Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : Math Verhulst 1989
Hi
Ich will mal die Zeit nach 1989 zurueckdrehen um zu dokumentieren welche kleine Experimente mich damals bewogen die inverse logistische Abbildung zu verwenden. Kann man die Zeit zurueck drehen ? Dass dies gedanklich moeglich ist zeigt der Thread. Es haengt alleine vom Gedaechtnis ab. Wie sieht es nun aber mit dem Gedaechtnis nichtlinearer Differenzengleichungen aus ? Kann man bei diesen auch einfach die Iterationsrichtung umdrehen und landet dann beim Anfangswert ?
Genau diese Frage habe ich mir 1989 gestellt. Die Chaostheorie war damals gerade sehr populaer und damit auch die logistische Gleichung. Ich war gerade vom Ti99 und C64 auf Atari St 1040 umgestiegen und darauf konnte man schon komplexere Probleme simulieren und graphisch ausgeben.
ANMERKUNG MAPLE
Im Thread widerhole ich die damaligen Simulationen mit Maple. Maple ist ein analytisches Mathematikprogramm, dass stets versucht ganzzahlig und symbolisch ueber Bruchdarstellung zu rechnen. Maple stellt in diesem Modus bezueglich Genauigkeit einen La Placeschen Daemon dar und weist dann auch hoehere Rechenzeiten auf. Um ein Fliesskommaprogramm oder auch den Atari zu simulieren kann man den Befehl evalf() verwenden, der einen Maple Bruch in Fliesskomma umwandelt. Die Genauigkeit kann dann mit Digits=x eingestelt werden.In der Student Version laesst sich z.B. bis 100 Digits rechnen.
Ein Programm mit unbegrenzter Genauigkeit wie MAPLE stand mir 1989 noch nicht zur Verfuegung und ich erwarte damit einige neue Erkenntnisse.
/ANMERKUNG
Insbesonders koennte man die Frage klaeren, ob man die Atome eines Schmetterlings bis zum Urknall zurueckverfolgen kann.
VERSUCH 1
********
Was ist bei einer linearen DZGL zu erwarten, wenn man die Iteration an einer Stelle rueckwaerts laufen laesst ?
Beispielsweise x(k+1)=r*x(k)
Die Vorgehensweise ist simpel. Nach N Zeitschritten fuehre ich einfach die inverse Iteration x(k+1)=x(k)/r aus und betrachte das Ergebnis graphisch :
> s:=1.1; r:=2.0;N:=10;
> for i from 0 to N do
> f[i]:=s;
> s:=evalf(s*r);
> od:
> for i from N to 2*N do
> s:=evalf(s/r);
> f[i]:=s;
> od:
> druck:=seq([i,f[i]],i=0..2*N):
> plot([druck]);
http://home.arcor.de/richardon/2011/v1989_1.gif
Solch ein Bild erhielt ich wohl damals auch auf meinem Atari.
Nichts besonderes. Aber waehlt man mehr Zeitschritte, z.B. N=70 so erkennt man schon eine Problematik. Denn nun betraegt der Wert nach 70 Schritten schon 10^21. Die Kurvenform bleibt scheinbar erhalten, aber man kann in der Darstellung nicht mehr erkennen, ob man den richtigen Anfangswert ueberhaupt noch erreicht :
http://home.arcor.de/richardon/2011/v1989_2.gif
Das laesst sich einfach ueberpruefen, indem man den Endwert betrachtet :
(9 Digits)
s= 1.100000000 fuer N=10
s= 1.100000011 fuer N=100
s= 1.100000100 fuer N=1000
s= 1.100000647 fuer N=5000 ( der Maximalwert betraegt hier 10^1505 )
Rechnet man ohne evalf Funktion mit dem Startwert 11/10 gibt Maple nach beliebiger Anzahl Iterationen den exakten Wert 11/10 aus. Diese lineare Iteration ist somit reversibel. Die Genauigkeit des Gedaechtnisses haengt lediglich von der Rechengenauigkeit ab.
Eine wichtiges Ergebnis waere noch, dass auch bei einer Rechenungenauigkeit sich das Verhalten der Funktion nicht aendert. Bei der speziellen Funktion waechst zwar der Fehler, aber ebenso der Iterationswert.
Das war ja einfach. Aber jetzt wird es auch fuer mich spannend, denn folgenden Versuch habe ich 1989 lediglich mit Fliesskommazahlen dargestellt. So wie die Mehrzahl der Programmierer auch aus Zeitgruenden nichtlineare Differenzen simulieren. Mit der symbolischen Maple Darstellung lassen sich DZGLs wie erwaehnt auch voellig exakt simulieren.
Mit dem folgenden Versuch laesst sich entscheiden, ob
A) die Rechenungenauigkeit dazu fuehrt, dass man die Verhulst Iteration nicht mehr auf die Anfangswerte zurueckverfolgen kann oder ob
B) dies an einem Informationsmangel bezueglich der Vorzeichen der Wuzel liegt, die in der Umkehrfunktion auftritt. Damit prinzipieller Natur waere.
BTW : Maple wertet die Wurzel zunaechst nicht aus , sondern stellt sie symbolisch dar.
Die Nichtumkehrbarkeit nichtlinearer Systeme steht in einem gewissen Zusammenhang zur Entropie und dem Zeitpfeil, so dass ich sehr gespannt bin was der naechste numerische Versuch bei exakter Simulation zeigen wird.
Versuch 2
********
Der Versuch 2 ist vpm Ablauf identisch mit Versuch 1, also voellig einfach. Es wird nun lediglich die Verhulst Gleichung und deren Umkehrfunktion als DZGL verwendet.
y[k+1]=r*y[k]*(1-y[k]);
y[k+1]=(r +/- Wurzel(r^2-4*r*y[k]) )/(2r);
Darstellung mit a=r und y[k+1]=y[k] auf meiner Webseite
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/abb18.gif
Ich kann eines vorwegnehmen. In Fliesskommdarstellung kehrt die Iteration nicht zum Anfangswert zurueck. Die Iterierte wird in den meisten Faellen komplexwertig, da im Argument der Wurzel eine negative Zahl auftreten kann.
Genau dies habe ich 1989 am Atari beobachtet.
Nun laesst sich mittels der exakten symbolischen Darstellung ermitteln ob dies mit A) oder B) begruendet werden kann. Liegt lediglich eine Rechenungenauigkeit vor, so muss bei symbolscher Rechnung der Anfangswert wieder erreicht werden.
Wie tippt ihr ? Wird bei exakter Rechnung und stets positivem Vorzeichen der Wurzel der Anfangswert wieder erreicht ?
A) Rechenungenauigkeit
B) Informationsverlust
Gruesse
Keine Tips ?
Es gibt in Foren unzaehlige philosophische Theorien zur Zeit, dem Zeitpfeil und somit der Entropie und der Irreversibilitaet der Zeit. Nun kann man mit wenigen Programmzeilen pruefen ob die Irreversibilitaet eines diskreten nichtlinearen Vorganges nur in der Rechenungenauigkeit eines Digitalrechners begruendet liegt oder prinzipieller Natur ist. Informationen fuer die Reversibilitaet fehlen.
Also ich finde das spannend :)
Versuch 2
*******
Ich fuehre den Versuch 2 zunaechst mit der exakten symbolischen Berechnungsmethode durch :
> restart;
> s:=1/10; r:=20/10; N:=10; k:=0;
> for i from 0 to N do
> f[i]:=s
> s:=r*s*(1-s);
> od:
>
> for i from N to 2*N do
> s:=1/2/r*(r+(r^2-4*r*s)^(1/2));
> f[i]:=(s);
> od:
N=20, Startwert s= 0.1, r=2
Vorzeichen der Wurzel : Stets positiv
Ergebnis :
http://home.arcor.de/richardon/2011/v1989_3.gif
Es werden lediglich 10 Werte der 20 Werte dargestellt, da ab der 11 ten Iteration die Iterierte komplexwertig wird. Die Funktion kehrt nicht zum Startwert zurueck.
Rechnet man in Fliesskomma, wird die Iteration fuer die gegebenen Parameter nicht komplexwertig, sondern verbleibt (faelschlicherweise) auf dem Wert des Attraktors y[i]=0.5.
http://home.arcor.de/richardon/2011/v1989_4.gif
Warum ist dem so ? Was ist nun richtig ? Der Wert y[10]=0.5 ist trotz 99 Nachkommadigits falsch, denn man kann zeigen, dass sich fuer r=2 die Iteration dem Attraktor 0.5 asympthodisch naehert, diesen somit niemals erreicht.
Betrachtet man die Rueckwaertsiterierte, so sieht man , dass der Wurzelausdruck fuer r=2 und den Attraktor y[k+1]=0.5 gleich Null wird.
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/abb18.gif
Der Attraktor(der nie erreicht wird) waere erreicht und damit ergibt sich das oben dargestellte falsche Bild. Die Iterierte muss bei der Rueckwaertiteration und positivem Vorzeichen der Wurzel komplexwertig werden.
Denn der Startwert der inversen Iteration ist kleiner als 0.5. Damit wird der Ausdruck unter der Wurzel zunaechst etwas groesser als Null sein. Bei positivem Vorzeichen wird der Wurzelanteil zu 1/2*r/r addiert und damit im naechsten Iterationsschritt das Argument der Wurzel negativ und diese Komplexwertig ! Es ist erstaunlich , dass Maple mit der symbolischen Rechnung diese minimalste Abweichung von 0.5 erfassen kann. Der Aufwand dafuer (den ich anhand eines einzelnen Wertes noch zeigen moechte) ist dementsprechend erheblich.
Es ist nun klargeworden, dass man zumindestens im ersten Iterationsschritt der inversen Iterierten das negative Wurzelvorzeichen verwenden muss. Waehlen wir einfach mal stets das negative Vorzeichen :
Statt
> s:=1/2/r*(r+(r^2-4*r*s)^(1/2));
nun
> s:=1/2/r*(r-(r^2-4*r*s)^(1/2));
Ergebnis :
http://home.arcor.de/richardon/2011/v1989_5.gif
(Anmerkung : Dieses Bild erhaelt man nur ueber symbolische, exakte Berechnung. Wie bereits beschrieben nimmt in Fliesskommadarstellung selbst mit 99 Digits Genauigkeit die Iterierte fuer i=10 den falschen Wert 0.5 an so dass das Wurzelargument gleich 0 wird.
Und 1/2+0=1/2-0=1/2)
Problem geloest ? Kein Informaionsverlust ? Oder ist das Zufall ?
r=2 ist ein ganz spezieller Wert der Verhulst Gleichung, fuer den die Gleichung auch analytisch loesbar ist. Es liegt somit ein Spezialfall vor. Interessant ist natuerlich die Frage welche Vorzeichenmuster die man auch als Bitmuster betrachten kann in den Faellen r<>2 zum Anfangswert zurueckfuehren.
Dass ein Informationsverlust auftritt und man das Vorzeichenmuster nicht aus dem aktuellen Iterationswert konstruieren kann zeigt folgendes einfachstes Beispiel :
Startwert : y[0]=-3
Iteration y[1]=y[0]^2=9
Iteration y[2]=y[1]^2=81
Weder aus dem Wert 81 noch dessen Vorgaenger 9 geht hervor, dass im zweiten Schritt der inversen Iteration das negative Vorzeichen gewaehlt werden muss um den Startwert -3 zu erhalten. Durch die Quadratur geht die Information ueber das Vorzeichen (im Bsp ein Bit) ganz einfach verloren. Das Betrachten der Verhulst Gleichung ist natuerlich dennoch nicht umsonst, denn das interessante ist die Frage, ob man jedem Parameter r ein Vorzeichen / Bitmuster zuordnen kann. So dass man ein Maß in Form eines verlorenen Informationsgehats, eine Entropie bestimmen koennte.
Die inverse Iterierte fuehrt zudem automatisch auf eine Betrachtung in der komplexen Ebene, die letztendlich zu der eigentuemlichen "Ergodizitaet" der inversen Iteration fuehrt.
Informationsverlust => nicht reversibel.
Kurzer Einschub:
Beispiel fuer den numerischen Aufwand von Maple bei symbolischer Berechnung :
Letzter Wert (Bruch) der Verhulst Iteration :
f[10]=
55626846462680034577255817933310101605480399511558 29576383318542218011087034795489635707897531277548 17846774219648879744139341653688845422772976399189 58938397924022313644919394099360488863179378884575 43745560167145718988715060711492553287862985989305 09316703603351485967231612074241196048700870476910 97905443721849480666353794805608628033499972224654 22125367510784625692325791131774394511234009111585 18367681604826481082442371498668003750933308781180 15856818736459335949440776878007480736970911692326 17067020062643852786924539300568503323881827475006 58906238398866916968628682128597472611409573967598 82496181998719998036127155050996450683250966207137 84689184155127625598795532163940366207246723671726
2023858616659969
geteilt durch
11125369292536006915451163586662020321096079902311 65915276663708443602217406959097927141579506255510 28203366986551790550257621708077673005442800619268 88594105653889967660011652398050737212918180359607 82523471251867104187625403325308329079474360245589 98429581982425031795438505915243739989044387687497 47257902258025254576999282912354093225567689679024 96057990542883025996216676057176195074397849804795 64444580149632075553173315669683173879325651468588 10236628158907428321754360614143188210224234057038 06955738531400844926622055012080723710809283583075 27007714254235837645095158066138944836485368656166 70434944915875339194234630463869889864293298274705 4568454770306823378435119933915764534049230860
546231269836425781250
Marco Polo
15.10.11, 04:39
Keine Tips ?
Es gibt in Foren unzaehlige philosophische Theorien zur Zeit, dem Zeitpfeil und somit der Entropie und der Irreversibilitaet der Zeit. Nun kann man mit wenigen Programmzeilen pruefen ob die Irreversibilitaet eines diskreten nichtlinearen Vorganges nur in der Rechenungenauigkeit eines Digitalrechners begruendet liegt oder prinzipieller Natur ist. Informationen fuer die Reversibilitaet fehlen.
Also ich finde das spannend
Spannend ist das allemal, richy.
Nur kann ich leider nicht erkennen, wie aus deinen Ausführungen herauszulesen ist, ob diese von dir beschriebene Irreversibilität rechnerischer oder prinzipieller Natur ist.
Kannst du das nochmal einleuchtender herausstreichen?
Und spielt das überhaupt eine Rolle? Egal wie es ausgeht. Es ändert doch nichts an der offensichtlichen Tatsache, dass die Zeit stets in "eine" Richtung fliesst.
Gruss und gute Nacht.
Marco Polo
Hi Marco
Die Irreversibilitaet, der Informationsverlust beim Quadrieren ist prinzipieller Natur. Man verliert natuerlich die Vorzeicheninformation. Auch in der Verhulst Gleichung, obwohl deren Wertebereich stets positiv ist ! Gerade das will ich noch zeigen. Fuer r=2 scheint ja das negative Vorzeichen immer zum Ziel zu fuehren. Das ist aber ein Spezialfall.
Wie man ein Bit Vorzeicheninformation verliert zeigt das einfache Beispiel :
Startwert : y[0]=-3
Iteration y[1]=y[0]^2=9
Iteration y[2]=y[1]^2=81
-3..9..81..81..9..-3
Weder aus dem Wert 81 noch 9 ist ersichtlich, das man im letzten Schritt den Nebenwert (-) der Wurzel nehmen muss. In dem Fall ist es trivial. Dafuer der Informationsverlust gering. Egal wieviele Iterationen ich verwende. Gerad mal ein Bit. Daraus kann man keinen Zeitpfeil basteln. Bei der Verhulst Gleichung oder wenn ich in diesem einfachen Beispiel komplexe Zahlen verwende (also Phaseninformation) ist dies sicherlich anders.
Es ändert doch nichts an der offensichtlichen Tatsache, dass die Zeit stets in "eine" Richtung fliesst.
Sie fliesst wohl aus mathematischen Gruenden in eine Richtung ! Weil diskrete nichtlineare Systeme prinzipiell nicht zeitumkehrbar sind. Ich will gerade zeigen, warum die Zeit in eine Richtung fliesst.
Eine ideale starre Kugel ohne innere Struktur (innere Freiheitsgrade) bewegt sich um eine zweite solche Kugel. Der Prozess waere voellig reibungsfrei auch ohne jedliche innere Reibung. Daher linear, daher zeitumkehrbar und daher sogar irreal. Setze zwei solcher Kugeln mit v=0 voellig isoliert ins Universum. Sie bollern gegeneinander und wieder voneinander weg. Gibt es hier eine bevorzugte Richtung. Werden sie anfangen sich umeinander zu drehen ?
Nimmt man drei solcher Kugeln, schon dann ist der Prozess nicht mehr umkehrbar. Ich denke 3 Kugeln wuerden auch anfangen umeinander zu kreisen. Mit Summe Drehimpuls=0. Aber ich nehme sicherheitshalber mal ganz viele solcher Kugeln, dann hat deses System eine innere "Entropie". Es verliert staendig Information bezueglich dem Anfangswert. Aus rein mathematischen Gruenden, der Nichtbijektivitaet. Irgendwie irre.
Soweit in physikalische Spekulationen wollte ich aber gar nicht gehen. Und im Grunde hab ich das Jahr 1989 schon recht weit verlassen, denn damals gab es auf dem ATARI kein Maple. Keine exakte Berechnung. In Mermans Thread hatte ich ja den Zusammenhang zwischen Zeit Zufall und Moeglichkeiten angesprochen. Auf den bin ich damals schon getossen im Verlauf dieser numerischen Versuche. Das wollte mit einem Rueckblick erklaeren. Im naechsten Thread stelle ich dies zunaechst mal kurz dar. Bevor ich den Moeglichkeiten mit Maple weiter nachgehe. Da kann ich dann spaeter nochmals dran anknuepfen.
Gruessle
Marco Polo
15.10.11, 11:36
Sie fliesst wohl aus mathematischen Gruenden in eine Richtung ! Weil diskrete nichtlineare Systeme prinzipiell nicht zeitumkehrbar sind. Ich will gerade zeigen, warum die Zeit in eine Richtung fliesst.
Eine ideale starre Kugel ohne innere Struktur (innere Freiheitsgrade) bewegt sich um eine zweite solche Kugel. Der Prozess waere voellig reibungsfrei auch ohne jedliche innere Reibung. Daher linear, daher zeitumkehrbar und daher sogar irreal.
Ahhh. Ich verstehe. Ja, das leuchtet ein. Das ist hochinteressant. Wenn es tatsächlich zu einem Informationsverlust käme (die Natur rechnet ja schliesslich im gewissen Sinne auch), dann kann es alleine schon deswegen nur "eine" Richtung der Zeit geben, sollte man meinen.
Aber: Das gilt ja nur, wenn ich in einen bereits vorhandenen Rechenprozess eingreife. Für den Urknall gälte das nicht. Dort startet der Rechenprozess ja erst.
Aber nehmen wir an, dass es auch vor dem Urknall bereits Information gab (das wäre z.B. beim Big Bounce der Fall). Dann spricht alleine schon der Hang zur Entropiezunahme für die von uns beobachtete Richtung des Zeitpfeils. Man bräuchte also gar nicht mit dem Informationsverlust argumentieren, wenn sich die Frage nach der Richtung des Zeitpfeils stellt.
Auf der anderen Seite muss man sich aber auch klarmachen, dass die allermeisten Vorgänge im Universum sozusagen bei "Umgebungstemperatur" ablaufen, also mit einem recht geringen Wirkungsgrad (Carnot-Prozess). Gälte das aber auch für den Urknall? Eher nicht. Ohne entsprechende "Arbeitsfähigkeit" der beim Urknall vorhandenen Energie gäbe es uns schliesslich nicht.
Möglicherweise hängt die Frage nach der Zeitrichtung dann davon ab, welcher Efffekt beim Urknall signifikanter war. War es der mögliche Informationsverlust oder die mögliche Zunahme der Entropie?
Hmm...
Gruss, Marco Polo
Aber nehmen wir an, dass es auch vor dem Urknall bereits Information gab (das wäre z.B. beim Big Bounce der Fall). Dann spricht alleine schon der Hang zur Entropiezunahme für die von uns beobachtete Richtung des Zeitpfeils. Man bräuchte also gar nicht mit dem Informationsverlust argumentieren, wenn sich die Frage nach der Richtung des Zeitpfeils stellt.
Hallo Marc,
nach meine Informationen definiert die Entropie zwar einen Entropiepfeil, aber nicht automatisch auch dessen Richtung. Brian Greene schreibt dazu auf Seite 191 seines Buches [1] folgendes:
Dies ist der springende Punkt im Hinblick auf alles, was folgt, aber er ist nicht ohne Tücke. Ein häufiges Missverständnis beruht auf der Annahme, dass die Entropie, da sie dem Zweiten Hauptsatz der Thermodynamik zufolge in Richtung Zukunft zunimmt, in Richtung Vergangenheit zwangsläufig abnehmen müsse. Da kommt die Tücke ins Spiel.
Tatsächlich besagt der Zweite Hauptsatz nämlich: Wenn ein physikalisches System zu einem gegebenen Zeitpunkt nicht zufällig seine maximal mögliche Entropie besitzt, ist es außerordentlich wahrscheinlich, dass dieses System zu einem späteren Zeitpunkt und zu einem früheren Zeitpunkt höhere Entropie gehabt hat beziehungsweise haben wird. Das ist die Aussage von Abbildung 6.2 (b). Bei Gesetzen, die für die Unterscheidung zwischen Vergangenheit und Zukunft blind sind, ist eine solche Zeitsymmetrie unvermeidlich.
Das ist die entscheidende Lehre. Der entropische Pfeil ist ein Doppelpfeil. Zu jedem gegebenen Zeitpunkt weist der Entropiepfeil in die Zukunft und in die Vergangenheit. Daher ist es ziemlich fragwürdig, die Entropie als die Erklärung für den nur in eine Richtung zeigenden Pfeil der erlebten Zeit vorzuschlagen.
Es müssten also noch zusätzliche physikalische Gegebenheiten herangezogen werden, um die Richtung des Entropiepfeils festzulegen.
Mit freundlichen Grüßen
Eugen Bauhof
[1] Greene, Brian
Der Stoff, aus dem der Kosmos ist. (http://www.science-shop.de/artikel/757875)
Raum, Zeit und die Beschaffenheit der Wirklichkeit.
Berlin 2004. ISBN=3-88680-738-X, Erste Auflage.
Hi Marco
Wenn es tatsächlich zu einem Informationsverlust käme (die Natur rechnet ja schliesslich im gewissen Sinne auch), dann kann es alleine schon deswegen nur "eine" Richtung der Zeit geben, sollte man meinen.
Dass nichtlineare Prozesse oder besser nichtbijetive Abbildungen nicht eindeutig umkehrbar sind ist nicht neu. Und schon in der Chaostherorie wurde hier ein Zusammenhang zum Zeitpfeil gesehen. Ich meine in einer diskretisierten Form ist es recht klar. Die Umkehrfunktion von etwas Quadratischem enthaelt eine Wurzel. "Landet" ein physikalischer Vorgang an irgendeiner Stelle auf einem "falschen" Zweig ergibt sich wie oben beobachtet womoeglich eine komplexwertigen Loesung. Jetzt kann der Vorgang ja nun nicht "meinen" : Ahem meine Herren hier geht es nicht weiter. Ich glaube ich habe mich irgendwo vertan. Koennten wir die Zeit ein bischen zurueckschrauben damit ich dies korrigieren kann ? :-)
Wie dies aber bei einem nichtlinearen nichtumkehrbaren kontinuierlichen Vorgang sein soll kann ich mir ueberhaupt nicht vorstellen. Und das Dumme ist. Man kann solch eine DGL dann nicht analytisch loesen. Also kann ich ihn nur am Rechner simulieren und dazu muss ich die Gleichungen diskretisieren.
Bei der Entropie und Information hab ich das selbe Problem. Die kann ich mir ohne Diskretisierung einfach nicht vorstellen.
Aber: Das gilt ja nur, wenn ich in einen bereits vorhandenen Rechenprozess eingreife. Für den Urknall gälte das nicht. Dort startet der Rechenprozess ja erst.
Ja das waere der Anfangswert. Und hier meine ich wie EMI das waere ein Zustand geringester Entropie. Oder in meinem Beispiel. Hier liegt die Information vor die bei einer Umkehrung einer Iteration wieder erreicht werden soll.
Dann spricht alleine schon der Hang zur Entropiezunahme für die von uns beobachtete Richtung des Zeitpfeils. Man bräuchte also gar nicht mit dem Informationsverlust argumentieren, wenn sich die Frage nach der Richtung des Zeitpfeils stellt.
Ja. So sehe ich das auch. Die Expansion wuerde genuegen. Aber wie sieht die eigentlich in einem diskretisierten Weltall aus ? Wie wuerdest du dir das vorstellen. Nehmen wir an wir haetten momentan beliebig angenommen 10^100 Raumzeitwuerfel. Wieviele waren es dann beim Urknall ? Ebenfalls 10^100 ? Wenn alles im selben Maßstab expandiert, warum sollte sich dann die Entropie aendern ?
Viel besser kann ich mir vorstellen, dass es hier zunaechst einen oder wenige Raumzeitwuerfel gab. Und Expansion bedeutet dass diese sich teilen, so wie in der LQG. Dann wuerden tatsaechlich mehr moegliche Besetzungszustaende entstehen.
Ohne entsprechende "Arbeitsfähigkeit" der beim Urknall vorhandenen Energie gäbe es uns schliesslich nicht.
Mein Problem ist eher. Wo lander diese ganze Arbeitsfaehigkeit ? Das ist alles nur Scheinleistung die wie eine Feder hin und herschwingt Wirkleistung erhaelts du mit Sicherheit, wenn Reibung, also Verluste im Spiel sind. Wo geht diese Leistung dann hin ? Die landet in diesem Entropie Nirvana. Wie kann man sich das veranschaulichen ? Na gut und wenn die Teilchen Wasserstoff sind, dann fuehrt die Gravitation dazu, dass lokal Materiek****en entstehen. Wasserstoff ballt sich zusammen, eine Sonne, Kernfusion, Energie. Aber ein wirklicher Kreislauf ist das nicht. Zurueck bleibt ein Neutronenstern oder ein schwarzes Loch.
Wenn ich den Energieinhalt des Universus berechne. Was nehme ich da alles hinzu ? Auch Wasserstoffwolken als potentielle Sonnen ?
War es der mögliche Informationsverlust oder die mögliche Zunahme der Entropie?
Formal ist das das selbe. Aber schon klar wie du das meinst. So wie du es oben bereits geschilder hast.
Vielleicht solte ich auch mal schauen wie die Chaosprofis dies aktuell beurteilen. Ach jetzt bin ich schon wieder bei der Physik gelandet. Bevor ich ins Jahr 1989 ohne Maple zurueckkehre, sollte ich vielleicht doch erst meine Hypothese bezueglich der Verhulst Gleichung ueberpruepfen. Fuer komplexe Werte ist es im Grunde klar, dass zu einem Istzustand 2^k komplexe Anfangswerte gehoeren (Siehe Phas-o-mat). Die Verhulst Gleichung ist zunaechst aber noch reell.
Wie kann man meine Idee einfach ueber den Begriff Information beschreiben ?
Nehmen wir die Iteration -3,9,81
Will ich hier von 81 zum Startwert -3 gelangen benoetige ich zusaetzlich die Information ueber das Vorzeichen, die nicht mitgegeben wird. Die kann ich im Beispiel z.B darstellen als
info=(0,1,1)
War der Startwert gleich 3 :
info=(1,1,1)
Um fuer den Spezialfall r=2 der Verhulstgleichung zum Startwert zurueckzukehren benoetige ich die Information
info=(0,0,0,0,0,0,0.....)
Man kann sich ueberlegen (kann ich auch zeigen) War der Startwert groesser 0.5 lautet das Vorzeicheninfo
info=(1,0,0,0,0,0,0.....)
Fuer r=2 kann man im Grunde nicht sagen, dass die Verhulst Gleichung nicht umkehrbar sei. Obwohl sie nichtlinear ist. (Aber sie ist nicht chaotisch). Mir fehlt lediglich das Vorzeichen des Anfangswertes. Allerdings, wenn ich nur mit 100 Dezimalstellen rechne oder nur mit 1000 Dezimalstellen, dann gelingt das Zurueckrechnen nicht. Ich muss wie Maple voellig exakt rechnen.
Wenn ich r nun von r=2 langsam bis r=4 erhoehe erwarte ich Vorzeichenmuster der Form :
info=(1,0,1,0,1,0.....) oder
info=(1,1,1,0,1,0.....)
Ob dem so ist weiss ich noch nicht. (Im Komplexen sicherlich)
Allerdings ist die Bestimmung der Bitmuster mit recht viel Arbeit verbunden. Man wird alle Faelle durchspielen muessen. Auch fuer mehrere Anfangswerte.
Gruesse
Hi Eugen
Es müssten also noch zusätzliche physikalische Gegebenheiten herangezogen werden, um die Richtung des Entropiepfeils festzulegen.
Wahrscheinlich. Und die Nichtlinearitaetsaussage alleine ist auch zu schwach.
Muss der nichlineare Prozess chaotisch sein ?
Mich interessiert es einfach wie es sich mit der Umkehrbarkeit und der Vorzeichenwahl bei der Verhulst Gleichung verhaelt. Hat man da aufgrund von numerischen Versuchen mit Fliesskommazahlen vielleicht zu einfach geschlossen:
Na alleine aufgrund der Rundungsfehler ist die Geichung nicht umkehbar.
Klar alleine wegen der Unschaerferelation "rechnet" die Natur nicht exakt.
Aber ich moechte erstmal schauen wie dies im mathematisch exakten numerischen Versuch aussieht. Tja, ich muesste ueberhaupt mehr zu dem Thema lesen.
Gruesse
Yeah !!!
Ich hab mir einen feinen simplen Programmcode ausgedacht, der genau diesen Info String liefert auf den ich so scharf war. Ich muss ja gar nicht alle Faelle durchspielen, denn ich hab doch alle Werte gespeichert. Also bilde ich einfach Haupt und Nebenwert der Wurzel die ich s0 und s1 nenne und vergleiche welcher Wert der richtig ist (ueber das Betragsquadrat).
