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Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : Math - Wer war Ernst Schroeder?


richy
05.06.11, 21:02
Ernst Schröder (* 25. November 1841 in Mannheim; † 16. Juni 1902 in Karlsruhe; vollständiger Name Ernst Friedrich Wilhelm Karl Schröder) war ein
deutscher Mathematiker und Logiker ...
http://de.wikipedia.org/wiki/Ernst_Schr%C3%B6der_%28Mathematiker%29

Obwohl ich in Karlsruhe wohne war mir der Name Ernst Schroeder bis gestern kein Begriff. Natuerlich gibt es hier eine Carl Benz, Heinrich Herz ... oder Drais Schule. Im Stadtwiki KA wird der Mathematiker Ernst Schroeder jedoch nichteinmal am Rande erwaehnt.
Was gibt es ueber Herrn Schroeder zu berichten ? Einige Details im WIKI Eintrag sind schon bemerkenswert und haetten meiner Meinung nach wenigstens fuer eine Ernst Schroeder Strasse ausreichen koennen :) Besonders folgender Abschnitt hat mich besonders interessiert :
In seiner Arbeit "Ueber iterirte Functionen" aus dem Jahre 1871 untersuchte er die heute nach ihm benannte Schrödersche Funktionalgleichung, die in der Komplexen Dynamik eine wichtige Rolle spielt.

http://upload.wikimedia.org/math/b/8/d/b8d800487921a5c573b89f928f69ab1b.png

Fuer die Schroedersche Funktionalgleichung F(h(x)) = sF(x) gibt es keinen eigenen deutschen, jedoch einen englischen Wiki Eintrag :
http://en.wikipedia.org/wiki/Schr%C3%B6der%27s_equation
It is used to analyse discrete dynamical systems by finding a new coordinate system in which the system (orbit) generated by h(x) looks simpler.

More specifically, a system for which a discrete unit time step amounts to x → h(x), can have its smooth orbit (or flow) reconstructed from the solution of the above Schröder's equation, its conjugacy equation.
That is, h(x) = Ψ−1(s Ψ(x)) ≡ h1(x) ....

Mit Ψ-1 ist natuerlich die Inverse gemeint. Da war doch was :D

Zur Teilloesung der logistischen Gleichung wird hier bemerkt :
http://mathworld.wolfram.com/LogisticMap.html
... In general, this recurrence equation cannot be solved in closed form. Wolfram (2002, p. 1098) has postulated that any exact solution must be of the form
http://mathworld.wolfram.com/images/equations/LogisticMap/NumberedEquation3.gif ...

Wolfram hat fuer seine Loesungen somit eine Form der Schroeder Gleichung verwendet. Mehr noch :

Ernst Schroeder hat bereits 1871 in seiner Arbeit "Ueber iterirte Funktionen" die logistische Gleichung fuer die beiden Faelle r=2 und r=4 geloest.

Und wo ? Hier in Karlsruhe. Dirket vor meiner Nase. *zusammenbrech.
In der Unibibliothek war ich frueher fast jeden Tag. Ich haette mir dort nur Schroeders Arbeit ausleihen muessen und mir damit 20 Jahre Knobelarbeit erspart.
Hier stehts explizit :
For example,[11] special cases of the logistic map such as the chaotic case h(x) = 4x(1 − x) were already worked out by Schröder in his original paper[1] (cf. p. 306),
Ψ(x) = arcsin^2(√x), s = 4,
and hence ht(x) = sin^2(2t arcsin(√x)) ...


Wie man die Loesungen herleiten kann weiss ich inzwischen. Hierzu liefert diese Seite der Universitaet von Miami noch einige theoretische Ueberlegungen :
http://server.physics.miami.edu/~curtright/Schroeder.html
Dort findet sich dazu ein Hinweis aus dem man schliessen koennte, dass Schroeders Loesung wohl ueber Jahre hinweg einfach uebersehen oder ignoriert wurde.
For a thorough discussion of the s = 4 logistic map, among other things, see J.V. Whittaker, "An Analytical Description of Some Simple Cases of Chaotic Behaviour" in The American Mathematical Monthly, Vol. 98, No. 6 (Jun. - Jul., 1991), pp. 489-504. However, this paper does not cite E. Schröder who found and published the exact solutions of the s = 2 and s = 4 maps in the early 1870s.


