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Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : Laserimpuls verfolgt Raumschiff


Bauhof
15.03.14, 13:38
Hallo zusammen,

dass man mit Hilfe der SRT auch beschleunigte Bewegungen beschreiben kann, ist vielen unbekannt. Hierzu eine kleine Knobelaufgabe:

Irgendwo im gravitationsfreien Weltraum befindet sich eine Raumstation. Von dieser startet ein Raumschiff mit einer konstanten Beschleunigung von a=10 m/s². Das Raumschiff bewegt sich geradlinig.

Nachdem in der Raumstation 10 Minuten vergangen sind, wird dem Raumschiff ein Laserimpuls hinterhergeschickt. Mit welcher Aufprallgeschwindigkeit v trifft der Laserimpuls auf das Heck des Raumschiffs?

Drei Antwortmöglichkeiten:

(a) v<c
(b) v=c
(c) v>c

M.f.G. Eugen Bauhof

ghostwhisperer
15.03.14, 14:10
Hallo zusammen,

dass man mit Hilfe der SRT auch beschleunigte Bewegungen beschreiben kann, ist vielen unbekannt. Hierzu eine kleine Knobelaufgabe:

Irgendwo im gravitationsfreien Weltraum befindet sich eine Raumstation. Von dieser startet ein Raumschiff mit einer konstanten Beschleunigung von a=10 m/s². Das Raumschiff bewegt sich geradlinig.

Nachdem in der Raumstation 10 Minuten vergangen sind, wird dem Raumschiff ein Laserimpuls hinterhergeschickt. Mit welcher Aufprallgeschwindigkeit v trifft der Laserimpuls auf das Heck des Raumschiffs?

Drei Antwortmöglichkeiten:

(a) v<c
(b) v=c
(c) v>c

M.f.G. Eugen Bauhof
Immer noch v=c und zwar in beliebigem Koordinatensystemen. c ist lokal invariant. Frag lieber nach der aktuellen Frequenz!

Bauhof
15.03.14, 15:20
Immer noch v=c und zwar in beliebigem Koordinatensystemen. c ist lokal invariant. Frag lieber nach der aktuellen Frequenz!

Hallo ghostwhisperer,

wenn sich das Raumschiff mit konstanter Geschwindigkeit bewegen würde, dann ist v=c. Das Raumschiff bewegt sich aber beschleunigt. Ist dann auch v=c? Wenn ja, warum?

M.f.G. Eugen Bauhof

Marco Polo
15.03.14, 16:23
Zunächst mal müsste geklärt werden, ob der Laserpuls das Raumschiff überhaupt erreichen kann.

Das auszurechen ist nicht sonderlich schwer.

Ok, bei 10 Minuten und einer Eigenbeschleunigung von 10 m/s² ist klar, dass der Laserpuls das Raumschiff erreicht. Da muss man nichts rechnen.

Zur Frage der Aufprallgeschwindigkeit: v=c

Bauhof
15.03.14, 16:59
Zur Frage der Aufprallgeschwindigkeit: v=c
Hallo Marc,

ja, das wäre auch meine Lösung.

Aber diese Knobelaufgabe habe ich nicht irgendwo entnommen, sondern ich habe mir diese selbst ausgedacht. Deshalb kenne ich die korrekte Lösung nicht. Es ist klar, dass v=c ist, wenn sich das Raumschiff unbeschleunigt bewegt. Aber ich bin mir nicht sicher, dass auch dann v=c ist, wenn sich das Raumschiff beschleunigt bewegt.

M.f.G. Eugen Bauhof

Ich
15.03.14, 21:18
Wenn man die Geschwindigkeit misst, indem man die Ankunftszeit an zwei hintereinander liegenden Punkten vergleicht, dann misst man tatsächlich einen kleineren Wert. Das Raumschif hat ja weiter beschleunigt, während das Licht zwischen den beiden Punkten unterwegs war.
Allerdings verschwindet dieser Unterschied, wenn man die Punkte immer näher zusammenbringt. Von daher ist die richtige Antwort, dass die gemessene Lichtgeschwindigkeit gleich c ist, wie immer.
Die Beschleunigung entspricht einem Gravitationsfeld in Koordinaten, in denen das beschleunigte Raumschiff ruht. Das Gravitationspotential in diesen Koordinaten führt zu Zeitdilatation, und von daher ist die Koordinatengeschwindigkeit des Lichts vom Ort abhängig, so wie z. B. in der Schwarzschildmetrik auch. Diese Koordinaten heißen Rindler-Koordinaten. Ich habe dafür auf die Schnelle keinen deutschsprachigen Link gefunden.

Bauhof
16.03.14, 10:02
Wenn man die Geschwindigkeit misst, indem man die Ankunftszeit an zwei hintereinander liegenden Punkten vergleicht, dann misst man tatsächlich einen kleineren Wert. Das Raumschif hat ja weiter beschleunigt, während das Licht zwischen den beiden Punkten unterwegs war.

