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Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : Vierergeschwindigkeit


Bauhof
14.11.13, 14:11
Hallo zusammen,

in Wikipedia lese ich folgendes über die Vierergeschwindigkeit (http://de.wikipedia.org/wiki/Vierergeschwindigkeit#Vierergeschwindigkeit):

Die Norm der Vierergeschwindigkeit ergibt sich sowohl in der speziellen als auch in der allgemeinen Relativitätstheorie zu

[siehe Anhang]

Anders ausgedrückt bewegt sich jeder Gegenstand stets mit Lichtgeschwindigkeit durch die vier Dimensionen der Raumzeit. Dieses Ergebnis erklärt die Zeitdilatation folgendermaßen: Befindet sich ein Gegenstand von einem Bezugssystem aus betrachtet in Ruhe, so bewegt er sich mit Lichtgeschwindigkeit in Richtung der Zeitdimension. Wird dieser Gegenstand hingegen im Raum beschleunigt, so muss seine Bewegung in Richtung der Zeit abbremsen (Zeitfluss verlangsamt sich), damit die Norm der Vierergeschwindigkeit konstant bleibt. Da sich aber der Zeitfluss verlangsamt, erscheint die Geschwindigkeit im Vierervektor erhöht.

Photonen und andere, masselose Teilchen bewegen sich immer mit Lichtgeschwindigkeit durch den Raum und ruhen dafür in der Zeit (Vierergeschwindigkeit nicht definiert). Würde sich ein Gegenstand überlichtschnell durch den Raum bewegen, so müsste er in der Zeit eine imaginäre Geschwindigkeit besitzen, um den Überschuss auszugleichen.

1. Ich nehme an, unter der Norm der Vierergeschwindigkeit ist der Absolutbetrag der Vierergeschwindigkeit zu verstehen.

2. Wenn man nicht den Absolutbetrag betrachtet, welche Richtung hat dann die Vierergeschwindigkeit?

3. Ist hier jemand in der Lage, mir als Laien die Herleitung des Ergebnisses |Vierergeschwindigkeit| = c in verständlicher Form darzustellen? Die Herleitung in Wikipedia verstehe ich nicht.

M.f.G. Eugen Bauhof

Ich
14.11.13, 14:51
Was da steht ist schlicht und einfach Blödsinn. Es gilt (wie immer c=1):

(dt/dtau)² - (dx/dtau)²-(dy/dtau)²-(dz/dtau)² = 1,
gleichbedeutend mit
(dt/dtau)² - g²v² = 1,
wenn v die normale (3-)Geschwindigkeit ist und g der Lorentzfaktor g²=1/(1-v²).

Also gilt:

(dt/dtau)² = 1 + g²v²

Je größer v wird, desto größer wird die erste Komponente der Vierergeschwindigkeit, dt/dtau. Der Text in der "Interpretation" passt zu Epsteins Mythos, nicht aber zur Vierergeschwindigkeit.
Was auch der Grund ist, warum ich den Mythos selber nicht mehr verwende: Das Konzept der Vierergeschwindigkeit ist ungleich brauchbarer, und um es zu verstehen, muss man akzeptieren, dass der Pyhtagoras im Minkowskiraum nun mal anders arbeitet als im euklidischen Raum. Es hat keinen Sinn, den Leuten diesen Schritt ersparen zu wollen, indem man lustige Mythen erfindet.

Hawkwind
14.11.13, 15:17
Nun ja, dass die Norm der 4-Geschwindigkeit eines Objektes unabhängig vom IS des Beobachters immer c ist, mag auf den 1. Block verblüffen, aber nur auf den allerersten. Anders geht es einfach nicht.

Eine grundlegende Eigenschaft eines Vektors ist nun einmal, dass seine Länge bzw. Norm unter der betrachteten Klasse von Transformationen (in der nichtrel. Mechanik meist Rotationen) invariant ist. So hat eine (3-)Geschwindigkeit in der nichtrel. Mechanik immer den gleichen Betrag - egal wohin ich mich auch drehe.

