Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : De-Sitter Universum
Hallo zusammen,
Kürzlich ging es hier (http://www.quanten.de/forum/showthread.php5?p=73451#poststop) um die räumlich Krümmung vs. kritische Dichte unter der Annahme die Energiedichte bestünde ausschließlich aus der Kosmologischen Konstanten λ. Dann sind wir bei einer sehr speziellen Vakuumlösung, bei de-Sitter.
Nun ist demnach (http://en.wikipedia.org/wiki/De_Sitter_space) der de-Sitter Raum je nach räumlichem Schnitt, also je nach Wahl der Koordinaten euklidisch, bzw. positiv oder negativ gekrümmt.
Bei exponentieller Expansion ist aber doch unabhängig von der Wahl der Koordinaten λ = 3H² und damit ist die λ-Energiedichte gleich der kritischen Energiedichte und der Raum euklidisch. Insofern stehe ich hier auf dem Schlauch. Das hieße doch, daß das Verhältnis Dichte/kritische Dichte bei de-Sitter koordinatenabhängig ist (im Gegensatz zum nicht-speziellen FRW Modell). Oder daß bei der Wahl nicht-euklidischer Koordinaten λ <> 3H² ist. Aber warum? Wahrscheinlich nur ein scheinbarer Widerspruch. Vielleicht kann mir da einer weiter helfen.
Der oben erwähnte Wiki Artikel (De-Sitter-space) nimmt auf die skalare Krümmung R (auch manchmal Ricci-Skalar genannt) Bezug, für die bei 4 Dimensionen R = 4λ gilt. Diese Krümmung ist demnach mit einer positiver Kosmologischen Konstante konstant positiv und (natürlich) nicht koordinatenabhängig. Sie zeigt im Prinzip ob und wie das Volumen der berühmten Kaffeebohnen Kugel vom euklidischen Fall abweicht. Meine Frage dazu: Ist die skalare Krümmung gleichbedeutend mit der Raumzeit Krümmung, oder wie sonst definiert man Letztere?
Hallo Timm,
Bei exponentieller Expansion ist aber doch unabhängig von der Wahl der Koordinaten λ = 3H² und damit ist die λ-Energiedichte gleich der kritischen Energiedichte und der Raum euklidisch.
Die Energiedichte ist in allen Koordinatensystemen gleich. Dadurch ist aber nicht jeder Raum flach, sondern nur der durch mitbewegte Beobachter aufgespannte. Ich erinnere an den leeren Raum, der natürlich auch in allen KS dieselbe Dichte hat, aber in Minkowski-Koordinaten eine andere Krümmung als in FRW-Koordinaten.
Hallo Ich,
Die Energiedichte ist in allen Koordinatensystemen gleich. Dadurch ist aber nicht jeder Raum flach, sondern nur der durch mitbewegte Beobachter aufgespannte. Ich erinnere an den leeren Raum, der natürlich auch in allen KS dieselbe Dichte hat, aber in Minkowski-Koordinaten eine andere Krümmung als in FRW-Koordinaten.
Den leeren Raum hatte ich für einen speziellen Fall gehalten, bei dem die Krümmung koordinatenabhängig ist, weil das Kriterium Ω nicht greift. Aber bei dieser Begründung lag ich dann ja falsch.
Wie ist es nun beim materiehaltigen FLRW Raum? Nehmen wir den Fall
Ω = 1; der Raum in mitbewegten Koordinaten ist flach. Ist er dann in anderen Koordinaten (Du hast mal Normal-Koordinaten erwähnt) hyperbolisch bzw. sphärisch?
Falls Du noch was zu meiner Frage bzgl. skalare Krümmung sagen könntest, wäre das super.
Gruß, Timm
Hallo Timm,
beginnen wir mit dem Ende:
Meine Frage dazu: Ist die skalare Krümmung gleichbedeutend mit der Raumzeit Krümmung, oder wie sonst definiert man Letztere?
