Deltadistribution

[Hamilton]

Ich bin grad auf ein Problem gestoßen:

Was kann man über delta(x)² sagen?

Ist Integral{ delta(x-x') delta(x-x') F(x') dx' } auch einfach = F(x)? oder gibt es da ein Problem ?

[Uli]

Ich bin grad auf ein Problem gestoßen:

Was kann man über delta(x)² sagen?

Ist Integral{ delta(x-x') delta(x-x') F(x') dx' } auch einfach = F(x)? oder gibt es da ein Problem ?

Etwas andere "Delta-Quadrate" bei physikalischen Problemen sind mir mehr von 2-fach Integrationen her in Erinnerung - so was wie

Integral{ delta(y'-y) delta(x'-x) F(x',y') } dx' dy'

da ist dann alles wohldefiniert.
Wie kommst du auf deine Frage ?
Steht da ein physikalisches Problem dahinter ?

[Hamilton]

Ja, natürlich. Aber das Problem hat sich inzwischen erledigt.

Der Hintergrund war, dass ich die Norm von delta(x-x*') ausrechnen wollte. Die war so definiert, dass || A || = sup{ ||A Psi|| , || Psi || = 1}, wobei mit || Psi || die normale L²-Norm gemeint war. Und die ist ja über das Skalarprodukt bzw. über das Integral über das Betragsquadrat definiert.

Letztenendes ergab sich, dass man die Norm von d(x-x') gar nicht ausrechnen musste, weil es nicht der Operator selbst, sondern der Integralkern des Operators war.

Trotzdem bleibt die Frage interessant, ob delta(x-x')² das Gleiche ist wie delta(x-x').

[zeitgenosse]

Ein paar Anmerkungen zu den Distributionen aus der Sicht des Praktikers

Der Techniker spricht lieber von Funktionen (auch wenn die Delta-Distribution streng genommen keine Funktion im herkömmlichen Sinne ist).

Ohne mathematische Strenge im verbalen Ausdruck somit:

Stammfunktion der Dirac'schen Deltafunktion ist die Heaviside'sche Sprungfunktion.

Anders gesagt: (d/dx) Θ(x) = δ(x)

Umfassender lässt sich der Sachverhalt wie folgt ausdrücken:

Gegeben sei eine sog. Knickfunktion := K(x - ξ)

Diese kann man sich bildlich aus zwei gegensinnigen Rampenfunktionen zusammengesetzt denken, welche sich auf der Abszisse bei x = 0 begegnen.

Deren 1. Ableitung ist die Heaviside-Funktion := Θ(x - ξ)

Deren 1. Ableitung wiederum ist das Dirac-Delta := δ(x - ξ)

Integration (Fläche unter dem Peak mit Integrationsgrenzen -∞ bis ∞) ergibt:

Int δ(x - ξ)dx = 1

In der Regelungstechnik werden Distributionen somit auch benötigt. In der Delta-Distribution sind ja alle Frequenzen gewissermassen mitenthalten. Im Idealfall ist der Eingangspeak unendlich hoch und unendlich schmal. Physikalisch lässt sich dies nur näherungsweise realisieren. Ein "Diracstoss" wird approximativ durch einen Nadelimpuls verkörpert. Nun schaut man, welche Impulsantwort daraus resultiert. In der Akustik lässt sich ein Diracstoss näherungsweise durch ein kurzes und kräftiges Klatschen nachbilden. Je schmaler der Peak, um so grösser die erforderliche Bandbreite der Übertragungsstrecke.

Einfacher ist es nun aber, eine Sprungfunktion (Heaviside-Funktion) zu erzeugen, indem ich den Signalpegel am Eingang eines Regelkreisgliedes abrupt erhöhe. Gebe ich bspw. einen derartigen Pegelsprung auf ein PT1-Glied (Tiefpass), lässt sich am Ausgang sehr schön ein exponentieller Anstieg beobachten:

a(t) = A(1 - e^-t/τ)

Der Verlauf der Sprungantwort entspricht in diesem Fall einer Sättigungsfunktion. Sprungfunktionen gehören zu den wichtigsten Testfunktionen in der Regelungstechnik.

Erstaunlich ist für mich immer wieder, wie schön sich die obigen Distributionen in praxi durch reale Signale mittels Rampengenerator, Pegelhub und Nadelimpuls nachbilden lassen.

