ghostwhisperer
03.03.14, 11:17
Hallo!
Ich glaub jetzt hab ich endlich raus, was der mathematische Hintergrund der quanten-mechanischen Unschärfe-Relation ist. Und wie ich das für mich interpretieren kann.
Ich habe mich in letzter Zeit (für meine Firma) mit Fourier-Transformation beschäftigt. Diese wird besonders für Nachrichten-Technik und Muster-Erkennung verwendet.
Dabei sind mir verschiedene Eigenarten dieser mathematischen Vorgehensweise aufgefallen:
Um eine FT durchzuführen multipliziere ich das zu analysierende Signal mit Kosinus- und Sinus-Funktionen verschiedener Frequenz bzw. Wellenlänge und bilde jeweils (also je Wellenlänge) das Integral über das Ergebnis.
Aus den Ergebnissen kann ich für jede Teilwelle die Amplitude und eine Phase bestimmen.
Bei reellen Anwendungen (DFT=diskrete FT) muss ich bestimmte Grenzen einhalten:
die größte Wellenlänge die ich vorgeben kann entspricht der Signal-Länge also zB der Breite eines Bildes. Die kleinste muss mindestens doppelt so groß sein, wie die kleinste eventuell vorkommende Wellenlänge (Anti-Aliasing), das kann bei einem Bild die Auflösung, das Pixel, sein.
Enthält das Signal aber eine Wellenlänge die größer als die Signal-Länge ist, so kann ich diese nicht exakt vermessen, da die höchste definierbare Teil-Welle kleiner ist! Stattdessen bekomme ich nur eine Näherung, die durch Überlagerung kleinerer Oberwellen definiert ist.
Ich kann daraus folgern, dass das Produkt von Signal-Länge (T) und zu detektierender Frequenz eine Ungleichung erfüllen muss : f*T>=1
Das kommt bekannt vor oder ? In der Quantenmechanik kommt nur ein Faktor h dazu und aus f wird E: E*T>=h bzw E = h/T = h*f
Um eine Energie E zu messen, muss ich wenigstens über die Periodendauer T messen.
Ich hab irgendwo mal gelesen, dass Unschärfe tatsächlich keine Spezialität der Quantenmechanik ist, sondern allgemein jeder Wellen-Darstellung.
Ich hab noch etwas experimentiert und bin auf folgendes gestoßen:
Will ich einen einzelnen Peak (Dirac-Impuls) durch Überlagerung von Wellen darstellen, dann ist das Ergebnis umso besser, je mehr Teilwellen überlagern. Das Optimum erfordert eine Überlagerung unendlich vieler Wellen passender Amplitude und Phase.
Eine einfache Welle im Signal wird hingegen durch eine einzige exakte Frequenz repräsentiert.
Genau dieses Verhalten zeigt aber auch die Quantenmechanik:
Will ich ein Punktteilchen (Einzel-Peak) exakt lokalisieren, dann bekomme ich maximale Unschärfe der Energie bzw des Impulses. Das bedeutet nichts anderes als die Überlagerung unendlich vieler Teil-Wellen. Anders ausgedrückt: Lokalisation im Orts-Raum geht einher mit Verbreiterung im Frequenzraum.
Eine Einzelwelle hingegen kann nur als unendlicher Wellenzug dargestellt werden, denn alles andere kann nur durch Überlagerung verschiedener Teil-Wellen erzeugt werden. Das bedeutet, eine unendlich breite Verschmierung im Ortsraum entspricht einem exakten Einzel-Peak im Frequenzraum.
Dabei ist mir der Begriff Faltung eingefallen. Allgemein spricht man in der Signal- oder Muster-Analyse von Faltung: Multiplikation einer Messung mit einem Test-Muster. Eine Fourier-Transformation ist nichts anderes.
Der Wellen-Aspekt ist gewissermaßen die Faltung der physikalischen Wirklichkeit und der Teilchen-Aspekt die Entfaltung.
Wie kann ich das interpretieren? Nun, die Darstellung über Frequenzen oder Wellenlängen ist im Grunde nichts räumliches, nicht mal etwas zeitliches. Das was wir "sehen" also die RaumZeit samt Inhalt wird faktisch zurückgeführt auf ein unendlich kompliziertes "Spektrum", dessen
"Projektion" erst das uns sichtbare Universum ergibt. Jede Teilwelle ist automatisch nichtlokal, da von plus Unendlich bis minus Unendlich definiert - in den Raum projiziert.
Ich muss das "Spektrum" gewissermaßen extrauniversal auffassen.
Ich wage zu sagen, es verhält sich wie ein Hologramm: jeder Punkt eines Hologramms trägt zum gesamten Bild bei, da es - entsprechend von einem Laser beleuchtet - als Kugelwelle jeden Punkt im dreidimensionalen Bild erreicht und durch Überlagerung aller Teilwellen ergibt sich das Bild.