Ja, so kann man es sagen. Die skalare Krümmung ist das doppelte der Schnittkrümmung aller 6 Ebenen in der Raumzeit. Es ist natürlich nur eine einzige Zahl und fängt nicht alle Aspekte ein - im Grunde nur, ob das Volumen einer Hyperkugel größer oder kleiner ist als 4/3pi*r³.
Den leeren Raum hatte ich für einen speziellen Fall gehalten, bei dem die Krümmung koordinatenabhängig ist, weil das Kriterium Ω nicht greift. Aber bei dieser Begründung lag ich dann ja falsch.
Ω=0, das funktioniert schon. Expandierende Koordinaten führen immer zu einer negativen Krümmung proportional zu 1/H². Dazu gleich mehr.
Wie ist es nun beim materiehaltigen FLRW Raum? Nehmen wir den Fall
Ω = 1; der Raum in mitbewegten Koordinaten ist flach. Ist er dann in anderen Koordinaten (Du hast mal Normal-Koordinaten erwähnt) hyperbolisch bzw. sphärisch?
In Normalkoordinaten immer sphärisch.
Nehmen wir mal den Ausdruck für die Krümmung in den Friedmann-Gleichungen:
k*c²/a² = 8/3*G*pi*\rho - H²,
also sinngemäß
Raumkrümmung FRW = Dichte - H².
In Normalkoordinaten ist der Fall einfacher, da heißt es einfach:
Raumkrümmung Normal = Dichte.
Die Krümmung hängt also nicht von der Expansionsrate ab. Das ergibt auch Sinn, weil
- erstens Normalkoordinaten ziemlich direkt die Raumzeitkrümmung abbilden ohne weitere Koordinatenwahleffekte (*) und
- zweitens Raumzeitkrümmung ja eine lokale Größe ist, und auf kleinsten Skalen ein expandierendes Fluid sich nicht von einem ruhenden Fluid unterscheidet (z.B: beträgt in 1 km Entfernung die Fluchtgeschwindigkeit gerade mal 10^-26 m/s).
Was durch die Expansion passiert ist also keine Änderung der Raumzeitkrümmung (**), sondern nur eine Umdefinition dessen, was "Raum" ist. Indem man da zueinander bewegte Beobachter verwendet statt statischer, verschiebt sich die Gleichzeitigkeitsdefinition und der so definierte Raum erhält eine zusätzliche Krümmung. Diese ist negativ, mit Krümmungsradius 1/H.
Die Summe aus Raumzeitkrümmung und Koordinatenkrümmung ergibt dann die Krümmung des FRW-Raums.
* In Normalkoordinaten nimmst du einen mitbewegten Beobachter, der am räumlichen Koordinatenursprung sitzt. Die Raumkrümmung ist dann gleich der Schnittkrümmung der Ebenen, die senkrecht auf der Weltlinie des Beobachters stehen. Egal, auf jeden Fall entspricht diese Krümmung direkt bestimmten Komponenten der Raumzeitkrümmung und hängt nicht weiter davon ab, wie ich meinen Raum auschneide - das ist nämlich vorgegeben, man schneidet entlang Geodäten.
** Damit meine ich nur die Krümmung an einem bestimmten Ereignis: sie ist nur von der Dichte abhängig, nicht von der Expansionsrate. Global macht das natürlich einen Riesenunterschied.
Dankenswerterweise stellst Du Zusammenhänge her, die ich so nirgends finden konnte.
Nehmen wir mal den Ausdruck für die Krümmung in den Friedmann-Gleichungen:
k*c²/a² = 8/3*G*pi*\rho - H²,
also sinngemäß
Raumkrümmung FRW = Dichte - H².
In Normalkoordinaten ist der Fall einfacher, da heißt es einfach:
Raumkrümmung Normal = Dichte.
Die Dichte ist positiv, dann ist das wohl der Grund für die sphärische Raumkrümmung in Normalkoordinaten.
Lautet die Friedmann-Gleichung in diesen Koordinaten dann einfach
k*c²/a² = 8/3*G*pi*\rho ?