Die SRT verallgemeinert die betrachtete Klasse von Koordinatentransformation nun von Rotationen zu Lorentz- oder auch zu Poincare-Transformationen und betrachtet dabei 4 Dimensionen und 4-Vektoren und definiert die Norm anders (Minkowskilänge, siehe Ich's Post) Aber immer noch gilt: die Länge/Norm eines Vektors muss invariant sein unter diesen Trafos (sonst wäre es halt kein Vektor).
Die einzige Geschwindigkeit aber, die in der SRT invariant unter Lorentz-Trafos ist, ist aber die Lichtgeschwindigkeit. Es kann also nur c für die Länge/Norm von 4-Geschwindigkeiten herauskommen.

Ich verstehe dieses ganze Gedöns um 4-Geschwindigkeiten nicht; sie sind halt so definiert, dass es passt. :)

Bauhof
14.11.13, 16:14
...wenn v die normale (3-)Geschwindigkeit ist und g der Lorentzfaktor g²=1/(1-v²).

Hallo ICH,

wenn v die normale (3-)Geschwindigkeit ist, wie groß ist der Winkel zwischen v und der Vierergeschwindigkeit?

M.f.G. Eugen Bauhof

Ich
14.11.13, 16:36
Hallo Bauhof,

wenn v die normale (3-)Geschwindigkeit ist, wie groß ist der Winkel zwischen v und der Vierergeschwindigkeit?
nachdem v ein 3-Vektor ist und die Vierergeschwindigkeit - wie der Name schon sagt - ein 4-Vektor, ist das nicht zu beantworten.

Die Vierergeschwindigkeit hat 4 Komponenten, die jeweils senkrecht aufeinander stehen.
dx/dtau ist z.B. bis auf einen Faktor g gleich der x-Komponente der Geschwindigkeit dx/dt. Also steht die "Geschwindigkeit im Raum" senkrecht auf der "Geschwindigkeit in der Zeit" (=:dt/dtau), wenn man so will - finde ich aber nicht hilfreich.

Besser ist folgendes: Das Skalarprodukt der Vierergeschwindigkeit zweier relativ zueinander bewegter Beobachter ist der Lorentzfaktor gamma. Analog zum euklidischen Fall ist der zugehörige Winkel der acosh(gamma).

Marco Polo
14.11.13, 18:21
Hallo Eugen,

die Vierergeschwindigkeit ist U=gamma(c,ux,uy,uz)

Bildet man jetzt das Skalarprodukt der Vierergeschwindigkeit mit sich selbst, also:

gamma²(c,ux,uy,uz)(c,-ux,-uy,-uz) dann ergibt das immer c²

Und da die Länge bzw. Norm eines Vektors durch die Quadratwurzel aus dem Skalarprodukt mit sich selbst gegeben ist, beträgt die Vierergeschwindigkeit immer c.

Aber wie gesagt. Das ist keine messbare Größe. Der Zeit-Ortsvektor wird ja nicht nach der Zeit t sondern der Eigenzeit tau differenziert. Das muss aber leider so sein, da die Zeit t systemabhängig ist und damit nicht lorentzinvariant.

Wenn man mit einem solchen Vektor Skalarprodukte bilden würde, dann wären diese nicht forminvariant.

Das Skalarprodukt des Vierergeschwindigkeitsvektors mit sich selbst ist in allen beliebigen Inertialsystemen stes c².

Für ux=uy=uz=0 und damit gamma=1 erhälst du aus

(c²-ux²-uy²-uz²)/(1-(ux²+uy²+uz²)/c²) sofort c².

Grüsse, MP

Hawkwind
14.11.13, 18:24
Hallo Bauhof,


nachdem v ein 3-Vektor ist und die Vierergeschwindigkeit - wie der Name schon sagt - ein 4-Vektor, ist das nicht zu beantworten.


Andererseits ist die 3-Geschwindigkeit im wesentlichen die Projektion der 4-Geschwindigkeit auf den 3-dim. Ortsraum; sie haben im Ortsraum also zwangsläufig dieselbe Richtung.