So kann ich verschiedene Probleme der Quantenmechanik leichter interpretieren:
Das EPR-Paradoxon und scheinbare Überlichtgeschwindigkeit z.B. taucht auf, wenn Teilchen verschränkt sind.
Das bedeutet nichts anderes als dass die Teilchen von derselben Wellenfunktion beschrieben werden.
Nimmt ein Teilchen einen bestimmten Zustand an, so nimmt das andere gleichzeitig den korrelierten Zustand an.
Aus Sicht des nichträumlichen "Spektrums", bedeutet das nichts anderes, als dass ich an der Phase der Teilwellen drehe oder an den Amplituden. Das kann aber beliebig schnell erfolgen und verändert "ALLES" was da in den Raum projiziert wird "gleichzeitig".
Nehme ich die FT eines Peaks und verändere "global" die Phase aller Teilwellen um denselben Betrag, so verschiebt sich der Ort der maximalen Aufenthalts-Wahrscheinlichkeit im Raum. Das KANN einfach von
Ort und Zeit abhängig sein: cos(w*t-k*x) MUSS aber nicht (+Phi). Auch eine Art von "Überlichtgeschwindigkeit".
Nun ergeben sich Peaks also "Teilchen" nur, wenn Teilwellen mit zueinander stabilen Phasenlagen interferieren. Man spricht von Kohärenz.
Was aber, wenn das Spektrum auch nicht kohärente Anteile hat, also völlig
zufällige Anteile?
Diese Frage stellt sich mir im Zusammenhang mit dem elektromagnetischen Quanten-Vakuum. Die Frage ist ja offen warum dieses nicht gravitativ wechselwirkt.
Nun, es ist eine altbekannte Tatsache, dass Wellen auch destruktiv interferieren, in anderen Worten die effektive Wirkung ist NULL!
Ist das Quantenvakuum ganz allgemein ein zufälliger - chaotischer(! siehe auch später) - Hintergrund und gibt es insbesondere auch links- wie rechts-läufige Teilwellen, so ist es nicht unwahrscheinlich, dass seine effektive(!) Wirkung wegen destruktiver Interferenz ebenfalls Null ist.
Es hat eine Potenz aber meist keinen realen Effekt.
Ausnahmen wie den Casimir-Effekt lassen sich so leicht erklären. Zwingt man dem Quanten-Vakuum Grenzen auf, zB zwei Metall-Platten, dann stellt sich eine gewisse Ordnung ein.
Durch die Grenzen stellen sich nicht nur bestimmte Frequenzen, sondern auch stabile Phasenlagen ein und das Resultat ist eine reale Kraft!
Das führt mich zu drei weiteren Aspekten: die tatsächlich messbare Vakuum-Energiedichte von etwa 10^-10 J/m^3, die Endlichkeit des Universums und die beschleunigte Expansion.
Das ideale Spektrum reicht von plus Unendlich bis minus Unendlich. Das Universum ist aber endlich. Wenn damit aber, wie in der DFT schon bemerkt, eine maximale Wellenlänge zusammenhängt und damit wiederum - wie beim Casimir-Effekt - eine endliche Kraft, dann könnte daraus die Energiedichte von 10^-10 J/m^3 und eine, diesmal nach "außen" gerichtete Kraft folgen, nämlich die beschleunigte Expansion des Universums.
Nach außen gerichtet, weil die effektive Wirkung des ungeordneten Quantenvakuums null ist, im Universum aber zumindest eine, wenn auch sehr große, Wellenlänge durch die Endlichkeit des Universums ausgezeichnet ist.
Man könnte auch sagen, diese ausgezeichnete Vakuum-Energie strebt danach einen Zustand geringerer Energie anzunehmen
und bewirkt damit eine zusätzliche Kraft und damit die beschleunigte Expansion. Naja, maybe ...
Wenn ich den Faden weiter spinne und den Ablauf des Universums zurückdrehe lande ich wo? Ach ja, beim Urknall.
Jetzt habe ich den Unterschied zwischen Potential und Wirkung dadurch definiert, indem ich den Begriff stabile Phasenlage bzw. allgemein den der Ordnung gebraucht habe.
Energie scheint da zu sein, wo die Ordnung des Spektrums hoch ist!
Vielleicht hat das Universum "begonnen" als im chaotischen Quantenvakuum für einen winzigen Bruchteil der Zeit(?) ein geordneter Zustand mit stabilen Phasenlagen eintrat. Zufällig?.
Dieser entsprach einer Energie und diese Energie verschwand nicht einfach wieder, sondern breitete sich aus.
