SCR
18.02.12, 11:59
Warum in die Ferne schweifen wenn das Gute liegt so nah? :rolleyes:
(Und um dem "Das ist doch alles nur Newton"-Bauchgrummeln etwas den Boden zu entziehen ;)):
Auf einem Neutronenstern der 1.4fachen Sonnenmasse mit einem Radius von 10km befindet sich ein Turm von 100 m Höhe (feldfreie Längenangaben). Wie gross ist die Zeitdilatation zwischen den Beobachtern auf der Oberfläche und auf der Turmspitze?
Man könnte jetzt auch noch die Zeitdilatationen der Turmbeobachter A und B aus Sicht eines feldfreien Beobachter C mit r3->∞ausrechnen. Das Prinzip ist das gleiche.
restart; Digits:=20;
M:=1.4*1.989e30; G:=6.67428e-11; c:=299792458;
a:=G*M/c^2; theta:=0;phi:=0; r_s:=2*a; r1:=10000;r2:=10100;
# Newton-Potential:
dE_pot:=-m*M*G*(1/r2-1/r1)
Zeitdilatationsfaktor :
f_t := 1 + M*G*(1/r2-1/r1) / c^2 ;
f_t = 1.0020474 (Newton-Näherung)
# Schwarzschild-Metrik:
with (linalg):
g_ik:=matrix(4,4,[int(sqrt(1-r_s/r),r=r1..r2),0,0,0,0,-int(sqrt(1/(1-r_s/r)),r=r1..r2),0,0,0,0,-int(r,r=r1..r2),0,0,0,0,-int(r*(sin(theta)^2),r=r1..r2)]);
r:=r1;
x_mu:=matrix(4,1,[sqrt(1-r_s/r),sqrt(1/(1-r_s/r)),sqrt(theta),sqrt(phi)]);
x_mu_S:=multiply(g_ik,x_mu);
t_S1:=eval(x_mu_S[1,1]);
r_S1:=eval(x_mu_S[2,1]);
r:=r2;
x_mu:=matrix(4,1,[sqrt(1-r_s/r),sqrt(1/(1-r_s/r)),sqrt(theta),sqrt(phi)]);
x_mu_S:=multiply(g_ik,x_mu);
t_S2:=eval(x_mu_S[1,1]);
r_S2:=eval(x_mu_S[2,1]);
dt:=(t_S2-t_S1)/(t_S1+t_S2)*2;
Zeitdilatationsfaktor:
f_t := 1+dt
f_t = 1.0034792 (Schwarzschild-Lösung)
Man sieht sofort, dass die Newton-Näherung die Schwarzschild-Lösung unterschätzt.
Noch eine Anmerkung zur Längenkontraktion der ART: Die hängt insbesondere davon ab, von wo aus (von welcher Schale) eine Strecke gemessen wird.
Vermesse ich eine Strecke von oben (äussere Schale) z.B über die Lichtlaufzeit eines Laserstrahls, erhalte ich ein kürzeres Streckenintervall als wenn ich dieses von unten (innere Schale) vermesse, weil ich mit lokal fixierten Meterstäben und Uhren ein Raum-/Zeitgebiet unterschiedlicher Krümmung vermesse;
und ich erhalte nochmal ein anderes Streckenintervall für einen Beobachter, der die Strecke abwandert und sie mit hintereinander gelegten Meterstäben ausmisst.
Am Beispiel des Turms ergeben sich die Beträge:
130.3574m über hintereinander gelegte Meterstäbe
169.6364m von oben gemessen über die Lichtlaufzeit
170.2276m von unten gemessen über die Lichtlaufzeit
(Hervorhebung von mir)
-> 100 m können sich in der ART anderen Beobachtern (und deren Maßstäben) auch als ~130,36 m, ~169,64 m oder als 170,23 m darstellen.
btw.:
Das ist auf jeden Fall einer der Beiträge, von denen ich bisher am meisten lernen durfte.
