Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : Math - Rechnen mit imaginären Zahlen
Hallo richy,
könntest Du mir einmal ein wenig unter die Arme greifen?
Das hier z.B. ist doch richtig, oder?: i * (-i) = 1
Kannst Du mir etwas zu (i)^0,5 erzählen?
(Also am Besten erst einmal alle "ganz einfachen" Gesetzmäßigkeiten von i ... und insbesondere gerne alles bei dem i "irgendwie mit Pi zusammenhängt" ...)
Danke! :)
P.S.: Mich würde dann später voraussichtlich vorrangig das Rechnen in der Polarform interessieren - Da muß ich mich aber erst noch ein wenig einlesen.
P.P.S.: Und natürlich ist auch die Hilfe von jedermann anderem gerne willkommen!
Das hier z.B. ist doch richtig, oder?: i * (-i) = 1
Das ist korrekt.
Kannst Du mir etwas zu (i)^0,5 erzählen?
Eine gute Erklärung ohne Polarform fällt mir hierzu spontan nicht ein.
i ist definiert als i*i=-1. Es erweitert den "Raum" der reellen Zahlen. Du kannst dir das wie ein Koordinatenkreuz vorstellen, wo auf der x-Achse die reellen Zahlen aufgetragen sind, und auf der y-Achse die imaginären Zahlen.
Die Zahl i hat in diesem Koordinatenkreuz den Punkt bei x=0 und y=1. Die (komplexe) Zahl 1 + i entspricht in dem Koordinatenkreuz dem Punkt x=1 und y=1, die Zahl 3 + 2i dem Punkt x=3 und y=2, usw.
Du kannst jede komplexe Zahl aus einem reellen Anteil und einen imaginären Anteil zusammensetzen. Der x-Wert im Koordinatenkreuz steht für den reellen der y-Wert für den imaginären Anteil. Man spricht hier übrigens auch von der sogenannten komplexen Zahlenebene.
Anstatt den x- und y-Wert in Zahlen auszudrücken, kannst du das auch mit einem Winkel - sagen wir "phi" - und einem Radius r tun. Anschaulich wird das erst, wenn du dir das aufzeichnest. Du nimmst eine beliebige komplexe Zahl, z.B. 2 + 2i, und zeichnest sie in der komplexen Zahlenebene als Punkt bei x=2 und y=2. Nun ziehe eine Linie zwischen dem Koordinatenursprung (x=0,y=0) und diesem Punkt (x=2,y=2). phi ist nun definiert als der Winkel zwischen der x-Achse und dieser Linie, gemessen gegen den Uhrzeigersinn. In unserem Fall also 45° oder Pi/4 in Radiant. Mit Hilfe der Winkelfunktionen sin und cos kannst dies nun wie folgt ausdrücken:
x + y*i = r*cos(phi) + r*sin(phi)*i
wobei r = -/(x² + y²) (das soll ne Worzel sein vor der Klammer ;) )
r ist somit der Abstand vom Koordinatenursprung bis zu deinem Punkt (2,2).
Für die Winkelfunktionen gilt ja sin(phi)=y/r und cos(phi)=x/r. Das umgeformt ergibt x=r*cos(phi) bzw. y=r*sin(phi).
Wenn du cos(x) + i*sin(x) in einer Taylorreihe entwickelst, siehst du, dass die entstehende Reihe dieselbe Reihe ist die man erhält, wenn man die Exponentialfunktion e^(i*x) entwickelt. Das heißt es gilt allgemein:
cos(x) + i*sin(x) = e^(i*x)
Daraus folgt: r*cos(phi) + r*sin(phi)*i = r*e^(i*phi)
Womit die sogenannte Polarform einer komplexen Zahl entwickelt ist.
Für unser Bespiel gilt: 2 + 2i = -/(8)e^(i*Pi/4)
Damit kann man leicht i^0,5 berechnen. In Polarform schreibt sich i als
i = 1*e^(i*Pi/2) weil der Winkel zwischen der x-Achse und i (x=0,y=1) 90°, sprich Pi/2 entspricht.
Dann gilt weiters:
i^0,5 = [e^(i*Pi/2)]^0,5 = e^(i*Pi/2*0,5) = e^(i*Pi/4) = cos(Pi/4) + i*sin(Pi/4) = 0,707... + i*0,707...
und das wars. ;)
Als Hilfe zum Verständnis ist folgender Beitrag sehr dienlich:
http://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Relation
oder
http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene
Hallo Benjamin,
herzlichen Dank - Das geht genau in die richtige Richtung und gefällt mir schon einmal super! :)
z.B.
Du kannst dir das wie ein Koordinatenkreuz vorstellen, wo auf der x-Achse die reellen Zahlen aufgetragen sind, und auf der y-Achse die imaginären Zahlen.
Dann sehe ich nämlich ein Minkowski-Diagramm.
Anstatt den x- und y-Wert in Zahlen auszudrücken, kannst du das auch mit einem Winkel - sagen wir "phi" - und einem Radius r tun. Anschaulich wird das erst, wenn du dir das aufzeichnest. [...]
Und dergestalt kann man ein Minkowski-Diagramm dann ebenfalls darstellen ... bzw. in einer Polarform ... Muß 'mal darüber nachdenken / das ausprobieren. :rolleyes:
Ein paar Sachen von Dir werde ich mir wohl auf jeden Fall erst noch etwas näher zu Gemüte führen müssen ... Für mich hartes Brot eben. ;)
(Ich schaue mir z.B. gerade einmal in Verbindung mit Deinem Beitrag dieses Filmchen hier an: http://www.youtube.com/watch?v=FwuPXchH2rA)
Danke!
Ich kann Benjamins Ausfuehrung wenig hinzufuegen. Eine Herleitung der Wurzel(i) ohne Polarform faellt mir ebenfalls nicht ein. Zunaecht solltest du dir Konventionen in der Gausschen Ebene merken :
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/59/Gaussplane_kartesianAndPolar.png/220px-Gaussplane_kartesianAndPolar.png
Die komplexe Zahl z wird somit durch ihren Radius=Betrag und Winkel=Argument in der Gausschen Ebene dargestellt. Der Winkel wird bezueglich der Realteil-Achse gemessen und mathematisch wie immer gegen den Uhrzeigersinn. Am besten merkt man sich auswendig :
********************************
phi=arg(z)=arctan(Imaginaerteil/Realteil) (Auf Quadranten achten !)
|z|=Wurzel(Realteil^2 + Imaginaerteil^2)
********************************
Vorsicht ! Beim arctan(Imaginaerteil/Realteil) ist die Bedeutung der Vorzeichen nicht mehr eindeutig. (Daher arg(Im,Re)) Den Quadranten von Phi muss man somit extra bestimmen.
Jetzt merkt man sich noch die erste schwarze Taste eines Klaviers CiS und kann damit eine komplexe Zahl nach Benjamins CiS Gleichung wieder als Relateil und Imaginaerteil darstellen :
Daraus folgt: r*cos(phi) + r*sin(phi)*i = r*e^(i*phi)
Fuer i geht dies alles noch sehr einfach. Der Betrag ist eins und phi gleich 90 Grad also Pi/2. Benjamin hat das alles schon angegeben. i=exp(i*Pi/2)
Wie zieht man nun aber die Wurzel aus i ? Ueber (exp(a))^b=exp(a*b)
i^(1/2)=exp(i*Pi/2)^(1/2)=exp(i*Pi/4) Genau, das wars schon.
****************************
ZUSATZ :
Allgemeiner : Wie loest man die Gleichung z^2=i. Die Gleichung hat zwei Loesungen, Wurzeln. Folgendes soll die Mehrdeutigkeit im Komplexen zeigen. Man wendet den selben Trick an wie bei da^x/dx. ebbes=exp(ln(ebbes))
Damit kann man ueber den ln() die Potenz beseitigen. Somit :
i^(1/2)=exp(ln(i^1/2))=exp(1/2*ln(i))=exp(0.5*ln(i))
Naja, jetzt haben wir das Probem darauf abgewaelzt den ln() aus einer komplexwertigen Zahl zu ziehen. Aber fuer w=ln(z) gibt es eine "Loesungsformel" :
http://upload.wikimedia.org/math/5/4/3/543e3ca7832255dccfadd6986c51dc0a.png
i^(1/2)=exp(0.5*(ln|i|+i*(arg(i) + 2*k*Pi) ) k=0,1
ln|i|=ln(1)=0
arg(i)=Pi/2
i^(1/2)=exp(0.5*(i*(Pi/2 + 2*k*Pi) ) k=0,1
*********************************
Auch damit sieht man sehr schoen, wie denn die Teilung des Winkels von Pi/2 nach Pi/4 zustande kommt.
k=0 (Hauptwert)
i^(1/2)=exp(0.5*(i*Pi/2))=exp(i*Pi/4) ... mit CiS = Wurzel(2)/2*(1+i)
k=1
i^(1/2)=... exp(i*Pi/4+i*Pi) ... CiS = -Wurzel(2)/2*(1+i)
Aha. Bei der zweiten Losung wird der Zeiger um Pi weitergedreht. Waere die erste Losung nicht komplex, dann entspraeche dies einem negativen Vorzeichen. Negative Zahlen sind somit ein Spezialfall imaginaerer Zahlen.
Im Thread Phas-O-Mat hatte ich z^16=1 schon mal graphisch dargestellt :
Schwarz=Wurzel(i). Man sieht wie der Winkel phi=Pi/2 zu Pi/4 halbiert wird :
http://home.arcor.de/richardon/2010/wurzel1.gif
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/phasomat/phaso.htm
Gruesse
Ja Sch***eibenkleister - Ich sehe schon: Das wird ja wieder ein Heidenspaß für mich werden! :D
Danke auch Dir richy: Da sieht nämlich ("mit meiner verschmierten Brille" betrachtet ;)) auf den ersten Blick doch schon so einiges äußerst interessant/vielversprechend aus.
Noch dazu gibt's Worzeln, Klaviere ... Was will man denn mehr: Das wird bestimmt noch lustig.
Aber lasst mich bitte erst einmal Euren ersten Input verdauen - Ich melde mich dann wieder wenn ich soweit bin (bzw. doch schon zwischendrin Fragen auftauchen sollten)
Danke erst einmal bis dahin! :)
P.S.: @Benjamin: Deiner Signatur kann ich nur voll und ganz zustimmen! :)
Das hier z.B. ist doch richtig, oder?: i * (-i) = 1Ist, wie schon gesagt, richtig SCR,
da: 1/i = -i , daraus folgt:
i * (-i) = i * 1/i = i/i = 1
Kannst Du mir etwas zu (i)^0,5 erzählen?(i)^1/2 = √i , da i = √-1 ist folgt:
√i = √√-1, also 4. Wurzel aus -1.
√i = -1^1/4
W = √i = √√-1 = -1^1/4
W = cos(180° + k*360°)/n + i sin(180° + k*360°)/n
Mit n=4 (4. Wurzel) folgt:
W = cos(45° + k*90°) + i sin(45° + k*90°)
Die n-ten Wurzeln aus einer Zahl haben n Werte (k [0,1,2,...,(n-1)].
Für n=4 (4.Wurzel) also 4 Lösungen für W mit K[0,1,2,3]
Mit k=0 folgt W0 = cos 45° + i sin 45°
Mit k=1 folgt W1 = cos 135° + i sin 135°
Mit k=2 folgt W2 = cos 225° + i sin 225°
Mit k=3 folgt W3 = cos 315° + i sin 315°
Mit k=4 wäre der Winkel 405°=360°+45°, also wäre W4=W0, W5=W1...usw, immer im Kreis rum, rum, rum..., wie ein Hamster im Laufrad, halt Mut andrehen.:D
Gruß EMI
Vielleicht sollte man hier nochmals erwaehnen :
Emi hat die 4 Losungen von z^4=-1 angegeben. Haupwert=Wurzel(i)
Ich hatte die 2 Loesungen von z^2=i angegeben. Haupwert=Wurzel(i)
Mit Wurzel(i) ist im Grunde der Hauptwert gemeint. Benjamins Loesung reicht hier somit aus :
Wurzel(i)=exp(i*Pi/4)=Wurzel(2)/2*(1+i)=cos 45° + i sin 45°=0,707... + i*0,707...
Das ist wie im Reellen :
Wurzel(4)=2
Aber die Gleichung x^2=4 hat zwei Losungen x1=2, x2=-2
Zusammenfassend :
Umrechnug z=Realteil+i*Imaginaerteil in Polarkoordinaten
************************************************** *
phi=arg(z)=arctan(Imaginaerteil/Realteil) (Auf Quadranten achten !)
|z|=Wurzel(Realteil^2 + Imaginaerteil^2)
************************************************** *
z=|z|(cos(phi)+i*sin(phi))
Das Neue und Praktische ist, dass fuer diese CiS Form (eulersche Formel) gilt :
|z|(Cos(phi)+i*Sin(phi))=|z|(exp(i*phi))
***************************************
Das ermoeglichte die Potenz in die Klammer der Exp Funktion zu schreiben.
Aus |z|(cos(phi)+i*sin(phi))^(1/2) geht dies nicht sofort hervor.
Die CiS Formel kann man ueber die Taylorreihe von exp(i*phi) herleiten.
http://upload.wikimedia.org/math/a/8/6/a8600b916c7eef8ed556849c10106d2e.png
W4=W0, W5=W1...usw, immer im Kreis rum, rum, rum..., wie ein Hamster im Laufrad, halt Mut andrehen. Genau. Das ist das Interessante der Gleichungen z^m=-1
Fuer z^Wurzel(2)=-1 lauft der Hamster z.B. ewig im Kreis herum ohne dass sich eine Loesung widerholt. Die Gleichung hat somit unendlich viele Loesungen.
... Das Neue und Praktische ist, dass fuer diese CiS Form (eulersche Formel) gilt :
|z|(Cos(phi)+i*Sin(phi)) = |z|(exp(i*phi))
Hallo Richy,
ja.
Interessant finde ich auch den Zusammenhang zwischen den trigonometrischen Winkelfunktionen und den Hyperbelfunktionen:
tan(i•x) = i•tanh(x)
sin(i•x) = i•sinh(x)
cot(i•x) = - i•coth(x)
cos(i•x) = cosh(x)
tan(x) = - i•tanh(i•x)
sin(x) = - i•sinh(i•x)
cot(x) = i•coth(i•x)
cos(x) = cosh(i•x)
Man kann nämlich die Lorentz-Transformationen als Drehungen im Minkowski-Raum um den Winkel (phi) darstellen:
x' = x•cosh(phi) ─ c•t•sinh(phi)
c•t' = c•t•cosh(phi) ─ x•sinh(phi)
Der Winkel (phi) ist durch die Relativgeschwindigkeit v bestimmt:
tanh(phi) = v/c
Nachdem sinh(phi) = - i•sin(i•phi) und cosh(phi) = cos(i•phi) ist, ergeben sich die Lorentz-Transformationen durch eine
Drehung in der komplexen Ebene (x, i•c•t) um den imaginären Winkel (i•phi) mit
phi = Artanh(v/c)
Mit freundlichen Grüßen
Eugen Bauhof
P.S.
Ich habe die Herleitung hier nur angedeutet. Falls jemand die vollständige Herleitung sehen will, dann kann ich diese auch einstellen.
Emi hat die 4 Losungen von z^4=-1 angegeben. Haupwert=Wurzel(i)
Ich hatte die 2 Loesungen von z^2=i angegeben. Haupwert=Wurzel(i)
Mit Wurzel(i) ist im Grunde der Hauptwert gemeint. Benjamins Loesung reicht hier somit aus :
Wurzel(i)=exp(i*Pi/4)=Wurzel(2)/2*(1+i)=cos 45° + i sin 45°=0,707... + i*0,707...
Das stimmt allerdings. Die Wurzel ein reellen wie auch komplexen Zahl liefert keine eindeutige Lösung.
So ist zum Beispiel 2*2=4 genauso wie (-2)*(-2)=4 ist. Daraus folgt das die Wurzel von 4 zwei Lösungen hat, nämlich 2 und -2.
Deshalb ist i streng genommen nicht als die Wurzel von -1 definiert, weil auch diese Wurzel zwei Lösungen hat, i und -i. Die mathematisch genaue Definition von der imaginären Einheit i ist: i*i=-1 ;)
Dann sehe ich nämlich ein Minkowski-Diagramm.
Bei einen Minkowski-Diagramm ist entscheidend, dass auf der y-Achse ct aufgetragen wird. Das soll aber nicht verwundern, weil der Minkowski-Raum ein vierdimensionaler Vektorraum ist mit 3 räumlichen Dimensionen und einer "zeitlichen", oder genauer: dem Produkt von Zeit und Lichtgeschwindigkeit.
Auch der Raum der komplexen Zahlen kann als Vektorraum aufgefasst werden.
In älterer, um nicht zu sagen alter, Literatur hat die y-Achse im Minkowski-Raum einen imaginären Charakter i*ct. Heute bevorzugt man aber die kontra- und kovariante Darstellung, womit auf die imaginägre Achse verzichtet werden kann.
Hallo Benjamin,
Die mathematisch genaue Definition von der imaginären Einheit i ist: i*i=-1 ;)
Hmmm ...
Damit man bei einer Multiplikation zweier Zahlen als Ergebnis eine negative Zahl erhält muß der eine Operand positiv und der andere negativ sein -> i müsste dementsprechend "beide Vorzeichen" in irgendeiner Art und Weise mitbringen.
1. i ist grundsätzlich bezüglich des Zustandes "Vorzeichen" als "unscharf" anzusehen: "Positiv" als auch "Negativ" sind gleichrangig zutreffend als auch nicht zutreffend.
2. Bei einer Multiplikation von i mit sich selbst kommt es zu einem Verschränkungszustand dergestalt, dass das Vorzeichen des einen i autromatisch das entgegengesetzte Vorzeichen beim anderen i bedingt (bzw. umgekehrt).
Außer dass das vermutlich völlig daneben klingt ;): Spricht irgendetwas Konkretes gegen eine solche Betrachtungsweise? :rolleyes:
P.S.: Danke an alle für die anderen Beiträge - Ich habe sie mir schon einmal zu Gemüte geführt.
Spricht irgendetwas Konkretes gegen eine solche Betrachtungsweise?
Ja, weil es die einfache Erklaerung gibt, dass die Im-Achse senkrecht auf der Re-Achse steht. i ist der Vektor mit dem Betrag 1 auf dieser Im-Achse. Und nach der eulerschen Formel bedeutet Mutiplikation mit dem anderen i, dass unser Vektor um 90 Grad gedreht wird. Was erhalten wir somit als Ergebnis ?
1. i ist grundsätzlich bezüglich des Zustandes "Vorzeichen" als "unscharf" anzusehen: "Positiv" als auch "Negativ" sind gleichrangig zutreffend als auch nicht zutreffend.
i kann man schon als spezielles Vorzeichen betrachten. Am einfachsten ist es jede Zahl als Zeiger der komplexen Ebene zu betrachten. Und dann ist der Winkel phi ein kontinuierliches Vorzeichen.
Spezialfaelle :
**********
Positive Zahlen : phi=0, Symbol +
Negative Zahlen : phi=180 Grad, Pi, Symbol -
rein imaginare positive Zahl : phi=90 Grad,Pi/2, Symbol i
rein imaginare negative Zahl : phi=-Pi/2, Symbol -i
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/59/Gaussplane_kartesianAndPolar.png/220px-Gaussplane_kartesianAndPolar.png
Morgen richy,
Ja, weil es die einfache Erklaerung gibt, dass die Im-Achse senkrecht auf der Re-Achse steht.
Ja - Aber liegt das nicht nur daran ...
i ist der Vektor mit dem Betrag 1 auf dieser Im-Achse.
... dass man sich "von vorneherein" festlegt?
Und nach der eulerschen Formel bedeutet Mutiplikation mit dem anderen i, dass unser Vektor um 90 Grad gedreht wird.
Ja - "er verändert sich" mit / auf Basis der Durchführung der Berechnung: Jetzt "manifestiert sich" das Vorzeichen (?).
Am einfachsten ist es jede Zahl als Zeiger der komplexen Ebene zu betrachten.
... Und die komplexe Zahl stellt dabei "das Messergebnis" dar. Und aus diesem Messergebnis kann man rückschließen, welche(s) Vorzeichen sich nun "geschärft" hat/haben: Es/Sie lag(en) aber nicht von Anfang an in dieser "geschärften" Ausprägung vor (?).
Aber das sind im Moment nur so Gedanken: Das sehe ich mir noch einmal genauer an und denke noch weiter darüber nach (Passt das zur Fundamentaldefinition i*i = -1?, ...)
Und dann ist der Winkel phi ein kontinuierliches Vorzeichen.
Dann gäbe es aber nicht nur 0 (= Plus) oder 1 (= Minus) ... - Heruntergebrochen auf die Imaginärzahlen dann aber doch schon , denke ich (?):
180°>phi>0° -> Komplexe Zahl: Imaginärteil mit positivem Vorzeichen
# 90°>phi>0° -> Komplexe Zahl: Imaginärteil und Realteil mit positivem Vorzeichen
# 180°>phi>90° -> Komplexe Zahl: Imaginärteil mit positivem, Realteil mit negativem Vorzeichen
180°<phi<360° -> Komplexe Zahl: Imaginärteil mit negativem Vorzeichen
# 180°<phi<270° -> Imaginärteil und Realteil mit negativem Vorzeichen
# 270°<phi<360° -> Imaginärteil mit negativem Vorzeichen, Realteil mit positivem Vorzeichen
P.S.: Bedeutet eigentlich +i = (+1)*i bzw. -i = (-1)*i?
Oder meint man mit +i die von Dir als "rein positive Imaginärzahl" bezeichnete und mit -i die "rein negative Imaginärzahl" (so etwa im Sinne eines "absoluten Vorzeichens")?
Damit man bei einer Multiplikation zweier Zahlen als Ergebnis eine negative Zahl erhält muß der eine Operand positiv und der andere negativ sein -> i müsste dementsprechend "beide Vorzeichen" in irgendeiner Art und Weise mitbringen.
Das sehe ich nicht so. Es handelt sich nämlich nicht um eine Multiplikation zweier verschiedener Zahlen, sondern um eine Multiplikation einer Zahl mit sich selbst. Das heißt, beide Zahlen müssen dasselbe Vorzeichen haben.
Da keine reelle Zahl x die Gleichung x*x=-1 erfüllen kann, wurde eine Zahl i definiert, die genau diese Bedingung erfüllt.
Richy hat es gut formuliert. i ist eine Art Vorzeichen, und zwar in der Art wie -1 ein Vorzeichen darstellt. -i ist folge dessen eine Kombination beider Vorzeichen nämlich i*(-1).
Warum das so funktioniert, gründet in der Antwort auf die Frage, warum überhaupt minus mal minus Plus ergibt. Das ist streng genommen auch eine reine Definitionssache. Genau genommen eine Frage dessen, wie man die Rechenoperationen "mal" und "plus" definiert und ob sie dem Distributivgesetz und Assoziativgesetz gehorchen.
Siehe z.B. hier:
3*(-4) + 3*4 = -12 + 12 = 0 / *(-1)
(-1)*3*(-4) + (-1)*3*4 = (-3)*(-4) + (-3)*4 = ?12 - 12 = 0
Damit die Gleichung stimmt, muss -3 mal -4 plus 12 ergeben.
Dass die Gleichung diese Gestalt überhaupt erst annimmt, ist eine Folge unserer definierten Rechenregeln, insbesondere eine Folge des Distributiv- und Assoziativgesetzes.
Hallo Benjamin,
ich sehe aber jetzt noch nicht ganz, was ich verletzten würde, wenn ich ausgehend von
i*i = -1
dem i erst einmal beide Vorzeichen gleichberechtigt (in einem "verschmierten" Zustand) zugestehen würde.
Und erst bei der Ausführung der Rechenoperation käme es zu einer Verschränkung dergestalt, dass wenn "links" das eine "rechts" zwangsläufig das andere auftreten muß: Plus mal Minus gibt Minus = Minus mal Plus gibt Minus
Es handelt sich nämlich nicht um eine Multiplikation zweier verschiedener Zahlen, sondern um eine Multiplikation einer Zahl mit sich selbst.
Ja - eine Zahl mit zwei gleichberechtigten Vorzeichen ...
Das heißt, beide Zahlen müssen dasselbe Vorzeichen haben.
... vor Durchführung der Rechenoperation ist das Vorzeichen identisch - eben "verschmiert".
i ist eine Art Vorzeichen, und zwar in der Art wie -1 ein Vorzeichen darstellt. -i ist folge dessen eine Kombination beider Vorzeichen nämlich i*(-1).
Danke ->
i*i=-1 | *(-1)
(-i)*i = 1.
Wenn ich mir i*i=-1 ansehe dann schaue ich zuerst nach rechts: Da sehe ich eine reele Zahl mit negativem Vorzeichen.
Damit eine Multiplikation zweier Zahlen ein negatives reeles Ergebnis erbringt muß eine positiv und die andere negativ sein.
Sehe ich nach links sehe ich, dass eine Zahl mit sich selbst multipliziert werden soll um dieses negative Ergebnis zu erzielen: Das ist im reelen Zahlenraum nicht möglich.
"Das geht nur im Imaginären" - Da ist das Vorzeichen des i bis zur Durchführung der Rechenoperation ("Der Messung") verschmiert.
Analoge Logik lässt sich auch auf die Gleichung (-i)*i = 1 anwenden.
Wenn wir es einmal dahingestellt lassen würden, inwieweit meine Vorstellungen überhaupt sinnvoll sind oder nicht (und was sie bringen mögen), möchte ich doch noch einmal nachfragen:
Würde ich mit dieser Vorstellung zum Verhalten des Vorzeichens im imaginären Zahlenraum denn gegen irgendetwas konkret widersprechen? :rolleyes:
Würde ich mit dieser Vorstellung zum Verhalten des Vorzeichens im imaginären Zahlenraum denn gegen irgendetwas konkret widersprechen?
Sie ist einfach sinnlos und unnötig; die Algebra der komplexen Zahlen ist wohldefiniert, ohne sie miteinander "verschmieren" zu müssen.
Würde ich mit dieser Vorstellung zum Verhalten des Vorzeichens im imaginären Zahlenraum denn gegen irgendetwas konkret widersprechen?
Zumindest dem gesunden Hausverstand würde ich sagen.
Und erst bei der Ausführung der Rechenoperation käme es zu einer Verschränkung dergestalt, dass wenn "links" das eine "rechts" zwangsläufig das andere auftreten muß:
Das ist in meinen Augen ein Widerspruch. Es gilt i²=-1. Wir haben nur ein i. Es gibt keine Unterscheidung zwischen "links" und "rechts".
Hallo Benjamin,
Zumindest dem gesunden Hausverstand würde ich sagen.
Das wäre also notfalls verschmerzbar ... Ich habe schließlich einen Ruf zu verlieren. ;)
Wir haben nur ein i.
Da sprichst Du womöglich den entscheidenden Punkt an: Ich sehe da nämlich zwei Zahlen = zwei i.
Es gibt keine Unterscheidung zwischen "links" und "rechts".
Ich versuche es einmal so auszudrücken:
Das würde bedeuten, das i wäre beidesmal exakt dasselbe (~ inkl. "scharfem" Vorzeichen) - und nicht "nur" das Gleiche (~ mit "unscharfem" Vorzeichen) ...
-> Laß' mich einmal darüber (meine Vorstellungen + Deine Äußerungen) nachdenken ...
EDIT: In diesem Kontext:
Die Gleichung x²+1=0 hingegen kann keine reelle Lösung haben, da dazu die Wurzel aus einer negativen reellen Zahl gezogen werden müsste, denn die Wurzel ist die Umkehrfunktion des Quadrierens – und Quadrate reeller Zahlen sind immer positiv. Ihre Lösungen sind +i und −i, zwei imaginäre Zahlen.
Algebraisch wird i definiert als eine Nullstelle des Polynoms x² + 1, und die komplexen Zahlen als die dadurch erzeugte Körpererweiterung. Die zweite Nullstelle ist dann automatisch -i. Man kann sie aber erst unterscheiden, wenn man eine der beiden mit i bezeichnet hat. Da man sie aber ohnehin nicht unterscheiden kann, spielt es keine Rolle „welche“ Nullstelle man nun mit i bezeichnet.
Hmm ...
# 90°>phi>0° -> Komplexe Zahl: Imaginärteil und Realteil mit positivem Vorzeichen
# 180°>phi>90° -> Komplexe Zahl: Imaginärteil mit positivem, Realteil mit negativem Vorzeichen ...
Genau ! Du hast es doch verstanden. Zuvor war eine Zahl ein Punkt auf der Zahlengeraden. Eine komplexe Zahl ist nun ein Punkt in der Ebene, zweidimensional. Nimm mal die Grafik oben und stelle dich in den Nullpunkt.
Stell dir dabei vor es waere eine Aufnahe aus der Vogelperspektive !
Vor dir liegen die positiven Zahlen. Die Menschen in der Steinzeit kannten keine negativen Zahlen. Es genuegte ihnen nur nach vorne zu schauen. Aber dann kam : Ich habe zwei Steine und gebe dir drei davon. Mir bleibt minus ein Stein. Wenn man immer nur nach vorne schaut gibt es keine -1. Ahhh man muss in die andere Richtung schauen. Dennoch gibt es keinen "minus ein Stein". Es gibt aus materieller Sicht keine Schulden. Aber wenn mein Steinzeitclan wieder an Alle Steine verteilt, dann koennte mein "minus ein Stein" bedeuten, dass ich nun einen weniger bekomme.
