Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : Theoretische Umdeutungen wegen Rechenfehler?
Nehmen wir an, eine Hausfrau will Apfelkuchen backen. Zum Belegen des Kuchens zwei-, drei- oder vierteilt sie die Äpfel nach Augenmaß. Ob dabei die einzelnen Apfelteilstücke exakt gleich groß sind, bleibt unerheblich.
Vollziehen wir die selben Teilungen mathematisch, stellen wir fest, dass sich unser Apfel, die 1, zwar exakt durch 2 und 4, nicht aber exakt durch 3 teilen lässt. Dass diese Teilungen unterschiedlich exakt sind, können wir leicht dadurch überprüfen, dass sich Halbe und Viertel quasi "passgenau" wieder zur 1 zusammenfügen lassen - nicht aber die Drittel: hier ist ein kleines Stückchen unseres Apfels "verloren gegangen".
Denkend dagegen können wir unseren Apfel wiederum ohne Mühe in beliebige Teilstücke zerlegen und zusammenfügen - alle Teile sind immer exakt gleich groß und lassen sich auch passgenau wieder zusammenfügen.
Dieses kleine Gedankenspiel führt uns zu dem fundamentalen Problem, dass sich Rechnen und Denken bezüglich ihrer Exaktheit unterscheiden: Exakt gedachte Sachverhalte lassen sich nur zum Teil auch exakt berechnen. Die Ursache dieser unterschiedlichen Exaktheit liegt im Wesen der Zahlen begründet, also der Art und Weise, wie Zahlen als Axiome postuliert werden.
Nun könnte man annehmen, dass diese unterschiedliche Exaktheit lediglich für spitzfindige Erkenntnistheoretiker von Belang sei - die Welt kann mit diesen marginalen Ungenauigkeiten bestens leben. Und in der Tat bleiben diese unterschiedlichen Exaktheiten nicht nur beim Kuchenbacken ohne Relevanz: Selbst beim Bau von Flugzeugen und Atomkraftwerken sind derlei Ungenauigkeiten für deren Funktionieren unerheblich.
Allerdings werden diese Eigenschaften der Zahlen dort in zweifacher Hinsicht von Bedeutung, wo Berechnungen mit extrem kleinen oder extrem großen Zahlen erfolgen, in der Welt der Atome und der Welt der Sterne: Zum einen führen diese Ungenauigkeiten in Mikro- und Makrophysik zu Verfälschungen errechneter Ergebnisse, zum anderen – und das ist vermutlich noch gravierender – errichten sie (rechnerisch) unüberwindbare Barrieren, die zu schwerwiegenden theoretischen Fehler führen können. Um unser obiges Beispiel wieder zu bemühen: Eine auf Berechnungen basierende Theorie würde zu dem Ergebnis führen, dass die Drittel nie ein Ganzes ergeben können – ein Fehler, der beim Denken nicht zustande kommt.
Wir gelangen daher zu der aus gegenwärtiger wissenschaftlicher Sicht paradoxen Einsicht, das in diesen Bereichen der Physik theoretische oder auf reale Sachverhalte bezogene Aussagen desto fehlerhafter sein können, je mehr sie auf Berechnungen basieren!
Für die physikalische Forschung und Lehre in diesen Bereichen hat dies zur Folge, dass Theorien, Formeln, Lehrsätze etc. die auf Berechnungen, d.h. Zahlen basieren, zumindest teilweise korrigiert bzw. umgeschrieben werden müssen – und: In Makro- und Mikrophysik öffnen sich damit Türen zu neuen Welten.
