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Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : Eigenzeit, Weltline, Schwarzschild Raumzeit


Timm
24.09.17, 17:17
Betrachten wir die Eigenzeit für r=2M bis r=0.

Wenn wir uns zunächst auf Geodäten beschränken, liegt das Maximum der Eigenzeit nach MTW beim radialen Einfall. D.h. die radiale Eigenzeit pi*GM/c³ nimmt ab, unabhängig davon in welche Richtung die Geodäte von der Achse des Lichtkegels abweicht.

Wie verändert sich die Eigenzeit im Falle der Beschleunigung nach unten bzw. nach oben relativ zur radialen Eigenzeit beim freien Fall?

TomS
24.09.17, 19:40
Siehe hier:

https://arxiv.org/abs/0705.1029v1
No Way Back: Maximizing survival time below the Schwarzschild event horizon
Authors: Geraint F. Lewis, Juliana Kwan
Abstract: It has long been known that once you cross the event horizon of a black hole, your destiny lies at the central singularity, irrespective of what you do. Furthermore, your demise will occur in a finite amount of proper time. In this paper, the use of rockets in extending the amount of time before the collision with the central singularity is examined. In general, the use of such rockets can increase your remaining time, but only up to a maximum value; this is at odds with the ''more you struggle, the less time you have'' statement that is sometimes discussed in relation to black holes. The derived equations are simple to solve numerically and the framework can be employed as a teaching tool for general relativity.

Timm
24.09.17, 21:31
Siehe hier:

https://arxiv.org/abs/0705.1029v1
No Way Back: Maximizing survival time below the Schwarzschild event horizon

Vielen Dank für den link. Ich komme ggfs. darauf zurück.

TomS
25.09.17, 09:09
Anbei eine kurze Zusammenfassung:

Die häufig zu lesende Aussage, dass die Eigenzeit entlang einer Geodäten maximiert wird, gilt nur für Kurven mit festgehaltenem Start- und Endpunkt. D.h. das Argument ist nicht anwendbar, wenn man Kurven mit festgehaltenem Start- jedoch variablem Endpunkt vergleichen möchte (die Kurven innerhalb des Ereignishorizontes erreichen natürlich alle die Singularität bei identischer Raum- jedoch unterschiedlicher Zeitkoordinate). Daraus folgt, dass die Aussage, man solle innerhalb des Schwarzen Lochs nicht beschleunigen sondern frei fallen um die Eigenzeit bis zu Erreichen der Singularität zu maximieren i.A. falsch ist.

Nun ist die Geodäte mit maximaler Eigenzeit zwischen Ereignishorizont und Singularität gerade diejenige, bei der man ausgehend vom Ruhezustand am Ereignishorizont frei fällt. Andere Geodäten, bei denen man ausgehend vom Ruhezustand an Punkten weiter außerhalb frei fällt, liefern zwischen Ereignishorizont und Singularität eine kleinere Eigenzeit.

Die Strategie ist nun, dass wenn letztgenannte Situation vorliegt, man innerhalb des Ereignishorizontes dergestalt beschleunigen sollte, dass man sich einer „besseren“ Geodäte annähert und dann entlang dieser frei fällt. D.h. man wechselt sozusagen in Richtung hin zur optimalen Geodäten.

Das Paper zeigt dies exemplarisch mittels konkreter numerischer Berechnungen. Die o.g. Strategie wird dadurch bestätigt. Die Analyse ist auf radiale Kurven beschränkt und nicht allgemeingültig.

Timm
25.09.17, 18:31
Nun ist die Geodäte mit maximaler Eigenzeit zwischen Ereignishorizont und Singularität gerade diejenige, bei der man ausgehend vom Ruhezustand am Ereignishorizont frei fällt. Andere Geodäten, bei denen man ausgehend vom Ruhezustand an Punkten weiter außerhalb frei fällt, liefern zwischen Ereignishorizont und Singularität eine kleinere Eigenzeit.
Ja, Fig.1. zeigt das.

Für mich überraschend, Fig.2., ist, daß mit zunehmender Beschleunigung innerhalb des Ereignishorizonts nach außen, die Eigenzeit bis zur Singularität verglichen mit der Freifallers zunächst größer, dann gleich und schließlich kleiner ist.
Gibt es dazu einen intuitiven Zugang?

Fig.5. zeigt, daß die Eigenzeit des Freifallers unterschritten wird, wenn wenn man nach außen und dann nach innen so beschleunigt, daß dieser bei r=0 "eingeholt" wird. Das macht Sinn, s. "Zwillingsparadoxon".

Zur Eigenzeit nicht-radialer zeitartiger Geodäten habe ich außer dem etwas vagen Hinweis im MTW nichts gefunden, denke aber es macht Sinn, daß sie mit zunehmender Annäherung an die Null Geodäten abnimmt.

Bernhard
25.09.17, 22:26
Gibt es dazu einen intuitiven Zugang?
Die Bilder zeigen mMn, dass das Verhalten des Raumfahrers kurz nach r=2m relativ großen Einfluss auf die Eigenzeit des gesamten Falls im SL hat. Dort ist zugleich das Verhältnis von künstlicher zu gravitativer Beschleunigung am größten.

denke aber es macht Sinn, daß sie mit zunehmender Annäherung an die Null Geodäten abnimmt.
Das PDF zeigt für mich eher, dass die Eigenzeit mal größer und mal kleiner sein kann, je nach Vorgeschichte des freien Falls und dem Verhalten des Raumfahrers.

