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Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : Mathematische Untersuchung der ponderomotorischen Kraft


tom
16.05.16, 11:13
Hallo Leute,

ich hatte den Eindruck, dass die ponderomotorische Kraft nicht sehr bekannt zu sein scheint. Auch hat man mich darauf hingewiesen, dass ich meine Überlegungen (http://www.quanten.de/forum/showthread.php5?t=2959) mathematisch präzisieren solle. Das mache ich jetzt mal. Und da die ponderomotorische Kraft eine klassische Kraft ist, packe ich das in den Abschnitt Schulphysik.

Zunächst einmal, die ponderomotorische Kraft tritt immer dann auf, wenn eine beliebige Kraft oszilliert, die Amplitude aber räumlich inhomogen ist. Hier interessiert mich mal nur die elektrische Kraft und auch nur der Spezialfall der Wirkung auf einen elektrisch neutralen, elastischen Dipol. Zur Berechnung benutze ich Mathematica (wxMaxima wäre eine OpenSource-Alternative mit anderer Syntax).

Die räumlich inhomogene elektrische Kraft eF modelliere ich mit einer Gaußfunktion, die ich mit einer Schwingung multipliziere.

gauss[x_] := 1/Sqrt[2 Pi o] Exp[-x^2/(2 o^2)]
eF[x_] := a gauss[x] Sin[w t]

Die Kraft ist also eine Gaußglocke, die regelmäßig mit der Kreisfrequenz w das Vorzeichen wechselt. Solche Kräfte müssten - klassisch betrachtet - quer zu einem Laserstrahl auftreten, da dieser eine elektromagnetische Transversalwelle darstellt, bei der das elektrische Feld quer zur Ausbreitungsrichtung oszilliert. Weiterhin ist ein Laserstrahl räumlich stark inhomogen, denn er ist ja schließlich ein Strahl. Die Gaußglocke modelliert diesen Umstand.

Soweit zur Kraft. Jetzt betrachten wir mal einen Dipol, bei dem zwei Ladungen unterschiedlichen Vorzeichens anfangs am gleichen Ort ruhen. Normalerweise könnten die Ladungen nicht voneinander getrennt werden, da die Coulombkraft, die für den Abstand Null unendlich ist, das verhindern würde. Nehmen wir trotzdem mal an, dass auf sehr kurze Entfernung eine harmonische Rückstellkraft vorhanden ist und die normale Coulombkraft erst ab einem bestimmten Mindestabstand einsetzt. Diese harmonische Kraft modelliere ich mal mit

harF[d_] := -k d

wobei d der Abstand und k die Koppelkonstante ist. Nun brauchen wir nur noch das Differentialgleichungssystem.

dgl1 = -eF[x1[t]] + harF[x1[t] - x2[t]] == m1 x1''[t];
dgl2 = +eF[x2[t]] + harF[x2[t] - x1[t]] == m2 x2''[t];
condsym = {dgl1, dgl2, x1'[0] == 0, x2'[0] == 0, x1[0] == xi, x2[0] == xi};

Hierbei sind m1 und m2 die trägen Massen der Ladungen. x1[t] und x2[t] sind die gesuchten Orte der beiden Ladungen im Dipol und xi ist der Anfangsort des Dipols.

Da sich das Dgl-System nicht analytisch lösen lässt, mache ich es numerisch. Dazu wähle ich Standardparameter, setze diese ein und lasse das Dgl-System lösen

para = {w -> 1, k -> 1, m1 -> 1, m2 -> 1, a -> 1, xi -> 1, o -> 1};
cond = condsym /. para;
tmax = 100;
s = NDSolve[cond, {x1, x2}, {t, 0, tmax}];
Plot[Evaluate[{x1[t], x2[t]} /. s], {t, 0, tmax}, PlotRange -> All]

Hier das Ergebnis.

http://www.quanten.de/forum/attachment.php5?attachmentid=433&stc=1&d=1463389796

Wie man sieht, erhält man zwei Schwingungen. Die Frequenz der schnelleren Schwingung entspricht der Frequenz des elektrischen Feldes, also w. Die langsamere Schwingung entsteht nun durch die ponderomotorische Kraft. Sie zieht den Dipol an, als wäre er eine Masse, die über eine Feder am Schwerpunkt der Gaußglocke befestigt wäre.

Das Ganze funktioniert aber nur mit hinreichend großer Koppelkonstante k. Macht man diese kleiner, passiert folgendes:

para = {w -> 1, k -> 0.1, m1 -> 1, m2 -> 1, a -> 1, xi -> 1, o -> 1};
cond = condsym /. para;
tmax = 100;
s = NDSolve[cond, {x1, x2}, {t, 0, tmax}];
Plot[Evaluate[{x1[t], x2[t]} /. s], {t, 0, tmax}, PlotRange -> All]

http://www.quanten.de/forum/attachment.php5?attachmentid=434&stc=1&d=1463389796

Viele Grüße
Tom