Die Einschränkung "im wesentlichen" mache ich, weil in der Definition der 4-Geschwindigkeit die Ableitungen nach der Eigenzeit statt nach der Koordinatenzeit eingeht. Für nichtrelativistische Geschwindigkeiten unterscheiden sich diese aber nicht voneinander.

Bauhof
14.11.13, 19:00
Andererseits ist die 3-Geschwindigkeit im wesentlichen die Projektion der 4-Geschwindigkeit auf den 3-dim. Ortsraum; sie haben im Ortsraum also zwangsläufig dieselbe Richtung.

Hallo Hawkwind,

ich übersetze das mal in meine Sprechweise, um zu überprüfen, ob ich es richtig verstanden habe:

Andererseits ist die Dreier-Geschwindigkeit im dreidimensionalen Raum im wesentlichen die Projektion der Vierergeschwindigkeit auf den dreidimensionalen Ortsraum. Dreier-Geschwindigkeit und Vierergeschwindigkeit haben damit zwangsläufig die gleiche Richtung.

So korrekt?

M.f.G. Eugen Bauhof

Hawkwind
15.11.13, 12:09
....Dreier-Geschwindigkeit und Vierergeschwindigkeit haben damit zwangsläufig die gleiche Richtung.


Das gilt für die "Richtung im Ortsraum". Die 4-Geschwindigkeit ist ja gerade so konstruiert, dass sie eine Verallgemeinerung der gew. Geschwindigkeit darstellt.

Marco Polo
16.11.13, 09:04
Morjen Eugen,

Andererseits ist die Dreier-Geschwindigkeit im dreidimensionalen Raum im wesentlichen die Projektion der Vierergeschwindigkeit auf den dreidimensionalen Ortsraum. Dreier-Geschwindigkeit und Vierergeschwindigkeit haben damit zwangsläufig die gleiche Richtung.

also so richtig gefällt mir diese Definition nicht. Dreier- und Vierervektoren. Kann man die überhaupt vergleichen?

Gut. Projektionen sind sicherlich zulässig. Aber bei der Vierergeschwindigkeit kann eine Projektion auf den dreidimensionalen Ortsraum (im Hinblick darauf, dass Vierer- und Dreiergeschwindigkeit die gleiche Richtung haben) imho nur dann Sinn ergeben, wenn wir von verschwindend geringen Relativgeschwindigkeiten sprechen.

Vielleicht habe ich das auch falsch verstanden.

Wenn man bei der Vierergeschwindigkeit den infinitesimalen Abstand zweier Ereignisse im Laborsystem (dem Zeit-Ortsvektor) nach dtau, also dem infinitesimalen Zeitzuwachs in einem ganz anderen System, nämlich dem, in dem die beiden Ereignisse am gleichen Ort stattfinden differenziert (also Differentiation nach der Eigenzeit und nicht nach der systemabhängigen Zeit t), dann kann ich mir zumindest bei relativistischen Geschwindigkeiten nicht vorstellen, dass es für diesen Vierervektor eine Projektion auf den dreidimensionalen Ortsraum gibt, die die gleiche Richtung wie der Dreiervektor hat. (Längster Satz der Forengeschichte).

Grüsse, MP

Bauhof
16.11.13, 10:15
Wenn man bei der Vierergeschwindigkeit den infinitesimalen Abstand zweier Ereignisse im Laborsystem (dem Zeit-Ortsvektor) nach dtau, also dem infinitesimalen Zeitzuwachs in einem ganz anderen System, nämlich dem, in dem die beiden Ereignisse am gleichen Ort stattfinden differenziert (also Differentiation nach der Eigenzeit und nicht nach der systemabhängigen Zeit t), dann kann ich mir zumindest bei relativistischen Geschwindigkeiten nicht vorstellen, dass es für diesen Vierervektor eine Projektion auf den dreidimensionalen Ortsraum gibt, die die gleiche Richtung wie der Dreiervektor hat. (Längster Satz der Forengeschichte).