BTW: Null Geodäten beschreiben die Bahnen von Lichtstrahlen. Für massive Probekörper sind es einfach zeitartige Geodäten.

Timm
26.09.17, 09:30
Die Bilder zeigen mMn, dass das Verhalten des Raumfahrers kurz nach r=2m relativ großen Einfluss auf die Eigenzeit des gesamten Falls im SL hat.
Die Bilder zeigen, daß die Eigenzeit von r=2M bis zur Singularität mit geringer Beschleunigung größer und mit großer Beschleunigung (jeweils nach außen) kleiner als im freien Fall ist.
Die Frage war, ob es dazu einen intuitiven Zugang gibt.

Dort ist zugleich das Verhältnis von künstlicher zu gravitativer Beschleunigung am größten.
Es geht hier um Beschleunigung vs. freier Fall. Erstere ist variabel.

Das PDF zeigt für mich eher, ...
Wir dürften uns einig sein, was das PDF zeigt. Es geht um die Deutung.

Null Geodäten beschreiben die Bahnen von Lichtstrahlen. Für massive Probekörper sind es einfach zeitartige Geodäten.
Gemeint war hier der (im Artikel nicht eingezeichnete) Lichtkegel, der im Eddington-Finkelstein Diagramm am Ereignishorizont mit diesem einen Winkel von 45° einschließt. Die Geodäte des radialen Freifallers verläuft auf der Achse des Lichtkegels. Nicht-radiale Geodäten weichen davon ab, nähern sich demnach also den Null-Geodäten.

Timm
26.09.17, 10:55
MTW weisen in Exercise 31.4 darauf hin, daß die radiale Geodäte maximale Eigenzeit hat. Und ferner auf den mathematischen Hintergrund hierzu im Chapter 25. Es muß sich ja wohl um eine Winkelabhängigkeit der Eigenzeit handeln. Ich bin allerdings nicht fündig geworden; falls jemand dazu etwas sagen kann, wäre das super.

Timm
07.12.17, 19:00
Nochmal zu der Frage, welche Weltlinie innerhalb des Ereignishorizonts das Überleben maximiert.


Für mich überraschend, Fig.2., ist, daß mit zunehmender Beschleunigung innerhalb des Ereignishorizonts nach außen, die Eigenzeit bis zur Singularität verglichen mit der Freifallers zunächst größer, dann gleich und schließlich kleiner ist.
Gibt es dazu einen intuitiven Zugang?


Bei einer Diskussion im PhysicsForums stellte sich heraus, daß diese Weltlinie mit einer axialen Linie im Kruskal-Szekeres Diagramm zusammen fällt. D.h. die hier (https://arxiv.org/pdf/0705.1029v1.pdf) in dem Finkelstein Diagramm in Fig. 2 gezeigte durchgezogene rote Kurve fällt im K-S Diagramm mit derjenigen axialen Linie (alle derartigen Linien bezeichnen t=const.) zusammen, die durch einen Punkt unmittelbar unterhalb des EH geht. Von diesem Punkt an hat die gedachte Rakete eine konstante Beschleunigung, die maximaler Eigenzeit bis zur Singularität entspricht. Jedes Abweichen von der axialen t=const. Linie, größere oder kleinere Beschleunigung, würde die Eigenzeit verringern. Es ist klar, daß diese Linien keine Geodäten sind aber zumindest mir nicht, daß sie konstanter Beschleunigung entsprechen.

Nebenbei, außerhalb des EH sind die Linien t=const raumartig und innerhalb zeitartig, wovon man sich anhand der Lichtkegel überzeugen kann. Darin scheint sich das Vertauschen der Koordinaten bei r<2m auszudrücken.

Hier noch Kruskal-Szekeres (https://www.google.de/search?q=kruskal+diagram+infalling&tbm=isch&source=iu&ictx=1&fir=hwW-TBN12eLy3M%253A%252CX14OGgrxo5L5JM%252C_&usg=__7BriMDY5PolJdP--Gm6x3DYinM0%3D&sa=X&ved=0ahUKEwjZmLX1ouTXAhUKvRoKHSijCaAQ9QEILDAA#imgr c=sWPbnIqP-8oauM:) Diagramme.

Bernhard
17.12.17, 15:20
Nebenbei, außerhalb des EH sind die Linien t=const raumartig und innerhalb zeitartig, wovon man sich anhand der Lichtkegel überzeugen kann. Darin scheint sich das Vertauschen der Koordinaten bei r<2m auszudrücken.
Die Begriffe raumartig, lichtartig und zeitartig gibt es zuerst einmal nur für Vektoren. Man kann aber nachsehen, welche Eigenschaft diesbezüglich derjenige tangentiale Vierervektor hat, der sich aus der Ableitung der Koordinaten-Darstellung der Geodäte nach dem darstellenden Parameter ergibt. Ist der tangentiale Vierervektor beispielsweise überall raumartig, kann man natürlich von einer raumartigen Geodäte sprechen.

Hawkwind
17.12.17, 15:31
Die Begriffe raumartig, lichtartig und zeitartig gibt es zuerst einmal nur für Vektoren.



Ich denke, Abstände im Minkowski-Raum charakterisiert man so. Das kann man dann naheliegend auf Weltlinien erweitern: wenn der Abstand zwischen Punkten einer Weltlinie immer zeitartig ist, dann bezeichnet man auch die Weltlinie so.

