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Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : "Crashkurs" Topologie


SCR
10.11.11, 12:12
Hallo zusammen,

hier einmal das komprimiert, was ich über Topologie hier in diesem Forum lernen durfte / mir angelesen habe / ich darüber weiß (oder eben auch nicht):

Die Topologie untersucht die Eigenschaften geometrischer Körper (d. h. topologischer Räume), die durch Verformungen mit Homöomorphismen nicht verändert werden. Dazu gehört das Dehnen, Stauchen, Verbiegen, Verzerren, Verdrillen eines Gegenstands. Zum Beispiel haben eine Kugel und ein Becher dieselbe Topologie; sie sind homöomorph. Ebenso sind ein Donut, dessen Form in der Mathematik als Torus bezeichnet wird, und eine einhenkelige Tasse homöomorph.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/26/Mug_and_Torus_morph.gif/220px-Mug_and_Torus_morph.gif

Um einen ersten groben Überblick zu gewinnen, mit was sich die Topologie beschäftigt (und auf welcher Basis), kann ich diesen IMHO hervorragenden Artikel nur wärmstens empfehlen:

Die Lösung eines Jahrhundertproblems; Spektrum der Wissenschaft; 11/2004 (http://www.wissenschaft-online.de/artikel/835346)

-> Zusammengefasst (aus http://www.quanten.de/forum/showpost.php5?p=43521&postcount=85):
Die Topologie des SCR - auch bekannt als die Topologie des langen Quadrats (in memory to EMI ):

Wir haben eine Kugel. Eine Kugel ist ein Batzen. Egal welche Form dieser Batzen hat: Ballförmig, Eiförmig, ausgerollt wie eine Wurst, ... - Er ist in Summe immer positiv gekrümmt.

Das Gegenteil von einem Batzen ist "kein Batzen". Da der "Kein Batzen" das Gegenteil von einem "ein Batzen" ist ist er negativ gekrümmt.

Kombiniere ich einen Batzen mit einem "Kein Batzen" erhalte ich einen Batzen mit einem Loch.
Dabei summieren sich die Krümmungen des "Ein Batzen" mit denen des "Kein Batzen" zu Null -> Ein Batzen mit ein Loch ist in Summe ungekrümmt.

Kombiniere ich einen Batzen mit zwei "Kein Batzen" erhalte ich einen Batzen mit zwei Löchern. Dabei summieren sich die Krümmungen des "Ein Batzen" mit denen der "Kein Batzen" zu einem negativen Ergebnis -> Ein Batzen mit zwei Löchern ist in Summe (einfach) negativ gekrümmt.

Kombiniere ich einen Batzen mit drei "Kein Batzen" erhalte ich einen Batzen mit drei Löchern. Dabei summieren sich die Krümmungen des "Ein Batzen" mit denen der "Kein Batzen" zu einem negativen Ergebnis -> Ein Batzen mit zwei Löchern ist in Summe (zweifach) negativ gekrümmt.

...

Und alle Batzen mit Löchern kann ich mir mit einer Schnur an die Wand hängen.

Anmerkung: Der letzte Satz des Zitats spielt auf die Hintergründe / den Beweis der Poincaré-Vermutung (http://de.wikipedia.org/wiki/Poincar%C3%A9-Vermutung) durch Perleman an (Dem eigentlichen Schwerpunkt des oben verlinkten SdW-Artikels).

Grob geht es bei der Poincaré-Vermutung um Folgendes: z.B. aus http://www.zeit.de/2006/35/Mathe-Topologie:
Wie also könnte der Bewohner einer solchen Fläche herausfinden, auf welcher Sorte er lebt? Die mathematische Antwort: indem er ein unendlich elastisches Gummiband auf alle möglichen Arten um seine Welt spannt. Wenn es in jedem Fall auf einen einzelnen Punkt zusammenschnurrt, lebt man auf einer kugelähnlichen Welt (Abb. 1). Auf Autoreifen und Brezeln kann man dagegen das Gummi immer so spannen, dass es sich nicht zusammenziehen lässt, weil eines der Löcher im Weg ist (Abb. 2, 3).
Diese "Gummiband-Prüfung" visualisiert auch die Wikipedia-Grafik im zugehörigen Artikel:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9e/P1S2all.jpg/400px-P1S2all.jpg

