PDA

Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : Gravitative Zeitdilatation und Entkommen des Gravitationsfeldes bei Interstellar


Finne
05.08.17, 04:36
Gute Abend,
ich bin ganz neu auf diesem Forum, da mich eine Überlegung beschäftigt,
welche mit meinen Physik-LK Kenntnissen nicht allzu schnell zu bewältigen ist.
Es geht mir um eine Szene bei Interstellar.

Achtung Spoiler!

Cooper und seine Crew sind auf Millers Planeten gelandet. Nun vergeht die Zeit für sie viel langsamer als sie es für die Erdbewohner tut. In einer Stunde für die Crew vergehen auf der Erde 7 Jahre. Dieses Phänomen kommt durch die Starke Gravitation des Schwarzen Lochs zustande. Meine Frage ist nun wieso ist es der Crew möglich mit dem einfachen Raumschiff in die Zeitmessung der Erde zurück zu kehren? Ich meine nicht, dass sie es nicht schaffen dem Wasserplaneten zu entkommen. Ich verstehe nicht wie sie aus dieser Krümmung der Raum-Zeit entkommen können, welche das schwarze Loch bildet.
Nach meinem Wissen müsste das Raumschiff entgegen der gravitativen Beschleunigung des Schwarzen Lochs beschleunigen um aus dessen Krümmung zu entfliehen. Um diese Menge an Masse zu beschleunigen benötigt es doch mit Sicherheit eine viel größere Menge an Energie.

Ich hoffe ich konnte mein Problem gut genug erläutern. Ich werde mich Morgen mehr mit dem Thema auseinander setzen.

Gute Nacht.

Bernhard
05.08.17, 12:32
Hallo Finne,

Um diese Menge an Masse zu beschleunigen benötigt es doch mit Sicherheit eine viel größere Menge an Energie.
ich kann da momentan auch nur Vermutungen anstellen und tippe mal darauf, dass Du recht hast.

Man kann das prinzipiell mit den Formeln der relativistischen Mechanik berechnen. Es ist aber nicht ganz einfach, weil man hier aufgrund des Gravitationsfeldes kein Inertialsystem mehr hat. Man muss also geschickt nähern, um Ergebnisse zu erhalten.

Willkommen im Forum.

KKaiser
06.08.17, 10:54
Sorry, aber "Interstellar" sagt mir nix. Ich gehe mal davon aus, dass es sich dabei um einen Film handelt und bei "millers planet" u ein SL (ist allerdings seltsam, ein SL als Planet zu bezeichnen...). Von daher:

Man kann ein SL auch so definieren, dass die Fluchtgeschwindigkeit größer als c ist - deshalb kann auch Licht nicht entweichen (seltsam, aber die Gravitation schafft das irgendwie).
Im Umkehrschluss bedeutet das, wenn man nicht schneller als Licht kann, kommt man auch nicht aus dem SL raus.

Aber möglicherweise kommt man ja auch ohne die erforderliche Fluchtgeschwindigkeit raus. Auf der Erde geht das ziemlich "einfach": man baaut eine Treppe...

KKaiser

pauli
06.08.17, 13:06
Wenn man den Film garnicht kennt sollte man sich auch nicht um jeden Preis dazu äußern

TomS
06.08.17, 15:09
Die Crew landet auf einem Planeten nahe jedoch noch außerhalb des Ereignishorizontes. D.h. prinzipiell kann sie diesen auch wieder verlassen. Den Energiebedarf kann man mittels der ART exakt berechnen, für genügend große Abstände vom EH mittels der Newtonschen Näherumg abschätzen.

Zunächst muss man aus den Daten zur gravitativen Zeitdilatation den Abstand zum EH berechnen.

sirius
06.08.17, 16:27
@ KKaiser

Ich kenne den Film auch nicht.

Hier ein Link zum Inhalt des Films

https://de.wikipedia.org/wiki/Interstellar

Und weil mir spontan in dem Zusammenhang Hawkingstrahlung und “Schwarze Loch Analogien” in den Sinn gekommen sind, hier auch dazu noch ein Link dazu

http://scienceblogs.de/astrodicticum-simplex/2016/08/23/das-stille-schwarze-loch-und-der-experimentelle-nachweis-der-hawking-strahlung/

Bernhard
06.08.17, 18:02
Es gibt zum Film ein Buch, das in diesem Clip vom Autor und Physiker K. Thorne auch vorgestellt wird:
https://www.youtube.com/watch?v=lM-N0tbwBB4

Bernhard
06.08.17, 18:10
Zunächst muss man aus den Daten zur gravitativen Zeitdilatation den Abstand zum EH berechnen.
Auch diese Aufgabe bedeutet schon viel Rechenarbeit, weil man den Drehimpuls von Gargantua berücksichtigen muss. Einige Informationen dazu gibt K.Thorne im verlinkten Clip ab 29:44.