Bernhard
17.12.17, 15:53
Ich denke, Abstände im Minkowski-Raum charakterisiert man so.
Eine riemannsche Metrik ist ein (0,2)-Tensor und damit lokal eine Bilinearform, die zwei Vektoren eine rationale Zahl zuordnet. Eben diese rationale Zahl entscheidet auch in einer pseudo-riemannschen Mannigfaltigkeit darüber, ob der Vektor raum-, zeit- oder lichtartig ist: https://www-m10.ma.tum.de/foswiki/pub/Lehre/SS10/DifferentialGeometriePhysikSS10/vorlesung08.pdf

Hawkwind
17.12.17, 17:46
Eine riemannsche Metrik ist ein (0,2)-Tensor und damit lokal eine Bilinearform, die zwei Vektoren eine rationale Zahl zuordnet.


Ja genau: über das Skalarprodukt (die Länge) dieses Vektors mit sich selbst, was ein Abstand ist. :)


Eben diese rationale Zahl entscheidet auch in einer pseudo-riemannschen Mannigfaltigkeit darüber, ob der Vektor raum-, zeit- oder lichtartig ist: https://www-m10.ma.tum.de/foswiki/pub/Lehre/SS10/DifferentialGeometriePhysikSS10/vorlesung08.pdf

D'accor.

Timm
17.12.17, 18:12
Spricht denn etwas dagegen, wenn man sich in flacher und in gekrümmter Raumzeit an den Lichtkegeln orientiert, wenn es um die Unterscheidung zeitartiger-, lichtartiger- und raumartiger Weltlinien geht?

Bernhard
17.12.17, 19:49
Spricht denn etwas dagegen, wenn man sich in flacher und in gekrümmter Raumzeit an den Lichtkegeln orientiert, wenn es um die Unterscheidung zeitartiger-, lichtartiger- und raumartiger Weltlinien geht?
Nein, im Allgemeinen nicht, weil der Lichtkegel die Veranschaulichung der eben genannten Definitionen ist. Meine Ergänzung der Definition der verwendeten Begriffe war eher für etwaige stille Mitleser gedacht.

Timm
17.12.17, 20:22
Ja ok.
Habt Ihr eine Idee weshalb t=const. innerhalb des EH konstante Beschleunigung erfordert (mein Beitrag 7.12.)?

Bernhard
17.12.17, 23:55
Habt Ihr eine Idee weshalb t=const. innerhalb des EH konstante Beschleunigung erfordert (mein Beitrag 7.12.)?
Das ist ziemlich unklar formuliert. Was meinst Du mit t=const.? Meinst Du die Schwarzschild-Koordinate t? Falls ja, stimmt da irgend etwas nicht, weil für einen frei fallenden Massepunkt innerhalb des EH nicht t=const. gilt: https://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_geodesics

Was meinst Du im Beitrag vom 7.12. mit "axialer Linie"? Soll das eine Linie parallel zu einer bestimmten Koordinate-Achse sein? Falls ja, zu welcher Koordinaten-Achse?

TomS
18.12.17, 09:29
Ich denke, Abstände im Minkowski-Raum charakterisiert man so. Das kann man dann naheliegend auf Weltlinien erweitern: wenn der Abstand zwischen Punkten einer Weltlinie immer zeitartig ist, dann bezeichnet man auch die Weltlinie so.
Man kann das auf jeden Vektor verallgemeinern, also auch Viererimpulse, Killingvektoren, Viererpotentiale, ...

TomS
18.12.17, 09:33
Ja ok.
Habt Ihr eine Idee weshalb t=const. innerhalb des EH konstante Beschleunigung erfordert (mein Beitrag 7.12.)?
Was genau meinst du mit t = const.? Eine Lösung der Geodätengleichung für t = const. und evtl. speziell Omega = 0?

t ist eine Zeitkoordinate (was man durch die o.g. Diskussion für einen Einheitsvektor in t-Richtung einsieht). Also muss t = const. immer raumartig sein, egal ob einer Lösung der Geodätengleichung vorliegt oder nicht.

Timm
18.12.17, 10:25
Bernhard und Tom, die Weltlinien t=const. verlaufen im Kruskal-Szekeres Diagramm als gerade Linien durch den Ursprung, deshalb "axial". Die am 7.12. beschriebene Linie ist die mit maximierter Eigenzeit. Diese Linie ist im K-S Diagramm innerhab des EH zeitartig (Lichtkegel!) und wie man sieht keine Geodäte. Für die erwähnte rote Kurve im Finkelstein Diagramm (die im K-S Diagramm t=const., axial verläuft) gilt konstante Beschleunigung.

Ich
18.12.17, 10:58
Mir kommt das nicht stimmig vor. Diese "axialen" Linien im K-S-Diagramm (ich würde sie eher "radial" nennen) sind Linien konstanter Schwarzschildzeit, wenn ich mich nicht irre. Zumindest im T-X-Diagramm (https://en.wikipedia.org/wiki/Kruskal%E2%80%93Szekeres_coordinates#/media/File:Kruskal_diagram_of_Schwarzschild_chart.svg) ist das so.
Linien konstanter Schwarzschildzeit schneiden den EH nicht, können also nicht die Weltlinien einfallender Beobachter repräsentieren, egal, wie sie beschleunigen.

Zum Paper: Die längste Eigenzeit vergeht für einen frei fallenden Beobachter, der (asymptotisch) am EH mit v=0 startet. Alle Weltlinien, die im Paper diskutiert werden, starten mit einer endlichen Geschwindigkeit (sprich: fallen von weiter außen ein) und haben ab dem EH eine kürzere Eigenzeit als diese.