Hallo ICH,

danke für den Hinweis, das erscheint mir plausibel.

Allerdings verschwindet dieser Unterschied, wenn man die Punkte immer näher zusammenbringt. Von daher ist die richtige Antwort, dass die gemessene Lichtgeschwindigkeit gleich c ist, wie immer.

Ja, denn es war die Momentangeschwindigkeit im Augenblick des Auftreffens gefragt.

Die Beschleunigung entspricht einem Gravitationsfeld in Koordinaten, in denen das beschleunigte Raumschiff ruht. Das Gravitationspotential in diesen Koordinaten führt zu Zeitdilatation, und von daher ist die Koordinatengeschwindigkeit des Lichts vom Ort abhängig, so wie z. B. in der Schwarzschildmetrik auch. Diese Koordinaten heißen Rindler-Koordinaten. Ich habe dafür auf die Schnelle keinen deutschsprachigen Link gefunden.

Wolfgang Rindler (http://de.wikipedia.org/wiki/Wolfgang_Rindler) kenne ich aus vielen Zitaten, aber leider wurde sein Buch Essential Relativity Special General & C (http://www.amazon.de/Essential-Relativity-Special-General-C/dp/B000UFYC0Y/ref=sr_1_3?s=books&ie=UTF8&qid=1394960249&sr=1-3) bis heute nicht ins Deutsche übersetz. Er war der Erste, der bei der Universum-Expansion das Problem mit den Horizonten aufklärte.

M.f.G. Eugen Bauhof

Timm
16.03.14, 10:08
Hallo Eugen,

Aber ich bin mir nicht sicher, dass auch dann v=c ist, wenn sich das Raumschiff beschleunigt bewegt.

Auch in diesem Fall denke ich läßt sich lokal ein infinitesimales IS definieren, in dem sich das Licht mit c bewegt.
Gibt es überhaupt ein Szenario, in dem das nicht gilt? Ein spezielles wäre das Photon am Ereignishorizont. Aber auch da bewegt sich es sich lokal mit c.

Gruß, Timm

Bauhof
16.03.14, 10:13
Zunächst mal müsste geklärt werden, ob der Laserpuls das Raumschiff überhaupt erreichen kann.

Das auszurechen ist nicht sonderlich schwer.

Ok, bei 10 Minuten und einer Eigenbeschleunigung von 10 m/s² ist klar, dass der Laserpuls das Raumschiff erreicht. Da muss man nichts rechnen.

Hallo Marc,

warum sollte der Laserimpuls das Raumschiff nicht erreichen?
Das Raumschiff kann so lange beschleunigen wie es will, es könnte aufgrund seiner Masse niemals die Lichtgeschwindigkeit in endlicher Zeit erreichen.

M.f.G. Eugen Bauhof

Marco Polo
16.03.14, 12:03
warum sollte der Laserimpuls das Raumschiff nicht erreichen?
Das Raumschiff kann so lange beschleunigen wie es will, es könnte aufgrund seiner Masse niemals die Lichtgeschwindigkeit in endlicher Zeit erreichen.

Hi Eugen,

die Geschwindigkeit des Raumschiffes spielt dabei keine Rolle.

Es bildet sich bei beschleunigten Bezugssytemen im Abstand c^2/alpha
so eine Art Horizont.

Nur solange die Entfernung des Raumschiffs von der Erde geringer als dieser Abstand ist, kann ein Lichtsignal von der Erde dieses erreichen.

Also selbst bei eher geringen Beschleunigungen wie 10 m/s^2 kann nach gewisser Zeit das Lichtsignal das Raumschiff nicht mehr erreichen.

Bei sehr hohen Beschleunigungen tritt dieser Zeitpunkt dann eben schon früher ein.

Grüsse, MP

Hawkwind
16.03.14, 14:06
Ja, wir hatten das Thema schon einmal: das ist der sog. Rindler-Horizont.

Bauhof
16.03.14, 14:19
... die Geschwindigkeit des Raumschiffes spielt dabei keine Rolle.

Es bildet sich bei beschleunigten Bezugssytemen im Abstand c^2/alpha
so eine Art Horizont.

Hallo Marc,

du hast recht, daran habe ich zunächst nicht gedacht. Es ist ähnlich wie bei der Universum-Expansion:

Wenn der Abstand zwischen zwei Galaxien A und B durch die Raumdehnung (oder wie auch immer) entsprechend groß geworden ist, dann bildet sich dazwischen ein Ereignishorizont (http://de.wikipedia.org/wiki/Ereignishorizont).

Diesen Begriff hat Wolfgang Rindler als Erster eingeführt und erklärt. Man sagt, dass ein Lichtsignal von Galaxie A nach Galaxie B "verhungert", wenn ein Ereignishorizont dazwischen liegt.

