Verständnis von Ko- und Kontravarianz

[SCR]

Hallo ohmed,
Hat von denen, die darin bereits im gelobten Land des Verstehens jenseits des formalen Rechnens angekommen sind, jemand Lust und Zeit, zu versuchen, zu erklären, was es damit auf sich hat, welche Größen wann und warum ko- bzw. kontravariant sind und was an Physkalischem durch die Ko- bzw Kontravarianz repräsentiert wird?
1. Ich kann wahrlich nur ganz schlecht rechnen -> Ich bin demnach nicht der, den Du suchst.
2. Wie dem auch sei: Hast Du Dich schon mit dem Thema der Basis / der Basen von Vektorräumen im allgemeinen beschäftigt?

[SCR]

Hallo zusammen,
mich würde mal interessieren, warum dir die Fragestellung nach der ko- und kontravarianz so sehr am Herzen liegt.
Womöglich weil es ein (wenn nicht sogar der) zentrale Aspekt der ART ist?
Bist du denn in der SRT bereits so weit fortgeschritten [...]
Meiner Einschätzung nach ist er es.
Vielleicht findet man etwas Unmittelbareres in den ganz alten Schriften, vielleicht bei Einstein persönlich oder noch vor ihm, denn wer die Begriffe erfunden hat, hat dabei möglicherweise auch über den reinen Rechenformalismus hinaus ein physikalisches Bild vor Augen gehabt entsprechend dem er dann das neue Wort aus lateinischen Vokabeln zusammengestellt hat.
Sehr guter Ansatz!

[SCR]

Hallo eigenvector,
Also was man in Bezug auf Ko- und Kontravarianz meiner Meinung nach "verstehen" kann ist das folgende.
Man stelle sich irgendein krummlieniges Koordinatensystem vor und in diesem Koordinatensystem einen Vektor im Tangentialraum von irgendeinem Punkt von diesem Koordinatensystem. Es gibt dann zwei verschiedene Basen, in denen man diesen Vektor angeben kann. Einmal in Basisvektoren, die tangential zu den Koordinatenlinien verlaufen, dann ist es ein kovarianter Vektor. Und zum anderen in Basisvektoren, die normal zu Koordinatenflächen verlaufen (also senkrecht auf denen stehen), dann ist es ein kontravarianter Vektor.
Es gilt meines Wissens in der Physik:
Koordinatenvektoren von Vektoren sind kontravariant (= transformieren entgegengesetzt zur Basis), Koordinatenvektoren von Kovektoren kovariant (= transformieren wie die Basis).
[Anmerkung: In der Differentialgeometrie sind die Basen unter Koordinatenwechsel kovariant, die dualen Basen kontravariant]

Falls Du das liest - Ich hätte eine Bitte an Dich:
Könntest Du ohmed bitte ausrichten, er möge sich Literatur besorgen, in denen die Begriffe kontra- und kogredient (in nachvollziehbarer Weise) ver-/angewendet werden?
Das könnte ihm evtl. weiterhelfen (Ich könnte mir vorstellen, der ortsabhängige Metriktensor der ART bereitet ihm möglichweise "seine Kopfschmerzen").
Mir hatte das zumindest sehr geholfen. Danke!

[ohmed]

Hallo SCR,

vielen Dank auch für deine Hinweise und Anregungen!

Ich hoffe, es stört niemanden, wenn ich in einem Physikforum hier jetzt mal etwas von der reinen Physik abschweife? Ggf. bitte ich um eine entsprechende Abmahnung, da ich mich selbstverständlich an die Regeln halten möchte.

Da ich umständebedingt einen ziemlich direkten und chaotischen Weg zu der Sache gewählt habe, statt eines systematischen Aufbaus*), brauche ich im Moment jetzt mal wieder eine kleine Konsolidierungsphase, damit sich das Ganze wieder setzen und ich die Anregungen bedenken kann.

