SCR
10.11.11, 11:12
Hallo zusammen,
hier einmal das komprimiert, was ich über Topologie hier in diesem Forum lernen durfte / mir angelesen habe / ich darüber weiß (oder eben auch nicht):
Die Topologie untersucht die Eigenschaften geometrischer Körper (d. h. topologischer Räume), die durch Verformungen mit Homöomorphismen nicht verändert werden. Dazu gehört das Dehnen, Stauchen, Verbiegen, Verzerren, Verdrillen eines Gegenstands. Zum Beispiel haben eine Kugel und ein Becher dieselbe Topologie; sie sind homöomorph. Ebenso sind ein Donut, dessen Form in der Mathematik als Torus bezeichnet wird, und eine einhenkelige Tasse homöomorph.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/26/Mug_and_Torus_morph.gif/220px-Mug_and_Torus_morph.gif
Um einen ersten groben Überblick zu gewinnen, mit was sich die Topologie beschäftigt (und auf welcher Basis), kann ich diesen IMHO hervorragenden Artikel nur wärmstens empfehlen:
Die Lösung eines Jahrhundertproblems; Spektrum der Wissenschaft; 11/2004 (http://www.wissenschaft-online.de/artikel/835346)
-> Zusammengefasst (aus http://www.quanten.de/forum/showpost.php5?p=43521&postcount=85):
Die Topologie des SCR - auch bekannt als die Topologie des langen Quadrats (in memory to EMI ):
Wir haben eine Kugel. Eine Kugel ist ein Batzen. Egal welche Form dieser Batzen hat: Ballförmig, Eiförmig, ausgerollt wie eine Wurst, ... - Er ist in Summe immer positiv gekrümmt.
Das Gegenteil von einem Batzen ist "kein Batzen". Da der "Kein Batzen" das Gegenteil von einem "ein Batzen" ist ist er negativ gekrümmt.
Kombiniere ich einen Batzen mit einem "Kein Batzen" erhalte ich einen Batzen mit einem Loch.
Dabei summieren sich die Krümmungen des "Ein Batzen" mit denen des "Kein Batzen" zu Null -> Ein Batzen mit ein Loch ist in Summe ungekrümmt.
Kombiniere ich einen Batzen mit zwei "Kein Batzen" erhalte ich einen Batzen mit zwei Löchern. Dabei summieren sich die Krümmungen des "Ein Batzen" mit denen der "Kein Batzen" zu einem negativen Ergebnis -> Ein Batzen mit zwei Löchern ist in Summe (einfach) negativ gekrümmt.
Kombiniere ich einen Batzen mit drei "Kein Batzen" erhalte ich einen Batzen mit drei Löchern. Dabei summieren sich die Krümmungen des "Ein Batzen" mit denen der "Kein Batzen" zu einem negativen Ergebnis -> Ein Batzen mit zwei Löchern ist in Summe (zweifach) negativ gekrümmt.
...
Und alle Batzen mit Löchern kann ich mir mit einer Schnur an die Wand hängen.
Anmerkung: Der letzte Satz des Zitats spielt auf die Hintergründe / den Beweis der Poincaré-Vermutung (http://de.wikipedia.org/wiki/Poincar%C3%A9-Vermutung) durch Perleman an (Dem eigentlichen Schwerpunkt des oben verlinkten SdW-Artikels).
Grob geht es bei der Poincaré-Vermutung um Folgendes: z.B. aus http://www.zeit.de/2006/35/Mathe-Topologie:
Wie also könnte der Bewohner einer solchen Fläche herausfinden, auf welcher Sorte er lebt? Die mathematische Antwort: indem er ein unendlich elastisches Gummiband auf alle möglichen Arten um seine Welt spannt. Wenn es in jedem Fall auf einen einzelnen Punkt zusammenschnurrt, lebt man auf einer kugelähnlichen Welt (Abb. 1). Auf Autoreifen und Brezeln kann man dagegen das Gummi immer so spannen, dass es sich nicht zusammenziehen lässt, weil eines der Löcher im Weg ist (Abb. 2, 3).