M.f.G. Eugen Bauhof

Timm
16.03.14, 15:37
Im Minkowski Diagramm sieht man's anschaulich.
Die Weltlinie des konstant beschleunigenden Objekts nähert sich der Weltlinie eines zu einem bestimmten späteren Zeitpunkt ausgestrahlten Lichtsignals asymptotisch. Danach ausgestrahlte Signale erreichen das Objekt nicht mehr.

Hawkwind
17.03.14, 12:48
Im Minkowski Diagramm sieht man's anschaulich.
Die Weltlinie des konstant beschleunigenden Objekts nähert sich der Weltlinie eines zu einem bestimmten späteren Zeitpunkt ausgestrahlten Lichtsignals asymptotisch. Danach ausgestrahlte Signale erreichen das Objekt nicht mehr.

Es bleibt für mich dennoch ein weiterer total anti-intuitiver Effekt der SRT. Ich hatte vor Jahren - bevor ich von Rindlerhorizont gehört hatte - mal zum Spass die entsprechende DGL der SRT für ein Objekt mit konstanter "Eigenbeschleunigung" gelöst, um zu sehen, wann ein hinter dem Objekt erzeugter Lichtblitz dieses trifft. Das ging noch sehr leicht mit "Separation der Variablen". Als ich zu meiner Überraschung sah, dass es nur Lösungen gibt für Blitze, die nicht zu weit hinter dem Objekt entstehen, hatte ich zuerst nach einem Rechenfehler gesucht. Hier gab es später von Marco und noch wem (?) eine ähnliche Rechnung.
Ziemlich paradox: ein Objekt beschleunigt, ohne je c zu erreichen, dann sollte man doch annehmen, dass es von jedem Signal mit der Geschwindigkeit c in endlicher Zeit erreicht werden muss. Es ist aber nicht so. Den "gesunden Menschenverstand" muss man bisweilen außen vorlassen, wenn es um Probleme im Kontext der SRT geht; mit diesem Vorwurf haben die "Kritiker" der SRT nicht ganz unrecht.

Marco Polo
17.03.14, 13:26
Ziemlich paradox: ein Objekt beschleunigt, ohne je c zu erreichen, dann sollte man doch annehmen, dass es von jedem Signal mit der Geschwindigkeit c in endlicher Zeit erreicht werden muss. Es ist aber nicht so. Den "gesunden Menschenverstand" muss man bisweilen außen vorlassen, wenn es um Probleme im Kontext der SRT geht; mit diesem Vorwurf haben die "Kritiker" der SRT nicht ganz unrecht.

Ja. Die Struktur der Raumzeit ist nicht so wie man es intuitiv erwartet.

Bauhof
17.03.14, 14:03
Es bleibt für mich dennoch ein weiterer total anti-intuitiver Effekt der SRT.

Hallo Hawkwind,

so ist es. Ein ähnliches Beispiel, wo die Intuition auch total versagt, ist das Problem des Wurms auf dem Gummifaden:

Ein Wurm befindet sich auf dem einen Ende eines Gummifadens, der ein Klometer lang ist und sich unendlich dehnen lässt.

Der Wurm kriecht mit einer konstanten Geschwindigkeit von 1 cm/s relativ zum Gummifaden in Richtung des anderen Endes.

Jedes Mal, wenn eine Sekunde vergangen ist, wird der Gummifaden schlagartig um einen Kilometer länger gezogen. Das Dehnen des Fadens geschieht uniform, wie das bei Gummifäden der Fall ist.

Also hat der Wurm nach der ersten Sekunde einen Zentimeter zurückgelegt, während die Länge des Gummifadens jetzt zwei Kilometer beträgt usw.

Erreicht der Wurm in endlicher Zeit das andere Ende des Gummifadens oder erreicht er es nicht?

M.f.G. Eugen Bauhof

Marco Polo
17.03.14, 14:23
So unglaublich es klingt: er erreicht es, weil das Seil ja nicht länger wie unendlich lang werden kann. Da er aber unendlich viel Zeit zur Verfügung hat sollte es ihm gelingen. Wäre zumindest meine Vermutung.

Bauhof
17.03.14, 14:42
Da er aber unendlich viel Zeit zur Verfügung hat sollte es ihm gelingen. Wäre zumindest meine Vermutung.

Hallo Marc,

der Wurm hat nicht unendlich viel Zeit zur Verfügung. Denn die Frage war, ob der Wurm das andere Ende in endlicher Zeit erreicht.

M.f.G. Eugen Bauhof

Hawkwind
17.03.14, 15:01
So unglaublich es klingt: er erreicht es, weil das Seil ja nicht länger wie unendlich lang werden kann. Da er aber unendlich viel Zeit zur Verfügung hat sollte es ihm gelingen. Wäre zumindest meine Vermutung.

