Heiße Horizonte

[Timm]

Hi,

Leonard Susskind vertritt die These, die Infomation Schwarzer Löcher und des Universums sei in den heißen Horizonten (für dort stationäre Beobachter) gespeichert. In seinem Buch "Der Krieg um das Schwarze Loch" schreibt er S. 506, ein an einem langen Seil befestigtes Thermometer würde am kosmischen Horizont unendliche Temperatur anzeigen.

Offensichtlich spricht er ohne es explizit zu erwähnen vom Unruh-Temperaturbad, das ein im beschleunigten System ruhender Beobachter als reelle Teilchen wahrnimmt. Beim Seilende am Horizont eines Schwarzen Loches ist das einleuchtend. Beim Seilende am kosmischen Horizont im üblichen Expansionsbild mit mitbewegten Koordinaten ebenfalls.
Aber im anderen Bild, in dem der Raum nicht expandiert (Normalkoordinaten), sehe ich das nicht.

Das würde allerdings bedeuten, daß die Horizonte doch nicht im von Susskind vemuteten Sinne äquivalent sind, das Normalkoordinaten Bild hier nicht passt oder mir ein Denkfehler unterlaufen ist.

Gruß, Timm

[Ich]

Hi Timm,

Beim Seilende am kosmischen Horizont im üblichen Expansionsbild mit mitbewegten Koordinaten ebenfalls.
Aber im anderen Bild, in dem der Raum nicht expandiert (Normalkoordinaten), sehe ich das nicht.
Verstehe ich nicht. Nehmen wir mal de Sitter (http://en.wikipedia.org/wiki/De_Sitter_space), der schreibt sich in mitbewegten Koordinaten
a) ds² = − dt² + e^(2t / a) dy² (flach)
und in statischen Koordinaten
b) ds² = -(1-r²/a²) dt² + 1/(1-r²/a²) dr² + r² d\Omega² (positiv gekrümmt)

Ich persönlich sehe auf den ersten Blick in a) nichts auffälliges, auch keinen Horizont, wohingegen b) sofort nach modifiziertem Schwarzschild aussieht, mit Horizont und allem.
Zu beachten ist, dass der letzte statische Beobachter am Seil ziemlich heftig beschleunigt ist, genau wie beim SL, und deswegen auch entsprechende Unruh-Strahlung sieht.

Du kannst übrigens, wenn du willlst, daraus die Hawking-Temperatur für SL herleiten: Nimm den Limes für r->Horizont, und du kriegst eine Formel für die unendlich werdende Temperatur (wenn du die Beschleunigung kennst, die steht z.B. hier (http://mathpages.com/rr/s7-03/7-03.htm)). Die kannst du dann rotverschieben, dann kriegst du, was ein weit entfernter Beobachter sieht. Das Resultat ist eine endliche Temperatur, eben die von Hawking vorhergesagte.

[Timm]

Du kannst übrigens, wenn du willlst, daraus die Hawking-Temperatur für SL herleiten: Nimm den Limes für r->Horizont, und du kriegst eine Formel für die unendlich werdende Temperatur (wenn du die Beschleunigung kennst, die steht z.B. hier (http://mathpages.com/rr/s7-03/7-03.htm)). Die kannst du dann rotverschieben, dann kriegst du, was ein weit entfernter Beobachter sieht. Das Resultat ist eine endliche Temperatur, eben die von Hawking vorhergesagte.
Danke, Ich. Interessanter Link, werde ich mir anschauen. Hieße das, man kommt ohne das Konzept der Quantenfluktuationen zum selben Resultat?


Zum "heißen Horizont":
Man kann ja eine Beschleunigung nicht wegtransformieren. Also habe ich da eine Verständnislücke. Nochmal etwas ausführlicher der Vergleich der beiden Bilder:

Mitbewegte Koordinaten, Raum expandiert.
Ein am Seilende stationäres Objekt ist heiß, weil es um zum Seilanfang konstanten Abstand zu halten entgegen dem Hubble-Fluß beschleunigt, meßbar mit einem Accelerometer. Mit der Beschleunigung kompensiert das Objekt die zwischen Seilanfang und Seilende stattfindende Expansion des Raumes.