Ein schwacher Trost :D

quick
05.06.11, 22:25
Hallo richy,


Obwohl ich in Karlsruhe wohne war mir der Name Ernst Schroeder bis gestern kein Begriff.
... Mir auch nicht, obwohl wir aus der gleichen "Ecke" sind.:D
In Heidelberg/Neuenheim gibts eine Schröderstrasse, von der man aber anscheinend nicht genau weiss, woher der Name kommt. Schröder hat aber in Heidelberg studiert. Hier etwas mehr (http://www.gap-system.org/~history/Biographies/Schroder.html) zu Schröder (http://kw.uni-paderborn.de/fileadmin/kw/institute/Philosophie/Personal/Peckhaus/Texte_zum_Download/schroeder_pasi.pdf).

mfg
quick

richy
06.06.11, 00:32
Hi Quick
In Heidelberg/Neuenheim gibts eine Schröderstrasse, von der man aber anscheinend nicht genau weiss, woher der Name kommt.
Na, das duerfte jetzt wohl keine Frage mehr sein.
Dieser Schroeder war sicherlich nie gemeint :D

http://home.arcor.de/richardon/2011/schroeder.jpg

Nach dem Studium der Mathematik und Physik in Heidelberg und Königsberg habilitierte Schröder in Zürich 1865.
Und im Karlsruher Stadtwiki gibt es seit heute einen Basiceintrag zu Erwin Schroeder :
http://ka.stadtwiki.net/Ernst_Schr%C3%B6der
1864–1868 Privatdozent am Polytechnikum und Lehrer an der Kantonsschule Zürich
1868 Lehrer an der Höheren Bürgerschule (später Kant-Gymnasium) in Karlsruhe
1868–1869 Lehrer am Pädagogium in Pforzheim
1870–1874 Lehrer am Realgymnasium in Baden-Baden
1874–1876 o. Prof. an der Technischen Hochschule Darmstadt
1876–1902 o. Prof. an der Polytechnischen Schule bzw. Technischen Hochschule Karlsruhe
Er hat somit im schoenen Heidelberg sein Studium absolviert.
Besonders viel hat er im weiteren Verlauf seiner mathematischen Laufbahn nicht veroeffentlicht, aber alles mit hoher Tragweite.
Giuseppe Peano baute auf Schröders Logik auf; ebenso knüpfte Norbert Wiener in seiner Dissertation A comparision between the treatment of the Algebra of relatives by Schröder and that by Whitehead and Russell an die Arbeiten Schröders an. Für Alfred Tarski waren seine Arbeiten die Grundlagen für eine moderne Theorie der Algebra und die Geschichte der Logik. Das bezieht sich wohl auf Schroeders "Vorlesungen ueber die Algebra der Logik" die um 1890 in Karlsruhe entstanden. Zuvor hatte er anscheinend eine noch eher praktisch orientierte Phase. So um 1870 :
"Ueber iterirte Functionen"
Da hat er mittels der Schroeder Funktionalgleichung die r=2, r=4 Loesungen der logistischen Abbildung analytisch bestimmt. Und ich muss mich korrigieren. Nicht in Karlruhe, denn zu der Zeit war er als Lehrer "am Realgymnasium in Baden-Baden" taetig.
Link zu "Ueber iterirte Functionen" :
http://www.springerlink.com/content/g86tur3423724r85/
Muss ich mir unbedingt downloaden.
In die "Vorlesungen ueber die Algebra der Logik" kann man hier reinschauen :
http://www.archive.org/stream/voalgebraderlogi01schrrich#page/n17/mode/2up
Ich meine nicht, dass ich das verstehen kann. Einfach zu abgehoben.