Finne
06.08.17, 18:58
Die Crew landet auf einem Planeten nahe jedoch noch außerhalb des Ereignishorizontes. D.h. prinzipiell kann sie diesen auch wieder verlassen.

Nach dieser Diskussion (https://physics.stackexchange.com/questions/148456/escape-velocity-to-leave-the-water-planet-in-the-movie-interstellar) soll die escape velocity unabhängig von dem schwarzen Loch sein. Das stimmt vielleicht auch, aber mir stellt sich die Frage wie es sein kann, dass die Crew dem Zeitunterschied und somit auch der Gravitation des schwarzen Lochs entkommt. Also ist es überhaupt für ein normales Raumschiff möglich mit dessen Treibstoff diesen Zeitunterschied zu überwinden?
Mit Sicherheit habe ich die allgemeine Relativitätstheorie nicht ganz verstanden. Dennoch bin ich der Meinung, dass die Angesprochene Zeitdilatation durch die Gravitation des schwarzen Lochs ausgelöst wurde.
Nun vergeht die Zeit für sie viel langsamer als sie es für die Erdbewohner tut. In einer Stunde für die Crew vergehen auf der Erde 7 Jahre. Dieses Phänomen kommt durch die Starke Gravitation des Schwarzen Lochs zustande.
Meines Wissens nach hängen diese Zeitdilatation und die Gravitation des schwarzen Lochs unmittelbar zusammen. Somit bedeutet eine Rückkehr in die vorherige Zeitmessung, dass man sich dieser Gravitation widersetzt. Stelle ich mir das richtig vor? Und wenn ja wie kann ich diesen Energieaufwand berechnen um klar zu stellen, dass der Film an dieser Stelle einen Fehler gemacht hat?

Herr Senf
06.08.17, 19:39
Ich guck mir solche Filme selten an, man darf aber nicht vergessen, daß Kip Thorne wissenschaftlicher Berater war, und der hat die Gravitationswellen "meßbar" gemacht.
Von daher gibt es keine "primitiv-physikalischen" Fehler, höchstens ein zuviel an künstlerischer Freiheit, die Zuschauer brauchen "glaubwürdige" Action.
Der Zeitunterschied durch die Dilatation ist nicht überwindbar, die kommen jünger zurück, weil die Zeit auf der Erde schon vorbei ist.

Finne
06.08.17, 19:56
Der Zeitunterschied durch die Dilatation ist nicht überwindbar, die kommen jünger zurück, weil die Zeit auf der Erde schon vorbei ist.
Ich glaube ich werde falsch verstanden. Es geht mir nicht um die Zeit selber. Meine Frage ist eine andere. Angenommen ein Raumschiff fliegt mit nahezu lichtgeschwindigkeit an der Erde vorbei. Nach Einstein läuft eine Uhr in diesem Raumschiff langsamer als eine auf der Erde. Um diesen Effekt wieder zu normalisieren, also um wieder in das Inertialsystem der Erdbevölkerung zurück zu kehren, muss das Raumschiff entgegen seinem Geschwindigkeitsvektor, welcher relativ zu der Erde ist, beschleunigen. Also Bremsen. Somit gleicht das Raumschiff die Uhr der Erde und die des Raumschiffs aneinander an.
Nun habe ich mir vorgestellt, dass das Raumschiff auf Millers Planet in dem Gravitationsfeld des schwarzen Lochs liegt und daher eine Beschleunigung verspürt, welcher entgegen gewirkt werden muss um diesem zu entkommen und somit die Zeit zu normalisieren.
Bitte schreibt ob meine Erklärung verständlich war oder wenn etwas nicht genug erklärt wurde.