Nicht einverstanden. Die Länge des Seils geht gegen unendlich, der zurückgelegte Weg des Wurms auch. Es geht hier also um eine Grenzwertbetrachtung.

Entscheidend ist, dass der Wurm im Laufe der Zeit von der Dehnung zunehmend mitprofitiert und effektiv immer schneller wird.
Zu Anfang ist der Weg (in cm) 100 000 zurückzulegen. Darauf basierend die Vorhersage für die Restzeit t(0):

t(0) = 100 000/v = 100 000/v = 100 000

nach 1 Sekunde
t(1) = (100000 - 1) + 100000

nach 2 Sekunden
t(2) = (100000 - 1 - 2) + 2*100000

nach 3 Sekunden
t(3) = (100000 - 3 - 2 - 1) + 3*100000


offenbar
t(n) = (1000000 - Summe(1+2+...+n)) + n*100000

Ich denke, der mittlere Term (die Summe) wächst irgendwann schneller als der letzte (n*100000) und so muss t irgendwann 0 werden.

Man kann's auch nachschlagen
http://de.wikipedia.org/wiki/Arithmetische_Reihe
unter "spezielle Summen"

Summe(1+2+...+n) = n*(n+1)/2

also wächst der mittlere Term mit dem Minuszeichen quadratisch mit n, der letzte nur linear; da kann auch der große Koeffizient 100000 nichts dran ändern; er verschleiert nur das Problem - der mittlere Term wächst am schnellsten und der Gesamtausdruck beginnt irgendwann zwangsläufig die 0 zu unterschreiten:

t(n) = (100000 - n*(n+1)/2) + n*100000

Wann wird das 0?

linke Seite 0 setzen und mit Hilfe der p-q-Formel die Nullstelle berechnen:
Ich bekomme 274996 Sekunden.

Würde aber drauf wetten, dass ich mich in meinem Altersschwachsinn irgendwo verrechnet habe: wenn nicht oben, dann spätestens bei den Zahlen. Aber "qualitativ" sollte die Antwort stimmen, denke ich?

Gruß,
Uli

Marco Polo
17.03.14, 15:03
Stimmt. Da war ich wohl etwas zu schnell. Normalerweise würde ich tippen, dass er das Ende in endlicher Zeit nicht erreichen kann. Das wäre aber falsch. Er erreicht es in endlicher Zeit.

Das liegt daran, dass der Wurm irgendwann meinetwegen 100.000.000 Kilometer zurück gelegt hat und dann eine Streckung des Gummis um 1 km über die Gesamtlänge des Seils nicht mehr allzuviel ausmacht.

Hawkwind
17.03.14, 15:08
Stimmt. Da war ich wohl etwas zu schnell. Normalerweise würde ich tippen, dass er das Ende in endlicher Zeit nicht erreichen kann. Das wäre aber falsch. Er erreicht es in endlicher Zeit.

Das liegt daran, dass der Wurm irgendwann meinetwegen 100.000.000 Kilometer zurück gelegt hat und dann eine Streckung des Gummis um 1 km über die Gesamtlänge des Seils nicht mehr allzuviel ausmacht.

Ja, mein 1. Impuls war es auch zu sagen, er schafft es nicht ... das liegt wohl an der Wahl der Zahlen 1cm/sec gegen 1 km/sec Wachstum.
Aber ich kenne ja unseren Eugen, drum bin ich nicht gleich dem 1. Impuls gefolgt. :)

Bauhof
17.03.14, 15:32
Nicht einverstanden. Die Länge des Seils geht gegen unendlich, der zurückgelegte Weg des Wurms auch. Es geht hier also um eine Grenzwertbetrachtung.

Hallo Uli,

nein, die Länge des Seils geht nicht gegen unendlich. In der Aufgabenstellung heißt es nur, dass der Gummifaden unendlich dehnbar ist. Somit kann der zurückgelegte Weg des Wurms auch nicht unendlich sein.

Entscheidend ist, dass der Wurm im Laufe der Zeit von der Dehnung zunehmend mitprofitiert und effektiv immer schneller wird.

ja, das trifft zu und ist ein Ansatzpunkt für die richtige Lösung. Deine Idee mit den unendlichen Reihen war nicht ganz falsch.

Würde aber drauf wetten, dass ich mich in meinem Altersschwachsinn irgendwo verrechnet habe: wenn nicht oben, dann spätestens bei den Zahlen. Aber "qualitativ" sollte die Antwort stimmen, denke ich?

Du hast dich bestimmt nicht verrechnet, aber dein Ansatz ist noch nicht der Richtige. Deine Antwort mit 274996 Sekunden stimmt nicht. Ich kenne diesmal die korrekte Lösung, aber ich warte noch, vielleicht hat jemand anders noch eine Idee.

