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Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : Zusammenhang zwischen Koordinaten und Observablen


Ich
06.01.15, 22:20
Ich wollte diese Anregung aufnehmen, ich finde das auch interessant:
In der SRT wird nun leider begrifflich kaum sauber zwischen Hilfskonstrukten (Koordinaten für Ort und Zeit, starren Maßstäben, ...) und Observablen (Eigenzeit) unterschieden. Warum? Weil's irgendwie doch immer wieder klappt. Das liegt an den Spezialitäten der SRT und rächt sich bitter in der ART.Das ist interessant. Wäre es was, ein Thema zu machen, das speziell dieser Problematik gewidmet wäre? Ungefähr so, dass im Eröffnungsbeitrag eine Liste mit Hilfskonstrukten und eine mit Observablen erstellt wäre, und dann ein Punkt nach dem anderen abarbeiten.

Hilfskonstrukt -> Warum?
Observable -> Wann ist diese exakt oder nahe zu mit dem Hilfskonstrukt identisch?

Grundsätzlich ist es in der ART ja so, dass Koordinaten einfach nur Zahlen sind, die man den Ereignissen zuordnet, um sie unterscheiden zu können. Einzige Einschränkung ist, dass die Zuordnung "glatt" genug ist, um darauf noch zweimal differenzieren zu können.
De Facto ist es aber so, dass die Koordinaten nicht vollkommen beliebig verteilt werden, sondern irgendeine Bedeutung haben. Diese ergibt sich zum Beispiel aus der Konstruktion, mit der man eine exakte Lösung gefunden hat, oder aus pragmatischen Gründen bei numerischen Berechnungen.
Um vernünftig mit der Relativitätstheorie umgehen zu können ist es m.E. nicht ausreichend, Koordinaten einfach als Zahlen abzutun, weil sie verschiedenerlei oder auch gar nichts bedeuten könnten. Man sollte vielmehr immer genau wissen, was sie bedeuten und was nicht.

In der SRT gibt es zwei grundlegende Konstruktionen von Koordinaten bzw. ihren Basisvektoren.
1. Ein Stückchen Eigenzeit eines unbeschleunigten Beobachters.
Man markiert zwei Ereignisse E1,E2 im Abstand einer Zeiteinheit. Der Vektor E1->E2 ist der Basisvektor für die Zeitkoordinate an diesem Ort. Koordinatenzeit entspricht also an diesem Ort dieser Eigenzeit. Die experimentelle Realisierung erfolgt trivial mit einer idalen Uhr.
2. Die "Einsteinsche Synchronisation".
Man braucht dafür Licht: man sendet zur Zeit t1 einen Lichtpuls von einem Ort zum nächsten, lässt ihn dort abprallen und fängt ihn dann zur Zeit t2 wieder auf. Man konstruiert das Ereignis E1, das zum Zeitpunkt (t1+t2)/2 beim ersten Beobachter liegt, und das Ereignis E2, das zum Abprallzeitpunkt beim Nachbarn liegt. Der Abstand der Ereignisse wird über die Lichtlaufzeit bestimmt, der Vektor E1->E2 (auf den Abstand normiert) ist der raumartige Basisvektor in die entsprechende Richtung. Die experimentelle Realisierung erfolgt wie schon beschrieben, das nennt sich "Radar" oder "Lidar", je nach verwendeter Wellenlänge.

Das Ganze lässt sich in flacher Raumzeit beliebig ausdehnen. Man kann in eine bestimmte Richtung alle Ereignisse konstanten Abstands markieren und wird finden, dass sie auch die Weltlinie eines unbeschleunigten Beobachters darstellen. Man kann die Koordinatenzeit des ursprünglichen Beobachters mittels der Synchronisation (2) auf diesen Beobachter übertragen und wird finden, dass sie wiederum mit dessen Eigenzeit zusammenfällt.
Die so gewonnenen Koordinaten sind die Standardkoordinaten in der SRT. Sie lassen sich auf Uhren und starre Meterstäbe zurückführen: Die Zeitkoordinate kann direkt an der entsprechenden Uhr abgelesen werden. Zwei Beobachter mit konstantem Abstand markieren die Endpunkte eines starren Meterstabs, dessen Länge über die Lichtlaufzeit definiert ist.

Erstmal genug davon. Der nächste Schritt wäre wohl, diese Definition auf beliebig gekrümmte Raumzeiten auszudehnen, um auch dort zu "Standardkoordinaten" zu kommen.