Hallo Marc,

ja, das kann ich mir auch nicht vorstellen, dass der Vierer-Vektor die gleiche Richtung hat wie der Dreiervektor. Wenn der Dreier-Vektor verschwindet, dann kann ich mir vorstellen, das der Vierer-Vektor in eine vierte Richtung zeigt [1]. Mal sehen was die Profis dazu sagen.

M.f.G. Eugen Bauhof

[1] Das heißt, senkrecht auf den dreidimensionalen Vektorraum.

P.S.
Mein mangelndes Verständnis für Vektoren rührt daher, dass im Ingenieur-Studium für Elektrotechnik nur marginal mit Vektoren operiert wurde, dafür um so mehr mit der komplexen Rechnung (Wechselströme).

Bauhof
16.11.13, 11:02
Hallo Eugen,

die Vierergeschwindigkeit ist U=gamma(c,ux,uy,uz)

Bildet man jetzt das Skalarprodukt der Vierergeschwindigkeit mit sich selbst, also:

gamma²(c,ux,uy,uz)(c,-ux,-uy,-uz) dann ergibt das immer c²

Und da die Länge bzw. Norm eines Vektors durch die Quadratwurzel aus dem Skalarprodukt mit sich selbst gegeben ist, beträgt die Vierergeschwindigkeit immer c.

Aber wie gesagt. Das ist keine messbare Größe. Der Zeit-Ortsvektor wird ja nicht nach der Zeit t sondern der Eigenzeit tau differenziert. Das muss aber leider so sein, da die Zeit t systemabhängig ist und damit nicht lorentzinvariant.

Wenn man mit einem solchen Vektor Skalarprodukte bilden würde, dann wären diese nicht forminvariant.

Das Skalarprodukt des Vierergeschwindigkeitsvektors mit sich selbst ist in allen beliebigen Inertialsystemen stes c².

Für ux=uy=uz=0 und damit gamma=1 erhälst du aus

(c²-ux²-uy²-uz²)/(1-(ux²+uy²+uz²)/c²) sofort c².

Grüsse, MP

Hallo Marc,

Warum ist √ k² (c² - v²) = c ?
Vielleicht kann man es einfacher herleiten. Nachdem k = 1/sqrt(1 – v²/c²) ergibt sich:

(1) sqrt[(k²(c² - v²)] = sqrt[(c² - v²) / (1 – v²/c²)]

Betrachten wir hieraus den Term

(2) (c² – v²) / (1 – v²/c²)

Wenn v gegen c strebt, strebt der Term 1 / (1 – v²/c²) gegen unendlich und der Term (c² – v²) strebt gegen Null. Vielleicht strebt dann der Term (2) nach einer Grenzwertbetrachtung gegen c². Ich werde die Grenzwertbetrachtung demnächst versuchen.

M.f.G. Eugen Bauhof

Timm
16.11.13, 11:25
Wenn man bei der Vierergeschwindigkeit den infinitesimalen Abstand zweier Ereignisse im Laborsystem (dem Zeit-Ortsvektor) nach dtau, also dem infinitesimalen Zeitzuwachs in einem ganz anderen System, nämlich dem, in dem die beiden Ereignisse am gleichen Ort stattfinden differenziert (also Differentiation nach der Eigenzeit und nicht nach der systemabhängigen Zeit t), dann kann ich mir zumindest bei relativistischen Geschwindigkeiten nicht vorstellen, dass es für diesen Vierervektor eine Projektion auf den dreidimensionalen Ortsraum gibt, die die gleiche Richtung wie der Dreiervektor hat. (Längster Satz der Forengeschichte).

Ich mir auch nicht, Marc. Aber eine Projektion ist ja auch ein komplexes Ding, Wiki schreibt dazu: " Sie definiert das Übertragen und Verlagern eines eigenen innerpsychischen Konfliktes durch die Abbildung eigener Gefühle (Empfindungen/Affekte), Wünsche und Impulse, die im Widerspruch zu eigenen und/oder gesellschaftlichen Normen stehen können, auf andere Menschen(gruppen), Lebewesen oder sonstige Objekte der Außenwelt."
(Erster Versuch einer Verknüpfung von Psychoanalyse mit Physik in der Forengeschichte).
Zweifellos rangieren Vektoren unter "sonstige Objekte"!