(D.h., falls das überhaupt für einen Beitrag zutreffen sollte ;)).
(Und um dem "Das ist doch alles nur Newton"-Bauchgrummeln etwas den Boden zu entziehen ;)):
Auf einem Neutronenstern der 1.4fachen Sonnenmasse mit einem Radius von 10km befindet sich ein Turm von 100 m Höhe (feldfreie Längenangaben). Wie gross ist die Zeitdilatation zwischen den Beobachtern auf der Oberfläche und auf der Turmspitze?
Man könnte jetzt auch noch die Zeitdilatationen der Turmbeobachter A und B aus Sicht eines feldfreien Beobachter C mit r3->∞ausrechnen. Das Prinzip ist das gleiche.
restart; Digits:=20;
M:=1.4*1.989e30; G:=6.67428e-11; c:=299792458;
a:=G*M/c^2; theta:=0;phi:=0; r_s:=2*a; r1:=10000;r2:=10100;
# Newton-Potential:
dE_pot:=-m*M*G*(1/r2-1/r1)
Zeitdilatationsfaktor :
f_t := 1 + M*G*(1/r2-1/r1) / c^2 ;
f_t = 1.0020474 (Newton-Näherung)
# Schwarzschild-Metrik:
with (linalg):
g_ik:=matrix(4,4,[int(sqrt(1-r_s/r),r=r1..r2),0,0,0,0,-int(sqrt(1/(1-r_s/r)),r=r1..r2),0,0,0,0,-int(r,r=r1..r2),0,0,0,0,-int(r*(sin(theta)^2),r=r1..r2)]);
r:=r1;
x_mu:=matrix(4,1,[sqrt(1-r_s/r),sqrt(1/(1-r_s/r)),sqrt(theta),sqrt(phi)]);
x_mu_S:=multiply(g_ik,x_mu);
t_S1:=eval(x_mu_S[1,1]);
r_S1:=eval(x_mu_S[2,1]);
r:=r2;
x_mu:=matrix(4,1,[sqrt(1-r_s/r),sqrt(1/(1-r_s/r)),sqrt(theta),sqrt(phi)]);
x_mu_S:=multiply(g_ik,x_mu);
t_S2:=eval(x_mu_S[1,1]);
r_S2:=eval(x_mu_S[2,1]);
dt:=(t_S2-t_S1)/(t_S1+t_S2)*2;
Zeitdilatationsfaktor:
f_t := 1+dt
f_t = 1.0034792 (Schwarzschild-Lösung)
Man sieht sofort, dass die Newton-Näherung die Schwarzschild-Lösung unterschätzt.
Noch eine Anmerkung zur Längenkontraktion der ART: Die hängt insbesondere davon ab, von wo aus (von welcher Schale) eine Strecke gemessen wird.
Vermesse ich eine Strecke von oben (äussere Schale) z.B über die Lichtlaufzeit eines Laserstrahls, erhalte ich ein kürzeres Streckenintervall als wenn ich dieses von unten (innere Schale) vermesse, weil ich mit lokal fixierten Meterstäben und Uhren ein Raum-/Zeitgebiet unterschiedlicher Krümmung vermesse;
und ich erhalte nochmal ein anderes Streckenintervall für einen Beobachter, der die Strecke abwandert und sie mit hintereinander gelegten Meterstäben ausmisst.
Am Beispiel des Turms ergeben sich die Beträge:
130.3574m über hintereinander gelegte Meterstäbe
169.6364m von oben gemessen über die Lichtlaufzeit
170.2276m von unten gemessen über die Lichtlaufzeit
(Hervorhebung von mir)
-> 100 m können sich in der ART anderen Beobachtern (und deren Maßstäben) auch als ~130,36 m, ~169,64 m oder als 170,23 m darstellen.
btw.:
Das ist auf jeden Fall einer der Beiträge, von denen ich bisher am meisten lernen durfte.
(D.h., falls das überhaupt für einen Beitrag zutreffen sollte ;)).