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Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : Verständnis von Ko- und Kontravarianz


ohmed
25.12.10, 18:34
Hallo,

wenn man mit neuen mathematischen/physikalischen Strukturen bzw. Werkzeugen konfrontiert wird, beginnt man üblicherweise damit, die Definitionen und nachfolgenden Schritte formal nachzuvollziehen und sie in seinem eigenen Gehirn zu bahnen und einzuschleifen, in dem man sie benutzt und übt, bis irgendwann die mäandernden Denkschleifen an ihren Berührungspunkten durchbrechen und sich ein gerader starker Strom entwickelt und alles plötzlich einfach, klar und selbstverständlich erscheint. Das Aha-Erlebnis eben, ab dem man dann die Zusammenhänge versteht und „sieht“ und nicht mehr nur die Formeln formal hin und her rechnet. (Vergl. zur Bedeutung des "Verstehens" auch das amüsante (Nicht-Fach-)Buch von Richard P. Feynman: Surely you´re joking, Mr. Feynman!, den man aber fachlich nicht mehr fragen kann, weil er schon tot ist).
Kürzlich hat jemand eine Frage zu Ko- und Kontravarianz gestellt, die ich aber nicht mehr finden und deshalb auch nicht zitieren kann. Ich hätte ihm/ihr gerne Klarheit verschafft, bin aber leider selbst noch nicht so weit.
Natürlich kenne ich die formale Definition von Kovarianz und Kontravarianz über das Transformationsverhalten und kann auch die Rechenregeln finden, aber ich stecke im Moment noch im Formalen fest. Hat von denen, die darin bereits im gelobten Land des Verstehens jenseits des formalen Rechnens angekommen sind, jemand Lust und Zeit, zu versuchen, zu erklären, was es damit auf sich hat, welche Größen wann und warum ko- bzw. kontravariant sind und was an Physkalischem durch die Ko- bzw Kontravarianz repräsentiert wird?
Ich schreib das mal unter Schulphysik, weil ich denke, dass es zwar über die Schulphysik hinausgeht, aber doch interessant ist für die, die davon ausgehend, etwas tiefer in die Physik hineinschauen möchten, z. B. in die Topologie der SR und der AR.
Vielen Dank schon mal an jeden, der sich darüber Gedanken macht, v. a., weil er ja selbst vielleicht keinen eigenen Erkenntnisgewinn hat, selbst wenn es ihm gelingt, andere an seinem Aha-Erlebnis teilhaben zu lassen. Ich habe aber auch schon einige gute und geduldige erklärende Beiträge in diesem Forum gefunden, deren Autoren ich ebenfalls für die investierte Zeit danken möchte.

Grüße

Hawkwind
26.12.10, 12:02
Hier gibt es eine Vorlesung von Susskind dazu:
http://www.cosmolearning.com/video-lectures/covariant-and-contra-variant-indices/

Marco Polo
27.12.10, 03:21
Hi zusammen,

vielen Dank an Hawkwind für den genialen Link.

Selbst kann ich zu der Thematik auch nur recht wenig beisteuern. Zumindest wenn es um die ART geht. Wie bekannt sein dürfte, ist der Vierervektorformalismus dort unverzichtbar.

Was die SRT betrifft, soweit ich das verstanden habe, ist der Vierervektorformalismus ein mächtiges Werkzeug, um gewisse Problemstellungen einfach eleganter zu behandeln.

Unbedingt nötig ist er in der SRT aber nicht. Ich kann mich aber auch täuschen.

Betrachten wir z.B. das bekannte Raumzeitintervall.

l²=c²deltatau²=c²deltat'²-(deltax'²+deltay'²+deltaz'²)

Die Länge l des Raumzeitintervalls ist hiernach in allen Inertialsystemen gleich groß. Sie ist also bezugssysteminvariant oder auch lorentzinvariant.