Herr Senf
06.08.17, 20:54
Hallo Finne,

ich glaub nicht, dich falsch zu verstehen, irgendwas geht bei dir mit der Zeitdilatation durcheinander.
Die, die auf der Erde bleiben, sind sozusagen die Zuschauer, für die vergeht die irdische Eigenzeit ohne Action, eher langweilig.
Für die, die sich ins Abenteuer stürzen, müssen wir drei Etappen ansehen:
- Wegfliegen mit hoher Geschwindigkeit, ihre (Eigen)Zeit vergeht langsamer
- Aufenthalt im Gravitationspotenzial eines SL (aber übern EH), Zeit vergeht langsamer
- Rückflug mit hoher Geschwindigkeit, Zeit vergeht auch langsamer ! unabhängig von der Richtung

Wenn sie von der Erde zB mit 30 Jahren abgeflogen sind, kommen sie mit 31 zurück, ihre Kumpels sind aber schon so um die 70.
Sie sind aber nicht in die (eigene) Zukunft geflogen, sie haben 39 Erdenjahre verpaßt, die aus ihrer Sicht für die "Dortigen" schneller vorbei waren.
Sie haben die ganze Zeit ihre Gegenwart erlebt, die auf der Erde auch, und jetzt gibt es eine Differenz, jeder kann seine Vergangenheit erzählen,
die Reisenden hatten nur ein Jahr Vergangenheit nach ihrer Uhr und man sieht es ihnen an. Auf dem "Objekt Erde" hat sich aber viel getan.

Grüße Dip

PS: wenn sie wieder zurück auf der Erde sind, sind sie nach dem dortigen Stand der Technik von +39 aber mit einem Oldtimer zurückgeflogen.
Sie haben durch ihre "Flugmanöver" einen kürzeren Weg durch die Raumzeit genommen als die Erde, warum sollen sie sich wünschen, auch 70 zu sein?

Bernhard
06.08.17, 22:01
Somit gleicht das Raumschiff die Uhr der Erde und die des Raumschiffs aneinander an.
Vorsicht, das ist falsch. Eine Uhr ist immer an ein sogenanntes Bezugssystem gebunden und tickt entsprechend dieses Systems. Man kann also nicht aus einem Bezugssystem heraus die Uhren eines anderen Bezugssystems beeinflussen. Beschäftige Dich mal mit dem Zwillingsparadoxon. An diesem Paradoxon kann man diese Grundlagen gut erlernen.

Ein Inertialsystem ist übrigens ein kräftefreies Bezugssystem. Der allgemeinere Begriff ist also das Bezugssystem. Ein ruhender Beobachter auf der Erde gehört beispielsweise zum Bezugssystem "Erde". Dieser Beobachter ist nicht kräftefrei, denn er spürt ja die Gravitationskraft.

Bernhard
06.08.17, 23:09
Beschäftige Dich mal mit dem Zwillingsparadoxon. An diesem Paradoxon kann man diese Grundlagen gut erlernen.
Noch besser hinsichtlich des Filmes ist eventuell das Hafele-Keating-Experiment (https://de.wikipedia.org/wiki/Hafele-Keating-Experiment).

TomS
07.08.17, 00:43
... aber mir stellt sich die Frage wie es sein kann, dass die Crew ... auch der Gravitation des schwarzen Lochs entkommt.
Nochmal: prinzipiell kann die Crew wieder zum Mutterschiff, das weit außerhalb kreist, zurückkehren, weil sie sich nicht innerhalb des Ereignishorizontes befunden hat.

Also ist es überhaupt für ein normales Raumschiff möglich mit dessen Treibstoff diesen Zeitunterschied zu überwinden?
Dazu ist, wie ich schon gesagt habe, eine detailliertere Rechnung notwendig. Ich würde jetzt erst mal Bernhards Einwand hinten abstellen und von einem nicht-rotierenden schwarzen Loch ausgehen.

Ich weiß nicht genau, ob alle benötigten Informationen im Film genannt werden, aber grundsätzlich kann man berechnen, welche Energie notwendig ist, um vom Radius r zum Mutterschiff bei Radius R > r zu gelangen.

Und wenn ja wie kann ich diesen Energieaufwand berechnen um klar zu stellen, dass der Film an dieser Stelle einen Fehler gemacht hat?Kannst du hier mal alle im Film genannten Werte nennen? Dauer des Aufenthalts auf dem Planeten gemessen mit einer Armbanduhr der Astronauten sowie einer Uhr an Bord des Mutterschiffs? Die Radien r bzw. R der Orbits des Planeten bzw. des Mutterschiffs? Die Masse des Schwarzen Lochs?