Dies ist nur eine andere Sichtweise, Interpretation und erklärt wohl erst mal gar nichts ! Aber eure Meinung interessiert mich trotzdem :)
ghosti
Ich glaub jetzt hab ich endlich raus, was der mathematische Hintergrund der quanten-mechanischen Unschärfe-Relation ist. Und wie ich das für mich interpretieren kann.
Ich habe mich in letzter Zeit (für meine Firma) mit Fourier-Transformation beschäftigt. Diese wird besonders für Nachrichten-Technik und Muster-Erkennung verwendet.
Dabei sind mir verschiedene Eigenarten dieser mathematischen Vorgehensweise aufgefallen:
Um eine FT durchzuführen multipliziere ich das zu analysierende Signal mit Kosinus- und Sinus-Funktionen verschiedener Frequenz bzw. Wellenlänge und bilde jeweils (also je Wellenlänge) das Integral über das Ergebnis.
Aus den Ergebnissen kann ich für jede Teilwelle die Amplitude und eine Phase bestimmen.
Bei reellen Anwendungen (DFT=diskrete FT) muss ich bestimmte Grenzen einhalten:
die größte Wellenlänge die ich vorgeben kann entspricht der Signal-Länge also zB der Breite eines Bildes. Die kleinste muss mindestens doppelt so groß sein, wie die kleinste eventuell vorkommende Wellenlänge (Anti-Aliasing), das kann bei einem Bild die Auflösung, das Pixel, sein.
Enthält das Signal aber eine Wellenlänge die größer als die Signal-Länge ist, so kann ich diese nicht exakt vermessen, da die höchste definierbare Teil-Welle kleiner ist! Stattdessen bekomme ich nur eine Näherung, die durch Überlagerung kleinerer Oberwellen definiert ist.
Ich kann daraus folgern, dass das Produkt von Signal-Länge (T) und zu detektierender Frequenz eine Ungleichung erfüllen muss : f*T>=1
Das kommt bekannt vor oder ? In der Quantenmechanik kommt nur ein Faktor h dazu und aus f wird E: E*T>=h bzw E = h/T = h*f
Um eine Energie E zu messen, muss ich wenigstens über die Periodendauer T messen.
Ich hab irgendwo mal gelesen, dass Unschärfe tatsächlich keine Spezialität der Quantenmechanik ist, sondern allgemein jeder Wellen-Darstellung.
Ich hab noch etwas experimentiert und bin auf folgendes gestoßen:
Will ich einen einzelnen Peak (Dirac-Impuls) durch Überlagerung von Wellen darstellen, dann ist das Ergebnis umso besser, je mehr Teilwellen überlagern. Das Optimum erfordert eine Überlagerung unendlich vieler Wellen passender Amplitude und Phase.
Eine einfache Welle im Signal wird hingegen durch eine einzige exakte Frequenz repräsentiert.
Genau dieses Verhalten zeigt aber auch die Quantenmechanik:
Will ich ein Punktteilchen (Einzel-Peak) exakt lokalisieren, dann bekomme ich maximale Unschärfe der Energie bzw des Impulses. Das bedeutet nichts anderes als die Überlagerung unendlich vieler Teil-Wellen. Anders ausgedrückt: Lokalisation im Orts-Raum geht einher mit Verbreiterung im Frequenzraum.
Eine Einzelwelle hingegen kann nur als unendlicher Wellenzug dargestellt werden, denn alles andere kann nur durch Überlagerung verschiedener Teil-Wellen erzeugt werden. Das bedeutet, eine unendlich breite Verschmierung im Ortsraum entspricht einem exakten Einzel-Peak im Frequenzraum.
Dabei ist mir der Begriff Faltung eingefallen. Allgemein spricht man in der Signal- oder Muster-Analyse von Faltung: Multiplikation einer Messung mit einem Test-Muster. Eine Fourier-Transformation ist nichts anderes.
Der Wellen-Aspekt ist gewissermaßen die Faltung der physikalischen Wirklichkeit und der Teilchen-Aspekt die Entfaltung.
Wie kann ich das interpretieren? Nun, die Darstellung über Frequenzen oder Wellenlängen ist im Grunde nichts räumliches, nicht mal etwas zeitliches. Das was wir "sehen" also die RaumZeit samt Inhalt wird faktisch zurückgeführt auf ein unendlich kompliziertes "Spektrum", dessen
"Projektion" erst das uns sichtbare Universum ergibt. Jede Teilwelle ist automatisch nichtlokal, da von plus Unendlich bis minus Unendlich definiert - in den Raum projiziert.
Ich muss das "Spektrum" gewissermaßen extrauniversal auffassen.
Ich wage zu sagen, es verhält sich wie ein Hologramm: jeder Punkt eines Hologramms trägt zum gesamten Bild bei, da es - entsprechend von einem Laser beleuchtet - als Kugelwelle jeden Punkt im dreidimensionalen Bild erreicht und durch Überlagerung aller Teilwellen ergibt sich das Bild.