Beim Vierervektorformalismus geht man folgendermaßen vor:

Es wird zunächst ein Skalarprodukt aus dem kontravarianten Zeit-Ortsvektor

X(hochgestelltes µ)=(ct,x,y,z)

und dem kovarianten Zeit-Ortsvektor

X(tiefgestelltes µ)=(ct,-x,-y,-z) gebildet.

Und zwar folgendermaßen:

(ct,x,y,z)(ct,-x,-y,-z)
= (ct)²-x²-y²-z²

Der kontravariante Vektor unterscheidet sich also vom kovarianten Vektor lediglich durch das Vorzeichen bei der ersten bis dritten Komponente.

Extrem wichtig in diesem Zusammenhang ist folgende Erkenntnis:

Das Skalarprodukt des Zeit-Ortsvektors mit sich selbst ist lorentzinvariant.

X(hochgestelltes µ)X(tiefgestelltes µ)=X'(hochgestelltes µ)X'(tiefgestelltes µ)

Es ist bei bestimmten Berechnungen also völlig wurscht, in welchem Inertialsystem ich diese Berechnungen durchführe. Warum ist das jetzt so extrem wichtig? Weil man dann eben bestimmte Berechnungen ganz einfach in dem Inertialsystem durchführt, in dem gewisse Größen gleich Null sind, was eine nicht zu unterschätzende Vereinfachung darstellt.

X(hochgestelltes µ)X(tiefgestelltes µ)=X'(hochgestelltes µ)X'(tiefgestelltes µ)

ist also die mathematische Formulierung des Sachverhaltes, dass das Quadrat des Raumzeitintervalles lorentzinvariant ist.

Jeder, der schon mal mit dem Energie-Impulsvektor, der Vierergeschwindigkeit und der Viererbeschleunigung gerechnet hat, wird die Vorzüge dieses Sachverhaltes zu schätzen wissen.

richy
27.12.10, 11:46
Hi
Nach Marcos Beispiel waeren kovariant und kontravariant in der alten komplexwertigen Notation einfach ein Vektor und dessen konjungiert komplexes Gegenstueck. Und x mal x* ergibt das Betragsquadrat. Nicht einfach das Quadrat sondern einen "Abstand".

Vektor A sei : a+j*b
Vektor A* ist dann : a-j*b (konjungiert komplex)

(a+j*b)*(a-j*b)=a^2+b^2, das Betragsquadrat, der Abstand

Bauhof
27.12.10, 14:53
... zu versuchen, zu erklären, was es damit auf sich hat, welche Größen wann und warum ko- bzw. kontravariant sind und was an Physkalischem durch die Ko- bzw Kontravarianz repräsentiert wird?

Hallo ohmed,

der Hintergrund von kovariant und kontravariant ist die Betrachtung der vierdimensionalen relativistischen Raumzeit. Sie kann durch Weltvektoren (Vierervektoren) beschrieben werden.

Man unterscheidet kontravariante und kovariante Vierervektoren. Die kontravarianten Vierervektoren transformieren sich unter Koordinatenwechsel. Kovariante Vierervektoren hingegen transformieren sich wie der Gradient einer Koordinateninvarianten. Kovariante und kontravariante Vierervektoren können durch Multiplikation mit der Metrik ineinander umgewandelt werden.

Diese Hinweise habe ich in der Quelle [1] unter dem Stichwort "Vierervektor" gefunden. Dort findest du eine ausführlichere Erklärung.

Invariante Quantitäten sind z.B. die Lichtgeschwindigkeit und die Raumzeitintervalle zwischen Ereignissen, die unabhängig von ihren relativen Geschwindigkeiten sind.
Gesetze und Gleichungen, die für alle Beobachter dieselben und unabhängig von ihren Geschwindigkeiten sind, nennt man kovariant.

