Fragen zu Tensoren

[The_Theorist]

Hallo,
ich habe (da ich das auf Wikipedia nicht ganz verstanden habe) einige Fragen zu Tensoren und wie man mit ihnen rechnet.
Hier sind sie (ich hoffe, die sind nicht zu dumm gestellt):
1. Was genau macht ein Tensor
2. Wie beschriebe ich ihn mathematisch
3. wie rechne ich mit ihm?
Vielen Dank im Voraus.
Gruß

[TomS]

Fangen wir mal ganz von vorne an. Ein Skalarfeld ist eine einzige Größe, die einem Punkt x zugeordnet wird. Z.B. ist die Temperatur T in einem Bereich des Raumes ein Skalarfeld T(x). Ein Vektor ist eine gerichtete, mehrkomponentige Größe. Z.B. ist die Geschwindigkeit v einer Strömung ein Vektorfeld v(x).

Ein Tensor ist nun eine weitere Verallgemeinerung dieses Konzepts. Ein Skalar bzw. ein Vektor sind Tensoren nullter bzw. erster Stufe. Die Kombination aus elektrischem und magnetischen Feld kann zu einem Tensor zweiter Stufe zusammengefasst werden. Dazu benötigt man zwei Indizes für 4 * 4 Komponenten. Dieser Tensor sieht also aus wie eine Matrix.

Insbs. in der ART kommen auch noch Tensoren höherer Stufe vor.

[The_Theorist]

vielen dank,
also ist beispielsweise die Masse im Punkt x M(x) ein Skalarfeld, weil sie nur eine einzige Größe ist (kg) und Zeit ist ein Vektor, weil sie gerichtet ist, wenn ich das richtig verstanden habe.
Und mit einem Tensor rechne ich also wie mit einer Matrix, wenn ich ihn definiert habe?
Gruß

[TomS]

vielen dank,
also ist beispielsweise die Masse im Punkt x M(x) ein Skalarfeld, weil sie nur eine einzige Größe ist (kg) und Zeit ist ein Vektor, weil sie gerichtet ist, wenn ich das richtig verstanden habe.
Und mit einem Tensor rechne ich also wie mit einer Matrix, wenn ich ihn definiert habe?
Gruß
Es würde sich um die Massendichte im Punkt x handeln. Die Masse m[V] wäre nur für ein Volumen definiert, d.h. als Integral über die Massendichte.

Die Zeit für sich alleine ist kein Vektor. Bei Newton wäre sie ein Skalar. Bei Einstein ist sie eine Komponente eines 4er-Vektors (t,x).


Mit einem Tensor zweiter Stufe rechnest du teilweise wie mit einer Matrix, z.B. wenn du ihn mit einem Vektor multiplizierst, oder mit einem anderen Tensor.

...

[TomS]

Aber nicht jede Matrix ist ein Tensor. Letzterer weist unter Transformationen ein ganz bestimmtes Transformationsverhalten auf, z.B. gilt für 4er-Vektoren und -Tensoren in der SRT die Lorentz-Transformation.

[Ich]

Aber nicht jede Matrix ist ein Tensor. Letzterer weist unter Transformationen ein ganz bestimmtes Transformationsverhalten auf, z.B. gilt für 4er-Vektoren und -Tensoren in der SRT die Lorentz-Transformation.Das trifft auch für "Skalare" zu. Nicht jede Zahl ist ein Skalar, sondern nur solche, die sich bei Transformationen nicht ändern.
Die Massendichte ist z. B. in der Newtonschen Theorie (d.h. bezüglich der Galileo-Transformation) ein Skalarfeld: sie ist immer gleich, egal in welchem Bezugssystem sie betrachtet wird.
In der SRT ist sie kein Skalar, sondern die (0,0)-Komponente des Energie-Impuls-Tensors. Wir reden hier auch eher von einer Energiedichte, zu der die Ruhemasse gemäß E=mc² dazuzählt.
Diese ändert sich, wenn sie in einem bewegten Bezugssystem betrachtet wird: Die Energie in einem Volumenelement wird größer (relativistische Massenzunahme bzw. kinetische Energie), das Volumenelement wird durch die Längenkontraktion kleiner. Die Energiedichte wächst also mit dem Quadrat des Gammafaktors.

[JoAx]

In der SRT ist sie kein Skalar,
Das ist sie auch da. Siehe diesen Thread:
Äquivalenz von Energie und Masse (http://www.quanten.de/forum/showthread.php5?t=2423)
bzw. diesen Artikel:
concep of mass (http://www.google.de/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&uact=8&ved=0CCkQFjAAahUKEwjK7Pyqu-jGAhXIshQKHY0SA74&url=http%3A%2F%2Fwww.itep.ru%2Ftheor%2Fpersons%2Fl ab180%2Fokun%2Fem_3.pdf&ei=N0KsVYr1DcjlUo2ljPAL&usg=AFQjCNEqtWq6w4BPNt3gZAooAxTdB9KYTw)

Gruß

[TomS]

Das ist sie auch da.
Nein, das ist sie nicht.

Dort geht es um die invariant Ruhemasse (und die Äquivalenz zur Ruheenergie).

Ich spricht dagegen von der Massendichte bzw. Energiedichte. Und die ist eben kein Skalar sondern die 00-Komponente des Energie-Impuls-Tensors.

Und übrigens ist es in der ART i.A. nicht möglich, aus dieser Dichte durch Integration wieder eine Energie zurückzugewinnen; dies gelingt nur in Spezialfällen.

[JoAx]

Ich spricht dagegen von der Massendichte bzw. Energiedichte.


Stimmt! Hast recht. :)