Setze dementsprechend ein Flag 0 oder 1 (in einem "Dezimalpseudostring") und benutze natuerlich das richtigen Wurzelvorzeichen fuer den Zeitschritt.
Vorwaertsinteration wie gehabt, dann der einfache Code :
> k:=0;
> inf:=0;
>
> for i from N to 2*N do
> s0:=simplify(1/2/r*(r-(r^2-4*r*s)^(1/2)));
> s1:=simplify(1/2/r*(r+(r^2-4*r*s)^(1/2)));
>
> if (s0-f[N-k])^2 < (s1-f[N-k])^2
> then s:=s0; inf:=inf+0*10^k;
> else s:=s1; inf:=inf+1*10^k;
> fi;
>
> f[i]:=s;
> k:=k+1:
> od:
Der Mapelsche Daemon spielt auch mit und rechnet ohne Ueberlauf exakt.
Und es ist so wie ich es vermutet habe !
Das Vorzeichenmuster ist kein langweiliges
111111111 oder
011111111
wie bei y[k+1]=y[k]^2
sondern tatsaechlich ein Informationsmuster ! Und natuerlich abhaengig von den Anfangswerten. Hey Weihnachten ist doch erst in 70 Tagen :-)
Jetzt lasse ich einfach mal die Anfangswerte 1/10 2/10 ....9/10 in einer Schleife durchlaufen.
Fuer den Spezialfall r=2 erhalte ich wie erwartet noch ein langweiliges Schema :
00000000000
00000000000
00000000000
00000000000
11111111111
10000000000
10000000000
10000000000
10000000000
Fuer den Chaosfall r=3.9 erhalte ich dagegen die Muster :
00101011111
01101110110
01110110110
01011110110
11001010010
11011110110
11110110110
11101110110
10101011111
Will ich zum Beispiel fuer r=3.9, y0=0.3 nach 10 Iterationen wieder zum Anfagnswert y0 zurueckkehren benoetige ich den "Vorzeichencode" info=01110110110
Und damit habe ich numerisch gezeigt :
Die Verhulstgleichung ist abhaengig vom Parameter r nicht nur aufgrund einer Rechenungenauigkeit nichtumkehrbar, sondern prinzipiell aufgrund der Unkenntnis des Wurzelvorzeichens ! Mit zunehmendem Chaos steigt die "Unkenntnis".
Und so sieht eine chaotische Umkehrung aus, wenn man das Vorzeichenmuster kennt :
http://home.arcor.de/richardon/2011/v1989_6.gif
(Funktioniert fuer r<>2 sogar mit Flieskomma. r=2 ist eben ein Spezialfall)
Nach so einer Umkehrung habe ich 1989 vergeblich gesucht und dann etwas ganz anderes ausprobiert, das zu fast noch interessanteren Ergebnissen fuehrt.
Und da dies auch mit Fliesskomma funktioniert hier mal der Code von
r=3.9, y0=0.9 fuer 500 Iterationen :
EDIT
r=4.0, y0=0.9 fuer 500 Iterationen :
10101110010110000001111001001101010011000010101000 11000101010101111101110011001000110110110111100100 10111110010101111101111000001011110000011111010011 00101000010001001011010011000110100000011000010101 01100100001100111011001011111111111110101111011011 00001011011100101111011000100000001100101110111110 10011101011111101101110011101100100111001001001101 10110100011010001000000010001000110001111000101001 11111000010101000011001101000111111101000001011000 10000100011101111111110011011011000011111111100000
Vorzeichencode des 2 er Zyklus : r=3.4, y0=0.1
11111111101010101010101010101010101010101010101010 10101010101010101010101010101010101010101010101010 10101010101010101010101010101010101010101010101010 10101010101010101010101010101010101010101010101010 10101010101010101010101010101010101010101010101010 10101010101010101010101010101010101010101010101010 10101010101010101010101010101010101010101010101010 10101010101010101010101010101010101010101010101010 10101010101010101010101010101010101010101010101010 10101010101010101010101010101010101010101010101010
Hier fehlen aufgrund der Periodizitaet lediglich 2 bit Information.
(plus der nichtstationaeren Einschwingphase)
Dreierzyklus r=1+wurzel(8) mit chaotischer Intermettenz
10101101111101101011011011011011011010111111111011 11111011111011011011011011111110110101011101011110 11111010101010110110110110110110110110110110110110 11011011011011011011011011011011011011011011011011 01101101101101101101101101101101101101101101101101 10110110110110110110110110110110110110110110110110 11011011011011011011011011011011011011011011011011 01101101101101101101101101101101101101101101101101 10110110110110110110110110110110110110110110110110 11011011011011011011011011011011011011011011011011
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/abb17.jpg
Und da dies auch mit Fliesskomma funktioniert hier mal der Code von r=3.9, y0=0.9 fuer 500 Iterationen :
10101110010110000001111001001101010011000010101000 11000101010101111101110011001000110110110111100100 10111110010101111101111000001011110000011111010011 00101000010001001011010011000110100000011000010101 01100100001100111011001011111111111110101111011011 00001011011100101111011000100000001100101110111110 10011101011111101101110011101100100111001001001101 10110100011010001000000010001000110001111000101001 11111000010101000011001101000111111101000001011000 10000100011101111111110011011011000011111111100000
Ich würde eher sagen
10101110010110000001111001001101010011000010101000 11000101010101111101110011001000110110110111100100 10111110010101111101111000001011110000011111010011 00101000010001001011100011000110100000011000010101 01100100001100111011001011111111111110101111011011 00001011011100101111011000100000001100101110111110 10011101011111101101110011101100100111001001001101 10110100011010001000000010001000110001111000101001 11111000010101000011001101000111111101000001011000 10000100011101111111110011011011000011111111100001
Marco Polo
15.10.11, 23:34
Ich würde eher sagen
10101110010110000001111001001101010011000010101000 11000101010101111101110011001000110110110111100100 10111110010101111101111000001011110000011111010011 00101000010001001011100011000110100000011000010101 01100100001100111011001011111111111110101111011011 00001011011100101111011000100000001100101110111110 10011101011111101101110011101100100111001001001101 10110100011010001000000010001000110001111000101001 11111000010101000011001101000111111101000001011000 10000100011101111111110011011011000011111111100001
Hehehe. Das ist mir auch sofort aufgefallen, dass da was nicht stimmen kann. Gut aufgepasst Hawkwind. :D
Immerhin mal was zum schmunzeln. Danach war mir vorhin nämlich ganz und gar nicht. War vorhin in der Veltins-Arena auf Schalke gegen den 1 FCK. :(
Meinst du wegen dem letzen Vorzeichen ? 1 statt 0 ? :-)
...11111111100001
...11111111100000
Hast du das numerisch simuliert ?
Das wuerde aber auch nichts aendern. Das Wort ist 500 Zeichen lang und ich kann keine Periodizitaet darin finden. Wenn ich jetzt also irgendeinen Versuch mit einer speziellen Vorzeichenfolge unternehme, so liegt die Wahrscheinlichkeit, dass ich den Anfangswert genau treffe bei 1/2^500.
Wenn man nach "Entropie logistisch Gleichung" googelt findet man auch jede Menge unterschiedlicher Entropiemaße fuer nichtlineare Prozesse.
Z.B
http://de.wikipedia.org/wiki/Blockentropie
Mir ging es lediglich um das Prinzip und eine Erklaerung, warum ich mich damals vergeblich bemueht habe die Iteration invers wieder auf den Ausgangswert zurueckzufuehren. Mit diesem einfachen Programmcode ist mir dies jetzt gelungen. Nun sehe ich :
Haette ich damals 1+Wurzel(5) verwendet haette die Umkehrung sogar geklappt. Da besteht das Vorzeichenmuster naemlich fuer anscheind alle Anfangswerte lediglich aus Einsen, also fuehrt fuer den doppelten goldenen Schnitt in der logistischen Gleichung stets der Hauptwert zum Ziel. Warum weiss ich nicht.
Gruesse
Hehehe. Das ist mir auch sofort aufgefallen, dass da was nicht stimmen kann. Gut aufgepasst Hawkwind. :D
Immerhin mal was zum schmunzeln. Danach war mir vorhin nämlich ganz und gar nicht. War vorhin in der Veltins-Arena auf Schalke gegen den 1 FCK. :(
Ja, ein doch recht unerwarteter Ausgang. Immerhin hat Lüdenscheid-Nord gewonnen, wenn auch mit mehr Glück als Können.
@richy, ich blödel doch nur rum.
Gruß,
Hawkwind
Marco Polo
16.10.11, 00:44
Ja, ein doch recht unerwarteter Ausgang. Immerhin hat Lüdenscheid-Nord gewonnen, wenn auch mit mehr Glück als Können.
Ach stimmt ja. Der Verein, der nördlich von Lüdenscheid angesiedelt ist. Die verbotene Stadt halt. Jetzt sind die auch noch Tabellendritter. :(
Und danke dass du den Namen der verbotenen Stadt nicht ausgesprochen hast.
Für uns Insider: Herne-West grüsst Lüdenscheid-Nord. Aber pssst... :D
------------------------------------------------------------------------------------------
@Eugen:
danke für die Info. Das Buch von Brian Green habe ich bereits 2 mal durchgelesen und kenne auch den von dir zitierten Abschnitt.
Wenn wir aber von der klassischen Vorstellung des Urknalls ausgehen, ist hier lediglich die Entropiezunahme in Richtung Zukunft relevant. Ein "davor" gab es ja nicht.
Im übrigen geht es ja hier lediglich um Wahrscheinlichkeiten. Also wie wahrscheinlich ist es, dass sich ein Zustand höherer Entropie einstellt?
Wir wir wissen, ist diese extrem hoch. Das ist für mich ein starkes Indiz dafür, dass der entropische Zeitpfeil in enger Beziehung mit dem tatsächlichen Zeitpfeil steht und keine weiteren Gründe heranzuziehen sind. Die von uns beobachtete Zeitrichtung, war demnach einfach die "wahrscheinlichste".
Gute Nacht,
Marco Polo
Ist ja super dass ihr aufpasst. Ich benutze keinen printf Befehl sondern lass Maple einfach den Variablenwert mittels Variable; anzeigen. Und Maple und Strings ist net so doll, also hab ich das ueber
if (s0-f[N-k])^2 < (s1-f[N-k])^2 then
s:=s0; inf:=inf+0*10^k;
else
s:=s1; inf:=inf+1*10^k;
mittels der "Hau Ruck Methode" ganz einfach geloest.
Schon moeglich dass hier ein Fehler im Detail steckt. Aber dass ihr den beide seht und ich nicht.
Lasst mich nicht dumm sterben :-)
0*10^k kann man natuerlich weglassen, aber ich mags gerne symetrisch.
Warum sollte die letzte Ziffer keine Null sein ?
Das ist das Vorzeichen von Wurzel(r^2-4*r*s)
Ich bilde aber (1/2/r*(r+/-Wurzel(r^2-4*r*s)))
Komm nicht drauf was falsch sein soll.
Marco Polo
16.10.11, 01:09
Hi richy,
Mein Problem ist eher. Wo lander diese ganze Arbeitsfaehigkeit ? Das ist alles nur Scheinleistung die wie eine Feder hin und herschwingt Wirkleistung erhaelts du mit Sicherheit, wenn Reibung, also Verluste im Spiel sind. Wo geht diese Leistung dann hin ? Die landet in diesem Entropie Nirvana. Wie kann man sich das veranschaulichen ?
das Universum stirbt unweigerlich den Wärmetod. Temperaturen gleichen sich mit der Zeit immer mehr an. Wenn also kein Wärmeaustausch mehr stattfinden kann, dann wars das mit der "Arbeitsfähigkeit".
Energie alleine ist ja schliesslich kein Garant für "Arbeitsfähigkeit". Dazu ist im Sinne der Thermodynamik immer ein Temperaturgefälle notwendig.
Grüsse, Marco Polo
@richy, ich blödel doch nur rum.
Na, das waere eine Erklaerung :) Ich hab den Ausdruck nochmals in Maple geprueft und siehe da, ich habe tatsaechich eine falsche Angabe gemacht. Der Anfangswert y0=0.9 war richtig. Aber statt r=4, habe ich r=3.9 angegeben. Man gestatte mir dies zu korrigieren. :D
Es soll ja keine Diplomarbeit werden.
Und r=3.9 verhaelt sich zudem fast genauso chaotisch wie r=4.0. Wirklich ?
Ich hab noch eine kleine Beobachtung gemacht. Fuer y0=0.5 schwingt die Iteration scheinbar am schnellsten ein und zeigt am besten der Charakter des Parameters r. Also 01010101 oder 110110110 oder so was.
Tja und fuer y0=0.5 und r=4 erhaelt man das Muster :
11000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 0
Ja Potzblitz. Da herrscht doch angeblich das volle Chaos. Noe, ueberhaupt nicht.
Fuer r=4 herrscht in der logistischen Abbildung vollkommene Ordnung ueber alle Anfangswerte.
Fuer r=4 ist die Verhulst Gleichung analytisch loesbar !
Das ist lediglich noch nicht allgemein bekannt.
Keine maximale Entropie !
Sprunghaft minimale Entropie !
Die Iterationswerte werden lediglich unvorteilhaft abgetastet.
Prof Schroeder, Prof Wolfram und richy lassen Gruessen he he
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/2010/lsgana.htm
Gruesse
War vorhin in der Veltins-Arena auf Schalke gegen den 1 FCK. :(:D :D :D Man geht doch nicht auf Schalke um sich Fußball anzusehen. Man geht vielmehr auf Schalke, um mit Tausenden zu weinen.
Hoi Marco
das Universum stirbt unweigerlich den Wärmetod.
Ist das nicht eine aeltere etwas zu vereinfachte Annahme ? Ok wenn es beschleunigt expandiert, so dass sich keine lokale Materieanhaeufungen mehr bilden koennen, wuerde dem so sein. Irgendo hab ich diesbezueglich eine sehr schoene Aussage eines Physikers gelesen (wohl KI) Das Universum vergisst sich dann selbst.
Energie alleine ist ja schliesslich kein Garant für "Arbeitsfähigkeit". Dazu ist im Sinne der Thermodynamik immer ein Temperaturgefälle notwendig.
Na je kaelter um so besser oder ? Und was ist mit den Materiestrukturen ? Diese Materiezentren werden weiter Wasserstoff gravitativ anziehen. Neue Sonnen werden entstehen. Neue Energiequellen. Die Simulationen des Universums sehen ja nicht gerade wie eine lauwarme Suppe aus.
Gruesse
Marco Polo
16.10.11, 01:35
:D :D :D Man geht doch nicht auf Schalke um sich Fußball anzusehen. Man geht vielmehr auf Schalke, um mit Tausenden zu weinen.
Bist du etwa auch einer von diesen Nord-Lüdenscheidern? :D
Bitte korrigiere mich: Aber du kommst doch meines Wissens eigentlich eher aus der Region Herne-West, oder? Und dann so ein Kommentar. Asche über dein Haupt. :D
Wer hat lokal eine geringere Entropie ?
Nord-Lüdenscheid
oder
Herne West ?
Fuer mich sind beides Fremdwoerter.
:D
Ist das nicht eine aeltere etwas zu vereinfachte Annahme ?Älter schon, aber nicht vereinfacht.
Ok wenn es beschleunigt expandiert, so dass sich keine lokale Materieanhaeufungen mehr bilden koennen, wuerde dem so sein.Mit beschleunigt hat das nix zu tun. Jedes Universum was ewig expandiert und nicht umdreht endet mit dem Wärmetot.
Und was ist mit den Materiestrukturen?Die lösen sich Alle mit der Zeit auf, bis nur noch langwellige Photonen übrig sind.
Die Simulationen des Universums sehen ja nicht gerade wie eine lauwarme Suppe aus.Klar zur Zeit, das Universum ist ja grad geboren, im Vergleich zum Menschen Bruchteile ner Sekunde alt.
Gruesse[/quote]
Marco Polo
16.10.11, 01:46
Ist das nicht eine aeltere etwas zu vereinfachte Annahme ? Ok wenn es beschleunigt expandiert, so dass sich keine lokale Materieanhaeufungen mehr bilden koennen, wuerde dem so sein.
Eben.
Na je kaelter um so besser oder ? Und was ist mit den Materiestrukturen ? Die Simulationen des Universums sehen ja nicht gerade wie eine lauwarme Suppe aus.
Ich habe ja mit dem Wärmetod nicht den Jetzt-Zustand beschrieben sondern einen in fernster Zukunft. Und da ist lauwarme Suppe noch untertrieben.
Je kälter umso besser gilt aber nur lokal und nicht global.
Grüsse, MP
Aber du kommst doch meines Wissens eigentlich eher aus der Region Herne-West, oder?Ike bin Berliner, von Herta kann man siegen lernen!
Zur Zeit lebend in der Region Münster-Süd, wo die Mädels Berliner besonders mögen.
Marco Polo
16.10.11, 01:58
Ike bin Berliner, von Herta kann man siegen lernen!
Ach ja? Und wie hat die Hertha heute bei den Bayern gespielt? Na? :D
Zur Zeit lebend in der Region Münster-Süd, wo die Mädels Berliner besonders mögen.
Du hattest imho mal geschrieben, dass du in Gelsenkirchen oder Umgebung wohnst. Habe ich das falsch in Erinnerung?
Deswegen hatte ich damals mal angeboten vor einem Heimspiel auf Bratwurst und Bier bei dir vorbeizuschauen. :rolleyes:
Jedes Universum was ewig expandiert und nicht umdreht endet mit dem Wärmetot. Hmm, ist das dann ein Looser Universum ? Koennen wir die Zeit umdrehen ? Dennoch sind wir keine Looser.
Und was passiert mit den schwarzen Loechern die es hinterlassen hat ?
Ich gehe mal davon aus, dass ich diesen Universums Waermetod nicht persoenlich miterleben werde :-)
Besteht nur der Bruchteil einer Chance, dass die Menschheit dies miterleben wird ? Nein.
Warum machen wir uns dann Gedanken darueber ?
Ok der Mensch ist neugierig.
Die lösen sich Alle mit der Zeit auf, bis nur noch langwellige Photonen übrig sind.
Irgendwie schade.
Klar zur Zeit, das Universum ist ja grad geboren, im Vergleich zum Menschen Bruchteile ner Sekunde alt.
Das kann man sich kaum vorstellen. Kleine Kinder sind voller Lebenskraft, Optimismus und haben noch alle Moeglichkeiten offen. Somit hat das Universum seine beste Zeit sicherlich noch vor sich :-)
Es ist aber jetzt schon schoen, gross, grandios und unbegreiflich. Alleine wenn man durch ein Fernrohr guckt sieht man das.
Viele Gruesse
Marco Polo
16.10.11, 02:06
Mit beschleunigt hat das nix zu tun. Jedes Universum was ewig expandiert und nicht umdreht endet mit dem Wärmetot.
Sagen wir mal so: Wenn es beschleunigt expandiert endet es aber schneller mit dem Wärmetod, als wenn es unbeschleunigt expandiert.
Und was passiert mit den schwarzen Loechern die es hinterlassen hat?Wenn es wirklich welche gibt zerstrahlen die auch nach HAWKIG.
Auch deren langwellige Photonen werden dann immer nur länger und länger.
Die gesamte Materie im All besteht dann nur noch aus diesen Photonen in Summe zwar die gleiche Energie wie zu Beginn beim Urknall aber das ist dann genau so sinnlos wie heutzutage auf Schalke zu gehen.
Du hattest imho mal geschrieben, dass du in Gelsenkirchen oder Umgebung wohnst. Habe ich das falsch in Erinnerung?Schon richtig Marco, Gelsenkirchen liegt doch in der südlichen Münster-Süd Region.
Sagen wir mal so: Wenn es beschleunigt expandiert endet es aber schneller mit dem Wärmetod, als wenn es unbeschleunigt expandiert.Richtig Marco,
nur macht das dann den Kohl auch nicht mehr fett.
Gruß EMI
Die gesamte Materie im All besteht dann nur noch aus diesen Photonen in Summe zwar die gleiche Energie wie zu Beginn beim Urknall aber das ist dann genau so sinnlos wie heutzutage auf Schalke zu gehen.
Loooooooooool :)
Marco Polo
16.10.11, 03:43
Die gesamte Materie im All besteht dann nur noch aus diesen Photonen in Summe zwar die gleiche Energie wie zu Beginn beim Urknall aber das ist dann genau so sinnlos wie heutzutage auf Schalke zu gehen.
Loooooooooool :)
Ihr Satansbrut wagt es tatsächlich euch gegenüber Herne-West despektierlich zu äussern? In den Staub ihr Würmer. :D
Schon richtig Marco, Gelsenkirchen liegt doch in der südlichen Münster-Süd Region.
Liegt da nicht eher München? ;)
Liegt da nicht eher München? ;)Sorry, na klar doch, auch München. Zwar bedeutunglos aber gehört auch dazu.
Kurze Zusammenfasung :
Das numerische Experiment hat gezeigt, dass die Nichtumkehrbarkeit von nichtlinearen Differenzengleichungen mit nichtbijektiver Abbildungsfunktion im chaotischen Fall von prinzipieller Natur ist. Ursache ist die Mehrdeutigkeit. Im Beispiel der logistischen Gleichung die Mehrdeutigkeit der Wurzelfunktion. Fuer den chaoischen Fall (Ljapunovexponent>0) ist das Vorzeichen der Wurzel in der Umkehrfunktion der logisischen Gleichung chaotisch und kann nicht auf den urspruenglichen Startwert zurueckverfolgt werden. Es existieren im Zeitschritt K dann 2^K Moeglichkeiten fuer das Vorzeichen.
Eine interessante Frage waere diesbezueglich wie dies zu interpretieren ist, wenn man die Verhust Gleichung als diskretisierte Differentialgleichung betrachtet. Indem man als Grenzwert die Laenge des Zeitschritts gegen Null streben laesst. Damit strebt K->00 und es existieren unendlich viele Moeglichkeiten, so dass jeder Funktionswert im Grunde akausal ist. Wie kann man sich dies erklaeren ? Die Loesung einer solchen DGL koennte z.B. unendlich mehrdeutig sein. Nun ist die Loesung der logistischen Gleichung fuer den Parameter r=4 gegeben und dies scheint tatsaechlich ein Erklaerungsansatz.
http://home.arcor.de/richardon/2010/verhulstlsg.gif
fe:=1/2*(1-exp(2^n*log(1-2*x)));
fc:=1/2*(1-cos(2^n*arccos(1-2*x)));
Wobei man die Loesungen auch ueber die veketteten Polynome darstellen kann.
Die Loesung fuer r=4 enthaelt die cos Funktion, so dass deren Umkehrfunktion unendlich mehrdeutig wird. Dies ist selbst dann gegeben wenn man sich stets auf das Intervall (0..1) beschraenkt. An den veketteten Polynomen sieht man, dass deren "Frequenz" zu den Intervallraendern abhaengig von n stetig steigt. Hier dargestellt fuer n=3,n=5
http://home.arcor.de/richardon/2011/vpolyr43.gif
http://home.arcor.de/richardon/2011/vpolyr4.gif
(Maple code)
>f[0]:=x;
>for i from 0 to 5 do;
>f[i+1]:=4*f[i]*(1-f[i]);
od;
Dies nur als kurze Zusammenfassung der Vorbetrachtung. Im naechsten Posting moechte ich die wenigen einfachen Schritte vorstellen, die mir schon 1989 zeigten, dass zwischen der Darstellung aller (Vorzeichen) Moeglichkeiten und dem Zufall ein Zusammenhang besteht, den ich schliesslich im Forum hier mittels dem Phasomaten nochmals vereinfacht in Form von Anwendungsmoeglichkeiten dargestellt habe.
Komplexwertiger Entscheidungsbaum und Zufall
**********************************
Zurueck an den Atari 1040 ST ins Jahr 1989. 0hne Kenntnis des Vorzeichenverlaufs der Wurzel gelang mir die inverse Iteration zurueck zum Annfagswert natuerlich nicht.
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/algo20.gif
Dass die Iterierte in fast allen Faellen komplexwertig wird war mir schnell klar und so war es naheliegend die Iteration rein interessehalber einfach mal im Komplexwertigen zu betrachten. Realteil und Imaginaerteil der Wurzel berechnen sich dort wie folgt (Bronstein S. 515) :
sqrt(x+iy)=u+iv
u = +-sqrt( (x+sqrt(x*x+y*y))/2)
v = +-sqrt( (-x+sqrt(x*x+y*y))/2)
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/nsalgo2.htm
Maple rechnet stets komplex, so dass die Programmierung hier besonders einfach ist :
Im Beispiel wird der doppelte goldene Schnitt fuer r verwendet und stets das positive Vorzeichen der Wurzel.
> s:=0.9; r:=1+sqrt(5);
> N:=10000;
> for i from 0 to N do
> s0:=evalf(1/2/r*(r-(r^2-4*r*s)^(1/2)));
> s1:=evalf(1/2/r*(r+(r^2-4*r*s)^(1/2)));
> s:=s0; # Stets positives Vorzeichen der Wurzel
> f[i]:=s;
> od:
> druck:=seq(f[i],i=0..N):
> complexplot([druck],0..1,-0.25..0.25,style=point,color=black);
Verwendet man stets das positive Vorzeichen erhaelt man folgendes Ergebnis:
http://home.arcor.de/richardon/2011/complex1.gif
Naja, ein bischen mehr hatte ich schon erwartet. Dass das stets positive Vorzeichen willkuerlich ist war mir klar und so war der naechste Schritt ein alternierendes Vorzeichen +-+-+-+ :
> if i mod 2 =1 then s:=s0 else s:=s1; fi;
Ergebnis :
http://home.arcor.de/richardon/2011/complex2.gif
4 er Zyklus +++-+++-+++-
> if i mod 4 =1 then s:=s0 else s:=s1; fi;
http://home.arcor.de/richardon/2011/complex3.gif
Eine gewisse Haeufungsstruktur ist erkenntlich, insbesonders wenn man die Bilder ueberlagert.Diese Ueberlagerungsstruktur interessierte mich natuerlich. Man muesste dazu die Iterationen aller moeglichen Vorzeichenmuster berechnen und darstellen. Alle 2^N Bilder ueberlagern. Dazu ist es erforderlich alle Pfade eines Binaerbaumes im Programm durchzugehen. Ein etwas groesserer Programmieraufwand.
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/nsalgo1.htm
Ich wollte das am naechsten Tag erledigen, da es schon spaet in der Nacht war. Naja, ein Versuch fiel mir noch ein, den man in wenigen Minuten implementieren kann.
Was passiert wenn ich das Vorzeichen zufaellig waehle ?
Dann erhaelt man fuer r=1+Wurzel(5) dieses Bild :
http://home.arcor.de/richardon/2011/complex4.gif
Ich war natuerlich voellig platt :)
Wie kann denn eine zufaellige Wahl des Vorzeichens dieses komplette Bild hervorzaubern ?
(Es ist qualitativ das selbe Bild wie wenn man alle Vorzeichenfaelle ueberlagert)
Tja, so ganz genau weiss ich das bis heute nicht.
Und nebenbei : Man sieht das Muster der Mandelbrotmenge, wobei die Punktmenge selbst eine Juliamenge darstellt. Um 1989 eine Julia oder Mandelbrotmenge zu berechnen benoetige man am Atari mindestens 15 Minuten. Und ich erhielt diese Juliamenge in ein paar Sekunden.
Denn mit jedem Iterationsschritt erzeuge ich einen neuen Punkt der Juliamenge. Dank dem Zufall :-)
Wozu existiert somit ein (determinierter oder objektiver) Zufall ?
Er ermoeglicht es alle Zustaende eines Binaerbaumes zu durchlaufen. Warum weiss ich allerdings immer noch nicht :-) Ohne Zufall wuerde die Evolution in Periodizitaeten stagnieren.
Im Thread hier hatte ich numerisch gezeigt, dass bei einer nichtlinearen Iteration mit jedem Rechenschritt Information ueber die Anfangswerte verloren geht, wenn das Vorzeichen der inversen Iteration nicht periodisch ist. D.h. wenn es zuaellig ist.
Ich fasse einen Gedankengang dazu (der vielleicht etwas unverstaendlich anmutet) aus einem anderen Thread nochmals zusammen :
In der physikalische Umwelt empfinden wir die Vergangenheit als determiniert und die Zukunft als offen, mehrdeutig. Also gerade umgekehrt wie in einer expliziten Differenzenglichung. Wir muessten dort die Umkehrfunktion betrachten, die z.B. zu einer Juliamengen fuehren kann. Aus der expliziten Ausgangsgleichung wird dann eine implizite Gleichung.
H(f(k+1)^2,f(k+1))=f(k)
In dem Fall tritt im exliziten Ausdruck dann ein bijektiver Wurzelterm auf.
Nun erscheint und aber auch die Vergangenheit anders als die Realitaet. Wir vergessen Systemzustaende und dies bedeutet einen Informationsverlust. Aufgrund dieser Motivation oder einfach rein interessehalber kann man sich die Aufgabe stellen, ob es Funktionen gibt, die in beiden Richtungen mehrdeutig sind.
Aufgabe :
Geben sie eine bijektive Funktion an, deren Umkehrfunktion ebenfalls bijektiv ist. Klingt kompliziert aber es gibt eine ganz einfache Loesung :
y^2=t^2
anders angeschrieben :
y=+-t
Graphisch stellt dies ein einfaches Kreuz "X" dar. Und klar dese Funktion ist lediglich in einem Punkt t=0 eindeutig. Bemerkenswert ist dabei, dass sich die Nichtlinearitaet "kompensieren" und lediglich eine Folge derselben, die Bijektivitaet erhalten beliebt.
Den Punkt t=0, an dem sich die Funktion in beiden Richtungen verzweigt koennte man als Gegenwart, Realitaet interpretieren. Aber hier gibt es nur einen solchen ausgezeichneten Punkt.
