Kommutatoren - Hamiltonoperator

[FigureOfMerit]

Ich habe die Formel für den Hamiltonoperator gegeben mit h=(p^2/2m)+V(x)

Berechnet werden sollen die Kommutatoren

[x,H]
[p,H]
[x^2,H]
[p^2,H]

Das ganze soll auf eine Funktion f(x) angewendet werden

Bekannt ist [a,b] = ab - ba

Also
[x,H] = xH - Hx

Angewendet auf eine Funktion:

[x,H]f(x) = (xH - Hx)f(x)
= xH'(x) - H{xf(x)}
= xH'(x) - ???

Hier bleibe ich hängen, da ich nicht weiß wie ich das umformen soll. Letzte Woche hatten wir bei den Kommutatoren anstatt H ein d/dx, da kann man ja einfach mit der Produktregel arbeiten, aber hier habe ich ja keine Ableitung.

Ich bin für jeden Hinweis dankbar!

[TomS]

Natürlich hast du in H eine Ableitung

p = -i d/dx
H = p²/2m + ...

(wenn du das gerne mit Ableitung rechnen möchtest, es geht auch anders)

[FigureOfMerit]

Wie könnte man das denn ohne Ableitung rechnen?

[TomS]

Wenn du die einzelnen Kommutatoren wie [A,X] kennst, dann kannst du Kommutatoren von Termin wie [ABC..., XYZ...] durch iteriertes Anwenden von

[A,XY] = [A,X]Y + X[A,Y]

berechnen. Dabei benötigst du kein Objekt, auf das der Kommutator wirkt, also kein [A,B]f. Wenn natürlich A,...,X,Y,... speziell Operatoren wie x oder d/dx sind, dann stimmen die Ergebnisse überein.