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Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : Wenn ein Kilometer kein Kilometer mehr und das obendrein noch unterschiedlich ist ...


SCR
18.02.12, 12:59
Warum in die Ferne schweifen wenn das Gute liegt so nah? :rolleyes:

(Und um dem "Das ist doch alles nur Newton"-Bauchgrummeln etwas den Boden zu entziehen ;)):
Auf einem Neutronenstern der 1.4fachen Sonnenmasse mit einem Radius von 10km befindet sich ein Turm von 100 m Höhe (feldfreie Längenangaben). Wie gross ist die Zeitdilatation zwischen den Beobachtern auf der Oberfläche und auf der Turmspitze?

Man könnte jetzt auch noch die Zeitdilatationen der Turmbeobachter A und B aus Sicht eines feldfreien Beobachter C mit r3->∞ausrechnen. Das Prinzip ist das gleiche.

restart; Digits:=20;
M:=1.4*1.989e30; G:=6.67428e-11; c:=299792458;
a:=G*M/c^2; theta:=0;phi:=0; r_s:=2*a; r1:=10000;r2:=10100;

# Newton-Potential:
dE_pot:=-m*M*G*(1/r2-1/r1)

Zeitdilatationsfaktor :
f_t := 1 + M*G*(1/r2-1/r1) / c^2 ;
f_t = 1.0020474 (Newton-Näherung)

# Schwarzschild-Metrik:
with (linalg):
g_ik:=matrix(4,4,[int(sqrt(1-r_s/r),r=r1..r2),0,0,0,0,-int(sqrt(1/(1-r_s/r)),r=r1..r2),0,0,0,0,-int(r,r=r1..r2),0,0,0,0,-int(r*(sin(theta)^2),r=r1..r2)]);
r:=r1;
x_mu:=matrix(4,1,[sqrt(1-r_s/r),sqrt(1/(1-r_s/r)),sqrt(theta),sqrt(phi)]);
x_mu_S:=multiply(g_ik,x_mu);

t_S1:=eval(x_mu_S[1,1]);
r_S1:=eval(x_mu_S[2,1]);

r:=r2;
x_mu:=matrix(4,1,[sqrt(1-r_s/r),sqrt(1/(1-r_s/r)),sqrt(theta),sqrt(phi)]);
x_mu_S:=multiply(g_ik,x_mu);

t_S2:=eval(x_mu_S[1,1]);
r_S2:=eval(x_mu_S[2,1]);

dt:=(t_S2-t_S1)/(t_S1+t_S2)*2;

Zeitdilatationsfaktor:
f_t := 1+dt
f_t = 1.0034792 (Schwarzschild-Lösung)

Man sieht sofort, dass die Newton-Näherung die Schwarzschild-Lösung unterschätzt.

Noch eine Anmerkung zur Längenkontraktion der ART: Die hängt insbesondere davon ab, von wo aus (von welcher Schale) eine Strecke gemessen wird.
Vermesse ich eine Strecke von oben (äussere Schale) z.B über die Lichtlaufzeit eines Laserstrahls, erhalte ich ein kürzeres Streckenintervall als wenn ich dieses von unten (innere Schale) vermesse, weil ich mit lokal fixierten Meterstäben und Uhren ein Raum-/Zeitgebiet unterschiedlicher Krümmung vermesse;
und ich erhalte nochmal ein anderes Streckenintervall für einen Beobachter, der die Strecke abwandert und sie mit hintereinander gelegten Meterstäben ausmisst.

Am Beispiel des Turms ergeben sich die Beträge:

130.3574m über hintereinander gelegte Meterstäbe
169.6364m von oben gemessen über die Lichtlaufzeit
170.2276m von unten gemessen über die Lichtlaufzeit
(Hervorhebung von mir)


-> 100 m können sich in der ART anderen Beobachtern (und deren Maßstäben) auch als ~130,36 m, ~169,64 m oder als 170,23 m darstellen.

btw.:
Das ist auf jeden Fall einer der Beiträge, von denen ich bisher am meisten lernen durfte.
(D.h., falls das überhaupt für einen Beitrag zutreffen sollte ;)).

Marco Polo
18.02.12, 13:08
-> 100 m können sich in der ART anderen Beobachtern (und deren Maßstäben) auch als ~130,36 m, ~169,64 m oder als 170,23 m darstellen.

