Wasserstoffatom und Mehrelektronenatom

[SabineEule]

Hey, wir haben angefangen uns mit der Quantenmechanik zu beschäftigen.
Ich komme leider bei einer Frage von unserem Professor auf keine Lösung :(

Die Frage lautet: Begründen Sie anschaulich, dass die s, p, d und f-Orbitale mit gleicher Hauptquantenzahl bei Mehrelektronensystem im Gegensatz zur Situation bei Wasserstoff nicht mehr entartet sind.

Meine Idee wäre gewesen, dass der Hamilton-Operator bei Mehrelektronenatomen nun auch potentielle Energien der Wechselwirkungen zwischen den Elektronen aufweist und dies bei dem Wasserstoffatom mit einem Elektron nicht der Fall ist.

Jedoch bringe ich keine richtige Begründung hin, welche anschaulich sein soll :(

Für jede Hilfe bin ich sehr dankbar.

Liebe Grüße
Sabine :)

[Hawkwind]

Hey, wir haben angefangen uns mit der Quantenmechanik zu beschäftigen.
Ich komme leider bei einer Frage von unserem Professor auf keine Lösung :(

Die Frage lautet: Begründen Sie anschaulich, dass die s, p, d und f-Orbitale mit gleicher Hauptquantenzahl bei Mehrelektronensystem im Gegensatz zur Situation bei Wasserstoff nicht mehr entartet sind.

Meine Idee wäre gewesen, dass der Hamilton-Operator bei Mehrelektronenatomen nun auch potentielle Energien der Wechselwirkungen zwischen den Elektronen aufweist und dies bei dem Wasserstoffatom mit einem Elektron nicht der Fall ist.

Jedoch bringe ich keine richtige Begründung hin, welche anschaulich sein soll :(

Für jede Hilfe bin ich sehr dankbar.

Liebe Grüße
Sabine :)

Deine Begründung ist ja sicherlich nicht so verkehrt und könnte z.B. Basis für eine Störungsrechnung sein, um so eine Aufspaltung quantitativ zu berechnen.

Anschaulicher würde ich über Symmetrien argumentieren: die Entartung der Orbitale beim Wasserstoffatom ist ja eine Konsequenz der Rotationssymmetrie des Problems (V hängt nur von |r|, nämlich ~ 1/r). Hinzufügen weiterer Elektronen zerstört diese Kugelsymmetrie (wegen zusätzlicher Terme ~ 1/(r1-r2)).


Dass die Entartung der Niveaus zur selben Hauptquantenzahl eine Folge der Kugelsymmetrie des Problems ist, erkennt man z.B. daran, dass nach Einführung des Separationsansatzes bei der Lösung der Schrödingergleichung in Kugelkoordinaten

Ψ(r,θ,ϕ) = R(r) * Y(θ,ϕ)

sich die Energieniveaus allein aus der Lösung der Gleichung für die radiale Abhängigkeit R(r) ergeben.

Gruß,
Uli

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BTW: willkommen im Club! :)

[TomS]

M.E. ist es nicht ganz so einfach.

Der Hamiltonoperator des Mehrelektronensystems ist nämlich tatsächlich SO(3) - bzw. rotationsinvariant in der Schwerpunktkoordinate R; und damit bleibt die Entartung bzgl. m (zu festem n,l) erhalten.

Der Hamiltonoperator des Mehrelektronensystems ist jedoch nicht mehr invariant bzgl. der "zufälligen" SO(4), die dem Lenz-Runge-Vektor entspricht.

[Hawkwind]

M.E. ist es nicht ganz so einfach.

Der Hamiltonoperator des Mehrelektronensystems ist nämlich tatsächlich SO(3) - bzw. rotationsinvariant in der Schwerpunktkoordinate R; und damit bleibt die Entartung bzgl. m (zu festem n,l) erhalten.

Der Hamiltonoperator des Mehrelektronensystems ist jedoch nicht mehr invariant bzgl. der "zufälligen" SO(4), die dem Lenz-Runge-Vektor entspricht.

Ja, danke für den Hinweis, Tom: die Entartung der unterschiedlichen Drehimpulsorbitale zur selben Hauptquantenzahl (um die es hier ja geht) ist gar nicht aufgrund der Rotationssymmetrie (wie ich behauptete) sondern eine Folge der 1/r - Abhängigkeit des Potentials. Da kann man dann anschaulich wohl eher argumentieren: bei Mehr-Elektron-Atomen schirmen die inneren Elektronen effektiv das Potential ab sodass es weiter außen von der 1/r - Abhängigkeit abweicht.

Diese und auch Toms Hinweise findet man auf Englisch z.B. hier:
http://chemistry.stackexchange.com/questions/152/why-is-the-2s-orbital-lower-in-energy-than-the-2p-orbital-when-the-electrons-in