Ergänzend noch einige Hintergrund-Aspekte:

Gauß ging davon aus, dass sich die Kugelgestalt der Erde (= äußere Krümmung) bei der Landvermessung (= Vermessung der inneren Krümmungen) auswirken/zeigen müsste. Sein Theorema egregium (http://de.wikipedia.org/wiki/Theorema_egregium) stellt als Ergebnis seiner diesbezüglichen Überlegungen den globalen Zusammenhang zwischen äußeren und inneren Krümmungen her - Aus http://de.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gau%C3%9F:

Auf dem Gebiet der Geodäsie sammelte Gauß zwischen 1797 und 1801 die ersten Erfahrungen, als er dem französischen Generalquartiermeister Lecoq bei dessen Landesvermessung des Herzogtums Westfalen als Berater zur Seite stand. Zum zweiten Mal kam er 1816 damit in Berührung, als ihn der König von Dänemark mit der Durchführung einer Breiten- und Längengradmessung in dänischem Gebiet beauftragte. Nach abschließenden Verhandlungen leitete Gauß dann zwischen 1818 und 1826 die Landesvermessung des Königreichs Hannover („gaußsche Landesaufnahme“). Durch die von ihm erfundene Methode der kleinsten Quadrate und die systematische Lösung umfangreicher linearer Gleichungssysteme (gaußsches Eliminationsverfahren) gelang ihm eine erhebliche Steigerung der Genauigkeit.
[...]
n diesen Jahren beschäftigte er sich – angeregt durch die Geodäsie und die Karten-Theorie – auch mit der Theorie der Differentialgeometrie der Flächen und führte unter anderem die gaußsche Krümmung ein und bewies sein Theorema egregium, das die Winkelsumme in Dreiecken mit der Krümmung in Beziehung setzt. Es zeigt, dass die Krümmung durch lokale Größen gegeben ist und nicht von der Einbettung der Fläche in den dreidimensionalen Raum abhängt, also auch bei Abbildungen von Flächen aufeinander wie in der Kartenprojektion erhalten bleibt.

Der allgemeinen Relativitätstheorie zufolge ist der Raum in kosmologischem Maßstab möglicherweise „nicht-euklidisch“ (und die Raum-Zeit sowieso, selbst der beschleunigte Fall eines Apfels wird in ihr durch deren Krümmung beschrieben, verursacht durch die Masse der Erde), das heißt gekrümmt, ähnlich wie die Oberfläche der Erde. Wolfgang Sartorius von Waltershausen berichtet,[21] Gauß habe bei Gelegenheit der Hannoverschen Landesvermessung empirisch nach einer Abweichung der Winkelsumme besonders großer Dreiecke vom Euklidischen Wert von 180° gesucht. Wie etwa bei dem Dreieck, das vom Brocken im Harz, dem Inselsberg im Thüringer Wald und dem Hohen Hagen bei Dransfeld gebildet wird. Seitenlängen: Brocken – 68 km – Hoher Hagen – 84 km – Inselberg – 106 km – Brocken.
(Gegebenenfalls vertiefend: http://www-nonlinear.physik.uni-bremen.de/~prichter/pdfs/GaussKruemmung.pdf)

Weiterhin:
Die gaußsche Krümmung ist positiv (K > 0), wenn die Mittelpunkte beider Hauptkrümmungen auf derselben Seite der Fläche liegen, z. B. bei doppelt gekrümmten Flächentragwerken wie Kuppeln oder ganz allgemein in sogen. elliptischen Punkten[1]. Liegen die Mittelpunkte der Hauptkrümmungen dagegen auf unterschiedlichen Seiten der Fläche wie bei einer Sattelfläche oder ganz allgemein in sogen. hyperbolischen Punkten, ist die gaußsche Krümmung dort negativ (K < 0). Möglich ist aber auch, dass die gaußsche Krümmung gleich Null wird, entweder dadurch, dass nur eine der beiden Hauptkrümmungen verschwindet wie in sogen. parabolischen Punkten, z.B. auf einer Zylinderoberfläche, oder aber dadurch, dass die Fläche überhaupt ungekrümmt ist, also beide Hauptkrümmungen gleich Null werden.

