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Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : Raumzeitkrümmung <- Masse <- Gravitationswelle


Timm
24.09.12, 18:52
Hi,

Die Krümmung der Raumzeit läßt sich u.a. am Verhalten von Geodäten ablesen, positive/negative Krümmung korrespondiert mit sich einnander annähernden/voneinander entfernenden Geodäten. Demnach krümmt eine kugelförmige Masse die Raumzeit positiv und negativ, je nach dem, ob man tangential orientierte oder hintereinander fallende Testpartikel betrachtet.

Meine Frage ist, ob und ev. mit welchen Einschränkungen man sich diese Richtungsabhängigkeit der Krümmungsanteile analog zu der von einer durchgehenden Gravitationswelle verursachten Raumzeitkrümmung vorstellen kann.

Dazu dieses Bildchen aus wiki,
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5c/Gravwav.gif/90px-Gravwav.gif
das die periodische Deformation von in der transversalen xy-Ebene kreisförmig angeordneten Testpartikeln anzeigt.
Demnach wäre die Richtungsabhängigkeit der Krümmung je nach Phase der Schwingungsperiode T wie folgt:

T=0: 0
T=1/4: x-> pos., y->neg.
T=1/2: 0
T=3/4: x->neg., y->pos.
T=0: 0

Kritik?

Ich
25.09.12, 15:19
Hi,

das ist alles mit Vorsicht zu genießen. Im Falle dunkler Energie zum Beispiel (mit w<-1/3) haben wir divergierende zeitartige Geodäten, aber positive Raumzeitkrümmung. Im Falle normaler Materie denke ich, dass du richtig liegst.
Die Krümmung von der wir reden, ist diejenige der Ebenen, in denen die entsprechenden Geodäten verlaufen. In deinem Beispiel mit den Gravitationswellen wären das die t,x und t,y - Ebenen.

Timm
27.09.12, 11:11
Danke für die Antwort, soweit klar.

Timm
06.03.13, 19:30
das ist alles mit Vorsicht zu genießen. Im Falle dunkler Energie zum Beispiel (mit w<-1/3) haben wir divergierende zeitartige Geodäten, aber positive Raumzeitkrümmung.
Ich würde hier gerne nochmal nachhaken. Demnach sollte die Raumzeitkrümmung für die Fälle gleichförmige Expansion (w=-1/3; zeitartige Geodäten parallel) Null und verzögerte Expansion (w>-1/3; zeitartige Geodäten konvergieren) negativ sein.

Bei der Raumkrümmung korrespondieren divergierende Geodäten mit negativer und konvergierende Geodäten mit positiver Krümmung. Das ist auch relativ einfach nachvollziebar. Aber nicht - jedenfalls für mich -, daß es bei der Raumzeitkrümmung umgekehrt ist. Kannst Du mir da eine Hilfestellung geben?

Ich
06.03.13, 20:57
Bei der Raumkrümmung korrespondieren divergierende Geodäten mit negativer und konvergierende Geodäten mit positiver Krümmung. Das ist auch relativ einfach nachvollziebar. Aber nicht - jedenfalls für mich -, daß es bei der Raumzeitkrümmung umgekehrt ist. Kannst Du mir da eine Hilfestellung geben?
Tut mir leid, nein. Das war ein Punkt, mit dem ich mich damals noch intensiver auseinandersetzen wollte, weil ich es intuitiv auch nicht verstanden habe. Hab dann aber wieder drauf vergessen.
Was ich noch weiß ist, dass alle raumartigen Ebenen in so einer Raumzeit positive Schnittkrümmung haben. Die anderen drei dann wohl auch, sonst hätte ich das wohl nicht behauptet, aber ich erinnere mich ehrlich gesagt nicht mehr. Vielleicht schau ich da in naher Zukunft nochmal rein.

Timm
07.03.13, 17:54
Im MTW habe ich viel zur Krümmung der Raumzeit durch Massen, aber nichts im Kontext des expandierenden Universums gefunden. Sollte sich hier das Vorzeichen der Krümmung nicht ebenfalls aus dem Paralleltransport eines Vektors um eine geschlossene Kurve (und dessen Vergleich mit dem am Start?) ergeben? Das ist nur geraten.

Der Zusammenhang zwischen der Relativbeschleunigung zweier freier Testpartikel und dem Vorzeichen der Krümmung der Raumzeit ist im Gravitationsfeld einer Masse analog zum Durchgang einer Gravitationswelle im flachen Raum. Ok, aber letztlich ist natürlich auch da eine wenn auch weit entfernte beschleunigte Masse der Auslöser dieser Relativbeschleunigung. Im andern Fall (Expansion) bestimmt nicht Masse, sondern das Vorzeichen von ä das Verhalten der Testpartikel, wenn ich es richtig sehe. Insofern keine direkte Analogie.
Falls Du das klären kannst, wäre das super.

Timm
11.03.13, 19:00
Im MTW habe ich viel zur Krümmung der Raumzeit durch Massen, aber nichts im Kontext des expandierenden Universums gefunden.

Ein Artikel von Matthias Bartelmann, Uni HD, in SuW 2/2013 geht darauf ein. Darin schreibt er, untermalt mit einer bildlichen Darstellung (divergierende, geradlinig verlaufende und konvergierende Geodäten), daß unabhängig von der Krümmung des Raums die Raumzeit beim beschleunigt/verzögert expandierenden Universum gekrümmt (Vorzeichen läßt er weg) und bei gleichförmiger Expansion flach ist. Wahrscheinlich muß man in die Tensoren insbesondere Riemann einsteigen, um das von Grund auf verstehen zu können, was mir leider nicht gegeben ist. Gibt's da vielleicht eine "einfache" Zusammenfassung?