Diese "Gummiband-Prüfung" visualisiert auch die Wikipedia-Grafik im zugehörigen Artikel:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9e/P1S2all.jpg/400px-P1S2all.jpg
Ergänzend noch einige Hintergrund-Aspekte:
Gauß ging davon aus, dass sich die Kugelgestalt der Erde (= äußere Krümmung) bei der Landvermessung (= Vermessung der inneren Krümmungen) auswirken/zeigen müsste. Sein Theorema egregium (http://de.wikipedia.org/wiki/Theorema_egregium) stellt als Ergebnis seiner diesbezüglichen Überlegungen den globalen Zusammenhang zwischen äußeren und inneren Krümmungen her - Aus http://de.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gau%C3%9F:
Auf dem Gebiet der Geodäsie sammelte Gauß zwischen 1797 und 1801 die ersten Erfahrungen, als er dem französischen Generalquartiermeister Lecoq bei dessen Landesvermessung des Herzogtums Westfalen als Berater zur Seite stand. Zum zweiten Mal kam er 1816 damit in Berührung, als ihn der König von Dänemark mit der Durchführung einer Breiten- und Längengradmessung in dänischem Gebiet beauftragte. Nach abschließenden Verhandlungen leitete Gauß dann zwischen 1818 und 1826 die Landesvermessung des Königreichs Hannover („gaußsche Landesaufnahme“). Durch die von ihm erfundene Methode der kleinsten Quadrate und die systematische Lösung umfangreicher linearer Gleichungssysteme (gaußsches Eliminationsverfahren) gelang ihm eine erhebliche Steigerung der Genauigkeit.
[...]
n diesen Jahren beschäftigte er sich – angeregt durch die Geodäsie und die Karten-Theorie – auch mit der Theorie der Differentialgeometrie der Flächen und führte unter anderem die gaußsche Krümmung ein und bewies sein Theorema egregium, das die Winkelsumme in Dreiecken mit der Krümmung in Beziehung setzt. Es zeigt, dass die Krümmung durch lokale Größen gegeben ist und nicht von der Einbettung der Fläche in den dreidimensionalen Raum abhängt, also auch bei Abbildungen von Flächen aufeinander wie in der Kartenprojektion erhalten bleibt.
Der allgemeinen Relativitätstheorie zufolge ist der Raum in kosmologischem Maßstab möglicherweise „nicht-euklidisch“ (und die Raum-Zeit sowieso, selbst der beschleunigte Fall eines Apfels wird in ihr durch deren Krümmung beschrieben, verursacht durch die Masse der Erde), das heißt gekrümmt, ähnlich wie die Oberfläche der Erde. Wolfgang Sartorius von Waltershausen berichtet,[21] Gauß habe bei Gelegenheit der Hannoverschen Landesvermessung empirisch nach einer Abweichung der Winkelsumme besonders großer Dreiecke vom Euklidischen Wert von 180° gesucht. Wie etwa bei dem Dreieck, das vom Brocken im Harz, dem Inselsberg im Thüringer Wald und dem Hohen Hagen bei Dransfeld gebildet wird. Seitenlängen: Brocken – 68 km – Hoher Hagen – 84 km – Inselberg – 106 km – Brocken.
(Gegebenenfalls vertiefend: http://www-nonlinear.physik.uni-bremen.de/~prichter/pdfs/GaussKruemmung.pdf)
Weiterhin:
Die gaußsche Krümmung ist positiv (K > 0), wenn die Mittelpunkte beider Hauptkrümmungen auf derselben Seite der Fläche liegen, z. B. bei doppelt gekrümmten Flächentragwerken wie Kuppeln oder ganz allgemein in sogen. elliptischen Punkten[1]. Liegen die Mittelpunkte der Hauptkrümmungen dagegen auf unterschiedlichen Seiten der Fläche wie bei einer Sattelfläche oder ganz allgemein in sogen. hyperbolischen Punkten, ist die gaußsche Krümmung dort negativ (K < 0). Möglich ist aber auch, dass die gaußsche Krümmung gleich Null wird, entweder dadurch, dass nur eine der beiden Hauptkrümmungen verschwindet wie in sogen. parabolischen Punkten, z.B. auf einer Zylinderoberfläche, oder aber dadurch, dass die Fläche überhaupt ungekrümmt ist, also beide Hauptkrümmungen gleich Null werden.