Man kann weitere Funktionen desselben Typs konstruieren, aber daran aendert sich wenig :
a*(y-y0)^2 + b*(t-t0)^2 = R^2
*************************
Diese Funtionen kennt man. So ist auch ein Kreis sogar in jedem Punkt bijektiv. Es existiert daher kein Realitaetspunkt.
Kann man eine Funktion konstruieren die fuer mehr als einen Punkt eindeutig ist (mehrere Realitaetspunkte) und ansonsten mehrdeutig ?
Es erscheint zunaechst unmoeglich, aber das geht. Dazu waehlt man zunachst eine beliebige nichtlineare Funktion F(). Deren Umkehrfunktion sei G(). Folgender Funktionentyp kann dann die Forderung erfuellen wenn F() periodisch ist :
EDIT
Statt
G(v(y))=h(t)*G(v(t))
muss gelten
F(v(y))=h(t)*F(v(t))
Das ist die Form der bekannten Verhulstloesungen. Jedoch mit deren Umkehrfunktionen.
Ich stelle das Thema erstmals zurueck.
Nochmals zur Funktion ;
f:=1/2*(1-cos(2^t*arccos(1-2*x0)));
Das ist die geschlossene Loesung der Iteration
y(k+1)=4*y(k)*(1-y(k))
Und die Iterationsfolge erscheint uns voellig zufaellig, chaotisch. Es ist allgemein nicht bekannt dass ueberhaupt eine Loesung existiert. Und dass die Folge chaotisch sei, wird man darin bestaetigt sehen, dass der Ljapunovexponent hier groesser Null ist. Sogar maximal fuer die Parameter 1..4.
Was hier wirklich ablaeuft sieht man jedoch in dieser Grafik .
http://home.arcor.de/richardon/2012/v4.gif
Das Chaos basiert auf einer Kosinusschwingung, deren Frequenz ueber den Term 2^t stetig anwaechst. Nach wenigen Iterationsschritten auf riesige Werte. Die Schwingung wird aequidistant abgetastet und darauf basieren die zufaelligen Werte.
Der Ljapunovexponent kann dies nicht wiedergeben. Rein formal habe ich diesen durch eine Modifikation ersetzt in der statt dem ln der arccos bzw arcsin verwendet wird. Diese Vorgehensweise muesste man sich aber nochmals genauer ueberlegen.
http://home.arcor.de/richardon/2012/v5.gif
Interessant ist der geringe Wert bei 3.8. Das duerfte das Fenster der Ordnung sein also r=1+Wurzel(8)
Auch ohne physikalische Aspekte waere es interessant wie denn die zugehoereige DZGL aussieht, wenn man 2^t durch andere Funktionen ersetzt. Zum Beispiel auch durch die sin oder cos Funktion. Eine quadratische Nichtlinearitaet wird sich dann wohl nicht mehr ergeben, da der Term 2^t gerade die Verkettung binaerer Entscheidungen Vorzeichen der Wurzel darstellt.
Ich habe noch kene Ahnung wie das Ergebnis aussehen koennte und lege einfach mal los :
Zur Uebung waehle ich nochmals den einfacheren Fall r=2
y(k+1) = y(k)^2
ln(y(k+1))=2*ln(y(k))
Substitution
f(k)=ln(y(k))
f(k+1)=2*f(k)
Ich loese die Gleichung mittels Z-Transformation, da ich allgemeinere Funktionen verwenden moechte :
Wobei man im folgenden Fall auch einfacher zum Ziel kommen koennte.
http://de.wikipedia.org/wiki/Z-Transformation
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/math/5/3/9/5393e0b60c7b8eabaff07304759e8452.png
************************************************** *****
f(k+1)=2*f(k)
o-o
z*F(z)-z*F(0)=2*F(z)
F(z)*(z-2)=z*F(0)
F(z)=z/(z-2)*F(0)
Aus der WIKI Korrespondenztabelle folgt
o-o
f(k)=2^k*f(0)
Substitution rueckwaerts
f(k)=ln(y(k))
ln(y(k))=2^k*ln(y(0))
Der inverse Vorgang fuer eine Funktion
G(y(k))=H(k)*G(y(0))
besteht somit zunaechst darin G(y(k)) wieder zu f(k) zu substituieren.
Dann laesst sich die Z Transformation fuer allgemeinere H(k) anwenden.
Ich waehle fuer H(k) zunaechst einen besonders einfachen Fall :
H(k)=k. Die Korrespondenz im Z Bereich lautet z/(z-1)^2
Ausgangspunkt :
f(k)=k*f(0)
********
o-o
F(z)=F(0)*z/(z-1)^2
Den Nenner teilt man am zweckmaessigsten auf :
F(z)*(z-1)=F(0)*z/(z-1)
F(z)*z-F(z)=F(0)*z/(z-1) erweitere
F(z)*z-F(0)*z-F(z)=F(0)*z/(z-1)-F(0)*z
F(z)*z-F(0)*z-F(z)=F(0)*(z/(z-1)-1)
F(z)*z-F(0)*z-F(z)=F(0)*(z/(z-1)-(z-1)/(z-1)
F(z)*z-F(0)*z-F(z)=F(0)*(1/(z-1))
Die Korrespondenz fuer 1/(z-1) ist gleich eins
o-o
f(k+1)=f(k)+f(0)
************
Das Ergebnis haette man natuerlich auch einfacher haben koennen mittels :
f(k)=k*f(0)
f(k+1)=(k+1)*f(0)=f(k)+f(0), f(k)=0 fuer k<0
Leider geht hier der Anfangswert direkt mit ein. (Das war abzusehen)
Ob die Z Transformation eine Hilfe darstellt bleibt ebenfalls noch offen.
Weiterer Versuch.
Statt 2^n verwende ich exp(a*n). Fuer ein imaginaeres a erhaelt man dann eine komplexe Schwingung.
f(n)=exp(a*n)*f(0)
Auch ohne Z Transformation folgt :
f(n+1)=exp(a*n+a)*f(0)
f(n+1)=exp(a)*f(n)
***************
der Fall a=ln(2) entspricht der einfachen Verhulst Gleichung r=2
Wir waehlen deren Substitution :
f(n)=ln(y(n))
ln(y(n+1))=exp(a)*ln(y(n))
ln(y(n+1))=exp(a)*ln(y(n))
y(n+1)=y(n)^exp(a)
(Das sieht schonmal interessanter aus :-)
Laesst sich dieser Speziallfall verallgemeinern ?
Die zentrierte VDZGL lautet :
x(k+1)=1/2*r*(x(k)-1)*(x(k)+1))+1
somit
x(k+1)=1/2*r*(x(k)^2-1)+1
Dass sich sich -1+1 fuer r=2 aufhebt gilt fuer alle Exponenten also auch fuer :
y(k+1)=r/2*(y(k)^exp(a)-1)+1
************************
Vollstaendigkeitshalber noch die dezentrierte Form :
y(k)=(1-2*x(k))
x(k+1)=r/4*( 1-(1-2*x(k))^exp(a) )
***************************
Ich habe damit schon einige Versuche durchgefuehrt. Die Ergebnisse sind interessant :-)
Folgende Bemerkung im Thread hatte ich wieder vergessen :
Haette ich damals 1+Wurzel(5) verwendet haette die Umkehrung sogar geklappt. Da besteht das Vorzeichenmuster naemlich fuer anscheind alle Anfangswerte lediglich aus Einsen, also fuehrt fuer den doppelten goldenen Schnitt in der logistischen Gleichung stets der Hauptwert zum Ziel. Warum weiss ich nicht.
Das gibt es doch eigentlich gar nicht. Dem muss ich nochmals nachgehen.
Ich schalte nochmals einige Gaenge zurueck. Was beschaeftigt mich gerade ?
Ich moechte den Unterschied zwischen Differenzen und Differenzialgleichungen etwas genauer untersuchen. Insbesonders hinsichtlich der Mehrdeutigkeit. Ein Beispiel war hier die Umkehriteration zu y(n+1)=y(n)^2 die ich im Phasomaten angewendet habe. z(k+1)=+-Wurzel(z(k)). In jedem Iterationsschritt ergibt sich ein neuer Loesungszweig so dass deren Anzahl mit 2^n waechst :
http://home.arcor.de/richardon/2010/mathe/wurzel.gif
Meine Frage lautet nun wie die Loesung im kontinuierlichen Fall aussehen koennte. Das ist schon etwas komplizierter, da bei einer s-ten Wurzel die Anzahl der Loesungen vom Charakter der Zahl s abhaengt. Ist diese irrational so ergeben sich z.B. unendlich viele Loesungen. Ist die Zahl rational so folgt die Anzahl aus der Bruchdarstellung. Dies ergibt sich aus dem Fundamentalsatz der Algebra und zeigt sich in der Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus der sich wie folgt berechnet :
http://upload.wikimedia.org/math/5/4/3/543e3ca7832255dccfadd6986c51dc0a.png
Die kleine Umformung fuer den diskreten Fall habe ich auf dieser Seite dokumentiert :
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/phasomat/phaso.htm
Im kontinuierlichen Fall laesst sich genauso vorgehen und man erhaelt zunaechst die analytische Loesung
ln(z(n))=2^(-n)*ln(z(0))
aufgeloest :
z(n)=exp(ln(abs(z0))/2^n+I*argument(z0)/2^n+I*2*floor(k)*Pi/2^n);
************************************************** **1
n ist hier nicht auf ganze Zahlen beschreaenkt. Das ist der Trick.
Ich kenne die (komlexwertigen) Loesungen nun nicht nur fuer ganze Zahlen !
k stellt dabei die Mehrdeutigkeit dar.
Das Argument ist somit ein Maß fuer die Mehrdeutigkeit und diese habe ich mittels einem kleinen Programm dargestellt. Um auch grosse Mehrdeutigkeiten darzustellen umlaufe ich den Einheitskreis fuer jede Zahl in 100 Versuchen. (k=0..100) Mein Rechner ist etwas aelter und daher stelle ich teilweise nur den Bereich 0..PI dar. Fuer ganze Zahlen ist dieser symetrisch zu 0..-Pi. Die Darstellung ist dann wie im folgenden Bild zu deuten.
http://home.arcor.de/richardon/2012/deut1.gif
Die 2-te Wurzel weist 2 Losungszweige auf
Die 4-te Wurzel weist 4 Losungszweige auf
Die 8-te Wurzel weist 8 Losungszweige auf
Wie die Grafik zeigt weist eine 1.5 te Wurzel natuerlich keine 1.5 Loesungszweige auf.
Bei Darstellungen des Arguments von -Pi ...Pi ist zu beachten dass die Argumente Pi und -Pi ein identisches Argument darstellen ( Das negative Vorzeichen)
Im folgenden der Programmcode :
restart; with(plots):
Startzahl:=2;
Endzahl:=3;
N:=100;
z0:=1;
dt:=(Endzahl-Startzahl)/N;
t:=Startzahl;
i:=0;
for n from 0 to N do
for k from 0 to 100 do
w:=argument(evalf(exp(I*2*k*Pi/2**t)));
if 0=0 then # w>=0 fuer argument 0..Pi
wink[i]:=t+I*w;
i:=i+1;
fi;
od;
t:=evalf(t+dt);
od;
Anzahl:=i-1;
druck:=seq(wink[i],i=0..Anzahl):
complexplot([druck],Startzahl..Endzahl,-3.15..3.15,style=point,color=black,symbol=POINT);
Die komplexe Rechnung dient dabei lediglich der bequemeren Darstellung.
Der untere Darstellungswert von -3.15 bedingt die Darstellung von -Pi (doppeldeutig). Ein Wert von -3.14 waere im Grunde vorteilhafter um dies zu vermeiden.
Mit dem Programm laesst sich nun die Mehrdeutigkeit im reellen Zahlenbereich darstellen. Eine genaue Interpretation ist mir dabei nicht moeglich, denn es gibt kein uebergeordnetes Gesetz vor allem wie die irrationalen Zahlen genau verteilt sind. Es zeigen sich interessante Strukturen, die dies widerspiegeln:
http://home.arcor.de/richardon/2012/deut2.gif
Auffaellig sind in der Grafik :
- "Verschmierte" Haeufungspunkte
- Strukturen ueber den laufenden Parameter n
Die Sonderstellung der natuerlichen Zahlen geht in der Grafik verloren.
EDIT : Aufgrund der logarithmischen Darstellung
Hier nochmals eine hoehere Aufloesung des Bereichs 2 hoch 2 bis 2 hoch 3
http://home.arcor.de/richardon/2012/deut3.gif
EDIT :
Die Darstellung der horizontalen Achse ist logarithmisch.
Die weissen vertikalen Streifen repraesentieren die ganzen Zahlen.
Anregungen wie ich das Wort "Darstellung" umschreiben kann sind willkommen :-)
Letzendlich moechte ich den Uebergang von den natuerlichen Zahlen zu den nichtnatuerlichen Zahlen untersuchen und habe daher nochmals weitere Bereiche dargestellt um zu beurteilen welcher am geeignesten sein koennte :
n=3..4
http://home.arcor.de/richardon/2012/deut5.gif
n=5..6
http://home.arcor.de/richardon/2012/deut4.gif
Die folgenden Grafiken zeigen Faelle wie man sich diesen Uebergang in etwa vorzustellen hat. Dabei habe ich nun die Darstellung von -Pi..Pi statt 0..Pi im Argument gewaehlt.
http://home.arcor.de/richardon/2012/abloes1.gif
Hier der Uebergang zur Zahl vier, zur 16 ten Wurzel :
http://home.arcor.de/richardon/2012/abloes2.gif
Warum die Zahl 3.9xx scheinbar Eigenschaften einer ganzen Zahl aufweist klaert sich wie folgt :
EDIT :
Wenn man die Zweige bei 3.9x nachzaehlt so sind es 15 Stueck.
Das sind die 15 Zweige der 15 ten Wurzel !
Der Wert ergibt sich aus 2**x=15 und betraegt 3.906890595
Dies zeigt sich auch bei feinerer Aufloseung. Es ist der Wert ln(15)/ln(2)
Ebenso zeigt sich bei ln(14)/ln(2)=3.807354922 ein vergleichbares Verhalten fuer die 14 te Wurzel.
EDIT
Das Beispiel zeigt :
Wenn man das Darstellungsprinzip zur Beurteilung von Zahlencharakteristiken (ganz,rational,irrational ...) verwenden will, so ist zu beachten, dass nicht der Wert n die zu beurteilende Zahl darstellt, sondern es wird 2**n beurteilt.
2**( ln(15)/ln(2) ) = 15
Lineare Darstellung
*****************
Fuer eine lineare Darstellung muss der Programmcode nur leicht geaendert werden :
restart; with(plots):
Startzahl:=8;
Endzahl:=16;
N:=100;
z0:=1;
Startzahl:=evalf(ln(Startzahl)/ln(2));
Endzahl:=evalf(ln(Endzahl)/ln(2));
dt:=(Endzahl-Startzahl)/N;
t:=Startzahl;i:=0;
for n from 0 to N do
for k from 0 to 100 do
w:=argument(evalf(exp(I*2*k*Pi/2**t)));
if w >=0 then
wink[i]:=2**t+I*w;
i:=i+1;
fi;
od;
t:=evalf(t+dt);
od;
Anzahl:=i-1;
druck:=seq(wink[i],i=0..Anzahl):
complexplot([druck],2**Startzahl..2**Endzahl,-3.15*0..3.15,style=point,color=black,symbol=POINT) ;
Nun sieht man sehr schoen dass die charakteristischen weissen vertikalen Streifen als jene der natuerlichen Zahlen zu interpretieren sind :
http://home.arcor.de/richardon/2012/ablinear.gif
Hier nochmals die zwei Uebergaenge in linearer Darstellung
http://home.arcor.de/richardon/2012/abloes2b.gif
http://home.arcor.de/richardon/2012/abloes1b.gif
Sehr deutlich zeigt sich hier nochmals ein Streifen bei 15.5. Es handelt sich um 31 Zweige und damit um den einfachen Sachverhalt 15.5=31/2. Im weiteren moechte ich Ergebnisse darstellen hinsichtlich der Funktion des Algos als Detektor irrationaler Zahlen. Wobei sich im Grunde schon vermuten laesst, dass die charakteristischen Boegen das Kennzeichen irrationaler Zahlen darstellen koennten. Denn diese sind wie die folgende Abbildung zeigt nicht symmetrisch.
http://home.arcor.de/richardon/2012/abloes3.gif
Zwischenbemerkung.
Meine letzten Beitraege lassen sich auf folgende Frage reduzieren.
Gegeben sei folgende Gleichung :
z hoch s = 1, z element C (komplexwertig)
Aufgabenstellung :
Wieviele Loesungen ergeben sich fuer z nach dem Hauptsatz der Algebra wenn :
- s element natuerliche Zahlen
- s element rationale Zahlen p/q
- s element irrationale Zahlen
Im Folgenden werde ich noch haeufiger den Bergriff des Grades der Irrationalitaet einer Zahl verwenden. Im Forum wurde dies in der Vegangenheit schon einmal als esoterische oder selbstgebastelte Angabe bemaengelt. Natuerlich voellig zu unrecht. Der Begriff basiert auf dem Fehler der Bruchapproximation einer irrationalen Zahl und dem Satz von Liouville :
(1)
http://www.quanten.de/forum/showthread.php5?t=1404
Eventuell lassen sich mit der neuen Methode, die auf dem Hauptsatz der Algebra basiert, sogar einige Fragen aus dem damaligen Thread (1) beantworten. Ist Wurzel(13) irrationaler als Wurzel(2) ? (Ungenauer ueber einen Bruch approximierbar )
Ich kann eines bereits vorausschicken. Die Zahl Pi wird einige Ueberraschungen bieten und sowohl meine Aussagen des damaligen Threads (1) als auch die Funktionsweise der neuen Methode bestaetigen. Und natuerlich hoffe ich, dass man mir folgen kann. Wenigstens Bauhof zum Beispiel, dessen mathematisches Wissen ich schon immer sehr geschaetzt habe. Mal abgesehen von der nichtlinearen Systemdynamik. :-)
Zwischenfragen wuerden mich freuen. Das Prinzip der "neuen" Methode ist im Grunde sehr einfach. Die Kenntnis der komplexen Zahlen natuerlich vorausgesetzt.
Der Sachverhalt der logarithmischen Darstellung der horizontalen Achse war mir Anfangs selbst nicht ganz klar. Er war auch unerheblich bezueglich der anfaenglichen Aufgabenstellung. Ich habe die Beitraege nochmals editiert um den logarithmischen Sachverhalt, der sich aus dem Verkettungsprinzip des diskreten Falls ergibt, von Anfang an zu verdeutlichen. Vielleicht wird damit einges klarer. Es waere anschaulicher gewesen von Anfang an die lineare Darstellung zu waehlen.
Gruesse :-)
mermanview
02.03.12, 08:02
Moin richy,
Und natuerlich hoffe ich, dass man mir folgen kann.
Antwort aus der Talsohle:
Die Deutungen deiner Diagramme/ Graphiken:
Ja, meistenteils, am verständlichsten wurde es durch die zusammenfassenden Beschreibungen.
Wenn ich's richtig verstanden habe, dann geht es u.A. um den Begriff "irrational".
"Ist Wurzel(13) irrationaler als Wurzel2) ?" gemessen anhand der Häufigkeit von möglichen Ergebnissen (einer komplizierten Gleichung)
Bin gespannt auf die Aussagen zu Pi.
( da ich nur flüchtig lesen konnte, befürchtete ich zunächst einen Schreibfehler, .. dachte zunächst du meinst Phi, ich glaub es ging dir aber um Pi 3.1415926536 (aus dem Kopf : )).
Es ist glatt schade, dass man nicht mehr Zeit hat, in der inneren Ordnung von Zahlenräumen spazieren zu gehen.
Gruß Merman
Hi merman
Neben Bauhof hatte ich erwartet dass du mathematisch folgen kannst.
Ich weiss. Du bist ein guter Mathematiker und daher dazu in der Lage.
BTW: Ich weiss auch dass du ein ganz schlechter Physiker bist :-)
Wobei sich Mathematik und Physik gar nicht ausschliessen muessen.
Ist gerade bischen frueh/spaet. Alles weitere also "morgen"
Aufgabe :
Beschreibe mir den Hauptsatz der Algebra. Wieviele Loesungen hat die Gleichung
x hoch 2 = 1
x hoch 4 = 1 ( dazu benoetigt man schon komplexe Zahlen)
Wenigstens wieviele Loesungen existieren gibt dir der Hauptsatz der Algebra an.
Auch ohne dass du alle Loesungen kennst.
allgemein
x hoch s = 1
besser
z hoch s = 1 (z steht fuer komplexe Zahlen)
ciao :-)
mermanview
02.03.12, 12:39
Hi richy, gut Schlaf
... danke für die Blümkes, ..
"Hauptsatz der Algebra", du überschätzt meine Entfernung zu ehemals Erlerntem, .. ich hab ihn gegoogelt, den Hauptsatz:
Hauptsatz Der Algebra
Der Hauptsatz der Algebra gibt Auskunft über die Lösbarkeit von Polynomgleichungen.
Zunächst muss man unterscheiden zwischen den Zahlenbereich, aus dem die Koeffizienten stammen
und dem Zahlenbereich, in dem die Lösungen liegen sollen.
Fall 1: Koeffizientenbereich und Lösungsbereich reell (R)
Eine Polynomgleichung mit dem Grad n hat höchstens n Lösungen
Fall 2: Koeffizientenbereich reell (R), Lösungsbereich komplex (C)
Eine Polynomgleichung mit dem Grad n hat genau n Lösungen und zwar paarweise konjugiert.
Daraus ergibt sich ein Sonderfall:
Ist der Grad der Funktion ungerade, dann muss es mindestens eine reelle Lösung geben!
Fall 3: Koeffizientenbereich und Lösungsbereich komplex (C)
Eine Polynomgleichung mit dem Grad n hat genau n nicht-konjugierte Lösungen.
Wissenlücken: konjugierte Lösungen, und leider nachwievor komplexe Zahlen, Gauß'scher Zahlenraum...,
Ich gestehe, dass ich zur Bewahrung des innerem Gleichgewichtes, den kleinen Rest Eigen-Zeit, mehr an meiner nun (in Eigenbau) elektrifizierten 12 Saitigen nutze.
Meinen persönlichen Kenntnissen nach:
x^2 = 1 sollte die beiden Lösungen x=wurzel(1) = 1 und -1 haben
x^4 = 1 ebenso: 2 Lösungen, trotz 4. Grades: x =1^1/4 = 1 und -1
Es gälte hier "Eine Polynomgleichung mit dem Grad n hat höchstens n Lösungen"
vorerst
Gruß Merman
x^4 = 1 ebenso: 2 Lösungen, trotz 4. Grades: x =1^1/4 = 1 und -1
Es gälte hier "Eine Polynomgleichung mit dem Grad n hat höchstens n Lösungen"
Hallo mermanview,
das sehe ich anders. Hier gilt m.E der
Fall 2: Koeffizientenbereich reell (R), Lösungsbereich komplex (C)
x^4 = 1; setze y = x²
y(1) = sqrt(x²) = 1
y(2) = ─sqrt(x²) = ─1
x² = y:
x(1) = sqrt[y(1)] = sqrt(1) = 1
x(2) = ─sqrt[y(1)] = ─sqrt(1) = ─1
x(3) = sqrt[y(2)] = sqrt(─1) = i
x(4) = ─sqrt[y(2)] = ─sqrt(─1) = ─i
Die Gleichung x^4 = 1 hat also im Komplexen vier Lösungen: 1, ─1, i, ─i
M.f.G Eugen Bauhof
Hi Bauhof
Ich sehe es widerum etwas anders. Es existiert zunaechst keine allgemeine Bedingung welcher Fall gegeben ist. Und Merman hatte geschrieben
Meinen persönlichen Kenntnissen nach:
Und da seine Kenntnisse die komplexen Zahlen (noch) nicht umfassen hat er den Fall eins mit zwei Loesungen angegeben. Im Reellen existieren tatsaechlich nur zwei Schnittpunkte. Erst in der Gausschen Zahlenebene sind es dann vier.
Klar in meinen Grafiken habe ich den Fall 2 verwendet und den wollte ich nochmals allgemeinverstaendlich schildern.
@merman
Das mit den komplexen Zahlen ist im Grunde gar nicht so schwierig. Bauhof hat schon zwei weitere Loesungen angegeben. Wenn es eine Zahl gaebe die mit sich selbst multipliziert minus eins ergaebe, nennen wir sie zunaechst Wurzel(-1), so erhielten wir :
Wurzel(-1)*Wurzel(-1)*Wurzel(-1)*Wurzel(-1)=
-1*-1*=1
Ebenso fuer -Wurzel(-1). Die Zahl gibt es natuerlich nicht. Aber hast du schon mal eine negative Kuh gesehen ? Gehen wir einfach wie bei den negativen Zahlen vor. Wir schreiben fuer Wurzel(-1) das Zeichen "i" oder "j" und koennen es dann wie ein Vorzeichen verwenden fuer das gilt i*i=-1.
Hier sind wir das schon alles mal etwas ausfuehrlicher durchgegangen :
http://www.quanten.de/forum/showthread.php5?t=1926&highlight=komplexe+Zahlen
Eine komplexe Zahl weist somit einen Realteil u und Imaginaerteil v auf.
z=u+i*v
Die Rechenregeln der reellen Zahlen bleiben erhalten und werden hoechstens erweitert. Das Vorzeichen i kann man ebenso wie beim negativen Vorzeichen (-1) einfach wie eine Zahl behandeln.
BTW:
Der Ausdruck "konjungiert komplex" besagt lediglich, dass man den Imaginaerteil mit minus eins multipliziert
z*=u-i*v
In der komplexen Zahlenebene liegen z=u+i*v und z*=u-i*v dann spiegelsymetrisch zur Realteilachse. Das ist fuer meine Darstellung aber gar nicht so wichtig.
Gruesse
@merman, all
Zieht man iterativ die Wurzel aus eins, so aendert sich auch in der komplexen Zahleneben nichts am Betrag der Zahl. Der bleibt gleich eins. Und damit liegen alle Loesungen auf einem Kreis wie in diesem Beispiel die Loesung von z^16=1. Der Radius repraesentiert den Betrag einer komplexen Zahl.
|u+i*v|^2=u^2+v^2=R^2
http://home.arcor.de/richardon/2010/wurzel1.gif
Was hat dies mit der Differenzengleichung y(n+1)=y(n)^2 zu tun ?
Verwenden wir den Startwert y(0)=3 um die Loesung zu erraten.
3,9,81 .....
Wie es fuer Differenzengleichungen typisch ist wird die Quadratur y(n)^2 verkettet zu (((y(0)^2)^2)^2)^2 ....
Die Loesung lautet somit y(n)=y0^(2^n)
******************************
Eine Funktion in der der Exponent exponentiell waechst. Nun interessiert mich aber insbesonders die Umkehrfunktion der Iteration, denn diese ist aufgrund der Wurzel in jedem Schritt zweideutig :
z(n+1)=+-Wurzel(z(n)), z sei die inverse Funktion zu y
Die Anzahl der Loesungen verdoppelt sich bei jedem Iterationsschritt :
http://home.arcor.de/richardon/2010/mathe/wurzel.gif
So wie es der Hauptsatz der Algebra fuer Fall 2 voraussagt :
z0^(2^n)-z(0)=0. In jedem Iterationsschritt verdoppelt sich der Grad des "Polynoms" Und waehlen wir als Startwert die Zahl eins so liegen alle Loesungen auf dem komplexen Einheitskreis.
Formen wir die Loesung einfach um zu z(n)=z0^(1/ (2^n) ) so sehen wir dies nicht ohne weiteres. Die Mehrdeutigkeit wird damit nicht ausgedrueckt.
Wir verwenden daher einen Trick :
y(n)=y0^(2^n)
Wir bilden auf beiden Seiten den ln()
ln(y(n))=2^n*ln(y0)
Im Komplexwertigen ist der ln(z) mehrdeutig. Und das nuetzen wir aus.
Die folgende Formel ist fuer Rechentricks somit ungemein praktisch :
Formel 1)
http://upload.wikimedia.org/math/5/4/3/543e3ca7832255dccfadd6986c51dc0a.png
Und bei der Umkehrfunktion ist fuer den ln der linken Seite nun nicht nur der Hauptwert zu nehmen sondern auch die Nebenwerte. Man erhaelt sie einfach, indem man k z.B. in einer for Schleife durch die ganzen Zahlen steppen laesst.
ln(y(n))=2^n*ln(y0)
die Umkehrfunktion
LN(z0)=2^n*ln(z(n)), LN soll andeuten: Nimm Neben und Hauptwerte
ln(z(n))=(LN(z0))/2^n
z(n)=exp((LN(z0))/2^n)
Schliesslich mit Formel 1)
z(n)=exp(ln|z0|/2^n+i*(arg(z0)+2*k*Pi)/2^n))
Fuer den Startwert z0 =1 wird ln|z0| gleich 0 und arg(z0) gleich 0
z(n)=exp( (i*2*k*Pi)/2^n) k element N
********************
z(n) stellen Werte auf dem komplexen Einheitskreis dar. Ich habe aber nicht diese dargestellt, sondern lediglich deren Winkel, deren Argument -Pi..Pi in Polarkoordiaten.
Was passiert hier konkret ?
Angenommen n=1
z(1)=exp( (i*k*Pi)
**************
K=0 => z(1)=1
K=1 => z(1)=-1
Fuer k=2 landet man an der selben Stellle wie fuer k=0. Man hat den Einheitskreis einmal umrundet und das Spielchen geht von vorne los :
K=2 => z(1)=1
K=3 => z(1)=-1
.....
n=2
K=0 => z(1)=1
K=1 => z(1)=i
K=2 => z(1)=-1
K=3 => z(1)=-i
K=4 => z(1)=1
K=5 => z(1)=i
K=6 => z(1)=-1
K=7 => z(1)=-i
....