Zu denken gibt, was da noch im Kontext Winkelmessung -> Raumkrümmung steht:
... So kann aus einer direkten Winkelmessung die räumliche Krümmung des Universums erschlossen werden. Es könnte auch raumzeitlich flach sein, wenn seine Expansionsrate konstant wäre. Dies ist aber nicht der Fall.
'Expansionsrate' ist üblicherweise gleichbedeutend mit 'Hubble Parameter'. Gemeint ist hier aber "lineare Ausdehnung ", wie im Bild auch so bezeichnet. Aber abgesehen davon, scheint aus dem Text zu folgen, daß unser massehaltiges Universum bei linearer Ausdehnung eine flache Raumzeit hätte. Sehe ich das richtig und ist das so?

Gruß, Timm

Ich
12.03.13, 10:41
Darin schreibt er, untermalt mit einer bildlichen Darstellung (divergierende, geradlinig verlaufende und konvergierende Geodäten), daß unabhängig von der Krümmung des Raums die Raumzeit beim beschleunigt/verzögert expandierenden Universum gekrümmt (Vorzeichen läßt er weg) und bei gleichförmiger Expansion flach ist. Wahrscheinlich muß man in die Tensoren insbesondere Riemann einsteigen, um das von Grund auf verstehen zu können, was mir leider nicht gegeben ist. Gibt's da vielleicht eine "einfache" Zusammenfassung?
An den Friedmanngleichungen (http://de.wikipedia.org/wiki/Friedmann-Gleichung)sieht man, dass beschleunigte/gebremste Expansion eine Ursache haben muss: Im Universum muss "Materie" im weitesten Sinne vorhanden sein: Energie (auch Masse zählt dazu) und evtl. Druck, es ist also nicht leer. Eine kosmologische Konstante zähle ich hier auch zu "Materie" also etwas mit Energiedichte und Druck, genau wie der Wikipedia-Artikel.
Der nächste Schritt sind die Einsteinschen Feldgleichungen (http://de.wikipedia.org/wiki/Einsteinsche_Feldgleichungen), die Krümmung mit Materiegehalt verbinden. Im Prinzip steht da G=T (mal einen Faktor). G und T sind beides Tensoren, hier 4x4 Matrizen. G beschreibt (einen Teil der) Raumzeitkrümmung, T beschreibt den Materiegehalt. Da beides gleich ist, heißt das: wenn Materie vorhanden ist, dann ist T!=0, deswegen G!=0, also Raumzeitkrümmung vorhanden.
Also Beschleunigung -> "Materie" vorhanden -> Krümmung vorhanden.

Im unbeschleunigten Fall gibt es im Prinzip zwei Möglichkeiten, wie man an der Friedmann-Gleichung erkennt:
Entweder ist das Universum leer, also sowohl rho als auf P auf der rechten Seite gleich Null. Dann ist es auch nicht gekrümmt im kosmologischen Sinne (Gravitationswellen oder so dürften schon noch da sein, die interessieren hier aber nicht).
Oder auf der rechten Seite heben sich die Beiträge von rho und P gegenseitig auf. Dann ist Materie vorhanden, die Expansion aber trotzdem unbeschleunigt. In unserem Universum war das vor etwa 7 Mrd. Jahren der Fall. Allerdings folgt aus der Energieerhaltung, dass sich rho und P mit der Expansion auseinanderentwickeln: Die Expansion bleibt also nicht dauerhaft unbeschleunigt.
Also wäre die formal korrekte Aussage für Korinthenkacker: ein immer unbeschleunigt expandierendes Universum ist leer, also nicht gekrümmt. (Zumindest, wenn man nicht - abseits vom Mainstreams bzw. an dessen Rand - ein paar Augen bei Energieerhaltung und Zustandsgleichung zudrückt. Solche Modelle findet man unter "freely coasting universe" oder "freely floating universe".)

Aber abgesehen davon, scheint aus dem Text zu folgen, daß unser massehaltiges Universum bei linearer Ausdehnung eine flache Raumzeit hätte. Sehe ich das richtig und ist das so?
Nein. Der Schluss von flacher Raumzeit auf leeres Universum ist eindeutig:
Raumzeit flach heißt, der Riemanntensor ist in allen Komponenten Null.
R_abcd=0, das gilt auch für den Ricci-Tensor
R_ab=0 und den Ricci Skalar
R=0.
Damit ist auch G=0, und deswegen auch T=0.
Ich weiß nicht genau, was Bartelmann da meint. Vielleicht einfach, dass das Universum nicht leer ist. Oder er bezeichnet alles mit R=0 als "nicht gekrümmt".

Timm
13.03.13, 18:33
Danke für die links und die Erläuterungen.

Bartelmann schreibt im Kontext unseres massehaltigen Universums, daß die Raumzeit bei gleichförmiger Expansion flach wäre. Das ist ihm wahrscheinlich "durchgerutscht", er weiß es natürlich besser. Hat mich etwas verwirrt, aber das soll uns jetzt nicht weiter beschäftigen.

Der nächste Schritt sind die Einsteinschen Feldgleichungen (http://de.wikipedia.org/wiki/Einsteinsche_Feldgleichungen), die Krümmung mit Materiegehalt verbinden. Im Prinzip steht da G=T (mal einen Faktor). G und T sind beides Tensoren, hier 4x4 Matrizen. G beschreibt (einen Teil der) Raumzeitkrümmung, T beschreibt den Materiegehalt. Da beides gleich ist, heißt das: wenn Materie vorhanden ist, dann ist T!=0, deswegen G!=0, also Raumzeitkrümmung vorhanden.
Also Beschleunigung -> "Materie" vorhanden -> Krümmung vorhanden.

Wie hängt der Einsteintensor mit dem Riemann-, Ricci- und Weyltensor zusammen? Letzterer ist mir mal in Zusammenhang mit Gravitationswellen über den Weg gelaufen -> Raumzeit Krümmung im ansonsten flachen Raum.