Grüße, Timm

Marco Polo
16.11.13, 12:43
ja, das kann ich mir auch nicht vorstellen, dass der Vierer-Vektor die gleiche Richtung hat wie der Dreiervektor. Wenn der Dreier-Vektor verschwindet, dann kann ich mir vorstellen, das der Vierer-Vektor in eine vierte Richtung zeigt [1]. Mal sehen was die Profis dazu sagen.

[1] Das heißt, senkrecht auf den dreidimensionalen Vektorraum.

So kann man das sehen, Eugen.

P.S.
Mein mangelndes Verständnis für Vektoren rührt daher, dass im Ingenieur-Studium für Elektrotechnik nur marginal mit Vektoren operiert wurde, dafür um so mehr mit der komplexen Rechnung (Wechselströme).

Bei mir war es im Maschbaustudium so, dass beides relevant war. Ich sags ja immer: Es gibt nur einen wahren Ingenieur und das ist der Maschinenbauingenieur. :D

Marco Polo
16.11.13, 14:02
Warum ist √ (k² (c² - v²) = c ?
Vielleicht kann man es einfacher herleiten. Nachdem k = 1/sqrt(1 – v²/c²) ergibt sich:

(1) sqrt[(k²(c² - v²)] = sqrt[(c² - v²) / (1 – v²/c²)]

Betrachten wir hieraus den Term

(2) (c² – v²) / (1 – v²/c²)

Wenn v gegen c strebt, strebt der Term 1 / (1 – v²/c²) gegen unendlich und der Term (c² – v²) strebt gegen Null. Vielleicht strebt dann der Term (2) nach einer Grenzwertbetrachtung gegen c². Ich werde die Grenzwertbetrachtung demnächst versuchen.

k kenne ich eigentlich nur vom Bondischen k-Kalkül. Das ist der Faktor um den sich Eigenzeitintervalle ändern, wenn sie zwischen Weltlinien übertragen werden.

Da ist k=sqrt((1+ß)/(1-ß))

Bei dir scheint k der Gammafaktor zu sein.

Keine Ahnung woher du die Formel √ (k² (c² - v²) = c hast.

Aber es es kommt dabei imho nie c raus.

Grüsse, MP

Marco Polo
16.11.13, 14:12
Hallo Timm,

Ich mir auch nicht, Marc. Aber eine Projektion ist ja auch ein komplexes Ding, Wiki schreibt dazu: " Sie definiert das Übertragen und Verlagern eines eigenen innerpsychischen Konfliktes durch die Abbildung eigener Gefühle (Empfindungen/Affekte), Wünsche und Impulse, die im Widerspruch zu eigenen und/oder gesellschaftlichen Normen stehen können, auf andere Menschen(gruppen), Lebewesen oder sonstige Objekte der Außenwelt."
(Erster Versuch einer Verknüpfung von Psychoanalyse mit Physik in der Forengeschichte).
Zweifellos rangieren Vektoren unter "sonstige Objekte"!

Grüße, Timm

könnte hinkommen. Aber es hilft uns nicht so recht weiter, befürchte ich.

Auch dann nicht, wenn es der erste Versuch einer Verknüpfung von Psychoanalyse mit Physik in der Forengeschichte ist. :rolleyes:

Zum Verständnis der Projektion eines Vierervektors auf den dreidimensionalen Ortsraum hilft uns vielleicht ein etwas einfacheres Beispiel weiter.

Die Projektion eines Vektors auf eine Ebene.

http://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalprojektion#Projektion_auf_eine_Ebene

Grüsse, MP

Bauhof
16.11.13, 14:50
Bei dir scheint k der Gammafaktor zu sein.
Keine Ahnung woher du die Formel √ (k² (c² - v²) = c hast.

