilstrecken" w und z hat. Vektoraddition.

?

Gruss, Johann

Hawkwind
16.11.10, 20:28
Hallo Hawkwind,

danke für deine Erläuterungen, aber so ganz habe ich es leider noch nicht verstanden. Bei Roger Penrose habe ich eine mathematische Veranschaulichung der Quanteninterferenz in der Gaußen Zahlenebene gefunden, siehe Grafik-Anhang.

Dort erscheint das Betragsquadrat zweier komplexer Zahlen w und w. Das heißt, hier werden die Wahrscheinlichkeiten durch komplexe Zahlen dargestellt. Der Interferenzterm beträgt 2•|w|•|z|•cos(ß). Liegt vielleicht der tiefere Grund darin, dass immer nur zwei Wege miteinander interferieren können darin, dass die Wahrscheinlichen komplex sind?
M.f.G. Eugen Bauhof

Nein, der Grund ist einfach, dass die Wahrscheinlichkeit mit dem Quadrat der Amplitude geht: Quadrat bedeutet bei 3 Amplituden/Wegen

(a + b + c)^2 = a^2 + 2*a*b + b^2 + ... + 2*a*c + ... + 2*b*c

Interferenzterme sind also immer von der Form a*b und nie von der Form a*b*c oder höher.
Ginge die Wahrscheinlichkeit mit der 3. Potenz der Amplitude, so hätten wir auch 3-fach-Interferenzterme
(a + b + c)^3 = a^3 + ... + 2*a*b*c + ...

Dieses Feature ist im Prinzip auch schon ohne Komplexität der Amplituden so. Die Komplexität macht es aber erst so richtig spannend, da so erst Phasenunterschiede wirklich wichtig werden. Im Reellen gäbe es halt nur die Vorzeichenwillkür A + B oder A - B, sozusagen positive oder negative Interferenz. Im Gegensatz zu absoluten Phasen sind relative Phasen zwischen Amplituden durchaus von Bedeutung in der Quantenmechanik. Penrose Schreibweise betont die Bedeutung dieses Phasenwinkels (bei ihm ß) besonders. Im Reellen könnte ß nur die Werte 0 oder 180 Grad annehmen.

Gruß,
Hawkwind

PS. streng genommen müsste ich oben in den Produkten immer das Produkt
(a + b + c) x (a + b + c)*
betrachten, wobei der Stern diesmal für komplexe Konjugation steht; das spielt aber bei dem Argument (2-Wege-Interferenz) keine Rolle.

Hawkwind
16.11.10, 23:59
Hallo zusammen!



Oder vlt. daran, dass es grundsätzlich nur zwei unterschiedliche Wege gibt, vom Punkt 0 zu |w+z| (in deiner Grafik) zu kommen, wenn man "Teilstrecken" w und z hat. Vektoraddition.

?

Gruss, Johann

Penrose veranschaulicht in dem Diagramm nur, dass es 2 komplexe Amplituden w und z gibt, die addiert werden; das ist in der komplexen Ebene analog zur Vektoraddition:

|w+z|^2 = (w + z) (w* + z*) = |w|^2 + |z|^2 + {wz* + w*z}

Dabei ist der letzte Term in den geschweiften Klammern der Interferenzterm, den Penrose nochmal durch den Phasenwinkel zwischen beiden Amplituden ausgedrückt hat.

Ich denke, anschaulich begründen lässt es sich nicht weiter, warum es immer nur Interferenzen zwischen jeweils 2 Amplituden gibt; das folgt unmittelbar aus der Bornschen Interpretation mittels einem Minimum an Algebra.

Gruß,
Hawkwind

Bauhof
17.11.10, 11:38
Interferenzterme sind also immer von der Form a*b und nie von der Form a*b*c oder höher. Ginge die Wahrscheinlichkeit mit der 3. Potenz der Amplitude, so hätten wir auch 3-fach-Interferenzterme

(a + b + c)^3 = a^3 + ... + 2*a*b*c + ...
Hallo Hawkwind,

ich denke, jetzt verstehe ich.
(a+b)² bedeutet, dass zwei mögliche Wege durch 2 Spalte gegeben sind. Bei (a+b+c)³ sind drei mögliche Wege durch 3 Spalte gegeben, so wie es die Experimentatoren aufgebaut haben.