Der Riemanntensor wird häufig mit der Krümmung der Raumzeit in Verbindung gebracht und ist, wie ich hier, Seite 1 (https://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:jYMVh5uUtuEJ:physics.gmu.edu/~joe/PHYS428/Topic9.pdf+spacetime+curvature+tensor&hl=de&gl=de&pid=bl&srcid=ADGEESiuEOXWuUMFDg34mK7LsxIDc8A-EPiex_l_Yt272Rb94X6DSRF_TJ462uoJ2sDCrz1LDoqY9PJNLq sEn5Qp7bxCWjkeuKljv66he8GJZdjNqmwWfTHJCAwpPTiG7UtN fG0UqVOJ&sig=AHIEtbSU0XA50JtDdxWcqRwthZqJEhG37w) fand, proportional zur relativen Beschleunigung freier Testpartikel. Wie ist das zu verstehen angewandt auf die Epoche, in der das Universum die Phasen verzögerte, gleichförmige und beschleunigte Expansion durchlief? Diese Phasen sind durch das Vorzeichen von ä charakterisiert. Aber sind damit auch bestimmte Charakteristika des Riemanntensors verknüpft?

Ich habe nochmal etwas gründlicher unter Vorzeichen/Raumzeitkrümmung/FRW gesucht, finde aber nichts. Könnte es sein, daß es in diesem Fall eine solche Unterscheidung nicht gibt?

P.S. habe den Artikel, der sich mit Ricci/Weyl beschäftigt wieder gefunden, The Ricci and Weyl Tensors (http://math.ucr.edu/home/baez/gr/ricci.weyl.html).
The Ricci tensor Rab only keeps track of the change of volume of this ball. Namely, the second time derivative of the volume of the ball is -Rabva vb times the ball's original volume. The Weyl tensor tells the REST of the story about what happens to the ball. More precisely, it describes how the ball changes shape, into an ellipsoid.

Demnach spielt bei der Beschreibung der Krümmung der Volumenerhalt eine Rolle. Für die relative Beschleunigung freier Testpartikel unter Volumenerhalt ist der Weyl Tensor zuständig, sowohl beim freien Fall im Gravitationsfeld einer Masse, wie auch beim Durchgang einer Gravitationswelle. In beiden Fällen ist der Ricci Tensor Null. In beiden Fällen erhält die Raumzeitkrümmung ein Vorzeichen. Das bringt mich auf die Idee, daß die Raumzeitkrümmung dann kein Vorzeichen hat, wenn das Volumen sich ändert, sprich wenn Ricci <> 0. Es würde mich interessieren, was Du davon hältst.

Ich
14.03.13, 10:39
Wie hängt der Einsteintensor mit dem Riemann-, Ricci- und Weyltensor zusammen? Letzterer ist mir mal in Zusammenhang mit Gravitationswellen über den Weg gelaufen -> Raumzeit Krümmung im ansonsten flachen Raum.
Zum Weyl-Tensor lohnt es sich, den Wikipedia-Artikel (http://en.wikipedia.org/wiki/Weyl_tensor) anzulesen.
Im Prinzip ist es so: Der Riemanntensor beschreibt ganz allgemein die Raumzeitkrümmung. Der Weyl-Tensor ist ein Teil davon (d.h. bestimmte Komponenten werden zu Null gesetzt). Der Ricci-Tensor (nur Stufe 2, also 4x4 statt 4x4x4x4 wie bei Riemann und Weyl) enthält die dann fehlende Information.
Im Vakuum verschwindet der Ricci-Tensor, es bleibt nur der Weyl-Tensor übrig. Die Bedeutung ist, wie in Wikipedia und in "The Meaning of Einstein's Equations" dargestellt, dass im Vakuum ein Testvolumen - z.B. eine Wolke Kaffebohnen in relativer Ruhe - nur verformt wird (Weylkrümmung), während es bei Anwesenheit von Materie innerhalb der Wolke auch in der Größe geändert wird.
Der Einsteintensor ist abgeleitet aus dem Ricci-Tensor; seine große Bedeutung ist eben die Gleichheit mit dem Energie-Impuls-Tensor, was als Feldgleichungen die Grundlage der ART ist.
Wie ist das zu verstehen angewandt auf die Epoche, in der das Universum die Phasen verzögerte, gleichförmige und beschleunigte Expansion durchlief? Diese Phasen sind durch das Vorzeichen von ä charakterisiert. Aber sind damit auch bestimmte Charakteristika des Riemanntensors verknüpft?
Ja, die Beschleunigung ist (bis auf konstante Faktoren) gleich der Spur des Ricci-Tensors (rho+3p). Das heißt, sie ist proportional zu R, dem Krümmungsskalar. Also: Spur der Spur des Riemann-Tensors=0 -> keine Beschleunigung.
Ich habe nochmal etwas gründlicher unter Vorzeichen/Raumzeitkrümmung/FRW gesucht, finde aber nichts. Könnte es sein, daß es in diesem Fall eine solche Unterscheidung nicht gibt?
Da bin ich ein Stückchen weitergekommen: Die De-Sitter-Raumzeit hat in allen Ebenen dieselbe positive Schnittkrümmung, wie ich gesagt hatte.
Das Problem dabei ist offensichtlich, dass das für Raum-Zeit-Ebenen (z.B. x-t) etwas anderes bedeutet wie für Raum-Raum-Ebenen (z.B. x-y).
Wir hatten seinerzeit mal bei Joachim dieses Paper (http://www-nonlinear.physik.uni-bremen.de/~prichter/pdfs/GaussKruemmung.pdf) diskutiert. Da schreibt einer, dass die Schnittkrümmung im raumartigen Teil dieser Ebenen positiv sei und im zeitartigen Teil negativ. Ich halte diese Ausdrucksweise aber für maximal verwirrend und dubios.
Im Prinzip läuft's wohl darauf hinaus, dass zeitartige Geodäten bei positiver Schnittkrümmung divergieren, raumartige aber konvergieren. Das muss ich mir aber noch genauer anschauen.