Genauso ergibt der Vorgang i*i wieder eine reelle Zahl.
Schauen wir mal zu minus eins und dem Vorgang (-1)*(-1)=1. Sind -1 oder 1 irgendwie unscharf ? Noe. Aber wie drehen wir uns eigentlich um ?
Wenn wir nur "hinten" und "vorne" kennen koennten wir uns sagen, dass der Punkt -1 nach Null hin wandert und von dort zum Punkt, der Zahl eins.
So drehen wir uns aber nicht um Bei dem Vorgang schauen wir auch in ganz andere Richtungen. Nach links oder rechts. Koennten hier nicht auch Zahlen liegen ? Und in der komplexen Ebene in der du gerade stehst ist es so.
-1*-1 entspricht hier einem negativen Stab der Laenge 1, den du um 180 grad drehst.
"Multipliziere mit -1" bedeutet dann : "Drehe dich um". Pi
"Multipliziere mit i" bedeutet dann : "Drehe dich halb um". Pi/2 oder schaue nach links.
Allgemein.
"Multipliziere mit a+i*b" bedeutet dann : "Drehe dich um arctan(b/a).
Und multiplizierde die Stablaenge (Betrag) mit Wurzel(a^2+b^2)
Die Motivation der komplexen Zahlen liegt allerdings nicht bei drehbaren Staeben sondern im Hauptsatz der Algebra :
Der folgende Satz von Gauss, auch als Hauptsatz der Algebra bekannt, gibt eine der grundsätzlichsten Motivationen zur Einführung der komplexen Zahlen:
Satz 1.12.1.1 Jedes Polynom vom Grad n>=1 über dem Körper K=C der komplexen Zahlen besitzt mindestens eine komplexe Nullstelle.
http://www.iadm.uni-stuttgart.de/LstAnaMPhy/Weidl/analysis/vorlesung-analysis/node59.html
Der Satz ist fuer praktische Anwendungen ungemein wichtig. Zunaechst ein einfacher Fall :
x^2-2*x+1=0 hat die Loesungen x1=1, x2=1
Man erwartet zwei Nullstellen aber diese fallen zusammen auf den Wert x=1.
Wenn man solch eine doppelte oder mehrfache Nullstelle als mehrere Nullstellen unterscheidet, dann lautet der Hauptsatz der Algebra :
Jedes Polynom vom Grad n weist (in C) n Nullstellen auf !
Und dann laesst sich jedes Polynom p(x,n) ungemein praktisch als Produkt darstellen :
p(x,n)=a*(x-x1)(x-x2)....(x-xn)
Wobei x1,x2....xn die Nullstellen sind.
Beispiel :
x^2-2*x+1=(x-1)*(x-1)
Der Satz sollte allgemein gueltig sein um ihn ohne irgendwelche Fallunterscheidungen, Einschraenkungen bequem anwenden zu koennen. Jetzt sagts du : "Hey stimmt doch alles gar nicht !"
"Schau dir mal die Funktion z^2+1=0 an ! (z=x+i*y) Die Funktion schneidet die x Achse nirgends und hat somit keine Nullstelle"
Abb1)
http://home.arcor.de/richardon/2011/scr1.gif
Yoh, tatsaechlich schneidet die Funktion die x Achse nirgends. So ein Mist. Damit wird das nix mit dem Hauptsatz. Oder doch ?
Die Nullstellen von z^+1=0 waeren Wurzel(-1) und -Wurzel(-1). Koennten wir mit diesen beiden irren Zahlen den Hauptsatz retten ? Probieren wir einfach mal aus :
(z- Wurzel(-1))*(z+ Wurzel(-1)) (dritte binomische) = z^2-(Wurzel(-1))^2
Wenn wir fuer Wurzel(-1) ein Symbol i festlegen fuer das gilt : i^2=-1, dann koenten wir unseren Produkt Nullstellensatz weiterhin anwenden.
z^2+1=(z-i)*(z+i)
Das ist super, aber wenn ich z^2+1 betrachte. Wo liegt denn dieses i ? Im Unendlichen ? oder ist es unscharf ? Es soll die x Achse schneiden. f(z)=0. Aber wo ?
EDIT:
Im weiteren betrachte ich aus Anschuungsgruenden |f(z)|=0.
Die Nullstelle liegt direkt vor deiner Nase, blos siehst du sie nicht. Weil Abb1) nur einen Schnitt durch die komplexe Ebene darstellt. Die Im-Achse steht wie eine zusaetzliche Dimension senkrecht auf der x Achse. Das hatten wir bereits gesehen. Sie zeigt somit in die Bildebene, den Monitor hinein.
Eine z-Achse gibt es nicht, denn z ist die komplexe Ebene selbst. f(z)=0 bedeutet somit den Schnitt der Funktion mit dieser Ebene. Praktisch dem Fussboden.
Ich habe mir mal die Muehe gemacht dies 3 D darzustellen :
Abb2)
http://home.arcor.de/richardon/2011/scr2.gif
Der Rahmen zeigt was wir in Abb1) gesehen haben. Lediglich einen Schnitt Im=0 durch die Funktion. Man sieht sehr schoen die Nullstellen (Schnit1 Schnitt 2), Schnitt der Funktion mit der Ebene f(z)=0
Der Schnittpunkt z=i schwebt in Abb1 somit vor dem Monitor und der Schnittpunkt z=-1 befindet sich dahinter :D
Abb2) sollte zu einem AHA Erlebnis fuehren.Mit der Vorstellung von etwas "Verschmiertem" wird das nix.
Gruesse
Bei einer Multiplikation von i mit sich selbst kommt es zu einem Verschränkungszustand dergestalt, dass das Vorzeichen des einen i autromatisch das entgegengesetzte Vorzeichen beim anderen i bedingt (bzw. umgekehrt). Außer dass das vermutlich völlig daneben klingt ;): Spricht irgendetwas Konkretes gegen eine solche Betrachtungsweise? :rolleyes:
Hallo SCR,
mal aus heutiger Sicht eine ganz einfache Aufgabe für dich, bei der du die Richtigkeit deiner Vorstellung "dass das Vorzeichen des einen i automatisch das entgegengesetzte Vorzeichen beim anderen i bedingt" prüfen kannst:
Was kommt heraus bei folgendem Produkt:
sqrt(─ 2) • sqrt(─ 3) = ?
(sqrt = Operationszeichen für die Quadratwurzel)
Aber Vorsicht und Umsicht, denn selbst Leonhard Euler hat sich im Jahre 1770 bei dieser Aufgabe verrechnet. Und das ist kein Scherz, denn ich kann es belegen.
M.f.G. Eugen Bauhof
Hallo Bauhof,
für die Multiplikation zweier Wurzeln mit gleichem Exponenten gilt (wenn meine dunklen Schulkenntnisse mich nicht täuschen): sqrt(a) * sqrt(b) = sqrt(a*b).
-> Ich würde spontan sagen sqrt(-2) * sqrt(-3) = sqrt ((-2)*(-3)) = sqrt(6) = 2,449...
mal aus heutiger Sicht eine ganz einfache Aufgabe für dich, bei der du die Richtigkeit deiner Vorstellung "dass das Vorzeichen des einen i automatisch das entgegengesetzte Vorzeichen beim anderen i bedingt" prüfen kannst
-> Unabhängig davon ob richtig oder falsch: Klär mich bitte auf.
P.S.:
Aber Vorsicht und Umsicht, denn selbst Leonhard Euler hat sich im Jahre 1770 bei dieser Aufgabe verrechnet. Und das ist kein Scherz, denn ich kann es belegen.
Der Euler ist mir sehr sympathisch. :D
-> Ich würde spontan sagen sqrt(-2) * sqrt(-3) = sqrt ((-2)*(-3)) = sqrt(6) = 2,449...
-> Unabhängig davon ob richtig oder falsch: Klär mich bitte auf.
Hallo SCR,
du kommst auf das gleiche falsche Ergebnis wie Euler im Jahr 1770, nämlich sqrt(6).
Das richtige Ergebnis ist nicht + sqrt(6),sondern ─ sqrt(6). Denke eine Nacht darüber nach, vielleicht erkennts du, warum das so ist. Morgen kläre ich dich auf (falls es inzwischen nicht schon jemand anders getan hat).
M.f.G Eugen Bauhof
Hi Eugen
Leonhard Euler hat sich im Jahre 1770 bei dieser Aufgabe verrechnet.Das kann ich fast nicht glauben :-) Hast du einen Link zu der Geschichte parat ?
@SCR
Zu meinem letzten Thread nochmals zusammengefasst :
- Die imaginaere Achse entspricht einer dimensionalen Erweiterung der reellen Achse
- Nur mit den komplexen Zahlen macht der Hauptsatz der Algebra einen Sinn.
- Bei der Multiplikation komplexer Zahlen wird der Betrag wie bisher multipliziert. Das Vorzeichen ist jedoch kontinuierlich und kann ueber einen Winkel dargestellt werden. Dieser muss gesondert berechnet werden. Fuer Multiplikationen verwendet man somit die eulersche Darstellung.
z1*z2=r1*exp(i*phi1)*r2*exp(i*phi2)= ... r1*r2*exp(i*(phi1+phi2))
Resultierendes kontinuierliches "Vorzeichen"=Phasenwinkel
Fuer Additionen verwendet man die triviale vektorielle Form z=x+iy.
Vorsicht !
Es ist eine willkuerliche Vereinbarung, aber fuer eine komplexe Zahl verwendet man gerne die "Variable" z=x+i*y. Alleine damit deutet man schon an : "Jetzt rechne ich komplexwertig" Man drueckt damit aber noch mehr aus und muss daher sehr aufpassen wenn man z statt x im vereinbarten Sinn schreibt. Denn ...
x und y stellen Zahlengeraden dar. Die Realteil- und Imaginaerteilachse. Es existiert aber keine z-Achse und ebensowenig eine f(z) Achse, denn f(z) kann ebenso eine komplexe Zahl darstellen und ist somit selbst ein Punkt in einer Ebene, ein Vektor. z und f(z) stellen Zahlenebenen dar. Jetzt wird es kompliziert, denn die Abbildung f(z) muesste man 4 dimensional darstellen. Das geht nicht. Man kann daher lediglich Betrag oder Phase=Winkel oder Realteil oder Imaginaerteil ueber der komplexen Ebene in 3D darstellen.
Oder Betrag als Wert auf einer Achse und die Phase als Farbe
Oder Realteil als Wert auf einer Achse und Imaginaerteil als Farbe
...
Wir suchen f(z)=0 und wenn der Vektor die Laenge 0 aufweist, dann ist dies gegeben.
In der Abb2) habe ich daher daher |f(z)| mit Phasen Farbenspiel dargestellt
Das bunte Farbenspiel stellt den Phasenwinkel dar.
Das haette ich vorher schon bemerken sollen. Wollte dies aber nicht gleich verkomplizieren.
Es ist ok wenn du dir sagst :
Komplexwertige Schnittpunkte schweben bei einer reellwertigen Darstellung einer Funktion auf meinem Monitor vor oder hinter diesem.
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Etwas fortgeschrittener Teil :
Allgemein gilt :
http://upload.wikimedia.org/math/7/d/0/7d0ddfb9b64f99dcbb129338b8f00076.png
Bestimmen wir einfach mal die Funkionen u und v unseres Beispiels :
f(z)=z^2+1=(x+i*y)^2+1=x^2+2ixy-y^2+1
u(x,y)=x^2-y^2+1
v(x,y)=2xy
Fuer den Betrag muss man nun Wurzel (u^2+v^2) bilden. Das gibt einen etwas unhandlichen Ausdruck. Abbildung 2 stellt dessen Betrag dar.
Wenn gilt f(z)=0 dann gilt auch |f(z)|=|0| (Ok, bischen wackelig)
Der etwas unhandliche Ausruck hat zwei Nullstellen. i und -i.
Der falsche Weg :
Wie waere es wenn wir lediglich fordern der Realteil von f(z) soll null sein ?
x^2-y^2+1=0
x=Wurzel(y^2-1). x soll eine reele Zahl sein. Fuer -1>y>1 gibt es reelle Loesungen (wohl auf einer Hyperbel) fuer x.
http://home.arcor.de/richardon/2011/scr3.gif
Diese Bedingung Re(f(z))=0 kann somit nicht der Bedingung entsprechen f(z)=0, denn fuer Re(f(z))=0 existieren unendlich viele reelle Loesungen.
Wenn wir schon dabei sind koennen wir noch pruefen ob unser f(z) eine holomorphe Funktion darstellt. Dazu muesste sie die Cauchy-Riemannsche partielle Differentialgleichungen erfuellen.
http://upload.wikimedia.org/math/f/0/c/f0c53bfc113797d2cd5268b029983401.png und http://upload.wikimedia.org/math/1/6/1/161cf38cb8515f261719de77aed4ad36.png
Klingt kompliziert ist aber ganz einfach in der Durchfuehrung.
u(x,y)=x^2-y^2+1
v(x,y)=2xy
Wir bilden alle partielle Ableitungen :
δu/δx=2x
δu/δy=-2y
δv/δx=2y
δv/δy=2x
Wir pruefen und sehen : Unsere Funktion f(z)=z^2+1 ist holomorph !
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Gruesse
Ich würde spontan sagen sqrt(-2) * sqrt(-3) = sqrt ((-2)*(-3)) = sqrt(6) = 2,449...
Wenn wir im reellen rechnen dann sind sqrt(-2) und sqrt(-3) nicht definiert.Diese Zahlen sind auf einem reellen Zahlenstrahl nicht darstellbar. Eine Aufgabe mit Elementen zu loesen die gar nicht existieren waere sinnlos. Ich kann etwas sinnloses nicht umformen zu :
sqrt ((-2)*(-3)) Also muss ich von Anfang an die komplexe Darstellung waehlen.
z1*z2=i*Wurzel(2)*i*Wurzel(3)=-Wurzel(6)
Also muss ich von Anfang an die komplexe Darstellung waehlen.Oder die Potenzschreibweise, die hebt die Wurzel weg.
sqrt(─ 2) • sqrt(─ 3) = ?
√-2 • √-3 = ?
√-2 • √(-2 • 3/2) = ?
√-2 • √-2 • √(3/2) = ?
(√-2)² • √(3/2) = ?
-2 • √1,5 = ?
-2 • 1,2247... = -2,449...
Gruß EMI
-2 • √1,5 = ?
-2 • 1,2247... = -2,449...
z1*z2=i*Wurzel(2)*i*Wurzel(3)=-Wurzel(6)
Das richtige Ergebnis ist nicht + sqrt(6),sondern ─ sqrt(6).
Mit dieser Definition bin ich nicht ganz glücklich. Die Wurzel aus 6 hat zwei Lösungen, sowohl 2,449... als auch -2,449... Dieselben Ergebnisse hat -sqrt(6).
Morgen zusammen!
√-2 * √-3
a) = √ (-2 * -3) = √6 (~ Euler)
a) = (√2 * √-1) * (√3 * √-1) = (√-1)² * √6 = -√6 (~ EMI)
b) = (√2 * i ) * (√3 * i ) = i² * √6 = -√6 (~ richy)
Wenn wir im reellen rechnen dann sind sqrt(-2) und sqrt(-3) nicht definiert. Diese Zahlen sind auf einem reellen Zahlenstrahl nicht darstellbar. Eine Aufgabe mit Elementen zu loesen die gar nicht existieren waere sinnlos. Ich kann etwas sinnloses nicht umformen zu: sqrt ((-2)*(-3)) Also muss ich von Anfang an die komplexe Darstellung waehlen.
Das würde für b) zutreffen.
Laut wiki (http://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_%28Mathematik%29) ...
Bei negativen Zahlen können diese Rechengesetze nur angewendet werden, wenn m und n ungerade Zahlen sind.
... würde das (nur) daran liegen, dass die erste Wurzel mit der 2 eine gerade Zahl enthält. :rolleyes:
Die Wurzel aus 6 hat zwei Lösungen, sowohl 2,449... als auch -2,449... Dieselben Ergebnisse hat -sqrt(6)
Wären dann aber nicht beide "Zwischenlösungen" (√6 als auch -√6) als gleichberechtigt anzusehen - Denn sie würden letztendlich ja beide zu den gleichen Endergebnissen führen? Und IMHO sogar irgendwie "über Kreuz verschmiert" ... :rolleyes:
wiki schränkt allerdings ein:
Obwohl die eingangs genannte Fragestellung bei geradzahligen Wurzelexponenten und positiven Radikanden zwei Lösungen mit unterschiedlichen Vorzeichen besitzt, steht die Schreibweise mit dem Wurzelzeichen √ grundsätzlich für die positive Lösung.
-> Frage: Was heißt das jetzt für mich in Summe? ;)
Zitat:
Leonhard Euler hat sich im Jahre 1770 bei dieser Aufgabe verrechnet.
Das kann ich fast nicht glauben :-) Hast du einen Link zu der Geschichte parat?
Hallo Richy,
einen Link zur Seite 2 dieses Buches [1] habe ich parat, siehe Anhang (vierte Zeile von oben). Tristan Needham war ein Student von Roger Penrose. Die beiden müssen es wohl wissen.
Mit freundlichen Grüßen
Eugen Bauhof
[1] Needham, Tristan
Anschauliche Funktionentheorie. (http://www.science-shop.de/blatt/d_sci_sh_produkt&_knv_dok_nr=000120130)
München 2001. ISBN=3-486-24578-3
Wären dann aber nicht beide "Zwischenlösungen" (√6 als auch -√6) als gleichberechtigt anzusehen - Denn sie würden letztendlich ja beide zu den gleichen Endergebnissen führen?
Ja, wie gesagt, hat sqrt(-2)*sqrt(-3) streng genommen zwei Lösungen, nämlich 2,449... und -2,449... Ob man hier i²*sqrt(6) oder sqrt(6) schreibt ist demnach egal, weil beides zum selben Ergebnis führt.
Ich hab schon gesehen, dass auf Wiki steht, mit Wurzel wäre grundsätzlich die positive Wurzel gemeint. Diese Einschränkung kann ich aber nicht nachvollziehen. Sie scheint mir willkürlich und inkonsistent.
Ich hab schon gesehen, dass auf Wiki steht, mit Wurzel wäre grundsätzlich die positive Wurzel gemeint. Diese Einschränkung kann ich aber nicht nachvollziehen. Sie scheint mir willkürlich und inkonsistent.
Dem möchte ich zunächst zustimmen.
Andererseits muss man, glaube ich, es extra angeben, wenn man beide Lösungen meint. So wie bei der Diskriminante, z.B.:
http://upload.wikimedia.org/math/0/f/1/0f16872ccd04ca7ecce3544bc3521ff1.png
In unserem Fall müsste es also heissen:
x1,2 = ± sqrt(-2)*sqrt(-3)
wenn man an beiden Lösungen interessiert wäre, beide angeben möchte.
So gesehen passt's wieder.
Gruss, Johann
Andererseits muss man, glaube ich, es extra abgeben, wenn man beide Lösungen meint.
Warum?
Ich argumentiere:
2²=4
(-2)²=4
Daher folgt für die Umkehroperation sqrt():
sqrt(4)=2 und -2
Aus welchem Grund sollte man -2 nicht als Lösung ansehen?
Argumente?
sqrt(4)=2 und -2
Aus welchem Grund sollte man -2 nicht als Lösung ansehen?
Argumente?
Weil es dann nicht eindeutig ist.
f(x) = x^1/2
f(x) muss (?) ein eindeutiges Ergebnis liefern.
richy wird dazu sicher mehr und fundierter schreiben können. :)
Mengen, Abbildungen, etc. ...
Fakt ist, dass man es angibt, wenn beide Lösungen gefragt sind.
Dazu musst du dich nur an die Schule und Kurvendiskussion erinnern. :)
Gruss, Johann
Hallo zusammen,
Einerseits kenne ich das grundsätzlich auch genauso wie von Benjamin geschrieben - Sinngemäß:
Beim Quadrieren führen zwei unterschiedliche Zahlen zum gleichen Ergebnis, beim Wurzelziehen sind deshalb auch immer zwei Lösungen gleichberechtigt.
-> Keiner hat sich da oben verrechnet ;).
Andererseits muß ich zugeben, dass ich niemanden (mich eingeschlossen) wüsste, der z.B. ein in einer Berechnung auftretendes √4 nicht spontan und eindeutig als +2 interpretieren würde (Benjamin- Vielleicht Du?).
Was ich in Wiki aber auch "sonderbar" finde:
Für positive Zahlen a und b gelten die folgenden Rechengesetze:
http://1.1.1.2/bmi/upload.wikimedia.org/math/7/3/d/73d577cd0a118df1dda404e72e4a922d.png
[...]
Bei negativen Zahlen können diese Rechengesetze nur angewendet werden, wenn m und n ungerade Zahlen sind.
-> Bei √-2 * √-3 dürfe ich demnach die Wurzel nicht "zusammenziehen", bei √-5 * √-3 dürfte ich das dagegen schon - Die dahinterstehende Logik erschließt sich mir nicht.
richy wird dazu sicher mehr und fundierter schreiben können
He he, nein leider auch nicht. Ich war vor langer Zeit sogar Benjamins Meinung. Ein Mathematiker hat mich dann vom Gegenteil ueberzeugt und das hat bisher immer gepasst.
Vieleicht kann man argumentieren, dass durch eine Umformung eine Gleichung nicht mehrdeutig werden darf :
1=1
Wurzel(1)=Wurzel(1)
Wuerde ich hier beide Vorzeichen zulassen waere die Gleichung in zwei Faellen sogar falsch :
Wurzel(1)=-Wurzel(1) auf beiden Seiten durch +-Wurzel(1)
1=-1 oder -1=1
Aus welchem Grund sollte man -2 nicht als Lösung ansehen?
In deinem Beispiel wuerde ich -2 als Loesung ansehen. Es kommt auf die Aufgabenstellung an. Du hattest diese formuliert als:
x^2-4=0
Ein Polynom zweiten Grades hat zwei Nullstellen.
Aber wenn ich lediglich anschreibe x=Wurzel(4), dann ist das ein Polynom vom Grad eins und es gibt nur eine Nullstelle. Ok, du koenntest auf beiden Seiten quadrieren. Damit erzeugst du aber eine Loesung, die es zuvor nicht gab. So ganz schluessig ist das auch nicht, aber es entspricht dem Hauptsatz der Algebra.
Zu sqrt(-2)*sqrt(-3).
Ich wuerde sicherlich bei einer Rechnung hier auch manchmal reintreten. Bei der Loesung verwende ich Wurzel(-1)=i. Das ist wackelig. Es gibt ein Mathe-Raetsel in dem man in aehnlicher Form zeigt 1=-1. Vielleicht koennte dies weiterhelfen.
Hi SCR
http://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_%28Mathematik%29#Die_Wurzelgesetze
Bei negativen Zahlen können diese Rechengesetze nur angewendet werden, wenn m und n ungerade Zahlen sind. Bei komplexen Zahlen sind sie gänzlich zu vermeiden.
m und n. Nicht a und b. Der Wiki Eintrag ist aber soundso nicht so doll.
In unserem Fall müsste es also heissen:
x1,2 = ± sqrt(-2)*sqrt(-3)
wenn man an beiden Lösungen interessiert wäre, beide angeben möchte. So gesehen passt's wieder.
Gruss, Johann
Hallo Johann,
ähnlich wie du wollte ich soeben auch argumentieren.
± sqrt(─2)•sqrt(─3) = ? war eben nicht die Aufgabenstellung, sondern sqrt(─2)•sqrt(─3) = ?
Die Lösung der Aufgabe vollständig ausgeschrieben lautet wie folgt:
[+sqrt(─2)]•[+sqrt(─3)] = ─ sqrt(6).
Wenn bei einem Wurzelausdruck kein Vorzeichen angegeben ist, dann ist in der Mathematik stillschweigend das Pluszeichen vereinbart. Die vermeintliche Lösung +sqrt(6) ist deshalb falsch, wie es bereits Needham notierte.
M.f.G Eugen Bauhof
-> Frage: Was heißt das jetzt für mich in Summe? ;)
Hallo SCR,
das heißt für dich "in Summe", dass das Ergebnis + sqrt(6) falsch ist und das Ergebnis ─ sqrt(6) richtig ist. Obwohl es Richy und EMI bereist hinreichend erklärt haben, scheinst du es noch nicht ganz zu akzeptieren. Deshalb will ich es dir Schritt für Schritt herleiten:
[+sqrt(─2)]•[+sqrt(─3)] = ? Die Pluszeichen können vereinbarungsgemäß weggelassen werden, also kommt:
sqrt(─2)•sqrt(─3) = ?
sqrt[(─1)•2]•sqrt[(─1)•3] = ?
[sqrt(─1)•sqrt(2)]•[sqrt(─1)•sqrt(3)] = ? ; Nachdem sqrt(─1) = +i ist, ergibt sich:
[i•sqrt(2)]•[i•sqrt(3)] = ?
i²•sqrt(2)•sqrt(3) = ? ; Nachdem i² = ─1 ist , ergibt sich:
(─1)•sqrt(2)•sqrt(3) = ─ sqrt(6).
M.f.G. Eugen Bauhof
Weil es dann nicht eindeutig ist.
[...]
Fakt ist, dass man es angibt, wenn beide Lösungen gefragt sind.
Dazu musst du dich nur an die Schule und Kurvendiskussion erinnern. :)
Okay, Eindeutigkeit ist ein gutes Argument.
Soweit ich mich aber erinnere, war es immer selbstverständlich, dass beide Wurzellösungen angeschrieben werden mussten. Zumindest auf der Uni war es so. In Erinnerung habe ich da noch deutlich die Lösung von Eigenwertproblemen. Das liegt aber auch wahrscheinlich daran, dass die Probleme in der Physik grundsätzlich Polynome als Lösungen haben, und hier werden Ergebnisse nicht aufgrund von Definitionen ausgeschlossen, sondern aus physikalischen Argumenten.
Wenn bei einem Wurzelausdruck kein Vorzeichen angegeben ist, dann ist in der Mathematik stillschweigend das Pluszeichen vereinbart. Die vermeintliche Lösung +sqrt(6) ist deshalb falsch, wie es bereits Needham notierte.
Ja, ich zweifle nicht an, dass dem in der Mathematik so ist. Ich möchte nur ausdrücken, dass ich das ein wenig inkonsistent finde. Aber gut, das Argument mit der Eindeutigkeit hat mich ein wenig besänftigt.
Ich bin es halt gewohnt, die Mathematik naturwissenschaftlich zu nutzen und da existiert neben den beiden Lösungen der Wurzel auch die Division durch null als Lösung, nämlich unendlich.
Ich bin es halt gewohnt, die Mathematik naturwissenschaftlich zu nutzen und da existiert neben den beiden Lösungen der Wurzel auch die Division durch null als Lösung, nämlich unendlich.
Hallo Benjamin,
die Division durch Null ist in der Mathematik mit gutem Grund streng verboten. Was in der Naturwissenschaft eine Division durch Null nützen würde, ist mir schleierhaft. Man kannn eine Variable, die im Nenner steht, nur gegen die Null streben lassen. Aber sie darf niemals den Wert Nulll annehmen. Wenn doch, dann ist etwas faul.
M.f.G. Eugen Bauhof
Hallo zusammen!
Da scheinen wir ja alle was gelernt zu haben. :)
He he, nein leider auch nicht.
Dann werde ich versuchen dazu was zu finden.
± sqrt(─2)•sqrt(─3) = ?
Da fällt mir noch eine Möglichkeit ein:
[±sqrt(─2)] • [∓sqrt(─3)] = ?
mit 4 Lösungen, von denen 2 identisch sind. :D
Gruss, Johann
und hier werden Ergebnisse nicht aufgrund von Definitionen ausgeschlossen, sondern aus physikalischen Argumenten.
So, wie Tachyonen. (?)
Ja, da muss man wohl zwischen Physik und Mathe etwas differenzieren.
Gruss, Johann
Vielleicht noch ein Beispiel, das zeigt , dass die Aufgabenstellung ausschlagebend ist.
Lautet diese
1) x-3=0
dann hat diese Aufgabenstellung genau eine Loesung.
Wenn ich nun umforme und auf beiden Seiten quadriere erhalte ich :
2) x^2=9
Diese Gleichung hat 2 Loesungen
Es ist somit die Quadratur, die nun zu einer zweiten Loesung fuehrt.
x =+-Wurzel(9)
x1=3 und x2=-3
Waere die Aufgabe nach 2) formuliert waeren dies die Loesungen.
Die Ausgangsaufgabe war aber die Gleichung 1)
Und diese hat ganz klar lediglich die Loesung x=3
Ob man +-Wurzel() oder nur den Hauptwert +Wurzel() betrachtet haengt damit von der Aufgabenstellung ab. Auf welchem Weg sich die Wurzel ergibt. Und die Vereinbarung ist, dass mit dem Wurzelzeichen stets nur der Hauptwert also + gemeint ist. Andernfalls muss ich dies extra kennzeichnen, explizit anschreiben.
x^3=-1 hat drei Loesungen
Verstehe ich unter x=(-1)^(1/3) nicht nur den Hauptwert muss ich das irgendwie kennzeichnen.
und hier werden Ergebnisse nicht aufgrund von Definitionen ausgeschlossen, sondern aus physikalischen Argumenten.