Bernhard
07.08.17, 08:51
Hallo Tom,

Ich weiß nicht genau, ob alle benötigten Informationen im Film genannt werden, aber grundsätzlich kann man berechnen, welche Energie notwendig ist, um vom Radius r zum Mutterschiff bei Radius R > r zu gelangen.

eine Stunde auf Millers Planet sind sieben Jahre auf der Erde. Ich kann für ein nicht-rotierendes SL das gesuchte r ausrechnen. Die Masse von Gargantua beträgt 100 Mio. Sonnenmassen.

TomS
07.08.17, 10:17
Hallo Tom,

eine Stunde auf Millers Planet sind sieben Jahre auf der Erde. Ich kann für ein nicht-rotierendes SL das gesuchte r ausrechnen. Die Masse von Gargantua beträgt 100 Mio. Sonnenmassen.
Hallo Bernhard,

ich dachte, man könne mittels Geodäten die notwendige relativistische Energie berechnen:

https://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_geodesics#Relation_to_classical_phys ics

Für radiale Geodäten ist jedoch L = 0 und die Energie entspricht exakt der Newtonschen Energie; was übersehe ich?

Ich
07.08.17, 10:19
Nun habe ich mir vorgestellt, dass das Raumschiff auf Millers Planet in dem Gravitationsfeld des schwarzen Lochs liegt und daher eine Beschleunigung verspürt, welcher entgegen gewirkt werden muss um diesem zu entkommen und somit die Zeit zu normalisieren.
Bei einem nichtrotierenden SL wäre der Fall vollkommen klar. Das Raumschiff müsste einem gigantischen Gravitationspotential entkommen, was weit außerhalb denkbarer Technologie wäre. Andererseits könnte da auch kein solcher Planet existieren.
Bei einem rotierenden SL ist die Sache komplizierter, und offensichtlich kann (oder mag) es keiner von uns rechnen. Hier ist es grundsätzlich so, dass man den Drehimpuls des SL "anzapfen (https://en.wikipedia.org/wiki/Penrose_process)" kann, um Energie und Schwung zu gewinnen. Das würde aber wohl kaum helfen, von Millers Planet runterzukommen.
Hier (https://scifi.stackexchange.com/questions/80245/how-fast-is-millers-planet-orbiting-gargantua-in-the-movie-interstellar) findest du einen Auszug aus Thornes Erläuterungen. Die Idee ist grundsätzlich, dass man mit swing-by-Manövern (https://de.wikipedia.org/wiki/Swing-by) die entsprechenden Geschwindigkeitsdifferenzen erhält. Meines Erachtens ziemlicher Käse und genauso konstruiert wie der Rest von dem Film, aber nicht definitiv unmöglich.

Bernhard
07.08.17, 11:22
was übersehe ich?
Ich denke, man müsste hier den Energie-Impuls-Vektor, d.i. Vierergeschwindigkeit * Ruhemasse des Raumschiffes verwenden. Da kann man dann passende Randbedingungen vorgeben und hat auch die Masse des Raumschiffes enthalten, die ja entlang des Weges wegen des Treibstoffverbrauches auch variabel sein kann.

EDIT: Wenn man es möglichst realistisch rechnen will, müsste man auf der rechten Seite der Geodätengleichung anstelle der Null einen Kraftvektor einsetzen, der die Beschleunigungskräfte vom Raumschiff berücksichtigt. Das Raumschiff fliegt dann nicht mehr entlang einer Geodäte, sondern einer indirekt vorgebbaren Kurve.

TomS
07.08.17, 12:53
Viel einfacher:

die Formel für E enthält unter der Bedingung L = 0 ausschließelich den bekannten 1/r Term; die relativistischen 1/r³ Korrekturen fallen für L = 0 weg. Demnach wäre das effektive Potential bei rein radialer Bewegung idenisch zum Newtonschen Fall.

Bernhard
07.08.17, 13:31
idenisch zum Newtonschen Fall.
Dann käme man theoretisch ja sogar von innen her über den Ereignishorizont. Das kann so nicht stimmen.

TomS
07.08.17, 13:33
Genau.

Deswegen die Frage, was ich übersehe.