Timm
16.03.13, 18:26
Im Vakuum verschwindet der Ricci-Tensor, es bleibt nur der Weyl-Tensor übrig. Die Bedeutung ist, wie in Wikipedia und in "The Meaning of Einstein's Equations" dargestellt, dass im Vakuum ein Testvolumen - z.B. eine Wolke Kaffebohnen in relativer Ruhe - nur verformt wird (Weylkrümmung), während es bei Anwesenheit von Materie innerhalb der Wolke auch in der Größe geändert wird.
Gut, dazu ein kleiner Abschweifer zu den Gezeitenkräften. Davon ist offenbar nur (?) im Fall Weyl-Krümmung die Rede. Zumindest entnehme ich das so aus "The Meaning of Einstein's Equations". Ist das eine Konvention? Der andere Fall - Wolke expandiert beschleunigt und das isotrop - sollte doch vergleichbar sein, relative Beschleunigung von Partikeln in beiden Fällen. Oder sehe ich das falsch.
Im Prinzip läuft's wohl darauf hinaus, dass zeitartige Geodäten bei positiver Schnittkrümmung divergieren, raumartige aber konvergieren. Das muss ich mir aber noch genauer anschauen.
Bedeutet positive Schnittkrümmung nicht Sphäre? Wir sprechen hier also von Raumkrümmung, nicht Raumzeit Krümmung, oder? Geht es um Geodäten in einer expandierenden Sphäre? Kannst Du nochmal etwas weiter ausholen?

Ich
16.03.13, 23:32
Gut, dazu ein kleiner Abschweifer zu den Gezeitenkräften. Davon ist offenbar nur (?) im Fall Weyl-Krümmung die Rede. Zumindest entnehme ich das so aus "The Meaning of Einstein's Equations". Ist das eine Konvention?
Darüber habe ich mir noch keine Gedanken gemacht. Wenn man ein bisschen Wikipedia liest, sieht es tatsächlich so aus, als ob das Konvention sei.
Das mit der relativen Beschleunigung würde ich auch als eine allgemeine Defininition von "Gezeitenkraft" sehen. Vielleicht wird der Begriff meistens spezieller gebraucht.
Bedeutet positive Schnittkrümmung nicht Sphäre? Wir sprechen hier also von Raumkrümmung, nicht Raumzeit Krümmung, oder?
Nein, wir reden von Raumzeitkrümmung.
Mein Beispiel von damals war die de Sitter Raumzeit, das exponentiell beschleunigt expandierende Universum. Der FRW-Raum für diese Raumzeit ist flach. Der statische Raum ist positiv gekrümmt. Diesen Unterschied habe ich in meinem Gamsbart.Beispiel versucht zu erklären.
Raumzeitkrümmung hat nun mit der exakten Koordinatenwahl nichts zu tun. Es gibt für die Gesamtkrümmung eine (oder zwei) Zahlen, und die sind positiv: diese Raumzeit ist positiv gekrümmt, egal wie man darin den Raum definiert.

Wenn man genauer hinschauen will kommt man zum Begriff der Schnittkrümmung. Dazu sucht man sich an einem bestimmten Punkt zwei Vektoren aus. Dann nimmt man die Ebene, die durch Geodäten erzeugt wird, die irgendwie als Linearkombination dieser beiden Vektoren vom Ursprung ausgehen. Auch das ist koordinatenunabhängig, also eine Raumzeitgröße, und nicht von der speziellen Definition des Raumes abhängig, die man verwendet.
Als solche Vektoren kann man der Übersichtlichkeit halber gerne die Basisvektoren irgendeines Orthogonalsystems wählen. Im Falle einer FRW-Raumzeit idealerweise mit der kosmologischen Zeit als "Zeitrichtung".
Dann gibt es vier Basisvektoren t,x,y,z und sechs Ebenen tx,ty,tz,xy,xz,yz.
Für jede dieser Ebenen kann man die Schnittkümmung ausrechnen, und für jede kommt bei de Sitter derselbe Wert raus: +1/4a² (a ist eine frei wählbare charakteristische Länge).
Also ist der "Normalraum" (siehe Gamsbart) positiv gekrümmt, das sind die Ebenen xy,xz,yz. Ebenso sind die Zeit-Raum-gemischten Ebenen tx,ty,tz positiv gekrümmt.
Jetzt ist es aber innerhalb dieser Ebene offensichtlich so, dass raumartige Geodäten konvergieren (wie auch in der Raum-Raum-Ebenen), aber zeitartige Geodäten divergieren. Wie das genau ausieht weiß ich nicht, da muss ich mich noch tiefer einarbeiten.

Zusammenfassend: Der "natürliche" Raum des exponentiell beschleunigt expandierenden Universums hat positive Krümmung und ist in der Tat deswegen eine Sphäre.
Die Raumzeitebenen sind auch positiv gekrümmt, werden aber deswegen nicht zur Sphäre. Für zeitartige Vektoren kommt effektiv nämlich (anscheinend) negative Krümmung raus.
Insgesamt ist die Raumzeit zwar positiv gekrümmt, aber keine 4-Sphäre, sondern unendlich ausgedehnt.

Bauhof
17.03.13, 09:41
Zusammenfassend: Der "natürliche" Raum des exponentiell beschleunigt expandierenden Universums hat positive Krümmung und ist in der Tat deswegen eine Sphäre.

Die Raumzeitebenen sind auch positiv gekrümmt, werden aber deswegen nicht zur Sphäre. Für zeitartige Vektoren kommt effektiv nämlich (anscheinend) negative Krümmung raus.

