PDA

Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : Tensor-Verjüngung


ghostwhisperer
12.06.12, 09:34
Hallo !
Ich hab in den letzten Wochen mich bemüht möglichst viel der Grundlagen der ART und QM zu verstehen.
Trotzdem brauch ich jetzt mal Hilfe in Bezug auf Tensoren..
Kann mir jemand sagen wie eine Tensor-Verjüngung im Detail funktioniert?
Ich möchte zB wissen, wie ich den Betrag des Ricci-Skalars aus den Elementen des Ricci-Tensors bekomme. Ich finde mehr als genug Beispiele in Tensor-Notation aber leider keine, die wirklich mal Element für Element die Summierung durchführen..
Ist das so richig?? :
g^µv*Tµv

g00 g01 T00 T01 ==> einreihiger Vektor => g00*T00+g01*T01 => V1
g10 g11 T10 T11....................................g10*T10+g11 *T11.....V2

Abschließend Vektor^µ*Vektorµ ==> V1^2+V2^2

Ist das der Skalar???

MFG Ghosti

Hawkwind
12.06.12, 11:01
Hallo !
Ich hab in den letzten Wochen mich bemüht möglichst viel der Grundlagen der ART und QM zu verstehen.
Trotzdem brauch ich jetzt mal Hilfe in Bezug auf Tensoren..
Kann mir jemand sagen wie eine Tensor-Verjüngung im Detail funktioniert?
Ich möchte zB wissen, wie ich den Betrag des Ricci-Skalars aus den Elementen des Ricci-Tensors bekomme. Ich finde mehr als genug Beispiele in Tensor-Notation aber leider keine, die wirklich mal Element für Element die Summierung durchführen..
Ist das so richig?? :
g^µv*Tµv

g00 g01 T00 T01 ==> einreihiger Vektor => g00*T00+g01*T01 => V1
g10 g11 T10 T11....................................g10*T10+g11 *T11.....V2

Abschließend Vektor^µ*Vektorµ ==> V1^2+V2^2

Ist das der Skalar???

MFG Ghosti

Es gibt da die Einsteinsche Summenkonvention: wenn derselbe Index einmal oben und einmal unten erscheint, ist über diesen von 0 ... 3 zu summieren. Bei dir hast du sogar 2 Indizes, über die summiert wird; du hast also einen Summe über alle µ und v, mit µ = 0,..,3 und v= 0,...,3


Das Produkt

A^µv Bµv

(Indizes einmal oben und einmal unten ) ist eine Abkürzung für

A^00 * B00 + A^01 * B01 + ... + A^10 * B10 + ... + A^33 * B33

Den Zwischenschritt über einen Spaltenvektor brauchst du nicht ... und ist im übrigen auch falsch so wie du es machst.

ghostwhisperer
12.06.12, 11:39
Jo danke dir !!
Ich hatte keine Ahnung.. dachte es wäre dem Skalarprodukt der Vektorrechnung analog. Noch ne Frage:
Eben habe ich ja den Ricci- mit dem Metrik-Tensor kombiniert, was nach allen Quellen die ich kenne den Skalar ergibt.
Ist es dasselbe wenn ich folgendes tue oder ist das was ganz anderes? :
Ich ziehe einen Index hoch, setze 2 Indexe gleich und summiere wie eben??
Auch eine Vorgehensweise, welche ich oft im selben Zusammenhang lese wie
Verjüngung..

Rµn -> Rµn^n ->Rµ (summe über n)

Hawkwind
12.06.12, 12:54
Jo danke dir !!
Ich hatte keine Ahnung.. dachte es wäre dem Skalarprodukt der Vektorrechnung analog.


das Skalarprodukt der Vektorrechnung ist ein Spezalfall davon; in obiger Notation würde man statt

A.B

A^v Bv

schreiben.



Noch ne Frage:
Eben habe ich ja den Ricci- mit dem Metrik-Tensor kombiniert, was nach allen Quellen die ich kenne den Skalar ergibt.
Ist es dasselbe wenn ich folgendes tue oder ist das was ganz anderes? :
Ich ziehe einen Index hoch, setze 2 Indexe gleich und summiere wie eben??
Auch eine Vorgehensweise, welche ich oft im selben Zusammenhang lese wie
Verjüngung..