Vielen Dank fuer deine Infos/Links zu Schroeder.
Und noch viel Spass mit Einstein :-)

Zu Andreas Varesi.
Kein Eintrag bei esowartch hehe .
Warum nicht ? Seine Vorgehensweise wird auf seiner SRT Seite recht deutlich :
http://www.einstein-relativity.de/01abb5965d126f801/index.html
Was macht er denn da ? Er zeigt vornehmlich, dass es eine Frage der Interpretation ist, ob irgendwelche absoluten Bezugssysteme existieren.
Dementsprechend kann ihm auch kein Physik Journal einen Fehler nachweisen, aber verzichtet folgerichtig auf eine Publikation, weil es sich lediglich um eine neue Interpretation handelt. Varesi setzt sogar voraus, das seine Betrachtungen vornehmlich Interpretationen darstellen. Alle Gleichungen der SRT ihre Gueltigkeit behalten.
Was man bemaengeln koennte :
Sein Zwillingsexperiment, dass eher einem Szeario eines Videogames entspricht. Da bewegen sich zwei Raketen unbeschleunigt und mittels eines Planeten will er nun suggerieren, dass diese Raketen nun irgendwelche Abbremsmanoever durchfuehren. Was absolut unnoetig ist.
Die Raketenpiloten muessen nur ihren Kopf um 180 Grad wenden und dann kann man sein abenteuerliches Szenario mittles dem Minkowskidiagramm sehr einfach erfassen. Und sieht dass auch sein Konstrukt keinen Widerspruch darstellt. Das bedeutet nicht dass seine restlichen Betrachtungen falsch sind. Es ist einfach ein unnoetiges Detail auf seiner Seite.
Gruesse
richy

quick
06.06.11, 08:58
Hallo richy,


Was man bemaengeln koennte.
Sein Zwillingsexperiment, dass eher einem Szeario eines Videogames entspricht.
...Das bedeutet nicht dass seine restlichen Betrachtungen falsch sind. Es ist einfach ein unnoetiges Detail auf seiner Seite.
Ich habe einiges quergelesen auf seinen Seiten. Letztlich nichts Neues, nur sein Patent hat mich überrascht. Ob das wirklich funktioniert?
Wenn ja, müßte doch eigentlich manches in Lehrbüchern, Internetseiten, etc. umgeschrieben werden? Fehlt nur noch der "Gravitationsfeldschnüffler", dann schreiben wir die ART um.:D

mfg
quick

Bauhof
06.06.11, 09:54
Hallo zusammen,
Hallo Richy,

nachdem es dich, Richy, hauptsächlich betrifft, spreche ich dich extra an. Vor längere Zeit regte ich an, dass ein Unterforum für Mathematik angelegt werden sollte. Günter (dem Forenbetreiber) fehlte leider bisher die Zeit dazu. Vor meiner Zeit wurde dies bereits auch schon mal angeregt.

Deshalb mein Vorschlag:
Ich eröffe einen neuen Thread hier in diesem Plauder-Unterforum mit dem Titel "Mathematik - Wer war Ernst Schroeder?" und verschiebe das Thema "Wer war Ernst Schroeder?" dorthin. Wer ein neues Thema (hier im Plauder-Unterforum) zur Mathematik eröffnet, sollte immer im Titel "Mathematik - " voranstellen.

Solbald Günter doch noch ein Unterforum "Mathematik" anlegen solte, können die Moderatoren sämtliche Themen mit
"Mathematik - xxxxxxxxxxxx" in das neue Unterforum problemlos verschieben.

Vielleicht können wr dadurch schon jetzt mehr Leute heranziehen, die sich für Mathematik interessieren. Ich mache das natürlich nur dann, wenn Johann und die Alt-Moderatoren damit einverstanden sind.

M.f.G. Eugen Bauhof

JoAx
06.06.11, 09:58
Ich eröffe einen neuen Thread hier in diesem Plauder-Unterforum mit dem Titel "Mathematik - Wer war Ernst Schroeder?"

Hi, Eugen! Ich denke, es würde reichen, diesen Thread umzunennen.