Immerhin sind das aber dann keine 100 m mehr.

btw.:
Wie eine statische Vorstellung von einem G-Feld (= eine Krümmung) die Differenz zwischen der Messung "von oben" und "von unten" erklären will wird mir wohl für immer ein Rätsel bleiben...

Warum?

SCR
18.02.12, 13:10
Warum?
Gehört nicht hierher - Deshalb hatte ich es auch gerade oben wieder herausgelöscht.

Marco Polo
18.02.12, 13:17
Gehört nicht hierher - Deshalb hatte ich es auch gerade oben wieder herausgelöscht.

Mit anderen Worten: du hast eine Aussage getroffen, derer du dir jetzt nicht mehr sicher bist, gell? :)

EMI
18.02.12, 14:26
-> 100 m können sich in der ART anderen Beobachtern (und deren Maßstäben) auch als ~130,36 m, ~169,64 m oder als 170,23 m darstellen.Hi SCR,

ich hab's grad mal fix nachgerechnet und komme auf:

dt = 0,0020461 (Newton)
dt = 0,0034784 (ART)

Das mit den Turmlängen kann so nicht stimmen.
Der "Abwanderer" misst 100 m.
Der von oben nach unten Messende, etwas weniger als 100 m.
Der von unten nach oben Messende etwas mehr als 100 m.
dl ist auf jedenfall gleich für den Oben und den Unten.

Mal sehen ob ich mal wieder mehr Zeit finde, dann rechne ich's nochmal genau durch und stelle es ein.

Gruß EMI

Marco Polo
18.02.12, 14:58
Das mit den Turmlängen kann so nicht stimmen.
Der "Abwanderer" misst 100 m.
Der von oben nach unten Messende, etwas weniger als 100 m.
Der von unten nach oben Messende etwas mehr als 100 m.

Würde ich auch sagen.


Mal sehen ob ich mal wieder mehr Zeit finde, dann rechne ich's nochmal genau durch und stelle es ein.

Nur zu. :)

SCR
18.02.12, 15:17
Hi EMI!
Auf einer Kugelschale weiter außen ist der Maßstab größer, auf einer Kugelschale weiter innen ist der Maßstab kleiner ->
- "von oben gemessen" würde mit dem größten der lokalen Maßstäbe erfolgen
- "von unten gemessen" würde mit dem kleinsten der lokalen Maßstäbe erfolgen
- "mitwandernd gemessen" würde immer mit dem jeweils lokal gültigen Maßstab erfolgen:
Das mit den Turmlängen kann so nicht stimmen.
Der "Abwanderer" misst 100 m.
Der von oben nach unten Messende, etwas weniger als 100 m.
Der von unten nach oben Messende etwas mehr als 100 m.
dl ist auf jedenfall gleich für den Oben und den Unten.
Rene gab "100m feldfrei gemessen" für den Turm an -> Beim unendlich entfernten Beobachter ist der (imponderabel angenommene) Turm 100 m hoch.
Bringt man in längs in ein G-Feld und mit ihm den infinitesmal kleinen Maßstab des entfernten Beobachters, mit welchem man dann Kugelschale für Kugelschale den Turm nachmisst, erfährt der Maßstab lokal jeweils dieselbe Kontraktion wie der Turm -> Der "Abwanderer" misst folglich wieder 100 m.
-> Ich schließe mich Deiner Einschätzung an, EMI.
Mit anderen Worten: du hast eine Aussage getroffen, derer du dir jetzt nicht mehr sicher bist, gell? :)
Deiner dagegen nicht. :p

(Muß mich jetzt aber erst einmal wieder ausklinken)

SCR
02.05.12, 12:21
Hallo Marco Polo,
Warum?
Aus Kosmologie - Die Wissenschaft vom Universum; Edward R. Harrison; Verlag Darmstädter Blätter; 1984:
Lichtstrahlen, die sich nach außen von der Schwarzschild-Oberfläche weg bewegen, bleiben am selben Ort; sie bewegen sich lokal mit Lichtgeschwindigkeit und durcheilen den Raum, der mit Lichtgeschwindigkeit ins schwarze Loch hinein fällt.