Und aus http://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_curvature#Theorema_egregium:
The "remarkable", and surprising, feature of this theorem is that although the definition of the Gaussian curvature of a surface S in R3 certainly depends on the way in which the surface is located in space, the end result, the Gaussian curvature itself, is determined by the inner metric of the surface without any further reference to the ambient space: it is an intrinsic invariant. [...]
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Gaussian_curvature.PNG/220px-Gaussian_curvature.PNG
From left to right: a surface of negative Gaussian curvature (hyperboloid), a surface of zero Gaussian curvature (cylinder), and a surface of positive Gaussian curvature (sphere).
[...]
The Gauss-Bonnet theorem links the total curvature of a surface to its Euler characteristic and provides an important link between local geometric properties and global topological properties.
Der Satz von Gauß-Bonnet besagt:
Verzerrt man die Mannigfaltigkeit, so bleibt ihre Euler-Charakteristik unverändert, im Gegensatz zur Gaußkrümmung an den einzelnen Punkten. Der Satz sagt aus, dass das Integral über die Krümmung, also die Gesamtkrümmung, unverändert bleibt.
EDIT: Das ist im Groben MEIN Bild "der Topologie". Ob es 100%ig richtig ist weiß ich nicht -> Korrekturen, Anmerkungen, Ergänzungen gerne!
Gruß
SCR
P.S.: Ich fordere hiermit auch die umgehende Wiederherstellung aller Beiträge EMIs das lange Quadrat betreffend. ;) :D
hier einmal das komprimiert, was ich über Topologie hier in diesem Forum lernen durfte / mir angelesen habe / ich darüber weiß (oder eben auch nicht):
Die Topologie untersucht die Eigenschaften geometrischer Körper (d. h. topologischer Räume), die durch Verformungen mit Homöomorphismen nicht verändert werden. Dazu gehört das Dehnen, Stauchen, Verbiegen, Verzerren, Verdrillen eines Gegenstands. Zum Beispiel haben eine Kugel und ein Becher dieselbe Topologie; sie sind homöomorph. Ebenso sind ein Donut, dessen Form in der Mathematik als Torus bezeichnet wird, und eine einhenkelige Tasse homöomorph.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/26/Mug_and_Torus_morph.gif/220px-Mug_and_Torus_morph.gif
Um einen ersten groben Überblick zu gewinnen, mit was sich die Topologie beschäftigt (und auf welcher Basis), kann ich diesen IMHO hervorragenden Artikel nur wärmstens empfehlen:
Die Lösung eines Jahrhundertproblems; Spektrum der Wissenschaft; 11/2004 (http://www.wissenschaft-online.de/artikel/835346)
-> Zusammengefasst (aus http://www.quanten.de/forum/showpost.php5?p=43521&postcount=85):
Die Topologie des SCR - auch bekannt als die Topologie des langen Quadrats (in memory to EMI ):
Wir haben eine Kugel. Eine Kugel ist ein Batzen. Egal welche Form dieser Batzen hat: Ballförmig, Eiförmig, ausgerollt wie eine Wurst, ... - Er ist in Summe immer positiv gekrümmt.
Das Gegenteil von einem Batzen ist "kein Batzen". Da der "Kein Batzen" das Gegenteil von einem "ein Batzen" ist ist er negativ gekrümmt.
Kombiniere ich einen Batzen mit einem "Kein Batzen" erhalte ich einen Batzen mit einem Loch.