Was passiert nun aber wenn n nicht ganzzahlig ist ?
Gruesse
Zusammenfassung :
***************
Gleichung 1)
*********
z^n-1=0 hat in C die Loesungen :
z=exp( (i*2*k*Pi)/n), k=0..oo, k element N
z=cos((2*k*Pi)/n) + i*sin((2*k*Pi)/n) , k element N
****************************
Die Anzahl der Loesungen ergibt sich daraus wieviele verschiedene Argumente erzeugt werden, wenn k die natuerlichen Zahlen durchlaeuft.
ganzzahlige Potenzen
****************
Fuer n element N hat die Gleichung 1 genau n Loesungen
ohne Beweis :
rationale Potenzen
**************
n sei eine rationale Zahl : n=p/q, p,q element N und teilerfremd
Gleichung 1 hat dann p Loesungen
irrationale Potenzen
***************
Ist n eine irrationale Zahl so existieren unendlich viele Loesungen
Die Gleichung z^Pi=1 hat unendlich viele Loesungen.
Ja, das ist abgefahren :-)
Das heist jedoch nicht dass jede komplexe Zahl auf dem Einheitskreis hoch Pi gleich 1 ist. Und daraus folgt dass nicht nur unendlich viele Zahlen auf den Einheitskreis passen sondern "noch mehr".
Anwendungen.
1)
Die erste Anwendung war es graphisch darzustellen wie sich die Mehrdeutigkeit verhaelt, wenn man die Loesung der Iteration z(n+1)=+-Wurzel(z(n)),z0=1 nicht nur fuer ganzzahlige n betrachtet.
z(n)=cos((2*k*Pi)/n) + i*sin((2*k*Pi)/n) , k element N
Es ergab sich um n=8 (nach 3 Iterationen) z.B. dieses Bild
http://home.arcor.de/richardon/2012/abloes2b.gif
Man muss hiebei beachten :
Ein Punkt ist etwas voellig anderes als ein Intervall. In ein Intervall passen unendlich viele Punkte. Wenn ich statt n=8 nun n= 80001/10000=8.0001 verwende, so hat diese Gleichung 80001 Loesungen. Wie man sieht verteilen sich diese jedoch nicht gleichmaessig sondern die 80001 Loesungen werden um die 8 Loesungen von n=8 verschmiert. Das hatte ich nicht so erwartet.
Hier ein weiteres Bild.
http://home.arcor.de/richardon/2012/abloes1b.gif
Anwendung 2
Mittels der Methode laesst sich nun abschaetzen ob in einem Intervall rationale oder irrationale Zahlen "dominieren". (Man kann dies noch ueber Symetrie verbessern) Momentan sieht man welcher Grad der Irrationalitaet zu erwarten ist. D.h. wie gut/schlecht eine irrationale Zahl in dem Bereich sich ueber einen Bruch approximieren laesst. Die Grafiken sind Landkarten des Grades der Irrationalitaet. Zum Beispiel sieht man, dass bei 15.5 ein hoher "Rationalitaestgrad" herrscht. 15.5=31/2. Und zaehlt man die Zweige, Streifen, so sind es tatsaechlich 31 Stueck.
Die Zahl 31 hat hier das sagen.
Die typischen Boegen zeigen Irrationalitaet wahrscheinlich sogar direkt an.
http://home.arcor.de/richardon/2012/abloes3.gif
Der unspaektakulaere Auftritt von PI
***************************
Hier zunaechst eine groebere Uebersicht. Bei n=3 geht es los mit 3 Loesungen :
http://home.arcor.de/richardon/2012/Pi1.gif
Man erkennt bereits, dass Pi in einem rationalen Umfeld liegt :
Und selbst wann man in den Bereich Pi+-10^-10 zoomt ergibt sich nichts auffaelliges :
http://home.arcor.de/richardon/2012/Pi2.gif
Das besondere an Pi ist, dass es eine transzendente Zahl ist. Aus Sicht der Irrationalitaet ist Pi dagegen voellig unauffaellig.Zaehlt man die Anzahl der verschmierten Loesungszentren so sind es 22 Stueck. Wohl deshalb da 22/7 einen Naeherungsbruch 1.Art fuer Pi darstellt :
Satz: (Lagrange 1798[20]) Jede beste Näherung 1. Art einer reellen Zahl ist ein Näherungsbruch oder ein Nebennäherungsbruch ihrer Kettenbruchentwicklung. .....
.....
Beispiel Wiki
b) Für die Kreiszahl π=[3;7,15,1,292,…] lauten die ersten Näherungsbrüche 3/1, 22/7, 333/106 und 355/113.
http://de.wikipedia.org/wiki/Kettenbruch#Approximation_von_oben_und_unten.2C_Ne benn.C3.A4herungsbr.C3.BCche
Pi=3.1415926535897932385
22/7=3.1428571428571428571
Die Irrationalste aller Zahlen. der goldene Schnitt :
*************************************
Hier ergibt sich eine voellig anderes Bild :
Bereich 1..g
http://home.arcor.de/richardon/2012/g0.gif
(Die hohe Irrationalitaet von Wurzel(2) zeigt sich erst im Zoom.)
Bereich g..2
http://home.arcor.de/richardon/2012/g1.gif
Zoom auf g
http://home.arcor.de/richardon/2012/g2.gif
Die Loesungen weisen keine verschmierten Haeufungszentren auf und keine anderen ausgepraegten Periodizitaeten. (Aeqidistante Loesungen waeren periodisch, rational) Dies spiegelt die ausgezeichnete Irrationalitaet von g wieder und letztendlich warum g in der Natur eine so wichtige Rolle spielt, wenn Resonanzstellen vermieden werden sollen. Pi waere fuer diesen Zweck z.B. voellig ungeeignet.
Fuer Wurzel(2) (auf Platz zwei der Irrationalitaet) ergibt sich ein aehnliches Bild wie beim goldenen Schnitt.
Die Fibonacci Zahlen im Phas-o-gramm
*****************************
Die Zahl Pi liegt voellig im Dominanzgebiet einer ihrer Bruchnaeherungen 1.Art. Dem Zaehler des Bruches 22/7. Vielleicht gehoert 22/7 auch zu einem Naeherungsbruch 1.Art einer Zahl die irrationaler ist als Pi.
Richies Annahme :
Der goldene Schnitt ist von seinen Bruchnaeherungen 1.Art umgeben, deren Nenner die Fibonaccizahlen darstellen. Das ist trivial, denn diese Brueche stellen rationale Zahlen dar und werden im Phas-o-gramm soviele Punkte abbilden, wie es deren Nenner vorgibt. 8/5 somit 8 Punkte, oder 13/8 somit 13 Punkte. Interessant waere es ob diese Naeherungsbrueche besonders in Erscheinung treten.
BTW Die Fibonacci Zahlen lauten : 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89 ....
Ok lets go:
Abbildung 1)
http://home.arcor.de/richardon/2012/fib1.gif
Abbildung 2)
http://home.arcor.de/richardon/2012/fib2.gif
Man erkennt besonders in Abbildung 1 noch weitere spezielle Brueche im Bereich um g (Phi). Die Naeherungen 1.Art fuer den goldenen Schnitt g sind jedoch besonders deutlich erkennbar. Auch fuer Wurzel(2) kann man zum Beispiel den Bruch 41/29 sehr deutlich erkennen. So unglaublich es klingen mag, aber alle Bilder werden wohl neben den natuerlichen Zahlen und Bruechen derselben mit kleinem Zaehler vornehmlich durch den Grad der Irrationalitaet der irrationalen Zahlen gepraegt und deren Bruchnaeherungen 1.Art.
Die Zahl Pi ist dabei ein Looser. Das zeigt auch schon deren Kettenbruch.
mermanview
05.03.12, 07:04
Moin richy,
Mannmann, ganze Arbeit,
ich hab keine Ahnung ob es sich bei deinen Untersuchungen um bereits Bekanntes handelt, es macht aber großen Spass den Ausführungen zu folgen.
Bilderbuch-Spaziergänge in Zahlenräumen, möglich gemacht durch Mr. Richardon.
Ich hab nochmal Phi gegoogelt (gewikit), dabei sind zwei Berichte hängen geblieben:
Zitat Wiki
Bahnresonanzen [Bearbeiten]
Seit langem ist bekannt, dass die Umlaufzeiten mancher Planeten und Monde in Verhältnis kleiner ganzer Zahlen stehen wie beispielsweise Jupiter und Saturn mit 2:5 oder die Jupitermonde Io, Ganymed und Europa mit 1:2:4. Derartige Bahnresonanzen stabilisieren die Bahnen der Himmelskörper langfristig gegen kleinere Störungen. Erst 1964 wurde entdeckt, dass auch hinreichend irrationale Verhältnisse, wie sie beispielsweise im Fall 1:\Phi vorliegen würden, stabilisierend wirken können. Derartige Bahnen werden KAM-Bahnen (siehe Kolmogorow-Arnold-Moser-Theorem) genannt, wobei die drei Buchstaben für die Namen der Entdecker Andrei Kolmogorow, V. I. Arnold und Jürgen Moser stehen.[24][25]
Ein weiterer evtl. nicht so passender:
Informatik [Bearbeiten]
In der Informatik speichert man Daten in Hashtabellen, um darauf schnell zuzugreifen. Die Position h(k), an der ein Datensatz k in der Tabelle gespeichert wird, berechnet man durch eine Hashfunktion h. Für einen effizienten Zugriff müssen die Datensätze möglichst gleichmäßig verteilt in die Tabelle geschrieben werden. Eine Variante für die Hashfunktion ist die multiplikative Methode, bei der die Hashwerte für eine Tabelle der Größe m nach der folgenden Formel berechnet werden:
h(k) = \lfloor m (k A - \lfloor k A \rfloor)\rfloor.
Dabei stellen \lfloor \ldots \rfloor Gaußklammern dar, die den Klammerinhalt auf die nächste ganze Zahl abrunden. Der angesehene Informatiker Donald Ervin Knuth schlägt für die frei wählbare Konstante A=1/\Phi vor, um eine gute Verteilung der Datensätze zu erhalten.[27]
Eine weitere Verbindung zwischen der Informationstheorie und dem Goldenen Schnitt wurde durch Helmar Frank mit der Definition der Auffälligkeit hergestellt. Er konnte zeigen, dass der mathematische Wert des Maximums der Auffälligkeit sehr nah an das Verhältnis des Goldenen Schnitts herankommt.
Der letzte Beitrag fiel mir auf, da ich drauf und dran war,
dich zwecks Programmierunterstützung anzuschreiben.
Eines meiner Hobbys ist Robotik, bzw. autonom interagierende Software, ... wie immer sehr bodennah umgesetzt.
Insofern, war es mir ein Greuel, mich auch noch in die genaue Auswertung von Webcam-Rohdaten, bzw. von Bildformaten einzulesen.
Da waren vor allem die Hash-Tabellen im Weg, insofern "sehen" meine künstlichen Kreaturen schnell, aber dennoch oft irritiert.
Ich habe von meinem Anliegen (dich um Programmiernterstützung zu bitten, ich vermutete du hast genug zutun) bereits wieder abgesehen, dennoch führte mich dein Phi-Exkurs ganz unverhofft zur Hash Tabelle.
Im Namen von Pi muss ich allerdings ein wenig Protest erheben, du weißt dass der Umfang eines Kreises eigentlich exakt 3-mal solang sein sollte wie sein Durchmesser, wir befinden uns bloß im falschen Universum, die Sache mit der Wineklssumme im Dreieck unter Berücksichtigung der Krümmung sieht in anderen Universen geschmeidiger aus.
Insofern ist das geringe Maß an Irrationalität für Pi eher lobenswert ;).
muss nun erstmal arbeiten
Gruß Merman
Nachtrag:
Wie sähe ein ("Irrationalitäts"-)Muster für die Umgebung der eulerschen Zahl aus ?
Hi Merman
Es freut mich sehr, dass man meinen Beitraegen anscheinend folgen kann.
Bilderbuch-Spaziergänge in Zahlenräumen
Genau das stellen die Grafiken dar :-) Wobei man die irrationalen Zahlen darin natuerlich nicht direkt sehen kann. Man kann nur durch die Umgebung auf diese schliessen. Nicht immer, wie es Pi zeigt. Und es sollen zunaechst einfach nur "Spaziergaenge" sein. Man schaut sich um und kommt dabei auf Ideen fuer neue Spaziergaenge. Manche fuehren zu einem Tor in einen neuen Park, andere fuehren nicht weiter. Das ist dann auch nicht tragisch. Denn man kann sich auch an einem einzigen Park erfeuen.
ich hab keine Ahnung ob es sich bei deinen Untersuchungen um bereits Bekanntes handelt...
Ja und nein. Den Grad einer Irrationalitaet anzugeben ist nichts Neues und dass Phi gemaess Liouville die irrationalste aller Zahlen ist. Allerdings ist dies auch unter Mathematikern nicht sehr bekannt, da Kettenbrueche ein sehr spezielles Thema darstellen und und die physikalische Bedeutung unterschaetzt wird. Wobei Kettenbrueche oder Kettenwurzeln nichts anderes darstellen als die Vekettung die bei Differenzengleichungen auftritt. Ein Genie bezueglich dieser voellig anderen, naemlich verketteten Denkweise waren vor allem Ramanujan und Leonard Euler. Verkettung bedeutet f(f(f(f(f(...)))))
Ramanujan war Autodidakt. Er war daher voellig immun gegen mathematische Vorurteile. Er hat eine eigene Form der Mathematik erschaffen. Eine Mathematik die unabhaengig ist gegenueber historischen Vorgaben. Frage : Wenn Ausserirdische existieren. Wird sich deren Mathematik von unserer unterscheiden ? Mit Sicherheit. Unsere Mathematik ist an unsere Sinnesorgane angelehnt. Vor allem an unser Gehoer. Ausserirdische werden sicherlich andere Sinnesorgane aufweisen und vielleicht haben sie gar keine Ohren, kennen keine Frequenzen, Musik. Die Mathematik von Ramanujan gibt hierzu einen Einblick :
http://de.wikipedia.org/wiki/S._Ramanujan
Bezueglich der Klassiizierung von Zahlen wuerden Ausserirdische allerdings zu den selben Erkenntnissen gelangen wie wir Menschen.
Addiert man die Koeffizienten des regulaeren Kettenbruchdars einer Zahl, so ist dies ein Maß der Irrationalitaet (je kleiner desto irrationaler)
Ich hab mal nach Irrationalitaet und Grafiken gegoogelt. Ich meine meine Darstellungsweise ist tatsaechlich neu. Fuer mich ist es interessant zu sehen, dass man in den Grafiken erkennt, dass es gar nicht so sehr auf den Zahlenwert selbst ankommt. Sondern es gibt Umgebungen,Bereiche die guenstig oder unguenstig sind. Am guenstigsten fuer hohe Irrationalitaet ist 0..2. Pi (3.14...) liegt an einem auesserst unguenstigen Platz fuer Irrationalitaet. Mitten im Bruch 22/7 : (Rot markiert)
http://home.arcor.de/richardon/2012/Pi1.gif
Besser waere es uebrigend Pi-2 oder Pi-3 zu untersuchen. Wobei letzendlich mit Pi aber stets Pi gemeint ist. Nicht
0.141592653589793238462643383279502884197169399375
oder
1.141592653589793238462643383279502884197169399375
sondern
3.141592653589793238462643383279502884197169399375
Ja ist dann 22/7 sehr genau Pi ? Nein, obwohl Handwerker vor der Taschenrechnerzeit den Wert verwendet haben. Wo liegen denn die genaueren Bruchapproximationen von Pi ? Man sieht hier doch gar nichts :
http://home.arcor.de/richardon/2012/Pi2.gif
Die genaueren Bruchapproximationen muessen bei Pi im Gegenatz zu Phi in der inneren Struktur dieser 22 Streifen liegen. Das kann meine Grafik aber nicht aufloesen (Jede Vertikale sind maximal 100 Punkte). Man erahnt nur einen Schatten in der Mitte und zwei Schatten Bruederchen links und rechts von Pi.
Pi ist nicht sonderlich irrational.
Wenn man nach Pi (3.14...) googelt wird man dennoch immer wieder Seiten finden, die Pi als typischen Repraesentant der Irrationalitaet darstellen. Das ist im Grunde nicht sachgemaess ! Auf diesen Seiten wird man sich darauf berufen, dass die Nachkommstellen von Pi nun tatsaechlich voellig zufaellige Zahlen darstellen. Das erkennt man auch am Kettenbruch. Dessen Koeffizienten sind voellig wirr und zufaellig. Das ist aber kein Kennzeichen von Irrationalitaet sondern der Transzendenz. (Transzendenz bedeuten Pi ist nicht die Loesung eines Polynoms. Quadratur des Kreises daher ausgeschlossen). Ich meine meine Grafiken stellen dies sehr schoen dar.
Ach jetzt hab ich schon wieder eine neue Idee. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Nachkommastellen darstellen.
Zu Planetenbahnen :
Meine Loesungen, die wie ein Hamster in der komplexen Ebene immer im Kreis laufen haben hierzu einen Bezug. Aber man muss wie dein Zitat zeigt sehr vorsichtig sein. Man kann nicht verallgemeinern, dass alle Verhaeltnisse im Sonnensystem irrational sind. Ich betrachte dies gerne so :
Chaos, Antiresonanz = Irrational
Ordnung, Resonanz = Rational
Und Strukturen entstehen auf der Grenzschicht zwischen Ordnung und Chaos. Es muss ein ausgewogenes Verhaeltnis vorliegen. MDiese Sichtweise ist in Bezug auf das Sonnensystem sehr stark angelehnt an jener von Kepler :
http://de.wikipedia.org/wiki/Johannes_Kepler
Eine Anwendung waere zum Beispiel zu erklaeren wie unser Mond entstanden ist. Und was meinst du ? Was wird mit den ganzen Partikeln des Saturnringes einmal passieren ?
Und vor allem : Warum ist unser Sonnensystem scheinbar stabil ? Kann man dies berechnen ?
Zu Hash Tabellen.
Da muesste ich selbst nachlesen. Meine Standardbuecher fuer Algos waren uebrigends "Algoritmen" von Robert Sedgewick. Das ist sehr verstaendlich geschrieben :
http://www.amazon.de/Algorithmen-C-Robert-Sedgewick/dp/3893193766
Die Algo Bibel im naturwissenschaftlichen Bereich ist "Numerical receipes in C". (Sehr abstrakt auf englisch) Das Buch hab ich mir als Student hart abgespart. Wollte es unbedingt jederzeit verfuegbar im Buecherregal stehen haben. Die frohe Botschaft :
Alle Quellcodes gibt es zum freien download :
http://www.nr.com/
Gruesse
Im Namen von Pi muss ich allerdings ein wenig Protest erheben, du weißt dass der Umfang eines Kreises eigentlich exakt 3-mal solang sein sollte wie sein Durchmesser, wir befinden uns bloß im falschen Universum, die Sache mit der Wineklssumme im Dreieck unter Berücksichtigung der Krümmung sieht in anderen Universen geschmeidiger aus.
He he das ist ein hervorragender Einwand. Die ganzen Betrachtungen beziehen sich auf eine euklidsche Geometrie. Auf astronomischen Skalen koennte es durchaus sein, dass unser Freund Phi seine Dezimalstellen etwas aendern muss.
Puh, wie koennte hier ein einfaches Modell aussehen ? Schwierig. Aber eines ist klar. Egal wie stark der Raum auch gekruemmt ist. Zwei Kuehe bleiben zwei Kuehe. Die natuerlichen Zahlen und damit auch Fibonacci Zahlen sind somit Beobachtersysteminvariant. Genauso wie c0. Maßstaebe und die Zeit moegen sich gemaess der RT aendern wie sie wollen aber zwei Kuehe bleiben auch in der RT zwei Kuehe genauso wie C0.
Wie sähe ein ("Irrationalitäts"-)Muster für die Umgebung der eulerschen Zahl aus ?
Schauen wir uns dazu zunaechst mal den Kettenbruch von e und die daraus resultierenden Bruchapproximationen an. Um diese selbst zu berechnen kannst du auch den Quellcode auf meiner Homepage verwenden :
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/golden/Chain.txt
(Fuer regulaere Kettenbrueche gibt es eine einfachere Methode die man ohne Rechner, sondern im Kopf anwenden kann und ich im Beitrag vorstelle).
Kettenbruch exp(1)
**************
http://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Zahl
Der regulaere Kettenbruch von exp(1) weist keine konstanten Koeffizienten auf. Typisch fuer eine transzendente Zahl.
Dazu noch einige Hinweise, die nur einfachste Schulmathematik verwenden. Meine Darstellung hatte anfangs lediglich die Aufgabe die Mehrdeutigkeit der Wurzeln beim Uebergang von natuerlichen Zahlen zu nichtnatuerlichen Zahen zu visualisieren. Die Irrationalitaetsidee und damit Kettenbruchidee kam erst spaeter. Den Ausdruck "Kettenbruch" hatte ich dazu nicht genau definiert. Gemeint sind regulaere Kettenbrueche. Wie laesst sich ein allgemeiner Kettenbruch in der verketteten Denkweise zunaechst einfach erfassen ? Die Basis dazu bietet der Da Vinci Code :-) Das ist nichts weiter als eine Verallgemeinerung der Fibonacci Iteration :
fib(0)=1, fib(1)=1
fib(k+1)=a*fib(k)+b*fib(k-1) | durch fib(k)
fib(k+1)/fib(k)=a+b*fib(k-1)/fib(k)
Das Einmalige an dieser DZGL zeigt sich darin, dass man fib(k-1)/fib(k) auch schreiben kann als eins durch fib(k)/fib(k+1)
fib(k+1)/fib(k)=a + b/[fib(k)/fib(k-1)]
Das ist das grosse Geheimnis :-)
Denn nun sieht man : Die Substitution z(k+1)=fib(k+1)/z(k), entsprechend z(k)=fib(k)/fib(k-1) fuehrt auf die charakteristische Gleichung der verallgemeinerten Fibonacci Folge :
Gl 1)
z(k+1)=a+b*1/z(k), z(0)=1
**************
Das ist einfachste Schulmathematik. Einfache Substitution und dennoch der Schluessel dazu kompliziert erscheinende Dinge wie Kettenbrueche analytisch und damit einfach betrachten zu koennen.
Nun verketten wir die Iteration !
Aus Gl 1) folgt trivial :
Gl 2)
z(k+2)=a+b*1/z(k+1)
Na und fuer z(k+1) koennen wir aus Gl1) einsetzen :
Gl 3)
z(k+2)=a+b*1/(a+b*1/z(k))
Wir haben zwei Iterationen verkettet. Und koennen das Spielchen beliebig fortsetzen :
z(k+3)=a+b*1/z(k+2)
z(k+3)=a+b*1/(a+b*1/(a+b*1/z(k)))
u.s.w.
In der Asci Schreibweise sieht man es schlecht, aber das Ergebnis ist der allgemeine Kettenbruch. Und fuer den regulaeren Kettenbruch gilt b=1.
Somit :
Der regulaere Kettenbruch hat die Form :
******************************
Gl 4)
z(k+1)=a+1/z(k)
**************
in der Da Vinci Code Schreibweise
Gl 5)
fib(k+1)=a*fib(k)+fib(k-1)
*******************
Yeah, thats easy :
Hmm,alles einfach, schoen und gut.Aber gegen welchen Wert konvergiert die Iteration der Gleichung 4 ?
Der Quotient zweier aufeinanderfolgender Zahlen des Da Vinci Codes ?
Daran denken : z(k)=fib(k)/fib(k-1)
Auch hier genuegt einfachste Schulmathematik. "Konvergieren" bedeutet, dass sich der Iterationswert z(k+1) von z(k) immer weniger unterscheidet und deren Differenz z(k+1)-z(k) im Grenzfall schliesslich gleich null wird.
z(k+1)-z(k)=0
z(k+1)=a+1/z(k) | auf beiden Seiten minus z(k)
z(k+1)-z(k)=a+1/z(k)-z(k) soll gleich Null sein
a+1/z(k)-z(k)=0
a+1/z-z=0
********
Das ist eine einfache quadratische Gleichung und deren Loesung lautet ? :
Gl 6)
z=1/2*(a+-Wurzel (a^2+4))
*******************
******************
Der einfachste Fall : a=1
******************
(Im folgenden betrachte ich nur den Hauptwert, das positive Vorzeichen)
z=1/2*(1+Wurzel (1^2+4))
z=1/2*(1+Wurzel (5))
Das ist der goldene Schnitt Phi !
Wenn sich z sich nicht mehr aendert, dann betraegt fuer a=1 dessen Wert Phi !
z(k) konvergiert gegen den goldenen Schnitt. Und z(k) war der Quotient zweier aufeinanderfolgender Fibonaccizahlen. Deren Quotient konvergiert somit gegen den goldenen Schnitt.
Und da eins die kleinste natuerliche Zahl ist, ist gemaess Louville der goldene Schnitt die irrationaste aller Zahlen.
************
Wir testen a=2
************
Fuer a=2 sollten wir die zweitirrationalste aller Zahlen erhalten. Na schaun wir mal :
z=1+1/2*Wurzel (8)
Na wie denn wo denn was denn ? Was ist mit unserer guten alten Wurzel(2) ?
Wenn schon nicht Pi, dann ist doch Wurzel(2) die zweitirrationalste aller Zahlen. Was funkt denn da eine Wurzel(8) dazwischen ?
Schauen wir uns den Zahlenwert an :
1+1/2*Wurzel (8)=2.414213563
Ach so. Das ist Wurzel(2)+1
Logo, denn 1/2 kann man als Wurzel(1/4) in die Klamer ziehen und dann steht da :
z=1+Wurzel(2)
***********
Ja welcher Wert ist denn nun irrationaler Wurzel(2) oder 1+Wurzel(2) ?
Und irrationaler in welchem Sinne ? Nur im Sinne von Louville ?
Da bin ich mir noch nicht selbst ganz schluessig. Meine Grafiken, die manche vielleicht belaecheln werden, koennten hierzu jedoch einen Hinweis geben.
Denn sie zeigen, dass fuer grosse Zahlenwerte die Struktur der Irrationalitaet immer weniger ersichtlich wird. Eine grosse Zahl hat es sehr viel schwerer irrational zu sein als eine kleine Zahl. Betrachten wir die ganze Vorgehensweise als ein Spiel. Fuer ein faires Spiel muessen Rahmenbedingungen geschaffen werden, die allen Teilnehmern des Spiels gleiche Chancen garantieren. (Fairness ist fuer mich uebrigends ein absolutes Grundprinzip.) Das Spiel muss somit fuer alle daran teilnehmenden Zahlen auf einem klar umrissenen Spielfeld ausgetragen werden. Um das Spiel des Grades der Irrationalitaet fair auszutragen muessen wir somit zunaechst ein Spielfeld vorgeben. Dies kann nur ein Intervall zwischen zwei natuerlichen Zahlen sein.
Das heisst. Wir bewerten nur die Nachkommastellen einer Zahl.
Es besteht keinerlei Zweifel daran, dass der goldene Schnitt die nobelste, irrationalste aller Zahlen darstellt. Der goldene Schnitt wird durch zwei Werte repraesentiert. 1/2*(1+wurzel(5)) sowie 1/2*(1-wurzel(5)).
1/2*(1+wurze(5))=1.618.. liegt im Intervall 1..2 und daher wuerde ich als Spielfeld aller "Irrationalitaetsfragen" dieses Intervall zur Beurteilung vorschlagen. Das Intervall 1..2 wird damit zum eigentlichen Irrationalitaets Sparring Ring aller Zahlen. Zur Beurteilung deren Nachkommastellen. Mein hohler Bauch sagt mir gerade das das intervall 0..1 besser waere und der Hauptwert des goldenen Schnittes nicht 1.618... sondern 0,618... ist aber
einigen wir uns zunaechst auf das Spielfeld 1..2
Und darin ist nun Wurzel(2) die zweitirrationalste Zahl und nicht 1+Wurzel(2), denn 2.414213563 liegt ausserhalb des Spielfeldes. Ebenso wie Pi.
Im Sinne des Spieles muss Pi-2 untersucht werden und bezueglich deiner Ausgangsfrage exp(1)-1.
Gruesse
Zusammenfassung
**************
Gegeben sei folgende Differenzengleichung :
fib(0)=1, fib(1)=1
fib(k+1)=a*fib(k)+fib(k-1)
Der Wert fib(k+1)/fib(k) konvergiert gegen den Wert folgender Iteration :
z(k+1)=a+1/z(k), z(0)=1
und damit gegen
z=1/2*(a+-Wurzel (a^2+4))
Fuer a=2 somit zum Beispiel gegen 1+Wurzel(2)
Nehmen wir an wir sind Handwerker. Was haben wir davon ?
Wir moechten als Handwerker Wurzel(2) berechnen.
Wir betrachten dazu folgende einfache Iteration :
w2(0)=1, w2(1)=1
w2(k+1)=2*w2(k)+w2(k-1)
Ok. lets go
Im Kopf ohne PC :
1 1 3 7 17 41 99 239 577
Testen wir 577/239
577/239 = 2.414225941
Wurzel(2)=1.414213562
Ok, natuerlich haben wir 1+Wurzel(2) berechnet, aber das koenen wir von unserem Bruch natuerlich abziehen.
577/239-1 = (577-239)/239 = 338/239
338/239 1.414225941
Wurzel(2)=1.414213562
Es gibt uebrigends keine genauere Bruchdarstellung von Wurzel(2) als die Kettenbruchdarstellung. Ok, jetzt werfen wir doch den PC an und approximieren 1+Wurzel(2) noch genauer ueber den Da Vinci Code.
Was nehmen wir da ?
y[2] := 3
y[3] := 7
y[4] := 17
y[5] := 41
y[6] := 99
y[7] := 239
y[8] := 577
y[9] := 1393
y[10] := 3363
y[11] := 8119
y[12] := 19601
y[13] := 47321
y[14] := 114243
y[15] := 275807
y[16] := 665857
y[17] := 1607521
y[18] := 3880899
y[19] := 9369319
y[20] := 22619537
oder noch genauer :
y[99] := 39243058951466341909004733505464609607
y[100] := 94741125149636933417873079920900017937
Ich mag die Mathematik und Physikgeschichte uebrigends sehr und bewundere die Aegypter, Babylonier, Inder, Griechen ...