Und aus http://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_curvature#Theorema_egregium:
The "remarkable", and surprising, feature of this theorem is that although the definition of the Gaussian curvature of a surface S in R3 certainly depends on the way in which the surface is located in space, the end result, the Gaussian curvature itself, is determined by the inner metric of the surface without any further reference to the ambient space: it is an intrinsic invariant. [...]

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Gaussian_curvature.PNG/220px-Gaussian_curvature.PNG

From left to right: a surface of negative Gaussian curvature (hyperboloid), a surface of zero Gaussian curvature (cylinder), and a surface of positive Gaussian curvature (sphere).
[...]
The Gauss-Bonnet theorem links the total curvature of a surface to its Euler characteristic and provides an important link between local geometric properties and global topological properties.

Der Satz von Gauß-Bonnet besagt:
Verzerrt man die Mannigfaltigkeit, so bleibt ihre Euler-Charakteristik unverändert, im Gegensatz zur Gaußkrümmung an den einzelnen Punkten. Der Satz sagt aus, dass das Integral über die Krümmung, also die Gesamtkrümmung, unverändert bleibt.

EDIT: Das ist im Groben MEIN Bild "der Topologie". Ob es 100%ig richtig ist weiß ich nicht -> Korrekturen, Anmerkungen, Ergänzungen gerne!

Gruß
SCR

P.S.: Ich fordere hiermit auch die umgehende Wiederherstellung aller Beiträge EMIs das lange Quadrat betreffend. ;) :D

JoAx
11.11.11, 10:41
Hallo SCR!

Ich bin auch dabei, die Topologie einzuordnen, was mir bis jetzt aber, nach eigenem Einschätzen, nicht wirklich gelingt. Also -> alles imho:

Das ist im Groben MEIN Bild "der Topologie". Ob es 100%ig richtig ist weiß ich nicht


Was mir da auffällt, ist - dass du imho Geometrie und Topologie zu sehr vermischst (zu wenig von einander abgrenzt). Bspl.:

Topologie:

- Offene Kugel mit Radius R: alle Punkte mit dem Abstand r<R
- Abgeschlossene offene Kugel mit Radius R: alle Punkte mit dem Abstand r=<R

Die Topologie untersucht die Eigenschaften geometrischer Körper

Geometrischer Körper = Teilmenge.

Ich komme gleich auf den Punkt - Topologische Räume haben immer einen Rand. Dieser mag zwar zur Menge nicht zu gehören ("offene Menge"), es gibt diesen aber dennoch. Über die geometrische "Beschaffenheit" des (ganzen) Randes kann man die Topologie des Körpers selbst bestimmen.

Wie sind aber die Beziehungen zwischen einzelnen Elementen/Punkten der (Teil-) Menge?
Abstand, Winkel?
Die sind euklidisch, wenn die Menge (nicht Teilmenge) euklidisch ist.


Gruß, Johann

eigenvector
12.11.11, 11:02
Ich komme gleich auf den Punkt - Topologische Räume haben immer einen Rand. Dieser mag zwar zur Menge nicht zu gehören ("offene Menge"), es gibt diesen aber dennoch. Über die geometrische "Beschaffenheit" des (ganzen) Randes kann man die Topologie des Körpers selbst bestimmen.

Das hört sich ein bisschen komisch an.
Eine leere Menge ist per Definition offen, somit ist ein Topologischer Raum als Menge in sich immer abgeschlossen (und außerdem per Definition offen). Der Rand ist also immer dabei.

JoAx
12.11.11, 11:33
Hallo eigenvektor!

Das hört sich ein bisschen komisch an.
Eine leere Menge ist per Definition offen, somit ist ein Topologischer Raum als Menge in sich immer abgeschlossen (und außerdem per Definition offen). Der Rand ist also immer dabei.

Warum soll daraus, dass eine leere Menge per Definition offen ist, folgen, dass ein (beliebiger) topologischer Raum immer (in sich?) abgeschlossen und offen sein soll?

offener Raum: -1<x<1 - der Rand gehört nicht zur Menge
abgeschlossener Raum: -1≤x≤1 - der Rand gehört zur Menge

?