Dabei summieren sich die Krümmungen des "Ein Batzen" mit denen des "Kein Batzen" zu Null -> Ein Batzen mit ein Loch ist in Summe ungekrümmt.
Kombiniere ich einen Batzen mit zwei "Kein Batzen" erhalte ich einen Batzen mit zwei Löchern. Dabei summieren sich die Krümmungen des "Ein Batzen" mit denen der "Kein Batzen" zu einem negativen Ergebnis -> Ein Batzen mit zwei Löchern ist in Summe (einfach) negativ gekrümmt.
Kombiniere ich einen Batzen mit drei "Kein Batzen" erhalte ich einen Batzen mit drei Löchern. Dabei summieren sich die Krümmungen des "Ein Batzen" mit denen der "Kein Batzen" zu einem negativen Ergebnis -> Ein Batzen mit zwei Löchern ist in Summe (zweifach) negativ gekrümmt.
...
Und alle Batzen mit Löchern kann ich mir mit einer Schnur an die Wand hängen.
Anmerkung: Der letzte Satz des Zitats spielt auf die Hintergründe / den Beweis der Poincaré-Vermutung (http://de.wikipedia.org/wiki/Poincar%C3%A9-Vermutung) durch Perleman an (Dem eigentlichen Schwerpunkt des oben verlinkten SdW-Artikels).
Grob geht es bei der Poincaré-Vermutung um Folgendes: z.B. aus http://www.zeit.de/2006/35/Mathe-Topologie:
Wie also könnte der Bewohner einer solchen Fläche herausfinden, auf welcher Sorte er lebt? Die mathematische Antwort: indem er ein unendlich elastisches Gummiband auf alle möglichen Arten um seine Welt spannt. Wenn es in jedem Fall auf einen einzelnen Punkt zusammenschnurrt, lebt man auf einer kugelähnlichen Welt (Abb. 1). Auf Autoreifen und Brezeln kann man dagegen das Gummi immer so spannen, dass es sich nicht zusammenziehen lässt, weil eines der Löcher im Weg ist (Abb. 2, 3).
Diese "Gummiband-Prüfung" visualisiert auch die Wikipedia-Grafik im zugehörigen Artikel:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9e/P1S2all.jpg/400px-P1S2all.jpg
Ergänzend noch einige Hintergrund-Aspekte:
Gauß ging davon aus, dass sich die Kugelgestalt der Erde (= äußere Krümmung) bei der Landvermessung (= Vermessung der inneren Krümmungen) auswirken/zeigen müsste. Sein Theorema egregium (http://de.wikipedia.org/wiki/Theorema_egregium) stellt als Ergebnis seiner diesbezüglichen Überlegungen den globalen Zusammenhang zwischen äußeren und inneren Krümmungen her - Aus http://de.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gau%C3%9F:
Auf dem Gebiet der Geodäsie sammelte Gauß zwischen 1797 und 1801 die ersten Erfahrungen, als er dem französischen Generalquartiermeister Lecoq bei dessen Landesvermessung des Herzogtums Westfalen als Berater zur Seite stand. Zum zweiten Mal kam er 1816 damit in Berührung, als ihn der König von Dänemark mit der Durchführung einer Breiten- und Längengradmessung in dänischem Gebiet beauftragte. Nach abschließenden Verhandlungen leitete Gauß dann zwischen 1818 und 1826 die Landesvermessung des Königreichs Hannover („gaußsche Landesaufnahme“). Durch die von ihm erfundene Methode der kleinsten Quadrate und die systematische Lösung umfangreicher linearer Gleichungssysteme (gaußsches Eliminationsverfahren) gelang ihm eine erhebliche Steigerung der Genauigkeit.