Insgesamt ist die Raumzeit zwar positiv gekrümmt, aber keine 4-Sphäre, sondern unendlich ausgedehnt.

Hallo ICH,

der "natürliche" Raum (du meinst vermutlich unseren dreidimensionalen Anschauungsraum) hat also eine positive Krümmung und ist wegen dieser positiven Krümmung eine in sich zurückgeschlossene dreidimensionale Sphäre, richtig?

Wie kann nun die Raumzeit positiv gekrümmt und trotzdem keine in sich zurückgeschlossene vierdimensionale Sphäre sein?

M.f.G. Eugen Bauhof

Timm
17.03.13, 17:25
Nein, wir reden von Raumzeitkrümmung.
.
Als solche Vektoren kann man der Übersichtlichkeit halber gerne die Basisvektoren irgendeines Orthogonalsystems wählen. Im Falle einer FRW-Raumzeit idealerweise mit der kosmologischen Zeit als "Zeitrichtung".
Dann gibt es vier Basisvektoren t,x,y,z und sechs Ebenen tx,ty,tz,xy,xz,yz.
Für jede dieser Ebenen kann man die Schnittkümmung ausrechnen, und für jede kommt bei de Sitter derselbe Wert raus: +1/4a² (a ist eine frei wählbare charakteristische Länge).
Also ist der "Normalraum" (siehe Gamsbart) positiv gekrümmt, das sind die Ebenen xy,xz,yz. Ebenso sind die Zeit-Raum-gemischten Ebenen tx,ty,tz positiv gekrümmt.
Es ist ja schon erstaunlich, daß bei diesen 6 Ebenen derselbe Kümmungswert herauskommt.
Mir ist noch nicht klar, wie man zur Raumzeitkrümmung kommt. Diese 6 Ebenen sind doch wohl (?) eine Momentaufnahme. Bedarf es dann nicht einer zeitlichen Stapelung, was ich mir bei Zeit-Raum Ebenen noch vorstellen kann. Was aber, wenn die Zeit keine Koordinate ist? Die Kümmung der Raum-Raum-Schnitte ist ja wohl zeitunabhängig?
Hm, wenn egal, wie man's bei einem Modell-Universum macht (Schnitt durch Raum-Raum oder Zeit-Raum) immer derselbe Krümmungswert herauskommt, dann sollte das eigentlich heißen, daß man doch keinen Zeit-Stapel braucht. Andererseits verbinde ich den Begriff Raumzeit mit dem Verhalten von zeitartigen Geodäten.

Lt. Wikipedia hat die Schnittkrümmung den Wert null (Raum euklidisch),
1/R² (Sphäre mit Radius R) und -1/R² (Raum hyperbolisch). Insofern hatte ich Schnittkrümmung mit Raumkrümmung identifiziert.

P.S.By Mark Trodden | April 15, 2012 6:08 am :
Pure de Sitter space – the solution to the Einstein equations with a positive cosmological constant and no other matter sources – is, indeed, a maximally symmetric space. There exist a number of particularly useful coordinate choices for this space. In some cases, these consist of picking a useful time choice, and thus defining a family of spacelike surfaces (the spatial part of the spacetime at a constant value of this time choice). This is referred to as a slicing of the space, and it is, actually, possible to slice the space in three different ways that correspond to cosmologically expanding spaces with flat, positively-curved and negatively curved spatial parts, respectively. These are the ways of describing de Sitter space that are useful when considering inflation. However, there also exists a choice of coordinates in which the metric does not depend on time at all, and the mere existence of such a choice is enough to tell us that there is no fundamental sense in which this is an expanding cosmological spacetime. In fact, from what I just wrote, you might have a related question: even in the cosmological coordinates, what decides if the universe is flat, positively, or negatively curved?

Sind hier mit "spacelike surfaces " die von Dir erwähnten Zeit-Raum-Ebenen (Schnitte) gemeint? Und damit :"... also exists a choice of coordinates in which the metric does not depend on time ?" die Raum-Raum-Ebenen?

Ich
18.03.13, 13:02
Hallo Bauhof,

der "natürliche" Raum (du meinst vermutlich unseren dreidimensionalen Anschauungsraum) hat also eine positive Krümmung und ist wegen dieser positiven Krümmung eine in sich zurückgeschlossene dreidimensionale Sphäre, richtig?

Ich kann gerade mit dem Begriff "Anschauungsraum" nichts anfangen, vielleicht könntest du das näher erläutern.
Man kann in jeder Raumzeit verschiedenste dreidimensionale Räume definieren, da ist die Auswahl fast unbegrenzt. Mit "natürlichem Raum" meine ich das, was ich im Gamsbartbeispiel mit "Normalkoordinaten" bezeichnet habe. Man legt an einem beliebigen Ereignis fest, in welche Richtung die Zeit geht - normalerweise die Vierergeschwindigkeit eines Beobachters -, und der Rest ergibt sich automatisch.
Das ist nicht der Raum, der in FRW-Koordinaten benutzt wird; dieser wäre nämlich flach.
Wie kann nun die Raumzeit positiv gekrümmt und trotzdem keine in sich zurückgeschlossene vierdimensionale Sphäre sein?
Das ist genau der Punkt, den ich mir noch anschauen muss. Der Knackpunkt sind die gemischten Ebenen, in denen sowohl zeitartige als auch raumartige Abstände vorkommen. Da ist es effektiv wohl so, dass positive Krümmung "im raumartigen Teil" (diese Formulierung gefällt mir wie gesagt nicht) mit negativer Krümmung im zeitartigen Teil korreliert. Dazu kann ich im Moment aber auch nicht mehr sagen, als ich schon gesagt habe.