Ok, modifizieren wir den Zaehler zu y(k)-y(k-1) um die Geschichte der Zahl Wurzel(2) zurueckzuverfolgen :
Wir erhalten folgenden theoretischen Rueckblick :
10/7
1.428571429
1.414213562
24
--
17
1.411764706
1.414213562
58
--
41
1.414634146
1.414213562
140
---
99
1.414141414
1.414213562
338
---
239
1.414225941
1.414213562
816
---
577
1.414211438
1.414213562
1970
----
1393
1.414213927
1.414213562
4756
----
3363
1.414213500
1.414213562
11482
-----
8119
1.414213573
1.414213562
....
161564
------
114243
1.414213562
1.414213562
Jetzt schlagen wir bei Wiki nach :
http://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_2
Die alten Inder schätzten Wurzel(2) auf 577/408
evalf(577/408-sqrt(2))=.2124 10^-5
Der moderne richy setzt dem entgegen
evalf(816/577-sqrt(2))=-.2124 10^-5
Wahnsinn diese Inder :-) Ich habe uebrigends keine Erklaerung dafuer.
Viele Gruesse
Hi richy!
Könntest Du mir gerade einmal <hier> (http://www.quanten.de/forum/showthread.php5?p=67154&postcount=39) helfen?
(Nur eine kleine Experten-Einschätzung)
Ich wäre Dir sehr zu Dank verbunden! :)
Jetzt schlagen wir bei Wiki nach :
http://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_2
evalf(577/408-sqrt(2))=.2124 10^-5
Der moderne richy setzt dem entgegen
evalf(816/577-sqrt(2))=-.2124 10^-5
Wahnsinn diese Inder :-) Ich habe uebrigends keine Erklaerung dafuer.
Viele Gruesse
Na, der Mittelwert der beiden Brüche
665857/470832
passt dann auch schon wirklich gut - weicht erst in der 12. Stelle von sqrt(2) ab.
Na, der Mittelwert der beiden Brüche
Sorry das blicke ich jetzt nicht konkret. Mittelwert welcher beiden Brueche ? Kannst du das kurz mal anschreiben ?
Gruesse
mermanview
09.03.12, 14:01
... sorry war ne Weile "weg",
der SRT wegen, ...musste nachts rechnen,
nun ist es vollbracht, so kann ich mich wieder den Zahlenräumen widmen.
Mir fällt im Moment aber nur soviel dazu ein :
Die Wurzel(2) fällt zumindest bei Kreisbogenberechnungen optisch als auch mathematisch auf:
Die Hälfte von Wurzel(2) bzw. die Wurzel ihres Kehrwertes stellt im Kreisbogen den Mittelpunkt und somit den Umkehrpunkt für Steigungsverhältnisse dar.
sin(45°)=Wurzel(1/2)
ebenso:
tan (45°-45°/2) = Wurzel(2)-1
tan(45°+45°/2) = Wurzel(2)+1
In graphischen Darstellungen wird also höchste Irrationalität u.U. zu Symmetrie.
Gruß Merman
Hi Merman.
Interessant zum Kehrwert ist auch folgendes. Bildet man den Kehrwert einer Zahl und die Nachkommastellen bleiben gleich, so ist die Zahl irrational. (Ausgenommen 1.0)
Das ist keine offizielle Aussage, sondern ich habe dies am komplexen Einheistkreis ueber einen einfachen Widerspruchsbeweis bezueglich Periodizitaeten hergeleitet. Mein Satz folgt aus dem Hauptsatz der Algebra den ich fuer Brueche im Exponenten formuliert habe.
rationale Potenzen
**************
n sei eine rationale Zahl : n=p/q, p,q element N und teilerfremd
z^n-1=0 hat in C Gleichung dann p Loesungen
Mit meiner Aussage laesst sich dann die Irrationalitaet Wurzel(2) schneller herleiten als mit Euklids Beweismethode. Siehe Beispiel :
Beispiel : 1+Wurzel(2)
1+Wurzel(2)=2.4142135623730950488
1/(1+Wurzel(2))=0.4142135623730950488
Nochmals :
1 / 2.4142135623730950488 = 0.4142135623730950488
Lustig gell. Das selbe gilt fuer den goldenen Schnitt und laesst sich einfach ueber die charakteristische Gleichung der DZGL begruenden. Mit der im Thread vorgestellten Methoden.
Die Hälfte von Wurzel(2) bzw. die Wurzel ihres Kehrwertes stellt im Kreisbogen den Mittelpunkt und somit den Umkehrpunkt für Steigungsverhältnisse dar.
Fuer Wurzel(2) selbst trifft das frac Verhalten nicht zu. Nur fuer (noble ?) Zahlen wie 1+Wurzel(2). Schade ansonsten waere deine geometrische Beobachtung vielleicht noch interessanter interpretierbar. Hey bei deiner Tangens Angabe ist 1+Wurzel(2) gegeben ! :-) Und die Frac Aussage gilt auch fuer 1-Wurzel(2). Das ist sehr interessant .
Es muss zum Beispiel gelten :
1/tan(45°+45°/2) = tan(45°+45°/2)-2
Die Landkarte zur Irrationalitaet um exp(1) folgt noch.
Gruesse
mermanview
11.03.12, 22:03
Betrachten wir mal die symmetrischen Eigenschaften von Wurzel_Zwei in der SRT:
Merman_Erklärung der SRT:
Wenn c konstant ist , dann scheint c' im Raumschiff um (c+v)/c gedehnt und ebenso scheint c'' vor dem Raumschiff (abstrahlend) um (c-v)/c gestaucht.
Die tatsächliche Dilatation muss dazwischen liegen.
Es muss einen gemeinsamen Faktor geben, welcher von c-v zum Dilatationsfaktor führt und vom Dilatationsfaktor zu c+v führt.
(c-v) * Faktor = Dilatationsfaktor = (c+v) / Faktor
=> (c-v) * Faktor = (c+v) / Faktor
=> Faktor² = (c+v)/(c-v)
=> Faktor = Wurzel((c+v)/(c-v))
.. und das funktioniert:
bei c=1 und v=0,8
Faktor = Wurzel((1+0,8)/(1-0,8)) = Wurzel(1,8/0,2) = Wurzel(9) = 3
0,2*3 = 0,6 = 1,8/3
Dilatationsfaktor bei v=0,8 ist 0,6 !
Umgekehrt lässt sich v und die ZD auch aus einem vorher gewählten gemeinsamen Faktor x berechnen: v = (x²-1)/(x²+1), ZD = (1-v) *x:
Beispiel von oben:
Faktor = 3
...v = (3²-1) / (3²+1) = 0,8
ZD = (1-0,8) * 3 ......= 0,6
So, nun können wir mit Wurzel_Zwei experimentieren:
(im Folgenden bedeutet W(2) = wurzel(2), ZD Zeitdilatation, v steht für den Anteil an c, für c wird c=1 angenommen)
bei gemFaktor = W(2)
ergibt für....... v = 1/3*c
und für........ZD = W(2)*2/3 = W(8/9) = W(2³/3²)
bedeutet: ...(1-1/3) * W(2) = W(2³/3²) = (1+1/3) / W(2)
Anderes Beispiel:
v=W(2)-1, was bedeutet dass c+v = W(2):
(Die v-Differenz über und unter c beträgt W(2)-1 = 0,41421356237309504880)
v = w(2) - 1 = 0,41421356237309504880
ZD = Wurzel((1-v) / (1+v))
..... = W(2) / W(1+W(2))
..... = 1,414213.. / Wurzel(1+1,414213..)
Aussagen zur Symmetrie:
Zumindest scheinen sich hier viele Faktoren zu wiederholen (ähnl. Phi).
Zur Symmetrie müsste man die Punkte in einem Kreisbogen untersuchen, ist aber schon zu spät für heut.
Gruß, sehr zufriedener Merman
mermanview
14.03.12, 11:23
Zur Symmetrieuntersuchung irrationaler Zahle im Viertelkreis:
Bild plus Daten:
http://img4.fotos-hochladen.net/uploads/symmetrieeva718wc29.jpg (http://www.fotos-hochladen.net)
Ein paar Daten gemessen am Mittelwertfaktor F,
nach der Berechnung (c-v) * F = ZD = (c+v) / F
(v=c*x, ZD=Zeitdilatation)
(Natürlich hat die untersucung mehr mit dem Kreisbogen und Pythagoras zu tun, als mit der SRT, es könnte auch c=Hypothenuse, v=Ankathete und ZD = Ggenkathete heißen.)
Mittelwertfaktor:.... Phi
v :......................... Wurzel(0,2)
ZD:....................... Wurzel(0,8)
Steigung m:........... 2
Mittlewertfaktor:.... Wurzel(2)
v:..........................1/3
ZD:....................... Wurzel(2^3/3^2)
Steigung m:........... 2*Wurzel(2)
Mittelwertfaktor:.... 1+Wurzel(2)
v:.......................... Wurzel(1/2)
ZD:....................... Wurzel(1/2)
Steigung m:.......... 1
Ich weiß nicht ob man diese Werte tatsächlich als Anzeichen für eine Symmetrie betrachten kann, erstaunlich sind zumindest Verwandtschaften zwischen irrationalen Zahlen, z.B. Phi und Wurzel(2) und 1+Wurzel(2).
Es stellte sich z.B heraus, dass der halbe Winkel der Steigung m=2 (63,4249/2=31,71747..), dass dieser Winkel eine Steigung von m=Phi-1 hat.
tan(arctan(wurzel(2)/2)) = Phi -1)
.. dass der Multipliationsfaktor F=Phi, die Steigung 2 hat
während der Multiplikationsfaktor Wurzel(2)+1 hat die Steigung 1
Gruß Merman
Hi merman
Ohne den physikalischen Klimbim waere der Sachverhalt vielleicht noch deutlicher zu sehen. So etwas kann man dann ja spaeter noch untersuchen. Wenn man erkannt hat ob sich hier ueberhaupt etwas bemerkenswert Neues ergibt. Das ist in den seltensten Faellen zu erwarten. Aber was man immer erwarten kann ist, dass man fuer lang bekannte Zusammenhaenge eine neue Sichweise erhaelt. Zum Beispiel in der Form, dass du den Kreis den Betrachtungen hinzugefuegt hast und damit Zusammenhaenge zu den trigonometrischen Funktionen mit einbezogen hast. Rein aus Erfahrung wuerde ich meinen, dass man mit deiner Erweiterung nun widerum ein besseres Verstaendnis fuer das Sechseck und damit die dichteste Kugelpackung erreichen koennte. Denn dass beim Sechseck sich der Radius genau sechs mal am Umfang als Sehne abtraegen laesst liegt genau an einem Zusammenhang zwischen Transzendenz und Irrationalitaet. (Uebrigend eine schoene Uebungsaufgabe)
Mir faellt gerade auf. Die Sehne hast du schon berechnet. In der menman DZGL.
Und das Sechseck und die dichteste Kugelpackung ergibt dann den Anschluss an die Physik, denn diese verkoerpern Optimierungsprinzipien. Aber das bringt ausser fuer einem selbst meist wenig, da die wenigsten Physiker in der Form einen Zugang zur Natur haben. Kopernikus war eine der genialsten Ausnahmen.
Einen noch tieferen Einblueck wuerde ich mir davon versprechen, wenn man die Frac Regel (Falls frac(x)=frax(1/x) dann ist x irrational) direkt geschickt anwendet. D.h. die Eigenschaften der gleichen Dezimalstellen z.B. auf einen fundamentalen anwenden. Zuvor etwas ueben und Erfahrund damit sammeln. Dann koennte man diesen in einer anderen Sichtweise verstehen. Das wuerde zu Reihensummen fuehren. Die Dezimalstellen waeren die Koeffizienten der Reihe. Davon koennte ich mir aus dem hohlen Bauch heraus sogar etwas versprechen. Voellig Neu ist so etwas nicht aber halt im Ramanuj Stil und daher wenig gebrauchlich.
Wie du siehst geht einem mit der Mathematik nie das Spielzeug aus. :-)
Die Zusammenhaenge bei deinem konkreten Beispiel sehe ich leider noch nicht so ganz genau. Kannst du die Steigung mal als konkrete Gleichung der anderen Variablen angeben ? Mit v=0.2 meinst du sicherlich v=0.2*c0. Man koennte c0 auch praktischeweise zu 1 normieren.
Kannst du das Beispiel mit dem goldenen Schnit mal mit Grafik und mathematischer Variablenbezeichnung kurz durchrechnen ? Dann liefere ich auch die Exp(1) Landkarte nach. Ich wollte eigentlich fuer diese zuerst einige Vorhersagen erstellen. Nicht ganz einfach weil der Kettenbruch nichtregulaer ist. Aber aufgrund gewisser Vorkomnisse beschaeftige ich mich momentan lieber mit der italienischen Sprache anstatt Mathematik. Von Physik ganz zu schweigen.
Gruesse
Konkret :
Vielleicht ging folgender Sachverhalt etwas unter :
Der Wert fib(k+1)/fib(k) konvergiert gegen den Wert folgender Iteration :
z(k+1)=a+1/z(k), z(0)=1
und damit gegen
z=1/2*(a+-Wurzel (a^2+4))
Fuer a=2 somit zum Beispiel gegen 1+Wurzel(2)
Daraus folgt der einfache Sachverhalt :
1+Wurzel(2) ist die Loesung des Polynoms x=2+1/x
Und dass dies ein Polynom ist sieht man durch einfache Multiplikationder Gleichung mit x.
In der "sehr hohen Mathematik" :-) zeigt sich, dass dieses Polynom mit dem Parameter a die charakteristische Gleichung der allgemeinen Fibonacci Gleichung darstellt. Mit der Fib Folge habe ich im letzten Beitrag Wurzel(2) (a=2) sehr einfach berechnet.
Die Folge muesste auch im DZGL Katalog enthalten sein :
http://www.quanten.de/forum/showthread.php5?t=2083&page=2
Noee, die DZGL fehlt. Muss ich nachtragen
Der Katalog ist auch noch lange nicht fertig und bei der mersenne Kette muesste ich mal nachhaken. Wobei der Zusammenhang zwischen Mersenne Primzahlen und Fibonacci Zahlen exorbitant kompliziert ist. Ich hab auch nur einen Typen im ganzen www gefunden, der sich damit etwas beschaeftigt.
Ich hab grad ne Idee :
Zuerst noch ne Anmerkung Info :
Da die Fib DZGL linear ist laesst sie sich problemlos loesen. Der Quotient zweier aufeinandrefolgenden Fib Zahlen mit den Loesungen L[k+1] und L[k] (der gegen g oder fuer a=2 gegen 1+Wurzel(2) konvergiert) stellt war eine nichtklineare DZGL, aber diese ist einfach der Quotient der zwei Einzelloesungen L[k+1]/L[k]. Hier mal in Gemaeldeform :
http://home.arcor.de/richardon/2011/maple4.gif
Die gibt es auch in Exponentialschreibweise.
Das nur zu deiner Info, falls dich folgendes auch interessiert.
Wie waere es wenn wir die Dezimalstellen von 1+Wurzel(2) moeglichst einfach sukzessive erzeugen koennten ? AUsgangspunkt waeren die Brueche der Fib Folge fur a=2 (Ich nenn die ab sofort Fib2). Ich habe noch keine Loesung aber ein Puzzelstueck fuer einen Plan.
Die Frac Aussage ohne irrational Aspekt basiert ja auf der Gleichung x=2+1/x
Wie waere es wenn wir nicht Fib2[k+1]/Fib2[k] betrachten, sondern wie sich unsere Iteration verbessert ? Also
delta=Fib2[k+1]/Fib2[k] - Fib2[k]/Fib2[k-1]
Edit : Folgendes fuehrt zu nichts
Wenn wir das in der Form auf den Hauptnenner bringen ist das unhandlich ...
/Edit
Ansonsten wissen wir schon mal in welcher Genauigkeitsordnung unser Naeheungsbruch liegt und ab wieviel Stellen wir die Kommastellenreihe abbrechen koennen. Da wir alle Loesungen kennen koennen wir den Ausdruck auch als Zehnerpotenz schreiben und eine direkte analytische Angabe darurber machen ! Sicherlich ein Horrorausdruck, aber wozu gibt es Maple.
mermanview
16.03.12, 13:16
Hallo richy,
ich habe im Dialog mit "Ich" ein wenig auf den Putz gehauen,
..habe von der Verwandtschaft zwischen 2 und Phi gesprochen, bzw. zwischen Wurzel 2 und Phi.
Es bestehen tatsächlich verwandtschaftliche Verhältnisse, aber über den Umweg der Steigung m, die man jedem Winkel zuordnen kann.
Drauf gekommen bin ich durch meine Entdeckung eine Gegen-Kathete (y) mit einem Multiplikationsfaktor zu berechnen, quasi mit mutliplikatorischer Mittelwertsuche, ich nenne es Mittelwert 2. Ordung:
Und klar geht es hier eher um Pythagoras und Kreis als um SRT, also:
Hier:
Hypothenuse . = c . =1 (Lichtgeschwindigkeit)
Ankathete ......= v . = z.B. 0,8(*c)
Gegenkathete = ZD = 0,6 (Zeitdilatation)
Der verbindende Faktor wird hier x genannt.
(1-0,8) * x = ZD = (1+0,8) / x
x=Wurzel((1-0,8)/(1+0,8)) = 3
(1-0,8) *3 = 0,2 * 3 = 0,6
0,2* = 0,6 = 1,8/3
Mir kam die Idee den Spieß umzudrehen und den Faktor selber zu wählen, und alles andere von diesem verbindenen Faktor abzuleiten:
Ankathete = (x^2-1)/(x^2+1)
Gegenkathete = (1-v)*x
Bei den daraus folgenden Tabellen tauchten u.a.bei den irrationalen Zahlen W2 und Phi und ihren Ablegern Auffälligkeiten auf:
Beispiele:
Abkürzungen:
AK = An-Kathete
GK = Gegen-Kathete
m. = Steigung Gegenkathete/Ankathete = y/x
x.. = verbindender Faktor x
AK = 1/3 -> hat den verbindenen Faktor Wurzel(2)
GK = 2/3 -> hat den verbindenden Faktor Phi+1
m = 2 hat den verbindenden Faktor Phi-1
m = 1 hat den verbindenden Faktor W(2)+1
(m = 7 hat als Ankathete W(2)/10 ?!)
Alle Verwandten von Wurzel(2) belegen als Steigung die symmetrischen Punkte 22,5°, 45° und 67,5°
bei gem. Faktor x = Phi-1 ist v= Wurzel(0,2) und GK ist Wurzel(0,8)
AK = Wurzel(0,2) hat eine Dilatation von Wurzel(0,8)
1-W(0,2) * (Phi-1) = W(0,8), warum auch immer
usw.
Ich suche derzeit noch nach einer Möglichkeit, das alles graphisch optimal, auf einen Blick darzustellen.
Ob ich da etwas entdeckt habe, was für die Welt neu ist, ist mir zunächst nicht so wichtig.
Es macht Spass, weil es für mich neu ist und neue "Spaziergänge" ermöglicht, Sightseeing in Zahlenräumen.
Wenn ich EMI poste "Mist, .. wieder kein Nobelpreis" und er antwortet " Nein merman, bestimmt nicht",
dann bin ich nicht sicher ob er's verstanden hat, .. sei versichert, ich habe großen Spass an meinen kleinen Entdeckungen,
... bin dann aber basserstaunt, wenn mir geantwortet wird, dass ich mich auf den Weg "ausgeleierter Mittelwertstheorie begebe", die von "übelsten Einstein Gegenern" vertreten wird.
Interessant ist die Untersuchung des multiplikatorisch verbindenen Faktors x auch deshalb,
weil er weitere Berechnungen keine Wurzel enthlten, wenn man diesen als Uasgangsbasis verwendet.
Zudem müsste ein verständlicher "Name" für diesen Faktor gefunden werden, (ich vermute in der Mathematik gibt es den bereits).
Ich hoffe die kleine Beispiele oben, plus Rechenwege, verdeutlichen die Einfachheit meiner Gedankengänge.
Gruß Merman
Hi merman
ich habe im Dialog mit "Ich" ein wenig auf den Putz gehauen,
..habe von der Verwandtschaft zwischen 2 und Phi gesprochen, bzw. zwischen Wurzel 2 und Phi.
Warum auf den Putz gehauen ? Natuerlich sind 1+Wurzel (2) und Phi=1/2*(1+Wurzel(5)) eng miteinander verwandt. Das stelle ich doch die ganze Zeit hier dar. :-)
Phi ist die irrationalste aller Zahlen.
1+Wurzel(2) ist die zweitirrationalste aller Zahlen. EDIT (ohne noble Zahlen)
Beides im Sinne von Louville.
Beides sind Loesungen der charakteristischen Gleichung einer verallgemeinerten Fibonacci Folge die man auch als allgemeine Lukas Folge bezeichnet.
http://de.wikipedia.org/wiki/Lucas-Folge
Phi :
p[k+2]=p[k+1]+p[k] , p[0]=p[1]=1
1+ Wurzel(2) :
p[k+2]=2*p[k+1]+p[k] , p[0]=p[1]=1
Die Lukasfolge von 1+Wurzel(2) wird auch als Pell Folge bezeichnet :
http://de.wikipedia.org/wiki/Pell-Folge
Und schau mal auf das Datum : 1611
Jetzt aber mal zu deiner Variante. (Leider ohne Zeichnung)
Die SRT interessiert mich uebrigends so gut wie gar nicht. Ist ja auch kein SRT Forum hier sondern ein Forum zur Quantenmechanik.
(1-0,8) * x = ZD = (1+0,8) / x
Ok und die 0.8 stellen wohlk v=0.*c0 dar und ZD ist dann der Gammafaktor ?
Nee stop. Das ist einfach Pythagoras. .
Hypothenuse . = c . =1 (Lichtgeschwindigkeit)
Ankathete ......= v . = z.B. 0,8(*c)
Gegenkathete = ZD = 0,6 (Zeitdilatation)
Ok, ich zeichne es mir gerade auf :
c**2 = v**2 + ZD**2
sin(Winkel)=ZD/c
Deine Ausgangsgleichung nun allgemeiner :
(1-v) * x = ZD = (1+v) / x
Aeeeehem das sind drei Gleichungen .
1) (1-v) * x = (1+v) / x
2) (1-v) * x = ZD
3) (1+v) / x = ZD
Nehmen wir 1)
Das ergibt 2 Wurzeln als Loesung : x=p(v)
Das willst du wohl eher nicht.
Ich wuerde mal vorschlagen ZD zu eleminieren :
zd=Wurzel(c**2-v**2)=Wurzel(1-v**2)
In 2)
2) x = Wurzel(1-v**2)/(1-v)
Und nun ? Wie kommst du auf 1+Wurzel(2) ?
Gruesse
(c-a) * x = b = (c+ a) / x in etwa
a = (x^2-1)/(x^2+1)
Ok ich rate mal :
c=1
Und v ist nun a und b=ZD somit
b=Wurzel(1-a**2)
(c-a) * x = b
(1-a) * x = Wurzel(1-a**2)
(1-(x^2-1)/(x^2+1)) * x = Wurzel(1-a**2)
Das sind zwei Loesungen fuer x die ganz gut aussehen :
x1=1/2/(-1+a^2)*(-2*(1-a^2)^(1/2)+2*(a^2-a^4)^(1/2)),
x2=1/2/(-1+a^2)*(-2*(1-a^2)^(1/2)-2*(a^2-a^4)^(1/2))
Fuer Wurzel(2) erhalte ich a=1/3
aber fuer 1 + wurzel2) a=Wurzel(2)/2
Das isses irgendwie noch nicht
Du musst einfach zielgerichteter vorgehen. Von Anfang an muss klarstehen. Ich stecke etwas in die Gleichung rein : in Und moechte sehen was ich erhalte out.
out=f(in)
Dir liegt irgenderin Ansatz mit mehreren Variablen vor aber dafuer mehreren Gleichungen. Mit jeder Gleichung eleminiertst du eine Hilfsvariable. Und dann koente ich deine Rechnung ganz einfach nachvollzienen. Oder eine Zeichnung halt.
mermanview
16.03.12, 22:46
hallo richy,
sorry,
(ich habe meinen eigenen Beitrag nachträglich nur halb editiert, und in der üblichen verdammten Eile die Hälfte der vorigen Variabeln nicht gelöscht/ umgeschrieben)
um es abzukürzen
Ich schlage zur Verständlichkeit vor a, b und c
abgeleitet von der Darstellung der Pythagorasgleichung: a² + b² = c²
Für den verbindenden Faktor schlage ich (im Moment) x vor, so dass gilt:
(c-a) * x = b = (c+a) / x
aufgelöst nach x:
x = Wurzel((c+a) / (c-a))
Am Besten mit der Hypotenuse c = 1:
x = Wurzel((1+a) / (1-a))
Wenn man nun a und b von x ableiten möchte, wenn also der verbindende Faktor x gegeben sei,
dann erhält man für interessante Betrachtungen (und verliert gleichzeitig die Wurzel):
a = (x²-1) / (x² +1)
b = (1 -a) * x
Ich betrachte dabei auch die Steigung m (arctan(b/a), b/a = y/x, =Höhe/Länge, =Gegenkathete/Ankatehte)
Beispiel:
gegeben sei : x = Phi
a = Wurzel(0,2) = 0,447213595499958
b = Wurzel(0,8) = 0,894427190999916
m = 2
(.. (1-W(0,2)) * Phi = W(0,8) = (1+W(0,2)) / Phi ..)
Für vergleichende Untersuchungen verwende ich zunächst für x die gegebene Reihe:
1/Pi, 1/Euler, W(2)-1, Phi-1, 1, W(2), Phi, 2, W(2)+1, Phi+1, Euler, 3, Pi, 4 ... 10
Die Ergebnisse sind interessant genug um auch für a und b irrationale Zahlen einsetzen zu wollen, und: ich komm grad drauf, hehe: auch für c.
Naja, ich wünsch dir erstmal viel Erfolg mit "bella Italia".
... illuminosi squardi di raggazzi inamorate ...
ciao
Merman
Hi merman
Aufgabenerfassung
**************
(ich habe meinen eigenen Beitrag nachträglich nur halb editiert, und in der üblichen verdammten Eile die Hälfte der vorigen Variabeln nicht gelöscht/ umgeschrieben)
Es hat dennoch per Raten gepasst, nur man wusste nicht auf was du hinauswillst. Jetzt ist es aber klar denke ich. Du loest nach a auf, nicht nach x :
Und das sieht schonmal interessant aus.
a = (x²-1) / (x² +1)
(und verliert gleichzeitig die Wurzel):
he he. So mancher Hobbymathematikus eines anderen Forums waere froh wenn er durch Quadrieren eine Wurzel verloren haette. Das Betragsquadrat genommen haette. Ist also prima, dass sich Wurzel aufloest.
An der naechsten Stelle muss man wie bei dem Hobbymathematikus wieder etwas raten :
Ich betrachte dabei auch die Steigung m (arctan(b/a), b/a = y/x, =Höhe/Länge, =Gegenkathete/Ankatehte)
Das mache ich sicherlich auch mal. In Klammer eine Erklaerung hinzuzufuegen, aber das darf den Sinngehalt nicht beeintraechtige. Man weiss nun immer noch nicht ob gilt :
m=arctan(b/a) ?
Vegleichen wir das mal mit dem Hobbymathmatikus :
http://www.quanten.de/forum/showthread.php5?t=2185
I) Nimm v, w ∈ ℂ
II) Addiere jene symbolisch und errechne den Betrag der Summe (|z| = sqrt(z*.z) f. z ∈ ℂ).
Das ist richtig uebel und mit hoechster Sicherheit wollte er ebenso in Klammer eine Erklaerung hinzufuegen. Eine Klammer kann alles moegliche darstellen. Ich muss mal nachschauen, ob mir in meinen Spaghettigleichungen auch solche Klammern vorkommen. Denke eher nicht. In einem bin ich mir sicher, dass ich zum Beispiel nie ein Ausrufezeichen hinter eine Zahl setzte wie
"Man sieht doch. Das ergibt 5 !"
Warum nicht ? Man darf mathematische und sprachliche Schreibweise nicht so mischen, dass das Ergebnis mehrdeutig, unlogisch wird. 5 ! koenne auch fuenf Fakultaet bedeuten.
Aber ok, in deiner aktuellen Erklaerung ist es im Grund klar und ich bin gespannt auf dein Beispiel.
gegeben sei : x = Phi
Und du gibst dein Ziel an :
Berechne : a(x) und b(x)
1)
a(x) = (x²-1) / (x² +1)
*****************
a(x)=(1+Wurzel(5))/(5+Wurzel(5)) = 4472135957
Ja das hat Aesthetik. (Unsere Programme unterscheiden sich bezueglich Genauigkeit)
Jetzt noch b(x)
Da sehe ich keine explizite Formel aber ich ahne mit Pythagoras geht das :
a² + b² = 1²
b² = 1-a²
2 a)
b(x) = Wurzel(1-a²(x))
******************
Na das koennen wir auch in 1 einsetzen :
2 b) ...
Das gibt etwas komplizierteres aber ich stimme mit deinem Ergebnis ueberein !
Und nun der letzte Schritt. Du berechnest m=arctan(b/a)
Noe. Am Wort Steigung haette ich es bemerken muessen. Ich lasse das Missverstaendnis mal dokumentiert. Richtig ist also :
m=b/a
*****
Und tatsaechlich erhaelt man m=2
Das war nicht unbedingt zu erwarten. Und du kannst dies auch in einem Winkel ausdruecken :
alpha=arctan(m)
*************
Also m=2 kann doch kein Zufall sein. Aber bei Phi ist alles drin. Wir haben im Moment alles schoen beisammen :
ZUSAMMENFASSUNG
***************
******************
b(x) = Wurzel(1-a²(x))
a(x) = (x²-1) / (x² +1)
m=a(x)/b(x)
alpha=arctan(m)
******************
2b) zeigte, dass es unguenstig wird a(x) in die b(x) Gleichung einzusetzen.
