mermanview
12.03.12, 11:17
Spezielle Relativitätstheorie, Teil 1:
Berechnung der langsamer verstreichenden Zeit in schnellen Raumschiffen, für Schüler Sek I (9./10. Klasse).
Zu Einsteins Zeiten war bekannt, dass es in unserem Universum eine obere Grenze für Geschwindigkeiten gibt:
Die Lichtgeschwindigkeit, die Geschwindigkeit mit der Licht und elektromagnetische Wellen von einer Quelle abstrahlt.
Das bedeutet: Nichts kann schneller sein, als diese Geschwindigkeit.
Auch Licht, das von einem schnellen Raumschiff aus abstrahlt, kann nicht die Geschwindigkeit des Raumschiffes plus die des Lichtes haben.
Es gilt: Die Lichtgeschwindigkeit ist überall und immer konstant.
Und schon gehen die Probleme los:
Wenn ein Raumschiff doch bereits mit 0,8-facher Lichtgeschwindigkeit "gleitet",
dann hätte das Licht im Raumschiff die theoretische Geschwindigkeit:
= Raumschiffgeschwindigkeit + Lichtgeschwindigkeit
= 0,8-fache + 1-fache Lichtgeschwindigkeit
= 1,8- fache Lichtgeschwindigkeit.
Einstein löste das Problem, mit der Idee, dass die Zeit vielleicht unterschiedlich schnell verstreicht,
dass sie im schnellen Raumschiff vielleicht langsamer verstreicht als im ruhenden Raumschiff-Bahnhof.
Zum Beispiel das Scheinwerferlicht des Raumschiffes:
Wenn man außerhalb -am ruhenden Bahnhof- messen wollte, wie schnell es strahlt,
dann dürfte es bloß mit 0,2-facher Lichtgeschwindigkeit strahlen, da das Raumschiff bereits 0,8-fache Lichtgeschwindigkeit hat.
Licht vom Raumschiff mit 0,8-facher Lichtgeschwindigkeit, außerhalb des Raumschiffes:
Man müsste die eigentliche 1- fache Lichtgeschwindigkeit um 1-0,8 = 0,2 stauchen.
Im Fahrzeug selber, soll das Licht aber Lichtgeschwindigkeit haben, dort hätte es dann 1-fache Lichtgeschwindigkeit plus 0,8-fache Lichtgeschwindigkeit des Raumschiffes, es hätte theoretisch die 1,8-fache Lichtgeschwindigkeit.
Licht im Raumschiff mit 0,8-facher Lichtgeschwindigkeit:
Die 1-fache Lichtgeschwindigkeit müsste man hier um 1+0,8 = 1,8 dehnen.
So entstehen zwei unterschiedliche Dehnungsfaktoren für die Zeit:
0,2 (= 1-0,8) außerhalb des Raumschiffes, und
1,8 (= 1+0,8) innerhalb des Raumschiffes.
Der tatsächliche Dehnungsfaktor muss ein gemeinsamer Faktor sein, der für beide Phänomene gilt, und zwischen 0,2 und 1,8 liegt.
Daraus ergibt sich die mathematische Aufgabe, eine Zahl x zu finden,
die von 0,2 zum gemeinsamen Dehnungsfaktor führt, und auch von 1,8 zum gemeinsamen Dehnungsfaktor führt:
(1-0,8) * x = gemeinsamer Dehnungsfaktor = (1+0,8) / x
0,2 * x = gemeinsamer Dehnungsfaktor = 1,8 / x
Wenn man den Wert für x herausgefunden hat, dann findet man sofort auch den Wert für den gemeinsamen Dehnungsfaktor.
0,2x = Dehnungsfaktor = 1,8/x -> Umformung nach x:
=> 0,2x = 1,8/x .................... | *x
=> 0,2 *x^2 = 1,8 ................ | /0,2
=> x^2 = 1,8/0,2 ................. | 2. Wurzel
=> x = Wurzel(1,8/0,2).......... | ausrechnen
=> x = Wurzel(9)................... | ausrechnen
=> x= 3
Dehnungsfaktor = (1-0,8) * 3
...................................... = 0,2 * 3
...................................... = 0,6
allgemeine Formel: ZD = (c-v) * Wurzel((c+v)/(c-v))
Aussage:
Bei 0,8 facher Lichtgeschwindigkeit ist die Zeit um den Faktor 0,6 gedehnt.
Das heißt, dass in einem Raumschiff, bei 0,8-facher Lichtgeschwindigkeit, gerade mal 0,6 Sekunde vergangen sind,
während außerhalb am ruhenden Bahnhof bereits eine ganze Sekunde vergangen ist.
Formel:
c = Lichtgeschwindigkeit
v = Raumschiffgeschwindigkeit
ZD = Zeitdilatation (Faktor mit dem die Zeit gedehnt wird)
(c-v) * Wurzel(c+v)/c-v)) = ZD
Nachtrag:
Die Formel sieht am Ende komplex aus, ihre Herleitung beruht aber auf Tatsachen die Schüler nachvollziehen können.
Auf dem schnellen Weg fände man zum gemeinsamen Dehnungsfaktor, indem man die 2. Wurzel
aus dem Produkt der beiden unterschiedlichen scheinbaren Dehnungen zieht: Wurzel(1,8*0,2) = 0,6 = Mittelwert 2.Ordnung
Diese kurze Formel ist äquivalent mit der oben beschriebenen Formel: ......... (1-0,8) * Wurzel((1+0,8)/(1-0,8)) = 0,6
Die Physiker verwenden eine andere äquivalente, griffige Formel: ................. Wurzel(1-0,8^2) = 0,6.