M.f.G. Eugen Bauhof

[1] Lexikon der Physik. Band 5.
Heidelberg 2000. Spektrum Akademischer Verlag.
ISBN=3-86025-295-X
Für Abonenten von "Spekrum der Wissenschaft" ist das Lexikon online lesbar: http://www.wissenschaft-online.de/lexika

Mit freundlichen Grüßen
Eugen Bauhof

Hawkwind
27.12.10, 22:11
Hi
Nach Marcos Beispiel waeren kovariant und kontravariant in der alten komplexwertigen Notation einfach ein Vektor und dessen konjungiert komplexes Gegenstueck. Und x mal x* ergibt das Betragsquadrat. Nicht einfach das Quadrat sondern einen "Abstand".

Vektor A sei : a+j*b
Vektor A* ist dann : a-j*b (konjungiert komplex)

(a+j*b)*(a-j*b)=a^2+b^2, das Betragsquadrat, der Abstand

So ähnlich sehe ich das auch. In der SRT kommt man notfalls auch ohne metrischen Tensor und Unterscheidung zwischen kovarianten und kontravarianten Indizes aus. Allerdings reicht das nicht mehr aus für die ART.
Nach meinem Verständnis beziehen sich die Terme kovariant und kontravariant auch eher auf die Indizes als auf die Vektoren oder Tensoren selbst. Das ist - so denke ich - mehr Mathematik als Physik: ein und denselben 4-Vektor kann ich mittels kontra- oder auch kovarianten Indizes beschreiben - Tensoren auch mit gemischten Indizes. Letztlich erlaubt diese Unterscheidung dann auch die sehr kompakte Notation Einsteins einzuführen (Summenkonvention über gleich benannte ko- und kontravarinate Indizes, Verjüngung von Tensoren etc.). Vektoren selbst sind nicht kontra- oder kovariant, sondern die Art der indizierung, die ich verwende.
Lasse mich aber auch gerne eines Besseren belehren.

Bauhof
28.12.10, 16:28
Das ist - so denke ich - mehr Mathematik als Physik: ein und denselben 4-Vektor kann ich mittels kontra- oder auch kovarianten Indizes beschreiben - Tensoren auch mit gemischten Indizes. Letztlich erlaubt diese Unterscheidung dann auch die sehr kompakte Notation Einsteins einzuführen.
Hallo Hawkwind,

ja, das ist (leider) mehr Mathematik als Physik. In einem älteren Physik-Lexikon habe ich nun etwas gefunden, was diese Auffassung nahelegt, siehe PDF-Anhang.

Vielleicht kannst du (oder jemand anders) daraus etwas Physikalisches destillieren, das auch für einen mathematischen Laien (wie mich) verständlich ist.

M.f.G. Eugen Bauhof

JoAx
03.01.11, 15:13
Hallo und Gruss im neuen Jahr 2011!

Ich habe auch schon darüber gegrübbelt, was ko- und kontravariant bedeutet. Hier ein paar Gedanken, die u.a. auch aus dem Video mit Susskind resultieren. (Ob die passen, laienhaft formuliert?)

Das alles hat ja etwas mit Koordinatentransformationen zu tun. Diese müssen prinzipiell nicht gleichgerichtet sein, und im Extremfall zeigen die entsprechenden Achsen eines K' Systems genau entgegengesetzt zu denen im K System. Z.B.:

K:
x - zeigt nach Rechts
y - ... Oben

K':
x' - ... Links
y' - ... Unten

Nennen wir das K System "kovariant", dann wäre das K' System "kontravariant". (?)

Andererseits, wenn die Koordinatensysteme gleichgerichtet sind, und z.B. K' sich relativ zu K bewegt, dann bewegt sich K relativ zu K' kontravariant.

?


Gruss, Johann

ohmed
05.01.11, 00:04
Hallo alle zusammen,

ich komme mit diesem Programm hier technisch noch nicht ganz zurecht. Da meine ganzen schönen griechischen Zeichen und Indizes sich beim Kopieren in dieses Feld drastisch verändert haben, hänge ich den Text eben als PDF an. Ich hoffe, das ist auch ok.
http://www.quanten.de/forum/images/smilies/wink.gif
Grüße

Marco Polo
05.01.11, 01:53
Hallo ohmed,

mich würde mal interessieren, warum dir die Fragestellung nach der ko- und kontravarianz so sehr am Herzen liegt.