Hallo Marc,

ja, k ist hier der Gammafaktor.
Die Formel √ k² (c² - v²) = c habe ich aus dem Wiki-Artikel Vierergeschwindigkeit (http://de.wikipedia.org/wiki/Vierergeschwindigkeit#Vierergeschwindigkeit) entnommen. Dort steht anstelle von k der Gammafaktor.

M.f.G. Eugen Bauhof

Bauhof
16.11.13, 15:22
Keine Ahnung woher du die Formel √ (k² (c² - v²) = c hast.

Aber es es kommt dabei imho nie c raus.

Grüsse, MP

Hallo Marc,

doch, es kommt c heraus.
Ich sehe gerade, dass man keine Grenzwertbetrachtung benötigt, um die Formel √ k² (c² - v²) = c zu beweisen:

(1) √ k² (c² - v²) = c

(2) k² = 1 / (1 – v²/c²); (2) in (1) eingesetzt ergibt:

(3) √ (c² – v²) / (1 – v²/c²) = c

(4) √ (c² – v²) / [(c² – v²) / c²)] = c

(5) √ c²(c² – v²) / (c² – v²) = c

(6) √ c² = c.

Marco Polo
16.11.13, 16:11
Hallo Marc,

ja, k ist hier der Gammafaktor.
Die Formel √ k² (c² - v²) = c habe ich aus dem Wiki-Artikel Vierergeschwindigkeit (http://de.wikipedia.org/wiki/Vierergeschwindigkeit#Vierergeschwindigkeit) entnommen. Dort steht anstelle von k der Gammafaktor.

M.f.G. Eugen Bauhof

Dann setzen wir jetzt mal für v=0,5 c ein.

U=sqrt(k²(c²-v²)) mit k=1/sqrt(1-v²/c²) und v=0,5c

U=sqrt((c²-0,5²c²)/sqrt(1-0,5²c²/c²))

U=sqrt(c²-0,25c²)/sqrt(1-0,25))

U=sqrt(0,75c²)/sqrt(0,75)) mit x/sqrt(x)=sqrt(x)

U=sqrt(sqrt(0,75)c²)

U=0.931c²

hmm...

Irgendwo hab ich mich verrechnet?

Komm nicht auf den Fehler und hab grad keinen Bock mehr. :(

Marco Polo
16.11.13, 16:17
Ach ich Stümper. Haha bin ich doof. :)

U=sqrt(k²(c²-v²)) mit k²=1/(1-v²/c²) und v=0,5c

U=sqrt((c²-0,5²c²)/(1-0,5²c²/c²))

U=sqrt(c²-0,25c²)/(1-0,25))

U=sqrt((0,75c²)/0,75)

U=sqrt(c²)

U=c

Marco Polo
16.11.13, 16:32
Hab die ganze Zeit mit k anstelle von k² gerechnet. Da darf man sich dann nicht wundern, wenn irgendein Stuss herauskommt. :o

Timm
16.11.13, 16:54
Hallo Marc,

ich hatte beim Studium nichts mit Vektoren zu tun, in der theoretischen Chemie spielen sie allerdings eine Rolle.

Wahrscheinlich entwickelt man ein besseres Verständnis nur durch den Umgang damit und natürlich insbesondere durch das Lösen von Aufgaben.

Eine wichtige Anwendung scheint mir die Parallelverschiebung des 4-Geschwindigkeitsvektors in der gekrümmten Raumzeit zu sein.

Gruß, Timm

Marco Polo
16.11.13, 17:15
Eine wichtige Anwendung scheint mir die Parallelverschiebung des 4-Geschwindigkeitsvektors in der gekrümmten Raumzeit zu sein.

Allerdings.

Bauhof
16.11.13, 17:16
U=sqrt(k²(c²-v²)) mit k²=1/(1-v²/c²) und v=0,5c

U=sqrt((c²-0,5²c²)/(1-0,5²c²/c²))

U=sqrt(c²-0,25c²)/(1-0,25))

U=sqrt((0,75c²)/0,75)

U=sqrt(c²)

U=c

Hallo Marc,

ja, so beweisen offenbar Maschinenbauingenieure die Allgemeingültigkeit einer Formel, indem sie Zahlen einsetzen.:rolleyes: ;)

M.f.G. Eugen Bauhof

Marco Polo
16.11.13, 17:25
ja, so beweisen offenbar Maschinenbauingenieure die Allgemeingültigkeit einer Formel, indem sie Zahlen einsetzen.:rolleyes: ;)


Hehe. Der kleine Seitenhieb ist mir nicht entgangen. :)

Aber immerhin sind wir beide aufs richtige Ergebnis gekommen.