Gedanken, Aregungen?

Marco Polo
07.01.15, 01:11
Erstmal genug davon. Der nächste Schritt wäre wohl, diese Definition auf beliebig gekrümmte Raumzeiten auszudehnen, um auch dort zu "Standardkoordinaten" zu kommen.

Gedanken, Aregungen?

Vielleicht könnte man sich zunächst mal auf die SK der SM beschränken?

TomS
07.01.15, 08:40
Grundsätzlich ist es in der ART ja so, dass Koordinaten einfach nur Zahlen sind, die man den Ereignissen zuordnet, um sie unterscheiden zu können ... De Facto ist es aber so, dass die Koordinaten nicht vollkommen beliebig verteilt werden, sondern irgendeine Bedeutung haben ... Man sollte vielmehr immer genau wissen, was sie bedeuten und was nicht.
Zustimmung!

In der SRT gibt es zwei grundlegende Konstruktionen von Koordinaten bzw. ihren Basisvektoren.
1. Ein Stückchen Eigenzeit eines unbeschleunigten Beobachters ... Das Ganze lässt sich in flacher Raumzeit beliebig ausdehnen ... Die Zeitkoordinate kann direkt an der entsprechenden Uhr abgelesen werden.
Auch in der ART wird oft ein Koordinatensystem gewählt, in dem die Zeitkoordinate der lokalen Eigenzeit eines Beobachters entspricht. Diese Koordinatensysteme heißen "synchrone Koordinaten".

Wenn man andere Koordinatensysteme wählt, dient dies meist der mathematischen Vereinfachung von Gleichungen; die Anschaulichkeit bleibt dabei teilweise auf der Strecke, da die 0-Koordinate nicht mehr als Zeit eines Beobachters definiert werden kann (Bsp.: Kruskal–Szekeres Koordinaten).

Wählt man z.B. Schwarzschildkoordinaten, so entspricht die Koordinatenzeit t der Eigenzeit eines ruhenden Beobachters im Unendlichen. D.h. wenn ein Punkt der Raumzeit mit den Koordinaten (t,r, ...) für endliches r versehen wird, dann hat t nicht die Bedeutung der Eigenzeit für einen Beobachter bei r; die Schwarzschildkoordinaten sind keine synchronen Koordinaten.

TomS
07.01.15, 09:48
Da Ich das aufgegriffen hat, wollte ich nochmal kurz die Intention bzgl. meiner Aussage erläutern.

In der ART hantiert man mit vielen mathematischen Objekten, die nicht direkt messbar sind. Und man hantiert mit Objekten, die zwar messbar sind, jedoch beobachterabhängig. Man sollte dies sauber unterscheiden.

In der SRT gibt es m.E. diese Unterscheidung nicht. Man kann Koordinaten einführen, und man findet immer einen Beobachter, der genau diese Koordinaten als physikalische Länge und Zeit begreift. Gleiches gilt für Viervektoren und -tensoren, also z.B. für den Energie-Impuls-Vierervektor sowie den el.-mag. Feldstärketensor.

Dies trifft in der ART nicht mehr zu. Z.B. ist die Koordinatenzeit in Schwarzschildkoordinaten (s.o.) so prinzipiell nicht direkt messbar. Sie entspricht der Eigenzeit eines statischen Beobachters im Unendlichen, und der kann sie höchstens im Unendlichen direkt messen; bei endlichem räumlichen Abstand (oder endlicher Radialkoordinate) ist zwar wieder eine Zeitmessung als Eigenzeitmessung möglich, diese entspricht aber nicht der Schwarzschild-Koordinatenzeit (kann jedoch umgerechnet werden). Gleiches gilt für Komponenten von Vektoren und Tensoren höherer Stufe.

Es gibt nun in der ART ein recht abstraktes Konzept, das der sogenannten Tetraden / Vierbeine / Frame-Fields. So abstrakt es auch ist, es hat den Vorteil, dass es sozusagen ein bisschen der guten alten SRT zurückbringt, denn wenn mathematische Objekte wie Vektoren und Tensoren bzgl. dieser Tetraden ausgedrückt werden, dann entsprechen die Komponenten direkt den physikalisch messbaren Größen.