Bernhard
07.08.17, 19:37
Deswegen die Frage, was ich übersehe.
Ich denke, man muss erst mal genau definieren, welche Energien verglichen werden sollen.

Sinnvoll erscheint mir hier erstens die Energie E_1 des Raumschiffes, wenn es relativ zur Hauptstation ruht und zweitens die Energie E_2 des Raumschiffes, wenn es auf Millers Planet ruht. Bei beiden Bahnen ist L ungleich Null.

Läßt man das Raumschiff von r1 nach r2 frei fallen (L=0), so wird potentielle Energie in kinetische Energie umgewandelt und dr/dtau ist dann beispielsweise beim kleineren r nicht mehr Null. Dieses Szenario ist für die Anschauung aber weniger hilfreich.

Finne
07.08.17, 19:38
Dauer des Aufenthalts auf dem Planeten gemessen mit einer Armbanduhr der Astronauten sowie einer Uhr an Bord des Mutterschiffs?

In einem Ausschnitt (https://www.youtube.com/watch?v=nOipaf5Rt9o) wird klar, dass eine Person auf dem Mutterschiff 23 Jahre, 4 Monate und 8 Tage an vergangener Zeit verspürt hat. Somit haben die Astronauten auf Millers Planet 3 Stunden, 20 Minuten und 9 Sekunden verbracht. Die Hin- und Rückreise fällt auch noch unter diese 3 1/2 Stunden.

Auf einer Internetseite (http://interstellarfilm.wikia.com/wiki/Miller_(planet)) stehen einige Spekulationen. So wie es aussieht ist das komplette Szenario nur bei einem sich rotierenden SL möglich.
Ein Umlauf um das SL würde für das Mutterschiff alle 1,7 Stunden vorkommen und somit für die Astronauten auf dem Planeten jede zehntel Sekunde. Das stimmt natürlich nur bei einem rotierenden SL.
In einem Artikel der Zeit heißt es:"Es (Gargantua) liegt 10 Milliarden Lichtjahre von der Erde entfernt und rotiert mit 99,8 Prozent der Lichtgeschwindigkeit."

Mehr Informationen konnte ich erstmal nicht finden

TomS
07.08.17, 21:22
Ich denke, das Problem ist klar.

Mir fehlte der am EH singuläre Term aus der Metrik. Dieser resultiert automatisch, wenn man dr/dτ als dr/dt dt/dτ schreibt.

Bernhard
07.08.17, 21:47
Mir fehlte der am EH singuläre Term aus der Metrik. Dieser resultiert automatisch, wenn man dr/dτ als dr/dt dr/dτ schreibt.
Du meinst sicherlich dr/dτ = dr/dt dt/dτ.

Siehst oder kennst Du dann noch eine Möglichkeit mit Hilfe der Formel aus der Wikipedia den gesuchten Energieunterschied auf einfache Weise (Schulmathematik) zu berechnen? Mit der Annahme von Kreisbahnen kommt man meiner Meinung nach nämlich nicht weiter.

TomS
08.08.17, 08:29
Du meinst sicherlich dr/dτ = dr/dt dt/dτ.

Siehst oder kennst Du dann noch eine Möglichkeit mit Hilfe der Formel aus der Wikipedia den gesuchten Energieunterschied auf einfache Weise (Schulmathematik) zu berechnen? Mit der Annahme von Kreisbahnen kommt man meiner Meinung nach nämlich nicht weiter.
Den Fehler in dr/dτ hab' ich korrigiert, Danke.

Man schreibt E mittels dr/dτ = dr/dt dt/dτ und v(r) = dr/dt um. dt/dτ ist lediglich eine Funktion f(r). Dann setzt man ein gegebenes E mit v > 0 am Bahnradius des Planeten an sowie das selbe E mit v = 0 am Bahnradius des Mutterschiffs. Gesucht ist also eine radial auswärts gerichtete Geodäte, die für die Startbedingung v > 0 das Mutterschiff gerade mit v = 0 erreicht. Daraus folgt die benötigte Startgeschwindigkeit und somit die kinetische Energie. Das wäre eine erste Abschätzung, wenn das Raumschiff sozusagen wie eine Kanonenkugel abgeschossen wird. Eine Lösung existiert sicher, wenn das Raumschiff außerhalb des Ereignishorizontes startet.

