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Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : Symmetrische Zahlen


soon
03.08.15, 08:59
Der Thread, aus dem das Zitat stammt, ist geschlossen, deshalb dieser neue Thread.

... , can you multiply triplets?

yes, I can

3 * 3 = 6 + 3'

3 * 3' = 1 + 8

' means "bar"


Mit 'triplets' sind Zahlen gemeint, die aus drei Teilen bestehen, also etwas zwischen komplexen Zahlen (zwei Teile) und Quaternionen (vier Teile).

Well, Papa, Can You Multiply Triplets? (http://math.univ-lyon1.fr/~ovsienko/Publis/Papa.pdf)

Ich hatte mich früher mal damit beschäftigt, als ich meinen ersten Computer hatte. Die Arbeit daran hatte ich unterbrochen, als ich ein zufriedenstellendes Zwischenergebnis hatten (auweia, - das war vor fast 30 Jahren).

Ich konnte mit meiner Zahlenkonstruktion die Mandelbrotmenge dreidimensional berechnen und grafisch darstellen. Das Ergebnis ist ein Hyperboloid, - mein Avatar zeigt eine Ansicht in der xy-Ebene, in der yz-Ebene zeigen sich Kreisscheiben und Ringe.

Diese Zahlenkonstruktion nannte ich 'Symmetrische Zahlen', 'symmetrisch' deshalb, weil die Multiplikationsegel, anders als bei komplexen Zahlen, symmetrisch ist, also 3*3=9, -3*-3 = -9 (eindimension; die Konstruktion war konsistent erweiterbar über n Dimensionen).

Abgesehen davon, dass das Kommutativgesetz der Multiplikation nicht mehr gilt (fand ich ok), war ich bzgl. irgendeiner Sache unzufrieden; deshalb ist das noch eine offene Baustelle.

LG soon

TomS
03.08.15, 09:30
Mit 'triplets' sind Zahlen gemeint, die aus drei Teilen bestehen, also etwas zwischen komplexen Zahlen (zwei Teile) und Quaternionen (vier Teile).
Aha, OK, hatte ich anders aufgefasst.

Meine Antwort bezog sich auf das Tensorprodukt der Fundamental- bzw. Triplet-Darstellung der SU(3), aus der nach den o.g. Regeln die höheren Multiplets folgen. Für SU(3)-Flavor folgen mit Quark (3) und Antiquark (3') direkt ein Singulet (1, eta') sowie das Meson-Oktett (8). Für zwei Quarks folgt kein Color-Singulet, weshalb nicht zwei sondern drei Triplets benötigt werden.

Nun kann ich mich jedoch wieder erinnern, dass dies die Frage des kleinen Hamilton an seinen Papa war, der die komplexen Zahlen erweitern wollte. Wie wir inzwischen wissen (weil's der Papa herausgefunden hat), funktioniert die Konstruktion eines Schiefkörpers nicht für 3- sondern lediglich für 4-Tupel, die sogenannten Quaternionen; eine nochmalige Erweiterung scheitert an der Assoziativität; verzichtet man auf diese, gelangt man zu den Oktonionen.

soon
03.08.15, 10:15
TomS, Dir ist klar, dass hier kaum jemand Deine Beiträge dieser Art versteht, oder?


Obwohl ich eigentlich nichts davon verstehe, versuche ich mal etwas Kontext aufzuzeigen:

Aus:Richard P. Feynman
Es ist so einfach
Vom Vergnügen, Dinge zu entdecken

...
Omni: Noch etwas passiert in der heutigen Physik offenbar
ziemlich häufig: Die Entdeckung irgendwelcher Anwendungs-
möglichkeiten in Bereichen der Mathematik, die vorher als »reine«
Wissenschaft galten, etwa Matrixalgebra oder Gruppentheorie.
Sind Physiker jetzt aufgeschlossener als früher? Ist die zeitliche
Verzögerung geringer?
Feynman: Es hat nie so etwas wie eine Verzögerung gegeben.
Nehmen Sie nur die Quaternionen von Hamilton*: Den Großteil
dieses ungeheuer aussagekräftigen mathematischen Systems
ließen die Physiker unter den Tisch fallen und behielten nur
den Teil bei – den mathematisch belanglosesten –, der zur Vektor-
analysis wurde. Doch als man die ganze Aussagekraft der Qua-
ternionen für die Quantenmechanik brauchte, hat Pauli das
System auf der Stelle in anderer Form neu erfunden. Sie können
jetzt zurückblicken und sagen, Paulis Spinmatrizen und -operato-
ren seien nichts anderes gewesen als Hamiltons Quaternionen ...
aber selbst wenn Physiker neunzig Jahre lang das System im
Kopf behalten hätten, mehr als ein paar Wochen hätte das nicht
ausgemacht.


* (Der irische Mathematiker Sir William Rowan Hamilton (1805–1865)
erfand die Quaternionen, eine alternative Theorie zur Tensor- und
Vektoranalysis (Anm. d. Hrsg.)

Zur Problematik der Quadrierung bzw. Multiplikation negativer Zahlen:
Link (http://www.weltderphysik.de/gebiete/theorie/quanteneffekte/quantenfeldtheorie/)

Quantenfeldtheorie – was ist das?

Die Quantenfeldtheorie stellt eine Synthese der Speziellen Relativitätstheorie und der Quantentheorie dar – also der beiden großen Theorien, die am Anfang des 20. Jahrhunderts entstanden.

Die Spezielle Relativitätstheorie beschreibt Raum und Zeit, die Quantentheorie dagegen das Verhalten von subatomaren Teilchen. Als Physiker versuchten die beiden Theorien zu vereinen, traten unvermeidlich Lösungen mit negativen Energien auf. Es dauerte fünfzig Jahre, bis sie alle sich daraus ergebenden Konsequenzen konsistent interpretieren und alle scheinbaren Widersprüche und Paradoxa auflösen konnten.

Auch ohne in die mathematischen Details einzusteigen, lässt sich verstehen, warum das Problem der negativen Energien auftritt. Die wohl bekannteste Gleichung der Physik ist die Einsteinsche Beziehung zwischen der Energie und Masse eines Teilchens: Energie ist gleich Masse mal Quadrat der Lichtgeschwindigkeit. Doch diese einfache Beziehung gilt nur, solange sich das Teilchen in Ruhe befindet. Bewegt sich das Teilchen, so kommen weitere Terme hinzu. Problematisch dabei ist, dass die Energie nun quadratisch auftritt. Denn auch das Quadrat einer negativen Zahl ist positiv und aus diesem Grund hat die Gleichung stets zwei Lösungen – eine mit positiver Energie und eine mit negativer Energie. In der Speziellen Relativitätstheorie kann man einfach fordern, dass nur die positiven Lösungen gültig sind. In der Quantenmechanik geht dies jedoch nicht: Hier sind beide Lösungen gleichberechtigt und jeder Versuch, die eine Sorte zu verbieten, führt zu unlösbaren Widersprüchen.LG soon

TomS
03.08.15, 12:16
TomS, Dir ist klar, dass hier kaum jemand Deine Beiträge dieser Art versteht, oder?

Obwohl ich eigentlich nichts davon verstehe ...
na ja, ich dachte, wenn das deine Signatur ist ...