Die physikalische Bedeutung dieser Tetraden besteht darin, dass sie sozusagen als lokales Laborsystem eines Beobachters interpretiert werden können. Man stelle sich vor, dass ein Feld von (fast beliebig) bewegten Beobachtern die Raumzeit dicht ausfüllt; das könnte z.B. eine dichte Staubwolke sein, wobei jedes Staubteilchen einen Beobachter definiert. Jeder Beobachter definiert sein eigenes, lokales Laborsystem mittels vier Koordinatenachsen; die Zeitachse ist durch seine Bewegung festgelegt, die Raumachsen darf er beliebig rotieren. Lokal bedeutet, dass dieses Koordinatensystem sich mit ihm mitbewegt und nur bei ihm gilt! wird Diese Koordinatenachsen entsprechen gerade den Tetraden (diese spannen eine Basis im lokal definierten Tangentialraum auf).

Und bzgl. dieser Koordinatenachsen gelten lokal die Formeln der SRT, d.h. die Metrik entspricht wieder der der SRT. Zwischen unterschiedlich bewegten Beobachtern am selben Ort (!) transformiert man mittels lokalen Lorentztransformation (kompliziert wird's, wenn man zwischen den Koordinatensystemen benachbarter Beobachter wechseln will).

Die ART kann vollständig mittels dieser Tetraden und der auf sie bezogenen Größen formuliert werden. Damit hat man es (fast) ausschließlich mit prinzipiell direkt messbaren Objekten zu tun (daneben bietet diese Formulierung noch andere Vorteile). Die beiden eingangs genannten Unterscheidungen haben wir damit wie folgt aufgelöst: wir haben nicht-messbar Größen weitgehend eliminiert (die Tetraden sind selbst nicht messbar). Die beobachterabhängigen Größen sind direkt die Komponenten von Vektoren und Tensoren. Wechsel zwischen lokalen, jedoch unterschiedlich bewegten Beobachtern erfolgt durch lokale Lorentztransformation; diese transformiert auch direkt die messbaren Komponenten der Vektoren und Tensoren.

Hawkwind
07.01.15, 10:48
...
Und bzgl. dieser Koordinatenachsen gelten lokal die Formeln der SRT, d.h. die Metrik entspricht wieder der der SRT.
...


Ein in Foren beliebtes Thema ist ja auch die Energieerhaltung in der ART. Wenn ich recht verstehe, begründen deine Ausführungen oben auch, warum Energieerhaltung in der ART nur noch "lokal" gilt: sie ist eben nur noch lokal (d.h. in den SRT-konformen Tangentialräumen) definierbar.

TomS
07.01.15, 12:11
Jein.

Ich habe immer von Tensorkomponenten gesprochen. Das Problem in der ART ist, aus dem (lokalen und erhaltenen) Energie-Impuls-Tensor mittels Integration den Energieinhalt eines Volumens als Tensor / Tensorkomponente abzuleiten. Das Ergebnis kann i.A. kein Tensor sein!

Für Vektoren = Tensoren erster Stufe funktioniert das, z.B. für die Ladung.

Das Problem bei Tensoren zweiter Stufe ist die Struktur der kovarianten Ableitung. Das habe ich oben nicht angesprochen.

Marco Polo
07.01.15, 13:32
Auch im Falle von synchronen Koordinaten ist Vorsicht geboten. Wählt man z.B. Schwarzschildkoordinaten, so entspricht die Koordinatenzeit t der Eigenzeit eines ruhenden Beobachters im Unendlichen. D.h. wenn ein Punkt der Raumzeit mit den Koordinaten (t,r, ...) für endliches r versehen wird, dann hat t nicht die Bedeutung der Eigenzeit für einen Beobachter bei r!

Und wie ist das bei SK (Standard-Koordinaten) bei der SM (Schwarzschildmetrik)?

Dort ist ja der Abstand r1 zum EH der Abstand d (siehe Anhang).

Marco Polo
07.01.15, 13:37
Ganz genau so. Die Standard-Schwarzschild-Koordinaten sind lediglich ein Spezialfall synchroner Koordinaten.

Inwiefern?

Ich
07.01.15, 15:00
...wobei die Zeitkoordinate dann die Eigenzeit sein sollte, was für die SK nicht zutrifft.

TomS
07.01.15, 15:43
Sorry, tut mir sehr leid, ich hatte oben was falsches geschrieben; Korrekturen oben in Blau; weitere Beiträge in denen ich auf Basis des Fehlers weiter erklärt habe, habe ich gelöscht. Ich hoffe, die Verwirrung ist damit beseitigt.

In synchronen Koordinaten anspricht die Zeitkoordinate direkt der Eigenzeit eines mit dem Koordinatensystem mitbewegten Beobachters.