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Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : Gravitative Zeitdilatation berechnen


Dekohärenz
31.07.13, 19:28
Hallo zusammen.

Weiß jemand hier, wie man die gravitative Zeitdilatation berechnet?
Gibt es eine Formel dafür?

Ich habe mich mal schlau gemacht und bin auf diese Formel gestoßen: t_0=t_f*sqrt(1-2GM/rc²)
Sie steht in der englischen Wikipedia unter "gravitational time dilation".

Kann ich mit dieser Formel die g. Zeitdilatation berechnen?
Was besagt diese Formel?

Vielen Dank für alle Antworten.

amc
01.08.13, 01:24
Vielen Dank für alle Antworten.

http://de.wikipedia.org/wiki/Zeitdilatation#Zeitdilatation_im_Schwerefeld_der_E rde
http://de.wikipedia.org/wiki/GPS#Relativistische_Effekte

Dekohärenz
01.08.13, 08:09
Kann man auch mit den Formeln auf folgender Seite verfahren?`
--> http://www.awitness.org/unifiedm/introgrtd.html
Stimmen dort die Formeln, vor allem die letzte Formel (unten auf Seite)?

Eyk van Bommel
01.08.13, 08:25
Emi hat es uns mal vorgerechnet :)
http://quanten.de/forum/showthread.php5?p=31568#post31568

GRuß
EVB

Dekohärenz
01.08.13, 08:43
Danke. Ich habe aber dort nicht die richtige Formel für die gravitative Zeitdilatation gefunden.

Deshalb nochmal die Frage: Stimmen die Formeln (von meinem Link), vor allem die letzte Formel (unten auf Seite)?
--> http://www.awitness.org/unifiedm/introgrtd.html

Ich
01.08.13, 23:47
Ja, die Formeln stimmen. Für eine Punktmasse.
Die Formeln in Eyks Link stimmen deswegen nicht, weil dort der Schwarzschildradius falsch definiert wurde.

Dekohärenz
02.08.13, 07:35
Danke "Ich"!

Und bist du dir sicher, dass auch die letzte Formel (unten auf der Seite) korrekt ist? Also diese hier --> T=Wurzel(1-2GM/(R+h)c²)/(1-2GM/Rc²)*T0

Hawkwind
02.08.13, 10:00
Danke "Ich"!

Und bist du dir sicher, dass auch die letzte Formel (unten auf der Seite) korrekt ist? Also diese hier --> T=Wurzel(1-2GM/(R+h)c²)/(1-2GM/Rc²)*T0

Was heisst schon "korrekt"?
Es ist natürlich auch nur eine Näherung; in der ART lässt sich kaum was exakt analytisch lösen.
Die genannte Formel erhält man in der Näherung schwacher Felder: man nimmt in der Formel

http://upload.wikimedia.org/math/f/a/c/fac0fcc497d8cccb43ded21b374def02.png

aus
http://de.wikipedia.org/wiki/Zeitdilatation#Zeitdilatation_im_Schwerefeld_der_E rde

das Newtonsche Gravitationspotential ~1/r zur Beschreibung der Schwerkraft.
In der Nähe der Erdoberfläche (h << r) reicht ja sogar ein Potential ~h zu nehmen (wenn du etwa die Abweichung einer Uhr auf dem Kölner Dom gegenüber einer auf Meeresspiegel-Niveau berechnen willst).

Die von dir genannte Formel ist m.E. gut geeignet, die gravitative Zeitdilatation von Objekten im Gravitationsfeld der Erde bis hin zu Satelliten zu beschreiben. In der Nähe eines Schwarzen Lochs würde ich der Formel aber nicht mehr vertrauen.

Ich
02.08.13, 10:31
Es ist natürlich auch nur eine Näherung; in der ART lässt sich kaum was exakt analytisch lösen.
Die genannte Formel erhält man in der Näherung schwacher Felder
Nein, die Formel ist exakt, direkt aus der Schwarzschildmetrik. Beispiel: englische Wikipedia (http://en.wikipedia.org/wiki/Gravitational_time_dilation#Outside_a_non-rotating_sphere)

Hawkwind
02.08.13, 11:20
Nein, die Formel ist exakt, direkt aus der Schwarzschildmetrik. Beispiel: englische Wikipedia (http://en.wikipedia.org/wiki/Gravitational_time_dilation#Outside_a_non-rotating_sphere)

Ja, danke für den Hinweis - du hast wohl recht: im Kontext der Schwarzschildlösung ist die Formel exakt.

Gruß,
Uli

PS. Dennoch ist der Gültigkeitsbereich der Formel eingeschränkt - die Schwarzschildlösung gilt ja auch "nur" für einen idealisierten Fall (Quelle rotiert nicht etc.).