Gruss

Hawkwind
06.06.11, 10:00
Hallo richy,


Ich habe einiges quergelesen auf seinen Seiten. Letztlich nichts Neues, nur sein Patent hat mich überrascht. Ob das wirklich funktioniert?
Wenn ja, müßte doch eigentlich manches in Lehrbüchern, Internetseiten, etc. umgeschrieben werden? Fehlt nur noch der "Gravitationsfeldschnüffler", dann schreiben wir die ART um.:D

mfg
quick

Vielleicht ist ja auch Ed Schröder gemeint?
http://www.schach-computer.info/wiki/index.php/Schr%C3%B6der%2C_Ed

Bauhof
06.06.11, 10:00
Hi, Eugen! Ich denke, es würde reichen, diesen Thread umzunennen. Gruss
Hallo Johann,

danke, das ist klar.

M.f.G. Eugen Bauhof

richy
06.06.11, 18:28
Hi Eugen

Danke fuer das Angebot. Ich faende es ganz gut wenn ein Unterforum Mathematik existieren wuerde, komme aber auch mit der Plauderecke ganz gut klar. Mir geht es vornehmlich darum, dass ich einige Gedanken und Berechnungen recht schnell wieder finden kann und das geht am besten wenn ich sie nur in einem Unterforum poste. Das passt schon. Was mir besonders interessant erscheint stelle ich dann ja auch auf meine Homepage. Wenn man das Interesse z.B. an nichtlinearer Systemdynamik bei Besuchern mit einem Unterforum wecken koennte, dann waere dies schon eher ein Grund. Im AC Forum gibt es einen Themenordner "Chaostheorie". Aber da schreibt niemand. Das Interesse daran ist zumindestens in der Oeffentlichkeit tatsaechlich nicht mehr so gross wie Mitte der 80 er Jahre.

Im professionellen Bereich sieht dies natuerlich anders aus. Da stellen nichtlineare Systeme nach wie vor eine Herausforderung dar. Blos ordnet man solche Aufgabenstellungen nicht mehr der "Chaostheorie" zu. Ein schoenes Beispiel hierzu ist Ernst Schroeders Funktionalgleichung. Dazu habe ich zum Beispiel diesen aktuellen Link einer Arbeit von 2010 gefunden :
Logistic map potentials :
http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0375960110014672
Somit ein durchaus aktuelles Thema. Zumindestens an der Uni Miami. Haengt vielleicht mit dem Fischfang dort zusammen

Gruesse

Vielleicht ist ja auch Ed Schröder gemeint?
http://www.schach-computer.info/wiki/index.php/Schr%C3%B6der%2C_Ed
Das Problem heutiger Schachcomputer ist jenes, dass sie 99.9% aller Schachspieler schlagen. Wer will noch gegen eine Maschine spielen die immer gewinnt ? :-)

Bauhof
06.06.11, 19:17
Danke fuer das Angebot. Ich faende es ganz gut wenn ein Unterforum Mathematik existieren wuerde, komme aber auch mit der Plauderecke ganz gut klar. Mir geht es vornehmlich darum, dass ich einige Gedanken und Berechnungen recht schnell wieder finden kann und das geht am besten wenn ich sie nur in einem Unterforum poste.
Hallo richy,

uns Moderatoren geht es vor allem darum, dass mit einem Unterforum "Mathematik" neue mathematisch interessierte Forenteilnehmer gewonnen werden können, weil die sich meist auch für Physik interessieren.

Außerdem stünden dir dann mehr Diskussionsteilnehmer zur Verfügung, mit denen du auf gleicher mathematischer Augenhöhe diskutieren könntest. Ich selbst z.B. könnte mit dir nicht auf gleicher mathematischer Augenhöhe diskutieren.

Bist du damit einverstanden, dass ich diesen Thread umbenenne in "Mathematik - Wer war Ernst Schroeder?"

Vielleicht kannst du weitere Mathe-Threads von dir hier in "Plauder" vorschlagen, die ich entsprechend umbenennen kann. Wenn dann jemand mit dem Begriff "Mathematik" sucht, wird er in mehr Fällen als vorher auf Quanten.de verwiesen.