M.f.G. Eugen Bauhof

Hawkwind
17.03.14, 15:47
Hallo Uli,

nein, die Länge des Seils geht nicht gegen unendlich. ...

Schon ... es wird mit der Zeit immer länger.

Hawkwind
17.03.14, 16:23
Dann nochmal langsam ...

Bis hierher müsste es stimmen - mit den zahlen später habe ich mich dann verhauen:


...

t(n) = (100000 - n*(n+1)/2) + n*100000



Nullstelle suchen:

- n^2/2 -n/2*(1-200000) + 100000 = 0

n^2 - n*199999 - 200000 = 0

n = 199999/2 + sqrt( (199999/2)^2 + 200000)

n = 99999.5 + 100000.5 = 200000

Antwort sollte sein: 200000 Sekunden

Bauhof
17.03.14, 16:32
Schon ... es wird mit der Zeit immer länger.

Hallo Uli,

ja, der Faden wird mit der Zeit immer länger
Aber die Frage war, ob der Wurm in endlicher Zeit das andere Ende erreicht. Deshalb ist es irrelevant, ob der Faden dabei unendlich lang wird.

M.f.G. Eugen Bauhof

Bauhof
17.03.14, 16:44
Dann nochmal langsam ... Bis hierher müsste es stimmen - mit den zahlen später habe ich mich dann verhauen: Antwort sollte sein: 200000 Sekunden

Hallo Uli,

leider nicht.
Ich verrate jetzt, das der Wurm das andere Ende in endlicher Zeit tatsächlich erreicht. Aber die Anzahl der Sekunden, die er dafür braucht, ist nicht nur astronomisch groß, sondern mehr als das. Aber nicht unendlich groß!

Dein Ansatz mit der unendlichen Reihe geht zwar in die richtige Richtung, aber er ist noch nicht der Richtige. Es liegt nicht an deiner von dir vermuteten falschen Zahlenrechnung.

M.f.G. Eugen Bauhof

Hawkwind
17.03.14, 17:02
ja, Eugen: 200000 kann nicht stimmen; schon beim einfachen Problem ohne Dehnung wären es 100000 Sek. Dass diese immense Dehnung die Zeit nur verdoppeln soll, ist absurd.
Also ist wohl schon meine Formel für t(n) daneben.
Gut, dass niemand mehr Mathe-Nachhilfe von mir will! :)

Gruß,
Uli

Timm
17.03.14, 18:15
Es bleibt für mich dennoch ein weiterer total anti-intuitiver Effekt der SRT. Ich hatte vor Jahren - bevor ich von Rindlerhorizont gehört hatte - mal zum Spass die entsprechende DGL der SRT für ein Objekt mit konstanter "Eigenbeschleunigung" gelöst, um zu sehen, wann ein hinter dem Objekt erzeugter Lichtblitz dieses trifft.
Ja, höchst anti-intuitiv, Uli.
Und es bleibt auch dann anti-intuitiv, wenn ein in ein Diagramm gegossenes Formelkonstrukt die Lösung aufzeigt. Aber man hat dann wenigstens das Gefühl, ja so muß es sein.
Wenn der Freifaller mit den Füßen zuerst in ein Schwarzes Loch fällt, ist die intuitive Erwartung, daß er seine Füße nicht mehr sieht, sobald sie den EH überquert haben. Für mich war es eine kleine Offenbarung anhand des Finkelstein Diagramms zu erkennen, daß er sie sehr wohl bis zum Erreichen der Singularität sieht.

Gruß, Timm

Ich
17.03.14, 20:19
Ich hab's bei astrotreff schon mal geschrieben: Meiner Meinung nach schaut man sich so was am besten in mitbewegten Koordinaten an.
In der ersten Sekunde schafft der Wurm 1/100.000 der Strecke, in der zweiten 1/200.000, in der dritten 1/300.000 und so weiter. Die Lösung ist also
100.000 = \sum_{x=1]^n (1/x). Da darf man sicher auch infinitesimal rechnen, dann heißt's (das Integral schon gelöst)
100.000 = \log n bzw.
n=exp(100.000).
Ja, das dauert ein bisschen. Wenn ich mich nicht verrechnet habe.

Marco Polo
17.03.14, 20:44
Wenn der Freifaller mit den Füßen zuerst in ein Schwarzes Loch fällt, ist die intuitive Erwartung, daß er seine Füße nicht mehr sieht, sobald sie den EH überquert haben. Für mich war es eine kleine Offenbarung anhand des Finkelstein Diagramms zu erkennen, daß er sie sehr wohl bis zum Erreichen der Singularität sieht.

Das wage ich zu bezweifeln Timm. Wenn sich die Füsse hinter dem EH befinden und der Kopf ausserhalb des EH, dann kann ich mir nicht vorstellen, dass man dann seine Füsse sehen kann.

