Zufall mit Grenzübergang

[Slash]

Hallo,

ich hatte den Anfangsbeitrag zunächst anders formuliert.

Was ich mich frage ist, in wie fern bei statistischen Aussagen - zum Beispiel bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass sich ein Gasgemisch entmischt auch Nicht-linearitäten eine Rolle spielen bzw. in Betracht gezogen werden?

VG

Slash

[Bauhof]

Gestern kam mir dazu der Gedanke, dass es eventuell - wie bei der Reynolds-Zahl - zu einem Grenzübergang kommen könnte.
Hallo Slash,

bitte erkläre erst mal die Reynolds-Zahl (die kenne ich nicht) und wie es bei der Reynolds-Zahl zu einem Grenzübergang kommt.

M.f.G. Eugen Bauhof

[Slash]

Hallo Slash,

bitte erkläre erst mal die Reynolds-Zahl (die kenne ich nicht) und wie es bei der Reynolds-Zahl zu einem Grenzübergang kommt.

M.f.G. Eugen Bauhof

Hallo Bauhof,

die Reynoldszahl ist eine dimensionslose Kennzahl, die den Übergang von laminarer zu turbulenter Strömung "festlegt" bzw. angibt ob es sich um eine laminare oder eine turbulente Strömung handelt. Es ist nur ein Gedankenspiel, ich frage mich, ob es nicht gewisse Grenzübergänge (zum Beispiel aufgrund von Nichtlinearitäten) gibt, die eben verhindern, dass gewisse Zustände noch unwahrscheinlicher sind, als dass es eine lineare Betrachtungsweise hergibt. Allerdings bin ich mir gar nicht sicher, ob nicht bereits in vielen Betrachtungen doch Nichtlinearitäten eingebaut sind.

Ich denke, mein Gedanke macht aber wenig Sinn, da zum Beispiel die zufällige Entmischung eines Gases bereits aus linearer Sicht so unwahrscheinlich ist, dass man sie nicht noch mit (versteckten) Nicht-linearitäten noch unwahrscheinlicher machen müsste.

Trotzdem hier auch ein nettes Applet zur Reynolds-Zahl, dass ich kürzlich fand und das vielleicht auch für andere Anwendungen interessant ist.

VG
Slash

http://energy.concord.org/energy2d/reynolds.html

http://www.youtube.com/watch?v=LylMRupw4iE&feature=player_embedded

http://de.wikipedia.org/wiki/Dimensionslose_Kennzahl

[Struktron]

Hallo Slash,

Du hast zwar noch nicht viel zu dem Thema geschrieben, bei mir im Hintergrund laufen aber gerade Simulationen, bei denen mein Notebook heiß wird. Trotzdem kann ich nebenbei schreiben, was da läuft.

Stellen wir uns die Bewegung von einfachen Kugeln im dreidimensionalen Raum vor, wo keinerlei Kräfte vorkommen. Die Kugeln bewegen sich dann nach einer gegebenen Anfangsgeschwindigkeit bis zur Berührung einer anderen geradlinig. Betrachten wir viele, z.B. 100.000, müssen wir die Anfangsgeschwindigkeiten vorgeben und dazu einen Pseudo-Zufallsgenerator verwenden. Das System ist also deterministisch, wenn alle Ereignisse durch Geschwindigkeiten und Winkel bestimmt werden. Bei Ereignissen, also Stößen ändern sich Geschwindigkeitsbeträge und Richtungen. Verbal könnten wir hier ein paar interessante Fälle behandeln. Beispielsweise kann eine Kugel bei einem gewissen seitlichen Stoß zur Ruhe kommen und dafür das andere dessen Geschwindigkeitsbetrag zusätzlich zu dem, den sie schon hat.

Mathematisch empfiehlt sich eine starke Vereinfachung, so dass das Wesentliche herus kristallisiert wird. Mit dem Satz von Pythagoras können wir beispielsweise nachrechnen, was dabei passiert, welche Geschwindigkeitsbeträge erzeugt werden. Machen wir das für alle 100.000 Kugeln, könnten wir auf den Gedanken kommen, dass die durchschnittlichen Geschwindigkeitsbeträge einen Wert erhalten, welcher nach einer Wiederholung von wieder 100.000 Stößen nahe an dem vorherigen liegt. Dazu müssen wir aber unsere Anforderung an eine Übereinstimmung genauer definieren. Ab welcher Nachkommastelle sind wir zufrieden? Naturkonstanten sind auf viele Nachkommastellen genau bekannt.

Eine Zerstörung von anfangs willkürlich hinein gesteckten Parametern (je acht pro Stoß), ist leicht zu verstehen. Die unterschiedlichen Kombinationen von Geschwindigkeitsbeträgen und Winkeln ergeben sehr starke Änderungen bei jeder einzelnen Geschwindigkeit. Die Winkel sind zum Einen wegen der Herkunft aus allen möglichen Richtungen nichtlinear. Auch bei Annahme gleich wahrscheinlicher paralleler Flugbahnen muss davon ausgegengen werden, dass sich die möglichen Berührpunkte auf den ganzen Kugeloberflächen verteilen. Daraus ergeben sich Stoßachsen, von welchen die Bewegungen nach den Stößen sehr stark abhängen. Obwohl alles deterministisch betrachtet wird, ergiben sich dabei so unterschiedliche Geschwindigkeiten, dass wir von einem deterministischen Chaos sprechen können.

Eine Ordnung vermuten wir in einem solchen Chaos erst einmal nicht. Trotzdem können wir aber die Geschwindigkeitbeträge nach Häufigkeiten sortieren und stellen dann fest, dass sie, egal wie wir anfangen, nach der Maxwell-Boltzmannschen Geschwindigkeitverteilung verteilt sind. Da haben wir also schon eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, welche durch die Nichtlinearitäten der auftretenden Winkel mit verursacht wird. Der Vorgang heißt übrigens Thermalisierung.

Eine selbständige Entmischung durch solche Prozesse ist bisher nicht nachgewiesen. Wie sie Zustande kommen könnte und wie das zu beschreiben wäre, könnte man aber diskutieren.

MfG
Lothar W.

[Slash]

Hallo Struktron,

danke für deine Antwort. Also der Gedanke von mir ist unausgereift und vermutlich auch gar nicht sinnvoll / relevant.

Auch die Bezeichnung "lineare Betrachtung" war sicherlich nicht glücklick gewählt.

Mit "linearer Betrachtung" meinte ich bspw. dass die Wahrscheinlichkeit bei 2 Kugeln im Glas, dass sich 1 blaue Kugel rechts von einer gedachten Trennwand und 1 rote Kugel links davon befindet 1 : 4 ist. Bzw. die Entmischung 2:4 = 1:2 und beide Kugeln auf einer Seite 2:4 (wenn man von 4 Möglichkeiten ausgeht).

(Hoffe, Rechnung stimmt).

Bei 4 Kugeln wird´s dann immer größer etc.

Ich fragte mich, ob aber irgendwann dieser "lineare Anstieg" (der in Wirklichkeit ja ein potenzieller - oder exponentieller (?) ist) so stimmt.

Wie gesagt, es ist natürlich kein linearer Anstieg, aber immerhin in einer "einfachen" Gesetzmäßigkeit.

VG
Slash