Besser wäre natürlich die Lösung der Raketengleichung für v(r) für Nutzmasse M und Treibstoffmasse m. Die Raketengleichung ist schon im 1/r Potential unschön zu lösen, hier wird's nur numerisch funktionieren. Ob immer eine Lösung existiert, bei der v(r) = 0 gerade beim Bahnradius des Mutterschiffs erreicht wird, kann ich nicht auf Anhieb sagen, intuitiv würde ich sagen, ja, bei genügend großem Treibstoffvorrat m.

Ich denke hier zunächst immer an radiale Geodäten, d.h. L = 0; das ist schon aufwändig genug. Den ersten Fall könnte man wg. Drehimpulserhaltung noch einfach lösen, d.h. ich sehe da keine zusätzliche Problematik. Den Fall der Raketengleichung halte ich für L > 0 für extrem kompliziert, da wg. Raketengleichung keine Drehimpulserhaltung gilt und man ein zweidimensionales Problem lösen muss.

Bernhard
08.08.17, 09:12
Besser wäre natürlich die Lösung der Raketengleichung für v(r) für Nutzmasse M und Treibstoffmasse m. Die Raketengleichung ist schon im 1/r Potential unschön zu lösen, hier wird's nur numerisch funktionieren. Ob immer eine Lösung existiert, bei der v(r) = 0 gerade beim Bahnradius des Mutterschiffs erreicht wird, kann ich nicht auf Anhieb sagen, intuitiv würde ich sagen, ja, bei genügend großem Treibstoffvorrat m.
Ja, das könnte machbar sein, am besten in einem neuen Thema und meinerseits nur abends :) .

Den Fall der Raketengleichung halte ich für L > 0 für extrem kompliziert, da wg. Raketengleichung keine Drehimpulserhaltung gilt und man ein zweidimensionales Problem lösen muss.
Korrekt. Ich habe gestern gesehen, dass es in der Schwarzschild-Raumzeit keine Geodäten mit r=const. gibt, d.h. man hat es für L>0 grundsätzlich mit keinen trivialen Bahnen mehr zu tun.

TomS
08.08.17, 09:42
r = const. spielt hier m.E. keine Rolle.

Bernhard
08.08.17, 11:00
r = const. spielt hier m.E. keine Rolle.
Die Szene in Interstellar wird dadurch immerhin relativ gut beschrieben. Nur bei der Frage von Finne gibt es das Problem der schwierigen Berechnung.

TomS
08.08.17, 11:14
Die Szene in Interstellar wird dadurch immerhin relativ gut beschrieben. Nur bei der Frage von Finne gibt es das Problem der schwierigen Berechnung.
Wenn man mal von der Raketengleichung absieht, dann bereitet L > 0 kein wirkliches mathematisches Problem.

Eine Näherung, die ich implizit vorausgesetzt habe, ist der Start des Raumschiffs vom Planeten selbst; letztlich müsste man den nämlich mit einberechnen.

Ich denke, man kann in guter Näherung annehmen, dass der Planet selbst einen zusätzlichen Energieaufwand wie für den Start von der Erde verursacht, und dass dieser im Falle von Extremsituationen, also wenn der Planet sich nahe am Ereignishorizont des Schwarzen Lochs befindet, vernachlässigbar ist.

D.h. wir betrachten letztlich die Fluchtgeschwindigkeit bzw. die benötigte Energie für das Schwarzschildproblem.

Dafür könnte man sich nun überlegen, ob sich qualitative viel ändert, wenn die Startbedingung des Raumschiffs nicht statisch bei r = const. und phi = const. angenommen wird (also für den künstlichen Fall, dass das Raumschiff mit eigenem Antrieb schwebt), sondern wenn man das Raumschiff antriebslos mit L > 0 auf einen stabilen Schwarzschild-Orbit setzt und von aus starten lässt.