Quasistatische Koordinaten, Raum expandiert nicht, die Galaxien entfernen sich entsprechend eines anfänglichen Schwunges (von Dir übernommen) voneinander. (Quasistatisch, weil in diesem Bild die kosmologische Rotverschiebung neben der Relativgeschwindigkeit einen gravitativen Beitrag hat.)
Ein am Seilende stationäres Objekt ist kalt, weil es, um zum Seilanfang konstanten Abstand zu halten, nicht beschleunigt, da eine passende Pekuliargeschwindigkeit ausreicht. Eine Beschleunigung in Richtung Seilanfang hätte eine Verringerung des Abstands zur Folge.

Wirklich? Da setzten meine Zweifel an, denn schließlich kann man eine Beschleunigung nicht wegtransformieren. Vom Seilanfang aus gesehen, ist das Universum auch in quasistatischen Koordinaten isotrop, aber nicht am Seilende. Das Objekt am Seilende bewegt sich im freien Fall "gegen den Strom". Spürt es etwa dadurch eine gravitative Anziehung aus der Gegenrichtung, sodaß es vom Seilende wegzufallen beginnt? Aber wie könnte man sich das klarmachen, falls es so wäre? Das Objekt sieht in beiden Richtungen gleichviel Materie.

[Ich]

Hi Timm,

Hieße das, man kommt ohne das Konzept der Quantenfluktuationen zum selben Resultat?
Nein, das war nur die Umrechnung von Unruh auf Hawking. Quantenmechanik braucht's immer noch.
Ein am Seilende stationäres Objekt ist heiß, weil es um zum Seilanfang konstanten Abstand zu halten entgegen dem Hubble-Fluß beschleunigt, meßbar mit einem Accelerometer. Mit der Beschleunigung kompensiert das Objekt die zwischen Seilanfang und Seilende stattfindende Expansion des Raumes.
Unbeschleunigte Expansion des Raums kompensiert man mit Geschwindigkeit, nicht mit Beschleunigung. Beschleunigte Expansion hingegen entspricht einer abstoßenden Gravitation, und um trotz der am selben Platz zu bleiben, muss man auch beschleunigen.
Quasistatische Koordinaten, Raum expandiert nicht, die Galaxien entfernen sich entsprechend eines anfänglichen Schwunges (von Dir übernommen) voneinander. (Quasistatisch, weil in diesem Bild die kosmologische Rotverschiebung neben der Relativgeschwindigkeit einen gravitativen Beitrag hat.)
Auch hier gilt: nur wenn da ein gravitativer Beitrag ist, dann muss man beschleunigen, um konstanten Abstand zu einem entfernten Objekt zu wahren.

In beiden Fällen gilt, dass ein kosmologischer Horizont nur dann vorliegt, wenn die Expansion beschleunigt ist, also eine abstoßende Gravitations"kraft" herrscht. Am Horizont wird die benötigte Beschleunigung unendlich.

Du darfst das nicht verwechseln mit dem Hubble-Radius, der gelegentlich auch als Hubble-Horizont bezeichnet wird. Das ist i.A. kein Horizont, sondern eine bedeutungslose Hilfsgröße. Nur im Falle exponentiell beschleunigter Expansion (dem von mir angesprochenen de Sitter - Universum) ist das auch die Position des Horizonts.
Man glaubt oft fälschlicherweise, dass das ein Horizont ist, weil man dort eine Pekuliargeschwindigkeit von c braucht, um in konstanter "cosmological proper distance" vom Ursprung zu bleiben. Das ist aber nur ein Artefakt der Tatsache, dass man diese Distanz mit lauter zueinander bewegten Maßstäben ausmisst. Das Ende eines Seils hätte da z.B. im Falle unbeschleunigter Expansion nur eine Pekuliargeschwindigkeit von 0,76 c. Jeder Körper, der da diese Pekuliargeschwindigkeit hätte, bliebe auch ohne weitere Beschleunigung am Seilende stehen.

[Timm]

Hi Ich,

In beiden Fällen gilt, dass ein kosmologischer Horizont nur dann vorliegt, wenn die Expansion beschleunigt ist, also eine abstoßende Gravitations"kraft" herrscht. Am Horizont wird die benötigte Beschleunigung unendlich.

Stimmt, genau das hatte ich übersehen,

Gruß, Timm