Ich
02.08.13, 16:31
Und bist du dir sicher, dass auch die letzte Formel (unten auf der Seite) korrekt ist? Also diese hier --> T=Wurzel(1-2GM/(R+h)c²)/(1-2GM/Rc²)*T0
Ja, die stimmt auch. Das ist einfach Zeitdilatation am interessierenden Punkt durch Zeitdilatation am Bezugspunkt.

Dekohärenz
15.08.13, 07:15
Ich frage nur nochmal nach, um sicher zu gehen: Stimmt die Formel so
--> T=Wurzel(1-2GM/(R+h)c²)/(1-2GM/Rc²)*T0
oder habe ich die Formel falsch wiedergegeben?

Was ist mit den anderen Formeln, die auf meinem Link angegeben werden?
Sie haben doch etwas mit einem Beobachter im Unendlichen zu tun?

Plankton
14.12.16, 16:30
Das Alter des Thread's ist ja noch im Rahmen. :)

Was ist eigentlich der Unterschied zwischen der Formel:

t = t_0/sqrt(1 - (2 g r)/c^2)
----------------------------------------------------------
t | time seen by stationary observer
g | gravitational acceleration
t_0 | time in rest frame
r | radius
c | speed of light in vacuum (≈ 2.998×10^8 m/s)
(assuming a nonrotating spherical body)

und der Formel:

t = t_0/sqrt(1 - (2 G M)/(r c^2))
----------------------------------------------------------
t | time seen by stationary observer
M | mass
t_0 | time in rest frame
r | radius
G | Newtonian gravitational constant (≈ 6.674×10^-11 m^3/(kg s^2))
c | speed of light in vacuum (≈ 2.998×10^8 m/s)
(assuming a nonrotating spherical body

Kann jemand kurz was dazu sagen?

Ich
14.12.16, 20:09
Das erste ist eine etwas seltsame Näherung für das Potential eines homogenen Gravitationsfelds und hat mit "spherical bodies" nichts zu tun. Das zweite ist die Zeitdilatation in der Schwarzschildmetrik.

Plankton
05.01.17, 16:24
BTW: Danke @ Ich

[...]

t = t_0/sqrt(1 - (2 G M)/(r c^2))
----------------------------------------------------------
t | time seen by stationary observer
M | mass
t_0 | time in rest frame
r | radius
G | Newtonian gravitational constant (≈ 6.674×10^-11 m^3/(kg s^2))
c | speed of light in vacuum (≈ 2.998×10^8 m/s)
(assuming a nonrotating spherical body

Nehmen wir an ich will damit ZD Sonne - Erde berechnen ca.
Bei r = radius - nehme ich da den Abstand vom Mittelpunkt der Sonne zum Mittelpunkt der Erde, oder Rand Sonne zu Rand Erde?

Mich beschäftigt das auch etwas generell. Z.B. mit Druck, Dichte. Kann ich sagen: je größer der Druck, desto größer die Raumzeitkrümmung?

Ich
05.01.17, 22:22
Nehmen wir an ich will damit ZD Sonne - Erde berechnen ca.
Bei r = radius - nehme ich da den Abstand vom Mittelpunkt der Sonne zum Mittelpunkt der Erde, oder Rand Sonne zu Rand Erde?
Die Schwarzschildmetrik ist die Lösung des Einkörperproblems. Wir haben einen Körper und dessen Gravitationsfeld.
Von daher kannst du z.B. die Sonne nehmen, den Rest vernachlässigen und dann die Zeitdilatation allein im Feld der Sonne berechnen. Da setzt du den Abstand zum Mittelpunkt der Sonne ein und berücksichtigst, dass diese Lösung nur im Außenraum, also im Vakuum außerhalb der Sonne, gilt.
Du kannst auch die Sonne vernachlässigen und das Ganze mit der Erde machen.
Da der Effekt sehr klein ist, kannst du auch die beiden Lösungen zusammenzählen und so die Zeitdilatation im Erde-Sonne-System berechnen, wenn man sich beide Körper als ruhend denkt. Das ist strenggenommen nur eine Näherung, aber eine sehr gute.
Dann kann man in derselben Näherung auch noch die Geschwindigkeit dazunehmen. Dann hast du eine Formel für die Zeitdilatation im Erde-Sonne-System.

Mich beschäftigt das auch etwas generell. Z.B. mit Druck, Dichte. Kann ich sagen: je größer der Druck, desto größer die Raumzeitkrümmung?Die Raumzeitkrümmung, wie sie in den Feldgleichungen vorkommt, hat 10 unabhängige Komponenten. Eine davon ist direkt proportional zur Dichte, drei weitere sind direkt proportional zu den x-y-z-Komponenten des Drucks. Von daher stimmt die Aussage.