Also schreibe ich b(x)/a(x) mal einfach wie folgt :
m=b/a=b(x)=Wurzel(1-a²(x))/a(x))
oder kuerzer
m=Wurzel(1-a²)/a
**************
Tipp : Der goldene Schnitt ist die Loesung eines Polynoms. Aber merke dir den goldenen Schnitt stets in der dazu voellig identischen Fibonacci Form :
Die Loesung von
x=1+1/x ist gleich Phi und daher gilt :
Phi=1+1/Phi
und ebenso
Phi-1=1/Phi
denn diese Form stellt die grundlegenden Eigenschaften von Phi sofort dar.
Ok, was geht da vor sich, dass man m=2 erhaelt ?
m=Wurzel(1-a²)/a
wir ziehen a in die Wurzel ueber
m=Wurzel(1-a²)/Wurzel(a²)
m=Wurzel( (1-a²)/a²)
und zerlegen dies in die Summanden
m=Wurzel( (1/a²-1)
Die grundlegende Form von Phi nuetzt mir nun doch gerade wenig. Ich sehe aber, dass diese am Ergebnis beteiligt ist.
Wenn gilt m=2, dann ist das Argument der Wurzel gleich 4 und das ist 5-1
Somit 1/a²=5
Ich kann dir jetzt schon sagen. Da hast du etwas ausgegraben, das algebraisch keinesfalls trivial ist ! Etwas sehr interessantes !
Aber step by step !
Um nichts zu verwechseln. a ist nicht der goldene Schnitt sondern eine Funktion desselben.
a(Phi)=(Phi²-1) / (Phi² +1)
Der Kehrwert ist dann :
1/a(Phi)=(Phi²+1) / (Phi²-1)
und wenn 1/a²(phi) gleich 5 muss dieser Kehrwert gleich Wurzel(5) sein.
Warum ? Ich habe noch keine Ahnung.
Au backe das ist zu hoch fuer mich :
Denn (Phi²+1)/(Phi²-1)=(5+Wurzel(5) ) / ( 1+Wurzel(5) )
Und das soll Wurzel(5) sein ? !!!
Ja das ist eine alternative Darstellung von Wurzel(5) die mir nicht bekannt war :
Testen wir :
Wurzel(5)=(5+Wurzel(5) ) / ( 1+Wurzel(5) )
Wurzel(5)+5=5+Wurzel(5)
Also das muss ich erstmal bischen verdauen.
Auf jeden Fall schon mal super deine Beobachtung
Gruesse
Zusammenfassung :
***************
Nun also mal ohne relativistisches und Rate Beiwerk :
Wir betrachten folgende Gleichungen :
b(x) = Wurzel(1-a²(x)), (Pythagoras)
a(x) = (x²-1) / (x² +1), (Eine spezielle Proportion, aehnlich der Moebiustransformation)
m=a(x)/b(x), (eine Steigung)
alpha=arctan(m), (einen Winkel)
kurz :
b(x) = Wurzel(1-a²(x))
a(x) = (x²-1) / (x² +1)
m=a(x)/b(x)
Beobachtung :
***********
Wir stellen fest, dass fuer spezielle Zahlenwerte (Lukasformen) wie der goldene Schnitt der Ausdruck m charakteristische Werte, wie zum Beispiel ganzzahlige Werte liefert :
Fuer den goldenen Schnitt erhalten wir m=2 was keinesfalls trivial zu erwarten waere.
Fuer die zweitrationalste Zahl 1+Wurzel(2) erhalten wir ebenso ueberraschend m=1
Anm: 1+Wurzel(2) ist keine noble Zahl. Wurzel(13) ist dagegen eine periodisch noble Zahl und moeglicherweise irrationaler als 1 + Wurzel(2) und somit die zweitirrationalste aller Zahlen. Mit der Wurzel(13) hat sich natuerlich schon Euler beschaeftigt :
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/50/Euler_problemate_Pelliano.jpg/350px-Euler_problemate_Pelliano.jpg
Kettenbruch der Quadratwurzel von 13 in Eulers De usu novi algorithmi in problemate Pelliano solvendo von 1767
http://de.wikipedia.org/wiki/Kettenbruch
Porta aperta per chi porta, e chi non porta parta pure, poco importa.
Vermutung
********
Es muss fuer m=ganzzahlig ein Zusammenhang bestehen fuer die Mermanproportion a(x) zu der Ordnung der Irrationalitaet der Zahlen x gemaess Louville. (Noble Zahlen ausser Phi ausgeschlossen)
Rueckblende :
**********
Eine spezielle Klasse in der Irrationalitaet der Zahlen bilden die Zahlen, die sich anhand der Loesung folgendes Polynoms ergeben :
1)
*******************
x=p+1/x, p element N
*******************
Die entsprechende allgemeine Lukasfolge dazu habe ich bereits angegeben.
Nennen wir diese Zahlen Lukas_p Zahlen !
Die Lukas_p Zahlen sind Loesungen des Polynoms 1) und daher von folgender Form :
x1=1/2*p+1/2*Wurzel(p^2+4)
x2=1/2*p-1/2*Wurzek(p^2+4)
Es gibt jeweils zwei Lukas_p Zahlen die die Gleichung 1 erfuellen.
So spricht man sowohl fuer
Phi = 1.6180339887498948482
als auch fuer
phi = -0.61803398874989484820
vom goldenen Schnit. Teilweise auch etwas unsachgemaess fuer
phi = 0.61803398874989484820
Wir betrachten im Folgenden nur den Hauptwert der Loesung der Lukas_p Zahlen.
lukas_p = 1/2*( p+Wurzel(p^2+4) )
***************************
NUMERISCHE EXPERIMENTE :
*********************
V1)
Wir bestimmen die Lukas_p Zahlen fuer p=1..12
for p from 1 to 50 do
simplify(1/2*p+1/2*(p^2+4)^(1/2));
od;
http://home.arcor.de/richardon/2012/lukas1.gif
(10 + Wurzel(101) ist auch goil)
V2
Wir berechnen allgemein die "Mermansteigung" m der Lukas_p Zahlen :
Maple Code allgemein :
ls:=solve(x=p+1/x,x):
x:=ls[1];
a:=simplify((x**2-1)/(x**2+1));
b:=simplify(sqrt(1-a**2));
m:=simplify(b/a);
Allgemeine Loesungen :
http://home.arcor.de/richardon/2012/lukas2.gif
Es ergeben sich verschachtelte unhandliche Wurzelausdruecke. Eventuell muessen wir hier Graf Maple mit etwas gesundem Menschenverstand noch etwas unter die Arme greifen.
V3
Wir simulieren nun numerisch die Mermansteigung der ersten 12 Lukas_p Zahlen und ich halte es vor Spannung kaum mehr aus :-)
Mist und gerade als ich alles fertig hatte ist Maple abgestuerzt ...
Na aber das darf man sich auch bischen auf der Zunge zergehen lassen. Ohne Eile.
Auf den arcustangens bin ich auch schon gespannt. Das wird richtig gut !
Perché ti servi di una serva che non serve? Serviti di una serva che ti serve, e la serva che non ti serve, mandala a servire da chi serve una serva che non serve.
@merman
Super deine Transformation ! Weil jede Menge Geometrie drin steckt. Die moechte ich natuerlich im naechsten Schritt auch noch erkennen.
Und hast du den Unterschied zwischen Physik und Mathematik schon erkannt ?
Schon wenn man a,x,c mit c=1 schreibt statt v,ZD,c0 ist es ein Unterschied.
mermanview
17.03.12, 15:09
Nachlieferung:
Die eigentlich zu Grunde liegende Formel lautet:
(1-a) * x = b = (1+a) / x
Wenn x gegeben ist, dann ist:
a = (x^2-1) / (x^2+1)
und
b = (1-a) *x
... man braucht keinen Pythagoras, solange x gegeben ist, somit auch keine Wurzelbehandlung im zweiten Rechenschritt, um b zu erhalten !
MAPLE kann es hierbei ein wenig langsamer angehen lassen.
Das ist der eigentliche Gag an der Gleichung: Ein gemeinsamer Faktor verbindet multiplikatorisch (1-a) und (1+a) mit b !
Andere Darstellung:
0,2 * 3 = 0,6 ....und .....0,6 * 3 = 1,8
0,2 = 1-0,8
1,8 = 1+0,8
(und 0,6 = Wurzel(1-0,8^2), brauchen wir aber hier nicht, da sich alles von x ableiten lässt, ..Alles, ..ohne Wurzeln!)
(Und natürlich hast du recht:
Das von mir weiter oben erwähnte "(arctan(b/a)" diente natürlich dazu, aus der Steigung m einen Winkel zu machen.)
(hab noch nicht alles gelesen,verarbeitet)
PS:
Das Unterstreichen und "fett_gedruckt_Schreiben" nicht falsch verstehen, ich weiß wie ich selber lese.
Bei Zeitmangel bzw. großer Lesemenge, erkennt man so schneller die wesentliche Anteile.
Gruß Merman
Hi merman
Das Unterstreichen und "fett_gedruckt_Schreiben" nicht falsch verstehen, ich weiß wie ich selber lese.
Ne das ist ne prima Idee. Werde ich wohl uebernehmen.
Hier nochmal meine Gleichungen
b(x) = Wurzel(1-a²(x))
a(x) = (x²-1) / (x² +1)
m=a(x)/b(x)
Jetzt meinst du
... man braucht keinen Pythagoras, solange x gegeben ist, somit auch keine Wurzelbehandlung im zweiten Rechenschritt, um b zu erhalten !
Warum hast du dann Pythagoras angegeben ? Na ja egal. Sicherlich weil beides gueltig ist. Dann ergaebe sich
b=(1-a)*x
b=Wurzel(1-a²)
(1-a)*x=Wurzel(1-a²)
Und die Loesung dazu ist a(x) = (x²-1) / (x² +1)
Also ist der Pythagoras tatsaechlich gleichwertig aber komplizierter
Und fuer dein m=b/a
gilt sowohl
m=(1-a(x))*x/a(x)
als auch
m=Wurzel(1-a²(x))/a(x)
Es aendert sich wenig. Und nur in der Form dass alles einfacher wird :
ls:=solve(x=p+1/x,x):
x:=ls[1];
a:=simplify((x**2-1)/(x**2+1));
b:=simplify((1-a)*x);
m:=simplify(b/a);
http://home.arcor.de/richardon/2012/lukas3.gif
Und m brauche ich nun doch nicht simulieren denn das Ergebnis ist einfach :
m=2/p
Enttaeuscht ? Ich meine es ist noch interessanter weil noch klarer. Und wir haben kostenlos einige Zusammenhaenge gefunden weil beides gilt. So ist der komplizierte Wurzelausdruck in m oder b fuer alle p gleich 1. Seltsam dass Maple dies nicht vereinfachen konnte :
http://home.arcor.de/richardon/2012/lukas4.gif
Gruesse
Allgemein (ohne Rechnung) gilt fuer jedes x deiner Geometrie :
a/b=2*x/(x**2-1)
a=2*b*x/(x**2-1)
Aber fuer die Lukas Zahlen (hier p=1..12) ...
http://home.arcor.de/richardon/2012/lukas1.gif
... ergibt sich der weitaus einfachere Zusammenhang :
a/b=2/p
oder
a*p=2*b
Das ist formal einfach aber kann nicht trivial sein ! So etwas ist immer besonders gut.
Mach doch bitte eine Zeichnung. Das moechte ich jetzt unbedingt auch sehen !
Und das hat sicherlich eine Bedeutung in der Relativitaetstheorie. In Form moeglichst einfacher Verhaeltnisse fuer "Lukasgeschwindigkeiten" :-) Was ist das denn fuer ein komisches Mittelwertsargument der RT Gegner ? Mich interessiert dies in der Regel ja nicht.
SRT
***
Der Hauptwert der Lukaszahlen ist groesser 1
Der Nebenwert der Lukaszahlen ist kleiner 0
Beides eignet sich nicht als Faktor fur v=x*c0
Eine Zahl zwischen 0 und 1 erhaelt man indem man p von der Lukaszahl abzieht
Im obigem Bild bedeutet dies lediglich, dass die Kostante ohne Wurzel negativ wird
Beispiel Wurzel(2)-1 statt Wurzel(2)+1
=> der Nachkommastellenanteil ist gleich. Logisch denn frac(L(p)-p)=frac(L(p)) da p element N
Fuer m gilt dann einfach m=-2/p
Diese Lukaszahlen haben nunmal solche verrueckte Eigenschaften
Diese neuen Lukalszahlen L(p)-p bilden eine schoene Kurve die gegen Null strebt.
Das Intevall 0..1 waere somit vielleicht ein besserer Sparring fuer den Irrationalitaetswettbewerb. Es zaehlt nur der Nachkommastellenanteil !
Gruesse
BTW
Die charakteristische Gleichung der modifizierten Lukasfolge lautet :
Lm=-p+1/Lm
mermanview
20.03.12, 22:14
Hallo richy,
x=Phi macht m=2
... das Geheimnis ist gelüftet:
Bei Versuchen der graphischen Veranschaulichung stellte sich heraus:
Wenn man die Pythagorasformel a²+b² = c² folgendermaßen umformt:
(1-a)*x = b = (1+a)/x
x.......... = (wurzel((1+a)/(1-a))
a.......... = (x²-1)/(x²+1)
b.......... = (1-a)*x
m......... = b/a
folgt daraus:
m......... = (a-1)/a *x
m hängt also hauptsächlich (1-a)/a ab !
Bei x = Phi war erstaunlicherweise m = 2
Erklärung leider doch sehr einfach:
bei x = Phi gilt:
a......... = Wurzel(1/5)
(1-a)/a = 2*(Phi-1)
m........ = (1-a)/a * x
........... = 2*(Phi-1) * Phi
........... = 2 * 1
........... = 2
Genau so verhält es sich mit den anderen Zahlen:
Da m von (1-a)/a abhängt, entstehen immer dann scheinbar auffällige Verwandtschaften,
wenn diese bereits durch a und (1-a) vorgegeben wurden.
Somit ist eher die Beziehung zwischen x und a zu hinterfragen.
Bei x = Phi und a=Wurzel(1/5) scheint die Sache klar, interessanter wird es bei:
x = Wurzel(2)..... a = 1/3
x = 2*Wurzel(2). a = 0,777777777
x = 7.................. a = 0,96
Des Weiteren fallen die lange bekannten Symmetriepunkte auf,
die Wurzel(2) und ihre Ableger (+/-1) im Kreisbogen besetzen: 22,5°, 45° und 67,5°.
Ungeklärt bleibt jedoch die interessante Feststellung:
m = 2... entspricht 63,43°
m = Phi-1 entspricht 31,71° = 63,43°/2
Vorher wussten wir: Steigung und Winkel verhalten sich nichtlinear unstet zueinander ,
jetzt wissen wir: Die Halbierung zumindest eines Winkels entspricht den Steigungen 2 und Phi-1.
Hier nochmal eine Übersicht, ich hoffe man kann alles erkennen:
http://img4.fotos-hochladen.net/uploads/phi2q8auy91x5z.jpg (http://www.fotos-hochladen.net)
Du fragtest nach dem Zusammenhang zur SRT, bzw. nach der Kritik an dieser Berechnung
RT/ SRT:
Ursprung zur Idee (1-a)*x = b = (1+a)/x war die Überlegung:
Wie kann ich mit simplen Ausgangsdaten die Dilatation der SRT berechnen?
Ausgangsdaten:
Bei v = 0,8*c habe ich theoretisch im Raumschiff................................. v(Licht) = 1,8*c (=1+0,8)
und wegen c=konst habe ich theoretisch abstrahlend vom Raumschiff.. v(Licht) = 0,2*c (=1-0,8).
Wie komme ich von diesen zwei unterschiedlichen Ausgangsdaten
zu einem gemeinsamen Faktor zur Dehnung der theoretischen v(Licht) ?
Da bot sich die mathematische Herleitung per Mittelwert 2. Ordnung:
Möglichkeit 1: Wurzel((1+0,8)*(1-0,8)) = gem. Faktor = 3
Möglichkeit 2: (1-0,8)*x = gedehnte v = (1+0,8)/x ............................(0,2 *3 = 0.6 = 1,8/3)
=> bei v = 0,8c ist x=3 und die "gedehnte Geschwindigkeit" = (1-0,8)*3 = 0,6c
EMI erklärte, dass ich mich auf den Pfad der "ausgeleierten" Mittelwertsberechnung übelster Einsteingegner begebe,
und Teilnehmer "ICH" meinte, dass diese Verwendung solch geometrischen Mittels in der SRT keinen Bezug habe.
Gruß Merman
Annahme :
Pi/2=limes n->00, ln(Im[(1/2+1/2*I)*(1/2-1/2*I)^n+(1/2-1/2*I)*(1/2+1/2*I)^n])
Nee, doch net *fg
mermanview
26.03.12, 15:27
Hi richy,
bei "Rücken" kenn cih die beiden Tricks:
Oberschenkel -hoher Karton o.ä. mit in's Bett, Beine rechtwinklig drauf, und Zeugen ausschließen (sieht dämlich aus), so dass das Gesäß mit seinem Gewicht die unteren Wirbel langsam auseinander zieht.
Keine Garantie, hat bei mir einmal geklappt. Anderer Trick: irgendwo an eine Kante hängen, so dass das untere Körpergewicht die Wirbelsäule streckt.
Bei Threadstress ...? hm, keine Ahnung, am besten gar nicht erst aufregen,das tun schon die anderen.
Also:Pi/2=limes n->00, ln(Im[(1/2+1/2*I)*(1/2-1/2*I)^n+(1/2-1/2*I)*(1/2+1/2*I)^n])
Nee, doch net *fg
Pi/2 soll der Grenzwert sein, n strebt als Exponent gegen Unendlich, und der Klammerterm ist die Basis zur eulereschen Naturkonstante ?, und was sind l und m,
gabz zu schweigen von *fg
Muss nun auf den Spielplatz, und somit in die Sonne, bis später, mein Dreijähriger steht neben mir und will dass ich den hier :cool: noch in den Text setze..
Bis später Merman
Hi merman
Danke fuer die Tipps. Hab sowas schon gehoert mit einem Schaumgummiwuerfel. Aber warum soll ein Karton schlechter sein. Bei mir hat es gestern nochmal 2 herrlich Schlaege gelassen. Sich den Arm brechen ist nix dagegen. Aber ich glaube da ist das Kreuzbein wieder reingerutscht. War also positiv. So langsam wird das.
zu Pi/2
Das war ein halber Irrtum. Das Pi kommt von der Mehrdeutigkeit des ln. Muss man somit selber berechnen. Im bedeutet Imaginaerteil. Warnur eine Idee. Manches fuehrt nicht weiter.
Diese Info String Methode hab ich noch graphisch etwas verbessert, so dass man tatsaechlich sieht, dass man eine Information benoetigt um zu den Anfangswerten zu gelangen. So ganz neu ist das auch nicht. Lediglich die Methode ist neu, super einfach und anschaulich.
Vorzeichenmuster der logistischen Gleichung r=1+Wurzel(5)
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/2012/info5_0.gif
Wie man sieht ist das primaer ein 2 er Zyklus des Vorzeichens. Der Informationsverlust betraegt ohne Einschwingphase gerade 2 Bit. D.h. hier herrscht hohe Ordnung. Und damit muesste der Lapujnovexponent sehr klein sein. Und das ist er auch. Sogar ein absolutes Minimum.
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/abb17.jpg
Manche betrahten den Ljapunovexponenten auch als Entropiemaß. Und wie man sieht passt es hier hervorragend. Wenn es noch irgendeine Chance gibt die Gleichung zu loesen dann bei 1+Wurzel(5) oder 1+Wurzel(8). Aber r=2 und r=4 sind insofern einzigartig, das die Nullstellen der zentrierten Polynome alle reell sind. Das lustige ist, dass die Rueckwaertsiterierte gerade diesen Nullstellen in der komplexen Ebene entspricht. Und da sieht man dies dann sofort. So gut wie keine Chance. D.h. jetzt kommt eine Anwendung dieser scheinbaren Informationsspielerei. Das hier sind die Nullstellen des 1 + Wurzel(5) Polynoms fuer alle moeglichen oder zufaelligen Vorzeichen :
http://home.arcor.de/richardon/2011/complex4.gif
Aber die Vorzeichen sind periodisch und damit ergibt sich ein einfacheres Bild :
http://home.arcor.de/richardon/2011/complex2.gif
Wenn du das Bildungsgesetz fuer diese Punkte bestimmen kannst dann hast du Verhulst fuer 1+Wurzel(5) geloest.
Vorzeichenmuster der logistischen Gleichung r=4
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/2012/info4_0.gif
Gruesse
Zu deiner Interpretation.
Die entspricht wohl auch meinem Weg. Ich habe einfach die allgemeinen Luskaszahlen eingesetzt. Da steht dann fest, dass diese ganzzahlige Verhaeltnisse liefern. Die spielen in der RT somit eine Rolle, dass sie zu numerisch einfachen Ergebnissen fuehren.
Diese Arctan Funktion vom Kreis ist wieder eine andere Geschichte. Der Winkel.
Da kann dir Kepler oder Euler und n-Ecke weiterhelfen. Eine "einfache" Charakterisierung von n-Ecken waere , dass das Fuenfeck den goldenen Schnitt in allen Varaitionen enthaelt. Das ist fuer ordnungsliebende Menschen somit das Boese :-) Ist natuerlich Quatsch. Man benoetigt beides. Chaos und Ordnung. Und der typische Ordnungsrepraesentant neben dem Viereck, Dreieck ist das Sechseck. Das entspricht der dichtesten Kugelpackung. Ebenfalls mit weitreichenden Konsequenzen in der Natur. Nicht nur fuer Schneeflocken :
Oh oh oh :-)
Ich denke eine Naeherungsloesung fuer 1+Wurzel(5) koennte drin sein :-)
Das ware keine Sensation aber nicht schlecht. Vor allem um zu sehen welcher naerungsweiser Struktur diese ist.
Kurz zurueck zum Ausgangsthema :
**************************
oder
Wie Richy zu seiner Fields Medallie kam :D
*******************************
Warum ist mir diese logistische Gleichung denn so ungemein wichtig ?
Seit ich die Loesung fuer den chaotischen Fall kenne ist sie wichtiger denn je. Denn nun laesst sich die Loesung auch als Verhalten eines nichtdiskretesierten Systems auffassen. Das ist in mehrfacher Hinsicht interessant. Denn der im numerischen Experiment gemessene Informationsverlust ist nicht nur auf diskretisierte Systeme beschraenkt sondern auch auf (recht exotische) kontinuierliche Loesungsfunktionen einfacher Systeme.
Folgende Aussage von mir war ein voreiliger Trugschluss :
Allerdings muesste man dazu die Gleichung noch einer Ralteil/Imaginaerteil Zerlegung unterziehen. Das ist aber problemlos. Und dann waere dieser sehr wichtige Zusammenhang gezeigt.
Falsch, denn die logistische Loesung ist im Gegensatz zur Fib Loesung fuer alle k reell.
Na dann sind wir fast schon fertig. Wobei ich gerade im Hinterkopf habe : Eine chaotische DGL muss im Gegensatz zu einer chaotischen DZGL die Ordnung 2 aufweisen. Moeglicherweise werde ich diese Behauptung, Annahme der Mathematik im folgenden widerlegen. Aber so einfach gibt es die Fields Medallie nicht. Richy sei schlafsam und bewusstlos *fg Hmmmm ... Yepp, das hatte ich mir ja alles schon ueberlegt.
Der Ausgangspunkt ist die chaotische Loesung der logistischen Abbildung fuer r=4
x(t):=1/2*(1-cos(2^t*arccos(1-2*x0)));
Wir haben zunaechst scheinbar 2 Chancen fuer die Fieldsmedallie :-)
Erstmal ist unsere Vorwaertsiterierte der DZGL voellig determiniert. Und daran aendert sich auch nichts wenn wir k, k element N statt diskret kontinuierlich annehmen. k=t, t element R. Das zeigt auch die Grafik der Loesung :
http://home.arcor.de/richardon/2012/v4.gif
Wenn wir nun aus der Loesung eine Differentialgleichung DGL konstruieren, so werden wir deren Loesung widerum angeben, aber kein Mensch wird diese dann als eine chaotische Loesung ansehen ! Das Chaos ist ja nur scheinbar und basiert auf der Abtastung ! Gemein.
Wir muessten zusaetzlich eine Abtastung implementieren deren delta wir als Grenzwert gegen Null streben lassen. Diese Chance ist erstmal auf Eis gelegt.
Die Rueckwaertsiterierte ist der weitaus interessantere mehrdeutige Fall. Dazu moechte ich zuerst nochmals die Nullstellen des Polynoms in der komplexenen Ebene fuer den Fall 4 darstellen. Fuer den Fall r=2 ist dies ein Schnoeder Punkt z=0.5. Fuer 1*sqrt(5) ergab sich ein fraktales Bild.
http://home.arcor.de/richardon/2011/complex4.gif
(Normalform)
Fuer r=4 sind dagegen alle Nullstellen reell !
(Zentrierte Form !)
> restart; with(plots): z:=rand(0..1): # z=Zufallszahl 0..1
> s:=0; r:=1+sqrt(9);
> N:=1000;
> for i from 0 to N do
> s0:=evalf(1/r*(r*(2*s+r-2))^(1/2));
> s1:=-evalf(1/r*(r*(2*s+r-2))^(1/2));
> zu:=z();
> if zu=1 then s:=s0 else s:=s1; fi;
> f[i]:=s;
> od:
> druck:=seq(f[i],i=0..N):
> complexplot([druck],style=point);
http://home.arcor.de/richardon/2012/r_4reell.gif
Jetzt wird es etwas einfacher aber richtig interessant ! Daher ein eigener Beitrag ...
Wie Richy zu seiner Fields Medallie kam :D
*****************************
Ok, bilden wir einfach die Umkehrfunktion von
x(t)=1/2*(1-cos(2^(t)*arccos(1-2*x0)));
...
1-2*x(t)=cos(2^t*arccos(1-2*x0));
arccos(1-2*x(t))+n*2*Pi=2^t*arccos(1-2*x0)
cos(2^(-t)*(arccos(1-2*x(t))+n*2*Pi) )=(1-2*x0)
...
1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*x(t))+n*2*Pi)))=x0
Die Variablen vertauscht man nun ebenfalls :
x(t)=1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*x0)+n*2*Pi)))
Dem spendiere ich eine Maple Darstellung, denn das wird heiss ! :-)
http://home.arcor.de/richardon/2012/fields1.gif
Die Fields of gold Medallie liegt schon in greifbarer Naehe :-)
Und ich werde im Gegensatz zu GRIGORI PERELMAN die Medallie natuerlich annehmen :D
Wie Perelman interessiert mich das Blech nicht, aber die 1000 000$
Rein formal sehen wir zunaechst, dass die Rueckwaertsiterierte formal fast voellig gleich ist wie die Vorwaertsiterierte. Lediglich der Ausdruck 2^(t) geht ueber in 2^(-t) und es kommen die Mehrdeutigkeiten in der Form n*2*Pi dazu.
Betrachten wir zunaechst den Fall n=0, x0=0.1
http://home.arcor.de/richardon/2012/fields2.gif
Naja wir sehen, dass fuer negative Zeiten die Funktion den Verlauf der Vorwaertsiterierten annimmt. @M.S. Richy hat also hier keinen Fluechtigkeitsfehler begannen he he.
Ansonsten strebt unsere Funktion recht langweilig fuer limit t->infinity gegen 0. Die Medallienkommission wird uns widerum nicht abkaufen, dass dies eine chaotische Funktion darstellen soll. Jetzt ziehen wir aber den Joker aus der Tasche :
"Meine Herren. Die DGL (die ich noch kurz herleiten muss) trifft keinerlei Aussage darueber, dass lediglich der Hauptwert der arccos() zu nehmen ist. Dies waere ein Anfaengerfehler. Es sind stets alle Loesungen zu betrachten !"
Nun gut. Berachten wir die ersten drei Nebenwerte :
> x_0(t):=(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*x0)+0*2*Pi))));
> x_1(t):=(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*x0)+1*2*Pi))));
> x_2(t):=(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*x0)+2*2*Pi))));
> x_3(t):=(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*x0)+3*2*Pi))));
> x_4(t):=(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*x0)+4*2*Pi))));
http://home.arcor.de/richardon/2012/fields3.gif
Auch dieses Ergebnis ist fuer mich ueberraschend und verblueffend. Der Hauptwert n=0 ist ein Spezialfall. Ansonsten schneidet die exponentielle Frequenzdaempfung anscheinend genau n Maxima aus der Kosinusfunktion.
Unabhaengig vom Startwert. Warum das denn ? Auf welchem mathematischen Zusammenhang basiert diese Phaenomen ?