[...]
n diesen Jahren beschäftigte er sich – angeregt durch die Geodäsie und die Karten-Theorie – auch mit der Theorie der Differentialgeometrie der Flächen und führte unter anderem die gaußsche Krümmung ein und bewies sein Theorema egregium, das die Winkelsumme in Dreiecken mit der Krümmung in Beziehung setzt. Es zeigt, dass die Krümmung durch lokale Größen gegeben ist und nicht von der Einbettung der Fläche in den dreidimensionalen Raum abhängt, also auch bei Abbildungen von Flächen aufeinander wie in der Kartenprojektion erhalten bleibt.
Der allgemeinen Relativitätstheorie zufolge ist der Raum in kosmologischem Maßstab möglicherweise „nicht-euklidisch“ (und die Raum-Zeit sowieso, selbst der beschleunigte Fall eines Apfels wird in ihr durch deren Krümmung beschrieben, verursacht durch die Masse der Erde), das heißt gekrümmt, ähnlich wie die Oberfläche der Erde. Wolfgang Sartorius von Waltershausen berichtet,[21] Gauß habe bei Gelegenheit der Hannoverschen Landesvermessung empirisch nach einer Abweichung der Winkelsumme besonders großer Dreiecke vom Euklidischen Wert von 180° gesucht. Wie etwa bei dem Dreieck, das vom Brocken im Harz, dem Inselsberg im Thüringer Wald und dem Hohen Hagen bei Dransfeld gebildet wird. Seitenlängen: Brocken – 68 km – Hoher Hagen – 84 km – Inselberg – 106 km – Brocken.
(Gegebenenfalls vertiefend: http://www-nonlinear.physik.uni-bremen.de/~prichter/pdfs/GaussKruemmung.pdf)
Weiterhin:
Die gaußsche Krümmung ist positiv (K > 0), wenn die Mittelpunkte beider Hauptkrümmungen auf derselben Seite der Fläche liegen, z. B. bei doppelt gekrümmten Flächentragwerken wie Kuppeln oder ganz allgemein in sogen. elliptischen Punkten[1]. Liegen die Mittelpunkte der Hauptkrümmungen dagegen auf unterschiedlichen Seiten der Fläche wie bei einer Sattelfläche oder ganz allgemein in sogen. hyperbolischen Punkten, ist die gaußsche Krümmung dort negativ (K < 0). Möglich ist aber auch, dass die gaußsche Krümmung gleich Null wird, entweder dadurch, dass nur eine der beiden Hauptkrümmungen verschwindet wie in sogen. parabolischen Punkten, z.B. auf einer Zylinderoberfläche, oder aber dadurch, dass die Fläche überhaupt ungekrümmt ist, also beide Hauptkrümmungen gleich Null werden.
Und aus http://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_curvature#Theorema_egregium:
The "remarkable", and surprising, feature of this theorem is that although the definition of the Gaussian curvature of a surface S in R3 certainly depends on the way in which the surface is located in space, the end result, the Gaussian curvature itself, is determined by the inner metric of the surface without any further reference to the ambient space: it is an intrinsic invariant. [...]
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Gaussian_curvature.PNG/220px-Gaussian_curvature.PNG
From left to right: a surface of negative Gaussian curvature (hyperboloid), a surface of zero Gaussian curvature (cylinder), and a surface of positive Gaussian curvature (sphere).
[...]
The Gauss-Bonnet theorem links the total curvature of a surface to its Euler characteristic and provides an important link between local geometric properties and global topological properties.
Der Satz von Gauß-Bonnet besagt:
Verzerrt man die Mannigfaltigkeit, so bleibt ihre Euler-Charakteristik unverändert, im Gegensatz zur Gaußkrümmung an den einzelnen Punkten. Der Satz sagt aus, dass das Integral über die Krümmung, also die Gesamtkrümmung, unverändert bleibt.
EDIT: Das ist im Groben MEIN Bild "der Topologie". Ob es 100%ig richtig ist weiß ich nicht -> Korrekturen, Anmerkungen, Ergänzungen gerne!
Gruß
SCR
P.S.: Ich fordere hiermit auch die umgehende Wiederherstellung aller Beiträge EMIs das lange Quadrat betreffend. ;) :D