So kann ich verschiedene Probleme der Quantenmechanik leichter interpretieren:
Das EPR-Paradoxon und scheinbare Überlichtgeschwindigkeit z.B. taucht auf, wenn Teilchen verschränkt sind.
Das bedeutet nichts anderes als dass die Teilchen von derselben Wellenfunktion beschrieben werden.
Nimmt ein Teilchen einen bestimmten Zustand an, so nimmt das andere gleichzeitig den korrelierten Zustand an.
Aus Sicht des nichträumlichen "Spektrums", bedeutet das nichts anderes, als dass ich an der Phase der Teilwellen drehe oder an den Amplituden. Das kann aber beliebig schnell erfolgen und verändert "ALLES" was da in den Raum projiziert wird "gleichzeitig".
Nehme ich die FT eines Peaks und verändere "global" die Phase aller Teilwellen um denselben Betrag, so verschiebt sich der Ort der maximalen Aufenthalts-Wahrscheinlichkeit im Raum. Das KANN einfach von
Ort und Zeit abhängig sein: cos(w*t-k*x) MUSS aber nicht (+Phi). Auch eine Art von "Überlichtgeschwindigkeit".
Nun ergeben sich Peaks also "Teilchen" nur, wenn Teilwellen mit zueinander stabilen Phasenlagen interferieren. Man spricht von Kohärenz.
Was aber, wenn das Spektrum auch nicht kohärente Anteile hat, also völlig
zufällige Anteile?
Diese Frage stellt sich mir im Zusammenhang mit dem elektromagnetischen Quanten-Vakuum. Die Frage ist ja offen warum dieses nicht gravitativ wechselwirkt.
Nun, es ist eine altbekannte Tatsache, dass Wellen auch destruktiv interferieren, in anderen Worten die effektive Wirkung ist NULL!
Ist das Quantenvakuum ganz allgemein ein zufälliger - chaotischer(! siehe auch später) - Hintergrund und gibt es insbesondere auch links- wie rechts-läufige Teilwellen, so ist es nicht unwahrscheinlich, dass seine effektive(!) Wirkung wegen destruktiver Interferenz ebenfalls Null ist.
Es hat eine Potenz aber meist keinen realen Effekt.
Ausnahmen wie den Casimir-Effekt lassen sich so leicht erklären. Zwingt man dem Quanten-Vakuum Grenzen auf, zB zwei Metall-Platten, dann stellt sich eine gewisse Ordnung ein.
Durch die Grenzen stellen sich nicht nur bestimmte Frequenzen, sondern auch stabile Phasenlagen ein und das Resultat ist eine reale Kraft!
Das führt mich zu drei weiteren Aspekten: die tatsächlich messbare Vakuum-Energiedichte von etwa 10^-10 J/m^3, die Endlichkeit des Universums und die beschleunigte Expansion.
Das ideale Spektrum reicht von plus Unendlich bis minus Unendlich. Das Universum ist aber endlich. Wenn damit aber, wie in der DFT schon bemerkt, eine maximale Wellenlänge zusammenhängt und damit wiederum - wie beim Casimir-Effekt - eine endliche Kraft, dann könnte daraus die Energiedichte von 10^-10 J/m^3 und eine, diesmal nach "außen" gerichtete Kraft folgen, nämlich die beschleunigte Expansion des Universums.
Nach außen gerichtet, weil die effektive Wirkung des ungeordneten Quantenvakuums null ist, im Universum aber zumindest eine, wenn auch sehr große, Wellenlänge durch die Endlichkeit des Universums ausgezeichnet ist.
Man könnte auch sagen, diese ausgezeichnete Vakuum-Energie strebt danach einen Zustand geringerer Energie anzunehmen
und bewirkt damit eine zusätzliche Kraft und damit die beschleunigte Expansion. Naja, maybe ...
Wenn ich den Faden weiter spinne und den Ablauf des Universums zurückdrehe lande ich wo? Ach ja, beim Urknall.
Jetzt habe ich den Unterschied zwischen Potential und Wirkung dadurch definiert, indem ich den Begriff stabile Phasenlage bzw. allgemein den der Ordnung gebraucht habe.
Energie scheint da zu sein, wo die Ordnung des Spektrums hoch ist!
Vielleicht hat das Universum "begonnen" als im chaotischen Quantenvakuum für einen winzigen Bruchteil der Zeit(?) ein geordneter Zustand mit stabilen Phasenlagen eintrat. Zufällig?.
Dieser entsprach einer Energie und diese Energie verschwand nicht einfach wieder, sondern breitete sich aus.
Dies ist nur eine andere Sichtweise, Interpretation und erklärt wohl erst mal gar nichts ! Aber eure Meinung interessiert mich trotzdem :)
ghosti