Heißt das, Normalkoordinaten beschreiben ein statisches Universum? Und ist das eine spezielle Lösung der Feldgleichungen, oder wie leitet man diese Koordinaten ab?
Und würde das bedeuten, daß mitbewegte- und Normalkoordinaten nicht in dem Sinne äquivalent sind, wie im leeren Universum, wo man die einen Koordinaten relativ einfach in die anderen transformiert?
Erst mal soviel, bevor ich mich noch mehr verfranze.
Hallo Timm,
Dankenswerterweise stellst Du Zusammenhänge her, die ich so nirgends finden konnte.
Hast Recht, das hätte ich dazu sagen müssen: Diese Zusammenhänge habe ich so ausformuliert auch noch nicht gefunden. Das ist also zum Teil auf meinem Mist gewachsen und von daher mit Vorsicht zu genießen. Ich hab's aber auf mehrere Arten durchgerechnet und überlegt und bin von daher überzeugt, dass es richtig ist.
Die Dichte ist positiv, dann ist das wohl der Grund für die sphärische Raumkrümmung in Normalkoordinaten.
Richtig.
Lautet die Friedmann-Gleichung in diesen Koordinaten dann einfach
k*c²/a² = 8/3*G*pi*\rho ?
In diese Koordinaten ist das Universum nicht homogen, kann also nicht über einen Skalenfaktor a beschrieben werden. Wenn du a stattdessen als lokalen Krümmungsradius deutest, passt alles wieder.
Heißt das, Normalkoordinaten beschreiben ein statisches Universum? Und ist das eine spezielle Lösung der Feldgleichungen, oder wie leitet man diese Koordinaten ab?
Normalkoordinaten sind in jeder Raumzeit lokal anwendbar, solange sie nicht von Horizonten oder überschneidenden Koordinatenlinien begrenzt werden. Sie beschreiben also alles mögliche, aber immer auf eine Art, die so nah wie möglich an den gewohnten Koordinaten aus der SRT ist. Zur Ableitung und Deutung findest du einiges im Wikipedia-Artikel (http://de.wikipedia.org/wiki/Riemannsche_Normalkoordinaten).
Und würde das bedeuten, daß mitbewegte- und Normalkoordinaten nicht in dem Sinne äquivalent sind, wie im leeren Universum, wo man die einen Koordinaten relativ einfach in die anderen transformiert?
Wie gesagt sind sie überall anwendbar. Das leere Universum ist nur ein besonders schöner Fall, wo Normalkoordinaten über eine einfache Trafo mit den FRW-Koordinaten verbunden sind - und auch noch exakt die global gültigen Minkowski-Koordinaten sind, mit denen man sich auskennt.
Hallo Ich,
Normalkoordinaten sind in jeder Raumzeit lokal anwendbar, solange sie nicht von Horizonten oder überschneidenden Koordinatenlinien begrenzt werden. Sie beschreiben also alles mögliche, aber immer auf eine Art, die so nah wie möglich an den gewohnten Koordinaten aus der SRT ist. Zur Ableitung und Deutung findest du einiges im Wikipedia-Artikel (http://de.wikipedia.org/wiki/Riemannsche_Normalkoordinaten).
Jetzt verstehe ich es so, daß Riemannsche Normalkoordinaten lokale Inertialsysteme (Geodäten gehen als Geraden durch den Ursprung) in gekrümmter Raumzeit beschreiben. Der Grenzfall wäre somit die flache Minkowski Raumzeit, dann mit globaler Gültigkeit dieser Koordinaten.
Nur, falls das so richtig ist, wie kommt dann ausgehend von lokalen IS die Energiedichte und mit ihr der Krümmungsparameter k ins Spiel? Deren Wirkung - Raumzeit ist gekrümmt - wäre dann durch die Lokalitätsbeschränkung ja gerade eliminiert.
Eine Vorstellungshilfe ohne ins Detail zu gehen würde völlig reichen.
Jetzt verstehe ich es so, daß Riemannsche Normalkoordinaten lokale Inertialsysteme (Geodäten gehen als Geraden durch den Ursprung) in gekrümmter Raumzeit beschreiben. Der Grenzfall wäre somit die flache Minkowski Raumzeit, dann mit globaler Gültigkeit dieser Koordinaten.