Bist du denn in der SRT bereits so weit fortgeschritten, dass du dich mit den Vierervektoren beschäftigen möchtest?

Auszug aus deiner pdf-Datei:
Entschuldigt auch, dass ich hier einfach so vor mich hin geschrieben habe. (Ich sehe dich, Marko Polo vor meinem inneren Auge schon schimpfen: Dreht diesem elenden Schwätzer doch endlich den Hahn ab!).

Wie komme ich denn jetzt zu dieser zweifelhaften Ehre?

ohmed
05.01.11, 20:12
Hallo Marco Polo,

zu deiner letzten Frage (ich hab leider immer noch nicht geschnallt, wie man diese sauber gerahmten Zitate einsetzt, intuitiv klappt´s bei mir nicht, sogar mein Smiley, den ich vom Tablett rübergezogen habe, ist, aus mir unerfindlichen Gründen, nur als Link zu sehen):

Ich habe vor einiger Zeit einen kurzen „Thread“ gelesen, den ich aber nicht mehr finden kann, in dem jemand sich ebenfalls über ko- und kontravariante Größen Gedanken gemacht hat und mir ist so – ich hoffe, ich habe dich in meiner Erinnerung nicht mit jemand anderem verwechselt – als ob du dich, so etwa im 4. oder 5. Beitrag, in obigem Sinne geäußert hättest.
Meine Bemerkung war übrigens keineswegs aggressiv dir gegenüber gemeint, sondern selbstironisch mir selbst gegenüber. War damals (wenn´s stimmt) vielleicht etwas insensibel von dir, aber jetzt bei mir hatte ich an dieser Stelle in meinem Text selbst das Gefühl, dass dieser Ausspruch nicht ganz unangebracht wäre. In meinem Fall hätte ich gelacht und gesagt: Ok, Marco, du hast ja so recht, was ich schreibe, ist einfach zu konfus. Ich muss mich erst selbst mal richtig damit befassen und meine Brocken ordnen, bevor ich aus Bequemlicheit andere damit behellige. Selber denken macht schlau!

Zur Frage davor, warum ich so an Ko- und Kontravarianz interessiert bin:

Ich hab mein Brot in einem ganz anderen Gebiet ohne Physik und Mathematik verdient und hatte jetzt einfach Sehnsucht nach Physik satt. Da hab ich mich in diesem Semester erdreistet, einfach direkt in eine Vorlesung zur ART zu gehen. Auf jeden Fall ist es faszinierend. Mit Zusammensuchen der mathematischen Begriffe und Regeln aus Büchern und Internet und einzelnen mathematischen Fragmenten, die gelegentlich aus dem tiefen Urzeitschlick nach oben poppen, ist es mir nicht ganz unmöglich, dem Formalismus so weit zu folgen, wie ich bereit bin, den entsprechenden Aufwand zu investieren, aber halt irgendwie in Manchem nur wie eine mechanische Rechenmaschine. Auswendiglernen ist keine Wissensart, die mich wirklich interessiert, wenn´s als Mittel zum Zweck oft auch unvermeidlich ist. Ich träume, wahrscheinlich wie ihr alle auch, davon, die Zusammenhänge zu „sehen“. Bei ko- und kontravariant, was ja ziemlich am Anfang steht und eigentlich banal einfach sein sollte, aber seltsamerweise für mich schwerer zu „verstehen“ ist, als vieles, was später kommt, stehe ich „sehensmäßig“ einfach noch irgendwie auf dem Schlauch und da hab ich halt einfach mal gefragt.
Wenn man übrigens darauf im Internet eine Antwort sucht, stellt man fest, dass ich beileibe nicht der einzige bin, bei dem zu diesem Thema Fragen offen sind, so dass ich es auch für hinreichend allgemein interessant gehalten habe, um es in dem Forum zu „posten“.