Ein quadratischer Garten hat die Flaeche 9 qm,
Wie gross ist die Seitenlaenge des Gartens ?
Ich meine die Antwort -3 m waere falsch :-)
Ein quadratischer Garten hat die Flaeche 9 qm,
Wie gross ist die Seitenlaenge des Gartens ?
Ich meine die Antwort -3 m waere falsch :-)
Ja, weil Abstände definitionsgemäß positiv sind.
die Division durch Null ist in der Mathematik mit gutem Grund streng verboten. Was in der Naturwissenschaft eine Division durch Null nützen würde, ist mir schleierhaft.
Du könntest zB. fragen, welche Energie nötig wäre, ein Teilchen zu beschleunigen, sodass die Eigenzeit desselben stehen bleibt, sprich null ist. Ein radioaktives Präparat wäre in diesem Zustand nicht mehr radioaktiv, weil es nicht mehr zerfällt.
Wie sich jedoch zeigt, führt diese Rechnung zu einer Division durch null und liefert damit als Ergebnis einen unendlichen Energieaufwand. Wir lernen daraus, dass wir den Zerfall von radioaktiven Teilchen nicht durch Beschleunigung stoppen können, es sei denn wir hätten unendlich Energie zur Verfügung.
Wenn du nun argumentierst, dass eine solche Rechnung nicht erlaubt sei, sondern lediglich im Limes zu einem schlüssigen Ergebnis führe, halte ich dagegen, dass der Limes gar nicht notwendig ist. Er ist eine mathematisch definierte (und damit willkürliche) Vorschrift. Physikalisch gibt es keinen Grund diesen Limes zu fordern. Die Aussage "Eine endliche Zahl durch null dividiert, ergibt unendlich" reicht völlig aus.
Hallo Eugen,
[+sqrt(─2)]•[+sqrt(─3)] = ? Die Pluszeichen können vereinbarungsgemäß weggelassen werden, ...
Definitionen und Vereinbarungen zu kennen, sind sicher unabdingbar, um überhaupt zu verstehen...
Von der Logik her gesehen, habe ich aber bei dieser Rechnung ein Problem.
So wie sich aus
[+sqrt(─2)]•[+sqrt(─3)]
─ sqrt(6) ergibt,
müßte sich logischerweise aus
[+sqrt(-1)•[+sqrt(-1)]
─ sqrt(1) ergeben
Da nun aber sqrt(-1) = i ist, ergäbe sich, dass
i*i = ─ sqrt(1) :confused:
und das passt dann nur, wenn man -1 als Lösung für sqrt(1) ausschließt.
Bitte prüfe, ob bei diesem Schritt
sqrt[(─1)•2]•sqrt[(─1)•3] = ?
[sqrt(─1)•sqrt(2)]•[sqrt(─1)•sqrt(3)] = ?
nicht etwas passiert, was lt. Wiki (http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene)ungleich ist.
http://upload.wikimedia.org/math/8/0/a/80a07086deea2c906f10205c1cd1bfce.png
mfg
quick
m und n. Nicht a und b. Der Wiki Eintrag ist aber soundso nicht so doll.
Upps! :o Jetzt seh' ich's auch! :D Danke!
Ein quadratischer Garten hat die Flaeche 9 qm,
Wie gross ist die Seitenlaenge des Gartens ?
Ich meine die Antwort -3 m waere falsch :-)
Ja, weil Abstände definitionsgemäß positiv sind.
Ja.
Aber wenn richy im Ursprung eines Koordinatensystems stehen würde könnte er mittels der Vorzeichen der Seitenlängen vier gleich große (identische?) Gärten von 9m², die zusammen ein Quadrat bilden, auseinanderhalten ...
Aber bei einer entsprechenden Multiplikation der Seitenlängen würde ihm immer eine Information verloren - Er erhält nur noch je zwei (identische?) "Gartenflächen-Pärchen" ...
Wenn man dann noch eine Dimension höher gehen würde verliert man wieder eine Information (oder?) ... Irgendwie finde ich das sonderbar. Mal nachdenken ...
(Sorry aber bei mir trifft oft zu: Je simpler die Beispiele umso größer die Grübeleien ;))
Plus und Minus ... in der Physik haben die doch eigentlich nur die Bedeutung von "entgegengesetzt" - Oder? (Wobei keines der beiden ausgezeichnet wäre?)
Entgegengesetzte Richtung, Wirkung, Ladung, ...
Mit Bezug auf richys Einschätzung: Bei der Frage nach einem Abstand ist die Richtung unerheblich ... Da wäre es tatsächlich unpassend, eine "Richtung" mitzugeben. Obwohl streng genommen ein Abstand physikalisch doch auch immer einen Richtungsbezug hat ... Hmm
Kann irgendetwas Physikalisches denn im wahrsten Sinne des Wortes "ins Negative" gehen? Auf Anhieb fällt mir da nichts ein ... :rolleyes:
P.S.:
Die Aussage "Eine endliche Zahl durch null dividiert, ergibt unendlich" reicht völlig aus.
Interessehalber (weiß aber gar nicht ob das hierher passt): Siehst Du einen Unterschied zwischen
0 und "nicht definiert"
0 und Nichts
Nichts und "nicht definiert"?
(Gerne "abstrakt" beschrieben - und Antwort auch gerne von anderen)
Marco Polo
15.06.11, 21:54
Hallo,
Wie sich jedoch zeigt, führt diese Rechnung zu einer Division durch null und liefert damit als Ergebnis einen unendlichen Energieaufwand. Wir lernen daraus, dass wir den Zerfall von radioaktiven Teilchen nicht durch Beschleunigung stoppen können, es sei denn wir hätten unendlich Energie zur Verfügung.
Wenn du nun argumentierst, dass eine solche Rechnung nicht erlaubt sei, sondern lediglich im Limes zu einem schlüssigen Ergebnis führe, halte ich dagegen, dass der Limes gar nicht notwendig ist. Er ist eine mathematisch definierte (und damit willkürliche) Vorschrift. Physikalisch gibt es keinen Grund diesen Limes zu fordern. Die Aussage "Eine endliche Zahl durch null dividiert, ergibt unendlich" reicht völlig aus.
eigentlich befürchte ich, mit meinem Beitrag wieder die leidige Diskussion loszutreten, ob denn die Division durch Null erlaubt sei.
In der Algebra ist die Division durch Null definitiv nicht erlaubt, da x/0 nicht definiert ist. Wäre 1/0=y dann müsste y*0=1 sein. Es ist leicht einzusehen, dass das Unsinn ist.
In der Analysis, also der Infinitesimalrechnung sieht das wieder anders aus. Wenn ich eine Grenzwertbetrachtung durchführe, dann erhalte ich für
lim(x ---> 0)(1/x)=unendlich
Gruss, Marco Polo
quicks Wiki Beispiel
http://upload.wikimedia.org/math/8/0/a/80a07086deea2c906f10205c1cd1bfce.png
http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl#Wurzeln
Genau diesen Widerspruch hatte ich gemeint, der mit Eugens Beispiel verwandt ist.
Bei Wiki folgt eine weitere Begruendung in Kurzform :
Zur Berechnung der n-ten Wurzeln der komplexen Zahl z = r*exp(iφ) dient die Formel
http://upload.wikimedia.org/math/3/5/c/35c3d6b701cc5f89be548760d19d21b0.png
k=0..n-1
Eine Zahl hat also n komplexe n-te Wurzeln. Dadurch ist ein Wurzelterm in C mehrdeutig.
(Diese Begruendung wird sich als nicht direkt schluessig herausstellen)
Andernfalls haette Benjamin im Fall der Wurzel einer komplexen Zahl somit nun doch recht ? Hier sind stets alle Werte gemeint ? Die komplexen Zahlen sichern den Hauptsatz der Algebra und kaum freut man sich darueber ist dieser schon wieder aufgrund derselben hinfaellig ?
Ich hab gerade mal in Maple allvalues(evalc((-1)^(1/3))); eingetippt. Das kennt diese Vereinbarung wohl nicht. Bei solve(z^3=-1,z); druckt es dagegen brav alle drei Loesungen aus.
Und warum sollte die Wurzel nur fuer komplexe Zahlen mehrdeutig sein ?
x^2=1
x=exp(i*(0+k*Pi) k=0,1
x1=exp(0)=1
x2=exp(j*Pi)=-1
oder
x^3=1
x1=1 eine reele Loesung
x2=-1/2+1/2*I*Wurzel(3) zwei konjungiert komplexe Loesungen
x3=-1/2-1/2*I*Wurzel(3)
Sind mit 1^(1/3) alle drei Ausdruecke gemeint ?
Also jetzt mal konkret ! :
Die Wurzel ist im komplexen ueber den komplexen ln definiert.
exp(ln(z^(1/n)))=exp(ln|z|/n)=exp(ln|z|/n+i*(phi+k*2*Pi)/n) k=0..n-1
************************************************** ***
Vereinfachungen :
In quicks Beispiel gilt stets |z|=1 und damit ln|z|/n=ln|1|/n=0
Es bleibt fuer diese Faelle der Term exp(i*(phi+k*2*Pi)/n)
Den Ausdruck kennen wir bereits und phi kennen wir auch. Mich interessierte
an dieser Stelle lediglich noch einmal in welcher Reihenfolge die Operatoren abgearbeitet werden. Jetzt moechte ich zusaetzlich nur den Hauptwert verwenden k=0. Dann erhalte ich die Vereinfachung
exp(i*(phi)/n) Ich gehe im Folgenden somit relativ willkuerlich wie folgt vor :
a) Ersetzen der Zahl durch die komplexe exp-Schreibweise.
b) Verwenden des Hauptwertes k=0
c) Abarbeiten der Operatoren von innen nach aussen.
Dann erhalte ich folgende Ergebisse :
ACHTUNG HIER FEHLT EINE KONVENTION !
1) Wurzel(-1)*Wurzel(-1)=exp(i*Pi/2)*exp(i*Pi/2)=exp(i*Pi)=-1
2) Wurzel[(-1)(-1)]=Wurzel(exp(i*Pi)*exp(i*Pi))=Wurzel(exp(i*2*Pi)=ex p(i*Pi)=-1
(NACH DER KONVENTION PHI<2*PI ERGIBT SICH 1)
3) Wurzel((-1)^2)=Wurzel(exp(2*I*Pi))=exp(i*Pi)=-1
Die Ergebnisse moegen nicht intuitiv sein, aber wenn ich mich an die Regeln a,b,c halte so ergibt dies wenigstens in dem Beispiel keinen Widerspruch und spaetestens beim naechsten Beispiel sollte klar sein was hier konkret passiert.
Fall 3) abweichend von meinen willkuerlichen Regeln berechnet :
Wurzel((-1)^2)=Wurzel(1)=Wurzel(exp(i*0))=exp(i*0/2)=1
***************************
exp(i*0)=1=exp(i*2*Pi)
aber ziehe ich auf beiden Seiten die Wurzel :
exp(i*0/2)=1 <> -1=exp(i*2*Pi/2)
***************************
Das scheint mir der eigentliche Grund der widerspruechlichen Berechnungen.
Das hat weniger mit der Mehrdeutigkeit eine Wurzel zu tun, sondern der Mehrdeutigkeit einer Zahl in der komplexen Ebene. Liegt dies lediglich daran, dass der Phasenwinkel Null eine Ausnahme darstellt ? Nein.
Beweis, eher unwichtig :
Keine Probleme ergeben sich wenn folgende Bedingung erfuellt ist :
phi/n-(phi+k*2*Pi)/n=m*2*Pi, k=1,2,3...., m=ganze Zahl
-k*2*Pi/n=m*2*Pi
-k/n=m
Wenn k somit zufaelligerweise den Primfaktor n aufweist erhaelt man zufaelligerweise ein eindeutiges Ergebnis :-)
Test in dem dies nicht gegeben ist :
z1=2*Pi
z2=2*Pi+3*2*Pi=8*Pi
n=2
z1/n=Pi (Phasenwinkel von -1)
z2/n=4*Pi (Phasenwinkel von 1)
Test in dem dies gegeben ist :
z1=Pi/2
z2=Pi/2+15*2*Pi
n=3 (3.te Wurzel und 3 ist ein Primfaktor von 15)
z1/3=Pi/6
z2/3=Pi/6+15*2*Pi/3=Pi/6+5*2*Pi
=>z1=z2
Das ist eine Spielerei :-) Man kann sich nicht darauf verlassen, dass n ein Primfaktor vom Faktor k der Mehrdeutigkeit k*2*Pi ist. Es muss also eine Vereinbarung getroffen werden. Ob meine Regeln a,b,c immer zum richtigen Ergebnis fuehren ist fragwuerdig. Eine allgemeinere Regel waere vielleicht, dass man sich bei allen Ausdruecken stets im selben Winkelintervall, Ast des ln bewegt.
Gruesse
Ach schon wieder so lang :-)
http://upload.wikimedia.org/math/8/0/a/80a07086deea2c906f10205c1cd1bfce.png
Zusammenfassung als Brainstorming :
Beispiel 1)
exp(i*0)=1=exp(i*2*Pi)
aber ziehe ich auf beiden Seiten die Wurzel :
exp(i*0/2)=1 <> -1=exp(i*2*Pi/2)
Beispiel 2)
exp(i*Pi/2)=i=exp(i*(Pi/2+2*Pi)
aber ziehe ich auf beiden Seiten die Wurzel :
exp(i*Pi/4)<>exp(i*Pi/4+Pi)
Die Mehrdeutigkeit der Wurzel hat ebensowenig wie die Definition i^2=-1 mit dem oben dargestellten Widerspruch etwas zu tun. Ich sehe dies jedenfalls nicht. Es ist die Mehrdeutigkeit einer einzelnen Zahl selbst ueber den Phasenwinkel (k*2*Pi) Wenn der Hamster ueber 2*Pi rennt gibt es Probleme mit dem Hamster der sich immer zwischen 2*Pi>phi>=0 bewegt.
Noch ein Test :
sqrt(─2)•sqrt(─3)=sqrt(3)*exp(i*Pi/2)*sqrt(2)*exp(i*Pi/2)=
sqrt(6)*exp(i*Pi)=-sqrt(6)
Hallo richy,
http://upload.wikimedia.org/math/8/0/a/80a07086deea2c906f10205c1cd1bfce.png
die Zahlenwelt ist nicht so "mein Ding", deshalb meine Frage an dich.
Muß man "i" nicht als Operator betrachten?
Demnach wäre sqrt[(-1)*(-1)] in dem Beispiel eigentlich als sqrt[(i²)*(i²)] zu schreiben und dann ist und bleibt i² = -1.
mfg
quick
Physikalisch gibt es keinen Grund diesen Limes zu fordern. Die Aussage "Eine endliche Zahl durch null dividiert, ergibt unendlich" reicht völlig aus.
Ich meine in dem speziellen Fall gaebe es keine Probleme einfach k/0 zu schreiben. Der Ausdruck 1/0 oder k/0 ist nicht unbestimmt und es gibt daher keinen Zweifel dass dieser Ausdruck oo darstellt. Aber 0 und oo sind nun mal keine Zahlen sondern Grenzwerte. 0 ist eine Ziffer aber keine Zahl. Es sieht einfach auch doof aus wenn man diese Grenzwerte wie Zahlen anschreibt und man bricht sich doch keinen ab hier einen limes anzuschreiben.
Wobei man natuerlich auch auf elegante Weise Unsinn produzieren kann :
23*limes(x,x->0)=11*limes(x,x->0) | /limes(x,x->0)
23=11 :D
Bei unbestimmten Ausdruecken ist dies dann nicht nur mehr eine Angelegenheit des Stils. Die Aussage "0/0 ist ein unbestimmter Ausdruck" wird verwendet und kann man akzeptieren. Aber wenn irgendjemand ueber 0/0 philosophiert, was nun tatsaechlich im www haeufig vorkommt, dann wird wohl auch ein Rat zur Regel von l'Hospital wenig bewirken, weil alleine die Schreibweise schlimmes befuerchten laesst. Von solchen Faellen sollte man sich besser distanzieren. Es gibt ja alleine in der Orthographie oder Orthografie, auch Rechtschreibung genannt genuegend Moeglichkeiten sich fehlerhaft auszudruecken, wie ich es regelmaessig beweise :-)
Was kommt raus, wenn man aus der Gleichung:
(+2)² = (-2)²
die Wurzel zieht?:
√(+2)² = √(-2)² :rolleyes:
Gruß EMI
Hi quick
Muß man "i" nicht als Operator betrachten?
Ich meine das waere keine gute Betrachtungsweise. In einen Operator f{} steckst du einen Input rein und erhaeltst einen Output=f{Input} Eine Black Box waere ein allgemeines Beispiel dafuer. Aber in die imaginaere Einheit laesst sich nichts hineinstecken. Ok, zusammen mit der Multiplikation stellt i einen Operator dar. Eine Drehung um 90 Grad in der komplexen Ebene. Aber hier ist die Multiplikation der eigentliche Operator. Genauso wie im Fall, dass ich eine Zahl mit minus eins multipliziere. Alleine der Ausdruck "imaginaere Einheit" weist darauf hin, dass i im Grunde ein spezielles Vorzeichen darstellt. -1*i, 1*i, -1, 1 wuerde ich als spezielle Vorzeicheneinheiten interpretieren. Das uns gewohnte negative und positive Vorzeichen auf dem reellen Zahlenstrahl gibt uns ausgehend vom Nullpunkt die Richtung an, in der wir die Zahlengerade betrachten. Ein Vorzeichen repraesentiert somit eine Richtung, einen Winkel. Betrachten wir nochmals die komplexe Ebene :
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/59/Gaussplane_kartesianAndPolar.png/220px-Gaussplane_kartesianAndPolar.png
Jeder Punkt darauf stellt eine komplexe Zahl dar. Der Ortsvektor, die Verbindung des Punktes mit dem Nullpunkt bildet mit der Re-Achse einen vereinbarten Winkel phi. Eine Richtung. Verstehen wir ein Vorzeichen als Richtungsangabe, dann wird diese und damit das Vorzeichen ueber phi repraesentiert. Es gibt unendlich viele solcher Richtungen und damit in der komplexen Ebene unendlich viele Vorzeichen. Es ist natuerlich Geschmackssache. Aber ich meine es ist eine praktische Vorstellung phi als kontinuierliches Vorzeichen zu betrachten und phi=0, Pi/2, Pi, 3/2*Pi stellen dann spezielle Faelle dar. Besonders ungewoehnlich ist natuerlich, dass das Vorzeichen phi=arg(Im,Re) von den Betraegen abhaengt.
Demnach wäre sqrt[(-1)*(-1)] in dem Beispiel eigentlich als sqrt[(i²)*(i²)] zu schreiben und dann ist und bleibt i² = -1.
Das ist im Ansatz eine sehr gute Idee. Wir ersetzen -1 einfach durch die Definition -1=i^2. Da sind wir auf der sicheren Seite. Aber welche Operation verwendest du dann um sqrt[(i²)*(i²)] auszuwerten ?
Meine etwas laengere Ausfuehrung hat gezeigt, dass es unsachgemaess ist wenn man im komplexen Zahlenbereich Terme gleichsetzt, die sich um einen Phasenwinkel groesser 2*Pi unterscheiden. Das wuerde aber bedeuten, dass man den Ausdruck sqrt[(i²)*(i²)] fuer sich alleine ueberhaupt nicht eindeutig auswerten kann. Selbst dann nicht wenn wir hier wie von dir vorgeschlagen die grundlegende Definition von i verwenden. Ohne eine spezielle Konvention koennten wir nur stets gueltige Relationen zu einem anderen komplexwertigen Ausdruck angeben. In der Form, dass man in beiden Ausdruecken sich im selben Phasenintervall bewegt und damit Widersprueche vermeidet. Die absolute Angabe eines Wertes waere aber nicht moeglich.
Die Relativitaetstheorie in allen Eheren aber das waere im Rahmen der Mathematik ein voellig unbefriedigender Zustand, den man doch ueber gewisse Vereinbarungen, Konvetionen sicherlich beheben koennte.
Ausserdem haenge ich am Hauptsatz der Algebra !
Wenn z-z0=0 tatsaechlich beliebig viele Loesungen aufweisen soll, alleine weil man fuer z0 eine angeblich beliebig mehrdeutige komplexe Zahl z.B. der Form z^(1/n) annehmen darf, also dann weiss ich auch nicht mehr weiter.
Gruesse
Was kommt raus, wenn man aus der Gleichung:
(+2)² = (-2)²
die Wurzel zieht?:
Zustand vor der Verwurzelung :
4=4
Hamster Schreibweise :
Hamster 1 = Hamster 2
Komplexe Schreibweise :
4*exp(i*0)^2=4*exp(i*Pi)^2
exp(i*0)^2=exp(i*Pi)^2
exp(i*2*0)=exp(i*2*Pi)
1=1
1=1 ist eine gueltige Aussage, aber ich befuerchte dennoch, dass die beiden EMI Hamster sich nicht in kompatiblen Laufraedern befinden :D
Es sei mir daher gestattet den Uebermut des Hamsters i*2*Pi etwas zu drosseln, zuerueckzudrehen. So dass dessen Zustand, Laufrad besser zu seinem Kollegen i*2*0 passt :D
Insbesonders wird kein komplexwertiger Hamsterfreund etwas dagegen haben wenn ich von dem uebermuetigen i*2*Pi Hamster einen Phasenwinkel 2*Pi entferne. Das tut ueberhaupt nicht weh denn am Zahlenwert dieses Hamsters wird dies absolut nichts aendern.
Lediglich an dessen Uebermut. Ein solcher ist aber eine rein philosophische Eigenschaft. Gibt es hierzu Einwaende ?
exp(i*2*0)=exp(i*2*Pi)=exp(i*(2*Pi-Uebermut) )
Uebermut des Hamsters 2 = 2*Pi =>
exp(i*2*0)=exp(i*0)
Beide Hamster unterscheiden sich scheinbar noch (2*0 und 0) Korrektur :
2*limes(x,x->0) und limes(x,x->0). Dennoch bin ich zuversichtlich, dass man bei beiden Hamstern nun eine Hamsterwurzel ziehen kann ohne dass sich ein Widerspruch ergibt :
exp(i*0)=exp(i*0/2)=exp(i*0)
1=1
Gruss
richy
Von der Logik her gesehen, habe ich aber bei dieser Rechnung ein Problem.
So wie sich aus
[+sqrt(─2)]•[+sqrt(─3)]
─ sqrt(6) ergibt,
müßte sich logischerweise aus
[+sqrt(-1)•[+sqrt(-1)]
─ sqrt(1) ergeben
Ja, das sehe ich auch so. Daher bevorzuge ich es, immer alle Lösungen einer Wurzel zu betrachten. Die Definition, die Wurzel einer reellen Zahl muss immer eine positive Zahl ergeben, ist für mich inkonsistent. Eben vor allem in Hinblick darauf, dass diese Definition für komplexe Zahlen fallengelassen wird.
Die Definition, die Wurzel einer reellen Zahl muss immer eine positive Zahl ergeben, ist für mich inkonsistent.
Ich weiss nicht.
16=2^4
Es gibt 3 unterschiedliche Wege die 16 mit |2| zu "erreichen":
[1] 2*2*2*2
[2] (-2)*(-2)*(-2)*(-2)
[3] 2*2*(-2)*(-2)
(Die unterschiedlichen "Erscheinungen" von [3] lassen wir mal weg)
Ist dadurch echt eine Information gewonnen?
Gruss
Es gibt 3 unterschiedliche Wege die 16 mit |2| zu "erreichen":
[...]
Ist dadurch echt eine Information gewonnen?
Wie in dieser Diskussion schon zutage kam, kommt es immer auf das Problem an, das es zu lösen gilt. Meine Erfahrung hat gezeigt, dass es zu fatalen Fehlern kommen kann, wenn man die Lösungen von Wurzeln vernachlässigt. Deutlich in Erinnerung habe ich da noch Eigenwertprobleme, also ein algebraisches Problem, wo alle Lösungen herangezogen werden müssen!
Ist dadurch echt eine Information gewonnen?
Oder im Umkehrschluß: Ansonsten verloren?
Plus und Minus ... in der Physik haben die doch eigentlich nur die Bedeutung von "entgegengesetzt" - Oder? (Wobei keines der beiden ausgezeichnet wäre?)
Entgegengesetzte Richtung, Wirkung, Ladung, ...
Jeder Punkt darauf stellt eine komplexe Zahl dar. Der Ortsvektor, die Verbindung des Punktes mit dem Nullpunkt bildet mit der Re-Achse einen vereinbarten Winkel phi. Eine Richtung. Verstehen wir ein Vorzeichen als Richtungsangabe, dann wird diese und damit das Vorzeichen ueber phi repraesentiert. Es gibt unendlich viele solcher Richtungen und damit in der komplexen Ebene unendlich viele Vorzeichen.
Hat jede Zahl "eine Richtung"?
Besser gesagt: Kann jede Zahl für sich betrachtet "unterschiedliche Richtungen" im Sinne einer Eigenschaft aufweisen? (In diesem Falle dürfte es aber z.B. die Zahl -1 gar nicht geben sondern nur die Zahl 1 mit der Eigenschaft + oder -)
Und ohne Berücksichtigung dieser Richtung (bzw. differenzierte Betrachtung der Richtung) wird es mehrdeutig?
Um die Mehrdeutigkeit zu vermeiden kann man willkürlich eine Festlegung treffen ... Eigentlich ist das aber dann keine Festlegung zu deren Vermeidung sondern nur zum Umgang mit einer solchen - Oder sehe ich das falsch? :rolleyes:
Ist dadurch echt eine Information gewonnen?
Gruss
Bei Gleichungen geht es eher darum, bei den Umformungen keine Lösungen zu verlieren. Das ist gewährleistet, solange man Äquivalenzumformungen (http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzumformung) durchführt.
Mulitiplikation beider Seiten einer Gleichung mit 0 oder auch das Ziehen der positiven Wurzel aus beiden Seiten einer Gleichung sind keine Äquivalenzumformungen.
auch
http://www.lern-online.net/mathematik/pdf/umformung.pdf
Verstehen wir ein Vorzeichen als Richtungsangabe, dann wird diese und damit das Vorzeichen ueber phi repraesentiert. Es gibt unendlich viele solcher Richtungen und damit in der komplexen Ebene unendlich viele Vorzeichen.
Das sehe ich nicht so. Ein Vorzeichen sagt uns etwas über die Orientierung. Der Winkel phi in der Polardarstellung ist aber eine Koordinate. Die komplexe Ebene stellt bezüglich Addition und Multiplikation einen Vektorraum dar, und zwar einen zweidimensionalen. Für einen zweidimensionalen Vektorraum bedarf es zwei linear unabhängiger Vektoren, die zwei Koordinaten definieren. Im Falle der komplexen Ebene wären dies zB. 1 und i. Wenn wir kartesische Koordinaten wählen, können wir jeden Punkt P im Raum über x und y definieren:
P = 1*x + i*y
Wir können aber auch Polarkoordinaten wählen, anstatt x und y bekommen wir dann r und phi. In dem Sinne spannt phi eine Dimension des Vektorraumes auf und ist daher grundsätzlich verschiedenen von einem Vorzeichen.
Das Vorzeichen erweitert unsere Zahlenmenge und sorgt für ein inverses Element bezüglich der Operation Addition. Invers heißt, dass man aus jedem Element der Menge das so genannte Nullelement machen kann. Um aus der Zahl 3 eine 0 zu machen, bedarf es der Zahl -3. Wir können damit außerdem jedes Element der Menge durch addieren bekommen und erlangen auch Abgeschlossenheit. Wir können weitere Operationen definieren, ohne dass diese Eigenschaft verloren geht, zB. Multiplikation und Division.
Abgeschlossenheit verlieren wir aber, wenn wir die Wurzel als inverse Operation zum Potenzieren definieren. Erst eine Erweiterung der Dimension unseres Zahlenraumes erlaubt es, dass die möglichen Ergebnisse dieser Operation wieder Teil unserer Ausgangsmenge sind. Dafür verlieren wir aber Eindeutigkeit, ein Phänomen, das bis dato nicht existierte. D.h. eine Operation führt zu mehreren Ergebnissen.
Es zeigt sich also, dass gewisse Forderungen an eine Operation (wie Abgeschlossenheit,...) die Menge erweitern. Bei der Addition gelangten wir dadurch zu den negativen Zahlen. Die Wurzel führt uns zu den komplexen Zahlen.
Hallo richy,
Muß man "i" nicht als Operator betrachten?
Ich meine das waere keine gute Betrachtungsweise.
"i" und Operator hatte ich nur noch schwach im Hinterkopf, deshalb habe ich jetzt explizit danach gegoogelt. Siehe z.B. hier (http://las.physik.kit.edu/downloads/Anhang_C.pdf).
"Der Operator i identifiziert den Imaginärteil einer komplexen Zahl. Er bedeutet eine Drehung
um 90◦ (π/2) im mathematisch positiven Sinn gegen die reelle Achse, für die der Phasenwinkel
φ = 0 ist. Diese Drehung um 90◦ bringt uns von der reellen zur imaginären Achse.
Merkregel: i meint senkrecht (zur reellen Achse).