Ein Zitat aus dem Wikipediaartikel:
"In Normalkoordinaten lässt sich der metrische Tensor in einem Punkt q als Reihenentwicklung in den Koordinaten dieses Punktes angeben"
Du kannst Abweichungen von der flachen Raumzeit also in einer Reihenentwicklung darstellen. Je weiter das Koordinatensystem gültig sein soll, desto komplizierter wird die Darstellung.
Du kannst Abweichungen von der flachen Raumzeit also in einer Reihenentwicklung darstellen. Je weiter das Koordinatensystem gültig sein soll, desto komplizierter wird die Darstellung.
Ah, das hat mir noch gefehlt, danke für Deine Erklärungen.
Im Zusammenhang mit de-Sitter und Inflation verstehe ich folgendes nicht:
Weil die Inflation ausschließlich von Vakuumenergie angetrieben war, wird das Universum für diesen Zeitraum häufig als de-Sitter, bzw. quasi de-Sitter Universum bezeichnet. Demnach sollte es exponentiell wachsen, demzufolge der Raum flach und k = 0 sein. Am Ende der Inflation "kondensierte" die Materie aus (re-heating) und die Expansionsrate nahm ab.
Wenn aber der Raum aufgrund dieser Voreinstellung von Beginn an flach war, bräuchte man ja nicht die Inflation um anfängliche Abweichungen von
Ω = 1 zu marginalisieren. Und es würde sich jegliche Diskussion erübrigen, ob das Universum im Rahmen der Meßgenauigkeit zwar flach aussieht, aber dennoch spärisch sein kann, mit k = 1.
Das passt nicht zusammen. Gab es bei der Inflation doch nicht ausschließlich abstoßend wirkende Vakuumenergie?
Wenn aber der Raum aufgrund dieser Voreinstellung von Beginn an flach war, bräuchte man ja nicht die Inflation um anfängliche Abweichungen von
Ω = 1 zu marginalisieren.
Richtig. Der Punkt ist, dass eine solche Randbedingung extrem unwahrscheinlich ist. Hier muss man vielleicht ein bisschen ausholen: der Urknall ohne Inflation ist "raumartig", d.h. die einzelnen Regionen der frisch erschaffenen Welt sind vollkommen unabhängig voneinander, sie können gar nichts voneinander wissen.
Jetzt kann man natürlich einfach sagen, ok, der Raum in all diesen Bereichen ist exakt flach. Und die Bereiche entstehen alle zur selben Zeit aus derselben Art Singularität und haben deshalb dieselbe Temperatur.
Da es dafür keinen physikalischen Grund gibt, ist das unbefriedigend.
Sobald man Inflation annimmt, ändert sich das: Ich kann im Urknall mehr oder minder irgendwelche Randbedingungen setzen, der Raum muss auch keineswegs flach sein (darf er aber). Dann [hier geschieht ein Wunder] setzt Inflation ein, und das alles wird homogenisiert und flachgezogen. Das ist jetzt ein Mechanismus, der automatisch zum beobachteten flachen, homogenen Universum führt. Allein dadurch hat sich die Stelle in [] gelohnt. Noch besser ist aber, dass man diesem Feld zwecks Quantenmechanik Schwankungen unterstellen muss, die aufgrund der exponentiellen Natur auf allen Skalen fast gleich aussehen müssten. Die gibt's in der Form tatsächlich zu sehen.
Hmm, der vor dem Beginn der Inflation entstandene (erschaffene) Raum muß ja wohl - wenn nicht unendlich- so jedenfalls riesig gewesen sein im Vergleich zu der Region, aus der das heute beobachtbare Universum entstanden ist.
Ist es nun so, daß es wegen der "Schwankungen" bedingt durch Quantenfluktuationen keine global einheitliche Krümmung gab? War lokal der Wert von k per Zufall mal so, mal anders? Aber das würde ja bedeuten, daß heute überall inflationsbedingt das Universum zwar quasi flach aussieht, das Vorzeichen von k aber dennoch von Region zu Region schwanken kann. Kann doch bei Annahme globaler Gültigkeit des Kosmologischen Prinzips eigentlich nicht sein.