Alles werde ich sowieso nie verstehen. Das ist aber auch nicht nötig. Physik ist einerseits ein solider Beruf, vielleicht sogar eine Berufung und darüber hinaus für alle etwas, um unsere kurze Weltlinie interessant zu gestalten, aber sie macht uns nicht unsterblich und auch sie gibt uns nicht die Möglichkeit, unsterbliches Wissen zu schaffen. Wer sich mit Kosmologie befasst, kennt ja die Wege von Materie und Energie und kann sich wirklich keine Illusionen darüber machen, was von uns denkenden Flöhen auf einem kleinen Planeten und unseren Grübeleien in einen kosmologisch sehr kurzen Zeitintervall noch übrig sein wird und dass unser "Informationsschatz" schon allein aus energetischen Gründen "spurlos" wieder im kosmischen Rauschen verschwinden wird.
Das Allerfaszinierendste in diesem Sinne ist für mich das, was ich mal die horizontale und vertikale Fraktalität des Kosmos nennen möchte, dass man nämlich in allen seinen Aspekten, von der Physik über die Chemie, Kristallologie und Biologie bis hin zur Soziologie und Politik (horizontal) und beim Großen und Kleinen (vertikal) immer die gleichen einfachen Grundprinzipien zu erkennen meint, natürlich jeweils in ganz unterschiedlichen "Sprachen" geschrieben, wobei die Unterschiedlichkeit der "Sprachen" prinzipiell nicht nur horizontal, sondern z. T. auch vertikal gilt.
Natürlich ist mir klar, dass diese Behauptung in der Physik gegenwärtig vielleicht etwas fragwürdig erscheint, da es erhebliche Probleme macht, die (vorläufigen!) Sprachen für das Große und das Kleine so elementar und damit auch zu einander kompatibel zu machen, dass man die Grundprinzipien eindeutig erkennen und vergleichen kann. Aber nicht umsonst ist es die Sehnsucht aller Physiker, die QM bzw. QED und die ART in einer gemeinsamen Sprache zusammenzuführen, auch wenn man dabei offenbar inzwischen in der elenden Situation ist, dass die Theorien schon aus energetischen Gründen nicht mehr experimentell zu überprüfen sind. Manche höhnen da ja schon vom Ende der soliden Physik und dem Übergang zu einer phantasiereichen Science Fiction, weil Theoreme beliebig und damit wissenschaftlich eigentlich belanglos sind, wenn es von vorne herein aus übergeordneten Gründen keine Möglichkeit gibt, sie zu überprüfen, d.h. ggf. zu widerlegen. Ein Naturgesetz bzw. seine Formulierung gilt ja immer nur vorläufig (ich denke das ist Konsens), und nur dadurch, dass sie (noch) nicht widerlegt worden ist. Ein positiver Beweis eines Naturgesetzes ist erkenntnistheoretisch im eigentlichen und absoluten Sinne niemals möglich! Nun ja, ich hoffe einfach mal das Beste für die Physik und die Wissenschaft im Allgemeinen. Um da ganz oben mitzudenken, hab ich leider sowieso nicht genug drauf.

Grüße, ohmed


*)
Dieses Prinzip ist übrigens m. E. nicht so ganz von vorne herein sinnlos und auf machen Gebieten eine ganz moderne und erfolgreiche Zugangsmethode, z. B. bei der Gensequenzierung. Anfangs hat man ja vorgehabt, sich ein Chromosom nach dem anderen vorzunehmen und es dann schön ordentlich Base für Base von einem zum anderen Ende hin zu analysieren. Dauert fast ewig!
Inzwischen sind aber bereits die Gene von zahllosen Spezien sequenziert und es gehört bereits zur medizinischen Routine, bestimmte Krankheiten anhand der veränderten Basensequenz in den Genen zu diagnostizieren. Geschafft hat man das dadurch, dass man die DNA der Chromosomen in kleine Stücke "zerhackt", diese völlig unsystematisch (d. vielfach parallel) sequenziert und die erhaltenen kurzen Gensequenz-Stücke dann von Computern mit Hilfe ihrer Überschneidungen zusammensetzen lässt.
Ganz Analoges passiert ja schon seit Urzeiten auch bei den faszinierenden biochemischen Abläufen in allen lebenden Organismen, nämlich, dass sich zusammenpassende Strukturen (inklusive der Biokatalysatoren) im "Großen See" unnummeriert finden.
Unser Gehirn ist schließlich auch ein ziemlich leistungsfähiger Computer, in dem die zusammenpassenden Enden der Informationsbruchstücke des Inputs eine gewisse Affinität haben, sich zu finden und zu verbinden. Prinzipiell schöner und letztlich wahrscheinlich auch erfolgreicher ist es aber wahrscheinlich doch systematisch.