Ich hab auf die Schnelle dazu noch dieses Paper (http://www.math.utk.edu/~freire/teaching/m568s12/m568s12handout3.pdf) gefunden, leider nur auf Englisch. Dort wird meine Sichtweise
Im Prinzip läuft's wohl darauf hinaus, dass zeitartige Geodäten bei positiver Schnittkrümmung divergieren, raumartige aber konvergieren.bestätigt. Also stimmt die ungefähre Richtung schon mal.

Bauhof
18.03.13, 15:10
Hallo ICH,
Ich kann gerade mit dem Begriff "Anschauungsraum" nichts anfangen, vielleicht könntest du das näher erläutern.

Mit "Anschauungsraum" wird (wurde) der uns umgebende dreidimensionale physikalische Raum beschrieben:

In der Mathematik bezeichnet der Begriff euklidischer Raum zunächst den “Raum unserer Anschauung“, wie er in Euklids Elementen durch Axiome und Postulate beschrieben wird (vgl. euklidische Geometrie).

Bis ins 19. Jahrhundert wurde davon ausgegangen, dass dadurch der uns umgebende physikalische Raum beschrieben wird. Der Zusatz "euklidisch" wurde nötig, nachdem in der Mathematik allgemeinere Raumkonzepte (z.B. hyperbolischer Raum, riemannsche Mannigfaltigkeiten) entwickelt wurden und es sich im Rahmen der speziellen und allgemeinen Relativitätstheorie zeigte, dass zur Beschreibung des Raums in der Physik andere Raumbegriffe benötigt werden (Minkowski-Raum, Lorentz-Mannigfaltigkeit).

Siehe: http://cresi.ameriv.de/wiki/Anschauungsraum

Ob nun unser "Anschauungsraum" in Wirklichkeit euklidisch, sphärisch oder hyperbolisch ist, wissen wir noch nicht, denn z.B. ein in sich zurückgeschlossener sphärischer dreidimensionaler Raum mit einem 4-D-Radius von 13 Milliarden Lichtjahren ist messtechnisch sehr schwer von einem euklidischen Raum zu unterscheiden. Ich wäre dankbar, wenn du zur Beantwortung meiner Frage
Wie kann nun die Raumzeit positiv gekrümmt und trotzdem keine in sich zurückgeschlossene vierdimensionale Sphäre sein?

etwas deutschsprachiges finden könntest, denn der Apacho-Übersetzer liefert bei englisch-physikalischen Texten nur Unverständliches.

M.f.G. Eugen Bauhof

Ich
19.03.13, 21:39
Hi Bauhof,

Mit "Anschauungsraum" wird (wurde) der uns umgebende dreidimensionale physikalische Raum beschrieben
Ich weiß nicht, ob das Sinn ergibt. Was unterscheidet einen physikalischen Raum von einem nichtphysikalischen?
Wie auch immer, in der ART kommt dem "Raum" keine spezielle Bedeutung zu, nur der Raumzeit. Den "Raum" kann man sich da fast beliebig reinlegen, das liefert nur unterschiedliche Beschreibungen derselben Sache.
Ich wäre dankbar, wenn du zur Beantwortung meiner Frage etwas deutschsprachiges finden könntest
Hab ich eigentlich nur den weiter oben verlinkten Artikel (http://www-nonlinear.physik.uni-bremen.de/~prichter/pdfs/GaussKruemmung.pdf). Dort findest du auf Seite 5 die etwas merkwürdige Aussage:
...in ihrem raumartigen Teil gelten daher die Krümmungen (5), während im zeitartigen Teil jeweils das andere Vorzeichen zu nehmen ist.
Damit wäre also "im zeitartigen Teil" die Krümmung negativ. Reicht dir das? (Allerdings weise ich nochmal darauf hin, dass diese Formulierung für mich keinen Sinn ergibt.)


Die Formulierung im englischsprachigen Artikel ist dagegen ziemlich genau die, die ich auch gewählt habe - und die mir naturgemäß auch besser gefällt. Mit "sigma" = Wert der Schnittkrümmung:

Interpreting the sign of sigma.
In the Riemannian case, if sigma < 0 everywhere, the Jacobi equation has exponentially divergent solutions, while if sigma > 0 the solutions are oscillatory ("convergent" geodesics.) This still holds for space-like two-planes in the Lorentzian case:
sigma < 0 corresponds to defocusing,
sigma > 0 to focusing behavior.
Zur Interpretation des Vorzeichens von sigma:
Im Riemannschen Fall hat die Jacobi-Gleichung exponentiell divergierende Lösungen, während, wenn sigma < 0, die Lösungen oszillierend sind ("konvergente" Geodäten.) Das gilt auch für raumartige Zwei-Flächen im Lorentzschen Fall:
sigma < 0 entpricht defokussierendem,
sigma > 0 fokussierendem Verhalten.
If \gamma is a timelike geodesic [...]
This is positive if sigma > 0 (divergent, defocusing behavior), negative if
sigma < 0 (convergent, focusing behavior for nearby particles.)
Note this is exactly the opposite of the Riemannian case.
Wenn \gamma eine zeitartige Geodäte ist ...
Das ist positiv wenn sigma > 0 (divergentes, defokussierendes Verhalten), negativ wenn sigma < 0 (konvergierendes, fokussierendes Verhalten für benachbarte Partikel.)
Beachte, dass das das genaue Gegenteil des Riemannschen Falls ist.
Das ist letztlich wohl nur eine Formulierungsfrage, im Prinzip bedeuten beide Aussagen, dass eine positive Schnittkrümmug auf zeitartige Geodäten wie eine negative Krümmung wirkt. Dementsprechend expandieren bei de Sitter (= überall positive Schnittkrümmung) die Weltlinien von Testteilchen auch exponentiell, statt wie im Fall einer zurückgeschlossenen vierdimensionalen Sphäre zu kontrahieren. Das kleine "-" in der Metrik macht den Unterschied.