Die sinnvollste Strategie ist, sich direkt am EH mit maximaler Beschleunigung so zu stellen, dass die weitere Strecke mit dieser maximalen Fallzeit unbeschleunigt gefallen werden kann. Das erfordert einen Dirac-Puls als Beschleunigungsprofil.

Wenn die Beschleunigung einen Maximalwert nicht übersteigen soll, dann ist die zweitbeste Strategie, dass man so stark wie möglich beschleunigt, bis man wiederum diesen Bewegungszustand maximaler Eigenzeit erreicht hat und diesem dann folgt - also die Beschleunigung abschaltet.

Bernhard
18.12.17, 12:56
Linien konstanter Schwarzschildzeit schneiden den EH nicht, können also nicht die Weltlinien einfallender Beobachter repräsentieren, egal, wie sie beschleunigen.
Eben. Hat sich bei physicsforums da vielleicht jemand verrechnet?

Timm
18.12.17, 16:40
Mir kommt das nicht stimmig vor. Diese "axialen" Linien im K-S-Diagramm (ich würde sie eher "radial" nennen) sind Linien konstanter Schwarzschildzeit, wenn ich mich nicht irre. Zumindest im T-X-Diagramm (https://en.wikipedia.org/wiki/Kruskal%E2%80%93Szekeres_coordinates#/media/File:Kruskal_diagram_of_Schwarzschild_chart.svg) ist das so.
Linien konstanter Schwarzschildzeit schneiden den EH nicht, können also nicht die Weltlinien einfallender Beobachter repräsentieren, egal, wie sie beschleunigen.

Zum Paper: Die längste Eigenzeit vergeht für einen frei fallenden Beobachter, der (asymptotisch) am EH mit v=0 startet. Alle Weltlinien, die im Paper diskutiert werden, starten mit einer endlichen Geschwindigkeit (sprich: fallen von weiter außen ein) und haben ab dem EH eine kürzere Eigenzeit als diese.

Die sinnvollste Strategie ist, sich direkt am EH mit maximaler Beschleunigung so zu stellen, dass die weitere Strecke mit dieser maximalen Fallzeit unbeschleunigt gefallen werden kann. Das erfordert einen Dirac-Puls als Beschleunigungsprofil.

Wenn die Beschleunigung einen Maximalwert nicht übersteigen soll, dann ist die zweitbeste Strategie, dass man so stark wie möglich beschleunigt, bis man wiederum diesen Bewegungszustand maximaler Eigenzeit erreicht hat und diesem dann folgt - also die Beschleunigung abschaltet.
Also "axial" habe ich aus den PF, ich glaube es war PAllen, aber wie man's nennt, ist mir egal. Ja, Linien mit t=const. schneiden den EH nicht, habe ich auch nicht behauptet. Die Weltlinie um die es hier geht, beginnt sehr knapp innerhalb des EH, nicht direkt am EH.

In dem paper geht es um die Weltlinie mit maximaler Eigenzeit bis zur Singularität. Das ist nicht die Geodäte des freien Falls sondern die mit einer ganz bestimmten konstant bleibenden Beschleunigung, s. Fig.2. Mehr oder weniger reduziert die Eigenzeit.

Ich
18.12.17, 17:06
In dem paper geht es um die Weltlinie mit maximaler Eigenzeit bis zur Singularität. Das ist nicht die Geodäte des freien Falls sondern die mit einer ganz bestimmten konstant bleibenden Beschleunigung, s. Fig.2. Mehr oder weniger reduziert die Eigenzeit.Doch, das ist die Geodäte des freien Falls - bei entsprechender Startbedingung allerdings, die hier nicht gegeben ist.
Die beschleunigten Weltlinien sind dann optimal, wenn sie möglichst bald zu auf diese Geodäte führen und dann frei fallen. Das sieht man ein bisschen in Fig. 4, wo die grüne Linie (e=0) zu dieser Geodäte wird, die anderen aber nicht. Wenn man da noch eine höhere Beschleunigung wählen würde, könnte man die Eigenzeit noch weiter optimieren.
Wenn man die Beschleunigung nie beendet, wie in Fig. 2, erwischt man die Geodäte natürlich nie. Man schießt man entweder darüber hinaus oder erreicht es noch nicht. Beides suboptimal, aber wenigstens mit einem lokalen Maximum in der Eigenzeit, wo man am wenigsten weit daneben liegt.
Das ist also nicht das echte Optimum, sondern nur das Optimum unter der Randbedingung konstanter Beschleunigung. Die Beschleunigung rechtzeitig wieder abzuschalten wäre aber geschickter. Noch geschickter wäre es, die Beschleunigung möglichst hoch zu wählen und möglichst bald wieder abzuschalten.

p.s.: Könntest du noch einen Link auf die Diskussion geben?

Timm
18.12.17, 18:48
Das ist also nicht das echte Optimum, sondern nur das Optimum unter der Randbedingung konstanter Beschleunigung. Die Beschleunigung rechtzeitig wieder abzuschalten wäre aber geschickter. Noch geschickter wäre es, die Beschleunigung möglichst hoch zu wählen und möglichst bald wieder abzuschalten.


Ja und bei der konstanten Beschleunigung war ich hängen geblieben.

Die Strategie ist also hoch beschleunigen bis der der Killing Vektor e=0 ist und dann abzuschalten. Ich habe noch nie über Killing Vektor nachgelesen, weil ich das mangels Vorwissen für hoffnungslos gehalten habe. Das hier ist ein Fall, wo die Intuition hoffnungslos überfordert ist. Ich hätte angenommen, daß möglichst hoch beschleunigen und beibehalten die beste Strategie ist aber weit gefehlt. Falls Du eine Möglichkeit siehst, etwas näher zu bringen, weshalb hier e=0 der Schlüssel ist, wäre das super.