Ich hatte aber vorher auch ohne Zahlenbeispiel gerechnet (genauso wie du) und leider mit k anstelle von k² gerechnet. Mit Einsetzen von Zahlen hab ich dieses blöde k anstelle von k² dann übernommen.

30 Minuten verlorene Zeit. :(

Ich
16.11.13, 21:07
Wenn man den Vektor in Komponenten schreibt, hat man ja ein bestimmtes Koordinatensystem im Sinn. Die Projektion auf den 3-Raum dieses KS ist nicht wild: Weil alle 3 Basisvektoren auf der Zeit senkrecht stehen, spielt die Zeitkomponente keine Rolle ("wirft keinen Schatten"), während die Raumkomponenten 1:1 abgebildet werden. Man muss also nur die Zeitkomponente wegwerfen und kriegt dann die drei Raumkomponenten, die tatsächlich ein Vielfaches der normalen 3-Geschwindigkeit sind. Also auch in die gleiche Richtung zeigen.

Man kann sich das schön an einem 3-Vektor veranschaulichen, der auf eine Ebene projiziert wird. Wenn die Ebene senkrecht auf die Projektionsrichtung steht - z.B. Projektion auf die x-y-Ebene-, passiert genau das oben beschriebene.

Marco Polo
16.11.13, 21:37
Wenn man den Vektor in Komponenten schreibt, hat man ja ein bestimmtes Koordinatensystem im Sinn. Die Projektion auf den 3-Raum dieses KS ist nicht wild: Weil alle 3 Basisvektoren auf der Zeit senkrecht stehen, spielt die Zeitkomponente keine Rolle ("wirft keinen Schatten"), während die Raumkomponenten 1:1 abgebildet werden. Man muss also nur die Zeitkomponente wegwerfen und kriegt dann die drei Raumkomponenten, die tatsächlich ein Vielfaches der normalen 3-Geschwindigkeit sind. Also auch in die gleiche Richtung zeigen.

Dem würde ich normalerweise ja auch zustimmen.

Aber spielt es nicht eine Rolle, dass wir bei der Differentiation des Zeit-Ortsvektors nach der Eigenzeit tau von verschiedenen Bezugssystemen sprechen, wie ich es weiter oben beschrieben habe?

Aber hier nochmal:

Wenn man bei der Vierergeschwindigkeit den infinitesimalen Abstand zweier Ereignisse im Laborsystem (dem Zeit-Ortsvektor) nach dtau, also dem infinitesimalen Zeitzuwachs in einem ganz anderen System, nämlich dem, in dem die beiden Ereignisse am gleichen Ort stattfinden differenziert (also Differentiation nach der Eigenzeit und nicht nach der systemabhängigen Zeit t), dann kann ich mir zumindest bei relativistischen Geschwindigkeiten nicht vorstellen, dass es für diesen Vierervektor eine Projektion auf den dreidimensionalen Ortsraum gibt, die die gleiche Richtung wie der Dreiervektor hat.Der Vektor der Vierergeschwindigkeit ist ja eh ein eigenartiges Konstrukt, wenn du mich fragst. Eben wegen der verschiedenen Bezugssysteme, nach denen differenziert wird.