Gruß, Johann

NACHTRAG:
Da fällt mir noch etwas zu "Batzen"/"kein Batzen" ein.

A: -10<a<10
B: -5≤b≤5
C = A - B: -10<c<-5 ∪ 5<c<10

SCR
12.11.11, 17:44
Hallo JoAx, Hallo eigenvector,
Was mir da auffällt, ist - dass du imho Geometrie und Topologie zu sehr vermischst (zu wenig von einander abgrenzt).
Ja (?):
Die Topologie (gr. τόπος, tópos, „Ort“, „Platz“ und -logie) oder Analysis situs, wie sie früher meistens genannt wurde, ist ein Teilgebiet der Mathematik. Sie ist im Wesentlichen eine Schöpfung des 20. Jahrhunderts und bereits seit Jahrzehnten als Grundlagenfach anerkannt. Insofern hat sie (zusammen unter anderem mit der linearen Algebra und der Maßtheorie) das Erbe der Geometrie angetreten.

http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Topologie

Wie stellen sich die Universitäten bezüglich der Topologie auf? (Das sind jetzt einfach einmal die ersten drei Google-Treffer):
http://www.mathematik.uni-muenchen.de/forschung/arbeitsgruppen/diffgeo_top/index.html
http://www.mathematik.uni-osnabrueck.de/index.php?controller=ag-topologie
http://www.math.uni-bielefeld.de/~geotop/
...

Zum Thema "offen" bzw. "geschlossen":

Man betrachte hierzu mein Avatar: Ein Kubus ist homöomorph zu einer Sphäre -> Eine Kugel kann man so "kneten", dass ihre positiven Krümmungen ausschließlich in den Kanten zum Tragen kommen - Der Rest des Körpers (= alle Seitenflächen) ist flach:

http://img690.imageshack.us/img690/2976/quadergekrmmt.jpg

Gleiches gilt für einen (kompletten) Zylinder (= "mit Deckel"):

http://img690.imageshack.us/img690/7457/kugelzylinder.jpg

Auch hier wurden die positiven Krümmungen "in der Kante konzentriert":

http://img200.imageshack.us/img200/9130/winkelsumme.jpg

Das Vorhandensein von "Kanten", die nicht nur reine äußere Krümmungen (wie diese z.B. beim Zerknüllen eines Blattes Papier entstehen) darstellen, sondern gleichzeitig innere Krümmungen repräsentieren, erfordern es, dass der topologisch betrachtete Körper abgeschlossen ist -> Ein offener Kubus bzw. Zylinder (ohne Löcher) ist (meines Wissens auch laut Lehrbuch) flach.
C = A - B: -10<c<-5 ∪ 5<c<10
bzw. 5i < ci < 10i (?)

eigenvector
12.11.11, 17:48
Warum soll daraus, dass eine leere Menge per Definition offen ist, folgen, dass ein (beliebiger) topologischer Raum immer (in sich?) abgeschlossen und offen sein soll?

Dass der gesamte Topologische Raum offen ist, gilt per Definition.
Das Komplement der Leeren Menge ist der gesamte Topologische Raum. Das Komplement einer offenen Menge ist abgeschlossen. Also ist der gesamte Topologische Raum abgeschlossen.

JoAx
13.11.11, 00:36
Hallo eigenvector!

Dass der gesamte Topologische Raum offen ist, gilt per Definition.
Das Komplement der Leeren Menge ist der gesamte Topologische Raum. Das Komplement einer offenen Menge ist abgeschlossen. Also ist der gesamte Topologische Raum abgeschlossen.

Wo liegt mein Fehler?
In der Verwendung von 'Menge', wo 'Teilmenge' verwendet werden musste?
Oder ... ?


Gruß, Johann

JoAx
13.11.11, 00:43
Ja (?):


Ich denke schon SCR, auch wenn ich mich irren kann.
Ich sehe das laienhaft so, dass man die Topologie nicht ohne Geometrie betreiben kann. Umgekehrt geht das aber.