Ich
08.08.17, 11:15
In der Schwarzschildmetrik gibt es natürlich Kreisbahnen, und ich würde Millers Planet auch auf eine setzen.
Dann gilt laut Wikipedia (https://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_geodesics#Circular_orbits_and_their_ stability) ω²=rs/2r³, wobei ω=dφ/dt. Die lokale Geschwindigkeit v des Planeten ist dann rω/sqrt(1-rs/r).
Die gesamte Zeitdilatation ist dann sqrt(1-v²)*sqrt(1-rs/r) = sqrt(1-3rs/2r).
Bei einer Zeitdilatation von 7000 liegt das quasi genau auf der Photonsphäre, von wo aus man eine gravitative ZD von sqrt(3)~=1,73 hat. Die zugehörige Rapidität ist w=areacosh(sqrt(3))~=1,14.
In die klassische Raketengleichung kann man also 1,14c als Zielgeschwindigkeit einsetzen und kommt so auf das Verhältnis Nutzlast/Treibstoff. Bei einer Ausstoßgeschwindigkeit von 5 km/s ist das etwa 10^-30000. Also macht man einen Swingby und alles ist gut. :cool:

Bernhard
08.08.17, 11:35
In der Schwarzschildmetrik gibt es natürlich Kreisbahnen,
Laut verlinktem WP-Artikel geht das nur auf den zwei speziellen Radien r_inner und r_outer. Dort müsste man mMn bestimmte Dilatationsfaktoren in Abhänigkeit vom jeweiligen Radius haben, die nicht mehr mit denen aus dem Film übereinstimmen müssen. D.h. ich vermute, dass es auf den zwei speziellen Radien eine feste Winkelgeschwindigkeit in Abhängigkeit vom Radius geben müsste. Der Wert für den Dilatationsfaktor würde dann von der Masse von "Gargantua" alleine vorgegeben werden.

Ich
08.08.17, 12:46
D.h. ich vermute, dass es auf den zwei speziellen Radien eine feste Winkelgeschwindigkeit in Abhängigkeit vom Radius geben müsste.Einfach weiterlesen, das steht da alles. Ich hab's auch schon verwurstet.

Bernhard
08.08.17, 14:12
Bei einer Ausstoßgeschwindigkeit von 5 km/s ist das etwa 10^-30000.
Das ist ein typischer Wert, wie man ihn aus vergleichbaren Rechnungen her kennt.

Also macht man einen Swingby und alles ist gut. :cool:
Man kann vermuten, dass sich das K. Thorne beim Dreh des Filmes auch gedacht hat ;) .

Ich
08.08.17, 14:17
Ich habe gerade Probleme damit, meine eigene Argumentation nachzuvollziehen. Muss noch mal drüber nachdenken.

Bernhard
08.08.17, 23:23
Ich habe gestern gesehen, dass es in der Schwarzschild-Raumzeit keine Geodäten mit r=const. gibt
Ich habe nochmal nachgerechnet und bekomme jetzt kreisförmige Bahnen für beliebige r, falls r > 3/2 r_s. Dieses Ergebnis macht Sinn, weil bei r = 3/2 r_s gerade Licht eine (instabile) kreisförmige Bahn einnimmt. Die Winkelgeschwindigkeit auf einer kreisförmigen Bahn ist für Teilchen mit Ruhemasse ungleich Null für einen entfernten Beobachter dabei gleich der Winkelgeschwindigkeit, die man aus der newtonschen Theorie erhält.

Der Dilatationsfaktor divergiert bei r = 3/2 r_s, so dass bei den beschriebenen Kreisbahnen prinzipiell jeder Dilatationsfaktor von 1 bis "fast unendlich" realisiert werden kann.

Den Satz:
There are two radii at which this balancing can occur, denoted here as r_inner and r_outer
kann ich aktuell nicht nachvollziehen.

Bernhard
09.08.17, 01:19
Ich habe die Ergebnisse für die Kreisbahnen gleich mal mit der Formel für die Energie aus der Wikipedia verknüpft und komme damit auf interessante Ergebnisse:

Das Mutterschiff bei 10 Schwarzschildradien ist gemäß Formel aus der WP mit einem kleinen Energiegewinn zu erreichen. Diesen Energiegewinn will ich mal vernachlässigen. Um Millers Planet bei etwa 1,5 Schwarzschildradien zu erreichen muss eine Menge Energie aufgewendet werden. Geht man von einem idealen Antrieb aus, der Masse zu 100% in Energie verwandeln kann so erhalte ich insgesamt die folgende genäherte Formel:

1 + Masse_Treibstoff / Masse_Raumgleiter = f / 3

mit guter Genauigkeit, falls f > 100.

Dabei ist f der Dilatationsfaktor von Millers Planet. 1 Stunde auf Millers Planet entspricht 61362 Stunden auf der Erde. Es gilt also f = 61362, bzw. f/3 = 20454.