Timm
17.03.14, 22:27
Das wage ich zu bezweifeln Timm.
Genau Marc, anti-intuitiv eben.
Schau Dir mal die parallelen Weltlinien von Kopf und Fuß an und die der Lichtstrahlen vom Fuß Richtung Kopf. Und das vor, auf und hinter dem EH.

Gruß, Timm

Marco Polo
17.03.14, 22:46
Genau Marc, anti-intuitiv eben.
Schau Dir mal die parallelen Weltlinien von Kopf und Fuß an und die der Lichtstrahlen vom Fuß Richtung Kopf. Und das vor, auf und hinter dem EH.


Ich will nicht ausschliessen, dass es sich so wie von dir beschrieben verhält, Timm.

Aber das würde ja bedeuten, dass man hinter den EH gucken kann. Dachte bis jetzt, dass dies prinzipiell unmöglich ist.

Vielleicht muss man ja unterscheiden zwischen einem Freifaller und einem stationären Beobachter?

Das Finkelstein-Diagramm schaue ich mir mal an. Hast du eine Quelle bei der genau auf diese Situation eingegangen wird?

Der Thread hier entwickelt sich in alle Richtungen. Bin mal gespannt welche Themen noch dazu kommen. ;)

Marco Polo
18.03.14, 00:03
Also ist wohl schon meine Formel für t(n) daneben.
Gut, dass niemand mehr Mathe-Nachhilfe von mir will! :)

Uli, du solltest dich da entspannen. Bin mir sicher, dass die Aufgabe sehr vertrackt ist und es bestimmt 90-99 % aller Physiker nicht gelingt, die auf Anhieb lösen können.

Keine Ahnung ob es dir weiterhilft. Aber ich hätte dich gerne als Lehrer. :)

Verlobt sind wir deswegen aber nicht. ;-)

Ich
18.03.14, 07:29
Wenn sich die Füsse hinter dem EH befinden und der Kopf ausserhalb des EH, dann kann ich mir nicht vorstellen, dass man dann seine Füsse sehen kann.
Aber das würde ja bedeuten, dass man hinter den EH gucken kann. Dachte bis jetzt, dass dies prinzipiell unmöglich ist.
Kann man auch nicht. Der Kopf fällt dem Licht der Füße hinterher und holt es hinter dem EH ein.

Hawkwind
18.03.14, 09:54
...
Keine Ahnung ob es dir weiterhilft. Aber ich hätte dich gerne als Lehrer. :)


Danke - aber nur, wenn du deinen Avatar änderst. :)

Irgendwie sehe ich gar nicht, was an meinem Ansatz falsch ist.

Gruß,
Uli

Timm
18.03.14, 10:19
Das Finkelstein-Diagramm schaue ich mir mal an. Hast du eine Quelle bei der genau auf diese Situation eingegangen wird?

Der Thread hier entwickelt sich in alle Richtungen. Bin mal gespannt welche Themen noch dazu kommen. ;)
Ja, stimmt Marc. Eigentlich wollte ich nur ein weiteres mich besonders faszinierendes Beispiel zu "anti-intuitiv" beisteuern. :)

Genau diese Situation habe ich auf die Schnelle nicht gefunden, aber damit (http://books.google.de/books?id=9b1TAgAAQBAJ&pg=PA309&lpg=PA309&dq=finkelstein+diagramm+lightcone&source=bl&ots=vXQ7BRcsIQ&sig=y4qfA0jGTQUjpxOHftIlSyxi2EE&hl=de&sa=X&ei=KQAoU4_MOMbOtQaM-4CIBQ&redir_esc=y#v=onepage&q=finkelstein%20diagramm%20lightcone&f=false) Fig. 10.9 geht's auch. Der Lichtkegel verläuft am EH tangential. D.h. der später einfallende Kopf sieht im Moment des Überquerens des EH seine Füße, davor und danach auch, also ohne Unterbrechung bis zur Singularität. Ein letztes Lichtsignal seiner Füße sieht er gerade noch, alle später emittierten nicht mehr, weil diese in der Singularität verschwinden, bevor sie den Kopf erreichen (die Lichtkegel sind zunehmend einwärts gekippt). Er sieht nicht, wie seine Füße die Singularität erreichen, obwohl sie vor ihm reingefallen sind.

Gruß, Timm

Bauhof
18.03.14, 10:23
Hallo zusammen,

hier die Lösung des Wurms auf dem Gummifaden:

Ein Kilometer ist 100000 Zentimeter. Deshalb hat der Wurm am Ende der ersten Sekunde 1/100000 der Fadenlänge FL zurückgelegt. Während der nächsten Sekunde bewältigt der Wurm, ausgehend von dem soeben erreichten Punkt nach der Dehnung, 1/200000 der Fadenlänge (wobei sich der Faden auf zwei Kilometer Länge gedehnt hat). In der nächsten Sekunde schafft der Wurm 1/300000 der Fadenlände (die nun drei Kilometer beträgt). Und so geht es weiter.