Gr. zg

[richy]

Ist Integral{ delta(x-x') delta(x-x') F(x') dx' } auch einfach = F(x)?

Ist mit delta(x) der Diracimpuls gemeint ?
und meintest du nicht eher :
Ist Integral{ delta(x-x') delta(x-x') F(x) dx } auch einfach = F(x') ?

@zg
Mit der Impulsantwort ist im linearen Fall sogar die komplette Systemuebertragungsfunktion im Zeitbereich gegeben. Faltet man diese
mit einer Anregungsfunktion erhaelt man die zugehoerige Ausgangsfunktion.
Der Weg ist aber umstaendlicher als eine Loesung im Frequenzbereich.

Betrachte ich delta als Funktion sehe ich fuer delta(x-x')^2 schon Schwierigkeiten.

[zeitgenosse]

Betrachte ich delta als Funktion sehe ich fuer delta(x-x')^2 schon Schwierigkeiten.

Damit dürftest du nicht Unrecht haben. :p

So gibt es bekanntlich auch die sog. Dipolfunktion := δ'(x - ξ)

Nicht zu verwechseln mit der Deltafunktion (bis auf das Hochkomma ist die Schreibweise identisch)!

Beide sind in zwei Differentialgleichungen für die Deltafunktion miteinander verknüpft:

a) xδ'(x) + δ(x) = 0

bzw.

b) |x|δ'(x) + 2Θ(x)δ(x) = 0

Würde man nun probeweise das Quadrieren der Deltafunktion zulassen, bekäme man daraus die problematischen Gleichungen:

a) x[dδ(x)^2/dx] + 2δ(x)^2 = 0

bzw.

b) δ(x)^2 = -(d/dx) [xδ(x)^2]

Integration (von -∞ bis ∞) lieferte dann:

Int δ(x)^2 dx = 0

Und das wäre echt problematisch!

Gr. zg

[zeitgenosse]

Spätgedanken zum "Dirac-Delta":

Die "Diracfunktion" (eine Distribution) ist dadurch ausgezeichnet, dass sich ein Funktionswert nicht durch das Einsetzen eines Argumentes ergibt wie bei einer "klassischen Funktion", sondern durch Ausführen einer Rechenvorschrift.

per definitionem ist:

δ(t) = 0 wenn t ≠ 0

Int δ(t) dt = 1 wenn die Integrationsgrenzen sich beidseitig ins Unendliche erstrecken

Für den Fall t = 0 ist der Funktionswert streng gesehen unbestimmt!

Vereinfacht lässt sich die Diracfunktion als Peak mit der Fläche 1 vorstellen. Der Scheitelwert hat die Höhe 1 und die Breite T_o. Multipliziert man die Funktion mit 1/T_o und lässt anschliessend T_o gegen Null gehen, erhält man einen "Rechteckimpuls" δ(t), welcher unendlich hoch und unendlich schmal ist. Graphisch wird diese Distribution in der Signaltheorie somit durch einen senkrechten Pfeil der Einheitslänge 1 dargestellt.

Deshalb kann man auch sagen, dass die Diracfunktion nur dort existiert, wo ihr Argument verschwindet.

Aus der Fouriertransformation folgt ferner, dass der "Diracstoss" alle Frequenzen enthält, die man sich denken kann.

Gr. zg

[Hamilton]

Ist Integral{ delta(x-x') delta(x-x') F(x') dx' } auch einfach = F(x)?

Ist mit delta(x) der Diracimpuls gemeint ?
und meintest du nicht eher :
Ist Integral{ delta(x-x') delta(x-x') F(x) dx } auch einfach = F(x') ?


Nun, das ist genau das gleiche, findest Du nicht?

[richy]

Hi Hamilton

Nun, das ist genau das gleiche, findest Du nicht?

Die Schreibweise finde ich ungewohnt.
delta(x-x') betrachte ich zunaechst mal als einen Impuls auf der x Achse an der Stelle x'. x waere also die unabhaengige Variable ueber die ich integriere. Natuerlich kann ich dies auch anders interpretieren.
Fuer deine Fragestellung :

Ist Integral{ delta(x-x') delta(x-x') F(x') dx' } auch einfach = F(x)?

waere delta(-x'+x) die fuer mich gewohnte Schrebweise.
Im Falle der Deltafunktion ist es aber tatsaechlich das Selbe.

Maple liefert fuer das Integral uebrigends eine Fehlermeldung.