Zweimalige Anwendung des Operators i(iy) = i2y = −y bedeutet eine zweimalige Drehung
um 90◦, also insgesamt eine Drehung um 180◦ (oder π) und daher
i2 = −1,
was mit der ursprünglichen Definition i = √−1 konsistent ist. Entsprechend ist i3 = −i
(Drehung um −90◦) und i4 = 1 (Drehung um 0 mod(2π))."
Aber welche Operation verwendest du dann um sqrt[(i²)*(i²)] auszuwerten ?
Man hätte ja entsprechend dem Beispiel von Eugen sqrt[(i²)*(i²)*irgendwas_reelles] , erlaubt wäre dann die "Separierung" in
sqrt[(i²)*(i²)]*sqrt(irgendwas_reelles) == i²*sqrt(irgendwas_reelles)
== -1 * sqrt(irgendwas_reelles)
Ein Ergebis also wieder mit Plus und Minus.
mfg
quick
Hallo richy,
1=1 ist eine gueltige Aussage, aber ich befuerchte dennoch, dass die beiden EMI Hamster sich nicht in kompatiblen Laufraedern befinden :D
Es sei mir daher gestattet den Uebermut des Hamsters i*2*Pi etwas zu drosseln, zuerueckzudrehen. So dass dessen Zustand, Laufrad besser zu seinem Kollegen i*2*0 passt :D
Zur Entspannung, -lies mal diese Geschichte (http://www.unterhaltungsspiele.com/Geschichten/math_maerchen.htm)....:D
mfg
quick
Bei Gleichungen geht es eher darum, bei den Umformungen keine Lösungen zu verlieren. Das ist gewährleistet, solange man Äquivalenzumformungen (http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzumformung) durchführt.
...
Das ergibt Sinn, für mich. Danke.
Gruß, Johann
(In diesem Falle dürfte es aber z.B. die Zahl -1 gar nicht geben sondern nur die Zahl 1 mit der Eigenschaft + oder -)
So kann man das schon sehen: Zahl= Betrag einer Zahl*Vorzeichen, z=|r|exp(i*phi)
Um die Mehrdeutigkeit zu vermeiden kann man willkürlich eine Festlegung treffen
Man will die Mehrdeutigkeit nicht immer vermeiden. Eine quadratische Gleichung hat zwei Loesungen.
Ein Vorzeichen sagt uns etwas über die Orientierung. Der Winkel phi in der Polardarstellung ist aber eine Koordinate.
Eine Koordinate, die eine Richtung, Orientierung vorgibt. Die Ausgangsfrage war wie man sich die imaginaere Einheit i vorstellen soll. Klar, eine komplexe Zahl ist ein Vektor. Daran aendert auch die Darstellung nichts.
Aus a+i*b ist die Orientierung nicht sofort erkenntlich. In der Darstellung |r|exp(i*phi) gibt der Winkel phi diese direkt an. Ob man dieses nun als Vorzeichen betrachtet bleibt jedem ueberlassen.
Fuer -i, i, -1, 1 ergeben sich fuer phi jedenfalls spezielle Werte (mehrdeutig).
@quick
"Der Operator i identifiziert den Imaginärteil einer komplexen Zahl. Er bedeutet eine Drehung"
Ok, zusammen mit der Multiplikation stellt i einen Operator dar. Eine Drehung um 90 Grad in der komplexen Ebene.
In deinem Link wird i staendig als Operator bezeichnet. Ob eine staendige Wiederholung aus dem Vorzeichen -1 alleine einen Opereator macht ? Naja, Hauptsache ist, dass man weiss wie man operiert.
Und das Hamsterbeispiel hat nochmals gezeigt wo der Hase bei dem zitierten Widerspruch begraben liegt.
(-1)^2 =1. Hier geht die Information ueber das urspruengliche Vorzeichen verloren.
exp(i*2*Pi). In dieser Schreibweise bleibt das Ausgangsvorzeichen im Winkel erhalten.
Wurzel(exp(i*2*Pi))=-1
Wurzel(exp(i*2*0))=1
Es kommt nun darauf an welche Vereinbarungen man trifft.
Aus komplexer Sicht ist bereist folgende Aussage falsch,denn nur der Betrag ist gleich :
(+2)² = (-2)²
Gruesse
In deinem Link wird i staendig als Operator bezeichnet. Ob eine staendige Wiederholung aus dem Vorzeichen -1 alleine einen Opereator macht ? Naja, Hauptsache ist, dass man weiss wie man operiert.
Ja, die Bezeichnung von i als Operator ist etwas überzogen. dann wäre auch die Zahl 3 eine Operator, denn auf das Objekt 4 angewendet, erzeugt sie eine 12. i entsteht aus einer Verallgemeinerung der reellen Zahlen; es ist also eine Zahl.
Aus komplexer Sicht ist bereist folgende Aussage falsch,denn nur der Betrag ist gleich :
(+2)² = (-2)²
Diese Gleichung ist sicher nicht falsch, richy ... ganz gleich, welche Sicht du auch wählst.
Hi Hawkwind
(+2)² = (-2)²
Diese Gleichung ist sicher nicht falsch, richy ... ganz gleich, welche Sicht du auch wählst.
Wenn ich die Potenzierung ueber den komplexen Logarithmus durchfuehre erhalte ich :
4*exp(i*0)^2=4*exp(i*Pi)^2
4*exp(i*2*0)^2=4*exp(i*2*Pi)
Der Betrag ist gleich, aber nicht das Argument : 0<>2*Pi
Es ist mir natuerlich klar, dass beides das positive Vorzeichen repraesentiert.
Dass beides dennoch nicht identisch ist siehst du wenn du die Wurzel ziehst.
Das ist letztendlich die Erklaerung des diskutierten Beispiels :
(Wobei man eine andere Vorgehensweise verwendet)
http://upload.wikimedia.org/math/8/0/a/80a07086deea2c906f10205c1cd1bfce.png
Oder wie wuerdest du obige (Un) Gleichung interpretieren ?
Wuerde man sich dort stets an den komplexen ln() halten ware die Sachlage eindeutig.
Bereits die Umformung Wurzel(1)=Wurzel((-1)*(-1)) waere falsch.
Praktisch betrachtet man das mehrdeutige Argument als "Fehler" um nicht die ganze Algebra umbauen zu muessen. Denn bei den reellen Zahlen geht die Information ueber den urspruenglichen Winkel verloren. Im Grunde ist dieser Informationsverlust der "Fehler". Es ist aber praktischer im komlexen die Regel zu formulieren, dass Vergleiche nur auf dem selben Ast des ln() sinnvoll sind, anstatt die ganze Algebra umzubauen. Man dreht den Hamster zurueck und dann passt es ebenso.
Man kann in der Grundschule ja nicht ploetzlich argumentieren. "Kinder aufgrund der komplexen Zahlen ist ab sofort minus mal minus nicht mehr plus sondern exp(i*2Pi)"
Hi Hawkwind
(+2)² = (-2)²
Wenn ich die Potenzierung ueber den komplexen Logarithmus durchfuehre erhalte ich :
4*exp(i*0)^2=4*exp(i*Pi)^2
4*exp(i*2*0)^2=4*exp(i*2*Pi)
Der Betrag ist gleich, aber nicht das Argument : 0<>2*Pi
Es ist mir natuerlich klar, dass beides das positive Vorzeichen repraesentiert.
Dass beides dennoch nicht identisch ist siehst du wenn du die Wurzel ziehst.
Das ist letztendlich die Fehlerquelle im diskutierten Beispiel :
http://upload.wikimedia.org/math/8/0/a/80a07086deea2c906f10205c1cd1bfce.png
Oder wie wuerdest du obige Gleichung interpretieren ?
Praktisch betrachtet man das mehrdeutige Argument als "Fehler" um nicht die ganze Algebra umbauen zu muessen. Denn bei den reellen Zahlen geht die Information ueber den urspruenglichen Winkel verloren. Im Grunde ist dieser Informationsverlust der "Fehler". Es ist aber praktischer im komlexen die Regel zu formulieren, dass Vergleiche nur auf dem selben Ast des ln() sinnvoll sind. Man schraubt das Argument zurueck.
Richy, was da steht, das ist eine triviale Identität 2er reeller Zahlen:
(+2)² = (-2)²
und die ist 100%ig äquivalent zu
4 = 4
Wenn du nun anfängst, beide Seiten zu potenzieren oder komplexe Wurzeln zu ziehen, dann musst du natürlich "aufpassen"; das sind ja keine Äquivalenzumformungen. Aber an 4=4 lässt sich doch wohl nicht rütteln, oder? :)
Gruß,
Hawkwind
Aber an 4=4 lässt sich doch wohl nicht rütteln, oder?
Nein, selbstverstaendlich nicht. Und ich bemerkte ja, dass der Betrag stimmt.
Und ebenso sehe ich ein, dass der Vektor exp(i*2*0) in die selbe Richtung zeigt wie der Vektor exp(i*2*Pi). Und das sind die Richtungen die sich ergeben wenn ich nach der komplexen Gebrauchsanweisung vorgehe. Darin ist stets enhalten, wie die Gleichung zustande kam. 2^2 oder(-2)^2 faellt nicht vom Himmel. Sondern den Ausdruck kann man durch folgende Operationen konstruieren :
2=-2 (ok, druecken wir erstmal ein Auge zu. Das konnen wir reparieren)
2^2=(-2)^2
In der komplexen Darstellung bleibt der Ansatz jedoch stets erhalten. Dass man die Gleichung nicht auf beiden Seiten einfach radiziert entspricht hier der Maßnahme dass man z.B. von exp(i*2*Pi) das Argument um 2*Pi zurueckdreht nach exp(i*0*Pi)
Und nochmal : Ich bemerke das nur, weil dies der Grund fuer die diskutierte Ungleichung ist.
Im Rellen laesst sich x^2 und (-x)^2 nicht unterscheiden. Im Komlexen waere dies moeglich, aber man verzichtet darauf und richtet sich an die Vorgaben im Reellen.
Daraus ergibt sich die Konvention, dass man die Winkel im Komplexen nur auf einem Ast betrachtet :
4*exp(i*2*0+m*2*Pi)=4*exp(i*2*P+n*2*Pi, ) fuer m=0, n=-1 folgt
4*exp(i*2*0)=4*exp(i*2*0)
Man betrachtet das Argument als Mehrdeutig um damit den gewohnten Verhaeltnissen im Reellen gerecht zu werden. Ok akzeptiert.
Und unter dieser Konvention akzepiere ich dann auch : 2^2=(-2)^2
Allerdings wuerde ich lieber formulieren : Die Gleichung x^2=4 hat die Loesungen 2 und -2
Wie erklaert sich mit der vereinbarten Konvention diese Ungleichung ?
http://upload.wikimedia.org/math/8/0/a/80a07086deea2c906f10205c1cd1bfce.png
Man drueckt die Groessen in Exponentiaschreibweise aus.
Wenn das Argument groesser gleich 2*Pi ist zieht man von diesem 2*Pi ab.
Das passiert bei Wurzel((-1)(-1))=1
Und so ergibts sich der Zusammenhang in der Grafik.
Wie erklaert sich mit der vereinbarten Konvention diese Ungleichung ?
http://upload.wikimedia.org/math/8/0/a/80a07086deea2c906f10205c1cd1bfce.png
Man drueckt die Groessen in Exponentiaschreibweise aus.
Wenn das Argument groesser gleich 2*Pi ist zieht man von diesem 2*Pi ab.
Das passiert bei Wurzel((-1)(-1))=1
Und so ergibts sich der Zusammenhang in der Grafik.
1 = sqrt{(-1)*(-1)}
ist ja zweifellos korrekt, denn 1 ist die positive Wurzel aus dem Produkt (-1)*(-1) - also 1.
Im nächsten Schritt machst du eine unzulässige Umformung auf der rechten Seite, denn
sqrt{(-1)*(-1)} != sqrt(-1) * sqrt(-1)
Das Produkt auf der rechten Seite ist nicht die positive Wurzel aus
sqrt{(-1)*(-1)}. Richtig wäre
sqrt{(-1)*(-1)} = [+sqrt(-1)] * [-sqrt(-1)]
sodass auf der rechten Seite das Produkt aus einer komplexen Zahl und ihrem komplex konjugiertem steht: i * (-i) - solche Produkte sind ja positiv reeell. Aber das weisst du eh alles. Dennoch ich gebe zu, ist es verblüffend, wie man hier mit den Operationen, die man im Reellen "aus dem Rückenmark heraus" macht, aufpassen muss: sqrt(a*b) = sqrt(a)*sqrt(b) ist nur korrekt, wenn die Wurzeln reell sind.
Gruß,
Hawkwind
Mal ein klein wenig Geschichtliches, falls es interessiert.
Die Potenz war schon durch ihre Anwendung bei geometrischen Berechnungen bzw. durch Gleichungen zweiten und höheren Grades im Altertum bekannt.
Die Babylonier hatten schon Tabellen mit Quadratzahlen und Potenzen. In den "Elementen" des EUKLID (4. Jh. v.u.Z.) findet man (a+b)² bereits ausgerechnet.
Zum ersten mal tritt der Begriff Potenz bei HIPPOKRATES (5. JH. v.u.Z.) auf, auch PLATON (427-347 v.u.Z.) hat ihn häufig verwendet.
Die jetzige Schreibweise der Potenz geht im wesentlichen auf DESCARTES zurück.
Wie die Potenzen waren auch die Wurzeln bereits im Altertum bekannt. Die Babylonier besassen bereits Tafeln von rationalen Quadratwurzeln.
Die irrationalen Quadratwurzeln wurden näherungsweise mit Hilfe des Verfahrens vom arithmetisch-geometrischen Mittel berechnet.
Als Formel benutzte man dazu √(a²+b) ≈ a + b/2
Im Mittelalter wurde die Wurzelrechnung weiter ausgebaut. Im 9.Jh. wussten die Inder bereits, dass die quadratische Gleichung und die Quadratwurzel doppeldeutig sind, sowie, dass sich die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl nicht reell bestimmen lässt.
Auch die alten Griechen hatten sich mit der Frage beschäftigt, die Länge der Seite eines Quadrates anzugeben, dessen Flächeninhalt bekannt ist.
Analog fragten sie auch nach der Länge der Seite eines Würfels dessen Rauminhalt bekannt ist und benutzen dazu die Kubikwurzel.
Wurzeln aus negativen Zahlen wurden seit dem 17.Jh. verwendet und führen seit dem den Namen: imaginäre Zahlen.
Die Mathematiker des 17.Jh. stützten sich dabei auf die 1572 erschienene Algebra von BOMBELLI, der bereits eine Theorie der reinimaginären Zahlen entwickelt hatte.
Die Lehre von den komplexen Zahlen wurde später durch BERNOULLI, EULER und vor allem durch GAUSS weiter entwickelt.
Auf GAUSS geht auch die Darstellung in der Ebene (Gaußche Ebene) zurück. Die komplexen Zahlen bilden die Grundlage für die Funktionentheorie.
Gruß EMI
Hallo richy,
Und das Hamsterbeispiel hat nochmals gezeigt wo der Hase bei dem zitierten Widerspruch begraben liegt.
(-1)^2 =1. Hier geht die Information ueber das urspruengliche Vorzeichen verloren.
exp(i*2*Pi). In dieser Schreibweise bleibt das Ausgangsvorzeichen im Winkel erhalten.
Wurzel(exp(i*2*Pi))=-1
Wurzel(exp(i*2*0))=1
Mag sein, dass die Bezeichnung "Operator i" für "Normalos" wie dir und mir als übertrieben erscheint, je mehr ich aber drüber nachdenke, desto logischer erscheint es mir.....
Denk mal daran, was (stillschweigende) Konventionen/Vereinbarungen bedeuten. Die Art und Weise, wie man mit Operanden umgehen möchte, wird durch Operatoren vereinbart.
Das Zeichen rechts von der Gleichung
Wurzel(exp(i*2*0))=1
....was ist das?
Ein Bit, ein Byte, ein Brötchen?
Es ist eine Zahl (vereinbarungsgemäß), mit nichts dahinter! ....und davor?
Ach ja, .....ein Plus muß man sich denken.
Sonst noch was? Klar, es ist die zweite Zahl aus dem Dezimalsystem, usw....(jetzt fällt mir aber nichts mehr ein dazu:o )
Lange Rede, kurzer Sinn..., rechts vom Gleichheitszeichen steht eigentlich auch ein Operator. Der wirkt und ist natürlich ein anderer, als der links vom Gleichheitszeichen stehende.
Vielleicht könnten wir uns darauf einigen, dass "i" ein Vektor mit imaginärem Operator ist, bzw. ein Operator mit imaginärem Vektorcharakter?;)
mfg
quick
Vielleicht könnten wir uns darauf einigen, dass "i" ein Vektor mit imaginärem Operator ist, bzw. ein Operator mit imaginärem Vektorcharakter?;)
mfg
quick
... oder gar ein Imaginär mit operativem Vektorcharakter ... ?
Hallo Hawkwind,
Ja, die Bezeichnung von i als Operator ist etwas überzogen. dann wäre auch die Zahl 3 eine Operator, denn auf das Objekt 4 angewendet, erzeugt sie eine 12. i entsteht aus einer Verallgemeinerung der reellen Zahlen; es ist also eine Zahl.
:confused:
Nein, bei deinem Beispiel 3*4 sind 3 und 4 die Operanden, "*" ist der Operator.
Bei "34" heißt die Operation vereinbarungsgemäß 4+(3*10). [In anderen Sprachen z.B. (3*10)+4 ]
"34" oktal interpretiert ergibt die interessante Zahl 42 (http://de.wikipedia.org/wiki/42_(Antwort)).:)
mfg
quick
i ist meines Erachtens absolut kein Operator. i ist die imaginäre Einheit, wobei "Einheit" eine durchaus tiefgründige Bezeichnung dafür ist. Auch die Einheiten der Physik werden als Dimension bezeichnet und in der Tat spannt i eine Dimension auf. Der Raum der reellen Zahl ist eindimensional, der Raum der imaginären Zahlen ebenso. Mit einander verknüpft ergeben sie den 2-dim. Raum der komplexen Zahlen.
Wobei "Raum" hier ein schwammiger Ausdruck ist, da die Zahlen eigentlich eine Menge darstellen und erst unter definierten Operationen zu einem Raum werden.
Wichtig für mich ist jedenfalls, dass man unterscheidet zwischen Zahlen, Operatoren und Vektoren. i ist nichts von all dem. i ist eine Einheit, kann daher aber als Einheitsvektor genutzt werden, wenn man einen entsprechenden Vektorraum (http://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum) definiert.
Operatoren sind grundsätzlich verschieden und repräsentieren Rechenoperationen! Siehe dazu http://de.wikipedia.org/wiki/Operator_(Mathematik)
Hallo Benjamin,
i ist meines Erachtens absolut kein Operator. i ist die imaginäre Einheit, wobei "Einheit" eine durchaus tiefgründige Bezeichnung dafür ist.
Ich muß zugeben, bei genauerem Hinsehen, könntest du Recht haben.
"i" wäre nach deiner Logik also die elementare Einheit des eindimensionalen imaginären Zahlenraums.
Wichtig für mich ist jedenfalls, dass man unterscheidet zwischen Zahlen, Operatoren und Vektoren. i ist nichts von all dem. i ist eine Einheit, kann daher aber als Einheitsvektor genutzt werden, wenn man einen entsprechenden Vektorraum (http://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum) definiert.
Das Hervorgehobene (durch mich) erscheint mir unklar.
Ich bin ja mathematisch ziemlich unbedarft, aber allein die Prozedur des "Vektor-machens" (Definieren) riecht für mich nach Operation und dafür brauch ich immer einen Operato(e)r!:D
In dem von dir angegebenen Link (http://de.wikipedia.org/wiki/Operator_(Mathematik)) steht ein weiterer über lineare Operatoren. (http://de.wikipedia.org/wiki/Linearer_Operator)
Der Begriff Linearer Operator wurde in der Funktionalanalysis (einem Teilgebiet der Mathematik) eingeführt und ist synonym zum Begriff der linearen Abbildung. Eine lineare Abbildung ist eine strukturerhaltende Abbildung zwischen Vektorräumen über einem gemeinsamen Körper. Werden Vektorräume über dem Körper der reellen oder komplexen Zahlen betrachtet und sind diese mit einer Topologie versehen (lokalkonvexe Räume, normierte Räume, Banachräume), so spricht man vorzugsweise von linearen Operatoren.
Die Kompetenz der Macher von MATLAB (http://www.mathworks.com/help/toolbox/stateflow/ug/brjsdag.html#brjvp9c) möchte ich auch nicht in Frage stellen.....
"Why Use Operators for Complex Numbers?
Use operators to handle complex numbers because Stateflow action language does not support complex number notation (a + bi), where a and b are real numbers."
"i" als imaginäre Einheit zu betrachten finde ich ok.
Aber ich habe jetzt in diesem Zusammenhang so oft von Operator gelesen, wo ist er denn versteckt...?:)
mfg
quick
PS: Da fällt mir gerade ein, -die vielgesuchten "versteckten Variablen"-, sind das vielleicht versteckte Operatoren?
... oder gar ein Imaginär mit operativem Vektorcharakter ... ?
:D :D :D
*...das ultimative Sahnehäubchen!*
mfg
quick
Aber ich habe jetzt in diesem Zusammenhang so oft von Operator gelesen, wo ist er denn versteckt...?Das haben Hawkind und Benjamin doch schon erlaeutert. Und du hast dir dabei selber die Antwort gegeben :
Nein, bei deinem Beispiel 3*4 sind 3 und 4 die Operanden, "*" ist der Operator.
Wenn Herr Wolfram diesen Operator verwendet : "complex(realExp, imagExp)" und man fuer realExp z.B Null und fuer imagExp die Zahl 3 einsetzt. Dann bildet dieser Operator:
complex{0}{i}=0+3*i.
Im Beispiel 3*i sind 3 und i die Operanden, "{}*{}" kurz "*" ist der Operator.
In complex(realExp, imagExp) ist ein Operand fest vorgegeben {}*i. (rein formell)
i gehoert mit zum Operator in Form eines festen Operanden.
Wie ich bereits erwaehnte : In einen Operator steckt man stets was rein.
Den Operanden. In die Zahl i alleine kann man nichts reinstecken. Sie ist ein Operand.
Ein Kochtopf mit Wasser ist der Operator. In den stecke ich den Operanden rein. Zum Beispiel Pasta.
Und der Output das Operationsergebnis nach 9 min ist gekochte reellwertige Pasta.
Der Operator i identifiziert den Imaginärteil einer komplexen Zahl.
Das ist ganz einfach falsch. Wenn schon dann : "Der Operand i" oder "Die Einheit i"
Wie die Pasta zeigt ist "Operand" ein sehr allgemeiner Begriff. Das passt daher schon.
Noch ein interessanter Link :
http://www.mathe-online.at/materialien/Andreas.Pester/files/ComNum/inhalte/ImagZahlenDef.html
Es gilt also
i2 = -1
d.h. für die imaginäre Einheit
i = √-1
Wie bisher bei Radikanden aus positiven Zahlen wird nur der Hauptwert berücksichtigt.Man muss fuer i keine Mehrdeutigkeit beruecksichtigen und damit bleibt alles wie gewohnt :
Beachte !: Vor der Anwendung von Rechenregeln imaginäre Zahlen immer als Produkt darstellen, das den Faktor i enthält, also √-a = i· √a
Deshalb gilt √-a·√-b = i·√a·i·√b = i2·√ab = (-1)·√ab = -√ab
Die "Begruendung" im Wiki Beitrag traegt dagegen nur zur Verwirrung bei.
Guten Morgen zusammen,
Hat jede Zahl "eine Richtung"?
Besser gesagt: Kann jede Zahl für sich betrachtet "unterschiedliche Richtungen" im Sinne einer Eigenschaft aufweisen? (In diesem Falle dürfte es aber z.B. die Zahl -1 gar nicht geben sondern nur die Zahl 1 mit der Eigenschaft + oder -)
So kann man das schon sehen: Zahl= Betrag einer Zahl*Vorzeichen, z=|r|exp(i*phi)
[...]
Es kommt nun darauf an welche Vereinbarungen man trifft.
Aus komplexer Sicht ist bereist folgende Aussage falsch,denn nur der Betrag ist gleich: (+2)² = (-2)²
Richy, was da steht, das ist eine triviale Identität 2er reeller Zahlen:
(+2)² = (-2)²
und die ist 100%ig äquivalent zu
4 = 4
Wenn du nun anfängst, beide Seiten zu potenzieren oder komplexe Wurzeln zu ziehen, dann musst du natürlich "aufpassen"; das sind ja keine Äquivalenzumformungen. Aber an 4=4 lässt sich doch wohl nicht rütteln, oder? :)
Das Vorzeichen erweitert unsere Zahlenmenge und sorgt für ein inverses Element bezüglich der Operation Addition. Invers heißt, dass man aus jedem Element der Menge das so genannte Nullelement machen kann. Um aus der Zahl 3 eine 0 zu machen, bedarf es der Zahl -3. Wir können damit außerdem jedes Element der Menge durch addieren bekommen und erlangen auch Abgeschlossenheit. Wir können weitere Operationen definieren, ohne dass diese Eigenschaft verloren geht, zB. Multiplikation und Division.
Abgeschlossenheit verlieren wir aber, wenn wir die Wurzel als inverse Operation zum Potenzieren definieren. Erst eine Erweiterung der Dimension unseres Zahlenraumes erlaubt es, dass die möglichen Ergebnisse dieser Operation wieder Teil unserer Ausgangsmenge sind. Dafür verlieren wir aber Eindeutigkeit, ein Phänomen, das bis dato nicht existierte. D.h. eine Operation führt zu mehreren Ergebnissen.
Es zeigt sich also, dass gewisse Forderungen an eine Operation (wie Abgeschlossenheit,...) die Menge erweitern. Bei der Addition gelangten wir dadurch zu den negativen Zahlen. Die Wurzel führt uns zu den komplexen Zahlen.
Vorneweg: Die Mehrdeutigkeit beim Potenenzieren resultiert doch bereits alleine aus der Multiplikation (und nicht erst daraus, dass ich den Spezialfall der Multiplikation von a=b betrachte) (Oder?):
(-a)*(-b) = c = a*b
mit a=b ergibt sich halt dann das:
(-a)*(-a) = (-a)² = c = a² = a*a
Reeles Quadrieren:
In der Arithmetik versteht man unter dem Quadrat einer Zahl einen Term (Rechenausdruck), der die Multiplikation dieser Zahl mit sich selbst ausdrückt.
IMHO die (alles) entscheidende Frage: Gehört das Vorzeichen nun zur Zahl selbst oder nicht? :rolleyes:
Ich persönlich denke (ungeachtet einer gegebenenfalls vorherrschenden anderslautenden Lehrmeinung ;)): Nein (Die Zahl ist für mich ein Wert / ein Betrag - Das Vorzeichen dessen Richtung; also somit schon eigentlich eine Art Vektor? Hmmm ... :rolleyes:).
Deshalb würde ich obige Definition wie folgt erweitern / präzisieren:
In der Arithmetik versteht man unter dem Quadrat einer Zahl einen Term (Rechenausdruck), der die Multiplikation dieser Zahl sich selbst mit gleichem Vorzeichen ausdrückt: Das Ergebnis ist eine positive reele Zahl.
(+a)*(+a)=a²=c=(-a)²=(-a)*(-a)
Reeles Wurzel ziehen:
Nun ist die Quadratwurzel einer positiven reelen Zahl c üblicherweise dergestalt definiert, dass es sich um diejenige Zahl a handelt, die mit sich selbst multipliziert c ergibt.
Auch diese Definition wäre analog zu interpretieren:
Die Quadratwurzel einer positiven reelen Zahl c ist diejenige Zahl a, die mit sich selbst und mit gleichem Vorzeichen multipliziert c ergibt.
ohne Berücksichtigung des Vorzeichens:
Lösung: √c = a
mit Berücksichtigung des Vorzeichens:
Lösung 1: √c = (+a)
Lösung 2: √c = (-a)
(Anmerkung: Genauso wird es auch doch auch aktuell in der Mathematik "gelebt" / "interpretiert" - Von daher wäre eine solche "Präzisierung" / "klarere Formulierung" also zumindest nicht falsch. Oder?)
Wendet man diese differenzierte Betrachtung von Vorzeichen und Zahl auf den imaginären Zahlenbereich an würden sich die Zusammenhänge wie folgt darstellen:
Imaginäres Quadrieren:
Die Multiplikation einer Zahl a mit sich selbst unter Wechsel des Vorzeichens ergibt eine negative reele Zahl.
(+a)*(-a)=(-c)=(-a)*(+a)
Imaginäres Wurzel ziehen:
Die Quadratwurzel einer positiven reelen Zahl c ist diejenige Zahl a, die mit sich selbst unter Wechsel des Vorzeichens multipliziert c ergibt.
ohne Berücksichtigung des Vorzeichens:
Lösung: √(-c) = a (Sofern c=1 dann a = das geläufige i)
mit Berücksichtigung des Vorzeichens:
Dazu ist keine Aussage möglich: Das Vorzeichen kann nicht auf einen Operanden heruntergebrochen werden da es nicht einheitlich ist:
"-1" lässt sich nur durch Multiplikation von +1 mit -1 (bzw. umgekehrt) erzielen; es werden dafür zwei Operanden mit zwei (unterschiedlichen) Vorzeichen benötigt; Diese Logik nun auf nur einen Operanden mit nur einem Vorzeichen zurückführen zu wollen (Die grundsätzliche Sinnhaftigkeit dieses Unterfangens in Anbetracht der Rahmenparameter einmal völlig außen vor gelassen) führt zwangsläufig zu einem Widerspruch dem durch den Begriff der Imaginarität begegnet wird / werden muß - Und damit zu der allseits bekannten Zahl i mit ihrem "verschmierten" Vorzeichen führt.