Ich
19.03.13, 22:07
Hallo Timm,

Es ist ja schon erstaunlich, daß bei diesen 6 Ebenen derselbe Kümmungswert herauskommt.
Das liegt daran, dass diese Raumzeit maximal symmetrisch ist, wie auch Trodden schreibt.
Mir ist noch nicht klar, wie man zur Raumzeitkrümmung kommt. Diese 6 Ebenen sind doch wohl (?) eine Momentaufnahme. Bedarf es dann nicht einer zeitlichen Stapelung, was ich mir bei Zeit-Raum Ebenen noch vorstellen kann. Was aber, wenn die Zeit keine Koordinate ist? Die Kümmung der Raum-Raum-Schnitte ist ja wohl zeitunabhängig?
Sorry, mir ist nicht klar, was deine Frage ist.
Mal mit meinen Worten erklärt, wovon ich zu reden glaube:
"Raumkrümmung" (= Riemannsche Krümmmung) wie auch "Schnittkrümmung" beschreiben die Krümmung der Raumzeit lokal an einem einzigen ausgewählten Ereignis. Der Riemanntensor gibt dabei an, wie sich Vektoren beim Verschieben drehen. Die Schnittkümmungen geben an, wie die 6 möglichen - hier aufeinander senkrecht stehenden - Ebenen, die durch dieses Ereignis verlaufen, gekrümmt sind. Die Ebenen werden erzeugt, indem man 2 der 4 orthogonalen Basisvektoren festhält und für alle möglichen Kombinationen der beiden anderen die Geodäten nimmt, die in diese Richtung starten.
Beides beinhaltet dieselbe Information, nämlich die Krümmung der Raumzeit an genau diesem Ereignis.
Lt. Wikipedia hat die Schnittkrümmung den Wert null (Raum euklidisch),
1/R² (Sphäre mit Radius R) und -1/R² (Raum hyperbolisch). Insofern hatte ich Schnittkrümmung mit Raumkrümmung identifiziert.
Ja. Wenn du erst irgendwie einen 3D-Raum herausschneidest, dann zeigen die Schnittkrümmungen dieses Raums dessen Krümmung an, so wie Wikipedia sagt.
Die Schnittkrümmungen der 4D-Raumzeit aber schneiden sich ihren Raum selber heraus, unabhängig von der Koordinatenwahl (du musst nur angeben, welcher Vektor auf allen Ebenen senkrecht stehen soll). In den 3 reinen Raumebenen geben sie dann auch wie oben die Krümmung an. In den 3 gemischten Ebenen sind sie etwas vorsichtiger zu interpretieren.

Sind hier mit "spacelike surfaces " die von Dir erwähnten Zeit-Raum-Ebenen (Schnitte) gemeint?
Nein, gar nicht. Das sind - im oben beschriebenen Sinne - beliebig herausgeschnittene 3D-Räume. In diesem Raum sind alle Abstände raumartig, so dass ich die darin liegenden Ebenen als Raum-Raum beschreiben würde (Beispiel: x-y-Ebene).
In Zeit-Raum Ebenen gibt es sowohl raumartige als auch zeitartige Abstände (Beispiel: x-t-Ebene des klassischen Raum-Zeit-Diagramms).
Und damit :"... also exists a choice of coordinates in which the metric does not depend on time ?" die Raum-Raum-Ebenen?
Der so herausgeschnittene Raum entspricht in der Tat genau dem Produkt der Raum-Raum-Ebenen der 4D-Schnittkrümmung. Das ist quasi der Raum, den sich diese Ebenen sowieso herausschneiden würden. Deswegen habe ich ihn auch als den "natürlichen" Raum bezeichnet.

Timm
25.03.13, 10:40
Gut, dazu ein kleiner Abschweifer zu den Gezeitenkräften. Davon ist offenbar nur (?) im Fall Weyl-Krümmung die Rede. Zumindest entnehme ich das so aus "The Meaning of Einstein's Equations". Ist das eine Konvention? Der andere Fall - Wolke expandiert beschleunigt und das isotrop - sollte doch vergleichbar sein, relative Beschleunigung von Partikeln in beiden Fällen. Oder sehe ich das falsch.

Dazu ein kleiner Nachtrag:

http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_curvature_tensor
It is a central mathematical tool in the theory of general relativity, the modern theory of gravity, and the curvature of spacetime is in principle observable via the geodesic deviation equation. The curvature tensor represents the tidal force experienced by a rigid body moving along a geodesic in a sense made precise by the Jacobi equation.
Ich finde, es macht schon Sinn, Gezeitenkräfte nicht daran fest zu machen, ob das Volumen der Testpartikel Wolke nun zeitlich konstant ist oder nicht.

Timm
25.03.13, 11:58
Hi 'Ich',

Mal mit meinen Worten erklärt, wovon ich zu reden glaube:
"Raumkrümmung" (= Riemannsche Krümmmung) wie auch "Schnittkrümmung" beschreiben die Krümmung der Raumzeit lokal an einem einzigen ausgewählten Ereignis. Der Riemanntensor gibt dabei an, wie sich Vektoren beim Verschieben drehen. Die Schnittkümmungen geben an, wie die 6 möglichen - hier aufeinander senkrecht stehenden - Ebenen, die durch dieses Ereignis verlaufen, gekrümmt sind. Die Ebenen werden erzeugt, indem man 2 der 4 orthogonalen Basisvektoren festhält und für alle möglichen Kombinationen der beiden anderen die Geodäten nimmt, die in diese Richtung starten.
Beides beinhaltet dieselbe Information, nämlich die Krümmung der Raumzeit an genau diesem Ereignis.