Erfuellt nur n=0 den Anfangswert ? Nein natuerlich nicht :
http://home.arcor.de/richardon/2012/fields4.gif
Die Medallienkommission wird nun fragen :
"Welchen Nebenwert Wert sollen wir konkret betrachten ?"
richy : "Das steht ihnen voellig frei"
Die Medallienkommission wird nun argumentieren :
"Mein guter Herr, sie sehen doch, dass ein n-ter Nebenwert nur n Maxima der Kosinusfunktion widergeben kann. Zugegeben fuer hohe Werte von n koennen sie ein sehr grosses Zeitintervall uebersteichen, aber dann wird ihre angebliche chaotische Funktion monoton fallend gegen Null streben."
richy : " Zugegeben, das ist zutreffend. Aber es stehen beliebig viele Nebenwerte mit beliebig hohen n zur Verfuegung. Wir koennten trivialerweise nur Nebenwerte n-m mit limit n->infinity betrachten. Oder wir schliessen einfach jene Nebenwerte aus, die nach t_n ihre n Maxima erreicht haben"
Einen Informationsverlust sollte uebrigends bereits nach infinitessimal kleiner Zeit dt gegenueber t0 auftreten. D
Und eines steht auch schon fest. Dafuer gibt es wohl keine Fields Medallie :-)
Gruesse
mermanview
10.04.12, 07:58
Moin,
uff, back from the Family_Front
die vergangenen zwei Wochen haben nicht viel Mathematisches ergeben,
bloß ein paar kleine interessante Veranschaulichungen und eine kleine Weisheit:
In folgendem Bild sieht man, wie die Zahl 2 und die Zahl Phi
-jeweils als Steigung (Quotienten)- miteinander verknüpft sind.
http://img3.fotos-hochladen.net/uploads/mermanx0zlom5qega.jpg (http://www.fotos-hochladen.net)
Wie man sieht ist mein sogenannter x-Faktor (1-a)*x = b = (1+a)/x, nichts anderes ist als die Steigung der "GegenSchräge".
Und hier eine Weisheit die sich in Symmetrien und Verwandtschaften im Einheitskreis widerspiegelt:
Ein Drittel ist stets die Hälfte vom Rest !
1/3 = Rest * 1/2
Das klingt banal, erklärt aber das häufige Vorkommen von irrationalen Zahlen
wie W(2) und ihren Ablegern (2*W(2), W(2)/2, W(2)+/-1...) als Faktor in Dreiecken.
So jetzt zur Fields-Medaille: ....
... Moment hier klappt mal wieder nichts..
tbc....
Ich berichte, was inhaltlich bei mir angekommen ist.
(Im Sinne der "stillen Post" ist der Weg "Betragsschreiber -> Beitragsleser" auch infinitesimal klein,
dennoch ist die Informationsentwicklung innerhalb dieses einen Schrittes u.U. unverhältnismäßig, äh, unvorhersagbar,
... und dennoch stellt 1 Leser eine infltionäre Verfielfältigung zu L0 dar,
... diese wiederum macht aber bloß einen sehr kleinen Anteil einer Medallie aus ;- )
Wenn ich das richtig verstanden habe, sollte es die Fieldsmedallie für die Widerlegung des Postulates der 2. Ordnung für DGLs chaotischer Systeme geben !?
Die Widerlegung scheint noch nicht gelungen, aber zumindest erkennt man, laut deinen Aussagen, dass deine arccos-Funktion für Rückwärtsiterationen -als mathematische Darstellung für Entwicklungsverzeigungen bei umgekehrtem Zeitpfeil- schon im kleinsten Schritt chaotische Werte liefert.
Ähem, hoffe alles richtig verstanden zu haben
vorerst Gruß Merman
PS: apropos Diktatur: Mir hat mal ein Ungebildeter in inbrünstigem Ton des Wissenden erklärt:
"Diktatur, ... das ist doch, wenn alle dafür sind", .. ich konnte nur anerkennend nicken : )
Hi merman
Danke fuer die Grafik.
Wenn ich das richtig verstanden habe, sollte es die Fieldsmedallie für die Widerlegung des Postulates der 2. Ordnung für DGLs chaotischer Systeme geben !?yepp aber das stelle ich mal zurueck. Ich muss erstmal einen Feldversuch durchfuehren was ein Oxycodon Junkie noch mathematisch zustande bringt. Spiele mal den eigenen Schueler und klar ist, dass im diskreten Fall in jedem Iterationsschritt die Mehrdeutigkeit auftritt und damit ein moeglicher Informationsverlust der die Umkehrung ohne zusaetzliche Information (Vorzeichen) verhindert. Tritt so etwas auch im kontinuierlichen Fall auf, so wird das etwas komplizierter und unerwarteter. Der Informationsverlust tritt bereits bei infinitesimal beliebig kleinen Werten auf. Wie kann das funktionieren ? Die Umkehrfunktion muss unendlich mehrdeutig sein. Richtig richy ?
Ich muss das selbst nochmals durchlesen. Es gab da etwas spannendes. Welche Nebenwertloesungen "waehlt" denn die Iteration tatsaechlich ? Das wolte ich zunaechst mal angehen. sollte doch wie der Info Code experimentell bestimmbar sein.
"Mein guter Herr, sie sehen doch, dass ein n-ter Nebenwert nur n Maxima der Kosinusfunktion widergeben kann. Zugegeben fuer hohe Werte von n koennen sie ein sehr grosses Zeitintervall uebersteichen, aber dann wird ihre angebliche chaotische Funktion monoton fallend gegen Null streben."
richy : " Zugegeben, das ist zutreffend. Aber es stehen beliebig viele Nebenwerte mit beliebig hohen n zur Verfuegung. Wir koennten trivialerweise nur Nebenwerte n-m mit limit n->infinity betrachten. Oder wir schliessen einfach jene Nebenwerte aus, die nach t_n ihre n Maxima erreicht haben"
Gruesse
Ok, ich lasse es mal ganz langsam angehen (Bin mit Laptop unterwegs). Das Thema Informationsverlust habe ich bereits auf meiner HP dokumentiert.
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/2012/infoverlust.htm
Simuliere ich erstmal r=4 also chaotische Vorwaertsiteration und Rueckwaertsiteration mit richtigem Vorzeichen :
Das war einfach dieser Quellcode :
restart;
N:=100; # Laenge Infostring
N_s:=100; # Anzahl Anfangswerte 0..1
r:=1+sqrt(9);
ds:=1/N_s; s:=0;
for j from 1 to N_s do
#fuer alle Anfangswerte
++++++++++++++++++
k:=0; s:=ds*j;
sp[j]:=s; # Anfangswert von j
for i from 1 to N do
#Fuer alle N Iterationen
+++++++++++++++++++
s_alt:=s;
# VORWAERTSITERATION
*******************
s:=evalf(r*s*(1-s));
# SOFORTIGE BERCHNUNG RUECKITERATIONEN S0 und S1
*******************************************
s0:=evalf(1/2/r*(r-(r^2-4*r*s)^(1/2)));
s1:=evalf(1/2/r*(r+(r^2-4*r*s)^(1/2)));
Speichern fuer jeden Anfangswert und jede Iterationsnummer
*********************************************
(s0-s_alt)^2 < (s1-s_alt)^2 then inf[j][k]:=0;
else inf[j][k]:=1; fi; k:=k+1;
od:
od:
with(plots):
p := seq(seq(plots[polygonplot]([[i, j], [i+1, j], [i+1, j+1], [i, j+1]], color = COLOR(RGB, inf[i][j],0,0)), i = 1 .. N_s-1), j = 1 .. N-1):
plots[display]([p]);
Ok und jetzt will ich wissen wie sich die Rueckwaerstiterierte verhaelt. Konkret welcher Loesungszweig sich ergibt.
Im Infocode-Quellcode wird die logistische Gleichung iterativ berechnet s(k+1)=r*s(k)*(1-s(k)) sowie die beiden inversen Iterationen dazu :
s0:=evalf(1/2/r*(r-(r^2-4*r*s)^(1/2)));
s1:=evalf(1/2/r*(r+(r^2-4*r*s)^(1/2)));
Von Interesse wird die mehrdeutige Loesung der Umkehrfunktion sein :
> s_0(t):=(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*s0)+0*2*Pi))));
> s_1(t):=(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*s0)+1*2*Pi))));
> s_2(t):=(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*s0)+2*2*Pi))));
> s_3(t):=(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*s0)+3*2*Pi))));
> s_4(t):=(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*s0)+4*2*Pi))));
http://home.arcor.de/richardon/2012/fields3.gif
geht gleich weiter ...
Eine Verkettung von Iterationen geht analog ueber in jeweils einen Nebenwert. Anders ausgedrueckt : Jeder Funktionswert entspricht auch einem Nebenwert (Oder mehrere Gleiche).
Einfachster Fall ; Startwert s0 fuer t=0:
restart;t:=0;n:=1 (2,3,4...);
> s_n:=(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*s0)+n*2*Pi))));
s_n := s0
Verhulst r=4 diskret :
- Eindeutige quadratische Vorwaertsiteration.
- Zweideutige Rueckwaertsiteration
- Keine Periodizitaet des Vorzeichens => Informationsverlust waechst mit jeder Iteration
Verhulst r=4 kontinuierlich :
- Eindeutige Funktion.
http://home.arcor.de/richardon/2012/v4.gif
- Mehrdeutige Umkehrfunktion
- Bereits ein infinitesimales t ist mehrdeutig => Die Umkehrfunktion ist unendlich mehrdeutig. Es koennen jedoch verschiedene mehredeutige Zweige zu gleichen Loesungen fuehren.
Welche Loesung "richtig" ist laesst sich aus der Vorwaertsfunktion ermitteln. Sowohl diskret als auch nichtdiskret. Wir befinden uns im chaotischen stark nichtlinearen Bereich. Daher muss jeder Wert moeglichst genau erfasst werden.
Einfaches Experiment :
Erfassen von 10 Iterationswerten. Willkuerlicher Startwert s0=0.2 :
> restart;
> y[0]:=0.2;
> for i from 1 to 10 do
> y[i]:=y[i-1]*4*(1-y[i-1]);
> od;
y[1] := .64
y[2] := .9216
y[3] := .28901376
y[4] := .8219392260
y[5] := .5854205392
y[6] := .9708133260
y[7] := .1133392482
y[8] := .4019738520
y[9] := .9615634972
y[10] := .1478365522
Welche Umkehrfunktion mit t=1 bildet den Wert 0.64 auf den Wert 0.2 ab ?
k:=1; n:=?
y_inf:=(1/2*(1-cos(2^(-1)*(arccos(1-2*y[k])+n*2*Pi))));
n=0,2,4,6,8,..... loesen die Aufgabe.
http://home.arcor.de/richardon/2012/rohr1.gif
(hier ueber 10 Zeitschritte :)
http://home.arcor.de/richardon/2012/rohr2.gif
Im naechsten einzelnen Iterationsschritt ergibt sich eine andere Wahl :
Welche Umkehrfunktion mit t=1 bildet den Wert 0.9216 auf den Wert 0.64 ab ?
k:=1; n:=?
y_inf:=(1/2*(1-cos(2^(-1)*(arccos(1-2*y[k])+n*2*Pi))));
n=1,3,5,7,9 ... loesen die Aufgabe.
Ob geradzahlige oder ungeradzahligen Indizes die Aufgabe loesen sollte zufaellig sein (graphischen Nachweis nachliefern) .
Die diskrete und nichtdiskrete Version unterscheiden sich fuer jeweils einen Iterationsschritt (t=1) vom Prinzip her nicht. Fuer beliebige nichtganzzahlige t sollte sich das Verhalten drastisch aendern.
Weitere ganzahlige Beispiele :Zwei verkettete Iterationen t=2 fuer verschiedene Startwerte :
'************************************************* *******************
yinf[n]:=(1/2*(1-cos(2^(-2)*(arccos(1-2*y[k])+n*2*Pi))));
Welche Umkehrfunktion mit t=2 bildet den Wert 0.9216 auf den Wert 0.2 ab ?
Numerisch ermittelt : n=3,7,11....
Welche Umkehrfunktion mit t=2 bildet den Wert 0.28901376 auf den Wert 0.64 ab ?
Numerisch ermittelt : n=1,5,9....
... Fuer den jeweils kleinsten Index erhaelt man die chaotische Reihe :
3,1,2,3,1,1,2,0,3.....
****************
Die vier zufaelligen Vorzeichenkombinationen zweier verketteter Iterationen (plus/plus, plus,minus, minus/plus, minus/minus) fuehren in der kontinuierlichen Version zu vier zufaelligen Umkehrfunktionen n=0,1,2,3
y_invers[n]:=(1/2*(1-cos(2^(-2)*(arccos(1-2*y[k])+n*2*Pi))));
Einfacher Fall : (Es wird noch weitaus spannender)
Umkehrfunktion der analytischen Loesung (r=4) fuer diskrete ganzzahlige Abtastwerte.
************************************************** *************
Beispiel :
Zehn Iterationen mit dem Startwert 0.2.
y[0] := .2
y[1] := .64
y[2] := .9216
y[3] := .28901376
y[4] := .8219392261228
y[5] := .5854205387340
y[6] := .9708133262496
y[7] := .1133392473032
y[8] := .4019738492956
y[9] := .9615634951124
Umindizierung fuert auf die Umkehrfunktion :
yi[0] := .9615634951124
yi[1] := .4019738492956
yi[2] := .1133392473032
yi[3] := .9708133262496
...
yi[9] := .2
Die Reihe soll durch die Umkehrfunktion der analytischen Loesung erzeugt werden :
yi[k]:=(1/2*(1-cos(2^(-k)*(arccos(1-2*y[0])+n*2*Pi))));
k gibt den Zeitschritt an
n gibt den Loesungszweig an. Fuer den k ten Iterationsschritt wird die Funktion n=2^k mehrdeutig sein.
Bsp:
Ist die Funktion 2 deutig so kann gelten n=0 (2,4,6..) oder n=1 (3,5,7..)
Ist die Funktion 4 deutig so kann gelten n=0 oder n=1 oder n=2 oder n=3.
Der Index n stellt eine fehlende Information dar. Der Informationsverlust steigt wie in der rein diskreten Anschauung ueber das Vorzeichen mit jeder Iteration. Sehr schnell wird die Funktion hochgradig mehrdeutig sein. (Im kontinuierlichen Fall wird der Sachverhalt noch erstaunlicher und komplexer sein)
Beispielcode fuer manuelle Suchen von n :
> for k from 0 to 4 do
> ziel:=yi[k];
> for n from 0 to 8 do
> test:=evalf(1/2*(1-cos(2^(-k)*(arccos(1-2*yi[0])+n*2*Pi))));
> printf(`%g `,test);
> od; od;
Ausdruck :
ziel := .9615634951124
.961563 .961563 .961563 .961563 .961563 .961563 .961563 .961563 .961563
ziel := .4019738492956
.401973 .598026 .401973 .598026 .401973 .598026 .401973 .598026 .401973
ziel := .1133392473032
.113339 .817007 .886660 .182992 .113339 .817007 .886660 .182992 .113339
ziel := .9708133262496
.029186 .286111 .668329 .951942 .970813 .713888 .331670 .048057 .029186
ziel := .5854205387340
.007350 .077540 .212045 .390389 .585420 .767447 .908757 .987837 .992649
Einfache automatisierte Suche fuer den Index n :
restart;
Digits:=13;
> M:=7;
> y[0]:=0.2;
> for i from 1 to M-1 do
> y[i]:=y[i-1]*4*(1-y[i-1]);
> od:
> for i from 0 to M-1 do
> yi[i]:=y[M-i-1];
> od;
>
> for k from 0 to M-1 do
> ziel:=yi[k];
> for n from 0 to 2^k do
> test:=evalf(1/2*(1-cos(2^(-k)*(arccos(1-2*yi[0])+n*2*Pi))));
> if ceil(1000000*ziel)=ceil(1000000*test) or
> floor(1000000*ziel)=floor(1000000*test)
> then
> printf(`n=%g test=%1.13g`,n,test);
> index[k]:=n;
> n:=2^k;
> fi;
> od; od;
Das bereits etwas verblueffende Ergebnis :
ziel := .9615634951124
n=0 test=.9615634951125
ziel := .4019738492956
n=0 test=.4019738492958
ziel := .1133392473032
n=0 test=.1133392473032
ziel := .9708133262496
n=4 test=.9708133262496
ziel := .5854205387340
n=4 test=.5854205387340
ziel := .8219392261228
n=20 test=.8219392261227
ziel := .28901376
n=52 test=.2890137600000
ziel := .9216
n=52 test=.9216000000000
ziel := .64
n=180 test=.6399999999998
ziel := .2
n=436 test=.2000000000000
Indizes des Beispiels :
0,0,0,4,4,20,52,52,180,436
1,2,4,8,16... fach
Der Wert 2^k waechst exponentiell. (2^9=512). Bereits fuer 20 Iterationen wird die Indexsuche recht zeitaufwaendig. Hier die Indizes fuer 18 Iterationen :
0 0 0 0 0 0 0 64 64 64 576 1600 3648 3648 11840 11840 11840 53695
Die zuletzt vorgestellte Losung liefert den richtigen Wert fuer x0 sowie fuer einen Wert x(k) mit k=0.1.2.3.4.....
Eine willkuerliche (jeweils kleinstes n) stueckweise Angabe der vollstaendigen Loesung ergibt keine stetige Funktion :
http://home.arcor.de/richardon/2012/rohr3.gif
> test:=piecewise(t>0 and t<1,
> evalf(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*yi[0])+index[0]*2*Pi)))),
> t>1 and t<2,
> evalf(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*yi[0])+index[1]*2*Pi)))),
> t>2 and t<3,
> evalf(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*yi[0])+index[2]*2*Pi)))),
> t>3 and t<4,
> evalf(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*yi[0])+index[3]*2*Pi)))),
> t>4 and t<5,
> evalf(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*yi[0])+index[4]*2*Pi)))),
> t>5 and t<6,
> evalf(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*yi[0])+index[5]*2*Pi)))),
> t>6 and t<7,
> evalf(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*yi[0])+index[6]*2*Pi)))),
> t>7 and t<8,
> evalf(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*yi[0])+index[7]*2*Pi)))),
> t>8 and t<9,
> evalf(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*yi[0])+index[8]*2*Pi)))),
> t>9 and t<10,
> evalf(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*yi[0])+index[9]*2*Pi))))
> );
> plot(test,t=0..10);
Die Kosinusfunktion reicht von minus unendlich bis unendlich und weist in diesem Intervall unendlich viele Perioden auf. Damit existieren unendlich viele ganzzahlige Werte n der Umkehrfunktion arccos(x+n*2*Pi), die identische Werte liefern. Die arccos-Funktion ist "unendlich mehrdeutig".
Die Umkehrfunktion der r=4 Verhulst Gleichung lautet :
1/2*(1-cos(2^(-k)*(arccos(1-2*yi[0])+n*2*Pi)));
welche Periodizitaet weist diese Funktion fuer ein festes t und variables n auf ?
Annahme :
Die Funktion ist 2^k periodisch.
Im Moment kann ich dies leider auch mit Maple nicht begruenden.
Gl1)
solve(cos(2^(-k)*(arccos(1-2*0.2)+n*2*Pi))=cos(2^(-k)*(arccos(1-2*0.2)+m*2*Pi)),m);
Die Annahme folgt aus dem bisherigen Beispiel und graphischer Auswertung obiger Gl1) fuer einige k.:
Beispiel :
k=0
.961563 .961563 .961563 .961563 .961563 .961563 .961563 .961563
.961563 .961563 .961563 .961563 .961563 .961563 .961563 .961563 .961563
k=1
.401973 .598026 .401973 .598026 .401973 .598026 .401973 .598026
.401973 .598026 .401973 .598026 .401973 .598026 .401973 .598026 .401973
k=2
.113339 .817007 .886660 .182992 .113339 .817007 .886660 .182992
.113339 .817007 .886660 .182992 .113339 .817007 .886660 .182992 .113339
k=3
.029186 .286111 .668329 .951942 .970813 .713888 .331670 .048057
.029186 .286111 .668329 .951942 .970813 .713888 .331670 .048057 .029186
k=4
.007350 .077540 .212045 .390389 .585420 .767447 .908757 .987837
.992649 .922459 .787954 .609610 .414579 .232552 .091242 .012162 .007350
Den jeweils kleinsten Index n als Losung zu verwenden stellt eine willkuerliche Wahl dar. Die Grafik der unstetigen Loesung zeigt, dass diese nicht optimal ist. In jedem Abschnitt k-1...k stellt nicht nur n0 sondern jedes n0+m*2^k eine Loesung dar. m element N.
Die Grafik der Vorwaertsiterierten zeigt, dass die inverse Iteration mit hoher Frequenz, grossem n beginnen muss. Abhaengig von der Gesamtlaenge der Funktion :
http://home.arcor.de/richardon/2012/rohr4.gif
Ausschnitt
http://home.arcor.de/richardon/2012/rohr5.gif
Jeweils kleinster Index :
n=0 test=.9708133260000
n=1 test=.5854205391000
n=1 test=.8219392260000
n=1 test=.2890137601000
n=9 test=.9216000000000
n=9 test=.6400000000000
n=9 test=.2000000000000
Zufall oder herleitbare notwendige Systematik ?
***********************************
Fuer die sieben Iterationswerte der Grafik des letzten Beitrags ergeben sich folgende kleinste Indizes n :
k=0, n=0 y_i =.9708133260000; 0 periodisch
k=1, n=1 y_i =.5854205391000; 2 periodisch
k=2, n=1 y_i =.8219392260000; 4 periodisch
k=3, n=1 y_i =.2890137601000; 8 periodisch
k=4, n=9 y_i =.9216000000000; 16 periodisch
k=5, n=9 y_i =.6400000000000; 32 periodisch
k=6, n=9 y_i =.2000000000000; 64 periodisch
Ein TestPlot der Funktion zeigt, dass im Bereich k=0 bis k=1 der Funktionszweig n=9, statt n=0, n=1, die Funktion offenbar an allen Stellen richtig wiedergibt :
http://home.arcor.de/richardon/2012/rohr6.gif
Die Vorwaertsiteration zum Vergleich :
http://home.arcor.de/richardon/2012/rohr5.gif
Die Uebereinstimmung laesst sich auch algebraisch begruenden :
k=0. (n_min=0)
Fuer jedes n erhaelt man die gleiche Loesung. Damit sowohl fuer n=0 als auch fuer n=9.
k=1 (n_min=1)
Jeder 2 te Wert ist gleich : n_min+2*m. m element N. Gleiche Loesungen erhaelt man fuer die Werte n=1,3,5,7,9,11 ... Neun ist in der Liste enthalten.
k=2 (n_min=1)
Jeder 4 te Wert ist gleich : n_min+4*m. m element N. Gleiche Loesungen erhaelt man fuer die Werte n=1,5,9,13 ... Neun ist in der Liste enthalten.
k=3 (n_min=1)
9=n_min+m*2^k, 9=1+1*8
k=4,5,6 (n_min=9)
Die inverse Loesungsfunktion des Beispiel ist damit nicht nur abschnittsweise angebbar, sondern durch einen einzigen Loesungszweig n=9 :
Plot der Funktion 1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*y0)+9*2*Pi)));
http://home.arcor.de/richardon/2012/rohr7.gif
Die Vorwaertsiteration zum Vergleich :
http://home.arcor.de/richardon/2012/rohr4.gif
Es laesst sich auch der einfache Test durchfuehren, ob fuer einen festen Index n ( den groessten ermittelten Index ) sowohl der Wert fuer k als auch fuer k-1 widergegeben wird.
Maple Code fuer den Test :
restart;
> Digits:=13;
> M:=6;
> y[0]:=0.2;
> for i from 1 to M-1 do
> y[i]:=y[i-1]*4*(1-y[i-1]);
> od;
> for i from 0 to M-1 do
> yi[i]:=y[M-i-1];
> od;
>
> for k from 0 to M-1 do
> ziel:=yi[k]:
> for n from 0 to 2^k do
> test:=evalf(1/2*(1-cos(2^(-k)*(arccos(1-2*yi[0])+n*2*Pi))));
> if ceil(1000000*ziel)=ceil(1000000*test) or
> floor(1000000*ziel)=floor(1000000*test)
> then
> printf(`k=%g n_min=%g y_invers=%1.13g 2^k=%g\n`,k,n,test,2^k);
> index[k]:=n;
> n:=2^k;
> fi;
> od: od:
>
> # Test k UND k-1
> m:=index[M-1];
> for k from 1 to M-1 do
> ziel_1:=yi[k-1];
> ziel:=yi[k];
> test_1:=evalf(1/2*(1-cos(2^(-k+1)*(arccos(1-2*yi[0])+m*2*Pi))));
> test:=evalf(1/2*(1-cos(2^(-k)*(arccos(1-2*yi[0])+m*2*Pi))));
> if ceil(1000000*ziel)=ceil(1000000*test) or
> floor(1000000*ziel)=floor(1000000*test)
> then
> printf(`passed k step %g `,k);
> fi;
> if ceil(1000000*ziel_1)=ceil(1000000*test_1) or
> floor(1000000*ziel_1)=floor(1000000*test_1)
> then
> printf(`passed k-1 step %g `,k);
> fi;
> printf(`*******\n`);
> od;
Bei den von mir verwendeten Anfangswerten und Anzahl Iteratonen M wurde der Test erfuellt. D.h. die Umkehrfunktion wird von einem einzigen Funktionszweig mit dem Index fuer die Iteration M (groesstes n) vollstaendig wiedergegeben.Die Zweige der Umkehrfunktion erfuellen damit recht komplexe Bedingungen. Allerdings scheinen auch Ausnahmen zu existieren.
Eigenschaften der Loesungszweige der inversen Verhulst Gleichung
**************************************************
yi(k,n)=1/2*(1-cos(2^(-k)*(arccos(1-2*yi[0])+n*2*Pi)));
yi[0] ist der Anfangswert der Funktion.
k element N stellt die zeitliche Iterationsvariable dar.
n element N stellt die Zweige der mehrdeutigen arccos Funktion dar,
Ohne Beweis :
Die Funktion wiederholt sich ueber n fuer alle m*2^k Zweige :
yi(k,n)=yi(k,n+m*2^k) m element N
**************************
=>
Es existiert immer ein Loesungszweig n_min mit der Eigenschaft n_min < 2^k
************************************************** *******
Mit k_max sei der groesste Iterationsindex bezeichnet. Dessen n_min sei mit n_m bezeichnet.
yi(k_max,n_m) erfuelle die Bedingung :
yi(k_max,n_m)=yi[k_max] sowie
yi(0,n_m)=yi[0]
yi(0,n_m)=yi[0] laesst sich umformen :
yi(0,n)=1/2*(1-cos(2^(-0)*(arccos(1-2*yi[0])+n*2*Pi)))
yi(0,n)=1/2*(1-cos((arccos(1-2*yi[0])+n*2*Pi)))
yi(0,n)=1/2*(1-((1-2*yi[0])))
yi(0,n)=yi[0]
Die Bedingung fuer yi[0] ist fuer jedes n erfuellt.
Forderung :
Der Index n_m soll im Intervall 0...k_max fuer jedes k eine Loesung darstellen : yi(k,n_max)=yi[k]
Es existiere somit fuer jede Loesungsfunktion eine Umkehrfunktion eines einzigen Loesungszweiges n_max.
(Tests haben gezeigt, dass dies sehr oft erfuellbar ist.Aber es existieren Ausnahmen.)
Dann muss fuer den kleinsten Loesungsindex n_min jedes k gelten :
fuer k=0
(bereits ueber yi[0] behandelt)
fuer k=1
Sei 0 der Loesungsindes n_min so muessen alle n_min(k) gerade sein
Sei 1 der Loesungsindes n_min so muessen alle n_min(k) ungerade sein
Allgemein muss fuer jedes k gelten :
n_min(k_max)-n_min(k)=m*2^k, m element N
**********************************
Beispiele :
1)
k=0 n_min=0 y_invers=.5854205387341 2^k=1
k=1 n_min=1 y_invers=.8219392261227 2^k=2
k=2 n_min=3 y_invers=.2890137600000 2^k=4
k=3 n_min=3 y_invers=.9216000000000 2^k=8
k=4 n_min=11 y_invers=.6400000000003 2^k=16
k=5 n_min=27 y_invers=.2000000000000 2^k=32
n_m=27
k=4
27-11=16, 16/16=1
k=3
27-3=24, 24/8=3
k=2
27-3=24, 24/4=6
k=1
27-1=26, 26/2=13
k=0
27-0=27, 27/1=27
Weil es so schoen verblueffend ist noch ein Beispiel :
k=0 n_min=0 y_invers=.9615634951125 2^k=1
k=1 n_min=0 y_invers=.4019738492958 2^k=2
k=2 n_min=0 y_invers=.1133392473032 2^k=4
k=3 n_min=4 y_invers=.9708133262496 2^k=8
k=4 n_min=4 y_invers=.5854205387340 2^k=16
k=5 n_min=20 y_invers=.8219392261227 2^k=32
k=6 n_min=52 y_invers=.2890137600000 2^k=64
k=7 n_min=52 y_invers=.9216000000000 2^k=128
k=8 n_min=180 y_invers=.6399999999998 2^k=256
k=9 n_min=436 y_invers=.2000000000000 2^k=512
n_m =436
436-180=256, 256/256=1
436-52=384, 384/128=3
436-52=384, 384/64=6
436-20=416, 416/32=13
436-4=432, 432/16=27
436-4=432, 432/8=54
436-0=436, 436/4=109
436-0=436, 436/2=218
436-0=436, 436/1=436
Die Frage warum diese Eigenschaften gegeben sind duerfte nicht einfach zu beantworten sein.
Rueckblick:
********
In der bisherigen Vorgehensweise wurden m Iterationsschritte 0...k_max der chaotischen (r=4) Verhulst Gleichung untersucht. Die Umkehrfunktion dieser m Iterationen ist geschlossen angebbar, jedoch mehrdeutig. Welcher Loesungszeig verwendet wird laesst sich ueber einen Parameter n element N ausdruecken. In den letzten Beispielen wurde eine Abbildung des Anfansgswertes yi[0] auf den Wert yi[k], k=0...k_max als Loesung betrachtet.
Experimentell zeigte sich, dass fuer diese Abbildung fuer jedes K unendlich viele Zweige n als Loesung existieren. Eine weitere Annahme waere, dass der kleinste Index fuer n, n_min im Intervall 0...2^k-1 liegt und fuer jeden Index n gilt : y[n]=y[n+2^k] (Recht gesicherte Annahmen)
Um ueberhaupt eine eindeutige Loesung angeben zu koennen kann man fuer jeden Iterationsschritt n_min(k) angeben und erhaelt z.B. fuer m=4,5 und yi[0]=0.8 eine Reihe folgender Form :
m=4
k=0 n_min[0]=0
k=1 n_min[1]=1
k=2 n_min[2]=1
k=3 n_min[3]=5 = n_m
m=5
k=0 n_min[0]=0
k=1 n_min[1]=0
k=2 n_min[2]=2
k=3 n_min[3]=2
k=4 n_min[4]=10 = n_m
Die Reihe 0,1,1,5 stellt eine monoton (nicht streng monoton ) wachsende Funktion dar. Ebenso 0,0,2,2,10.