Dieser Text will - kurz gesagt - zweierlei darlegen:
1. Entgegen landläufiger Meinung ist die Mathematik nicht so exakt, wie angenommen (was sich allerdings nur bei wirklich großen/kleinen Zahlen auswirkt)
2. Theorien, die auf mathematischen Berechnungen basieren, schaffen (rechnerisch) theoretische Hürden, woe es keine gibt. In meinem Beispiel würde ein mathematisch begründeter Lehrsatz eben lauten: 3 Drittel ergeben nie ein Ganzes, sie mögen sich ihm noch so annähern (0,9999999... werden eben nie 1). Das hat vermutlich viel weitreichendere Konsequenzen als wir auf Anhieb erkennen können und wird vermutlich zu einigem Umdenken in Mikro- und Makrophysik führen.
Auf dieses Problem bin ich allerdings nur deshalb gestoßen, weil ich, wie bereits gesagt, an einem Welterklärungsmodell bastle, dass Geist und Materie gleichermaßen berücksichtigt, da mir die momentan von unseren Physikern postulierten und auf materialistischen Annahmen berechneten Modelle als nur bedingt tauglich scheinen. Um nun den Widerspruch zwischen einiger meiner Annahmen und bestehenden physikalischen Leitsätzen zu klären, habe ich letztere genauer analysiert und bin auf dieses Problem gestoßen.
Als Bild greife ich zur Veranschaulichung gerne auf das Schachspiel zurück. Wie das Schachspiel besteht die Mathematik aus einem in sich geschlossenen System aus Axiomen (z. B. den einzelnen Zahlen) und Zugregeln (in der Mathematik die Operatoren, also Addition, Division usw.). Nur als System auf sich selbst angewandt, funktioniert das Schachspiel perfekt. Weniger perfekt funktioniert es jedoch, wenn ich mit der Zugregel für die Dame beispielsweise menschliches Gehen erklären will - das geht eben nur bedingt gut. Und genau darin liegt der Mangel der Mathematik: Dieses in sich geschlossenen System wird auf die Welt übertragen und das taugt eben nur für unsere "Lebewelt", auf die ganz kleinen und ganz großen Bereiche der Physik übertragen führt diese Übertragung zu Fehlern.
eigenvector
11.03.11, 19:14
Vollziehen wir die selben Teilungen mathematisch, stellen wir fest, dass sich unser Apfel, die 1, zwar exakt durch 2 und 4, nicht aber exakt durch 3 teilen lässt.
Was ist ein mathematisch exakter Apfel?
Und weshalb kann ich den exakt durch 2 Teilen?
Was meint dabei eigentlich exakt und wieso ist das drittel nicht exakt?
0,9999999... werden eben nie 1.
Doch, 0,999... ist genau 1.
Vollziehen wir die selben Teilungen mathematisch, stellen wir fest, dass sich unser Apfel, die 1, zwar exakt durch 2 und 4, nicht aber exakt durch 3 teilen lässt.
1:3=1/3
1/3+1/3+1/3=3*1/3=1
Scheint exakt zu funktionieren. :confused:
Gruss, Johann
Hi Winter
Du gehst davon aus, dass eine Dreiteilung nicht exakt moeglich sei, weil die Dezimaldarstellung unendlich viele Nachkommastellen benoetigt. Das liegt alleine am Dezimalsystem. 1/3 ist eine rationale Zahl. Die Dreiteilung eines Apfels, Kreises ist sogar besonders einfach.
Du nimmst den halben Radius und traegst diesen als Kreise ueber den Umfang ab. Der passt genau 6 mal rein (Ausgangspunkt waere ein Kreis mit dem Radius vom Mittelpunkt des roten Kreises zu dem Mittelpunkt eines grauen Kreises) :
http://www.mathematische-basteleien.de/kubokta16.gif
Jetzt laesst du jeden zweiten Schnittpunkt weg und schon hast du eine perfekte Dreiteilung.
Das rechte Bild zeigt eine zweite Loesungsmoeglichkeit.