Dabei würde IMHO das "eigentlich Imaginäre" somit also gar nicht primär in den Zahlen als vielmehr in der angewandten Logik / in den Rechenregeln liegen:
Das Quadrieren wäre (genauso wie das Wurzelziehen) entsprechend den aufgeführten Vorzeichen-Anforderungen differenziert zu betrachten und entsprechend unterschiedliche mathematische Symbole für die dahinterstehende unterschiedliche Logik zu verwenden (Quadrieren mit gleichem / unterschiedlichen Vorzeichen; Wurzelziehen mit gleichem / unterschiedlichen Vorzeichen) - Sonst wird's IMHO immer irgendwo widersprüchlich werden.
Was meint Ihr? Ich bin nun aber genausowenig Mathematiker wie Physiker ->
Das erste Kapitel von "SCR's Standardmodell der Mathematik" ist deshalb hiermit frei zum Verriss. :D
IMHO die (alles) entscheidende Frage: Gehört das Vorzeichen nun zur Zahl selbst oder nicht?
Warum sollen wir über Defintionen grübeln?
Was würde denn entschieden damit?
Vorneweg: Die Mehrdeutigkeit beim Potenenzieren resultiert doch bereits alleine aus der Multiplikation (und nicht erst daraus, dass ich den Spezialfall der Multiplikation von a=b betrachte) (Oder?):
(-a)*(-b) = c = a*b
mit a=b ergibt sich halt dann das:
(-a)*(-a) = (-a)² = c = a² = a*a
Gegen wen geht es hier eigentlich?
Klar die Zahl 12 ist mehrdeutig:
12 = 2*6
12 = 3*4
12 = i*i*(-12)
...
12 = 6+6
12 = 8 + 4
...
Besser wäre, man hätte nur
12 = 12
Ich persönlich denke (ungeachtet einer gegebenenfalls vorherrschenden anderslautenden Lehrmeinung ;)): Nein (Die Zahl ist für mich ein Wert / ein Betrag - Das Vorzeichen dessen Richtung; also somit schon eigentlich eine Art Vektor? Hmmm ... :rolleyes:).
Klar - du hast von nichts eine Ahnung, aber schägst gleich mal eine Korrektur der "Lehrmeinung" vor: irgendwie typisch.
Komplexe und reelle Zahlen und ihre Algebren sind doch wunderbar definiert: was sollen immer diese "persönlichen Sichten"?
Deshalb würde ich obige Definition wie folgt erweitern / präzisieren:
In der Arithmetik versteht man unter dem Quadrat einer Zahl einen Term ...
Was meint Ihr? Ich bin nun aber genausowenig Mathematiker wie Physiker ->
Schon klar.
Noch ein interessanter Link :
http://www.mathe-online.at/materialien/Andreas.Pester/files/ComNum/inhalte/ImagZahlenDef.html
Man muss fuer i keine Mehrdeutigkeit beruecksichtigen und damit bleibt alles wie gewohnt :
Beachte !: Vor der Anwendung von Rechenregeln imaginäre Zahlen immer als Produkt darstellen, das den Faktor i enthält, also √-a = i· √a
Deshalb gilt √-a·√-b = i·√a·i·√b = i2·√ab = (-1)·√ab = -√ab
Hallo Richy,
ich zitiere weiter aus dem gleichen Link:
Beachtet man dies nicht, führt dies zu gravierenden Fehlern, etwa derart
√-a·√-b = √(-a)(-b) = √ab (falsch) !!!
Das ist genau der Fehler, den SCR und Leonhard Euler [1] gemacht haben. Ich hoffe, damit ist jetzt alles endgültig geklärt.
M.f.G. Eugen Bauhof
[1] ich möchte mich dafür entschuldigen, dass ich die beiden in einem Atemzug genannt habe... :eek:
Hallo Hawkwind,
Warum sollen wir über Defintionen grübeln?
Wieso diskutieren wir dann überhaupt? - Hier ... das Thema ... überhaupt über irgendetwas ...
Gegen wen geht es hier eigentlich?
Keine Ahnung: Ich hatte ehrlich gesagt kein GEGEN im Sinn.
Klar - du hast von nichts eine Ahnung, aber schägst gleich mal eine Korrektur der "Lehrmeinung" vor: irgendwie typisch.
Behauptest Du damit, ich würde der Lehrmeinung widersprechen, wenn ich sage:
In der Arithmetik versteht man unter dem Quadrat einer Zahl einen Term (Rechenausdruck), der die Multiplikation dieser Zahl sich selbst mit gleichem Vorzeichen ausdrückt: Das Ergebnis ist eine positive reele Zahl.? :rolleyes:
Erläutere mir bitte einmal exakt Dein davon abweichendes Verständnis (bzw. das abweichende Verständnis der "Lehrmeinung" zu) - Ich sehe an dieser Stelle nicht, dass ich irgendeiner Lehrmeinung widersprechen würde.
Und nebenbei: Was kann ich dafür, dass mein Hirn immer nach einfachen und simplen Wegen sucht, wenn ihm etwas von der Erklärung her "irgendwie dubios" erscheint?
Und es tut mir leid: Solange es mir auf den ersten Blick nicht ganz unschlüssig erscheint höre ich meinem Hirn zuweilen auch einmal zu und denke darüber nach. Es muß nicht richtig sein.
Wobei mir dabei sicher völlig schnurz was andere denken oder meinen - ICH muß es verstehen und MIR selbst erklären können. Und in der Beziehung gebe ich Dir Recht: Das ist ein absolut ignorantes Vorgehen.
Komplexe und reelle Zahlen und ihre Algebren sind doch wunderbar definiert: was sollen immer diese "persönlichen Sichten"?
s.o.: Warum gibt's dann hier "gewisse unterschiedliche Ansichten" (selbst wenn Du mich außen vor lässt) und entsprechende Diskussionen wenn doch angeblich alles so sauber definiert und damit "alles klar" ist?
[1] ich möchte mich dafür entschuldigen, dass ich die beiden in einem Atemzug genannt habe... :eek:
Da tust Du auch gut daran ... ;)
Warum gibt's dann hier "gewisse unterschiedliche Ansichten" (selbst wenn Du mich außen vor lässt) und entsprechende Diskussionen wenn doch angeblich alles so sauber definiert und damit "alles klar" ist?Das liegt einfach nur daran, dass hier Einige die klaren Definitionen nicht kennen und anstatt sich zu informieren und zu lernen lieber orakeln.
Gruß EMI
Hallo EMI,
gehört jetzt das Vorzeichen zur Zahl oder nicht?
(richy meinte zumindest "man könne das schon so sehen" - Und in Mathe schätze ich richy eben als extrem kompetent ein)
Hallo Hawkwind,
Wieso diskutieren wir dann überhaupt? - Hier ... das Thema ... überhaupt über irgendetwas ...
Es könnte doch interessant sein, das Thema zu "rekapitulieren", so in der Art wie richy es angeht. Lehrmeinungen über die Algebra komplexer Zahlen und Funktionentheorie zu revidieren, ist aber schlicht albern.
Keine Ahnung: Ich hatte ehrlich gesagt kein GEGEN im Sinn.
Behauptest Du damit, ich würde der Lehrmeinung widersprechen,
Du selbst bist es doch, der das behauptet.
wenn ich sage:
In der Arithmetik versteht man unter dem Quadrat einer Zahl einen Term (Rechenausdruck), der die Multiplikation dieser Zahl sich selbst mit gleichem Vorzeichen ausdrückt: Das Ergebnis ist eine positive reele Zahl.? :rolleyes:
Ist einfach unnötig verkompliziert:
"das Quadrat einer Zahl ist definiert durch Multiplikation dieser mit sich selbst"
reicht völlig.
Hallo Hawkwind,
Es könnte doch interessant sein, das Thema zu "rekapitulieren", so in der art wie richy es angeht.
Das finde ich auch super und ungemein lehrreich - Ich kann das leider nicht.
Ich kann's mir ansehen, lernen und MEINE Schlußfolgerungen daraus ziehen (ob die dann richtig sind weiß ich nicht).
Du selbst bist es doch, der das behauptet.
Einspruch! - Ich hatte oben in der Möglichkeitsform geschrieben.
-> Widerspreche ich denn nun der Lehrmeinung irgendwo konkret oder handelt es sich eher wieder um eine "laienhafte und damit ungewöhnliche" Beschreibung? Sowas wäre für mich wesentlich hilfreicher als immer diese "Argumentationen auf der persönlichen Schiene".
Ist einfach unnötig verkompliziert:
"das Quadrat einer Zahl ist definiert durch Multiplikation dieser mit sich selbst"
reicht völlig.
IMHO aber nur dann, wenn implizit dabei vorausgesetzt wird, dass Betrag und Richtung (= Vorzeichen) zusammen die/eine Zahl bilden (Anmerkung: Deshalb habe ich es oben als die entscheidende Frage bezeichnet).
Und entschuldige bitte: Jetzt weiß ich wieder einmal nicht, was daran so schwer ist, die bereits gestellte simple und einfache Frage zu beantworten, wenn doch sowieso "alles klar ist" ...
P.S.: Muß mich leider erst einmal ausklinken.
Und entschuldige bitte: Jetzt weiß ich wieder einmal nicht, was daran so schwer ist, die bereits gestellte simple und einfache Frage zu beantworten, wenn doch sowieso "alles klar ist" ...
Sorry, ich denke, dass du selbst in der Lage bist, das zu beantworten. Hast du ja auch schon
IMHO aber nur dann, wenn implizit dabei vorausgesetzt wird, dass Betrag und Richtung (= Vorzeichen) zusammen die/eine Zahl bilden (Anmerkung: Deshalb habe ich es oben als die entscheidende Frage bezeichnet).
Die Frage entscheidet gar nichts - außer, ob du die Standarddefinitionen, z.B. Komplexe Zahl ( http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl) akzeptieren oder lieber dein eigenes Süppchen kochen willst. Das, was du als "Zahl" bezeichnest, nennt man in der Mathematik "Betrag"; wir müssten ein Wörterbuch für dich anlegen. :)
gehört jetzt das Vorzeichen zur Zahl oder nicht?
Hallo SCR,
es gibt nicht nur "die" Zahl, sondern es gibt mehrere verschiedene Zahlen, z.B. die
natürlichen Zahlen ( 1, 2, 3, 4, 5,... )
oder z.B. die
ganzen Zahlen ( ..., -5, -4, -3, -2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,... ).
Die ganzen Zahlen enthalten die natürlichen Zahlen und die negativen Zahlen. Nur die negativen Zahlen besitzen
ein Vorzeichen "─". Dieses Zeichen dient aber auch Operationszeichen z.B. bei der Gleichung
a ─ (-b) = c
Das erste Zeichen (─) ist das Operationszeichen für die Subtraktion und das zweite Zeichen (-) dient als Kennzeichnung dafür, dass b ein Element aus der Menge der negativen Zahlen ist. Der von "Betrag" von (-b) wäre |(-b)| = b
M.f.G. Eugen Bauhof
Hi Eugen, all
Das ist genau der Fehler, den SCR und Leonhard Euler [1] gemacht haben. Ich hoffe, damit ist jetzt alles endgültig geklärt.
Leider nicht ganz :( Denn wir haben bisher nur spezielle Faelle untersucht. Kombinationen der Operatoren Wurzel und Quadrat fuer negative Zahlen. Wie koennen wir zum Beispiel den Ausdruck Wurzel(z^2) allgemein darstellen ? Das ist keinesfalls eine triviale Aufgabe Genau ich rekapituliere hier einige Dinge um zu sehen wie die Konventionen der komplexen Zahlenebene lauten und wie diese zustandekommen. Vor allem um in der Anwendung Rechenfehler (Konventionsvertoesse) zu vermeiden.
Das, was du als "Zahl" bezeichnest, nennt man in der Mathematik "Betrag"; wir müssten ein Wörterbuch für dich anlegen.
Genau. Und mit diesem "Betrag" koennen wir in der Aufgabenstellung Wurzel(z^2), z element C wenig anfangen ! Ich meine SCR hat sich hier schon zu recht Gedanken gemacht. Diese vielleicht falsch ausgedrueckt.
Ok wie ist es im Reellen ?
Wurzel(x^2)=|x|, x element R. (Das wollte SCR ausdruecken)
Es waere im reellen schon sinnvoll beim Quadrieren immer das Betragszeiche zu verwenden.
|-2|^2=|2|^2. Dann koennte man beide Seiten auch "blind" radizieren.
Im Komplexen kann man den Betrag natuerlich nicht einfach uebenehmen.
Wurzel(i^2)=i <> |i|=1
Man benoetigt tatsaechlich eine komplexe Vorzeichen, Signumfunktion.
Im Rellen gilt : |x|=signum(x)*x
Solch eine Vorzeichenfunktion gibt es auch im Komlexen signum(z). Aber das ist nicht die Vorzeichenfunktion die wir benoetigen ! Unsere komplexe Vorzeichenfunktion nennt sich csgn{} und findet sich leider nur im englischsprachigen Wiki :
http://upload.wikimedia.org/math/b/b/4/bb4e6d2bd62904474bcf2c65bc3fd284.png
Die Funktion liefert fuer die linke Halbebene ein negatives Vorzeichen und fuer die rechte Halbebene ein postives Vorzeichen.
http://home.arcor.de/richardon/2011/csgn.gif
Damit koennen wir nun schreiben :
Wurzel(z^2)=csgn(z)*z
******************
Man orientiert sich somit am Realteil der komplexen Zahl. Das ist relativ willkuerlich und steht leider im Widerspruch zu der Regel 2*Pi nicht zu ueberschreiten.
Da die exp(j*phi) - Schreibweise zu (lehrreichen) Komplikationen fuehrt wuerde ich den Ausdruck stets mit der obigen Regel auswerten.
Beispiele :
Wurzel((1+I)*(1+I))=(1+I)
Wurzel((-1+I)*(-1+I))=(1-I) ...
Hi Eugen, all
Leider nicht ganz :( Denn wir haben bisher nur spezielle Faelle untersucht.
Ist klar, mein Beispiel sqrt(-2)•sqrt(-3) beschränkte sich auf die rein imaginären Zahlen. Und das war ja auch das Thema.
http://upload.wikimedia.org/math/b/b/4/bb4e6d2bd62904474bcf2c65bc3fd284.png
Damit koennen wir nun schreiben :
Wurzel(z^2)=csgn(z)*z
******************
Danke für diesen Hinweis, das kannte ich bisher noch nicht. Ich werde es mir mal zu Gemüte führen. Ich interpretiere die erste Zeile wie folgt:
csgn(z) = {1, falls Realteil(z) > 0 und [Realteil(z) = 0 oder Imaginärteil(z) > 0]}
So richtig?
M.f.G. Eugen Bauhof
Man benoetigt tatsaechlich eine komplexe Vorzeichen, Signumfunktion.
Im Rellen gilt : |x|=signum(x)*x
Solch eine Vorzeichenfunktion gibt es auch im Komlexen signum(z). Aber das ist nicht die Vorzeichenfunktion die wir benoetigen ! Unsere komplexe Vorzeichenfunktion nennt sich csgn{} und findet sich leider nur im englischsprachigen Wiki :
Ist natürlich naheliegend, dass das Vorzeichen des Realteils im wesentlichen das Vorzeichen der komplexen zahl festlegt.
z = 1 - i
wäre also als positiv und
z = -1 + i
als negativ zu klassifizieren. Na meinetwegen.
Solche Vorzeichen kann man natürlich definieren, aber ob man so eine Klassifikation wirklich "braucht"? Ich bezweifel es doch eher.
Ich hatte damals doch einige Zeit mit Funktionentheorie zu tun; komplexwertige Funktionen sind ja Alltag in der Physik.
Ich kann mich nicht erinnern, solche Vorzeichenfunktionen je benötigt zu haben.
Beim Ziehen der n-ten Wurzel hat man halt n Lösungen gleichen Betrages, deren Winkel zur positiven reellen Achse ganze Vielfache voneinander und < 2*pi sind. So hattest du das - glaube ich - auch schon irgendwo geschrieben.
Das ist doch dann die allgemeinst mögliche Lösung. Was will man mehr?
Gruß,
Hawkwind
Hi Eugen
"V" bedeutet "oder" :-)
In Worten :
Man richtet sich zunaechst nach dem Realteil. Ist dieser Negativ so ist csgn() negativ.
Geht das nicht, weil Re=0 dann richtet man sich nach dem Im Teil Ist dieser nagativ so ist csgn() negativ. Dies betrifft lediglich die Faelle
csgn(i)=1 und csgn(-i)=-1
Das habe ich oben versucht durch +++++ ------- darzustellen.
=>
Wurzel(i*i)=i
Wurzel(-i*-i)=i
Man koennte sagen "Reellkompatibel"
Jetzt fehlt nur noch die Erklaerung in der exp(j*phi) Schreibweise. Man will ja nicht andauernd umrechnen.
Hier bin ich im Moment so weit :
Intuitiv waehlt man die Darstellung |r|*exp(i*phi) phi=0..2*Pi
Wobei phi mathematisch positiv von der Re-Achse abgetragen wird.
Das entspricht jedoch nicht der genauen Definition. In dieser ist festgelegt, dass mit phi nicht der Winkel 0..2*Pi gemeint ist, sondern Argument(z) kurz arg(z) ! Und arg(z) nimmt die Werte 0..Pi,-Pi..-0 an.
In der oberen Halbebene wird somit der Winkel 0..Pi gemessen und in der unteren Halbebene -0..-Pi.
z=|z|*exp(i*arg(z))
In der Regel sind beide Darstellungsformen gleich, aber nicht in allen Faellen.
Insbesonders nicht wenn man auf diesem Weg Wurzel(z^2) vereinfachen will.
Gruesse
Hi Hawkwind
Solche Vorzeichen kann man natürlich definieren, aber ob man so eine Klassifikation wirklich "braucht"? Das Beispiel Wurzel(z^2) erscheint mir auch bischen konstruert, aber es koennte sich durchaus mal ergeben. Und wenn hier nach dem Hauptwert gefragt wird, sollten sich alle einig sein. Ausserdem empfand ich es als etwas unbefriedigend, dass hierzu bei Quellen im Netz lediglich bemerkt wird, dass Wurzel(z^2)=Wurzel(z)*Wurzel(z) keine allgemein zulaessig Operation sei. Da koennte man ja meinen die ganzen Potenzgesetze stimmen nicht mehr. Wie man nun sieht. Es dreht sich hier nur um das Vorzeichen, dass man dann beachten muss.
Ist natürlich naheliegend, dass das Vorzeichen des Realteils im wesentlichen das Vorzeichen der komplexen Zahl festlegt.
Schon, aber mir haette der Imaginaerteil aus Kompatibilitatsgrunden besser zugesagt. Die Konvention fuer csignum() scheint auf der Konvention fuer arg(z) statt phi=0..2*Pi zu basieren.
Die "falsche" Vorgehensweise :
phi=0..2*PI (Das ist nicht arg(z) !)
Hier gaebe es keinen Grund warum eine Zahl der oberen Halbebene durch Quadrieren eine "Mehrdeutigkeit" erfaehrt, in der Form dass die Zahl dadurch einen Winkel groesser 2*Pi ueberstreicht.
Beispiel : -1+i=sqrt(2)*exp(i*3*Pi/4) (90+45 Grad)
(-1+i)^2=2*exp(i*3*Pi/2)= -2*i ) (180 + 90 Grad)
Jetzt stelle ich die Aufgabe Wurzel(-2*i) zu bestimmen.
Mal ehrlich. Die meisten werden doch meinen dies waere unsere Ausgangszahl.
(2*exp(i*3*Pi/2))^1/2=Wurzel(2)*exp(i*3*Pi/4)=-1+i
Das waere aber genauso falsch wie Wurzel( (-1)(-1))=-1
Richtig ist Wurzel((-1+i)^2)=1-i.
Oder sehe ich hier etwas falsch ? Und wie gehe ich mit arg(z) die Aufgabenstellung richtig an ?
Gruesse
Schon, aber mir haette der Imaginaerteil aus Kompatibilitatsgrunden besser zugesagt. Die Konvention fuer csignum() scheint auf der Konvention fuer arg(z) statt phi=0..2*Pi zu basieren.
richy, man will ja, dass die hergebrachte Definition des Vorzeichens für reelle Zahlen als Spezialfall in der allgemeineren Definition des Vorzeichens für komplexe Zahlen enthalten ist. Dann muss man in der Definition schon auf den Realteil verweisen.
Die "falsche" Vorgehensweise :
phi=0..2*PI (Das ist nicht arg(z) !)
Hier gaebe es keinen Grund warum eine Zahl der oberen Halbebene durch Quadrieren eine "Mehrdeutigkeit" erfaehrt, in der Form dass die Zahl dadurch einen Winkel groesser 2*Pi ueberstreicht.
Beispiel : -1+i=sqrt(2)*exp(i*3*Pi/4) (90+45 Grad)
(-1+i)^2=2*exp(i*3*Pi/2)= -2*i ) (180 + 90 Grad)
Jetzt stelle ich die Aufgabe Wurzel(-2*i) zu bestimmen.
Mal ehrlich. Die meisten werden doch meinen dies waere unsere Ausgangszahl.
(2*exp(i*3*Pi/2))^1/2=Wurzel(2)*exp(i*3*Pi/4)=-1+i
Das waere aber genauso falsch wie Wurzel( (-1)(-1))=-1
Richtig ist Wurzel((-1+i)^2)=1-i.
Oder sehe ich hier etwas falsch ? Und wie gehe ich mit arg(z) die Aufgabenstellung richtig an ?
Gruesse
Ich denke, diese Definition eines Vorzeichens für komplexe Zahlen hat erst einmal gar nichts mit dem Hauptwert einer Quadratwurzel zu tun. Es ist einfach nur eine Verallgemeinerung der Definition eines Vorzeichens, die das deutsche Wiki m.E. auch aus gutem Grund nicht einmal erwähnt.
Der Hauptwert einer Wurzel definiert sich nicht über dieses Vorzeichen sondern über den kleinsten Winkel (immer von oben) gegen die positive reelle Achse. So war das doch, oder?
Hi Hawkwind
richy, man will ja, dass die hergebrachte Definition des Vorzeichens für reelle Zahlen als Spezialfall in der allgemeineren Definition des Vorzeichens für komplexe Zahlen enthalten ist.
Ja klar. Der Witz ist, dass man fuer reelle Zahlen selbst dann die Vorzeichenkonvention einhaelt, wenn man die imaginaere Achse also obere und untere Halbebene dazu verwendet. Und genau diesen nicht sofort erkenntlichen Fehler impliziert man, wenn man den Winkel phi=0..2*Pi anstatt 0..Pi,-Pi..-0, der sogenannten Argumentfunktion verwendet.
Wenn du faelschlicherweise phi=0..2*Pi verwendest, dann bedeutet dies bei einer Quadratur, dass man fuer -1 (also genau fuer phi=Pi) nun logischerweise bei 2*Pi, das entspricht 1 landet. Vorzeichenwechsel, alles prima denkt man. Nichts ist prima. Weil es hier "zufaelligerweise" stimmt bemerkt man nicht, dass man mit dieser Winkelkonvention das imaginaere Vorzeichen fuer csgn() verwendet. Man erhaelt bei einer Quandratur tatsaechlich innerhalb der Quadranten 2 und 4 das falsche Vorzeichen.
Zu allem Unglueck macht man auch bei rein imaginaeren Zahlen nichts falsch wie die untere Grafik veranschaulichen soll.
http://home.arcor.de/richardon/2011/csgn2.gif
Dass man das falsche csgn{} verwendet kann man sich wie folgt nochmals veranschaulichen :
Von 0..Pi (ohne Pi) gibt es anscheinend keinen Grund bei einer Quadratur irgendetwas zu korrigieren, den Winkel um 2*Pi zurueckzudrehen. Erst ab Pi.
Man verwendet obere und untere Halbebene fuer csgn() ohne sich dessen bewusst zu sein. Ein wirklich gemeiner Fehler, da er nur im Inneren des zweiten und vierten Quadranten auftritt. Daher mein Beispiel -1+i
Die einfache Loesung
****************
Wenn man die Arg Funktion statt 0..2*Pi verwendet, dann passt es zumindestens fuer die Quadratwurzel.
Beispiel :
2. QUADRANT
**********
Zur Erinnerung : Richtig war : sqrt(-2*I)=1-i
Folgende Darstellung war falsch wenn wir die Wurzel ziehen :
(-1+i)^2=2*exp(i*3*Pi/2)= -2*i
Denn hier landen wir dann wieder bei -1+i kein Vorzeichenwechsel im 2. Quadrant FALSCH !
Falsches csgn()
So falsch wie (-1)^2=1 => Wurzel(1)=-1
In dem Fall richtig :
(-1+i)^2=2*exp(-i*Pi/2)
Wurzel(2*exp((-i*Pi/2))=Wurzel(2)*exp(-i*Pi/4)=1-i Vorzeichenwechsel RICHTIG !
1. QUADRANT
**********
Im ersten Quadranten aendert sich nichts und der war RICHTIG !
3. QUADRANT
**********
(-1-i)=sqrt(2)*exp(-i*3/4*Pi)
(-1-i)^2 ist nicht 2*exp(-i*3/2*Pi) sondern 2*exp(i*Pi/2)
sqrt(2)*exp(i*Pi/4) = 1+i Vorzeichenwechsel RICHTIG !
4. QUADRANT
**********
1-i=sqrt(2)*exp(-i*Pi/4)
(1-i)^2=2*exp(-i*Pi/2)
sqrt(2)*exp(-i*Pi/4) =1-i, kein Vorzeichenwechsel RICHTIG !
Uffz
Lange Rede kurzer Sinn.
Es ist stets die Funktion arg(z) zu verwenden nicht phi=0..2*Pi :
http://upload.wikimedia.org/math/9/b/a/9ba94caa162cd827bd658bca8c60ff12.png
Graphisch ist dies dann einfacher wie die arctan Berechnung. In vielen Programmen,Taschenrechner ist die arg Funktion extra implementiert oder die Polardarstellung rechnet hoffentlch damit. Ansonsten sind Vorzeichenfehler vorprogrammiert.
So vermeidet man Vorzeichenfehler beim Radizieren im 2 ten und 4 ten Quadrant :
http://home.arcor.de/richardon/2011/arg.gif
Bei einer Quadratwurzel gilt Hauptwert=-Nebenwert.
Mathematiker an der ALDI Kasse.
Kassiererin : Das macht 19 EUR !
Mathematiker : Hey prima, geben sie mir 20 EUR ich kann einen EUR rausgeben !
Kassiererin : Herr Gauss , sie haben schon wieder den Hauptwert mit dem Nebenwert vertauscht !
Marco Polo
18.06.11, 01:20
Bei einer Quadratwurzel gilt Hauptwert=-Nebenwert.
Mathematiker an der ALDI Kasse.
Kassiererin : Das macht 19 EUR !
Mathematiker : Hey prima, geben sie mir 20 EUR ich kann einen EUR rausgeben !
Kassiererin : Herr Gauss , sie haben schon wieder den Hauptwert mit dem Nebenwert vertauscht !
richy mal wieder in Hochform. Was würde wohl Graf Maple dazu sagen? :D
Ich denke, diese Definition eines Vorzeichens für komplexe Zahlen hat erst einmal gar nichts mit dem Hauptwert einer Quadratwurzel zu tun.
Bist du immer noch der Meinung ? Man sieht es nur nicht direkt. Wenn man den Winkel 0..2*Pi verwendet, dann verwendet man den Imaginaerteil in der allgemeineren Definition des Vorzeichens für komplexe Zahlen. Ohne dass es sofort auffaellt, weil man nur im Inneren des 2ten und 4 ten Quadranten einen Vorzeichenfehler beim Radizieren macht.
Diesen Fehler vermeidet man, wenn man die Winkelvereinbarung fuer phi aus der Argumentfunktion benutzt. Jetzt erklaere dies mal jemandem ohne die csgn Funktion. Oder hast du hierzu einen anderen anschaulicheren Weg parat ? Koennte ja durchaus sein.
Der Hauptwert einer Wurzel definiert sich nicht über dieses Vorzeichen sondern über den kleinsten Winkel (immer von oben) gegen die positive reelle Achse. So war das doch, oder?
Ich verwende die komplexe ln Version mit arg(z). Und k=0 ist dann angeblich der Hauptwert. Wobei ich im Forum hier sicherlich leider auch schon oefters phi=0..2*Pi angeschrieben habe. Es kann natuerlich durchaus sein, dass es einen Trick, Regel gibt die den Fehler nachtraeglich korrigiert. Bei z^(1/64) muesstest du allerdings alle 64 Wurzeln berechnen nur um den Hauptwert zu bestimmen.
Gruesse
Jetzt fehlt noch ein Beispiel wie sqrt(-1*-1) <> sqrt(-1)*sqrt(-1)
richy mal wieder in Hochform. Was würde wohl Graf Maple dazu sagen?