Dieses unterstellt müßte man eher annehmen, daß es im prä-Inflationsuniversum trotz der lokalen quantenmechanischen Schwankungen eine einheitliche Raumkrümmung gegeben haben muß, wie auch immer. Aber würde das nicht voraussetzen, daß es eine global einheitliche kritische und aktuelle Energiedichte gegeben haben muß?
Na ja, ich habe jetzt einfach mal laut gedacht.
der vor dem Beginn der Inflation entstandene (erschaffene) Raum muß ja wohl - wenn nicht unendlich- so jedenfalls riesig gewesen sein im Vergleich zu der Region, aus der das heute beobachtbare Universum entstanden ist.
Ach, da geht's dann wieder um Plancklängen und so. Aber im Prinzip ja.
Ist es nun so, daß es wegen der "Schwankungen" bedingt durch Quantenfluktuationen keine global einheitliche Krümmung gab? War lokal der Wert von k per Zufall mal so, mal anders? Aber das würde ja bedeuten, daß heute überall inflationsbedingt das Universum zwar quasi flach aussieht, das Vorzeichen von k aber dennoch von Region zu Region schwanken kann. Kann doch bei Annahme globaler Gültigkeit des Kosmologischen Prinzips eigentlich nicht sein.
Wir wissen eh, dass es nicht exakt gültig sein kann, sonst hätte der CMB keine Struktur. Und ja, soweit ich weiß geht man durchaus von "lokalen" Schwankungen der Krümmung aus. Wobei die während der Inflation entstanden sind, nicht vorher schon dagewesen sein müssen. Was vorher war wurde gründlich ausradiert.
Hast Recht, das hätte ich dazu sagen müssen: Diese Zusammenhänge habe ich so ausformuliert auch noch nicht gefunden. Das ist also zum Teil auf meinem Mist gewachsen und von daher mit Vorsicht zu genießen. Ich hab's aber auf mehrere Arten durchgerechnet und überlegt und bin von daher überzeugt, dass es richtig ist.
Mittlerweile habe ich so etwas gefunden und schon im Thread im Nachbarthread verlinkt:
http://arxiv.org/abs/1010.0588
sowie die Referenzen darin.
Hier wird die positive Raumkrümmunn in Fermi-Koordinaten ausformuliert, ebenso das Ende des Raums am Urknall in diesen Koordinaten - das passt hierher genauso wie zum Gamsbart-Thread (http://www.quanten.de/forum/showthread.php5?t=2333&highlight=gamsbart).
Mittlerweile habe ich so etwas gefunden und schon im Thread im Nachbarthread verlinkt:
http://arxiv.org/abs/1010.0588
sowie die Referenzen darin.
Hier wird die positive Raumkrümmunn in Fermi-Koordinaten ausformuliert, ebenso das Ende des Raums am Urknall in diesen Koordinaten - das passt hierher genauso wie zum Gamsbart-Thread (http://www.quanten.de/forum/showthread.php5?t=2333&highlight=gamsbart).
"Nachbarthread" interpretiere ich als Thread im Nachbarforum.
Bisher war von Riemann'schen Normalkoordinaten die Rede. Wie unterscheiden sich die von Fermi-Koordinaten? Lt. Wikipedia (http://en.wikipedia.org/wiki/Fermi_coordinates) gelten Letztere lokal für eine Geodäte. Aber dies offenbar ohne Einschränkung, zeit- raum- lichtartig?
Gleichung (76) im verlinkten Artikel zeigt die Fermi-Geschwindigkeit eines mitbewegten Testpartikels relativ zu einem Fermi-Beobachter, der sich vermutlich auf einer Geodäte befindet, die ihn und das Testpartikel verbindet. Die Abhängigkeit der Fermi-Geschwindigkeit von der proper distance zum Beobachter könnte bedeuten, daß es sich um eine raumartige Geodäte handelt. Aber das ist nur geraten, der Artikel überfordert mich völlig. Ein paar erklärende Worte wären super.