Bernhard
18.12.17, 23:13
Ich habe noch nie über Killing Vektor nachgelesen, weil ich das mangels Vorwissen für hoffnungslos gehalten habe.
1) Killing-Vektoren beschreiben die Symmetrien einer Raumzeit. Im Umkehrschluss kann man bei bekannter oder leicht zu erratender Symmetrie der Raumzeit meist auch relativ direkt die zugehörigen Killing-Vektoren erraten und über die zugehörige Mathematik dann verifizieren.

Im Fall der Schwarzschild-Raumzeit gibt es drei Killing-Vektoren, wobei für dieses Thema nur einer direkt benutzt wird. Die beiden Anderen beschreiben die beiden Rotations-Symmetrien in den beiden Winkeln Theta und Phi.

2) Mit Hilfe von Killing-Vektoren kann man ferner Bewegungskonstanten von Geodäten finden. Bei diesem Thema wird speziell die Zeitunabhängigkeit der Raumzeit benutzt, um einen Ausdruck für so etwas wie die Gesamtenergie e des frei fallenden Testkörpers zu finden. Im PDF auf arxiv.org wird das durch die Gleichung (13) beschrieben.

Ich
19.12.17, 10:05
Die Strategie ist also hoch beschleunigen bis der der Killing Vektor e=0 ist und dann abzuschalten. Ich habe noch nie über Killing Vektor nachgelesen, weil ich das mangels Vorwissen für hoffnungslos gehalten habe. Das hier ist ein Fall, wo die Intuition hoffnungslos überfordert ist. Ich hätte angenommen, daß möglichst hoch beschleunigen und beibehalten die beste Strategie ist aber weit gefehlt. Falls Du eine Möglichkeit siehst, etwas näher zu bringen, weshalb hier e=0 der Schlüssel ist, wäre das super.
Ok, ich probier's mal und hoffe, nichts Falsches zu erzählen.
Der relevante Killingvektor ist dt, nicht e. e ist die Größe, die bei unbeschleunigter Umgebung erhalten bleibt. Diese Größe ist hier die (spezifische) Gesamtenergie des Teilchens/Beobachters, also die Summe aus Masse, potentieller und kinetischer Energie. Das ist zumindest außerhalb des EH die eindeutige Interpretation. Aber Vorsicht, die Autoren haben für diese Interpretation das Vorzeichen falsch gewählt, e ist also die negative Gesamtenergie, was lästig ist.
e=-1 bedeutet, dass der Körper in unendlicher Entfernung (wo die potentielle Energie verschwindet) 1 J Energie pro 1 J (Ruhemasse im Unendlichen) hat. Das heißt, die kinetische Energie ist Null, alle Energie ist nur Ruhemasse. e=-1 charakterisiert ein Teilchen, das aus Ruhe im Unendlichen einfällt. Oder, andersrum gesprochen und um die Kurve zu Himmelsmechanik zu kriegen: Zeitumgekehrt hat so ein Körper gerade die Fluchtgeschwindigkeit, die er braucht, um ins Unendliche zu entkommen.
e<-1 bedeutet, dass der Körper im Unendlichen noch Geschwindigkeit übrig hat.
e<-1 bedeutet, dass der Körper im Unendlichen gar nich sein kann, weil er da noch nicht einmal die Ruhemasse hätte. Er fällt also von weiter innen ein - bzw. erreicht nicht die Fluchtgeschwindigkeit und fällt wieder zurück, wenn die Geschwindigkeit nach außen gerichtet wäre.
e=0 bedeutet, dass der Körper außerhalb des EH nicht existieren kann, weil er da negative Masse haben müsste. Das charakterisiert also einen Körper, der direkt vom EH einfällt.

Das heißt, die Bedingung e=0 heißt einfach, dass der Körper eine Bahn beschreibt, wie wenn er direkt vom EH eingefallen wäre.
Warum genau diese Bahn die mit der längsten Eigenzeit ist, habe ich mir nicht angeschaut. Wenn das also eigentlich deine Frage war, dann hilft dir diese Antwort nicht.

Timm
19.12.17, 11:31
Könntest du noch einen Link auf die Diskussion geben?

PAllen schrieb hier:

"Well, without promising to do so (it would be a fair effort to write up), I could justify (but not strictly prove) all key aspects of survival maximization in the following relatively elementary terms (but won't think about doing this if it would not be accessible to you):

1) By arguments from a Kruskal diagram, establish why any realizable infall trajectory ends up with axial motion inside the horizon.
2) By the form of the metric relabeled as described in my prior post, plus algebra and elementary calculus argue that:
a) from any interior event, the proper time maximizing path to the singularity must be a line of constant z (axial coordinate), theta and phi of the relabeled coordinates
b) then it follows that acceleration sufficient to eliminate your axial motion helps survival time, but any further acceleration simple adds axial motion in the other direction, which reduces survival time. Similarly, adding any tangential speed reduces survival time."

Timm
19.12.17, 18:09
1) Killing-Vektoren beschreiben die Symmetrien einer Raumzeit. Im Umkehrschluss kann man bei bekannter oder leicht zu erratender Symmetrie der Raumzeit meist auch relativ direkt die zugehörigen Killing-Vektoren erraten und über die zugehörige Mathematik dann verifizieren.

Im Fall der Schwarzschild-Raumzeit gibt es drei Killing-Vektoren, wobei für dieses Thema nur einer direkt benutzt wird. Die beiden Anderen beschreiben die beiden Rotations-Symmetrien in den beiden Winkeln Theta und Phi.