Ok, danke, um das allerdings wirklich nachvollziehen zu können, fehlen mir leider die Grundlagen. Hilfreich ist auf jeden Fall das Fazit - der letzte Satz. Man spricht dann wohl von konstanter Schnittkrümmung, wenn das kosmologische Prinzip gilt.

Wie ist das nun im Fall Schwarzschild? Wir hatten ja schon gesehen, daß das Vorzeichen der Krümmung der Raumzeit hier von der betrachteten Ebene abhängt. Kann oder muß man hier nicht auch die Schnittkrümmung heran ziehen? Allerdings, hmm, bleibt im Vakuum von den Komponenten des Riemann Tensors nur die Weyl Krümmung übrig.

Wie interpretierst Du das?:
Hier (http://tlib.ir/DL/Portal_ACO/Content/Files/News/uploadnews_new_8.pdf) steht S. 9
On the other hand, there are a number of powerful local-global theorems, which can be thought as generalizations of the Gauss-Bonnet theorems in various directions. They are consequences of the fact that positive curvature makes geodesics converge, while negative curvature forces them to spread out.
Ist diese Aussage allgemeingültig, Schwarzschild + FRW? Und was ist mit curvature gemeint. Auf derselben Seite oben werden die 3 Möglichkeiten (Vorzeichen) der Schnittkrümmung angesprochen.

Gruß, Timm

Ich
27.03.13, 11:36
Ich finde, es macht schon Sinn, Gezeitenkräfte nicht daran fest zu machen, ob das Volumen der Testpartikel Wolke nun zeitlich konstant ist oder nicht.
Ja. Aber ich denke, je nach betrachtetem Effekt verstehen die Leute eben etwas anderes unter "Gezeiten", mal strenger und mal allgemeiner. Da würde ich mir keine Gedanken machen.
Wie ist das nun im Fall Schwarzschild? Wir hatten ja schon gesehen, daß das Vorzeichen der Krümmung der Raumzeit hier von der betrachteten Ebene abhängt. Kann oder muß man hier nicht auch die Schnittkrümmung heran ziehen? Allerdings, hmm, bleibt im Vakuum von den Komponenten des Riemann Tensors nur die Weyl Krümmung übrig.
Weyl-Krümmung gehört auch zur Schnittkrümmung. Wenn nur Weyl-Krümmung vorliegt, bedeutet das, dass die Summe der Schnittkrümmungen Null wird. Richter geht in dem vorher zitierten Paper ausführlich darauf ein.
Wie interpretierst Du das?:
Hier steht S. 9
On the other hand, there are a number of powerful local-global theorems, which can be thought as generalizations of the Gauss-Bonnet theorems in various directions. They are consequences of the fact that positive curvature makes geodesics converge, while negative curvature forces them to spread out.
Ist diese Aussage allgemeingültig, Schwarzschild + FRW? Und was ist mit curvature gemeint. Auf derselben Seite oben werden die 3 Möglichkeiten (Vorzeichen) der Schnittkrümmung angesprochen.
Die Aussage ist allgemeingültig in Riemannscher Geometrie, von der auch das Buch handelt. Alle Raumzeiten sind aber "pseudo-Riemannsche" Mannigfaltigkeiten in genau demselben Sinne, wie der Minkowskiraum "pseudo-Euklidisch" ist.
Das heißt, die Aussagen in dem Buch kannst du auf irgendwelche Unterräume anwenden und deren Schnittkrümmungen und Geodäten. Bei den raumartigen Schnittkrümmungen der Raumzeit geht es auch, aber die liegen nicht notwendigerweise in den Unterräumen des gewählten Koordinatensystems - bei Schwarzschild zum Beispiel schon, bei FRW dagegen nicht.
Nicht anwenden kann man sie, wenn Zeit mit dazukommt, also auf Weltlinien oder die Schnittkrümmungen der gemischten Zeit/Raum-Ebenen. Da muss man berücksichtigen, dass zeitartige Geodäten andersrum reagieren wie raumartige.

Riemannsche Geometrie gilt wie gesagt in Unterräumen, die Aussagen aus dem Buch treffen also sehr wohl auf z.B. die Topologie des Universums zu, wo man den FRW-Raum betrachtet und nicht die gesamte Raumzeit.
Für

Timm
30.03.13, 18:41
Nicht anwenden kann man sie, wenn Zeit mit dazukommt, also auf Weltlinien oder die Schnittkrümmungen der gemischten Zeit/Raum-Ebenen. Da muss man berücksichtigen, dass zeitartige Geodäten andersrum reagieren wie raumartige.

"Nicht anwenden" bezieht sich auf die zitierte Aussage in diesem Buch, wobei es um das Verhalten von Geodäten im Kontext zum Vorzeichen der Krümmung geht. Mein Eindruck war, es kann nur Raumzeitkrümmung gemeint sein. Allerdings, weil ich die Vorstellung zeitartiger Geodäten hatte. Da lag ich wohl falsch.

Ist mit "raumartiger Schnittkrümmung der Raumzeit" die Ebene zu einem festen Zeitpunkt gemeint? Und könnte man sagen, daß diese Ebene orthogonal zu den zeitartigen Geodäten ist?
Mein Verständnis war, daß Krümmung bezogen auf einen festen Zeitpunkt Raumkrümmung (also definitiv keine Information über Raumzeitkrümmung beinhaltet) bedeutet. Und Geodäten dann zwangsläufig raumartig sind.
Und man erst über eine Krümmung der Raumzeit spricht, wenn tatsächlich die Zeit und damit zeitartige Geodäten hinzu kommt/en.

Ich müßte mir vielleicht nochmal den Gamsbart zu Gemüte führen. Dazu nur eine Kontroll Frage. Wäre die umhüllende gewölbte Kurve eine "raumartige Schnittkrümmung der Raumzeit"?