Rµn -> Rµn^n ->Rµ (summe über n)

Von "Verjüngung" spricht man meines Wissens, wenn man 2 Indizes desselben Tensors gleichsetzt (einer oben und einer unten):

Du hast als Ausgangspunkt z.B. einen Tensor 3. Stufe

Aijk

den könntest du nun über Kontraktion des 2. und des 3. Index z.B. "verjüngen":


Aij^j = ( A00^0 + A01^1 + A02^2 + A03^3 ,
A10^0 + A11^1 + A12^2 + A13^3,
A20^0 + A21^1 + A22^2 + A23^3,
A30^0 + A31^1 + A32^2 + A33^3 )

Es resultiert also ein Vektor.

Ein anderer Fall, der dir vielleicht schon einmal begegnet ist, ist die Verjüngung einer Matrix Aij

Aj^j = A0^0 + A1^1 + A2^2 + A3^3

ergibt die sog. "Spur" der Matrix (Summe der Diagonalelemente).

ghostwhisperer
19.06.12, 17:07
Hallo !!

Vielleicht kann mir auch hierbei jemand helfen?
Wie integriert man korrekt über einen Tensor, besonders über den Einsteintensor?

Ich bin vorerst erstmal über einen minimalistischen Ansatz vorgegangen:

1) in hinreichend kleinen Gebieten ist R konstant und zeitunabhängig.
2) Tensor-Integral analog Matrix-Integral, d.h. für jeden Eintrag separierbar
3) Es wird über ein symmetrisches Vierervolumen dV4 = dV3*c*dT integriert

Dann folgt theoretisch:
w*dV4 = H*c also Wirkung * Lichtgeschwindigkeit

Rmn - 1/2 gmn R = - 8*pi*y/c^4 * Tmn
Amn - 1/2 gmn A = -8*y/c^3 * Hmn

Ich denke die STRUKTUR der rechten Gleichungshälfte kann richtig sein. Da Vierergrößen in der ART invariant sind, muss auch Wirkung in Form eines Tensors von Stufe 2 dargestellt werden. Ich weiss NICHT, ob die linke Seite STRUKTURELL richtig ist.

Wenn ich H als h*n darstelle folgt weiter:
Amn - 1/2 gmn A = -8*y/c^3*h * Nmn
unter Angabe von hq = h/2/pi
Amn - 1/2 gmn A = -16*pi*hq*y / c^3 * Nmn

Die Einstein-Hilbert-Wirkung zum Vergleich: W = c^3/16/pi/y * Int(W(det(g(x))*R(x)*dV4)

Demnach könnte der rechte Ausdruck richtig sein.

Wie man sieht ergibt sich die Quantelung der RZ automatisch. Ich musste sie nicht einfügen.
Es ergibt sich also eine Quantelung der RZ direkt in Vierervolumen prop zu h und sekundär in Flächenquanten prop zu n*A0, also prop zur Planckfläche. Dies gilt für jeden Eintrag, also pro Dimension. Bei den drei Dimensionen des Raums muss aus Symmetriegründen folgen, dass A insgesamt prop zu n^2 ist (gewissermassen radial).

Wenn ich das mal explizit auflöse und mit dem Ereignishorizont eines Schwarzen Loches vergleiche, folgt automatisch, dass die Masse eines Schwarzen Lochs ein Vielfaches der Planckmasse sein muss.

A-2A = -16*pi*hq*y/c^3 * n^2
A = 16*pi*hq*y/c^3* n^2 = 16*pi*A0* n^2
EH = 16*pi* y^2*M^2 / c^4

A=EH

16*pi*hq*y/c^3* n^2 = 16*pi*y^2*M^2/c^4
M^2 = c*hq/y *n^2
M^2 = mo^2 * n^2
M = mo * n
Die Masse des SL ist hier ein ganzzahliges Vielfaches der Planckmasse.

Im Zusammenhang mit der Betrachtung von Brill-Wellen wirft das Ergebnis ein bestimmtes Licht auf den Begriff der Masse. Man könnte Masse bzw. Energie als Raumzeit-immanente Eigenschaft interpretieren, als eine Art reaktiven Widerstand gegen Veränderung.

Higgs nötig? Ich denke nicht. Dann wäre aber eine Erweiterung der Raumzeitstruktur nötig um Teilchen tatsächlich beschreiben zu können.Eine bei der die Änderung der Raumachsen allein zu reellen (Ruh-)Massen führen, alle anderen aber imaginär sind, ähnlich dem Unterschied Blind/Wirkwiderstand der Elektrodynamik.

Aber erstmal sehen, ob das Integral überhaupt so sinnvoll ist. Ich finde das Ergebnis spricht dafür. Oder?

MFG GHOST