2) Mit Hilfe von Killing-Vektoren kann man ferner Bewegungskonstanten von Geodäten finden. Bei diesem Thema wird speziell die Zeitunabhängigkeit der Raumzeit benutzt, um einen Ausdruck für so etwas wie die Gesamtenergie e des frei fallenden Testkörpers zu finden. Im PDF auf arxiv.org wird das durch die Gleichung (13) beschrieben.
Vielen Dank, Bernhard, es ist schwieriges Terrain, die Gleichung (16) ist einfacher. :) Ich brauche erst mal ein besseres Verständnis für e.

Ich
19.12.17, 18:40
Ok, ich hab' PAllens Argument nachvollzogen:
Innerhalb des EH geht jede Weltlinie streng monoton in Richtung kleinerer r. Da die Metrik nicht explizit von t abhängt, kann man die Eigenzeit also ermitteln, indem man ds/dr ausrechnet und an jeder Stelle maximiert. Man möchte also für jedes dr , das man sowieso gehen muss, möglichst viel Eigenzeit herausschinden.
Dann folgt eigentlich direkt aus der Metrik, dass jedes dtheta, dphi oder dt, das man dazugibt, die Eigenzeit verringert. Also hält man die alle zu Null, und ist auf einer Linie konstanten ts unterwegs.
Diese Linie kreuzt tatsächlich den EH nicht, das ist aber kein Problem - es bedeutet nur, dass man sie nicht durch freien Fall von außerhalb erreichen kann.
Dass t=const eine Geodäte sein soll, folgt daraus nicht. Die Argumente für die Geodäte hab ich mir nicht genau angeschaut.
Der Rest entspricht dem, was ich auch gesagt habe. Das Wort "axial" bezieht sich nicht auf das Diagramm, sondern darauf, dass man auf Kreisen konstanten Umfangs bleibt.

Timm
19.12.17, 19:12
Danke für die Mühe.
Ok, ich probier's mal und hoffe, nichts Falsches zu erzählen.
Der relevante Killingvektor ist dt, nicht e. e ist die Größe, die bei unbeschleunigter Umgebung erhalten bleibt. Diese Größe ist hier die (spezifische) Gesamtenergie des Teilchens/Beobachters, also die Summe aus Masse, potentieller und kinetischer Energie. Das ist zumindest außerhalb des EH die eindeutige Interpretation. Aber Vorsicht, die Autoren haben für diese Interpretation das Vorzeichen falsch gewählt, e ist also die negative Gesamtenergie, was lästig ist.
e=-1 bedeutet, dass der Körper in unendlicher Entfernung (wo die potentielle Energie verschwindet) 1 J Energie pro 1 J (Ruhemasse im Unendlichen) hat. Das heißt, die kinetische Energie ist Null, alle Energie ist nur Ruhemasse. e=-1 charakterisiert ein Teilchen, das aus Ruhe im Unendlichen einfällt. Oder, andersrum gesprochen und um die Kurve zu Himmelsmechanik zu kriegen: Zeitumgekehrt hat so ein Körper gerade die Fluchtgeschwindigkeit, die er braucht, um ins Unendliche zu entkommen.
e<-1 bedeutet, dass der Körper im Unendlichen noch Geschwindigkeit übrig hat.
e<-1 bedeutet, dass der Körper im Unendlichen gar nich sein kann, weil er da noch nicht einmal die Ruhemasse hätte. Er fällt also von weiter innen ein - bzw. erreicht nicht die Fluchtgeschwindigkeit und fällt wieder zurück, wenn die Geschwindigkeit nach außen gerichtet wäre.
e=0 bedeutet, dass der Körper außerhalb des EH nicht existieren kann, weil er da negative Masse haben müsste. Das charakterisiert also einen Körper, der direkt vom EH einfällt.

Das heißt, die Bedingung e=0 heißt einfach, dass der Körper eine Bahn beschreibt, wie wenn er direkt vom EH eingefallen wäre.
Warum genau diese Bahn die mit der längsten Eigenzeit ist, habe ich mir nicht angeschaut. Wenn das also eigentlich deine Frage war, dann hilft dir diese Antwort nicht.
Bleiben wir erst mal bei der konstanten Beschleunigung, auch wenn das Eigenzeitmaximum hier suboptimal ist. Dann bleibt e innerhalb des EH nicht konstant, sondern nimmt nach Fig. 2 rechtes Diagramm umso schneller zu je größer die gewählte Beschleunigung ist. Dabei erreicht die rote Kurve (mit dem lokalen Maximum) r = 0 mit einem Wert für e < 1, während die anderen bei r > 0 den Wert e = 1 erreichen. Was bedeutet e = 1?

Grundsätzlich wächst e bei Beschleunigung "aufwärts". Ist das, was hier im Vergleich zum freien Fall (mit e = const.) hinzu kommt potentielle Energie?

Wenn ich PAllen richtig verstehe, entspricht die rote Kurve im Kruskal Diagramm der geraden Linie t = const. Ok, formal mag das so sein, aber die dahinterstehende Idee?

Du schreibst vom Killingvektor dt. Darunter kann ich mir noch nichts vorstellen. Vielleicht liege ich daneben, t = const. bedeutet doch dt = 0. Ist etwa der Killingvektor bei maximaler Eigenzeit Null?

Bernhard
19.12.17, 20:37
die Gleichung (16) ist einfacher.
Versuche mal (16) aus (13) herzuleiten.

