Frage zur Newtonschen Feldgleichung

[Galaktron]

Hallo ich habe eine Frage zur Newtonschen Feldgleichung:

△Φ(x) = 4πGρ(x).

Wenn die Dichte an jedem Ort x, der sich im Vakuum befindet, den Wert 0 annimmt, dann müsste doch der Laplace-Opretaor angewandt auf das Gravitationspotential an allen Punkten im Vakuum ebenfalls 0 ergeben,
- tut er doch aber nicht wenn sich der Ort x in der Nähe einer Masse
befindet, oder doch ??

bzw. ist denn ρ(x) nicht die Massendichte am Ort x , also Null im Vakuum ?

Vielen Dank & Gruss
G.

[JoAx]

Hi!

bzw. ist denn ρ(x) nicht die Massendichte am Ort x , also Null im Vakuum ?


Wie ist ρ(x) definiert? Wie lautet die Formel zur Bestimmung?

[Hawkwind]

Hallo ich habe eine Frage zur Newtonschen Feldgleichung:

△Φ(x) = 4πGρ(x).

Wenn die Dichte an jedem Ort x, der sich im Vakuum befindet, den Wert 0 annimmt, dann müsste doch der Laplace-Opretaor angewandt auf das Gravitationspotential an allen Punkten im Vakuum ebenfalls 0 ergeben,
- tut er doch aber nicht wenn sich der Ort x in der Nähe einer Masse
befindet, oder doch ??

bzw. ist denn ρ(x) nicht die Massendichte am Ort x , also Null im Vakuum ?

Vielen Dank & Gruss
G.

Man sollte beachten, dass es sich um eine vektorielle Gleichung handelt. Statt dem skalaren x sollte dort der 3-dim. Vektor x oder das Triple (x,y,z) stehen. Und der Laplace-Operator wäre dann z.B. in kartesischen Koordinaten

https://upload.wikimedia.org/math/d/1/1/d112bb8832f2a1d4bd4de44bb7a2f96b.png

Für den trivialen Fall, dass an allen Orten (x,y,z) die Dichte 0 ist (keine Quellen), hast du sicher recht und
Φ(x,y,z) = 0
für alle (x,y,z) wäre eine Lösung.

Wenn du nun an einem ausgewählten Raumpunkt eine Masse setzt (etwa ein diskreter Massenpunkt, dessen Dichte durch eine Delta-Funktion beschrieben werden könnte), dann bekommst du ja ein Coulomb-artiges Potenzial als Lösung, das erst im Unendlichen gegen Null geht. Das zeigt, dass deine Intuition hier nicht passt. So eine Dgl., die will erstmal gelöst werden. :)

[Galaktron]

Danke für Eure Antworten!

Hallo JoAx,

Ich hätte gedacht:
Die Dichte ist definiert als Masse m pro Volumen V. Die Dichte an einem
Punkt ist also die Ableitung dm nach dV.
Also 0 im Vakuum.

Kann ja aber nicht sein denn sonst wäre ja △Φ(x) ebenfalls 0 im
Vakuum.

Anscheinend gibt es einen Unterschied zw. Dichte ρ und Dichtefunktion
ρ(x) den ich nicht verstehe.

Anders gefragt:
welchen Wert hat zB ρ(x) wenn x ein Ort im Vakuum ist welcher sich in
75000 km Entfernung von einer Masse befindet, die die grösse der Erde
hat, ist dann die Dichte an dem Ort nicht 0 ?


Hallo Hawkwind,

Ja !!!

Aber was ist wenn die Dichte nur an einem Punkt 0 ist und wo anders
nicht, dann steht doch in der Gleichung trotzdem noch:

△Φ(x,y,z) = 0 denn 4πGρ(x,y,z) = 0 da ρ(x,y,z) = 0

oder nicht ?

[TomS]

Dichte bzw. Dichtefunktion ρ sind identisch. Es handelt sich um eine Funktion des Ortes. Die Masse M[V] innerhalb eines Volumens V folgt durch Integration von ρ über das Volumen V (es ist umgekehrt nicht sinnvoll, ρ aus M ableiten zu wollen).

Im Vakuum gilt ρ = 0.

Aus △Φ = 0 folgt nicht notwendig Φ = 0.

Aus ρ = 0 innerhalb eines bestimmten Volumens folgt nicht notwendig Φ = 0 innerhalb dieses Volumens.

Es existieren nicht-verschwindende, sogenannte harmonische Funktionen u mit △u = 0 (global, d.h. in jedem Punkt).

Eine Punktmasse im Ursprung r = 0 führt zu Φ(r) = a/r + u, wobei a eine Konstante und u eine derartige harmonische Funktion sind. Zusammen mit den üblichen Randbedingungen im Unendlichen folgt zwingend u = 0 sowie das bekannte Potential Φ(r) = a/r.

Dass Φ(r) = a/r eine Lösung von △Φ = 0 (außer für r = 0!) darstellt, folgt durch triviales Ausrechnen (siehe Hawkwinds Beitrag). Der Punkt r = 0 muss gesondert betrachtet werden (Delta-Distribution!)

[Galaktron]

Hallo TomS,

vielen Dank, das hilft mir weiter !

:)