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Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : Frage zu unendlich tiefem Potentialtopf


intheend
20.02.17, 22:42
Hallo Forum,

bei der Vprbereitung auf meine Klausur hänge ich fest an dieser Frage. Könnt ihr mir helfen?

Gegeben sei der unendlich tiefe Potentialtopf mit V=0 von -a bis a.
Frage: Ist die Bewegung des quantenmechanischen Teilchens periodisch? Begründen Sie Ihre Antwort.

Danke schon vielmals im Voraus!

TomS
21.02.17, 00:24
Die Frage ist ziemlich doof gestellt.

Was ist ein "quantenmechanisches Teilchen"? Ich denke, der Zustand bzw. die zugehörige Wellenfunktion. Nun, diese gehorcht der zeitabhängigen Schrödingergleichung, und diese liefert für Energieeigenzustände |n> immer eine periodische Zeitabhängigkeit gemäß

|n,t> = exp(-iHt) |n,0>= exp(-iEt) |n,0>

Nun ist jedoch ein allgemeiner Zustand |ψ> nicht zwingend ein Energieeigenzustand sondern i.A. eine Superposition aus Eigenzuständen. Diese haben jeweils Energie E(n) = εn², d.h. die Zeitentwicklung lautet allgemein

|ψ,t> = Σ a(n) |n,t> = Σ a(n) exp(-iεn²t) |n>

Periodizität würde vorliegen für

|ψ,t+T> = exp(iA) |ψ,t>

mit n-unabhängigem A, d.h.

Σ a(n) exp(-iεn²(t+T)) |n> = exp(iA) Σ a(n) exp(-iεn²t) |n>

Demnach müsste für jedes beitragende n separat gelten

exp(-iεn²(t+T) = exp(iA) exp(-iεn²t)

exp(-iεn²T) = exp(iA)

und das ist für n-unabhängiges A nicht lösbar, es sei denn, alle bis auf einen Term verschwinden, was wieder auf einen Eigenzustand führt.

Hawkwind
21.02.17, 09:34
Ich stimme Tom zu; die Fragestellung ist nicht so eindeutig. Im Grunde ist jeder Energie-Eigenzustand eine stationäre Lösung der Schrödingergleichung, d.h. eine stehende Welle und somit periodisch. Das gilt für beliebige (zeitunabhängige) Potenziale.

Ich vermute, dein Lehrer hat bei der Frage die explizite Form der Eigenfunktionen für dieses Problem im Auge; diese sind nämlich für den unendlich hohen Topf die Sinus-Funktionen:

siehe z.B.
http://homepages.physik.uni-muenchen.de/~milq/kap10/k101p01.html

http://homepages.physik.uni-muenchen.de/~milq/kap10/images/Eqn10v.gif

Diese sehen nunmal sehr periodisch aus. Vielleicht will dein Lehrer darauf hinaus (d.h. Periodizität in der Koordinate x)?

Ich
21.02.17, 09:54
und das ist für n-unabhängiges A nicht lösbar, es sei denn, alle bis auf einen Term verschwinden, was wieder auf einen Eigenzustand führt.Doch, die Phase muss nur modulo 2pi passen, und das ist für T=2pi/ε immer der Fall. Von daher ist alles, was das Teilchen macht, periodisch.
Ich würde mal annehmen, dass ein klassisches Teilchen im Korrespondenzfall wie ein schmales Wellenpaket aussieht, das an den Wänden reflektiert wird. Diese Bewegung muss periodisch sein.

TomS
21.02.17, 10:44
Doch, die Phase muss nur modulo 2pi passen, und das ist für T=2pi/ε immer der Fall. Von daher ist alles, was das Teilchen macht, periodisch.
Nein es geht nicht.

Zu lösen ist

exp(-iεn²T) = exp(iA)

für feste Zeit T und feste Phase A, d.h. insbs. T und A unabhängig von n.

Daraus folgt, dass A modulo 2kπ gleich -εn²T sein muss, d.h.

-εn²T = A + 2kπ

1) Setzen wir Ichs T = 2π/ε ein, dann folgt

-2πn² = A + 2πk

A = -2π(k + n²)

und das ist nicht n-unabhängig lösbar.

(für ein einziges festes n, d.h. für einen Eigenzustand funktioniert das natürlich)

2) Lösen wir stattdessen nach T auf, so folgt aus

-εn²T = A + 2kπ

sofort

T = -(A + 2kπ) / εn²

und das ist für festes A und k immer n-abhängig, also nicht n-unabhängig lösbar.

(wiederum gilt, dass dies für ein einziges festes n, d.h. für einen Eigenzustand natürlich funktioniert)



(oder bin ich jetzt völlig auf dem Holzweg?)

Ich
21.02.17, 15:04
und das ist nicht n-unabhängig lösbar.Natürlich nicht, zu jedem n gibt es ein k (nämlich n²).
(für ein einziges festes n, d.h. für einen Eigenzustand funktioniert das natürlich)Und wenn jeder Eigenzustand wieder auf Null ist, dann auch jede Linearkombination. Das ist einfach ein Obertonspektrum, das hat natürlich zumindest die Periodizität des Grundtons.

TomS
21.02.17, 16:06
Ich versteh's nicht.

Wenn zum Gesamtzustand genau ein einziger Eigenzsutand n beiträgt, dann ist dessen Zeitwentwicklung periodisch (da sind wir uns einig)

Wenn der Gesamtzustand eine Superposition mehrerer Eigenzsutände ist, dann ist die Zeitwentwicklung nicht periodisch; das habe ich m.E. oben explizit gezeigt.

Sag' mir doch bitte, welche meiner Schlussfolgerungen falsch sein soll.

Ich
21.02.17, 17:05
Wenn der Gesamtzustand eine Superposition mehrerer Eigenzsutände ist, dann ist die Zeitwentwicklung nicht periodisch; das habe ich m.E. oben explizit gezeigt.Explizit sei eine Superposition der Eigenzustände n=1 und n=2 gegeben, beide Zustände haben bei t=0 eine Phase von 0. Dann hat nach t=T der erste Zustand eine Phase von 2pi, der zweite eine von 8 pi. Die Superposition sieht also wieder ganz genauso aus wie zu t=0.

Sag' mir doch bitte, welche meiner Schlussfolgerungen falsch sein soll. Mir ist nicht klar, warum du "n-unabhängig" lösen willst. Es darf doch jeder Eigenzustand sein eigenes, n-abhängiges k haben. Es muss nur ganzzahlig sein, damit die Superposition periodisch ist.

TomS
21.02.17, 21:22
Mir ist nicht klar, warum du "n-unabhängig" lösen willst. Es darf doch jeder Eigenzustand sein eigenes, n-abhängiges k haben. Es muss nur ganzzahlig sein, damit die Superposition periodisch ist.
Mir auch nicht.

:mad:

Zweimal Bullsh... in wenigen Tagen = Auszeit??

Sorry jedenfalls!

Ich
22.02.17, 08:44
Zweimal Bullsh... in wenigen Tagen = Auszeit??Einfach ein Gläschen Hopfentee (oder zwei), dann isses wieder gut. :)

TomS
22.02.17, 16:25
entweder ein Dunkles aus der fränkischen Schweiz, oder die destillierte Variante aus den Highlands :-)

Ich
22.02.17, 17:05
Muss ja nicht entweder-oder sein. Kann man auch superponieren. :D

TomS
22.02.17, 18:03
weiß nicht

ρ² ≠ ρ