Bist du dir bezüglich dieser Problematik bei der Vierergeschwindigkeit jetzt immer noch über folgendes sicher:

Man kann sich das schön an einem 3-Vektor veranschaulichen, der auf eine Ebene projiziert wird. Wenn die Ebene senkrecht auf die Projektionsrichtung steht - z.B. Projektion auf die x-y-Ebene-, passiert genau das oben beschriebene.Grüsse, MP

Ich
16.11.13, 22:08
Differentiation nach der Eigenzeit und nicht nach der systemabhängigen Zeit t
Das ist nicht schlimm. Es gilt ja
dt = gamma * dtau,
und damit
d/dt = d/(gamma*dtau) = 1/gamma * d/dtau.
das heißt, die beiden Ableitungen sind bis auf einen richtungsunabhängigen Faktor gamma gleich. Deswegen ist (dx/dtau, dy/dtau, dz/dtau) ein Vielfaches von (dx/dt, dy/dt, dz/dt), nämlich gamma * (dx/dt, dy/dt, dz/dt). Selbe Richtung deswegen.

Noch eine formale Sache: Man differenziert hier nicht in verschiedenen Bezugssystemen. tau ist keine Koordinate, sondern ein (affiner) Parameter. Vielleicht hast du mal von parametrischen Gleichungen (http://de.wikipedia.org/wiki/Parameterdarstellung) gehört. Du hast den 4-Ort eines Teilchens - seine Weltlinie - gegeben als (t(tau), x(tau), y(tau), z(tau)). Das sind vier Funktionen von tau, die du dann nach tau ableitest. tau selber ist keine der Funktionen, sondern deren Argument.

Das hat man bei Newton übrigens genauso gesehen: Zeit war etwas ganz anderes als Raum, und man hat Ortskurven angegeben als Funktion des Parameters t: (x(t), y(t), z(t)). In ebendiesem Sinne ist tau auch etwas ganz anderes als eine weitere transformierte Koordinate: es ist ein invarianter Parameter, nämlich die Länge der Kurve, die man ableiten will.

Bist du dir bezüglich dieser Problematik bei der Vierergeschwindigkeit jetzt immer noch über folgendes sicher:
Man kann sich das schön an einem 3-Vektor veranschaulichen, der auf eine Ebene projiziert wird. Wenn die Ebene senkrecht auf die Projektionsrichtung steht - z.B. Projektion auf die x-y-Ebene-, passiert genau das oben beschriebene.
Nein. Ich denke jetzt, dass zwischen "Ebene" und "-" eigentlich ein " " gehört.

Marco Polo
16.11.13, 23:18
dt = gamma * dtau

Ja klar. Das ist die bekannte Beziehung zwischen der Eigenzeit tau eines Vorganges und der um den Faktor gamma längeren Zeit t in einem System, in welchem sich dieser Vorgang mit der Geschwindigkeit u bewegt.

Ich denke jetzt, dass zwischen "Ebene" und "-" eigentlich ein " " gehört.

Demnach ergäbe sich: "senkrecht auf die Projektionsrichtung steht".

Ändert das jetzt irgend etwas?

Ich
16.11.13, 23:31
Ja klar.
Heißt das, die Frage ist geklärt?
Mein vieles Geschreibsel über Parameter und Koordinaten hätt's gar nicht gebraucht?


Demnach ergäbe sich: "senkrecht auf die Projektionsrichtung steht".
Grmpf. Schon wieder missverständlich formuliert.
Bitte lies:
Ich denke jetzt, dass "Ebene-" durch "Ebene -" ersetzt gehört.

JoAx
16.11.13, 23:44
Ich denke jetzt, dass "Ebene-" durch "Ebene -" ersetzt gehört.

Und die Komma danach muss auch unbedingt weg! :D

Marco Polo
16.11.13, 23:47
Heißt das, die Frage ist geklärt?

Fürs Erste ja.

Mein vieles Geschreibsel über Parameter und Koordinaten hätt's gar nicht gebraucht?

Doch doch. Das war sehr lehrreich. Vielen Dank dafür.

Ich denke jetzt, dass "Ebene-" durch "Ebene -" ersetzt gehört.


???

Ich
17.11.13, 20:41
???
Das war ein misslungener Versuch, auszudrücken, dass ich nach wie vor zu der Aussage stehe.

JoAx
18.11.13, 11:27
Marco, Eugen - nimmt doch das Minkowski-Diagramm zur Hilfe. ;)