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Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : metrischer Tensor


ghostwhisperer
22.01.16, 19:30
Hallo!
Isch hätte da mal bitte ne Frage :)
Ich kenn einige Beispiele, bei denen sich Metrik-Koeffizienten invers zueinander verhalten:
äussere Schwarzschild-Metrik: grr = 1/gtt
Gravitationswellen zB in Z-Richtung: hxx ungefähr 1/hyy
in der SRT aus einer konst Sicht: nx = 1/nt
Gilt das auch ganz allgemein unter jedem Umstand für den Metrik-Tensor?
Worunter firmiert das ? Determinante der Metrik oder was anderes?
DANKE!
ghosti

TomS
23.01.16, 08:16
Nein, das gilt i.A. nicht.

Der metrische Tensor ist symmetrisch, hat ein Inverses, und kann durch Koordinatentransformationen lokal au die Form (1,-1,-1,-1) gebracht werden.

ghostwhisperer
23.01.16, 10:43
Nein, das gilt i.A. nicht.

Der metrische Tensor ist symmetrisch, hat ein Inverses, und kann durch Koordinatentransformationen lokal au die Form (1,-1,-1,-1) gebracht werden.
Äh klar. Die Metrik ist ja in Wirklichkeit relativ, und zB ein mitbewegter Beobachter hat aus seiner Sicht die ungestörte Metrik (wie unten mein Spruch :) )
Verschiebt sich dann alles?
Haben die Koeffizienten der transformierten Basis dann immer noch lokal das inverse Verhalten (1/1 ist auch 1... ich meine aber in einem gew. Abstand zum neuen Ursprung der Koord.) ?
Anders gefragt: welche Größe eines Metrik-Tensors ist invariant? Determinante, Signatur ...?
Findet sich die Inversion ev irgendwie in den Ableitungen wieder, besonders im immer gleichen lokalen Krümmungstensor?

NACHTRAG! Also, das Wegelement ds^2 ist eine Invariante, egal wohin ich den Ursprung einer Metrik lege. Damit ändert sich meine Fragestellung:
Gibt es Lösungen der ART, bei denen eine Krümmung zu einem RELATIVEN Verhalten einer Metrik führt, deren Koeffizienten sich nicht invers zueinander Verhalten, deren Determinante also ungleich +- 1 ist ?
Ich kenne keine...
Sicherlich ist das Verhalten im allgemeinsten Fall nicht so leicht ersichtlich, aber man kann eine Metrik immer diagonalisieren und dann wird es einfacher ihr Verhalten zu bestimmen.

Ich hab mir mal die Mühe gemacht, das Verhalten eines Vierervolumen-Elementes zu bestimmen: in den oben genannten Fällen ist dV4 immer eine Invariante! Und genau das ist der Grund warum ich frage..
Denn eine Invarianz eines dV4 korreliert mit einer Invarianz einer Wirkung H.
Wenn ich mich nicht irre, ist das auch die Bedeutung der sogenannten Einstein-Hilbert-Wirkung.

MfG ghosti

ghostwhisperer
09.02.16, 20:56
Ist die Antwort zu schwierig?

Ich
10.02.16, 11:45
Gibt es Lösungen der ART, bei denen eine Krümmung zu einem RELATIVEN Verhalten einer Metrik führt, deren Koeffizienten sich nicht invers zueinander Verhalten, deren Determinante also ungleich +- 1 ist ?
Ich kenne keine...Klar gibt's welche, z.B. FRLW (https://de.wikipedia.org/wiki/Friedmann-Lema%C3%AEtre-Robertson-Walker-Metrik)und Rindler (https://en.wikipedia.org/wiki/Rindler_coordinates). Ich denke, dass die Determinante -1 einfach praktisch ist für irgendwelche Herleitungen oder so, aber keine tiefere physikalische Bedeutung hat.

ghostwhisperer
10.02.16, 20:00
Klar gibt's welche, z.B. FRLW (https://de.wikipedia.org/wiki/Friedmann-Lema%C3%AEtre-Robertson-Walker-Metrik)und Rindler (https://en.wikipedia.org/wiki/Rindler_coordinates). Ich denke, dass die Determinante -1 einfach praktisch ist für irgendwelche Herleitungen oder so, aber keine tiefere physikalische Bedeutung hat.

Mh, schade! Ich hatte gehofft, dass die tiefere Bedeutung im Wirkungsprinzip liegt..

TomS
10.02.16, 20:16
Die Determinante det g hat selbst keine Bedeutung.

Sie transformiert außerdem nicht-trivial unter Koordinatentransformationen; zusammen mit d^4x folgt das skalare Volumenelement

dV = det^1/2 |g| * d^4x

Ich
12.02.16, 15:44
...und prompt haben wir hier (http://www.quanten.de/forum/showthread.php5?p=80841#post80841) AE, der von der tiefen physikalischen Berechtigung einer Koordinatenwahl mit konstanter Determinante spricht.
Wie auch immer...

TomS
12.02.16, 21:06
Das ist doch nur eine spezielle Eichung, oder?

Ich
12.02.16, 21:32
Ja, schon. Aber wie bei Eichungen auch hat's da wohl spezifische Vorteile, die Einstein zu dieser Aussage bringen. Er hat das auch schon in seiner Originalveröffentlichung oBdA verwendet.
Ich bin mir nicht sicher, was der Vorteil ist. Vielleicht irgendwas mit Energie/-Impulserhaltung?