Vielleicht : Herr Gauss hat lediglich die Ringsalami dem falschen Quadranten entnommen :D
Mathematikerin : "Schatz ich hab im falschen Quadranten eingeparkt :-)"
Bei "Wer wird Millionaer" : "Ich koennte ihnen eine mehrdeutige Loesung anbieten : A,B,C,D"
Jauch : "Gute Frau wir suchen den Hauptwert"
Waere 1=-1 als Nebenwert eigentlich richtig ?
Hallo richy,
Diesen Fehler vermeidet man, wenn man die Winkelvereinbarung fuer phi aus der Argumentfunktion benutzt. Jetzt erklaere dies mal jemandem ohne die csgn Funktion. Oder hast du hierzu einen anderen anschaulicheren Weg parat ? Koennte ja durchaus sein.
Man muß sich den Zusammenhang (http://uni-wiki.mayastudios.net/index.php/Komplexe_Zahlen) zwischen Winkelverdoppelung und Potenzieren klarmachen.
Für Phi soll arccos (http://de.wikipedia.org/wiki/Arkussinus_und_Arkuskosinus) verwendet werden,
http://uni-wiki.mayastudios.net/images/math/d7668cbdaaffcac8612e59b0290f5bbe.png
http://upload.wikimedia.org/math/f/8/a/f8a53453de499374cbb0a4b3735e0b01.png
http://upload.wikimedia.org/math/7/4/8/7486ee6fd5c95c225f0972af18c62d92.png
http://upload.wikimedia.org/math/0/4/3/04350d781e95b59dad51e070b8d014e7.png
wobei die Signumfunktion (http://de.wikipedia.org/wiki/Signumfunktion)wichtig scheint.
Aber das hast du ja schon selbst herausgefunden.
Manchmal liest man, exp(i*Pi/2) sei ein Zeiger auf den komplexen Wert und der komplexe Wert ein Vektor. Im 2-Dimensionalen macht das aber keinen Unterschied.
Größer und Kleiner (<>) hat im Komplexen Zahlenbereich nicht mehr die Bedeutung, die man einem größeren oder kleineren Wert zuschreibt. Dem Komplexen fehlt das lineare, eindimensionale Ordnungsprinzip.
Man könnte sich nun fragen, wie müssen komplexe Funktionen aufeinander wirken, damit in physikalischen Prozessen dieses ">" und "<" realisiert wird.
mfg
quick
PS: IF i OR j THEN
Anweisungen(;) )
ENDIF
Hi quick
Man muß sich den Zusammenhang zwischen Winkelverdoppelung und Potenzieren klarmachen.
Ja, aber das ist nicht ausreichend. Diese arg-Funktion sieht formell grauenhaft aus. Aber es ist graphisch einfach diese Winkelvereinbarung :
http://home.arcor.de/richardon/2011/arg.gif
Und wenn ich diese anstatt 0..2*Pi verwende, dann rechne ich auch richtig wenn eine Quadratwurzel auftritt. Ich vermute sogar bei allen geradzahligen Wurzeln passt es, was noch zu zeigen waere. Und wenn ich wissen moechte warum ich dann richtig rechne, dann ist die Begruendung, dass man mit arg(z) fuer csignum() die linke Halbebene auf die rechte abbildet. Und mit phi=0..2 faelschlicherweise die untere Halbebene auf die obere Halbebene.
Wobei es teuflischerweise fuer rein reelle und rein imaginaere Zahlen und im ersten und dritten Quadranten dennoch scheinbar passt.
Man kann sich die Vorzeichen auch so erklaeren.
Beispiel Sinus :
Bei phi = 0..2*Pi durchlaufe ich den ganzen Sinus und dann gehts von vorne los.
Bei phi=0...Pi ...-PI..0 verwende ich einen Spezialhamster.
Der lauft die erste Halbwelle durch und dann springt er nach -Pi und laeuft weiter ...
Das ist doch gar kein Unterschied !
In dem Fall nicht und deshalb sagen sich viele : Ach es ist doch egal welche Winkelkonvention ich verwende.
Aber wenn ich die Wurzel ziehe, die Phase halbiere, dann unterscheiden sich die beiden Hamster im Sinus. Der erste lauft wie bisher. Es aender sich praktisch nur die Frequenz.
Aber der richtige Spezialhamster springt nun schon bei Pi/2 zurueck nach -Pi/2. Und dadurch aendert er gegenueber dem 0..2*Pi Hamster in richtiger Weise sein Vorzeichen.
Gruesse
Hi richy!
Warum nicht „einfach” -Pi .. +Pi nehmen?
Gruß, Johann
Bei z^(1/64) muesstest du allerdings alle 64 Wurzeln berechnen nur um den Hauptwert zu bestimmen.
Wieso das ?
Du stellst z dar in der Form
z = |z| * expi(i*phi)
Der Hauptwert ist dann
z = |z|^(1/64) * exp(i*phi/64)
oder übersehe ich etwas? Kommt mir nicht so vor.
Gruß,
Hawkwind
Hallo richy,
ich habe inzwischen eine recht anschauliche Vorstellung von dem imag. Problem. Ich muß dazu nur ein Bildchen präsentieren, habe momentan aber keine Zeit.
...heute abend vielleicht.
mfg
quick
http://upload.wikimedia.org/math/0/4/3/04350d781e95b59dad51e070b8d014e7.png
Ups, da taucht nun unvermittelt x auf; was soll es denn bedeuten, vielleicht Realteil(z)?
wobei die Signumfunktion (http://de.wikipedia.org/wiki/Signumfunktion)wichtig scheint.
1.) die Signumfunktion, die du angibst, ist die für reelle Zahlen und nicht die auf die komplexe Ebene erweiterte, die richy im englischen Wiki "ausgegraben" hatte.
2.) warum soll sie so wichtig sein? Das stimmt einfach nicht.
Das simple Vorzeichen verliert eben seine Bedeutung für komplexe Zahlen, da eine Charakterisierung dieser durch Vorzeichen und Betrag wie im Reellen sowieso nicht mehr reicht; stattdessen sind Betrag und Winkel gefragt für komplexe Zahlen.
Hallo richy,
Hi quick
Ja, aber das ist nicht ausreichend. Diese arg-Funktion sieht formell grauenhaft aus.
Du sprichst mir aus dem Herzen!:D
die Probleme bei der konkreten Berechnung von komplexen Zahlen scheinen alles andere als einfach zu sein, für mich zumindest. Deshalb habe ich mir überlegt, wie man Gauß und Euler bei dieser Berechnung unter einen Hut bringen kann.
Wenn man von der allgemeinen Darstellung
z = a + bi ausgeht, wobei i für "imaginär" steht und bedeutet, dass b mit sqrt(-1) multipliziert werden muß, dann lautet das Ergebnis nach der Quadrierung
z² = a² - b² == (a+b)(a-b)
Daraus läßt sich nun mit dem guten alten Pythagoras was machen...
Man nehme einen Radius a und eine Teilstrecke b, sodass (a-b) und (a+b) die Hypothenusenabschnitte eines rechtwinkligen Dreiecks ergeben.
Und siehe da, die Höhe des Dreiecks entspricht nun auch einer reellen Zahl, obwohl sie in den imaginären Raum ragt.
Man muß sich nun vorstellen, dass Euler gewissermaßen über den Dingen schwebte und den Einheitskreis auch noch gleich mit nahm. Er schaute vom imaginären Raum aus auf die reelle Zahlenwelt und sah, dass alles Eins war (oder Null?) oder -1. (Die realen geschichtlichen Zusammenhänge sind jetzt unbedeutend!)
Ich habe (für mich) entdeckt, dass von diesen Zusammenhängen bis heute ein heiligenscheinartiges Gebilde übrig geblieben ist, das ich in meiner Skizze (http://www.quanten.de/forum/attachment.php5?attachmentid=276&stc=1&d=1308433285) gelb eingefärbt habe. Diese Gebilde nenne ich "imaginären Pythagoras-Euler-Gauß-Schein", kurz iPEGS.
iPEGS steht nicht senkrecht auf der reellen Achse R, sondern schwebt drüber, senkrecht zur Imaginären.
Der Winkel Phi ist ein Rotationswinkel um die imaginäre Achse, hat also mit dem Winkel bei Gauß´scher Betrachtungsweise nur indirekt zu tun. (Deshalb müssen zwei Hamster in verschiedenen Käfigen agieren/operieren?):)
Wichtig zu erwähnen wäre noch der Endpunkt Q von z. Mit dem Punkt Q (wie quick) läßt sich jedes beliebige Verhältnis von a und b einstellen, wenn man diesen Punkt um den inneren Kreis des iPEGS herumführt.
Nun ja, vielleicht erkennt man auch, dass iPEGS eigentlich nur die Schnittfläche zweier Kugeln darstellt, was hilfreich sein könnte, wenn man sich in höhere Dimensionen begeben möchte.
Da ich nun aber das allgemein gültige, mathematische Regelwerk nicht überblicke, kann ich nicht beurteilen, ob meine Vorstellung strengen Maßstäben standhält ...
... soll heißen, "zum Test/Verriss freigegeben".:D
mfg
quick
Hallo Hawkwind,
2.) warum soll sie so wichtig sein? Das stimmt einfach nicht.
Das simple Vorzeichen verliert eben seine Bedeutung für komplexe Zahlen, da eine Charakterisierung dieser durch Vorzeichen und Betrag wie im Reellen sowieso nicht mehr reicht; stattdessen sind Betrag und Winkel gefragt für komplexe Zahlen.
Ich habe ja geschrieben, die Signumfunktion scheint wichtig zu sein. Beim derzeitigen Stand der Diskussion sollte es nur ein Hinweis für richy/Interessierte sein. Ich selbst fange im Moment garnichts damit an.:o
mfg
quick
Hi Hawkwind
Der Hauptwert einer Wurzel definiert sich nicht über dieses Vorzeichen sondern über den kleinsten Winkel (immer von oben) gegen die positive reelle Achse. So war das doch, oder?
("dieses Vorzeichen" war csgn() )
Man muss im Komplexen zwischen einem deutschen und einem nichtdeutschen Hauptwert unterscheiden. Wobei an deutschen Universitaeten sowohl der deutsche als auch der nichtdeutsche Hauptwert verwendet wird.
Ich habe an einer deutschen Universitaet meinen Abschluss gemacht und kann mich erinnern, dass dort peinlichst genau der nichtdeutsche Hauptwert verwendet wurde. Ich weiss das noch genau, weil eine Aufgabe mit "falsch" bewertet wurde, da ich den deutschen Hauptwert angab.
Zu csgn()
Es ist einfach nur eine Verallgemeinerung der Definition eines Vorzeichens, die das deutsche Wiki m.E. auch aus gutem Grund nicht einmal erwähnt.
Und das ist vielleicht auch der Grund fuer die Existenz eines deutschen und Restwelt-Hauptwertes.
Du stellst z dar in der Form
z = |z| * expi(i*phi)
Der Hauptwert ist dann
z = |z|^(1/64) * exp(i*phi/64)
Ich hatte z^(1/64) gewaehlt, weil dein Vorschlag war den Hauptwert aus allen Loesungen nachtraeglich zu bestimmen. Bei 64 Loesungen schon recht viel Arbeit. Im Grunde aber eine gute Idee und sichere Methode. Aber die Methode nuetzt leider wenig um zwischen deutschem und internationalem Hauptwert zu unterscheiden. Selbst wenn du deine deutsche Hauptwert Regel anwendest wird sich dein Hauptwert von dem deines amerikanischen, englischen, franzoesischen Restweltkollegen unterscheiden, denn diese koennten argumentieren, dass ein negatives Argument kleiner ist als ein positives..
Beschraenken wir uns auf :
Wurzel(z) = |z|^(1/2) * exp(i*phi/2 + n*Pi)
Hauptwert : n=0
Nebenwert : n=1 oder Nebenwert=-Hauptwert
Hier sind wir uns sichelich alle einig und es bleibt letzendlich die Frage :
Wie waehlen wir phi ???
phi=0..2*Pi (deutsche Methode)
oder
phi=arg(z)=0..Pi, -Pi..0 (internationale Methode)
An manchen Universitaeten gibt noch eine Variante :
phi=arg(z)=0..2*Pi
Komplexe und reelle Zahlen und ihre Algebren sind doch wunderbar definiert: was sollen immer diese "persönlichen Sichten"?
Huestel :D
Machen wir einen einfachen Test und berechnen den Hauptwert von
WURZEL(-2*i)
Da hatte ich schon Vorarbeit geleistet :
Verwenden wir phi= [0..2*PI], damit -2*I=2*exp(3/2*Pi) erhalten wir
HW=-1+i (deutscher Hauptwert)
Verwenden wir phi=arg(z)= [0..Pi, -Pi..0] damit -2*I=2*exp(-1/2*Pi) erhalten wir
HW=1-i (internationaler Hauptwert)
Wir tippen bei googel ein sqrt(-2*i)
http://www.google.de/#sclient=psy&hl=de&source=hp&q=sqrt%28-2*i%29&aq=f&aqi=&aql=&oq=&pbx=1&bav=on.2,or.r_gc.r_pw.&fp=6ea8c7f972d81b1f&biw=800&bih=468
HW=1-i
Wir tippen in Maple ein : sqrt(-2*I);
HW=1-i
Jetzt verwenden wir Wiki "Quadratwurzel" :
http://de.wikipedia.org/wiki/Quadratwurzel
Ist z in kartesischen Koordinaten gegeben, also z = x + iy, dann ist der Hauptwert der Quadratwurzel gegeben durch
http://upload.wikimedia.org/math/9/2/3/923005bb8d3c2d1d89d1425a782bcf56.png
Signum des Imaginaerteils bestimmt das Signum des Realteils der Wurzel !
Wie soll das zusammenpassen mit Im->0 ?
Und wir wollen zusammen mit den Amerikanern/Chinesen mal zum Mars fliegen, nicht ?
sign(y)=-1, |z|=2, x=0
HW=-1+i (deutscher WIKI Hauptwert fuer Wurzel(-2*i) )
wir waehlen bei WIKI den englischen Beitrag :
When the number is expressed using Cartesian coordinates the following formula can be used for the principal square root:[5][6]
http://upload.wikimedia.org/math/7/c/9/7c9ae8276518782965f74075d87f4fa1.png
where the sign of the imaginary part of the root is taken to be same as the sign of the imaginary part of the original number ...
englischer HW=1-i
Frankreich :... Ich wollte ab hier eine Kurzform verwenden, aber der franzoesische Hauptwert unterscheidet sich vom englischen Hauptwert !
Weil die Franzosen praeziser sind !!!
http://upload.wikimedia.org/math/a/7/f/a7f03e8ed7ffb7c415cec8d300737385.png
où le signe de la partie imaginaire de la racine est
si b <> 0 : le signe de b
si b = 0 et a < 0 : le signe +
si b = 0 et a >= 0 : pas de signe (le nombre est nul).
Frankreich : HW=1-i
"si b = 0 et a < 0 : le signe +"
Den Fall beruecksichtigt der englische WIKI Eintrag gar nicht !
Wurzel(-1) ist in Frankreich gleich i
Wurzel(-1) ist in England, Amerika gleich dem Vorzeichen von Null ? :D
Italien : radice quadrata principale, Keine konkrete Angabe im Komplexen.
Die legen in dem Beitrag gleich mit der Matritzenanschauung los. Da sollte man mal weiter nachhaken.
in modo da poter dire ancora che le radici del numero complesso z sono z^1/2 e -z^1/2.
Typisch Italien :-)
Holland : keine Angabe wie in Italien
Spanien : el valor absoluto = 1-i.
Portugal : HW = 1-i
فارسی : HW=1-i
Magyar=UNGARN : HW= -1+1 (deutscher Hauptwert)
Jetzt krieg ich wieder wie bei der 5 Oktavenstimme von Celin Dion (latuerlich singt die im Ultaschallbereich) ganz boese Schelte von Wiki weil ich da in der Diskussion zur Quadratwurzel folgenes eingetragen habe :
Nationaler Hauptwert von Wurzel(z)
**************************
Man sollte im Artikel noch betonen, dass der Hauptwert einer komplexen Zahl sich von Nation zu Nation unterscheidet. Gemaess WIKI weist der Hauptwert (das ist eine wohldefinierte Zahl) von Wurzel(-2*I) in verschiedenen Laendern verschieden Werte auf :
England, Frankreich, Portugal : Wurzel(-2*i) HW= 1-i
Deutschland, Ungarn : Wurzel(-2*i) HW= -1+i
Italien, Holland : Mehrdeutig
Deutschland und Ungarn nehmen hier eine Sonderstellung ein, weil sie das Vorzeichen des Realteils aus dem Signum des Imaginaerteils bestimmen.
MfG
Jetzt war ich glatt so frech , dass ich den Wiki Beitrag zur Quadratwurzel modifiziert habe :
Wie bei Celin Dions 5 Oktaven Stimme.
Céline Dion ist für den Einsatz der Gesangstechnik des Belting bekannt. Ihre Stimme umfasst fünf Oktaven. Quelle FAZ :-)
Fuenf Otaven.Sachen gibt es. Naja wenn es bei Wiki steht und eine Korrektur abgelehnt
wurde kann Celin Dion wohl tatsaechlich wie eine Hundepfeife Ultraschall erzeugen.
MEINE WIKI ERGAENZUNG ZUR QUADRATWURZEL :
Der Hauptwert einer komplexen Zahl wird in verschiedenen Laendern unterschiedlich berechnet. In Deutschland und Ungarn ist der Hauptwert der Wurzel von (-2*i) gleich -1+1. In Frankreich, England und dem Rest der Welt dagegen 1-i.
Ich bin schon gespannt :)
MEINE WIKI ERGAENZUNG ZUR QUADRATWURZEL :
Der Hauptwert einer komplexen Zahl wird in verschiedenen Laendern unterschiedlich berechnet. In Deutschland und Ungarn ist der Hauptwert der Wurzel von (-2*i) gleich -1+1. In Frankreich, England und dem Rest der Welt dagegen 1-i.
Hallo Richy,
vermutlich nur ein Tippfehler:
Es müsste heißen: In Deutschland und Ungarn ist der Hauptwert der Wurzel von (-2*i) gleich -1+i.
M.f.G. Eugen Bauhof
Hi Bauhof
Ja danke. Aber der Eintrag kann soundso nicht stehen bleiben. Ansonsten wird man wohl leider nichts aendern. Kannst du mal nachschauen was der "Bronstein" zu der Thematik meint ?
Gruesse
Nationaler Hauptwert von Wurzel(z)
**************************
Man sollte im Artikel noch betonen, dass der Hauptwert einer komplexen Zahl sich von Nation zu Nation unterscheidet. Gemaess WIKI weist der Hauptwert (das ist eine wohldefinierte Zahl) von Wurzel(-2*I) in verschiedenen Laendern verschieden Werte auf:
England, Frankreich, Portugal : Wurzel(-2*i) HW= 1-i
Deutschland, Ungarn : Wurzel(-2*i) HW= -1+i
Italien, Holland : Mehrdeutig
Hallo Richy,
hier noch die Definition des Hauptwertes der russischen Mathematiker, entnommen aus diesem Buch [1], Seite 35:
Der Winkel ß heißt Hauptwert des Arguments der komplexen Zahl z:
Für z = r•[cos(ß) + i•sin(ß)] ergibt sich das Argument arg(z):
arg(z) = ß + 2•k•π ( - π < ß ≤ + π ; k = 0, ± 1, ± 2,...)
Wenn z = a + i•b ist, dann gilt:
a = r•cos(ß)
b = r•sin(ß)
r = sqrt(a² + b²)
Der Winkel ß ergibt sich für die verschiedenen Fälle zu:
ß = + arccos(a/r) für b ≥ 0, r > 0,
ß = - arccos(a/r) für b < 0, r > 0,
ß = unbestimmt für r = 0.
ß = arctan(b/a) für a > 0,
ß = + π/2 für a = 0, b > 0,
ß = - π/2 für a = 0, b < 0,
ß = arctan(b/a) + π für a < 0, b ≥ 0,
ß = arctan(b/a) - π für a < 0, b < 0.
Ist diese russische Hauptwert-Definition international oder deutsch?
Mit freundlichen Grüßen
Eugen Bauhof
[1] Bronstein, I. N. und Semendjajew, K. A. und andere
Taschenbuch der Mathematik. (http://www.science-shop.de/blatt/d_sci_sh_produkt&_knv_dok_nr=930220104) 5. Auflage. Mit CD.
Thun und Frankfurt am Main 2001
ISBN=3-8171-2015-X
P.S.
MATLAB Complex Root Plot (http://www.mathe-online.at/materialien/Andreas.Pester/files/ComNum/inhalte/ComplexRoot.html) zeigt für sqrt(-2•i) zwei Ergebnisse an: (i – 1) und (1 – i)
Hi Eugen
Ist diese russische Hauptwert-Definition international oder deutsch?
ß = + PI/2 für a = 0, b > 0,
ß = - PI/2 für a = 0, b < 0,
Das Argument fuer die negative imaginaere Achse ist -Pi/2. Das ist der "internationale" Hauptwert.
Ich hab auch schon im Bronstein nachgeschaut :
Bronstein Semendjajew, K. A. und andere
Taschenbuch der Mathematik. Hauptband 22. Auflage.
Thun und Frankfurt am Main 1985
ISBN=3-87144-429-8
Auszug von Seite 508 :
******************
Als Argument der komplexen Zahl a=alpha+i*beta bezeichnet man die Menge arg(a) der Winkel phi (in Bogenmaß) die der Ortsvektor OA=(alpha, beta) mit der positiven Richtung der reellen Achse einschließt.
Um aus arg(a) den Hauptwert phi0= (H) arg(a) herausgreifen zu koennen, setzt man haeufig phi=phi0 + 2*k*Pi mit
-Pi< phi0 <= Pi
....
phi0=arctan(beta/alpha) (+Pi (bzw. -Pi),falls alpha<0 und beta>=0 (bzw.beta<0)),
(arctan:Hauptwert)
phi=-Pi..Pi
Schon in dieser alten Bronstein Ausgabe verwendet man die Vereinbarung, dass fuer csignum der Realteil und nicht wie bei Wiki Deutsch der Imaginaerteil verwendet wird.
Wiki wird meines Wissen an Schulen nicht als Quellenangabe akzeptiert.
Fuer den Ingenieur ist der Bronstein Gesetz. Allerdings ist der Ausdruck "setzt man haeufig" recht schwammig. (Den habe ich auch schon bei Wiki in dem Zuasammenhang gelesen.) Aber wenn man schon einen Hauptwert definiert, so muss dieser einer internationalen Vereinbarung entsprechen. Oder ?
Und das Beispiel (H) Wurzel(-2*i)=1-i zeigt, dass die nachraegliche Entscheidung fuer den Hauptwert nicht funktioniert. In der Form dass dies der erste Wert sei, den man bei einer Umrundung von Pi=0 ausgehend trifft. Zum HW gehoert der kleinste Winkel. Und -Pi/4<Pi/4 (aber 3Pi/4 < 7Pi/4)
Die Wahl des Hauptwertes entspricht somit der Wahl des Hauptwertwinkels phi0. Und das ist der Hauptwertwinkel des komplexen ln(z).
Gruesse
Fuenf Otaven.Sachen gibt es.
Zieh dir das rein, richy:
http://www.youtube.com/watch?v=IyrMAz3wpNo
:)
Gruß
Hi Jaox
Boah das ist heftig von Yma Sumac : (ab 2:53 sicherlich nicht geplant)
Jemand lacht im Publikum und sie verlaesst die Buehne. Recht hat sie !
http://www.youtube.com/watch?v=8gPSc5kByFQ&feature=related
Hier mal ein Remix wie modern Yma Sumac im Grunde war : 50 Jahre der Zeit voraus :
http://www.youtube.com/watch?v=jncc5d18Kps&feature=related
Aus dem Mambo (Perez) entstand spaeter der Salsa.
Es gibt wenige 5 Oktaven Stimmen. Das hatte ich hier ja mal alles festgehalten und selbst nachgemessen :
http://www.quanten.de/forum/showthread.php5?t=1901
Fuer Celin Dion gibt es keinen einzigen Piepser in der der Richtung. Es ist wie bei Whitney Housten ein Geruecht. Nur Mariah Carey hat tatsaechlich dokumentiert fast eine 5 Oktaven Stimme. Und Georgia Brown 8 Oktaven. Bis Ultraschall.
Das hier ist wirklich hoch :-)
http://www.youtube.com/watch?v=bNWIsEngMBE&NR=1
Sie kann das aber noch viel hoeher, nur hoert man dann nichts mehr . :-)
Gruesse
Marco Polo
19.06.11, 22:26
Zieh dir das rein, richy:
http://www.youtube.com/watch?v=IyrMAz3wpNo
Poahhh...das ist ja mal der Knaller, Johann.
Ich schätze mal, das meine Brille kurz davor war zu zerspringen.
Wo hast du denn den Track ausgegraben? :)
Ich kann Benjamins Ausfuehrung wenig hinzufuegen. Eine Herleitung der Wurzel(i) ohne Polarform faellt mir ebenfalls nicht ein.
Ist auch ohne Polarform easy.
Gesucht sei die komplex Zahl z, die erfüllt:
(0) z = sqrt(i)
also ist Erfüllung der quadrierten Gleichung notwendige Bedingung:
(1) z*z = i
Nun stellen wir die unbekannte komplexe Zahl z durch ihren Realteil x und ihren Imaginärteil y dar: z = x + i*y und setzen in (1) ein:
(2) x^2 - y^2 + 2*i*x*y = i
Zerlegung dieser Gl. in 2 Gleichungen für Real und Imaginärteil:
(2a) Realteil: x^2 - y^2 = 0 (Realteil von i ist ja 0)
(2b) Imaginärteil: 2*x*y = 1 (Imaginärteil von i ist 1)
Das sind 2 Gleichungen für die 2 reellen unbekannten x und y. Eine der Lösungen ist die von richy und benjamin angegebene. Eine 2. erhält man, da man bei Auflösung von (2a) vor Einsetzen in (2b) auch die negative Wurzel ziehen kann.
eine Lösung:
x = 1/sqrt(2),
y = 1/sqrt(2)
also z = 1/sqrt(2) + i/sqrt(2)
Bei den weiteren Lösungen mass man a bisserl aufpassen, nur die mitzunehmen, die auch Gl. (0) erfüllen. Durch das Quadrieren von Gl. (0) ist Gl. (1) nicht mehr äquivalent zu Gl. (0), sondern enthält weitere Lösungen, nämlich auch die für z = -sqrt(i).
Das ist übrigens reine Mathematik und hat nichts mit dem 4-dimensionalen pseudoeuklidischen Minkowskiraum zu tun.
Hallo zusammen,
die Fragestellung lautete: Lösung von sqrt(-2*i)
MEINE "Lösung" (auch wenn sie den mathematischen Anforderungen hier womöglich nicht genügen sollte):
i*i=-1
Wir nehmen für/statt i einmal x=+1 und einmal x=-1 an: sqrt(-2*x) mit ...
1.) x=+1: sqrt(-2*x) = sqrt(-2)
Lösung 1:
1.1.) -1,414... * +1,414... = -2
1.2.) +1,414... * -1,414... = -2
2.) x=-1: sqrt(-2*x) = sqrt(+2)
Lösung 2:
2.1.) +1,414... * +1,414... = +2
2.2.) -1,414... * -1,414... = +2
Feststellung:
Die beiden Vorzeichen treten bei der in dieser Form durchgeführten vollständigen Enumeration in exakt gleicher Häufigkeit auf, keine der obigen Lösungen ist dabei in irgendeiner Art und Weise ausgezeichnet.
-> Die Lösung von sqrt(-2*i) ist die Zahl 1,414... mit gleichberechtigtem Vorzeichen Plus und Minus (bzw. alternativ "mit uneindeutigem Vorzeichen").
Alles andere ist zwar in meinen Augen denkbar - Wäre dann aber "eine erzwungene Lösung" bzw. "als willkürliche Festlegung" zu betrachten (-> 'deutsche', 'internationale', ... 'Auslegung'?). IMHO.
Wurzel(-1) ist in England, Amerika gleich dem Vorzeichen von Null?
Da -0 = +0 erscheint mir DAS ehrlich gesagt noch als die zielführendste Definition des Vorzeichens von i.
Unabhängig von "meiner Lösung" - Ich hätte eine Frage an Dich, richy:
Wie habe ich Deiner Einschätzung nach (vor dem Hintergrund des aktuellen Sachstands) folgende Aussagen Einsteins zu beurteilen? :rolleyes:
Siehe hierzu auch Die Grundlagen der allgemeinen Relativitätstheorie; Annalen der Physik, Vierte Folge, Band 49; 1916; Albert Einstein (http://www.alberteinstein.info/gallery/pdf/CP6Doc30_pp284-339.pdf):
Statt √g wird im folgenden die Größe √-g eingeführt, welche wegen des hyperbolischen Charakters des zeiträumlichen Kontinuums stets einen reelen Wert hat.
sowie (aus anderen Quellen)
Wählt man das Koordinatensystem in gewohnter Weise von vorneherein so, daß √g=1 ist, [...]
bzw.
[...] so zeigt unser letztes Ergebnis doch, daß der Koordinatenwahl gemäß der Bedingung √-g=1 eine tiefe physikalische Berechtigung zukommt.
