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Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : Vergleich der Bewegungsgleichungen (klassisch vs. quantenmechanisch)


piet
20.05.13, 16:54
Ich möchte folgende Aufgaben lösen.
Folgende Gleichungen sind gegeben:
Hamiltonoperator H = p^2/(2m) +1/2 m*w^2 * x^2 +alpha*x^4

zeitliche Entwicklung der quantenmechanischen Erwartungswert:

dx/dt = i/h(quer) ([H, x])

dp/dt = i/h(quer) ([H, p])
"Betrachten sie den Spezialfall alpha = 0. Vergleichen sie die Bewegungsgleichungen für die Erwartungswerte <x> und <p> mit den klassischen Bewegungsgleichungen für den Ort x(t) und den
Impuls p(t) = m d/dt x(t) eines Teilchens im
Potential V(x) = 1/2 m*w^2 * x^2."

Für die Kommutatoren habe ich folgende Ergebnisse:
Für den Kommutator [H, x] = 0
Für den Kommutator [H, p] = -i/h(quer)(m * w^2 *x + 4 alpha * x^3)

Folgende Erwartungswerte der Bewegungsgleichung habe ich ausgerechnet
Für d<p>/dt = -mw^2 * xdt

Integriert bekomme ich dann:

<p> = -m * w^2 * x * t

für den Ort bekomme ich <x> = 0 raus.

Mir ist nicht ganz klar wie x(t) definiert ist. Ich sehe auch keinen Zusammenhang mit dem Potential.

Könnt ihr mir helfen?

Hawkwind
20.05.13, 19:16
Ich möchte folgende Aufgaben lösen.
Folgende Gleichungen sind gegeben:
Hamiltonoperator H = p^2/(2m) +1/2 m*w^2 * x^2 +alpha*x^4

zeitliche Entwicklung der quantenmechanischen Erwartungswert:

dx/dt = i/h(quer) ([H, x])

dp/dt = i/h(quer) ([H, p])
"Betrachten sie den Spezialfall alpha = 0. Vergleichen sie die Bewegungsgleichungen für die Erwartungswerte <x> und <p> mit den klassischen Bewegungsgleichungen für den Ort x(t) und den
Impuls p(t) = m d/dt x(t) eines Teilchens im
Potential V(x) = 1/2 m*w^2 * x^2."

Für die Kommutatoren habe ich folgende Ergebnisse:
Für den Kommutator [H, x] = 0


Das stimmt doch nicht: x kommutiert zwar mit den x-Termen im Hamiltonian, aber natürlich nicht mit dem 1. Term ~p^2.

[p^2,x] = ppx - xpp =
= pxp - pxp +ppx -xpp =
= pxp +p[p,x] -xpp =
= xpp - xpp + pxp +p[p,x] -xpp =
= xpp + [p,x]p + p[p,x] -xpp = [p,x]p + p[p,x]

wegen [p,x]=-i*hquer

= 2*i*hquer*p

oder du setzt für p explizit d/dx ein und verwendest die Produktregel beim Durchschieben von x auf die linke Seite. Kommt natürlich dasselbe raus.

... die 2m im Nenner weggelassen.

Wenn dieser Kommutator verschwände, dann wären Energie und Ort simultan scharf, oder - anders gesagt - dann hätten die Energieeigenfunktionen dieses Problems (harmonischer Oszillator) scharfe x-Werte. Die Energieeigenfunktionen des harmonischen Oszillators kennt man ja,
siehe z.B.
http://de.wikipedia.org/wiki/Harmonischer_Oszillator_%28Quantenmechanik%29

Der Grundzustand z.B. ist
http://upload.wikimedia.org/math/c/f/b/cfb024620f3f806bb8ad0c6074adb10f.png

Man erkennt leicht, dass es eine endliche Breite in x gibt. x und E sind also nicht zugleich scharf!

Den Rest habe ich mir nicht angeguckt, muss jetzt joggen bevor der nächste Regenguss kommt. :(