M.f.G. Eugen Bauhof

P.S.
Hier in deiner Kontakinformation fand ich keinen Verweis auf deine Homepage. Hast du diese vielleicht deshalb nicht angegeben, weil sich ev. in deiner Homepage zuviel Werbung befindet?

quick
06.06.11, 21:28
Hallo Hawkwind,

Vielleicht ist ja auch Ed Schröder gemeint?
http://www.schach-computer.info/wiki/index.php/Schr%C3%B6der%2C_Ed
Nur zur Klarstellung, meine Bemerkung bezog sich auf das Patent (http://www.patent-de.com/20071220/DE102006024984A1.html) von Andreas Varesi (http://www.einstein-relativity.de/01abb5965d126f801/index.html).
Dieser hat mit den Schröders hier eigentlich nichts zu tun.
Dein Link war trotzdem interessant. Er ließ mich mit ein bischen Wehmut an meinen ersten Computer mit einem Z80-Prozessor und "gigantischer" 16k-Erweiterung erinnern.

mfg
quick

richy
07.06.11, 04:45
Hi Eugen

Klar habe ich nichts dagegen, wenn du den Thread umbenennst. Das Kuerzel "Mathe" wuerde fuer die Suchfunktion wohl schon ausreichen. Ich habe noch eine andere Idee. Ich koennte einfach einen Thread z.B. "Matheindex" erstellen in dem ich zunaechst mal Links zu alten Threads mit "mathematischem" Inhalt von allen Teilnehmern sammle. Den kann man immer aktualisieren und wenn es wirklich mal eine eigene Rubrik dafuer gaebe, waere es sehr einfach bisherige Threads dorthin zu verschieben. Wobei der Ausdruck "Mathematik" meiner Meinung uebertrieben waere . "Mathematische Plauderecke" waere angemessener. Aufgrund der Schroederschen Funktionalgleichung habe ich im www etwas gegoogelt. Es waere wie vermutet tatsaechlich eine falsche Vorstellung, dass im Bereich der Chaostheorie besser nichtlinearen Systemdynamik die Forschungsarbeit nachgelassen haette. Es hat lediglich das oeffentliche Interesse daran nachgelassen. Das finde ich irgendwie schade, weil es damit auch kaum Quellen zu neueren Ergebnissen gibt, die diese leicht verstaendlich widergeben. Leider bin ich kein Mathematiker, so dass ich den theoretischen Abhandlungen derselben in deren Sprache leider auch nicht folgen kann. Dem Sinn der "Schroeders Equation" kann ich gerade noch folgen, weil ich die Loesungen auf anderem vereinfachtem Weg mittels Substitution hergeleitet habe :
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/2010/lsgana.htm
Die Ascii Formelschreibweise mag ein wenig abschrecken, aber es handelt sich tatsaechlich lediglich um eine Substitution. Die einzigste Schwierigkeit besteht darin eine solche zu finden, so dass die Differenzengleichung in der neuen Variablen linearisiert ist.

WICHTIG FUER DAS VERSTAENDNIS
Die oben genannte Schwierigkeit hatte ich bereits zuvor auf ganz anderem Wege geloest. Mittels einer einfachen graphischen Anschauung die fuer r=2 zur Loesung der logistischen Gleichung fuehrt. Man benoetigt hierzu lediglich den Fundamentalsatz der Algebra :

In der Form, dass jedes Polynom vom Grad n :
p(x,n)=a_n*x^n+a_n-1*x^(n-1)...+a2*x^2+a1*x+a0
ueber seine n Nullstellen/Wurzeln darstellbar ist in der Form
p(x,n)=c*(x-xn)...*(x-x2)*(x-x1)
Das ist Schulmathematik.

Noch leichter laesst sich ueberlegen, dass sich mittels einer "Koordinatentransformation" ein Polynom beliebig horizontal verschieben laesst. p'(x)=p(x)-k
Damit ist jedes Polynom ueber die Schnittpunkte mit einer beliebigen Konstanten g(x)=konstant (Paralelle zur x Achse) eindeutig bestimmt.
Mehr benoetigt man nicht um die logistische Gleichung fuer den Fall r=2 zu loesen. Reine Schulmathematik.