Nun stellten sie fest, dass immer nur zwei mögliche Wege miteinander interferierten, obwohl drei Möglichkeiten bei der Versuchsanordnung vorliegen. Das heißt, es interferieren immer nur die Wege-Möglichkeiten (a+b) oder (a+c) oder (b+c) miteinander, aber niemals (a+b+c).

Sehe ich das in etwa so richtig?

Wir wissen also aufgrund des Experiments, dass es so ist. Wir wissen aber nicht warum es so ist.

Hawkwind schrieb:
Ich denke, anschaulich begründen lässt es sich nicht weiter, warum es immer nur Interferenzen zwischen jeweils 2 Amplituden gibt; das folgt unmittelbar aus der Bornschen Interpretation mittels einem Minimum an Algebra.

Ja, aber nur dann, wenn man die Bornsche Regel zugrunde legt. Aber gerade die sollte ja erst durch das Experiment bestätigt werden. Wenn man es nur durch ein Minimum an Algebra belegen könnte, wäre dieses Experiment überflüssig gewesen.

M.f.G. Eugen Bauhof

Hawkwind
17.11.10, 11:55
ich denke, jetzt verstehe ich.
(a+b)² bedeutet, dass zwei mögliche Wege durch 2 Spalte gegeben sind. Bei (a+b+c)³ sind drei mögliche Wege durch 3 Spalte gegeben, so wie es die Experimentatoren aufgebaut haben.


Bei 3 möglichen Wegen lautet die Bornsche Regel zur Berechnung der Übergangswahrscheinlichkeit P

P ~ (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac +2bc

Wir haben also nach Born schon Interferenzen aller 3 Wege: aber immer nur paarweise !

Ja, aber nur dann, wenn man die Bornsche Regel zugrunde legt. Aber gerade die sollte ja erst durch das Experiment bestätigt werden. Wenn man es nur durch ein Minimum an Algebra belegen könnte, wäre dieses Experiment überflüssig gewesen.

M.f.G. Eugen Bauhof

Das Minimum an Algebra ersetzt nicht die Bornsche Regel sondern basiert darauf - setzt diese voraus.
Das genannte Experiment hinterfragt eben die Bornsche Regel, d.h. die Abhängigkeit der Wahrscheinlichkeit vom Quadrat der Amplitude - insofern macht es schon Sinn.

Bauhof
17.11.10, 18:12
Wir haben also nach Born schon Interferenzen aller 3 Wege: aber immer nur paarweise !

Hallo Hawkwind,

danke, jetzt ist die Sache klar.

Einen interessanten Ausblick dazu gibt Roger Penrose in seinem Buch [1] auf Seite 491:
Auch die Raumzeit-Nichtlokalität hängt grundlegend mit komplexen Zahlen und der ihnen entsprechenden Geometrie zusammen, so dass sich eine enge Beziehung zwischen den komplexen Zahlen einer U-Quantentheorie und denen der Raumzeitstruktur ergibt.

M.f.G. Eugen Bauhof

[1] Roger Penrose
Schatten des Geistes.
Heidelberg 1995. Spektrum Akademischer Verlag
ISBN=3-86025-260-7
http://www.amazon.de/Schatten-Geistes-Roger-Penrose/dp/3860252607/ref=sr_1_1?s=books&ie=UTF8&qid=1290013498&sr=1-1

SCR
18.11.10, 08:38
Einmal eine indiskrete Frage: Welche Form hatten denn Spaltwand und Detektor/Fotoplatte bei dem Versuch - Waren die flach?

JoAx
18.11.10, 11:38
Hallo zusammen!


Wir haben also nach Born schon Interferenzen aller 3 Wege: aber immer nur paarweise !


Hat dieses paarweise etwas mit Synchronität zu tun?

@SCR - Ich denke, dass sie flach sind.