Fuer irrationale Zahlen wie Wurzel(2) gibt es tatsaechlich in jedem Zahlensystem keine endliche Darstellung, ausser in einem irrationalen. Man kann jedoch immer zwei gleiche Strecken den Betrag 1 zuordnen und im Winkel von 90 Grad anordnen. Die Diagonale ist dann Wurzel(2). Nur waere diese Verbindung im quantisierten Fall keine Gerade sondern eine Treppenfunktion. Dann waere es aber genau umgekehrt wie bei deiner Annahme. Die Beschreibung ginge von einer Genauigkeit aus die in der Physik nicht realisierbar waere.
ANders ausgedrueckt : Die Beschreibng beruecksichtigt nicht alle Gegebenheiten.
Doch, 0,999... ist genau 1.
Yepp aber nur wenn man tatsaechlich unendlich viele Nachkommastellen annimmt.
Ueber die geometrische Reihe erhaelt man dann z.B 3/(10-1)
In einem ternaeren System (Dreiersystem), also mit drei Ziffern 0,1,2 waere 0.333333_dez... gleich 0.1_ter Die Anzahl Dezimalstellen haengt bei rationalen Zahlen somit vom Zahlensystem ab.
Eine Frage waere zum Beispiel ob unendlich viele natuerlich Zahlen existieren und es hier immer physikalische Gegenstuecke gibt. Letzendlich ob z.B. die Raumzeit quantisiert ist. Aber diese Frage ist nicht neu und auch die Mathematiker wissen nicht genau ob es unendlich viele natuerliche Zahlen gibt. Dass man stets eins dazuzaehlen kann ist kein wirkliches Argument. Betrachtet man OO faelschlicherweise als Zahl kann man eins dazuzaehlen aber es aendert sich nichts. Wenn man eine unendliche Zahlengerade z.B. als Kreis in der komplexen Ebene betrachtet so gibt es keine bevorzugte Stelle eines Grenzueberganges. Deshalb meinte Gauss oder Penrose wohl auch, dass die geometrische Reihe fuer alle q konvergiert. Im Grunde ist auch 0.33333..... ein Beispiel, dass eine unendliche Groesse (die Anzahl Nachkommastellen) lediglich durch die Beschreibung verursacht wird. Genauso wie bei Achilles und der Schildkroete. Auch dort folgt die exakte Loesung aus der geometrischen Reihe.
eigenvector
12.03.11, 10:20
Yepp aber nur wenn man tatsaechlich unendlich viele Nachkommastellen annimmt.
Was aber die einzig übliche mathematische Konvention ist.
Wenn ich die Diskussionen hier verfolge, fallen mir zwei Dinge auf:
A. Es wird darüber debattiert, ob und wie 0,333 (periode) bzw. 1/3 1 ergeben. Dazu nochmals folgende Hinweise:
1. 0,333 (Periode) ist nicht 1/3, denn ersteres ist eine Zahl, letzteres nicht!
(1/3 besteht aus den Zahlen 1 und 3 sowie dem Operator: Division)
2. Dass 0,999 (Periode) eben nicht 1 sind, läßt sich wie folgt erklären
a (einfacher Weg) logisch: die beide Zahlen sind nicht nur nicht identisch, sondern noch nicht einmal gleich
b. (etwas komplizierter, wiel indirekt) durch die mathematische Grenzwert-Definition (siehe Wikipedia):
Weil die Annäherung innerhalb des bei diesem Verfahren postulierten Intervalls (a-\varepsilon,a+\varepsilon) für \varepsilon>0 eben immernoch unendlich viele Zahlen (im Gegensatz zu den endlichvielen außerhalb!!!) erfordert - ohne je den Grenzwert exakt zu erreichen - haben sich die Mathematiker mit dem Münchhausen-Effekt beholfen: wo logische Argumente fehlen, wird einfach per definitionem festgelegt ("des isch halt so...", die adäquate schuttertäler Übertragung dieses Verfahrens!), daß der Grenzwert erreicht werde - wahrlich mehr Mufti-Spruch denn Beweis!