Die logistische Abbildung lautet :
y(n+1)=r*y(n)*(1-y(n))=r*y(n)-r*y(n)^2
mit folgendem wichtigem Zusatz : y(0)=[0..1]

Es handelt sich somit nicht um eine eindimensionale Aufgabenstellung fuer die (zeitliche, diskrete ) Variable n, sondern die Iteration kann natuerlich fuer beliebige Startwerte y(0) aus dem Intervall [0..1] durchgefueht werden. Das erscheint zunaechst trivial, aber es ist selbstverstaendlich, dass keine spezielle Loesung fuer ein spezielles y(0) gesucht ist, sondern eine Loesung fuer alle Startwerte. y(0) darf somit nicht als ein einzelner Punkt betrachtet werden, sondern stellt selbst schon eine "Funktion" dar. Indem y(0) alle Anfangswerte repraesentiert.
y(n+1,y(0))=r*y(n,y(0))*(1-y(n,y(0)))=r*y(n,y(0))-r*y(n,y(0))^2

Eine Iteration laesst sich somit zweidimensional allgemein charakterisieren als :
y(n+1,y(0))=h(y(n,y(0))
Als Repraesentant aller Anfangswerte stellt y(0) vereinfacht die 45 Grad Linie dar. Das Start-Polynom 1 ter Ordnung. Auf diesem Prinzip basieren die meisten mathematische Betrachtungen.
Im folgenden moechte ich auch auf diesem Prizip aufbauen um die Betrachtung nicht unnoetig zu verkomplizieren.

Betrachten wir einfach die Polynome der klassischen logistischen Abbildung p(n+1)=F(p(n)). Wir sehen, dass deren Grad in jedem Iterationsschritt verdoppelt wird. Welche Schnittgerade wir auch waehlen, wir koennen fuer die Schnittpunkte und damit fuer die Synthese des Polynoms kein Gesetz einfach herleiten. Ausgenommen fuer den Fall r=2 ! :

http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/lsg18.gif

Die Grafik ist im Prinzip selbsterklaerend und der "Nachweis", dass das Polynom die Gerade y=1/2 genau in einem Punkt schneidet ist recht einfach :
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/lsg2.htm

Ich selbst z.B. könnte mit dir nicht auf gleicher mathematischer Augenhöhe diskutieren.
Das ist quatsch. Obiges ist Schulmathematik.
Die logistische Abbildung erzeugt fuer r=2 Polynome, die die Konstante y=1/2 stets im Punkt 1/2 schneidet und sonst in keinem andern. D.h. ein Polynom der Ordnung n tangiert diese Konstante mit der Vielfachheit n. Und damit hat dieses Polynom eine Form p(n)=c*(x-1/2)^(2^n)
Und damit laesst sich die logistische Gleichung fuer den Fall r=2 mit Schulmathematik einfach loesen.

Ok, darauf muss man auch erstmal kommen, aber wirklich kompliziert ist das nicht. Wie bin ich dann weiter vorgegangen ? Im Forum hier habe ich letztes Jahr versucht rein formal Loesungsmethoden von Differentialgleichungen auf Differenzengleichungen zu uebertragen. Dabei wird man sehr schnell erkennen, dass dies einem Vergleich von Aepfeln mit Birnen gleichkommt.
Ebenso verhaelt sich eine diskretisierte Raumzeit zu einer kontinuierlichen Raumzeit.
Dann habe ich einfach mal ausprobiert welche formalen Vereinfachungen sich in der logistischen Gleichung fuer den Fall r=2 mittels Substitution ergeben.
Dies fuehrt zu der extrem komprimierten einfachen Loesung mittels Substitution die ich auf meiner Webseite dargestellt habe. Dann bin ich auf Wolframs Loesung fuer den Fall r=4 gestossen. Den kann man ebenfalls analytisch mittels Substitution erklaeren. Aber es steckt wohl noch sehr viel mehr dahinter.

Ich gehe hier somit rueckwaerts vor. Vom anschaulichen mir noch zugaenglichen hin zum mathematisch abstrakten.