Alle Körper, die du vorführst haben einen Rand. Für eine Kugel wäre das r=R. Die Flache, die den Rand "bildet", hat aber selbst keinen Rand.


Gruß, Johann

SCR
13.11.11, 11:02
Hallo JoAx,
Alle Körper, die du vorführst haben einen Rand. Für eine Kugel wäre das r=R. Die Flache, die den Rand "bildet", hat aber selbst keinen Rand.
Ja, der "Rand" ist IMHO entscheidend ... vielleicht sollten wir das Thema einmal an Hand eines konkreten Praxis-Beispiels diskutieren:

Das flamm'sche Paraboloid (= Äußere Schwarzschildlösung) lässt sich in drei Bereiche aufteilen (von außen nach innen):
1. Bereich: "Die Schwarzschildmetrik geht asymptotisch im Unendlichen in die Minkowski-Metrik über"
-> Wir betrachten einen offenen, "unendlichen" Körper -> Hier fehlen IMHO schlichtweg die "äußeren", positiven Krümmungen eines "typischen Batzens".
2. Bereich: Das "Oberteil" eines Hyperboloiden -> Negative Krümmungen.
3. Bereich: Die Koordinaten-Singularität / Der EH führen topologisch betrachtet zu einem Loch.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b4/Flamm.jpg/220px-Flamm.jpg
(Quelle: wikipedia; Bereich 1 nicht abgebildet)

-> Vom topologischen Standpunkt aus betrachtet müsste das Flamm'sche Paraboloid nergativ gekrümmt sein.

Innere Schwarzschildlösung:
Die innere Schwarzschildlösung beschreibt eine Sphäre

-> Vom topologischen Standpunkt aus betrachtet müsste die innere Schwarzschildlösung positiv gekrümmt sein.

Die vollständige Schwarzschildlösung ergibt sich aus der Kombination der äußeren mit der inneren Schwarzschildlösung:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e7/Schwarzschild_interior.jpg/220px-Schwarzschild_interior.jpg
(Quelle: wikipedia)

"Das Loch" wurde geschlossen = Die negativen Krümmungen der äußeren Lösung heben sich mit den positiven Krümmungen der inneren Lösung auf

-> Vom topologischen Standpunkt aus betrachtet müsste sich die vollständige Schwarzschildlösung global gesehen flach darstellen.

Wie seht Ihr das?

Anmerkung: Die "äußere flache Minkowski-Metrik" findet man nur im Modell und nicht in der Realität.

eigenvector
13.11.11, 11:35
Hallo eigenvector!



Wo liegt mein Fehler?
In der Verwendung von 'Menge', wo 'Teilmenge' verwendet werden musste?
Oder ... ?


Gruß, Johann

Ja, dann macht das auf jeden Fall mehr Sinn.
Man muss aber immer aufpassen, als Teilmenge welchen Topologischen Raums man so eine Teilmenge denn betrachtet.

JoAx
13.11.11, 13:03
Ja, dann macht das auf jeden Fall mehr Sinn.
Man muss aber immer aufpassen, als Teilmenge welchen Topologischen Raums man so eine Teilmenge denn betrachtet.

Alles klar! Danke! :D


Gruß, Johann

JoAx
13.11.11, 13:17
Hallo SCR!


http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b4/Flamm.jpg/220px-Flamm.jpg
(Quelle: wikipedia; Bereich 1 nicht abgebildet)

-> Vom topologischen Standpunkt aus betrachtet müsste das Flamm'sche Paraboloid nergativ gekrümmt sein.


Kannst du mir bitte erklären, wo/wann es bei der Topologie (nicht Geometrie) überhaupt um Krümmungen geht?

Bei der ART geht es doch ausschließlich um Geometrie, oder nicht? Das ganze Universum oder auch nur begrenzte bereiche davon werden geometrisch, und nicht topologisch behandelt. (?)


Innere Schwarzschildlösung:
Die innere Schwarzschildlösung beschreibt eine Sphäre

-> Vom topologischen Standpunkt aus betrachtet müsste die innere Schwarzschildlösung positiv gekrümmt sein.


Auch hier - ...


Wie seht Ihr das?


Meine Einschätzung sollte klar geworden sein. Oder?