Interessant dabei: Um diese Definition überhaupt aufstellen zu können, wurde die Exaktkeit des Denkens als "Richtschnur" für die Rechnerei benutzt, also die rechnerisch nicht erreichbare Grenzzahl a muß zunächst vorgedacht werden (siehe verlorene Münze des Cusanus)! Und genau das ist ja meine These: Die Mathematik ist eben nicht exakt, nur das Denken ist es.
Allein die Notwendigkeit dieser Definition beweist im Grunde ja meine Annahme, dass es diese unüberbrückbare Diskrepanz zwischen Grenz- und Annäherungswerten gibt. Und eine rechnerische Lösung scheitert prinzipiell daran, dass diese Diskrepanz eben nicht durch die mathematischen Operatoren, sondern durch das Wesen der Zahlen (pardon, philosophische Definition) / die axiomatische Definition der Zahlen vorgegeben wird - und nur dadurch geändert werden kann, dass wir uns eine Mathematik mit neuen Zahlen ausdenken.
B. Die Folgen für die Theoriebildung
Weil diese Grenzwerte willkürlich (d.h. unlogisch) lediglich zur rechnerischen Vereinfachung festgelegt werden, dürfen sie uns nicht zu theoretischen Grezziehungen werden: Diese "berechneten" Grenzen (bzw. die damit zusammenhängeneden mathematischen Definitionen) führen in der Physik zu falschen Theorien - was rechnerisch stimmt, ist eben nicht immer auch logisch wahr.
Nochmals zusammengefaßt:
Für den "Hausgebrauch" der Mathematik mag das Problem mit der Grenzwert-Definition erledigt sein - auf die Physik übertragen resultieren daraus methodische Probleme:
Theoretische Aussagen können fehlerhaft sein, wenn sie auf Berechnungen basieren, weil die Mathematik nich immer exakt ist!
Bitte bedenkt diesen Satz gründlich und macht Euch klar, was das bedeutet: So könnte beispielsweise Einsteins Behauptung, dass keine Masse auf Lichtgeschwindigkeit beschleunigt werden kann, schlichtweg auf einem Rechenfehler beruhen!
(Bitte beachten "könnte"!, ich bin kein Physiker und mich interessieren eigentlich nur die theoretische Grundlagen und ihre logische Beweisbarkeit)
eigenvector
12.03.11, 16:44
Wenn ich die Diskussionen hier verfolge, fallen mir zwei Dinge auf:
A. Es wird darüber debattiert, ob und wie 0,333 (periode) bzw. 1/3 1 ergeben. Dazu nochmals folgende Hinweise:
Niemand debattiert darüber, es gibt höchstens Leute, die es noch nicht verstanden haben.
1. 0,333 (Periode) ist nicht 1/3, denn ersteres ist eine Zahl, letzteres nicht!
(1/3 besteht aus den Zahlen 1 und 3 sowie dem Operator: Division)
Nein, 1/3 ist eine perfekt wohldefinierte rationale Zahl.
2. Dass 0,999 (Periode) eben nicht 1 sind, läßt sich wie folgt erklären
a (einfacher Weg) logisch: die beide Zahlen sind nicht nur nicht identisch, sondern noch nicht einmal gleich
Die Zahlen sind nicht gleich, weil sie nicht gleich sind?
b. (etwas komplizierter, wiel indirekt) durch die mathematische Grenzwert-Definition (siehe Wikipedia):
Weil die Annäherung innerhalb des bei diesem Verfahren postulierten Intervalls (a-\varepsilon,a+\varepsilon) für \varepsilon>0 eben immernoch unendlich viele Zahlen (im Gegensatz zu den endlichvielen außerhalb!!!) erfordert - ohne je den Grenzwert exakt zu erreichen - haben sich die Mathematiker mit dem Münchhausen-Effekt beholfen: wo logische Argumente fehlen, wird einfach per definitionem festgelegt ("des isch halt so...", die adäquate schuttertäler Übertragung dieses Verfahrens!), daß der Grenzwert erreicht werde - wahrlich mehr Mufti-Spruch denn Beweis!