(Anmerkung: Die Vorzeichen bei √-g=1 bzw. √g=1 wurden korrekt aus dem jeweiligen Original übernommen)
Hi Hawkwind
Ist auch ohne Polarform easy.
Deine Rechnung moechte ich nochmals durchgehen. Aber es werden sich wohl die beiden moeglichen Loesungen wie bei den Wikis ergeben :
Wiki deutsch
http://upload.wikimedia.org/math/9/2/3/923005bb8d3c2d1d89d1425a782bcf56.png
oder Restwiki
http://upload.wikimedia.org/math/a/7/f/a7f03e8ed7ffb7c415cec8d300737385.png
où le signe de la partie imaginaire de la racine est
si b <> 0 : le signe de b
si b = 0 et a < 0 : le signe +
si b = 0 et a >= 0 : pas de signe (le nombre est nul).
Beide Angaben implizieren einen speziellen Hautwert ein spezielles arg(z), csgn(z)
Nur eine dieser beiden Loesungen kann richtig sein ! Weil ein eindeutiger Hauptwert festgelegt werden muss. Es steht nicht frei einen solchen offen zu lassen. Er muss festgelegt werden. Das habe ich gerade auch in der Wiki Diskussion angefuehrt :
Hi LutzL
Die Gleichung x^2-x0=0 hat genau zwei Loesungen und die Gleichung x=Wurzel(x0) hat genau eine Loesung ! Und wenn ich beide Loesungen betrachten moechte, dann muss ich dies Kennzeichnen: x12=(+ -)Wurzel(x0). In einem Algebraprogramm waere x nun ein Vektor ! Man kann eine Variable, Speicherzelle nicht mehrdeutig mit zwei Werten belegen. Es wurde doch in der Diskussion hier schon dargestellt, dass kein Mathematiker schreiben wuerde Wurzel(1)=-1 sondern Wurzel(1)=1. Weil die Bedeutung des Wurzelsymbols eindeutig (leider nur im Reellen) als (H) Wurzel() festgelegt wurde. Und der Hauptwert als positive Loesung. Darueber gibt es keinerlei Diskussion, denn ansonsten waere der Hauptsatz der Algebra verletzt. Es gab bei dieser Festlegung zwar die Freiheit welchen Hauptwert man fuer das Wurzelzeichen verwendet, aber es gibt wegen dem Hauptsatz der Algebra keinerlei Freiheit darin, dass dies festgelegt werden muss und symbolisch gekennzeichnet werden muss. Aber natuerlich in solch einer Form, dass dies trotz Erweiterund der reellen Zahlen z.B. im Schulunterricht verstaendlich bleibt. Leider hat man hier einen schlechten, zweideutigen Weg bestritten. Man schreibt dem Wurzelsymbol im Reellen und Komplexen zweierlei Bedeutungen zu. Gemaess der Definition steht es hier tastsaechlich fuer alle Loesungen, die man bei einer n-ten Wurzel auch gar nicht speziell am Symbol kennzeichnen kann. Stattdessen kennzeichnet man den Hauptwert zum Beispiel mit dem Zusatz (H)Wurzel() und ohne diesen Zusatz, mit Wurzel(),sollen alle Loesungen gemeint sein. Im krassen Widerspruch zum Reellen. Dort macht es jeder Schueler richtig indem er die mehrdeutige Loesung mit (+-) kennzeichnet. Und man haette dies nur uebernehmen muessen und fuer alle Loesungen einer n-ten Wurzel ein spezielles Zeichen einfuehren muessen. Z.B. (~) oder etwas aehnliches. Nochmal : Es steht frei welches Winkelargument ich fuer die Definition des Hauptwertes verwende. Es steht aber nicht frei, dass ein eindeutiger Hauptwert definiert werden muss ! Es muss ein wohldefinierter Hauptwert existieren, ansonsten ist der Hauptsatz der Algebra hinfaellig. Und wenn Wiki England schreibt = (H) Wurzel(1)=1 und Wiki Deutschland (H) Wurzel(1)=-1 dann ist eine der beiden Aussagen eindeutig falsch. Und unter diesem Aspekt ist der deutsche Wiki Eintrag schlichtweg falsch.
Nochmals zusammengefasst :
Die missglueckte Symbolkonvention :
Wurzel() steht im Reellen fuer den Hauptwert
Wurzel() steht im Komplexen fuer alle Loesungen
+- Wurzel() steht im Reellen fuer beide Loesungen
(H) Wurzel() steht im Komplexen fuer den Hauptwert
Wenn man unter dieser Konvention die Wiki Eintraege zu komplexen Zahlen und Funktionen ueberpruefen wuerde, waere sicherlich jeder fehlerhaft.
@SCR
Die Sachlage ist ganz klar. Es muss ein Hauptwert, ein arg(z), ein csgn(z), fuer eine komplexe Wurzel festgelegt werden. Man kann dies verschieden ausdruecken und es ist eine reine Konvention, die aber zwingend durchgefuehrt werden muss. Neu Gedanken in deiner Form helfen hier wahrscheinlich wenig weiter. Ok man koennte sich danach richten welche Vereinbarung im physikalischen Bereicht oefters sinnvolle Aussagen ergibt. Es bleibt dennoch eine reine Definitionsangelegenheit und die kannst weder du noch ich fuer alle Mathematiker vereinbaren. Wobei die Vereinbarung laengst getroffen ist. Denn MAPLE stellt wie der Bronstein einen Standard dar. WIKI dagegen nicht.
Und damit ist folgendes per Definition falsch :
a) Wurzel(1)=-1
b) (H) Wurzel(-2*i)=-1+1
c) Wurzel(-2+i)=1-i, denn richtig waere [1-i,-1+i]
Und hier zeigt sich das Dilemma, denn a und b widersprechen sich weil das Wurzelsymbol im Komplexen so verwendet wird, dass es schizophren ist
Zu "Per Definition" :
Wenn mit dem Zeichen ">" eine spezielle logische Aussgae definiert ist, dann ist die Aussage 1>3 falsch. Nun kann ich festlegen, dass dieses Symbol bedeutet, 1 kleiner 3. Man koennte ueber jede mathematische Arbeit zunaechst schreiben, dass man das Groesser und Kleinerzeichen vertauscht definiert. Waere das sinnvoll ?
Gruesse
Und wenn Wiki England schreibt = (H) Wurzel(1)=1 und Wiki Deutschland (H) Wurzel(1)=-1 dann ist eine der beiden Aussagen eindeutig falsch. Und unter diesem Aspekt ist der deutsche Wiki Eintrag schlichtweg falsch.
Hallo Richy,
nicht nur die vorstehende Bemerkung ist für mich einsichtig, sondern auch dein gesamtes Zitat aus dem Wiki-Forum. Unter welchem Link ist dieses Zitat im Wiki-Forum finden, so dass man die dortige Diskussion verfolgen kann? Ich kenne das Wiki-Forum bislang noch nicht.
M.f.G. Eugen Bauhof
Hi Eugen
Zu jedem Wiki Artikel gibt es eine Diskussionsseite. Einfach oben in der Leiste neben ARTIKEL die Flaeche DISKUSSION anklicken :
http://de.wikipedia.org/wiki/Quadratwurzel
Direkter Link :
http://de.wikipedia.org/wiki/Diskussion:Quadratwurzel#Nationaler_Hauptwert_von_ Wurzel.28z.29
Das geht auch ohne Wiki Anmeldung. Jeder kann einen Wiki Artikel sofort aendern, aber natuerlich wird die Aenderung nicht gleich sichtbar. Sondern sie muss zuerst freigegeben werden. Dafuer gibt es spezielle Pesonen in einer besonderen Hirarchie. Wie diese genau aufgebaut ist weiss ich nicht. Die Qualitaet der Wiki Artikel haengt somit von diesem Personenkreis ab. Im Grunde kann man froh ueber Wiki sein und die Qualitaet ist schon ok. Aber Ausrutscher gibt es dennoch. Z.B gibt es auch im Artikel ueber Hammond Orgeln einen gravierenden Fehler bezueglich der angeblichen absoluten Phasenempfindlichkeit des Gehoers. Eine solche gibt es gar nicht.
Ich bin mal gespannt ob man den Artikel aendern wird. Und der aus Wiki Ungarn ware auch betroffen.
Gruesse
Ich bin mal gespannt ob man den Artikel aendern wird. Und der aus Wiki Ungarn ware auch betroffen.So schnell wohl nicht.
Hi Richardon, nimm' Dir bitte ein nettes Analysis-I-Buch und ein Buch zur Funktionentheorie. Die reelle Wurzelfunktion ist sehr wohl eindeutig definiert, auf dem positiven Halbstrahl mit positiven Werten (und Null). Und nur in diesem Fall wird das Wurzelsymbol(korrekterweise) verwendet. Das heißt, das Wurzelsymbol ist für komplexe Zahlen überhaupt nicht definiert und wird, außer fälschlich bei Anfängern, nicht mit komplexen Zahlen verwendet. Auch nicht auf dem Hauptzweig.
http://upload.wikimedia.org/math/a/f/6/af6b51393ad317d5f6b9d9296362457c.png ist ein Fehler, den man wohlwollend als eine der Lösungen von z² = 1 − i interpretieren kann, aber nicht muss.
Nochmals: Die einzig diskutierwürdige Frage ist, welche Halbebene üblicherweise genommen wird, all Deine anderen Einwände sind keine (1=-1) bzw. haben nichts mit dem Thema zu tun (Fundamentalsatz der Algebra).--LutzL 18:01, 20. Jun. 2011 (CEST)
Gruß EMI
Hi Emi
Auch im Bronstein wird der Ausdruck Wurzel(1-i) verwendet. Ich bin mal gespannt wie Herr Lutzl reagiert, dass er implizit Herrn Bronstein als einen Anfaenger der Mathematik bezeichnet hat. :D
http://de.wikipedia.org/wiki/Taschenbuch_der_Mathematik
Lutzl hat insofern recht, dass das Wurzelzeichen im komplexen eine andere Bedeutung hat. Es meint in der Tat alle Loesungen. Und das steht im Widerspruch zur Konvention im Reellen. Jetzt kann ich nicht immer dazuschreiben ob ich eine reelle oder komplexe Zahl meine. Es ist tatsaechlich so, dass hier eine Schreibreform notwendig waere. Fuer das Wurzelzeichen oder dessen Bedeutung. Und die wird sich aufgrund der Algebraprogramme wie MAPLE ergeben. Und dieses gibt vor, dass Wurzel(z) kompatibel zu Wurzel(x) den Hauptwert meint. Und das wird sich auch gegenueber der bisherigen Kovention durchsetzen. Weil dies im Gegensatz zur alten Konvention konsistent ist. LutzL meint aus diesem Grund gar Bronstein waere ein Anfaenger. Er denkt es gaebe gar kein Symbol fuer eine Wurzel im Komplexen. Das muss man sich mal geben.
Ich habe eine nichtlineare Wuzelkennlinie eines Filters. Schicke ein komplexwertiges Signal durch. Das darf es nicht geben ?
Ebenso stammt der definierte Ausdruck csgn() von MAPLE. Und daher gibt es im Grunde keinerlei Diskussion mehr wie der Hauptwert von Wurzel(-2*i) festgelegt ist.
Ich denke nicht dass bei Wiki Interesse an einem Nationalhauptwert einer komplexen Wurzel besteht. An einer deutschen Nationalwurzel. :-) In der Praxis ist die rechte Halbebene doch laengst festgelegt. Das hat sich lediglich bis zu manchen Theoretikern noch nicht herumgesprochen. Den Fehler arg(z)=[0..2Pi] findet man daher auch bevorzugt auf Mathematikseiten !
Gruesse
Hi Eugen
Zu jedem Wiki Artikel gibt es eine Diskussionsseite. Einfach oben in der Leiste neben ARTIKEL die Flaeche DISKUSSION anklicken :
http://de.wikipedia.org/wiki/Quadratwurzel
Direkter Link :
http://de.wikipedia.org/wiki/Diskussion:Quadratwurzel#Nationaler_Hauptwert_von_ Wurzel.28z.29
Hallo richy,
danke für den Hinweis, ich las soeben die Antwort von "Lutzl", dass die Wurzel aus einer komplexen Zahl überhaupt nicht definiert sei Diese Behauptung erscheint mir sehr befremdlich. In meinem Bronstein aus dem Jahre 2001 existiert auf Seite 38 folgendes Kapitel:
1.5.3.6 Radizieren oder Ziehen der n-ten Wurzel aus einer komplexen Zahl
Dort ist u.a. definiert:
z^1/n = n-te Wurzel aus z mit n>0, ganz.
Dazu eine geometrische Interpretation für n=6.
Allerdings ist vermerkt, dass das Ziehen der n-ten Wurzel aus einer komplexen Zahl stets n verschiedene Lösungen liefert. Die Wurzel-Operation ist also nicht eindeutig. Vielleicht meint "Lutzl" das mit "nicht definiert".
Vielleicht liegt wieder mal nur grandioses Vorbeireden vor.
M.f.G. Eugen Bauhof
@Eugen
Hast du alle Buecher im Regal oder wie kommst du an den Bronstein ?
Vielleicht liegt wieder mal nur grandioses Vorbeireden vor.
Nee, die Angelegenheit ist nun mal leider etwas verzwickter.
Allerdings ist vermerkt, dass das Ziehen der n-ten Wurzel aus einer komplexen Zahl stets n verschiedene Lösungen liefert. Die Wurzel-Operation ist also nicht eindeutig.
Genau. Die komplexe Wurzel ist ueber die Gleichung z^2=z0 definiert. Im Reellen ist die Wurzelfunktion aber eindeutig. Per Definition nicht die mehrdeutige Umkehrfunktion von x^2=x0.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6c/Squareroot-0-9-metapost.svg/220px-Squareroot-0-9-metapost.svg.png
Das hatte ich in der WIKI Diskussion tatsaechlich falsch formuliert. Und alleine die Abbildung oben zeigt den vermeintlichen Unterschied zwischen komplexer Wurzel und reeller Wurzel. Der voellig unnoetig waere, wenn man wenigstens fuer die komplexe Quadratwurzel ebenso wie im reellen eine eindeutige Vereinbarung treffen wuerde. Die lautet im Reellen : Der Hauptwert ist positiv.
Und da gibt es nichts dran zu ruetteln. Fehlt in der Grafik nicht der Ast mit den negativen Funktionswerten ? Per Definition : Nein !
Letzendlich fasst man die Grafik oben in einem Symbol oder einer Schreibweise zusammen : Wuzelzeichen, Wurzel(x), sqrt(x)
Dann ist im Reellen alles klar oder ?
Versuch nun mal alle Eigentuemlichkeiten des komplexen Falls auf den reellen Fall zu uebertragen. Dann zeigt sich am deutlichsten wo das Grunduebel liegt. An der fehlenden Festlegung eines eindeutigen Hauptwertes. Der muss festgelegt werden. Und das ist wie bei Wurzel(1) natuerlich sehr wohl moeglich.
Jetzt will man auch die Umkehrabbildung im Falle der komplexen Zahlen mit einem Symbol ausdruecken.Es waere quatsch zu sagen, dass hierfuer kein geeignetes Symbol existiert. Und nun ist den Mathematikern anscheinend ein kleiner Fehler unterlaufen.
http://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_%28Mathematik%29#Wurzeln_aus_komplexen_Zahl en
Als die n-ten Wurzeln einer komplexen Zahl a in C bezeichnet man die Lösungen der Gleichung
z^n = a.
Alles schoen und gut, aber wie stellen wir diese mehrdeutige Funktion in einem Symbol dar ? Der Anfaenger Bronstein zeigt wie das geht. Genauso wie man +-Wurzel() schreiben kann waehlt er nun aber die Konvention, dass Wurzel() alle Loesungen meint und (H) Wurzel() den Hauptwert. Sehr sehr ungeschickt. Anfaenger eben :-)
Anders als bei reellen Zahlen kann man nicht so einfach eine der Wurzeln als die Wurzel auszeichnen; dort wählt man die einzige nichtnegative Wurzel. Man kann jedoch eine (holomorphe) n-te Wurzelfunktion für komplexe Zahlen, die keine nichtpositiven reellen Zahlen sind, über den Hauptzweig des komplexen Logarithmus definieren:
Und man koennte noch mehr tun. Wie im Reellen per Definition diesem (H) Quadrat Wurzelsymbol eindeutig einen der beiden moeglichen sinnvollen Werte zuschreiben. (Bei z^1/n, n>2 waere es evtl nicht einfach moeglich) Ein csgn(z) festlegen. Oder ein fest vorgeschriebenes arg(z). Beides fuehrt auf das selbe.
Und um das geht es gerade. Welchen der beiden moeglichen Hauptwerte nehmen wir ?
Nun wollte sich niemand so recht entscheiden was zu tun ware. Und darum haben die Praktiker, spaeter die Algebraprogrammhersteller diese Aufgabe uebernommen.
Thats all, Gruesse
Wiki deutsch
http://upload.wikimedia.org/math/9/2/3/923005bb8d3c2d1d89d1425a782bcf56.png
Damit läge der Hauptwert einer komplexen Wurzel immer in der oberen Hälfte der komplexen Eben (so habe ich es auch in Erinnerung), während er nach Bronstein und der csignum-Definition von neulich immer in der rechten Halbebene läge.
Such is life - immerhin ergeben beide Konventionen korrekt den Spezialfall der Quadratwurzel im Reellen, da die positive reelle Achse in beiden Fällen enthalten ist.
Der Unterschied kommt wohl daher, ob man nun für den Polarwinkel phi den Definitionsbereich
-pi ... pi
oder
0 ... 2*pi
nimmt. Bei den klassischen Polarkoordinaten nimmt (-pi ... pi).
oder Restwiki
http://upload.wikimedia.org/math/a/7/f/a7f03e8ed7ffb7c415cec8d300737385.png
Beide Angaben implizieren einen speziellen Hautwert ein spezielles arg(z), csgn(z)
Nur eine dieser beiden Loesungen kann richtig sein !
So würde ich das nicht sehen: es gibt nur leider unterschiedliche Konventionen für den Hauptwert und damit für das Wurzelzeichen im Komplexen. Vielleicht sollte man das Wurzelzeichen mit komplexem Argument allein aus diesem Grund tatsächlich besser meiden. Doch dass das was mit Nationalitäten zu tun hat, bezweifel ich eher.
Hi Hawkwind
Damit läge der Hauptwert einer komplexen Wurzel immer in der oberen Hälfte der komplexen Eben (so habe ich es auch in Erinnerung), während er nach Bronstein und der csignum-Definition von neulich immer in der rechten Halbebene läge.
Genau so ist die Lage :-) Ebenso bestimmt die arg(z) Funktion eindeutig welche Halbebene verwendet wir. Wobei der "alte Bronstein" schreibt :
Als Argument der komplexen Zahl a=alpha+i*beta bezeichnet man die Menge arg(a) der Winkel phi (in Bogenmaß) die der Ortsvektor OA=(alpha, beta) mit der positiven Richtung der reellen Achse einschließt.
Um aus arg(a) den Hauptwert phi0= (H) arg(a) herausgreifen zu koennen, setzt man haeufig phi=phi0 + 2*k*Pi mit
-Pi< phi0 <= Pi
Tja wie ist das gemeint ? "Setzt man haeufig" also nicht immer. Dann waere es eine beliebige Angelegenheit. Aber da steht auch noch :
"um herausgreifen zu koennen" Gibt es somit Gruende, dass die obere Halbebene in manchen Faellen versagt. Aus irgendwelchen hoeheren dem gemeinen Ingenieur nicht bekannten Gruenden.(Meine ich ernst, man kann ja nicht alle Konsequenzen abschaetzen)
@Bauhof
Kannst du daher bitte nochmal nachschauen wie es im neuen Bronstein formuliert ist ! Steht da, dass diese Argumentfunktion[-Pi..Pi] also die rechte Halbebene zwingend ist ? Das waere schon wichtig.
@Hawkwind
Such is life - immerhin ergeben beide Konventionen korrekt den Spezialfall der Quadratwurzel im Reellen, da die positive reelle Achse in beiden Fällen enthalten ist.
Genau so ist es.
Der Unterschied kommt wohl daher, ob man nun für den Polarwinkel phi den Definitionsbereich
-pi ... pi
oder
0 ... 2*pi
nimmt. Ganz genau. Und diese Funktion nennt man arg(z). Eine vereinbarte Abbildung des Winkels 0..2*Pi.
http://upload.wikimedia.org/math/9/2/3/923005bb8d3c2d1d89d1425a782bcf56.png
impliziert:
arg(z)=[0..2*Pi]
csgn(z)_deutsch = -csgn(z)_MAPLE oder googel oder England
Der Hauptwert liegt stets in der oberen Halbebene.
So würde ich das nicht sehen: es gibt nur leider unterschiedliche Konventionen für den Hauptwert und damit für das Wurzelzeichen im Komplexen.
Ja gibt es denn auch verschiedene Konventionen fuer (H) Wurzel(1) ? Von was sollen diese Konventionen abhaengen ? Vom Land ? Von Lust und Laune ? Ich muss dann doch sagen : Es gibt keine festgelegte Konvention. Es gibt eine unnoetige Definitionsluecke. Und genau dies scheint der Fall zu sein.
Vielleicht sollte man das Wurzelzeichen mit komplexem Argument allein aus diesem Grund tatsächlich besser meiden.
Noe, warum denn. Das Wurzelzeichen steht im Komplexen fuer alle Loesungen und das ist doof, weil es damit ein anderes Wurzelzeichen ist als im Reellen. Eine andere Konvention.
Man sollte es anders gestalten Z.B statt Wurzel(z) die Angabe +-Wurzel(z) und bei der n-ten Wurzel ~z^(1/n) wobei "~" alle Loesungen meint und z^(1/n) dann den Hauptwert. Nur als Vorschlag.
Gruesse
Doch dass das was mit Nationalitäten zu tun hat, bezweifel ich eher.
Nur wenn man WIKI als Quelle zur Loesung mathematischer Aufgaben heranzieht. Um es nochmal zu verdeutlichen. Wenn ich schreibe :
H Wurzel(z)=Wurzel|z|*(arg(z)/2) dann habe ich noch keinen speziellen Hauptwert festgelegt. Denn ich habe noch nicht ausgedrueckt was arg(z) darstellt. So geht die alte Bronsteinausgabe vor.
Aber bei Wiki ist das Kind in fast allen Laendern schon in den Brunnen gefallen. (Ausser Italien, Holland) Denn mit der x+iy Schreibweise haben die WIKI spezielle Hauptwerte festgelegt. Dazu national abweichende.
Gruesse
Wie waers damit :
(H) Wurzel(x+i*y)=signum(y)*Wurzel((|z|+x)/2)+i*Wurzel((|z|-x)/2)
signum(0)=0 (per Definition)
limes(signum(a), a->0) = undefined.
Es gibt somit gar keine Moeglichkeit die Loesung in dieser Forem ueber die signum Fuktion befriedegend darzustellen. Lediglich die explizite Vorzeichenangabe in Wiki Frankeich ist koerrekt. Ansonsten gibt es nur einen weltweiten Wiki Schmarren.
Ich bin mal gespannt wie dies korrigierrt wird. Es ist ja fast alles an dieser Stelle "falsch".
Die franzoesiche VZ Konvention ist ok aber umstaendlich.
In ESPERANTO gibt es noch eine interessante Variante :
http://upload.wikimedia.org/math/a/4/6/a46a27a8068ac7fb251dc569234bf370.png
se ne x = −r kaj y = 0.
Was bedeutet kaj ?
Wir haben bereits einen schoenes, in Wiki und MAPLE sogar schon eindeutig definiertes neues Vorzeichen csgn(z). Und nun haben wir eine interesante Aufgabe. Naemlich diese ganzen Wiki Spezialschreibweisen, z.B ueber dieses csgn(z) ausdzudruecken. Elegant und korrekt.
Gruesse
Bronstein ist kein Lehrbuch Analysis I, sondern ein erweitertes Tafelwerk zwischen Abitur-Ingenieurwissen und Mathe/Informatik-Bachelor.
Ho ho ho ho
Der Hauptband, der bei einem Ingenieurstudium verwendet wurde umfasst knapp 900 Seiten.
Hi richy!
und MAPLE
Ich persönlich würde Lösungen/Definitionen in irgendwelchen Programmen keinen großen Gewicht geben. Programme sind schliesslich keine Menschen - dort muss es eindeutig definiert werden, da diese ansonsten unbrauchbar wären. :) Der Mensch ist da "flexibler". :D
Mir scheint die Variante -Pi..Pi etwas symmetrischer (und daher zumindestens sympatischer) zu sein - sowohl Definitions- als auch Abbildbereich enthalten negative wie positive Werte. In der 0..2Pi Variante kann vlt. auch der Eindruck entstehen, dass das negative Vorzeichen, da der Definitionsbereich keinen enthält, auf diese Weise "hergeleitet" wird, was natürlich nicht der Fall ist.
Ansonsten, da im Komplexen immer alle Lösungen betrachtet werden, ist so etwas wie Hauptwert nicht wirklich von Bedeutung. Ein internationaler Standard wäre wohl nicht verkehrt, aber auch nicht lebenswichtig, da man so etwas in einer konkreten Arbeit immer und relativ schnell definieren kann, falls nötig.
IMHO
Nachtrag: Am sinnvollsten wäre vlt., wenn man bei WIKI beide gängigsten Definitionen erwähnt und kurz diskutiert.
Gruß, Johann
Noe, warum denn. Das Wurzelzeichen steht im Komplexen fuer alle Loesungen und das ist doof, weil es damit ein anderes Wurzelzeichen ist als im Reellen.
Gruesse
Das ist in der Mehrzahl der Textbücher auch nicht so wie du sagst, richy. Meist steht das Wurzelzeichen auch im Komplexen für den Hauptwert. In "meiner" Ausagbe vom Bronstein (ziemlich alt) wird die Schreibweise ...^(1/2) für den Hauptwert verwendet. Das ist wohl tatsächlich ein wenig "Kraut und Rüben" in der Literatur.
@Bauhof
Kannst du daher bitte nochmal nachschauen wie es im neuen Bronstein formuliert ist! Steht da, dass diese Argumentfunktion[-Pi..Pi] also die rechte Halbebene zwingend ist? Das waere schon wichtig.
Hallo Richy,
im Bronstein aus dem Jahr 2001 habe ich nichts "zwingendes" mehr gefunden. Aus einem anderen Mathematik-Handbuch [1] habe ich die Seiten 552 und 554 kopiert, siehe Anhang. Dort habe ich im PDF die Hauptwert-Definition mit einer Sprechblase markiert.
Mit freundlichen Grüßen
Eugen Bauhof
[1] Dreszer, Jerzy (Hrsg.)
Mathematik-Handbuch für Technik und Naturwissenschaft. (http://www.amazon.de/Mathematik-Handbuch-f%C3%BCr-Technik-Naturwissenschaft/dp/387144149X/ref=sr_1_1?) 1346 Seiten.
Thun und Frankfurt am Main 1975
ISBN=3-87144-149-X
Ansonsten, da im Komplexen immer alle Lösungen betrachtet werden, ist so etwas wie Hauptwert nicht wirklich von Bedeutung. Ein internationaler Standard wäre wohl nicht verkehrt, aber auch nicht lebenswichtig, da man so etwas in einer konkreten Arbeit immer und relativ schnell definieren kann, falls nötig.
Ja, das kann man so pragmatisch sehen. Letztendlich meine ich, dass die Konvention [-Pi..Pi] eher im Wissenschaftlichen bereich verwended wir. Motiviert durch die vereinfachte Berechnung von arg(z) ueber die Polarkoordinaten. (Taschnerechner) Bei arctan(Im/Re) muesste man von Hand das Vorzeichen bestimmen.
@Bauhof
Vielen Dank fuer das PDF. Da scheint mir die Angabe eindeutig. Und auffaellig ist dass dies ein Buch fuer die Anwender ist. Werden die Mathematiker daher leider wohl nicht so gerne akzeptieren.
@Hawkwind
Meist steht das Wurzelzeichen auch im Komplexen für den Hauptwert.Die Wurzel ist im Komplexen aber stets ueber das Polynom definiert. Naja, ob mit "Wurzel" dann das Wurzelzeichen gemeint ist, ist schon eine andere Sache. Vielleicht gibt es die Definition auch deshalb, damit man stets Haupt und Nebenwerte berechnet.
Gruesse
Nachtrag: Am sinnvollsten wäre vlt., wenn man bei WIKI beide gängigsten Definitionen erwähnt und kurz diskutiert.
Genau. Und man koennte nochmals zeigen, welche arg(z) Funktonen mit der Konvention exp(i*Phi)=cos(phi)+i*sin(phi) vereinbar sind. Fuer die beiden wichtigsten koennte man dann diese Gleichungen in der Im-Re Darstellung angeben. Man umgeht hier die arg(z) Berechnung. Wenn man weiss was man tut ist die Im-Re Darstellung vielleicht fuer gewisse Anwendungen schon praktisch. Aber in einer Gleichung lassen sich die beiden Varianten nicht wirklich kompakt und uebersichtlich darstellen.
Also waere es am besten einfach beide Varianten gesondert anzuschreiben. Dazu welcher arg(z) Funktion diese entsprechen. Das waere eine saubere Sache.
Diese spezielle Signum Funktion, die fuer 0 den Wert 1 liefert ist etwas problematisch. Man koenne die Heavisidefunktion dafuer verwenden. sign+(y)=(2*H(y)-1) noch genauer (2*H1(y)-1). Aber so gut sieht das auch nicht aus :-)
Gruesse
Hi richy!