Schroedingers Equation :
F(h(y)) = s*F(y)

laesst sich umschreiben zu

F(h(y))
------- = s, wobei s wohl einen Parameter darstellt
F(y)

Ueber die Bedeutung von h(y) oderr h(x) gibt folgendes Zitat Auskunft :

More specifically, a system for which a discrete unit time step amounts to x → h(x), can have its smooth orbit (or flow) reconstructed from the solution of the above Schröder's equation


Repraesentiert y(n) einen Systemzustand zum Zeitpunkt n, so beschreibt h(y(n)) den Systemzustand zum Zeitpunkt n+1 : h(y(n))=y(n+1)
h(y(n)) waere somit die Uebertragungsfunktion der Iteration.


F(y(n+1))
----------- = s
F(y(n))

(die Loesung ist dann einfach F(y(n))=y(0)*s^n)

Wie man einfach sieht habe ich genau diese Form mittels geeigneter Substitution in meinem Loesungsbeispiel (r=2) erzeugt.

ln(1-2*y(k+1))
----------------- =2
ln(1-2*y(k))


Tatsaechlich fuehrt die Substitution auf die Schroedinger Funktionalgleichung. Fuer die logistische Abbildung mit r=2 mit F(y)=ln(1-2*y)

richy
07.06.11, 05:36
Hi quick
Dein Link war trotzdem interessant. Er ließ mich mit ein bischen Wehmut an meinen ersten Computer mit einem Z80-Prozessor und "gigantischer" 16k-Erweiterung erinnern.

Den Link von Hawkwind habe ich auch mit grossem Interesse verfolgt.
Letzenlich habe ich den Memphisto Mondial II dann inclusive Netzteil ueber den Sperrmuell entsorgt. Und bereuhe dies in keinster Weise.

Gruesse

Bauhof
07.06.11, 09:46
Klar habe ich nichts dagegen, wenn du den Thread umbenennst. Das Kuerzel "Mathe" wuerde fuer die Suchfunktion wohl schon ausreichen.
Hallo richy,

du hast recht, das Präfix "Mathe" wird ausreichen.
Ich habe noch eine andere Idee. Ich koennte einfach einen Thread z.B. "Matheindex" erstellen in dem ich zunaechst mal Links zu alten Threads mit "mathematischem" Inhalt von allen Teilnehmern sammle. Den kann man immer aktualisieren und wenn es wirklich mal eine eigene Rubrik dafuer gaebe, waere es sehr einfach bisherige Threads dorthin zu verschieben.
Eine gute Idee. Das wäre eine große Hilfe. Ausserdem könnte dann ein zukünftiges Unterforum "Mathematik" schon mit einer großen Sammlung von Mathe-Themen starten.
Wobei der Ausdruck "Mathematik" meiner Meinung uebertrieben waere.
Finde ich nicht. Ich hatte mich da sogar noch viel weiter aus dem Fenster gelehnt, indem ich als Untertitel
"Vom Phytagoras bis zur Riemannschen Vermutung"
für das Mathe-Unterforum vorschlug.

M.f.G. Eugen Bauhof

EMI
07.06.11, 10:50
VermutungNa da bring ich doch gleich mal eine (seit 1742 unbewiesene Vermutung) für die Freunde der Primzahlen:

Jede gerade Zahl größer 2 lässt sich als Summe zweier Primzahlen darstellen.

Gruß EMI

richy
07.06.11, 17:13
Jede gerade Zahl größer 2 lässt sich als Summe zweier Primzahlen darstellen.
Ach, wenns weiter nichts ist :-)
http://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/0,1518,598096,00.html
Beispiele: 8=5+3, 22=11+11 und 100=53+47. An einem Beweis scheiterte Euler genauso wie alle seine Nachfolger in den nächsten 266 Jahren. Bis heute haben sich die Mathematiker zwar an die Vermutung herangepirscht, an einem vollständigen Beweis bissen sich indes auch die größten Meister die Zähne aus.
Sicherlich hat der gute Euler etwas uebersehen :D
Gruesse