"Nachbarthread" interpretiere ich als Thread im Nachbarforum.Richtig. Schreiben müsste man können...
Bisher war von Riemann'schen Normalkoordinaten die Rede. Wie unterscheiden sich die von Fermi-Koordinaten? Was den Raum an einem bestimmten Zeitpunkt angeht gar nicht.
Der Unterschied ist eher folgender:
Normalkoordinaten gehen von einem bestimmten Ereignis aus und messen alle Abstände (zeit- und raumartig) entlang Geodäten von diesem Ereignis aus.
Fermi Koordinaten gehen von einem bestimmten Beobachter (==eine Weltlinie, nicht nur ein Ereignis) aus und messen die Zeit nach der Eigenzeit dieses Beobachters, den Raum nach den Geodäten, die zu jedem Zeitpunkt auf dieser Weltlinie senkrecht stehen.
Wenn es jemals auf diesen Unterschied ankommt, habe ich immer von Fermi-Koordinaten gesprochen, denke ich. Falls nicht bitte ich um Entschuldigung. Da das für meine Argumentationen hier meistens egal war, kannst du einfach bei "Normalkoordinaten" bleiben. Die hören sich irgendwie natürlicher an.
Die Abhängigkeit der Fermi-Geschwindigkeit von der proper distance zum Beobachter könnte bedeuten, daß es sich um eine raumartige Geodäte handelt.Ja, Fermi-Koordinaten messen alle raumartigen Entfernungen entlang von raumartigen Geodäten, die senkrecht vom Zentrum der Welt abstehen. Die Änderung dieser Entfernung nach der Eigenzeit dieses Beobachters gibt die Geschwindigkeit. Das ist eine Koordinatengeschwindigkeit.
Ja, Fermi-Koordinaten messen alle raumartigen Entfernungen entlang von raumartigen Geodäten, die senkrecht vom Zentrum der Welt abstehen. Die Änderung dieser Entfernung nach der Eigenzeit dieses Beobachters gibt die Geschwindigkeit. Das ist eine Koordinatengeschwindigkeit.
Wäre eine praktische Anwendung dann die: Man nimmt irgendeine rotverschobene Galaxie, rechnet die heutige Entfernung auf der Hyperfläche aus oder schaut hier (http://ned.ipac.caltech.edu/level5/March03/Lineweaver/Figures/figure1.jpg) nach und hat dann die Geschwindigkeit, mit der sie sich heute von uns entfernt.
Du nimmst die Entfernung an zwei verschiedenen Zeitpunkten und rechnest aus der Differenz die Koordinatengeschwindigkeit aus. Die Entfernungen sind entlang raumartiger Geodäten gemessen, die senkrecht auf den Beobachter stehen und den Raum aufspannen. Die Koordinatenzeit ist die Zeit des Beobachters.
Das passt aber nicht zu dem Diagramm von Davis und Lineweaver, dort wird entlang anderer Linien gemessen, die keine Geodäten sind.
Das passt aber nicht zu dem Diagramm von Davis und Lineweaver, dort wird entlang anderer Linien gemessen, die keine Geodäten sind.
Das obere Diagramm zeigt Eigenlänge vs. Zeit. Die heutige raumartige Entfernung (Eigenlänge) der Galaxie mit z = 3 beträgt 20 MLJ.
Ich hatte nun Fermi Geschwindigkeit als Zuwachs der Eigenlänge zwischen uns und der entfernten Galaxie pro Eigenzeit Intervall des Beobachters auf unserer Weltlinie verstanden, mißverstehe ich das? Der erste Term in (76) ist proper distance / Eigenzeit. Den zweiten verstehe ich nicht.
Du meinst doch damit
Die Entfernungen sind entlang raumartiger Geodäten gemessen, die senkrecht auf den Beobachter stehen und den Raum aufspannen.
die Eigenlänge, oder?
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