Für jedes kg vom Raumgleiter + Mannschaft braucht das Raumschiff also bei idealer Energienutzung etwas mehr als 20 Tonnen "Treibstoff" um Millers Planet zu erreichen.

Hier "flunkert" der Film also schon ein wenig. Ohne Energiezufuhr von außen oder gänzlich neuartige Reisemöglichkeiten, wäre die Reise zu Millers Planet so nicht machbar.

Ich
09.08.17, 09:18
Den Satz:
There are two radii at which this balancing can occur, denoted here as r_inner and r_outer
kann ich aktuell nicht nachvollziehen.
Bei gegebenem L hast du im effektiven Potential ein lokales Minimum und, weiter innen, ein lokales Maximum. An beiden ist eine Kreisbahn prinzipiell möglich. Stabil ist sie aber nur im Minimum.

Ich
09.08.17, 10:02
Ich habe gerade Probleme damit, meine eigene Argumentation nachzuvollziehen. Muss noch mal drüber nachdenken.
Ich habe meinen Denkfehler gefunden: Ich habe denn innersten stabilen Orbit mit der Photonsphäre assoziiert, was natürlich Unsinn ist. Die Orbits nahe der Photoshäre sind alle instabil und äußerst ungebunden. Da könnte beim besten Willen kein Planet sein.

Wenn da einer wäre, dann müsste man, wie du schon sagst, stark beschleunigen, um dahin zu kommen.
Wenn ich nicht wieder einen Denkfehler mache, auf einen Gammafaktor von 35427. Die restlichen 1.73 kriegt man aus dem Gravitationspotential des SL.
Bei einem noch so kleinen Navigationsfehler stürzt man entweder ins SL oder rast mit fast c davon.
Für das Treibstoffverhältnis komme ich aber auf 70855:1 ~=2f. (Bei 5 km/s Ausstoßgeschwindigkeit auf 10^291000:1).

*Der Gammafaktor ist nicht 7000, wie ich mich fälschlicherweise erinnerte, sondern 61362, wie du sagst.

Bernhard
09.08.17, 10:06
An beiden ist eine Kreisbahn prinzipiell möglich.
Laut Geodätengleichung sind mMn für alle r > 3/2 r_S Kreisbahnen prinzipiell möglich.

Ob diese dann stabil oder instabil sind, ist eine weitere Frage, die man dann mit Hilfe des effektiven Potentials untersuchen kann.

Ich
09.08.17, 11:24
Laut Geodätengleichung sind mMn für alle r > 3/2 r_S Kreisbahnen prinzipiell möglich.Ja, klar. Aber alle unter 3rs sind instabil.
Edit: Wenn meine Logik stimmt, sind alle Orbits unter 2rs auch ungebunden.

Bernhard
09.08.17, 11:40
Ja, klar. Aber alle unter 3rs sind instabil.
OK. Jetzt ist der Groschen gefallen. Danke :) .

Man muss sich in die Logik des WP-Artikels erst mal reindenken, es scheint aber soweit alles zu stimmen.

Zaunkönig
09.12.17, 23:27
Zum Thema "Millers Planet" habe ich auch eine Frage. Um, ich zitiere: Zeit zu sparen - hiermit ist dir relative Zeit der Erde gemeint - will die Crew den Planeten von hinten anfliegen. Nach Aussage der Protagonisten ist hier der Sog des Wurmlochs nicht gegeben oder geringer und die Zeit sollte der auf der Erde gleichgestellt sein. Sie befinden sich in dieser Szene also zwischen Millers Planet und dem Wurmloch. Ergo sind sie dem Wurmloch näher und die Dilatation müsste hier doch viel stärker sein?
Alleine die Stunden oder Tage die auf Höhe des Planeten zurück gelegt werden müssten, sollten demnach Jahrzehnte auf der Erde vergehen lassen.

Bernhard
10.12.17, 08:06
Zum Thema "Millers Planet" habe ich auch eine Frage. Um, ich zitiere: Zeit zu sparen - hiermit ist dir relative Zeit der Erde gemeint - will die Crew den Planeten von hinten anfliegen.
EDIT: Die Berechnung des Dilatationsfaktors von Millers Planet ist nicht trivial: https://www.youtube.com/watch?v=lM-N0tbwBB4 . Kip Thorne spricht über Milllers Planet ab 34:40.

Stammt Dein Zitat auch wirklich aus dem Film?