Den kleinsten Index n = n_min als Loesungszweig anzunehmen ist allerdings eine recht willkuerliche Annahme. Zwar wird die Iteration an den Stuetzstellen erfuellt, jedoch nur dort. Die abschnittsweise gegebene Loesung ist an den Stuetztstellen unstetig wie es folgende Grafik bereits zeigte :
http://home.arcor.de/richardon/2012/rohr3.gif
Grundueberlegung:
**************
Der Index n stellt eine Frequenz dar. Diese wird ueber den Term 2^(+-k) moduliert.
1) Voerwaertsiteration : Die Frequenz steigt ueber den FM Term
http://home.arcor.de/richardon/2012/rohr4.gif
2) Rueckwaertsiteration : Die Frequenz sinkt ueber den FM Term
Wegen 1) muss die Rueckwaertsiteration mit einer hohen Frequenz beginnen, die im weiteren Verlauf dann sinkt. Je mehr Iterationswerte m verwendet werden, umso hoeher ist die Ausgangsfrequenz bei yi[k=0]. Der kleinste Index n_min(k=0) ist hier jedoch stets gleich Null. Dies steht im Widerspruch zur Forderung einer hohen Ausgangsfrequenz der Rueckwaertsiterierten. Ebenso der monoton steigende Verlauf der Reihe bei willkuerlicher Wahl des jeweils kleinsten Index n.
Eine geeignete hoehe Ausgangsfrequenz wuerde zum Beispiel die Wahl von n_min(k_max)=k_m fuer k=0 liefern. Eine weitere sehr strenge Forderung waere es, dass dieser Index n fuer alle k den Loesungszweig darstellt. Mit dieser Forderung waere die Stetigkeit gesichert. Die n_min[k] muessen dazu folgende Eigenschaft erfuellen :
n_min(k_max)-n_min(k)=p*2^k, p element N
**********************************
Numerisch experimentell zeigte sich, dass diese sehr strenge Annahme "in der Regel" wohl erfuellt wird.
Die Beispielreihen zeigen noch eine Besonderheit :
m=4
k=0 n_min[0]=0
k=1 n_min[1]=1
k=2 n_min[2]=1
k=3 n_min[3]=5 = n_m
m=5
k=0 n_min[0]=0
k=1 n_min[1]=0
k=2 n_min[2]=2
k=3 n_min[3]=2
k=4 n_min[4]=10 = n_m
A)
Erweitert man die Reihe mit m=4 um eine Iteration auf m=5, so wird nicht nur ein neues n_m hinzugefuegt sondern es aendern sich mehrere Elemente der Reihe.
B)
Offenbar laesst sich die Umkehrfunktion fuer jedes k durch einen einzigen Index n_m, somit eine einzelne Zahl beschreiben. Analog zum diskreten Fall muss mit wachsender Anzahl von Iterationen der Informationsverlust exponentiell erhoehen. Dies ist auch fuer n_m(m) gegeben, denn die Moeglichen Werte stammen aus dem Intervall x..2^m
(Ueber den Wert von x bin ich mir noch nicht ganz im Klaren)
Bildet man aus allen n_m(m) der Iterationsreihen eine neue Reihe, (Beispiel im naechsten Beitrag) so sollte diese wegen B eine monoton steigende Funktion darstellen. Dies ist jedoch nicht immer gegeben. Diese Ausnahmen moechte ich im naechsten Beitrag untersuchen :
Diskussion des Sonderfalls n_m(k2)<n_m(k1) fuer k2>k1
*****************************************
Beispiel fuer den Sonderfall n_m(k2)<n_m(k1) fuer k2>k1
******************************************
yi0=0.2
k=0 n_min=0 y_invers=.2000000000000
k=0 n_min=0 y_invers=.6399999999999
k=1 n_min=0 y_invers=.1999999999999
K=0 n_min=0 y_invers=.9216000000000
k=1 n_min=1 y_invers=.6399999999998
k=2 n_min=3 y_invers=.2000000000000
k=0 n_min=0 y_invers=.2890137599998
k=1 n_min=1 y_invers=.9216000000001
k=2 n_min=1 y_invers=.6400000000000
k=3 n_min=1 y_invers=.2000000000000
k=0 n_min=0 y_invers=.8219392261232
k=1 n_min=0 y_invers=.2890137600003
k=2 n_min=2 y_invers=.9215999999999
k=3 n_min=2 y_invers=.6400000000001
k=4 n_min=2 y_invers=.2000000000001
Fuer n_m(m) erhaelt man die Reihe n_m(m)=0,0,3,1,2, die nicht monoton wachsend ist (wegen ...3,1... )
Die Tabelle zeigt, dass dennoch alle Werte die Iteration an der Stuetzstelle k erfuellen.
Der Index n gibt "zufaelligerweise auch die Anzahl der Maxima an, die die Funktion widergibt. Diese Anzahl kann beim Hinzufuegen einer Iteration nicht abnehmen. Der Uebergang ...3,1... ist damit widerspruechlich.
Insgesamt wird die Umkehrfunktion die urspruengliche Funktion an allen Stellen als Umkehrung daher nicht richtig widergeben.
Welche der Indizes 0,0,3,1,2 sind nun "richtig" ?
Die richtigen Abtstwerte an den Stuetzstellen :
yi[0] := .8219392260
yi[1] := .28901376
yi[2] := .9216
yi[3] := .64
yi[4] := .2
Vorbemerkung :
***********
Es scheint tatsaechlich Faelle zu geben, in denen die Umkehrfunktion nicht fuer alle Werte mit der reversen Originalfunktion uebereinstimmt, sondern nur an den ganzzahligen Stutzstellen.
Graphische Beisiele dazu
******************
Alle Funktionen werden fuer die Darstellung an N_max Stellen abgetastet (gesampelt). Die Vergleichsfunktion wird durch Umindizierung, Umkehrung der analytischen Loesung der Vorwaertasiteration gewonnen .
> restart;
> N_max:=100; #Anzahl Abtastwerte
> ta:=0; te:=3;
> dt:=(te-ta)/(N_max-1);
> t:=ta;
> for i from 0 to N_max-1 do
> y[i]:= evalf(1/2*(1-cos(2^(t)*arccos(1-2*0.2))));# Analytisch Vorwaerts
> t:=t+dt;
> od:
> t:=ta;
> for i from 0 to N_max-1 do
> yi[i]:=y[N_max-1-i]; #Invertieren der Vorwaertsiteration
> yi0[i]:=evalf(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*yi[0])+0*2*Pi))));
> yi1[i]:=evalf(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*yi[0])+1*2*Pi))));
> yi2[i]:=evalf(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*yi[0])+2*2*Pi))));
> yi3[i]:=evalf(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*yi[0])+3*2*Pi))));
> yi4[i]:=evalf(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*yi[0])+4*2*Pi))));
> yi5[i]:=evalf(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*yi[0])+5*2*Pi))));
> yi6[i]:=evalf(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*yi[0])+6*2*Pi))));
> yi7[i]:=evalf(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*yi[0])+7*2*Pi))));
> yi8[i]:=evalf(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*yi[0])+8*2*Pi))));
> yi9[i]:=evalf(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*yi[0])+9*2*Pi))));
>
> t:=t+dt;
> od:
>
> druck_yi:=seq([i, yi[i]],i=0..N_max-1):
> druck_yi0:=seq([i,yi0[i]],i=0..N_max-1):
> druck_yi1:=seq([i,yi1[i]],i=0..N_max-1):
> druck_yi2:=seq([i,yi2[i]],i=0..N_max-1):
> druck_yi3:=seq([i,yi3[i]],i=0..N_max-1):
> druck_yi4:=seq([i,yi4[i]],i=0..N_max-1):
> druck_yi5:=seq([i,yi5[i]],i=0..N_max-1):
> druck_yi6:=seq([i,yi6[i]],i=0..N_max-1):
> druck_yi7:=seq([i,yi7[i]],i=0..N_max-1):
> druck_yi8:=seq([i,yi8[i]],i=0..N_max-1):
> druck_yi9:=seq([i,yi9[i]],i=0..N_max-1):
> plot([[druck_yi],[druck_yi9]]);
Graphische Ergebnisse im naechsten Beitrag
Graphische Darstellungen und Diskussion :
k=0 n_min=0 y_invers=.6399999999999
k=1 n_min=0 y_invers=.1999999999999
plot([[druck_yi],[druck_yi0]]);
http://home.arcor.de/richardon/2012/m1n0.gif
Die beiden Loesungen ueberdecken sich
K=0 n_min=0 y_invers=.9216000000000
k=1 n_min=1 y_invers=.6399999999998 1,3,5 ...
k=2 n_min=3 y_invers=.2000000000000
plot([[druck_yi],[druck_yi3]]);
http://home.arcor.de/richardon/2012/m2n3.gif
Alle drei Stuetzwerte werden erfuellt. Lediglich die Zwischenwerte stimmen nicht ueberein. Bei einem Index groesser 3 wird die gruene Loesungsfunktion noch welliger. Eine sehr gute Uebeinstimmung ergibt sich seltsamerweise fuer n etwa 1.8
http://home.arcor.de/richardon/2012/n18.gif
k=0 n_min=0 y_invers=.2890137599998
k=1 n_min=1 y_invers=.9216000000001
k=2 n_min=1 y_invers=.6400000000000
k=3 n_min=1 y_invers=.2000000000000
plot([[druck_yi],[druck_yi1]]);
http://home.arcor.de/richardon/2012/m3n1.gif
Die beiden Loesungen ueberdecken sich
k=0 n_min=0 y_invers=.8219392261232
k=1 n_min=0 y_invers=.2890137600003
k=2 n_min=2 y_invers=.9215999999999
k=3 n_min=2 y_invers=.6400000000001
k=4 n_min=2 y_invers=.2000000000001
plot([[druck_yi],[druck_yi2]]);
http://home.arcor.de/richardon/2012/m4n2.gif
Die beiden Loesungen ueberdecken sich
Folgerung :
Die Reihe m=3 mit k=0,1,3 (3,3,3) stellt fuer y0=0.2 somit die gesuchte Ausnahme dar. Es werden zwar alle Werte der Stuetzstellen (sogar mit dem einzigen Index n=3) getroffen, aber keine Zwischenwerte.
Der Spezialfall erfuellt alle Iterationswerte und kann mit einer darauf basierenden Methode nicht erkannt werden ! Auch die besondere Eigenschaft n_min(k_max)-n_min(k)=m*2^k, m element N hilft daher fuer eine Detektion nicht weiter.
Lediglich das Kriterium, dass die k_m(m) Reihe nicht monoton wachsend war lieferte den Hinweis fuer die besondere Eigenschaft.
Tritt diese Ausnahme auch ohne dieses Kriterium auf ?
Antwort : Ja. Beispiel Anfangswert 0.4 und selbe Reihe K=0,1,2
Beobachtung :
1) Die Verletzung der Monotonieeigenschaft ist vom Anfangswert abhaengig.
2) Die Verletzung der Monotonieeigenschaft kann auch bei hohen Indizes auftreten.
3) Die Verletzung der Monotonieeigenschaft tritt eher selten auf.
4) Die Verletzung der Monotonieeigenschaft ist hinreichendes aber nicht notwendiges Kennzeichen einer punktuellen Loesung.
punktuelle Loesung : k element N
************************************************** *********
Wie genau approximiert der analytisch berechnete Zweig n der Umkehrfunktion die exakte reverse Funktion, wenn beide sich graphisch scheinbar ueberdecken ?
************************************************** *********
Numerisches Experiment :
Es wird ein Loesungszweig n fest vorgegeben und yi0 von 0.1 bis 0.9 in 50 Schritten durchschritten. Die Fehlerabweichung der beiden Funktionen wird mittels der Methode der kleinsten Quadrate bestimmt.
Fuer yi0=0.2 stellt n=1 einen geeigneten "ueberdeckenden" Loesungszweig dar :
k=0 n_min=0 y_invers=.2890137599998 2^k=1
k=1 n_min=1 y_invers=.9216000000001 2^k=2
k=2 n_min=1 y_invers=.6400000000000 2^k=4
k=3 n_min=1 y_invers=.2000000000000 2^k=8
Darstellung des Fehlers fuer drei Zeitschritte m=3 ueber yi0 = 0.1 ... 0.9 (n=1)
http://home.arcor.de/richardon/2012/gauss1.gif
Bereich y0=0.2 ... 0.3
http://home.arcor.de/richardon/2012/gauss2.gif
Die Umkehrfunktion ist hier nicht nur an den gazzahligen Stuetzstellen exakt, sondern ueber den ganzen Funktionsverlauf.
Weiteres Beispiel :
n=2 m=4
http://home.arcor.de/richardon/2012/gauss3.gif
Quellcode :
> restart;
> N_max:=100;
> ta:=0; te:=3;
> dt:=(te-ta)/(N_max-1);
>
> Z_max:=50;
> ya:=0.1; ye:=0.9;
> dy:=(ye-ya)/(Z_max-1);
> y0:=ya;
>
> for jj from 0 to Z_max-1 do
> t:=ta;
> y0:=y0+dy;
> for i from 0 to N_max-1 do
> y[i]:= evalf(1/2*(1-cos(2^(t)*arccos(1-2*y0))));
> t:=t+dt;
> od;
>
> t:=ta;
> err[jj]:=0;
>
> for i from 0 to N_max-1 do
> yi[i]:=y[N_max-1-i];
> yi1[i]:=evalf(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*yi[0])+1*2*Pi))));
> t:=t+dt;
> err[jj]:=err[jj]+( yi1[i]-yi[i] )^2 ;
> od:
>
> od; #of jj#
> druck_err:=seq([jj, err[jj]],jj=0..Z_max-1):
> plot([[druck_err]]);
Vier Zeitschritte (der Fall m=4) vollstaendig erfasst.
**************************************
In der folgenden Grafik sind die Fehlerquadrate fuer m=4, n=0,1,2,3,4,5,6,7 ueberlagert dargestellt. yi0 reicht von 0.01 bis 0.99
http://home.arcor.de/richardon/2012/gaussall.gif
(Quellcode Rohrbach11.mws)
Fuer vier Zeitschritte stellen nur die Aeste n=0,1,2,3 (bedingt 4 lila) deckungsgleiche Loesungen dar. Deckungsgleich bedeutet Loesungen fuer k element R. Fuer Anfangswerte yi0 die an die schwarzen Flaechen grenzen liegen somit keine Loesungen dieser Form vor. Fuer diese Anfangswerte existieren jedoch Loesungen fuer k element N, also ganzzahlige Werte. Der Loesungszweigindex n kann dann auch hoehere Werte annehmen.
Loesungen fuer k element N (punktuelle Loesung)
yi0=0.1 n=7
http://home.arcor.de/richardon/2012/n7.gif
weitere punktuelle Loesungen :
yi0=0.4 n=6
yi0=0.8 n=5
Metazeit
*******
Den Bezug zwischen der nichtlinearen logistischen Gleichung und dem physikalischen Aspekt der Zeit habe ich seit laengerem nicht mehr angesprochen. Dieser ist ueber die Kopplung der Richtung des Zeitpfeils an den Entropiegradienten gegeben. In der kopenhagener Version wuerde dies einem Informationsgradienten entsprechen.Von solchen Ueberlegungen uebernehme ich lediglich die Bedingung der Irreversibilitaet eines Vorgangs, wenn dieser die globale Entropie aendert. Dies fuehrt zu dem Aspekt, dass reversible Vorgaenge keine realen Vorgaenge darstellen koennen, denn die Realitaet ist zeitlich nicht reversibel. Dies spiegelt sich auch im Dekohaerenzprogramm und den Interpretationen wieder. Dekohaerenz tritt dann ein, wenn ein Prozess in die globale Entropie eingebunden wird (eine Informationsaenderung darstellt). In allen Interpretationen ist erst dann der Prozess als real zu betrachten. In der KD entspricht dies dem Wellenkollaps und die Konsequenzen sind noch weitreichender. Denn erst nach dem Wellenkollaps ist dort ein Prozess, Auftrittsmerkmal als physikalisch (damit auch real) zu betrachten. Davor existiert in der KD aus physikalischer Sicht nichts. Es darf dort lediglich eine abstrakte Existenz angenommen werden. Eine mathematische Eigenschaft stellt die Existenz einer abstrakten Eigenschaft / Groesse dar. Damit auch die Eigenschaft der Linearitaet und nichtbijektiven Nichtlinearitaet. Eine entscheidende Groesse bezueglich der Realisation eines Vorganges stellt die zeitliche Nichtumkehrbarkeit dar. Meiner Meinung nach ist fuer diese wiederum nicht die Nichtlinearitaet entscheidend, sondern die Nichtbijektivitaet. Diese ist immer nichtlinear, aber die Umkehrfunktion einer Nichtlinearitaet kann durchaus eindeutig, damit bijektiv sein.
Fuer die logistische (Verhulst) Abbildung habe ich in diesem Thread bereits einige Ursachen und Konsequenzen der Nichtbijektivitaet untersucht. Diese entspricht einem zunehmenden Informationsverlust mit jedem Iterationsschritt. Dieser Aspekt ist nicht neu und wird auch als Entropie einer Iteration bezeichnet.
Neu ist dagegen die Nichtbijektivitaet fuer den kontinuierlichen, nichtdiskreten Fall zu untersuchen. Die Loesung der r=4 Verhulstgleichung ist kaum jemandem bekannt und daher auch nicht deren Umkehrfunktion.
Hierzu ergeben sich auch neue Fragen.
Z.B. wie der Fall der punktuellen Loesungen zu betrachten, bewerten ist. Wenn nur fuer ganzzahlige Werte die analytische Umkehrfunktion dem (zeitlich) reversen Prozess entspricht. Man koennte es sich einfach machen und annehmen, dass die kontinuierliche Version der diskreten Version entspricht. Die zweideutigkeit der Wurzelfunktion ist aequivalent zur Zweier Periodizitaet der Cosinusfunktion. Numerisch passt dies alles ertstaunlich gut zusammen. Wuerde eine kontinuierliche Welt dann gar nicht existieren koennen ? Die Zeit muesste quantisiert sein ? Interessant ist hiezu auch, dass die Verhulst Umkehrfunktion im Gegensatz zu anderen diskreten Funktionen fuer nichtganzzahlige Werte nicht komplexwertig wird, sondern reell bleibt.
Hat jemand Vorschlaege dazu ?
Dabei stellt die punktuelle Loesung eher die Ausnahme dar. Fuer mich eher unerwartet existieren in den meisten Zahlenbereichen Loesungen fuer die eine eindeutige Umkehrfunktion fuer alle k element Reell existiert. Ein "solches k" (besser das System) wuerde ich als kontinuierliche Variable t interpretieren. t element R. Die punktuellen Loesungen koennte man vermeiden, indem einige Anfangswerte y0 abhaengig vom Zeitschritt (Beispiel war yo=0.1, 0.4, 0.8 fuer 4 Zeitschritte) ausgeklammert werden muessen. Allgemein, dass einige Systemzustaende eines chaotoischen Systems verboten sind. Abhaengig von einem absoluten Zeitwert.
Waere damit eine kontinuierliche Welt, Zeitkoordinate gerettet ? Nicht unbedingt.
VORAUSSCHAU .
************
Es wird sicherlich noch zu weiteren Komplikationen bei den nichtpunktuellen, (reellen, deckungsgleichen ) starken Loesungen kommen. Dies folgt aus meinem Thread zur graphischen Darstellung der irrationalitaet der reellen Zahlen. Hier zusammengefasst:
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/2012/irrational.htm
An den ganzzahligen Stuetzstellen weist die kontinuierliche Funktion bezueglich der Mehrdeutigkeit, Information, Entropie die von der diskreten Version, der Iteration bekannten "vernuenftigen" Eigenschaften auf. Diese basieren bei Verhulst auf einer Mehrdeutigkeit hervorgeufen durch Periodizitaet.
Fuer nichtganzzahlige Werte t ist nun zu erwarten, dass die Eigenschaften abhaengig ist vom Charakter der Zahl t. Eine physikalische Strukturierung aufgrund des Charakters von Zahlen ist zwar nichts Neues (man denke an den goldenen Scbintt als Nichtresonator oder natuerliche Zahlen als Resonator, Moden-Quantenzahlen), aber an dieser Stelle waere dies schon ungewoehnlich.
Sodele jetzt muss ich kurz wie jeden Abend unter den Linearbeschleuniger LB3 in Neuenfeld
Gruesse aus Rohrbach
richy
Edit : Begriff "schwache Loesung" geaendert in "punktuelle Loesung"
Dekohaerenz tritt dann ein, wenn ein Prozess in die globale Entropie eingebunden wird (eine Informationsaenderung darstellt).
So ist es wohl. Und das ist wohl auch der Grund, warum Zeilinger Aussagen trifft wie: Die Wirklichkeit und Information seien dasselbe.
Grüße, AMC
Hi amc
Und wenn der home.arcor server ausfaellt, dann fehlen meine Graphiken in den Beitraegen und damit jede Menge Information. Hoffe arcor funzt wieder :-)
Ansonsten :
In den populaerwissenschaftlichen Beitraegen verwendet Zeilinger zwar den Begriff der Information aber ich meine genau genommen meint er damit etwas anderes. Naemlich eine abstrakte Form der Entropie. Von Neumann Entropie.
Und dann koennte vereinfacht deine Annahme zutreffen.
Und das ist wohl auch der Grund, warum Zeilinger Aussagen trifft wie: Die Wirklichkeit und Information seien dasselbe.
Ich meine auch, dass dem so ist. Allerdings legt sich Zeilinger hier populaerwissenschaftlich wohl extra nicht so genau fest.
Ich kann mir uebrigends vorstellen, dass man meinen letzten Beitraegen nur etwas widerwillig folgen kann. Ich habe diese Umkehrfunktion so dokumentiert, wie sich die Aufgaben im Ablauf fuer mich stellten. Ich hoffe einige Eigenschaften die ich gefunden habe gehen dabei nicht unter. So sitze ich gerade vor zwei Grafiken, die zwar genau das Erfuellen wie ich es erwartet habe, aber warum diese Loesungsfunktion solch teilweise seltsame Eigenschaften aufweist ist fuer mich ein Raetsel.
Den Aspekt zur Zeit moechte ich vor lauter Verwunderung ueber die mathematischen Eigenschaften nicht in Vergessenheit geraten lassen.
Viele Gruesse
richy
Zusammenfassung einiger Saetze :
**************************
Wie bereits erwaehnt ueberraschen auch mich momentan einige mathematischen Zusammenhaenge. Ich kann diese zwar nicht erklaeren, aber dennoch lassen sich daraus Vorhersagen erstellen, die man dann numerisch ueberpruefen kann.
Einige empirisch ermittelte Eigenschaften der analytischen Verhulst Umkehrfunktion :
************************************************** ***********
A) yi:=1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*yi0)+n*2*Pi)));
1) In Gleichung A gibt der Wert von n an wieviele Maxima die Funktion im Intervall t=( 0 .. unendlich) enthaelt.
2) Die Kosinusfunktion A) ist frequenzmoduliert. Im Gegensatz zu einer Amplitudenmodulation weisen die Maxima gleiche Werte (y=1) auf.
Anwendung :
**********
Folgendes numerisches Versuchsergebnis (k=0..4) zeigt, dass der Parameter n einer Loesung (in R) abhaengig ist vom Anfangswert.
http://home.arcor.de/richardon/2012/gaussall.gif
=>
Der Anfangswert yo1 bestimmt mit die Anzahl Maxima fuer ein festes Zeitintervall.
Numerische Ueberpruefung :
*********************
http://home.arcor.de/richardon/2012/staunen1.gif
Man sieht, dass die Funktionen tatsaechlich n Maxima mit dem Wert 1 aufweisen. Man sollte sich nochmals verdeutlichen, dass der Ausdruck A lediglich eine Kosinusfunktion darstellt. Der Arccos-Term stellt ebenso wie der n-Term einen konstanten Ausdruck dar. Die Besonderheit liegt darin, dass die Zeit t nicht linear sondern ueber 2^(-t) in den Kosinus eingeht. Man koennte aus den Schaubildern den Eindruck gewinnen, dass z.B fuer n =3 nur drei Maxima im Intervall t>0 auftreten, weil die restlichen Maxima (t>6) in der Amplitude ausgedaempft werden. Dies waere ein Trugschluss.
http://home.arcor.de/richardon/2012/staunen2.gif
Richtig ist, dass aufgrund der sinkenden Frequenz kein Maxima mehr erreicht wird. Dies mathematisch nachzuweisen waere wohl nicht allzu schwierig. So strebt 2^(-t) gegen Null und der Kosinus von Null gegen eins. Man muss noch zeigen ab welchem Wert die Funktion A monoton fallend ist. (Weitere Eigenschaften folgen)
- Warum ist eine exakte Erfassung der Eigenschaften der chaotischen Verhulst Umkehrfunktion schwierig ?
Die chaotische inverse Loesung lautet :
*****************************
A) yi:=1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*yi0)+n*2*Pi)));
Es existiert folgendes Additionstheorem :
******************************
cos(x +- y)=cos(x) cos(y) -+ sin(x) sin(y)
Gleichung A) laesst sich umformen :
yi:=1/2*(1-cos( 2^(-t)*(arccos(1-2*yi0)+n*2*Pi ))) =
yi:=1/2-1/2*cos( 2^(-t)*arccos(1-2*yi0) + 2^(-t)*n*2*Pi )
Man sieht hier bereits, dass der Faktor 2^(-t) eine direkte Vereinfachung mittels des Additionstheorems verhindert. Es ergeben sich zwei verschiedene Problematiken, die ich mit (rot,blau) gekennzeichnet habe. Anwenden des Additiontheorems :
yi:=1/2-1/2*cos( 2^(-t)*arccos(1-2*yi0))*cos (2^(-t)*n*2*Pi )+1/2*sin( 2^(-t)*arccos(1-2*yi0))*sin( 2^(-t)*n*2*Pi )
BLAUES ARGUMENT
Fuer den Sinus und Kosinus des Arguments 2^(-t)*n*2*Pi=2*Pi * n/2^(t) lassen sich fuer ganzzahlige t und insbesonders fuer grosse n
noch einige Vereinfachungen angeben. Dies sind jedoch sehr spezielle Faelle.
In der Vorwaertsiteration wuerde man 2^(t) statt 2^(-t)=1/2^(t) betrachen. Damit ergeben sich dort einfachere Faelle.
ROTES ARGUMENT
Fuer das rot gekennzeichnete Argument ist das Handling nochmals schwieriger. Der Term ist nicht nur vom Anfangswert y0i abhaengig, sondern ebenfalls von der Variablen t (Zeit). Fuer t wird man auch hier ganzzahlige Werte annehmen muessen, die Iterationsvariable k element N. Fuer cos(2^(-t)*arccos(1-2*yi0)) ist selbst fuer ganzzahlige Werte von t mir keine Vereinfachung bekannt. Auch hier stellt der Faktior 2^(k) der Vorwaertsiteration anstatt 2^(-k) der inversen Itreration den "einfacheren" Fall dar. Hier waere tatsaechlich eine "Vereinfachung" moeglich, die ich im naechsten Beitrag kurz darstellen moechte.
Warum ich bisher nur empirische Gesetze anhand numerischer Versuche verwendet habe, sollte bereits verstaendlich sein.
Die "Arccos Polynome" der chaotischen Verhulst Gleichung
******************************************
Es existiert folgende Aequivalenz :
arccos(2*x^2-1) = 2*arccos|x|
www.matha.rwth-aachen.de/lehre/ss02/ana2/formel.pdf
Dieser Zusammenhang ist der Schluessel fuer die Loesung der Verhulst Gleichung und laesst sich mittels Verkettung
fuer 2^k*arccos|x|, k element N verallgemeinern.
Beispiel einer Verkettung :
2*arccos|x|=arccos|2*x^2-1|
************************
Substitution (Verkettung) : x=2*z^2-1
2*arccos|2*z^2-1|=arccos|2*(2*z^2-1)^2-1|
4*arccos|z|=arccos|8*z^4 - 8*z^2 + 1|
*********************************
Es ergeben sich fuer z>0 zwei Faelle :
z>Wurzel(2)/2
***********
4*arccos|z|=arccos(8*z^4 - 8*z^2 + 1)
z<Wurzel(2)/2
***********
4*arccos|z|=2*Pi-arccos(8*z^4 - 8*z^2 + 1)
http://home.arcor.de/richardon/2012/arccos1.gif
Die Anzahl der Fallunterscheidungen waechst leider unangenehmerweise mit der Anzahl der Verkettungen. Dennoch koennte es lohnend sein die verketteten Polynome von x^2-1 etwas genauer zu untersuchen. Die k-fach verketteten Polynome lassen sich durch die Arccos Funktion auf die Form 2^k*arccos|x| "linearisieren" (Lineares Argument) Diese Untersuchung laesst sich ohne den Zusammenhang zur Verhulst Gleichung durchfuehren. "Just for fun". Damit erkennt man auch folgende Verwandtschaft :
Vergleich mit dem Polynom x^2 und dem Logarithmus.
***************************************
Die k-fache Verkettung des Polynoms x^2 lautet x^(2^k). Es gilt :
ln|x^(2^k)|=2^k*ln|x|
Im Komplexen existiert zwischen dem arccos und dem ln folgender Zusammenhang :
http://upload.wikimedia.org/math/c/9/d/c9d7920dd52a8a7c4bca3b169786e5d1.png
Siehe auch Herleitung arccos(2*x^2-1) = 2*arccos|x| im Komplexen :
http://www.quanten.de/forum/showpost.php5?p=64665&postcount=4
vBulletin® v3.8.8, Copyright ©2000-2024, vBulletin Solutions, Inc.