TomS
13.02.16, 09:02
Ja, schon. Aber wie bei Eichungen auch hat's da wohl spezifische Vorteile, die Einstein zu dieser Aussage bringen. Er hat das auch schon in seiner Originalveröffentlichung oBdA verwendet.
Ich bin mir nicht sicher, was der Vorteil ist. Vielleicht irgendwas mit Energie/-Impulserhaltung?
So wie ich AE lese, eliminiert diese Bedingung "Gravitationswellen, die keine Energie tragen". Ich gebe aber zu, ich müsste da erst selbst wirklich nachrechnen, um's zu verstehen ...

Marco Polo
13.02.16, 13:57
So wie ich AE lese, eliminiert diese Bedingung "Gravitationswellen, die keine Energie tragen". ...

Was sind Gravitationswellen, die keine Energie tragen?

Timm
13.02.16, 14:57
Was sind Gravitationswellen, die keine Energie tragen?
Ganz einfach, Marc:

http://articles.adsabs.harvard.edu/cgi-bin/get_file?pdfs/SPAW./1916/1916SPAW.......688E.pdf, Seite 696.

Nachtrag. Das seltsame Ergebnis, daß Gravitationswellen existieren
sollen, welche keine Energie transportieren (Typen a, b, c),
klärt sich in einfacher Weise auf. Es handelt sich nämlich dabei nicht
um «reale« Wellen, sondern um »scheinbare« Wellen, die darauf beruhen,
daß als Bezugssystem ein wellenartig zitterndes Koordinatensystem
benutzt wird.
Aber erwarte bitte nicht, daß ich das näher erkläre.

Marco Polo
13.02.16, 15:06
Ganz einfach, Marc:

http://articles.adsabs.harvard.edu/cgi-bin/get_file?pdfs/SPAW./1916/1916SPAW.......688E.pdf, Seite 696..

So einfach ist es dann auch wieder nicht, oder?

Trotzdem besten Dank an dich für den Link. :)

Timm
13.02.16, 16:20
So einfach ist es dann auch wieder nicht, oder?


Nein, bestimmt nicht. Meine Deutung ist, daß das wellenartig zitternde Koordinatensystem ein Koordinaten-Artefakt generiert.

TomS
13.02.16, 17:06
Meine Deutung ist, dass es sich um Eichfreiheiten handelt.

g hat 16 Komponenten, davon zunächst 10 unabhängige. Ich denke, 4 fallen wg. der Bianchi-Identitäten weg, 4 kann man wegeichen, bleiben 10 - 4 - 4 = 2, d.h. 2 transversale Polarisationen, so wie es sein muss.

Ich kenne die Eichung tr(h) = 0 im Falle von Gravitationswellen.

det(g) habe ich so noch nicht gesehen, aber es existiert ein Zusammenhang. Für g = 1 + h mit kleinem h gilt

det(g) = 1 + tr(h) + O(h^2)

d.h. wenn dieser Zusammenhang gilt, dann ist det(g) = 1 gleichbedeutend mit tr(h) = 0. Nun ist allerdings g = 1 + h nicht richtig, da hier statt 1 die Minkwoski-Metrik steht; entsprechend ist det(g) = -1 zu setzen.

Ich denke, etwas Algebra klärt das auch im Falle der Minkowski-Metrik auf.

Damit wäre diese Forderung von Einstein tatsächlich nur die heute bekannte Eichfreiheit.

Marco Polo
13.02.16, 18:50
Ich denke, etwas Algebra klärt das auch im Falle der Minkowski-Metrik auf.
Das mag ja sein. Aber ART und Minkowski-Metrik? Passt das zusammen?

Marco Polo
13.02.16, 18:55
Meine Deutung ist, daß das wellenartig zitternde Koordinatensystem ein Koordinaten-Artefakt generiert.
Ich denke zu wissen was du meinst. Dennoch bedarf das einer näheren Erklärung deinerseits. Bin gespannt. :)

TomS
13.02.16, 20:20
Das mag ja sein. Aber ART und Minkowski-Metrik? Passt das zusammen?
Das passt schon zusammen.

Für schwache Störungen h setzt man für die Metrik

g = η + h

η = diag(-1,1,1,1)

h << g

η ist die Metrik des flachen Minkowskiraumes, eine exakte Lösung der Feldgleichungen im Vakuum.

Ich
13.02.16, 21:40
Mal zwischendurch: Einstein hat sich wie gesagt in der Originalpublikation zur Wahl der Determinante geäußert. Ich schau' mir das gerade noch mal an, werde aber sicher in naher Zukunft nicht viel Zeit darauf verwenden. Wenn's noch jemand interessiert: Ab Seite 788 hier (http://myweb.rz.uni-augsburg.de/~eckern/adp/history/einstein-papers/1916_49_769-822.pdf).

TomS
13.02.16, 22:12
Einstein hat in der Jahren vor 1915 Alternativen untersucht, in denen u.a. det(g) = -1 festgeschrieben war, d.h. keine allgemeine Kovarianz vorlag; ich könnte mir vorstellen, dass diese Bedingung hier noch "durchschimmert".

Ich
13.02.16, 22:15
Einstein hat in der Jahren vor 1915 Alternativen untersucht, in denen u.a. det(g) = -1 festgeschrieben war, d.h. keine allgemeine Kovarianz vorlag; ich könnte mir vorstellen, dass diese Bedingung hier noch "durchschimmert".Er hat sie explizit nicht verwendet.
Muss mal lesen, welche tollen Vorteile durch diese Wahl gewonnen werden. Aber nicht mehr heute.