Der Weg, den der Wurm hinter sich bringt, lässt sich mit Hilfe von Bruchteilen der Fadenlänge folgendermaßen ausdrücken:

(1) Wurmweg = FL•(1/100000 + 1/200000 + 1/300000 + ... + 1/(n•100000))

(2) Wurmweg = FL•1/100000•(1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n)

Die Reihe, die in der Klammer steht, ist die harmonische Reihe. Diese divergiert, kann also beliebig große Partialsummen annehmen.

Sobald aber die Summe in der Klammer den Wert 100000 erreicht hat überschreitet der Ausdruck (2) den Wert 1, das wiederum bedeutet, dass der Wurm das Ende des Fadens erreicht hat.

Die Anzahl n der Summanden, die in dem entsprechenden Teil der harmonischen Reihe auftreten, ist gleich der Anzahl der Sekunden N, die der Wurm unterwegs ist (auf eine Minute genau):

N = exp(100000 – Gamma)

Gamma = die Konstante von Euler-Mascharoni (http://de.wikipedia.org/wiki/Euler-Mascheroni-Konstante)= 0,57721 56649 01532 86060 65120 ...

Der User ICH hat den richtigen Ansatz gefunden. Die Konstante Gamma von Euler-Mascharoni fehlt bei ihm, aber das liegt vermutlich daran, weil er die Dehnung des Gummifadens als kontinuierlich angenommen hat. In der Aufgabenstellung ist die Dehnung aber diskontinuierlich.

M.f.G. Eugen Bauhof

P.S. Diese Knobelaufgabe habe ich dem Buch [1] entnommen.

[1] Martin Gardner
Mit dem Fahrstuhl in die vierte Dimension.
(http://www.amazon.de/Fahrstuhl-Dimension-Mathematische-Paradoxien-logische/dp/3810508268/ref=sr_1_1?s=books&ie=UTF8&qid=1395135050&sr=1-1)Frankfurt am Main 1991.
ISBN=3810508268

JoAx
18.03.14, 13:50
Bei der Frage mit "Füssen und EH" ist wichtig nicht nur ob, sondern auch wann. EH ist eine lichtartige Fläche. Die Augen sehen, wie die Füsse den EH überqueren, wenn sie selbst den EH überqueren.

JoAx
18.03.14, 19:08
Ich muss mich korrigieren.
Eigentlich ist die qualitative Frage - "Ob" - durch die quantitative Frage - "Wann" - zu ersetzen.

Bauhof
19.03.14, 11:08
Uli, du solltest dich da entspannen. Bin mir sicher, dass die Aufgabe sehr vertrackt ist und es bestimmt 90-99 % aller Physiker nicht gelingt, die auf Anhieb lösen können.

Hallo Marc,

ganz so vertrackt war die Aufgabe gar nicht.
Erstens musste man erkennen, dass der Wurm durch die Expansion des Gummifadens mitgeführt wird. Ähnlich so, wie die Galaxien durch die Universum-Expansion mitgeführt werden, obwoh sie sich nicht bewegen (so jedenfalls in der Standard-Kosmologie).

Zweitens musste man sich daran erinnern, dass es eine harmonische Reihe (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...) gibt, die zwar sehr langsam, aber doch über alle Grenzen wächst. Gerade mit der Divergenz dieser Reihe wird bewiesen, dass der Wurm das Ende erreicht.

Nach der Anzahl der dabei vergangenen Sekunden hatte ich gar nicht gefragt, weil ich diese auch nicht hätte ausrechen können. Im Buch war nur das Ergebnis dafür angegeben.

Keine Ahnung ob es dir weiterhilft. Aber ich hätte dich gerne als Lehrer. :)

Ich hätte auch Uli gerne als Lehrer.

M.f.G. Eugen Bauhof

Hawkwind
19.03.14, 11:16
Danke, das tut gut,. :)

BTW, es wird vermutlich nur mich interessieren, aber ich schreib es trotzdem mal.
Ich habe meinen Fehler erkannt, ich habe das Wachstum des Terms, der durch die Dehnung die "Beschleunigung" des Wurms ergibt (die "Summe"), drastisch überschätzt. So war schon


nach 3 Sekunden
t(3) = (100000 - 3 - 2 - 1) + 3*100000


falsch, denn der Wurm rückt beim dritten Schritt nicht um einen Faktor 3 auf dem Gummi vor, sondern um einen Faktor 3/2 und beim 4. Schritt nicht um einen Faktor 4 sondern um einen Faktor 4/3 etc.. Damit wird die Summation komplizierter und unschön. Angesichts der überzeugenden Lösungen von "Ich" und Gardner tue ich mir das nicht mehr an, diesen Weg weiter zu vefolgen.