Timm
19.12.17, 22:59
Dann folgt eigentlich direkt aus der Metrik, dass jedes dtheta, dphi oder dt, das man dazugibt, die Eigenzeit verringert. Also hält man die alle zu Null, und ist auf einer Linie konstanten ts unterwegs.
Das sieht nach einer guten heuristischen Erklärung aus, muß ich mir anhand der Metrik anschauen.


Dass t=const eine Geodäte sein soll, folgt daraus nicht. Die Argumente für die Geodäte hab ich mir nicht genau angeschaut.
Der Rest entspricht dem, was ich auch gesagt habe. Das Wort "axial" bezieht sich nicht auf das Diagramm, sondern darauf, dass man auf Kreisen konstanten Umfangs bleibt.
Ich weiß nicht, worauf Du Dich mit "Dass t=const eine Geodäte sein soll" beziehst. Es kann ja keine sein.
Ich hatte seine Argumentation "Kreise konstanten Umfangs" nicht verstanden. Was wollte er damit sagen?

Ich
20.12.17, 10:03
Danke für die Mühe.

Bleiben wir erst mal bei der konstanten Beschleunigung, auch wenn das Eigenzeitmaximum hier suboptimal ist. Dann bleibt e innerhalb des EH nicht konstant, sondern nimmt nach Fig. 2 rechtes Diagramm umso schneller zu je größer die gewählte Beschleunigung ist. Dabei erreicht die rote Kurve (mit dem lokalen Maximum) r = 0 mit einem Wert für e < 1, während die anderen bei r > 0 den Wert e = 1 erreichen. Was bedeutet e = 1?Nichts eigentlich, wenn ich mich nicht irre.
Grundsätzlich wächst e bei Beschleunigung "aufwärts". Ist das, was hier im Vergleich zum freien Fall (mit e = const.) hinzu kommt potentielle Energie?Es kommt nichts hinzu, sondern es geht was weg. Die haben ja wie gesagt das Vorzeichen ungünstig gewählt.
Was weg geht, ist kinetische Energie, weil man nach außen beschleunigt.

Wenn ich PAllen richtig verstehe, entspricht die rote Kurve im Kruskal Diagramm der geraden Linie t = const. Ok, formal mag das so sein, aber die dahinterstehende Idee?Nein, t=const soll laut PAllen eine Geodäte mit e=0 sein.
Du schreibst vom Killingvektor dt. Darunter kann ich mir noch nichts vorstellen. Vielleicht liege ich daneben, t = const. bedeutet doch dt = 0. Ist etwa der Killingvektor bei maximaler Eigenzeit Null?Das habe ich missverständlich geschrieben, vergiss das dt in dem Zusammenhang. Der Killingvektor ist (t,x,y,z)=(1,0,0,0), dafür schreibt man auch \partial t.
Also: Das Killingvektorfeld besteht in jedem Punkt aus einem Vektor, der eine Koordinateneinheit in t-Richtung lang ist. Die Bedeutung des Feldes ist: Wenn du irgendein physikalisches Geschehen in Koordinaten beschreibst, und dann in jedem Punkt die t-Koordinaten um ein überall gleiches Vielfaches des Killingvektors verschiebst, dann ändert das nichts an dem beschriebenen Geschehen.
Wenn du stattdessen z.B. überall um eine Sekunde Eigenzeit (also entsprechend mehr Koordinatenzeit) verschieben würdest, dann wäre die Situation nicht mehr die gleiche.

Ich
20.12.17, 10:14
Ich weiß nicht, worauf Du Dich mit "Dass t=const eine Geodäte sein soll" beziehst. Es kann ja keine sein.
Laut PAllen schon. Unser Gegenargument zieht ja nicht, weil diese Geodäte tatsächlich nie den EH überquert.
Ich hatte seine Argumentation "Kreise konstanten Umfangs" nicht verstanden. Was wollte er damit sagen?Die r-Koordinate ist ja über den Umfang von Kreisen definiert, nicht über radiale Abstände.
Aus der Argumentation in meinem vorherigen Beitrag folgt, dass sich r nicht ändert, wenn man entlang t verschiebt. Das gilt auch innerhalb des EH.
Der Unterschied ist nur, dass t dort eine Raumrichtung bezeichnet. Du hast da als Raumgeometrie also eine Kugeloberfläche (theta und phi-Richtungen), die als dritte Dimension die t-Richtung hat. Um sich das vorzustellen, lässt man eine Dimension der Kugeloberfläche weg, so dass ein Kreis übrigbleibt. Senkrecht dazu kann man noch entlang t verschieben, so dass die Geometrie einer Zylinder-Mantelfläche entspricht. In dieser Geometrie entspricht t der Achsrichtung, deshalb nennt er die Koordinate "axial".

Timm
20.12.17, 23:12
Laut PAllen schon. Unser Gegenargument zieht ja nicht, weil diese Geodäte tatsächlich nie den EH überquert.
Ja, t=const. ist eine zeitartige Geodäte, #21. Er hat den allgemeinen Fall behandelt. Gefragt war der “suboptimale Fall”, das Maximum der Eigenzeit bei konstanter Beshcleunigung. Keine Ahnung, wie diese Weltlinie im Kruskal Diagramm aussieht.
Soviel von unterwegs. Du hast noch einiges geschrieben, wozu ich Fragen habe. Dazu später.

Bernhard
21.12.17, 23:29
Nein, t=const soll laut PAllen eine Geodäte mit e=0 sein.