Ich möchte diese Begriffe vorläufig noch nicht endgültig in der Schublade „Rechenformalismus, ggf. einfach akzeptieren“ ablegen. Ich will mir nach und nach vielleicht auch die Susskind lectures reinziehen (toller Tipp, nicht nur für die ART, herzlichen Dank an Hawkwind). Ist aber anstrengend wegen der zusätzlichen Sprachprobleme und dann nuschelt er manchmal auch noch, was zu kompensieren für seine muttersprachlichen Studenten natürlich viel leichter ist, als für meinereins.
Bevor ich „weiterposte“, will ich jetzt erst mal gelassen wieder etwas abwarten, was sich vielleicht ko- oder kontravariant in meinem Kopf noch zurechtrüttelt.

Vielen Dank und Grüße, ohmed

Marco Polo
05.01.11, 23:18
Hallo ohmed,

sehe ich das richtig, dass du einfach mal so eine ART-Vorlesung besucht hast, ohne Vorkenntnisse in der SRT und ohne Vorkenntnisse in Differentialgeometrie?

Das kann nicht klappen, glaube es mir. Zumindest ist es die falsche Herangehensweise.

Sollte es so sein wie ich vermute, dann wäre deine Fragestellung nach der Ko- und Kontravarianz reichlich verfrüht.

Man muss sich bei der RT normalerweise Schritt für Schritt heranarbeiten. Zumindest als Nichtphysiker. Ein Physiker könnte natürlich direkt mit der ART beginnen, da er das entsprechende Rüstzeug i.d.R. bereits mitbringt.

Sei es wie es sei.

ohmed
06.01.11, 18:32
Hallo Eugen Bauhof,

vielen Dank! (An die Quelle des Zitats zur weiteren Ausführung komme ich im Moment leider nicht heran.)

(Hallo, auch Marco Polo auf dem anderen Ast des "Threads". Du siehst, ich hab´s doch nur ein paar Stunden ausgehalten, stille zu sein, ist aber auch alles so spannend, wenn man erst mal damit angefangen hat. Ich kann´s halt auch nicht haben, wenn etwas angefangenes herumliegt.)

Ich fasse in einem angehängten pdf nochmals etwas zusammen, was ich mir bis jetzt zusammengereimt habe. Vielleicht steckt aber doch noch mehr dahinter!?
(Ich habe dieses Mal schon versucht, alle Sonderzeichen zu vermeiden, weil ich sie nicht in dieses Textfenster reinkriege, aber da ich auch Hoch- und Tiefstellung von Indizes nicht übertragen kann, bleibt mir bei diesem speziellen Problem nichts anderes als ein Anhang übrig. Diese Auslagerung hat zudem noch den angenehmen Nebeneffekt, dass mein Eintrag hier deutlich schlanker erscheint und man sich noch einmal überlegen kann, ob man wirklich mehr lesen möchte.)

Grüße, ohmed

PS.: Ich grüble jedesmal auch etwas an deinem Postscript herum.

Hawkwind
06.01.11, 20:40
Das sieht mir auf den 1. Blick alles ganz plausibel aus, was du da geschrieben hast.
Kompliment und Gruß,
hawkwind

eigenvector
06.01.11, 23:37
Also was man in Bezug auf Ko- und Kontravarianz meiner Meinung nach "verstehen" kann ist das folgende.
Man stelle sich irgendein krummlieniges Koordinatensystem vor und in diesem Koordinatensystem einen Vektor im Tangentialraum von irgendeinem Punkt von diesem Koordinatensystem. Es gibt dann zwei verschiedene Basen, in denen man diesen Vektor angeben kann. Einmal in Basisvektoren, die tangential zu den Koordinatenlinien verlaufen, dann ist es ein kovarianter Vektor. Und zum anderen in Basisvektoren, die normal zu Koordinatenflächen verlaufen (also senkrecht auf denen stehen), dann ist es ein kontravarianter Vektor.