Liess mir doch keine Ruhe.:)

Gruß,
Uli

Marco Polo
19.03.14, 11:41
Ich hätte auch Uli gerne als Lehrer.

Es müsste vorab aber so eine Art BVB-Exorzismus mit anschliessender Bekehrung zum S04 durchgeführt werden. Wäre zumindest meine Bedingung. :D

Ich
19.03.14, 14:32
Erstens musste man erkennen, dass der Wurm durch die Expansion des Gummifadens mitgeführt wird. Ähnlich so, wie die Galaxien durch die Universum-Expansion mitgeführt werden, obwoh sie sich nicht bewegen (so jedenfalls in der Standard-Kosmologie).Aber schöner ist es (http://www.astronews.com/forum/showthread.php?7150-Ausdehnung-des-Universums-Rotverschiebung-Quasar-CFHQS-J2329&p=98970#post98970), das Gummiband nicht expandieren zu lassen, sondern stattdessen die Geschwindigkeit des Wurms zu verringern. Das rechnet sich leichter. Erst so kommt man auf die harmonische Reihe.

Hawkwind
19.03.14, 16:10
Aber schöner ist es (http://www.astronews.com/forum/showthread.php?7150-Ausdehnung-des-Universums-Rotverschiebung-Quasar-CFHQS-J2329&p=98970#post98970), das Gummiband nicht expandieren zu lassen, sondern stattdessen die Geschwindigkeit des Wurms zu verringern. Das rechnet sich leichter. Erst so kommt man auf die harmonische Reihe.

Mir scheint, dann verliert das Beispiel aber viel von seiner Anti-Intuitivität. Es ist ja klar, dass der Wurm irgendwann ans Ziel kommen muss, solange er sich überhaupt noch bewegt.

Eugens Variante war schon verwirrender.

Ich
19.03.14, 16:17
Ja sicher, so war's auch nicht gemeint. Man stellt die Frage so wie Eugen, damit man die Leute verwirrt. Aber der Trick bei der Antwort ist, sie erstmal umzuformulieren. Mir ist das aufgefallen, als ich mal was kosmologisches rechnen wollte.
Es ist ja klar, dass der Wurm irgendwann ans Ziel kommen muss, solange er sich überhaupt noch bewegt.Nicht unbedingt. Wenn das Gummiband jedesmal verdoppelt würde, statt immer einen km dazuzutun, dann kommt der Wurm nicht bis zum anderen Ende. Das wäre ein exponentiell expandierendes Universum mit Horizont.

Bauhof
19.03.14, 16:45
Wenn das Gummiband jedesmal verdoppelt würde, statt immer einen km dazuzutun, dann kommt der Wurm nicht bis zum anderen Ende. Das wäre ein exponentiell expandierendes Universum mit Horizont.

Hallo ICH,

das trifft zu. Martin Gardner schreibt auf Seite 115 seines Buches folgendes:

Da sich der Wurm ständig vorwärts bewegt, muß er doch das Ende erreichen – oder nicht? Nein, das ist nicht unbedingt so. Man kann sich einem Ziel immer mehr nähern, ohne es jemals zu erreichen. Die Fortschritte des Wurmes entsprechen immer kleiner werdenden Bruchteilen der Fadenlänge. Die sich so ergebende Reihe kann unendlich sein und dennoch gegen einen Punkt kurz vor dem Ende des Fadens konvergieren. Das tritt in der Tat ein, wenn sich die Länge des Fadens nach jeder Sekunde verdoppelt.

M.f.G. Eugen Bauhof

Hawkwind
19.03.14, 19:28
...
Nicht unbedingt. Wenn das Gummiband jedesmal verdoppelt würde, statt immer einen km dazuzutun, dann kommt der Wurm nicht bis zum anderen Ende. Das wäre ein exponentiell expandierendes Universum mit Horizont.

Ich bezog mich damit auf deine Formulierung mit dem nicht-expandierenden Gummiband, da kann der Wurm so langsam werden wie er will, er wird das Ende erreichen sofern er nicht zur Ruhe übergeht.

Ich
19.03.14, 20:12
In der Formulierung kommt er gerade mal zwei Zentimeter weit, 1+1/2+1/4+1/8...
Das ist wie bei Zeno, er läuft unendlich viele Teilstücke und schafft doch nur eine endliche Strecke.

Hawkwind
20.03.14, 09:12
In der Formulierung kommt er gerade mal zwei Zentimeter weit, 1+1/2+1/4+1/8...
Das ist wie bei Zeno, er läuft unendlich viele Teilstücke und schafft doch nur eine endliche Strecke.

Stimmt ja auch wieder. Nicht nur die RT überfordert mich. :)