Und man koennte nochmals zeigen, welche arg(z) Funktonen mit der Konvention exp(i*Phi)=cos(phi)+i*sin(phi) vereinbar sind.
Ich schätze, jede Funktion, in der der Definitionsbereich für phi 2Pi umfasst, wird auch vereinbar sein. Auch - -2Pi...0. Denn der Definitionsbereich von phi ist nur indirekt für den Wertebereich verantwortlich. Tatsächlich müssen cos() und sin() volle "Wellenlänge" durchlaufen, damit alle möglichen Kombinationen von Re und Im erfasst werden. Es ist also der Wertebereich von cos(phi) und sin(phi), der letztendes den Definitionsbereich für exp(i*Phi)=cos(phi)+i*sin(phi) ergibt. :)
imho
Nachtrag: Oder meinst du, dass dann auch so etwas rauskommen könnte: exp(i*Phi)=sin(phi)+i*cos(phi)?
Gruß, Johann
@Bauhof
Vielen Dank fuer das PDF. Da scheint mir die Angabe eindeutig.
Hallo Richy,
mir erscheint die Angabe auch eindeutig.
Und auffaellig ist dass dies ein Buch fuer die Anwender ist. Werden die Mathematiker daher leider wohl nicht so gerne akzeptieren.
Dann frage ich mich langsam, welches Handbuch für Mathematik für die Mathematiker überhaupt akzeptabel ist. Kann mir jemand eines dafür nennen?
M.f.G- Eugen Bauhof
Hallo richy und Eugen!
Dann frage ich mich langsam, welches Handbuch für Mathematik für die Mathematiker überhaupt akzeptabel ist. Kann mir jemand eines dafür nennen?
Ich hatte noch keine Möglichkeit an ein paar Mathe-Bücher von mir zu kommen, aber Morgen werde ich schauen, was in denen steht. Die sind dann auch so richtig theoretisch, und ich hoffe bloss, dass ich die richtigen Stellen dort finde. :D
Gruß, Johann
Hallo richy und Eugen!
Ich hatte noch keine Möglichkeit an ein paar Mathe-Bücher von mir zu kommen, aber Morgen werde ich schauen, was in denen steht. Die sind dann auch so richtig theoretisch, und ich hoffe bloss, dass ich die richtigen Stellen dort finde. :D
Gruß, Johann
Naja, wir haben ja "das Netz". :)
Da findet man jede Menge Vorlesungsskripte über Funktionentheorie für Mathe-Hauptfächler, z.B.
http://www.mathematik.uni-erlangen.de/~leutwil/funktionen.pdf
Prof. Dr. H. Leutwiler hat nun wie erwartet die "deutsche Konvention" gewählt:
Die reelle Zahl phi, das Argument von z, ist dabei nur bis auf ein ganzzahliges Vielfaches von 2π bestimmt.
Einschränkung (häufig) : 0≤ phi < 2π (sog. Hauptwert von phi)
Was soll's? Es gibt leider keine eindeutige Konvention - wir werden das nicht ändern können.
Die reelle Zahl phi, das Argument von z, ist dabei nur bis auf ein ganzzahliges Vielfaches von 2π bestimmt.
Einschränkung (häufig) : 0≤ phi < 2π (sog. Hauptwert von phi)
Ich denke auch, dass das Entscheidende das ist, was ich fett hervorgehoben haben. Theoretisch hätte man ja auch -π/2≤ phi < 3π/2 wählen versuchen können. :)
Gruss, Johann
Hallo zusammen,
falls zum aktuellen Diskussionsgegenstand evtl. von Interesse / hilfreich exemplarisch aus http://www.mathepedia.de/Potenzen_und_Wurzeln.aspx:
Für eine komplexe Zahl z sind die beiden Lösungen von √z ununterscheidbar. Es gibt also nicht wie im Reellen eine positive Wurzel, die man im Allgemeinen mit der Wurzel identifiziert.
[...]
Diese Gleichung gilt genau dann, wenn das Vorzeichen der Wurzel mit dem Vorzeichen von y übereinstimmt. Daher kommt der sgn-Term in Formel (1).
[...]
An Darstellung (2) können wir ablesen, dass der Betrag der Wurzel der Wurzel aus dem Betrag der komplexen Zahl entspricht. Das Argument wird halbiert und die andere Lösungen ergibt sich geometrisch in der Gaußschen Zahlenebene durch Spiegelung am Ursprung.
Wie habe ich Deiner Einschätzung nach (vor dem Hintergrund des aktuellen Sachstands) folgende Aussagen Einsteins zu beurteilen? :rolleyes:
Siehe hierzu auch Die Grundlagen der allgemeinen Relativitätstheorie; Annalen der Physik, Vierte Folge, Band 49; 1916; Albert Einstein (http://www.alberteinstein.info/gallery/pdf/CP6Doc30_pp284-339.pdf):
Statt √g wird im folgenden die Größe √-g eingeführt, welche wegen des hyperbolischen Charakters des zeiträumlichen Kontinuums stets einen reelen Wert hat.
sowie (aus anderen Quellen)
Wählt man das Koordinatensystem in gewohnter Weise von vorneherein so, daß √g=1 ist, [...]
bzw.
[...] so zeigt unser letztes Ergebnis doch, daß der Koordinatenwahl gemäß der Bedingung √-g=1 eine tiefe physikalische Berechtigung zukommt.
(Anmerkung: Die Vorzeichen bei √-g=1 bzw. √g=1 wurden korrekt aus dem jeweiligen Original übernommen)
Es scheint nun doch auf den ersten Blick so als gelte √g=√-g=1 und würde die Basis für einge wesentliche Aussagen der RT darstellen ... An der Richtigkeit der RT ist doch sicher nicht zu zweifeln - Oder? :rolleyes:
Prof. Dr. H. Leutwiler hat nun wie erwartet die "deutsche Konvention" gewählt:
Fuer f(z)=z hat er das festgelegt. Auf Seite 51 gibt er als Hauptwert fuer den ln(z) das Intervall (-Pi..Pi an). Wenn man die rechte Halbebene waehlt !
http://www.mathematik.uni-erlangen.de/~leutwil/funktionen.pdf
In ¨ Ubungsaufgabe wurde ferner gezeigt: Auf C− = C\ IR− definiert
log z := log |z| + iarg(z) , −Pi < arg(z) < Pi (Hauptwert) ,
Korrekterweise verwendet er nun auch den Ausdruck arg(z) statt phi.
Das ist in Ordnung und macht einen Sinn. Richtig falsch waere es blind den arctan(Im/Re) zu verwenden. Aber nehmen wir mal an wir haetten nur die arctan() Taste. Dann ist -Pi..Pi wesentlich einfacher im Handling. Untere Halbebene ? => -phi. Das duerfte auch eine Rolle gespielt haben.
Was soll's? Es gibt leider keine eindeutige Konvention - wir werden das nicht ändern können.
Yepp. Das entscheidene ist, dass man weiss was hier vorgeht und wie man seinen Taschenrechner bedient. Bei der 3 ten oder 4 ten Wurzel sieht es wohl noch mehrdeutiger aus.
Oder meinst du, dass dann auch so etwas rauskommen könnte: exp(i*phi)=sin(phi)+i*cos(phi)?
Ja, wenn man phi z.B. von der imaginaeren Achse aus abtraegt. Die Argumentfunktionen muessen wenigstens alle exp(i*phi)=cos(phi)+i*sin(phi) in gleicher Weise widergeben.
http://www.mathepedia.de/Potenzen_und_Wurzeln.aspx
Hier wird fuer die Quadratwurzel -Pi bis Pi verwendet. Und es duerfte der selbe Autor sein wie beim Wiki Eintrag. Dort hat er zur Abwechslung noch 0..2 Pi verwendet. Dafuer jedoch den selben Fehler mit dem Signum. In der mathepedia Version nun sogar mit der eindeutigen Bezeichnung sgn().
http://home.arcor.de/richardon/2011/fehlersng.gif
Wirklich ? Was ist mit der Null ?
http://upload.wikimedia.org/math/c/7/c/c7cd0ee525005ca406bb0a1c7520451f.png
Und daher liefert die mathepedia Gleichung fuer den folgenden Fall Muell :
Wurzel(-1)=0
si b = 0 et a < 0 : le signe + !!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Ich habe keine Lust mehr :-(
Ich habe keine Lust mehr :-(
Nein - Mach' bitte weiter, richy.
EDIT: Noch ein bißchen erweiterer Kontext aus der ART
[...]
Statt √g wird im folgenden die Größe √-g eingeführt, welche wegen des hyperbolischen Charakters des zeiträumlichen Kontinuums stets einen reellen Wert hat. Die Invariante √-g dt ist gleich der Größe des im "örtlichen Bezugssystem" mit starren Maßstäben und Uhren im Sinne der speziellen Relativitätstheorie gemessenen vierdimensionalen Volumenlementes.
Bemerkung über den Charakter des raumzeitlichen Kontinuums. Unsere Voraussetzung, daß im unendlich Kleinen stets die spezielle Relativitätstheorie gelte, bringt es mit sich, daß sich ds² immer gemäß (1) durch die reellen Größen X1 .... dX4 ausdrücken läßt. Nennen wir dt0 das "natürliche" Volumelement dX1 dX2 dX3 dX4, so ist also
(18a) dt0 = √-g dt
Soll an einer Stelle des vierdimensionalen Kontinuums √-g verschwinden, so bedeutet dies, daß hier einem endlichen Koordinatenvolumen ein unendlich kleines "natürliches" Volumen entspreche. Dies möge nirgends der Fall sein. Dann kann g sein Vorzeichen nicht ändern; wir werden im Sinne der speziellen Relativitätstheorie annehmen, daß g stets einen endlichen negativen Wert habe. Es ist dies eine Hypothese über die physikalische Natur des betrachteten Kontinuums und gleichzeitig eine Festsetzung über die Koordinatenwahl.
Ist aber -g stets positiv und endlich, so liegt es nahe, die Koordinatenwahl a posteriori so zu treffen, daß diese Größe gleich 1 wird. Wir werden später sehen, daß durch eine solche Beschränkung der Koordinatenwahl eine bedeutende Vereinfachung der Naturgesetze erzielt werden kann. An Stelle von (18) tritt dann einfach
dt' = dt [...]
Und daher liefert die mathepedia Gleichung fuer den folgenden Fall Muell :
Wurzel(-1)=0
Das sgn(y) gehört wohl vor den anderen Term; dann müsste es wieder passen.
Nobody is perfect, richy - selbst wir machen manchmal Fehler. :)
Hi Hawkwind
Das sgn(y) gehört wohl vor den anderen Term; dann müsste es wieder passen.
Dann gilt Wurzel(1)=0
Man darf eben nicht die uebliche sgn() Funktion verwenden. Der Fall Null muss gesondert betrachtet werden. Thats all.
http://upload.wikimedia.org/math/5/5/3/553c9659cb614c1d149e08c837a8de0a.png
sign+(y) ist dabei keine offizielle Bezeichnung.
Ansonsten gilt folgendes :
Steht die (spezielle) Vorzeichenfunktion vorm Imagianerteil entspricht dies
arg(z)= [-Pi..Pi]
Steht die (spezielle) Vorzeichenfunktion vorm Realteil entspricht dies
arg(z)= [0..2*Pi]
@SCR
Ich brauch wirklich mal ne kleine Pause.
Gruesse
Morgen amc! :)
lange nicht mehr gesprochen :)Das ist relativ, Beobachter 1. ;)
Verstehe ich das richtig - diese Ueberlegungen wuerden Dunkle Energie und Dunkle Materie auf ein und denselben Effekt zurueckfuehren?Auf Gravitation, ja. Stört das?
Wenn sich das alles "selbsterklaerend" und problemlos aus der ART ergibt, frage ich mich, warum ist dieser Ansatz dann nicht der allgemein vertretene?Hmmm ... Weil z.B. das hier von Dir Unsinn ist?
Wie du weisst, reicht mein Wissen nicht, um das kompetent zu beurteilen.
Genauso wie z.B. das hier?
Ein Beispiel ist die quantenmechnische Verschränkung. Diese entzieht sich völlig dem klassischen Verständnis.
Am Besten beantwortest Du Dir Deine Frage aber selbst - 'Mal sehen ...
Wie lautet Deine Antwort hierauf? http://www.scienceblogs.de/diaxs-rake/2011/01/zeitsymmetrische-quantenphysik.php
(Btw.: Dann können wir gegebenenfalls am Ende auch beurteilen, ob es angebracht war, diesen Thread hier herzunehmen ;) )
Morgen amc! :)
Hmmm ... Weil z.B. das hier von Dir Unsinn ist?Wie du weisst, reicht mein Wissen nicht, um das kompetent zu beurteilen.
Anders formuliert: Ab welchem "Wissensstand" würdest Du Dich bzw. jemand anderen grundsätzlich als ausreichend kompetent erachten, um irgendetwas zu beurteilen? :rolleyes:
Beispiel:
Ein Beispiel ist die quantenmechnische Verschränkung. Diese entzieht sich völlig dem klassischen Verständnis.
Ja - Hat er ja wirklich sehr schön geschrieben, unser Bauhof.
Ausgehend vom Kausalitätsprinzip ...
Kausalität (lat. causa „Ursache“) bezeichnet die Beziehung zwischen Ursache und Wirkung, betrifft also die Abfolge aufeinander bezogener Ereignisse und Zustände. [...] Kurz: Ein Ereignis oder der Zustand A ist die Ursache für die Wirkung B, wenn B von A herbeigeführt wird.
... hatte Einstein mit der ART die Gravitation von einer Fernwirkung (http://de.wikipedia.org/wiki/Fernwirkung_%28Physik%29) (Newton) auf eine Nahwirkung zurückgeführt.
Eine Nahwirkung entspricht unseren Erfahrungswerten (und damit unseren klassischen Vorstellungen):
Zwei Objekte können dann miteinander in Wechselwirkung treten, wenn sie räumlich (und zeitlich) zusammentreffen (z.B. beim Billardkugel-Stoß).
Nun kann man im Falle der Verschränkung entweder
1. sich der Philosophie zuwenden und wunderbare Streitgespräche über die diversen "Deutungen" und "Interpretationen" führen oder aber
2. versuchen, die Verschränkung ebenfalls auf eine physikalische Nahwirkung zurückzuführen.
Und solange mir niemand einen vernünftigen Grund nennen kann, was an einer (Selbst-)Beschränkung der Betrachtung auf vier Dimensionen so toll sein soll, bevorzuge ich persönlich ganz klar Variante 2.
Zumal es in diesem Zusammenhang völliger Blödsinn ist, falls Dir jemand erzählen sollte, mehr als vier Dimensionen würde unsere Vorstellungskraft überfordern: Nichts verschließt sich dem menschlichen Geist - Derjenige ist meines Erachtens bloß zu faul zum Denken.
Und nun sage mir, amc:
Welches "Wissen" fehlt Dir, um eine fundierte Einschätzung zu den letzten Zeilen abgeben zu können?
... hatte Einstein mit der ART die Gravitation von einer Fernwirkung (http://de.wikipedia.org/wiki/Fernwirkung_%28Physik%29) (Newton) auf eine Nahwirkung zurückgeführt.
... auf eine Nahwirkung zwischen Materie und Raum, wohlgemerkt.
Kannst Du mir vor diesem Hintergrund verraten, wieso
1. ein Graviton, welches als Austauschteilchen die Gravitation zwischen zwei ponderablen Objekten vermitteln soll, heute ernsthaft in der Physik diskutiert wird?
Ein Graviton ist unzweifelhaft ein klarer Rückfall zu Newton.
2. die Existenz eines Äthers strikt zu verneinen ist?
Wer eine solche Ansicht vertritt hat es meines Erachtens leider nur bis zur SRT geschafft und ist (noch) nicht bis zur ART vorgedrungen:
Die Anerkennung einer Wechselwirkung zwischen Materie und Raum - wie von der ART eindeutig festgestellt - bedarf nun einmal zwangsläufig, dass ich beiden Partnern der Wechselwirkung eine physikalische Existenzberechtigung (ohne Wenn und Aber) zugestehe.
Welch' blasphemische Äußerungen meinerseits ... http://www.greensmilies.com/smile/smiley_emoticons_halloweenstars_dracula.gif
Dafür sollte ich doch ob meiner nachweislich vorliegenden Lernresistenz gesperrt werden -> Walte jederzeit gerne Deines Amtes, Bauhof! ;)
Ich möchte Dich hierzu ebenfalls fragen, amc:
Welches "Wissen" fehlt Dir, um eine fundierte Einschätzung zu den letzten Zeilen abgeben zu können?
Gruß
SCR
P.S.:
Wenn sich das alles "selbsterklaerend" und problemlos aus der ART ergibt, frage ich mich, warum ist dieser Ansatz dann nicht der allgemein vertretene?
Meines Wissens sind die dabei verwendeten mathematischen Modelle in der Regel post-newtonscher Natur.
Newton kennt aber nun einmal keine abstoßend wirkende Gravitation (= Expansion) sondern nur die anziehende Form.
-> Bei Verwendung von Newton muß man sich folglich zwangsläufig mit etwas in der Art "virtueller Materie" behelfen um ein einigermaßen passendes Abbild der Realität zu erzielen.
Aber was weiß denn ich: Ich bin kein Physiker sondern nur ein ganz schlicht denkender Mensch.
Dafür sollte ich doch ob meiner nachweislich vorliegenden Lernresistenz gesperrt werden -> Walte jederzeit gerne Deines Amtes, Bauhof! ;)
Meintest du Resistenz oder 'Resistance'?
Über den genauen Wortlaut der Anklage hat schon immer der Großinquisitor entschieden -> Folglich weder Du noch ich: Bedaure, RoKo. ;)
P.S.: Ich möchte Dir aber was schenken, RoKo - Einen "makroskopischen Verschränkungsapparat":
http://img838.imageshack.us/img838/3993/uhrenhantel.jpg
Bewegt man die linke Kugel nach links, bewegt sich die andere "spukhaft" nach rechts (und umgekehrt; Details siehe <hier> (http://www.quanten.de/forum/showthread.php5?t=1977))
Alternativ könnte man mit diesem Gerät die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Gravitation messen und auch sonst viele interessante Dinge tun.
Pass bitte auf den Apparat gut auf - Es gibt nämlich nur diesen einen! ;) :)
Und nun sage mir, amc:
Welches "Wissen" fehlt Dir, um eine fundierte Einschätzung zu den letzten Zeilen abgeben zu können?
Nabend,
jegliches, SCR, jegliches! :) Einschaetzungen abgeben kann ich immer, sind vielleicht auch manchmal gar nicht so daneben, aber fundiert und kompetent - wohl nicht wirklich. Dafuer fehlen mir einfach die Kenntnisse der Formalismen, die quasi nicht vorhanden sind. Mir bleibt dann meist nur, mich auf meinen Instinkt zu verlassen, und, was vielleicht nicht das schlechteste ist, auf meine Einschaetzung, welche Meinung der Menschen/Wissenschaftler/Physiker, denen ich diese Kompetenz zutraue, schluessig ist und ich sie daher uebernehemen kann. Natuerlich mache ich mir auch immer meine eigenen Gedanken und uebernehem nicht blind, meistens zumindestens.
Meines Wissens sind die dabei verwendeten mathematischen Modelle in der Regel post-newtonscher Natur.
Ja, das ist fuer mich entscheidend. Ohne Abaenderung wirds wohl nicht gehen, da frage ich mich sonst dann eben stark, warum man ueberhaupt auf die "unbekannten Energieformen" zurueckgreift. Zumindest bei der DM gehts wohl nicht ohne Abaenderung der Gravitationsgesetze, wenn man auf die DM verzichten moechte. Ausser es gibt, wie EMI sagte, Raumzeitverzerrungen oder andere messtechnisch bedingte Irrtuemer. Bei der Dunklen Energie (DE) ist ja noch nicht raus, so viel ich weiss, ob es mit purer ART geht, oder ob man mehr braucht. Ich hatte dich daher so verstanden, dass, wenn die DE pure ART sein kann, und dieser "Effekt" dann auf die Galaxien drueckt und sie so zusammenhaelt, der Effekt der DM eben auch mit aktueller purer ART beschrieben werden kann. Das leuchtet mir uebrigends so erstmal auch ein, klingt fuer mich irgendwie logisch. Nur mir scheint das eben so naheliegend zu sein, dass ich davon ausgehe, dies wurde oft eingehend untersucht usw. und, dass es entscheidende Gruende geben muss, warum diese Erklaerung nicht ausreichend ist.
Wenn du an meiner Einschatzung intressiert bist, sie lautet: Die ganzen Konzepte der unbekannten Energien sind einfach zu schluessig, alles passt perfekt zusammen, da muss was dran sein. Wir muessen jetzt "nur" noch verstehen, was dahintersteckt. Und ich bin ueberzeugt, die Antworten werden verblueffend sein, wie so oft.
Bei Verwendung von Newton muß man sich folglich zwangsläufig mit etwas in der Art "virtueller Materie" behelfen um ein einigermaßen passendes Abbild der Realität zu erzielen.
Ah, jetzt weiß ich auch worauf du hinaus wolltest, warum du diesen Thread genommen hast. Darauf wär ich so nicht gekommen, du überschätzt mich, SCR ;)
Gruesse, AMC
Meintest du Resistenz oder 'Resistance'?
Komm, was für ein Vergleich, also bitte. :)
Grüße, AMC
Morgen amc,
jegliches, SCR, jegliches! Einschaetzungen abgeben kann ich immer, sind vielleicht auch manchmal gar nicht so daneben, aber fundiert und kompetent - wohl nicht wirklich. Dafuer fehlen mir einfach die Kenntnisse der Formalismen, die quasi nicht vorhanden sind. Mir bleibt dann meist nur, mich auf meinen Instinkt zu verlassen, und, was vielleicht nicht das schlechteste ist, auf meine Einschaetzung, welche Meinung der Menschen/Wissenschaftler/Physiker, denen ich diese Kompetenz zutraue, schluessig ist und ich sie daher uebernehmen kann. Natuerlich mache ich mir auch immer meine eigenen Gedanken und uebernehme nicht blind, meistens zumindestens.
Das ist doch schon nahezu perfekt. :)
Bei der Dunklen Energie (DE) ist ja noch nicht raus, so viel ich weiss, ob es mit purer ART geht, oder ob man mehr braucht.
Das kommt IMHO darauf an, was Du unter "ART pur" verstehst:
1. Bei den FG mit Lamda-Term ...
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/math/4/1/f/41fbdce5297a3706c1c883bac1d4349d.png
... ist die DE "mit drin"
2. Bei den FG ohne ...
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/math/1/f/b/1fb062f6523e1e253835b02b35bd5726.png
... nicht.
Manche betrachten nun nur 2. als "ART pur", da Einstein die kosmologische Konstante ja erst im Nachgang aus "rein ästhetischen Gründen" einführte, um ein statisches Universum sicherzustellen.
Das aktuelle Standardmodell der Kosmologie, das ΛCDM-Modell, baut auf den FG gemäß 1. auf.
Ich hatte dich daher so verstanden, dass, wenn die DE pure ART sein kann, und dieser "Effekt" dann auf die Galaxien drueckt und sie so zusammenhaelt, der Effekt der DM eben auch mit aktueller purer ART beschrieben werden kann.Ja, so könnte man grob den Kernansatz zusammenfassen (+ gegebenenfalls einige weitere Parameter: z.B. Kerr, Gödel, Ehrenfest, ...).
Nur mir scheint das eben so naheliegend zu sein, dass ich davon ausgehe, dies wurde oft eingehend untersucht usw. und, dass es entscheidende Gruende geben muss, warum diese Erklaerung nicht ausreichend ist.Dann lassen sich sicherlich mit wenig Aufwand etliche verlässliche Quellen dazu finden - Nur, dass wir nicht nur daran "glauben" müssen ... :rolleyes:
Wenn du an meiner Einschatzung intressiert bist, sie lautet: Die ganzen Konzepte der unbekannten Energien sind einfach zu schluessig, alles passt perfekt zusammen, da muss was dran sein. Wir muessen jetzt "nur" noch verstehen, was dahintersteckt.
Nun ja - Bei der DM passt es im Moment ja nun gerade offensichtlich "nicht so ganz" ... :rolleyes:
Darauf wär ich so nicht gekommen, du überschätzt mich, SCRHier vielleicht schon ;) - Im Grundsatz glaube ich das aber eher nicht.
Bewegt man die linke Kugel nach links, bewegt sich die andere "spukhaft" nach rechts (und umgekehrt; Details siehe <hier> (http://www.quanten.de/forum/showthread.php5?t=1977))
Oder anders gesagt: Misst man an einer der beiden Kugeln eine der Eigenschaften "Bewegung nach links" oder "Bewegung nach rechts" steht damit instantan das Messergebnis der anderen Kugel ebenfalls fest ("Sie bewegt sich genau entgegengesetzt zur ersten Kugel").
Ein Beispiel ist die quantenmechnische Verschränkung. Diese entzieht sich völlig dem klassischen Verständnis.
Warum finde ich eine Diskussion einer Uhrenhantel in keinem der mir bekannten Standardwerke der Physik - Weder im thematischen Umfeld der Verschränkung noch im Kontext der Gravitation (noch sonstwo)?
Kannst Du mir diese Frage beantworten, Bauhof?
Greife ich möglicherweise schlichtweg auf die falschen Bücher zurück? :rolleyes:
Ich bitte um etwas "Licht" aus dem über alle Zweifel erhabenen Vatikan ...
..Ich bitte um etwas "Licht" aus dem über alle Zweifel erhabenen Vatikan ... Sei vorsichtig, auch ein Scheiterhaufen leuchtet.
Wenn er ansonsten kuschelig ist ... ;)
Aber zur Sache, RoKo: Widersprich mir doch endlich (Sonst geht's doch nicht weiter). :)
Aber zur Sache, RoKo: Widersprich mir doch endlich (Sonst geht's doch nicht weiter). :)Sorry, auf dem Gebiet der ART fühle ich mich nicht fit genug.
Sorry, auf dem Gebiet der ART fühle ich mich nicht fit genug.
Wenn Du das selbst von Dir behaupten kannst ist das in meinen Augen Käse - Dann bist Du bereits mehr als fit genug.
Außerdem geht es um die ART doch nur am Rande.
Denn ich denke, als erstes sollten wir folgende Frage erörtern:
Ist die Uhrenhantel ein makroskopisches Abbild einer Quantenverschränkung (und damit unserem klassischen Verständnis zugänglich) oder nicht?
Braucht's dafür denn tiefergehende Kenntnisse der ART?
Da sollte IMHO (zumindest näherungsweise) Newton doch vorläufig erst einmal völlig ausreichend sein.
Oder siehst Du das anders?
Dann sprich'! :)
Du brauchst wohl dringend jemand, dem du widersprechen kannst. Nun denn, dann opfere ich mich mal.
Rein Newtonsch betrachtet geht es jeder Uhr in ihrer Hohlkugel (separat betrachtet) wie dem Esel zwischen zwei Heuhaufen - sie kann sich nicht entscheiden. Daran wird auch die ART nichts ändern, da alles schön kugelsymmetrisch ist.
Nun geraten die beiden Kugeln so nahe, dass ihre Massen sich entsprechend dem Gravitationsgesetz gegenseitig anziehen. Beide Hohlkugeln bewegen sich nun aufeinander zu. Im Bild der Art "rollen" sie in einen gemeinsamen Potentialtopf, berechenbar aus ihrem gemeinsamen Schwerpunkt. Die Uhren werden dabei entgegen der Beschleunigungsrichtung an die Aussenwand ihrer Hohlkugel gedrückt. Dort angekommen gibt es eine formschlüssige Verbindung und die Uhren bewegen sich mit der gleichen Geschwindigkeit wie die Hohlkugeln aufeinander zu.
Durch den Stab werden nun beide Hohlkugeln abrupt gebremst. Entsprechende Festigkeit vorrausgesetzt, ist nun die Geschwindigkeit der Hohlkugeln zueinander =0. Die Uhren bewegen sich jedoch mit der ursprünglichen Geschwindigkeit aufeinander zu - und damit auf die gegenüber liegende Wand der Hohlkugel. Dabei zerschellen sie und irgendeine Zeit ist nicht mehr ablesbar.
Zur Frage: Ist die Uhrenhantel ein makroskopisches Abbild einer Quantenverschränkung (und damit unserem klassischen Verständnis zugänglich) oder nicht?kann ich zunächst nur feststellen, dass Phänomen der Quantenverschränkung dem Verständnis durchaus zugänglich sein muss, sonst hätte man nicht darauf kommen können. Logik und Inquisition sind jedoch nicht miteinander verschränkt.
Hallo RoKo,
Du brauchst wohl dringend jemand, dem du widersprechen kannst. Nun denn, dann opfere ich mich mal.
Das war nicht meine Intention. Ich war mir lediglich bezüglich Deiner "grundsätzlichen Motivation" nicht ganz im Klaren -> Entschuldige bitte die Belästigung.
Logik und Inquisition sind jedoch nicht miteinander verschränkt.
Die QM sagt aber, dass es für alles eine bestimmte Wahrscheinlichkeit gibt (zumindest fast). ;)
Noch einen schönen guten Morgen nach Hong Kong!
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