Gruß Merman
Berechnung der langsamer verstreichenden Zeit in schnellen Raumschiffen, für Schüler Sek I (9./10. Klasse).
Zu Einsteins Zeiten war bekannt, dass es in unserem Universum eine obere Grenze für Geschwindigkeiten gibt:
Die Lichtgeschwindigkeit, die Geschwindigkeit mit der Licht und elektromagnetische Wellen von einer Quelle abstrahlt.
Das bedeutet: Nichts kann schneller sein, als diese Geschwindigkeit.
Auch Licht, das von einem schnellen Raumschiff aus abstrahlt, kann nicht die Geschwindigkeit des Raumschiffes plus die des Lichtes haben.
Es gilt: Die Lichtgeschwindigkeit ist überall und immer konstant.
Und schon gehen die Probleme los:
Wenn ein Raumschiff doch bereits mit 0,8-facher Lichtgeschwindigkeit "gleitet",
dann hätte das Licht im Raumschiff die theoretische Geschwindigkeit:
= Raumschiffgeschwindigkeit + Lichtgeschwindigkeit
= 0,8-fache + 1-fache Lichtgeschwindigkeit
= 1,8- fache Lichtgeschwindigkeit.
Einstein löste das Problem, mit der Idee, dass die Zeit vielleicht unterschiedlich schnell verstreicht,
dass sie im schnellen Raumschiff vielleicht langsamer verstreicht als im ruhenden Raumschiff-Bahnhof.
Zum Beispiel das Scheinwerferlicht des Raumschiffes:
Wenn man außerhalb -am ruhenden Bahnhof- messen wollte, wie schnell es strahlt,
dann dürfte es bloß mit 0,2-facher Lichtgeschwindigkeit strahlen, da das Raumschiff bereits 0,8-fache Lichtgeschwindigkeit hat.
Licht vom Raumschiff mit 0,8-facher Lichtgeschwindigkeit, außerhalb des Raumschiffes:
Man müsste die eigentliche 1- fache Lichtgeschwindigkeit um 1-0,8 = 0,2 stauchen.
Im Fahrzeug selber, soll das Licht aber Lichtgeschwindigkeit haben, dort hätte es dann 1-fache Lichtgeschwindigkeit plus 0,8-fache Lichtgeschwindigkeit des Raumschiffes, es hätte theoretisch die 1,8-fache Lichtgeschwindigkeit.
Licht im Raumschiff mit 0,8-facher Lichtgeschwindigkeit:
Die 1-fache Lichtgeschwindigkeit müsste man hier um 1+0,8 = 1,8 dehnen.
So entstehen zwei unterschiedliche Dehnungsfaktoren für die Zeit:
0,2 (= 1-0,8) außerhalb des Raumschiffes, und
1,8 (= 1+0,8) innerhalb des Raumschiffes.
Der tatsächliche Dehnungsfaktor muss ein gemeinsamer Faktor sein, der für beide Phänomene gilt, und zwischen 0,2 und 1,8 liegt.
Daraus ergibt sich die mathematische Aufgabe, eine Zahl x zu finden,
die von 0,2 zum gemeinsamen Dehnungsfaktor führt, und auch von 1,8 zum gemeinsamen Dehnungsfaktor führt:
(1-0,8) * x = gemeinsamer Dehnungsfaktor = (1+0,8) / x
0,2 * x = gemeinsamer Dehnungsfaktor = 1,8 / x
Wenn man den Wert für x herausgefunden hat, dann findet man sofort auch den Wert für den gemeinsamen Dehnungsfaktor.
0,2x = Dehnungsfaktor = 1,8/x -> Umformung nach x:
=> 0,2x = 1,8/x .................... | *x
=> 0,2 *x^2 = 1,8 ................ | /0,2
=> x^2 = 1,8/0,2 ................. | 2. Wurzel
=> x = Wurzel(1,8/0,2).......... | ausrechnen
=> x = Wurzel(9)................... | ausrechnen
=> x= 3
Dehnungsfaktor = (1-0,8) * 3
...................................... = 0,2 * 3
...................................... = 0,6
allgemeine Formel: ZD = (c-v) * Wurzel((c+v)/(c-v))
Aussage:
Bei 0,8 facher Lichtgeschwindigkeit ist die Zeit um den Faktor 0,6 gedehnt.
Das heißt, dass in einem Raumschiff, bei 0,8-facher Lichtgeschwindigkeit, gerade mal 0,6 Sekunde vergangen sind,
während außerhalb am ruhenden Bahnhof bereits eine ganze Sekunde vergangen ist.
Formel:
c = Lichtgeschwindigkeit
v = Raumschiffgeschwindigkeit
ZD = Zeitdilatation (Faktor mit dem die Zeit gedehnt wird)
(c-v) * Wurzel(c+v)/c-v)) = ZD
Nachtrag:
Die Formel sieht am Ende komplex aus, ihre Herleitung beruht aber auf Tatsachen die Schüler nachvollziehen können.
Auf dem schnellen Weg fände man zum gemeinsamen Dehnungsfaktor, indem man die 2. Wurzel
aus dem Produkt der beiden unterschiedlichen scheinbaren Dehnungen zieht: Wurzel(1,8*0,2) = 0,6 = Mittelwert 2.Ordnung
Diese kurze Formel ist äquivalent mit der oben beschriebenen Formel: ......... (1-0,8) * Wurzel((1+0,8)/(1-0,8)) = 0,6
Die Physiker verwenden eine andere äquivalente, griffige Formel: ................. Wurzel(1-0,8^2) = 0,6.
Gruß Merman