Mir scheint, hier hat jemand nicht verstanden, was ein Grenzwert ist.
Ich finde die Diskussion "0,999... = 1" ist unter dem Niveau dieses Forums.
Ich finde die Diskussion "0,999... = 1" ist unter dem Niveau dieses Forums.
Da hast du recht.
Mir scheint, da will wohl jemand die Korrektheit von Differential- und Integralrechnung anzweifeln. Was soll der Bloedsinn ?
[...]
(Bitte beachten "könnte"!, ich bin kein Physiker und mich interessieren eigentlich nur die theoretische Grundlagen und ihre logische Beweisbarkeit)
winter!
Es wird wohl besser sein, wenn du dich damit an einen Nichtphysik-Forum
wendest. An einen Forum, wo jeder von eigener philosophisch-logischer
absoluter Unfehlbarkeit, bei gleichzeitigem Zugeben, in der Mathe eine
absolute Null zu sein, überzeugt ist. Was im Übrigen ein Widerspruch ist.
Liebe Freunde,
ich gebe zu, daß ich von Euren Rechenkünsten beeindruckt bin - und davon, wie einfach lösbar Euch diese Probleme scheinen!
Immerhin waren Platon (Sophistes), Aristoteles (Metaphysik), Kant (Kritik der reinen Vernunft) da etwas weniger findig: Der Erste hielt das Problem des "Einen - Vielen" (für Mathematiker: 1, 2), der Zweite jenes zwischen kontradiktorischem - konträrem Gegensatz (für Mathematiker: Jede Zahl ist, in ihrer Denkbarkeit Begriff) und der Dritte jenes der reinen (apriorischen) Denk-Vernünftigkeit (Mathematisch: Axiom) für durchaus nicht für einfach berechenbar - aber vermutlich war keiner dieser Herren mit den Künsten der Differential- bzw. Integralrechnung vertraut.
Wahrscheinlich war es mein Versehen, Euch das Problem dermaßen unzureichend vorgetragen zu haben, dass Ihr gar nicht erkennen konntet, wie weit diese Problemstellung über mathematische Fragestellungen hinausreicht. Aber diesen Mangel hoffe ich durch die obigen Verweise behoben zu haben: Ich hoffe, Ihr stimmt mir nunmehr zu, dass es sich hier sehr wohl um die Grundlagen physikalischer Theoriebildung betreffende Fragestellungen handelt und bin natürlich sehr gespannt, wie Eure Lösungsansätze aussehen!
LG
Winter
eigenvector
15.03.11, 17:07
Ich hoffe, Ihr stimmt mir nunmehr zu, dass es sich hier sehr wohl um die Grundlagen physikalischer Theoriebildung betreffende Fragestellungen handelt und bin natürlich sehr gespannt, wie Eure Lösungsansätze aussehen!
LG
Winter
Du trägst hier, mathematisch ziemlich unsinniges Zeug vor, und überlegst dann, was das für Folgen für physikalische Theorien hat.
Solange der mathematische Teil aber Unsinn ist, ist letzteres natürlich auch hinfällig.
Hi Winter
Man unterscheidet in der Mathematik natuerlich verschiedene Klassen von Zahlen. Dies drueckt sich auch dadurch aus, dass wir verschiedene Vorstellungen zu diesen Zahlen entwickeln muessen, die uns vielleicht verschieden schwer fallen. Mit deinem Beispiel liegst du jedoch ziemlich daneben. Denn du scheinst der irrigen Meinung, dass nur dezimale Fliesskommadahlen "echte Zahlen" waeren. Gehen wir die Sache mal etwas philosophisch aber dennoch analytisch an. Demnach waeren die Primzahlen als Grundlage aller Zahlen ausreichend. Bezueglich einer Einteilung einer moeglichst einfachen Verstaendlichkeit sind die natuerlichen Zahlen jedoch noch einfacher. Wer weiss, vielleicht gibt es ET's die einen anderen Bezug zu Primzahlen haben und daher schon eine Nichtprimzahl wie 6 als etwas exotischer betrachten. Diese besteht aus den Zahlen 2 und 3 sowie dem Operator: Multipikation.