Ich hab mal versucht das für den zweidimensionalen Fall zu skizzieren.

Bauhof
07.01.11, 10:32
Hallo Eugen Bauhof, vielen Dank! (An die Quelle des Zitats zur weiteren Ausführung komme ich im Moment leider nicht heran.) Grüße, ohmed
PS.: Ich grüble jedesmal auch etwas an deinem Postscript herum.
Hallo ohmed,

mit Postscript meinst du vermutlich den Anhang nach dem Querstrich. Das ist kein Postscript, sondern meine Signatur. Die kann man im Kontrollzentrum hinterlegen, dann wird sie bei jedem Beitrag hinzugefügt.

Einstein will damit ausdrücken, dass die Ursache der Gravitation keine Kraft ist, die von der Erde herrührt.

M.f.G. Eugen Bauhof

P.S.
Bei jedem Beitrag gibt es rechts unten zwei Buttons: (Ändern) und (Zitieren). Probier es aus.

ohmed
07.01.11, 13:07
Vielen Dank, Hawkwind
und v. a. Eigenvector für deine Erklärung!

So einfach und klar! Ich hoffe, du gehörst bereits oder demnächst zu denen, die Vorlesungen halten und Bücher schreiben. Vielleicht könntest du das auch in den entsprechenden Wikipediaartikel einsetzen?
Das ist einer dieser "Nebensätze", die in Vorlesungen oder Schriften leicht der Kürze zum Opfer fallen oder vielleicht auch überhört/überlesen werden und für die es dann die Seminare (ersatzweise Foren) braucht, wo man so lange drüber reden kann, bis der Groschen gefallen ist.

Grüße, ohmed

eigenvector
07.01.11, 13:33
Vielen Dank, Hawkwind
und v. a. Eigenvector für deine Erklärung!

So einfach und klar! Ich hoffe, du gehörst bereits oder demnächst zu denen, die Vorlesungen halten und Bücher schreiben.
Noch beschränke ich mich darauf Bücher zu lesen und Vorlesungen zu hören :D

Vielleicht könntest du das auch in den entsprechenden Wikipediaartikel einsetzen?
Im "richtigen" Wikipediaartikel ist das sogar erwähnt, nämlich in diesem hier: http://en.wikipedia.org/wiki/Curvilinear_coordinates#Covariant_and_contravarian t_bases.
Die deutsche Wikipedia dagegen boykottiere ich so ein bisschen, weil mir die Mentalität der dortigen Administratoren missfällt, im zugehörigen deutschen Artikel findet man das leider nicht so explizit.

ohmed
08.01.11, 10:11
Hallo,

vielleicht doch noch eine kleine Frage:

Gibt es so etwas wie eine "einsichtige Faustregel" dafür, bei welchen Gelegenheiten bzw. zu welchen Zwecken man zweckmäßigerweise die kovariante und wann die kontravariante Formulierung einer Größe verendet?

Grüße, ohmed

Hawkwind
08.01.11, 10:21
Hallo,

vielleicht doch noch eine kleine Frage:

Gibt es so etwas wie eine "einsichtige Faustregel" dafür, bei welchen Gelegenheiten bzw. zu welchen Zwecken man zweckmäßigerweise die kovariante und wann die kontravariante Formulierung einer Größe verendet?

Grüße, ohmed

Ein Freudscher Verschreiber ? :)
Gibt es meinen bescheidenen Kenntnissen nach nicht. Das macht man, wie man es braucht. Wenn man die Einsteinsche Summenkonvention verwendet, muss man die Indizes halt entsprechend so einrichten, dass der Summationsindex mal oben und mal unten steht.
Gruß,
Hawkwind

ohmed
09.01.11, 10:38
Danke Hawkwind,

ich wollte mich nur noch einmal vergewissern.
- Aber ein letztes Geheimnis bleibt ja doch immer in allen Dingen.

Grüße,ohmed