Anmerkung: Die "äußere flache Minkowski-Metrik" findet man nur im Modell und nicht in der Realität.

Das ist völlig überflüssig. Die Minkowski-Metrik im Unendlichen ist eine Randbedingung. Unter anderem auch diese macht es überhaupt möglich irgendeine Lösung zu finden.


Gruß, Johann

SCR
13.11.11, 21:32
Hallo JoAx,
Kannst du mir bitte erklären, wo/wann es bei der Topologie (nicht Geometrie) überhaupt um Krümmungen geht?
Die äußere Gestalt eines Körpers/Raums (= Topologie) erlaubt Dir globale Aussagen über die inneren Krümmungen (= Geometrie) des Körpers/Raums.
Exemplarisch aus
Um einen ersten groben Überblick zu gewinnen, mit was sich die Topologie beschäftigt (und auf welcher Basis), kann ich diesen IMHO hervorragenden Artikel nur wärmstens empfehlen: Die Lösung eines Jahrhundertproblems; Spektrum der Wissenschaft; 11/2004 (http://www.wissenschaft-online.de/artikel/835346)

http://img811.imageshack.us/img811/6775/topogeo.jpg

Bei der ART geht es doch ausschließlich um Geometrie, oder nicht? Das ganze Universum oder auch nur begrenzte bereiche davon werden geometrisch, und nicht topologisch behandelt. (?)
Was hast Du denn eigentlich gegen die Topologie / Warum willst Du sie unbedingt von der Geometrie abgrenzen? Verstehe ich nicht ganz.

Das ist völlig überflüssig. Die Minkowski-Metrik im Unendlichen ist eine Randbedingung. Unter anderem auch diese macht es überhaupt möglich irgendeine Lösung zu finden.
Und mit diesem "topologischen Grundwissen" schaue ich mir jetzt einmal die Schwarzschildlösung "von außen" an. Da erkenne ich sofort zwei "Krümmungsprobleme": Eines im Zentrum, eines außenherum.

Die äußere Lösung weist "im Zentrum" durch die Singularität ein Loch in der Mannigfaltigkeit auf -> Ein Loch von außen betrachtet bedeutet stets, dass negative äußere wie auch innere Krümmungen vorliegen (k<0).

Alle Schwarzschildlösungen weisen außen das Problem ihrer Offenheit auf: "Die Schwarzschildmetrik geht asymptotisch nach außen hin in die Minowskimetrik über". Das entspricht ja nun keinesfalls der Realität: In einem Universum bestehend aus nur einer Zentralmasse werden wir keinen Ort finden, an welchem nicht die Gravitation derselben Auswirkung zeigen würde -> Die Schwarzschildlösung eignet sich deshalb auch nicht als kosmologisches Modell sondern nur als lokal anwendbare Lösung.

Nun kann ich das "innere Krümmungsproblem" (es handelt sich lediglich um eine Koordinatensingularität) dadurch beheben, dass ich die äußere um die innere zur vollständigen Schwarzschildlösung ergänze.
Topologisch betrachtet "verschwindet dadurch das Loch" und damit auch die äußeren wie auch die inneren (diese in Summe: negative und positive innere Krümmungen heben sich gegenseitig auf) Krümmungen der Mannigfaltigkeit -> k=0 bei Zugrundelegung der vollständigen Schwarzschildlösung.

Um das "äußere Krümmungsproblem" zu beheben bringe ich die Mannigfaltigkeit "mit sich selbst zum Abschluß" -> Ich "nehme die Schere" und ergänze außen positive Krümmungen (Siehe den gebastelten Globus von oben) bis eine geschlossene Mannigfaltigkeit vorliegt (~ "Jetzt wirkt die Gravitation überall" weil jetzt überall innere Krümmungen vorliegen).

Ergebnis:
Diese "modifizierte" vollständige Schwarzschildlösung würde nun auch die "eigentlich korrekte" Schnittkrümmung aufweisen: k>0.
Denn jetzt haben wir nur noch einen Batzen Knet vor uns liegen - Und der ist positiv gekrümmt. Von außen als auch von innen betrachtet.

So ungefähr verstehe ich "topologische Physik".