Plankton
05.01.17, 23:42
Dankeschön. & Nochmal was dazu: t = t_0/sqrt(1 - (2 G M)/(r c^2))
t_0 = time in rest frame
t = time seen by stationary observer

Nehmen wir an ich mach das für die Erde und bekomme: t=1,xyz*t_0 (BTW: Radius in km? Masse in kg?). Bedeutet das dann: 1 s im Mittelpunkt der Erde sind 1,xyz Sekunden auf der Erdoberfläche ca. (kein Vakuum = vernachlässigt). Oder 1 s im Mittelpunkt = 1,xyz s draußen auf Orbitalhöhe.
Und wie würde ich das nun auch mit der Sonne machen, wie zähle ich das zusammen? Einfach t[Sonne]*t[Erde]?

Im Thread hat Hawkwind ja bereits angedeutet, bei einem SL würde er die Formel nicht nehmen. Wenn ich diese Formel nehmen würde, für einen Abstand zum SL ca. 10000 km nach dem EH des SL's (außerhalb). Ziemlich nahe also am SL. Und ich bekomme 1 s im Mittelpunkt des SL's ( ;) ) sind xyz,xyz s an unserem Ort x. Kann jemand kurz andeuten, wie weit diese Lösung in % abweichen würde von einer sehr exakten Lösung. SL rotiert nicht.

Ich
06.01.17, 10:38
t = t_0/sqrt(1 - (2 G M)/(r c^2))
t_0 = time in rest frame
t = time seen by stationary observer

Nehmen wir an ich mach das für die Erde und bekomme: t=1,xyz*t_0 (BTW: Radius in km? Masse in kg?). Grundsätzlich sind physikalische Gleichungen in allen Einheitensystemen gültig. Man darf nur nicht mischen. Wenn du G und c in SI-Einheiten einsetzen willst, dann auch alle anderen Größen.
Bedeutet das dann: 1 s im Mittelpunkt der Erde sind 1,xyz Sekunden auf der Erdoberfläche ca. (kein Vakuum = vernachlässigt). Oder 1 s im Mittelpunkt = 1,xyz s draußen auf Orbitalhöhe. Überlege dir selber, welche stationären Beobachter die Zeit des "rest frame" anzeigen, wo also xyz=0. Und nochmal: wir haben hier die äußere Lösung, die gilt nicht im Erdinneren.
Und wie würde ich das nun auch mit der Sonne machen, wie zähle ich das zusammen? Einfach t[Sonne]*t[Erde]?Ja, so. Wenn du damit 1,xyz[Erde]*1,xyz[Sonne] meinst.
Im Thread hat Hawkwind ja bereits angedeutet, bei einem SL würde er die Formel nicht nehmen. Wenn ich diese Formel nehmen würde, für einen Abstand zum SL ca. 10000 km nach dem EH des SL's (außerhalb). Ziemlich nahe also am SL. Und ich bekomme 1 s im Mittelpunkt des SL's ( ;) ) sind xyz,xyz s an unserem Ort x. Kann jemand kurz andeuten, wie weit diese Lösung in % abweichen würde von einer sehr exakten Lösung. SL rotiert nicht.Hier handelt es sich wohl um ein Missverständnis. Die Lösung ist für einzelne, sphärische, nicht rotierende Körper exakt.

Plankton
06.01.17, 19:48
Ich komme besser später nochmal darauf zurück.
;)

Plankton
08.01.17, 13:09
Kann man ganz plausibel leicht erklären, warum die Formel genau so ausschaut?
t = t_0/sqrt(1 - (2 G M)/(r c^2))

Warum eigentlich 2* GM und nicht nicht 1* ?

Ich
10.01.17, 09:14
Kann man ganz plausibel leicht erklären, warum die Formel genau so ausschaut?
t = t_0/sqrt(1 - (2 G M)/(r c^2))

Warum eigentlich 2* GM und nicht nicht 1* ?Ich weiß keine plausible Erklärung. Der Faktor 2 ist wegen der Wurzel notwendig: c^2*sqrt(1 - (2 G M)/(r c^2)) muss für große r das Newtonsche Potential ergeben. Da kann man die Näherung sqrt(1+x)~=1+x/2 verwenden.

Struktron
10.01.17, 13:41
Hallo,

ich kenne zwar auch keine Erklärung, welche Mainstream-Standard wäre, sehe aber als Hinweis den Zusammenhang zwischen kinetischer Energie
E = 1/2 m v² und der berühmten Einsteinschen Formel E = m c².

Setzt man bei der kinetischen Energie eine durchschnittliche Geschwindigkeit mit allen möglichen Richtungen ihrer Bewegung voraus, welche eine Gesamtenergie des betrachteten Körpers und auch die Lichtgeschwindigkeit darin beeinflusst, müsste ein Faktor sqrt (2) für die durchschnittlichen Winkel von 45° berücksichtigt werden. Störungen (Lichtquanten) würden in dem betrachteten Körper einen um sqrt (2) größeren als den direkten Weg zurücklegen. Müsste das dann nicht auch diese gesuchte 2 bei der Zeitdilatation erzeugen?

MfG
Lothar W.