Gruss, Johann

SCR
18.11.10, 11:50
Hi JoAx,
@SCR - Ich denke, dass sie flach sind.
dann hätten sie sich den Versuch aber schenken können.
(EDIT: Hatte ich wieder vergessen: IMHO)

Hintergründe:

Gegeben sei:
1. Eine euklidische Geometrie.
2. Eine Gerade. Dort drei ausgezeichnete Punkte (mit gleichem Abstand zueinander?). (= Spaltwand mit drei Durchlässen)
3. Eine weitere, zu 2. parallele Gerade (= Detektor/Photoplatte).

Die drei ausgezeichneten Punkte aus 2. stellen nun Mittelpunkte von Kreisen dar.

Man versuche, diese drei Kreise in Deckung zu bringen:
Bedingung a) Es gelte immer r1=r2=r3
Bedingung b) Der Schnittpunkt soll immer auf der Geraden aus 3. liegen.

-> Das funktioniert nicht: Du kriegst immer nur maximal zwei Kreise zur Deckung (Was durch den o.g. Versuch ja auch eindrucksvoll belegt wurde).

Mit geeigneten Hohlkugel-Ausschnitten (Krümmung und Positionierung muss auf den jeweiligen Versuchsaufbau abgestimmt sein) wäre das schon eher interessant gewesen - IMHO. Aber SCR hat von Quantenmechanik leider keine Ahnung und Geometrie nichts mit Quantenmechanik zu tun.

Hawkwind
18.11.10, 16:34
Hallo Hawkwind,

danke, jetzt ist die Sache klar.

Einen interessanten Ausblick dazu gibt Roger Penrose in seinem Buch [1] auf Seite 491:


M.f.G. Eugen Bauhof

[1] Roger Penrose
Schatten des Geistes.
Heidelberg 1995. Spektrum Akademischer Verlag
ISBN=3-86025-260-7
http://www.amazon.de/Schatten-Geistes-Roger-Penrose/dp/3860252607/ref=sr_1_1?s=books&ie=UTF8&qid=1290013498&sr=1-1


Hier gibt es übrigens kostenlos die Publikation samt genauer Beschreibung des Versuchaufbaus:

http://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1007/1007.4193.pdf

Wie wir hier bereits diskutiert hatten:


The next higher order, i.e. three-path interference term IABC, will be zero in
all wave theories with a square-law relation between the field energy (or probability density)
and field amplitude, which is the case in quantum mechanics with Born’s rule.


Gruß,
Hawkwind

Bauhof
18.11.10, 17:22
Hier gibt es übrigens kostenlos die Publikation samt genauer Beschreibung des Versuchaufbaus:

http://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1007/1007.4193.pdf

Gruß,
Hawkwind

Hallo Hawkwind,

leider reicht mein Englisch bei weitem nicht aus, um diese Publikation mit Gewinn zu lesen. Dein Zitat aus dem Artikel
The next higher order, i.e. three-path interference term IABC, will be zero in all wave theories with a square-law relation between the field energy (or probability density) and field amplitude, which is the case in quantum mechanics with Born’s rule.

habe ich mit dem Abacho-Übersetzer (http://www.abacho.de/uebersetzer/) ins Deutsche übersetzt und danach noch etwas korrigiert:

“Die nächsthöhere Ordnung, d. h. der Drei-Pfade-Interferenz-Term IABC, wird Null sein in allen Wellentheorien mit einer Quadratgesetzbeziehung zwischen der Feldenergie (oder Wahrscheinlichkeitsdichte) und der Feld-Amplitude, so wie es in der Quantenmechanik mit der Born-Regel der Fall ist.“

Ist das in etwa korrekt?

M.f.G. Eugen Bauhof

Hawkwind
18.11.10, 17:29
“Die nächsthöhere Ordnung, d. h. der Drei-Pfade-Interferenz-Term IABC, wird Null sein in allen Wellentheorien mit einer Quadratgesetzbeziehung zwischen der Feldenergie (oder Wahrscheinlichkeitsdichte) und der Feld-Amplitude, so wie es in der Quantenmechanik mit der Born-Regel der Fall ist.“
M.f.G. Eugen Bauhof

Das passt ganz gut, Eugen:

Wahrscheinlichkeit ~ Amplituden-Quadrat

ist die Ursache.

Gruß,
Hawkwind