0,333 (Periode) ist nicht 1/3, denn ersteres ist eine Zahl, letzteres nicht!
(1/3 besteht aus den Zahlen 1 und 3 sowie dem Operator: Division)
Dem zweite Satz stimme ich zu. Aber dein erster Satz steht dazu in direktem Widerspruch. Denn 0.333... ist eine verkuerzte Schreibweise fuer :
3/10+3/100+3/1000 ... Also einer weitaus komplizierteren Operation mit natuerlichen Zahlen. Einer Summe von Bruechen die gemaess deiner Definition keine Zahlen darstellen. Warum sollte dann eine Summe ueber diese unechten Zahlen eine echte Zahl darstellen ? Weil du bevorzugt diese von deinem Taschenrechner her kennst ? So aus dem hohlen Bauch heraus ?
Wie bereits erwaehnt ist die Basis 1/10 willkuerlich und in ternaerer Fliesskomma Darstellung mit den Ziffern 0,1,2 lautet 1/3 gleich 0.1.
Die Fliesskommadarstellung ist unguenstiger als die Bruchdarstellung bietet aber den Vorteil einer einheitlichen Fortfuehrung unseres Dezimalsystemes. Die Grenzwertbildung unendlich vieler Nachkommastellung benoetigt keinerlei physikalischer Ueberlegungen, sondern ist rein logischer Natur. Der Grenzwert ergibt sich aus der geometrischen Reihe und so ist 0.3333.. exakt gleich 1/3. Denoch werden Physiklehrer ihre Schueler dazu anhalten immer zunaechst eine Bruchdarstellung zu verwenden, keine Wurzeln und trogonometrische Funktionen aufzuloesen. Also moeglichst keinen Taschenrechner zu verwenden, der einem modernen Rechenschieber entspricht. Niemand wird erwarten, dass man mit einem Rechenschieber exakte Zahlenwerte erhaelt. Eine Flieskommazahl ist lediglich uebersichtlicher. Der Ingeniuer verwendet dann so viele Stellen wie in einer Messgenauigkeit oder Fehlertoleranz liegen, denn diese, die Physik bestimmt in der Regel die Genauigkeitsgrenze. Nicht die Mathematik.
Im Finanzwesen wird man ueberhaupt keine Fliesskommazahlen verwenden. Ich meine da verwendet man ein ganz spezielles System. (BDE oder so aehnlich.)
Dein eigentlicher Fehler liegt jedoch daran, dass du wahrscheinlich nur bei den natuerlichen Zahlen eine geometrische Vorstellung verwendest und dann nicht mehr sondern rein formal denkst.
1/3 stellt eine formale Operation dar, aber der geometrische Hintergrund sind drei gleiche Teile, deren Gesamtheit man als die Groesse 1 festlegt.
Alle rationalen Zahlen lassen sich so deuten.
Bei irrationalen Zahlen fuegt man eine weitere Dimension hinzu. Die geometrische Vorstellung sind zwei senkrechte Geraden des Betrags 1. Die Diagonale ist dann Wurze (2)
Transzendente Zahlen lassen sich so nicht darstellen, denn man benoetigt zusaetzlich eine Kruemmung. Der Kreis waere das Paradebeispiel fuer Pi.
Die Kruemmung verhindert eine Quadratur des Kreise mit Lineal und Zirkel.
Mit einem Gummiband oder Faden ist sie kein Problem.
Die Geometrie ermoeglicht uns letztendlich die Vorstelllung ueber die natuerlichen Zahlen hinaus. Weniger irgenwelche formalen Systeme und schon gar nicht dezimale Fliesskommazahlen.
Gruesse
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