Ich habe mal mit der Schwarzschild-Metrik die Eigenzeit entlang einer Weltlinie von r=rS bis r=0 mit t=const. ausgerechnet und dabei die Eigenzeit des Frei-Fallers mit e = 0 erhalten.

Vielleicht klärt das ja ein Mißverständnis. Für eine radiale Geodäte bekommt man in Schwarzschild-Koordinaten nämlich kein t=const. für den freien Fall im Bereich 0 <= r <= r_S.

Timm
22.12.17, 15:07
Ich habe mal mit der Schwarzschild-Metrik die Eigenzeit entlang einer Weltlinie von r=rS bis r=0 mit t=const. ausgerechnet und dabei die Eigenzeit des Frei-Fallers mit e = 0 erhalten.

Vielleicht klärt das ja ein Mißverständnis. Für eine radiale Geodäte bekommt man in Schwarzschild-Koordinaten nämlich kein t=const. für den freien Fall im Bereich 0 <= r <= r_S.
Meinst Du den Freifaller aus dem unendlichen mit der Eigenzeit piGM/c³ zwischen rS und r=0? Dann verstehe ich t=const. und e = 0 nicht.

Nach meinem momentanen Verständnis sehe ich 2 Möglichkeiten für e = 0:

Der Freifaller fällt ab r=rS (rein theoretisch). Ich nehme an, das hast Du gerechnet. Kannst Du die Rechnung zeigen, zumindest die Schritte, ich würde es gern nachvollziehen.

Oder er fällt von außerhalb durch den rS und folgt dann nach kurzer Beschleunigung der Geodäte t=const mit e = 0. Wählt er andere kurze Beschleunigungen und fällt dann frei, ist e=const. aber <> 0.

EDIT Wobei man wohl annehmen kann, daß die zweite Möglichkeit mit der kurzen Beschleunigung das fallen lassen am EH quasi simuliert.

Bernhard
22.12.17, 16:48
Meinst Du den Freifaller aus dem unendlichen mit der Eigenzeit piGM/c³ zwischen rS und r=0?
Nein.

Zuerst habe ich eine Rechnung zum allgemeinen radialen Freifaller gemacht, um zu sehen, in welcher Beziehung t als Schwarzschild-Koordinate zur Eigenzeit tau steht.

Ich habe dazu diesen Link https://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_geodesics#Orbits_of_test_particles verwendet
When E=mc2 and h=0, we can solve for t and τ explicitly:
Die zweite Formel nach diesem Zitat kann umgeformt werden, so dass man r als Funktion der Eigenzeit tau erhält. Dieses r kann in die zweite Formel dieses Abschnittes eingesetzt werden. Man erhält dann die Formel:
dt = dtau * E / (mc²) * (1 - (2*rS / (3 *c * tau))^(2/3))^(-1)

Dabei gilt zusätzlich E = mc² * sqrt(1 - rS / r0)

r0 ist dabei der Startradius des freien Falls, an dem also dr/dt = 0 gilt.

Startet der Freifaller am EH geht dessen Gesamtenergie gegen Null und es gilt dt = 0, womit bewiesen ist, dass t=const. genau diesem Freifaller entspricht.

Rechnung 2: Motiviert von Ichs obiger Erklärung kann man in der Schwarzschild-Metrik dt = dtheta = dphi = 0 setzen und erhält dann die Formel:
c * dtau = dr / sqrt(rS/r - 1)
Diese Gleichung kann integriert werden. Setzt man auf der rechten Seite die Integrationsgrenzen von r=rS bis r=0 ein, so erhält man die bekannte Formel tau = -pi * M. Wegen dt = 0 gilt hier ebenfalls t = const.

Timm
22.12.17, 17:45
Ich habe dazu diesen Link https://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_geodesics#Orbits_of_test_particles verwendet

Die zweite Formel nach diesem Zitat kann umgeformt werden, so dass man r als Funktion der Eigenzeit tau erhält. Dieses r kann in die zweite Formel dieses Abschnittes eingesetzt werden. Man erhält dann die Formel:
dt = dtau * E / (mc²) * (1 - (2*rS / 3 / tau)^(2/3))^(-1)

Dabei gilt zusätzlich E = mc² * sqrt(1 - rS / r0)

r0 ist dabei der Startradius des freien Falls, an dem also dr/dt = 0 gilt.

Startet der Freifaller am EH geht dessen Gesamtenergie gegen Null und es gilt dt = 0, womit bewiesen ist, dass t=const. genau diesem Freifaller entspricht.
dr=0 wegen dr/dt = 0 ist klar. Aber wie folgt dt=0?

Rechnung 2: Motiviert von Ichs obiger Erklärung kann man in der Schwarzschild-Metrik dt = dtheta = dphi = 0 setzen und erhält dann die Formel:
c * dtau = dr / sqrt(rS/r - 1)
Soweit war ich auch. Die Integration sollte mit Wolfram Alpha zu machen sein, oder?

Bernhard
22.12.17, 18:25
dr=0 wegen dr/dt = 0 ist klar. Aber wie folgt dt=0?
dt=0 folgt aus der ersten Formel mit E=0.

Die Integration sollte mit Wolfram Alpha zu machen sein, oder?
Genau. Man nennt der Übersichtlichkeit halber rS = a und erhält nach einer kleinen Umformung: http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+sqrt(x%2F(a-x)) . Man kann in dem Ergebnis noch das sqrt(x) kürzen und die verbleibende Wurzel im Nenner in den geklammerten Term multiplizieren. Der erste Summand trägt nichts bei wegen x=0 und x=a. Der zweite Term liefert im Grenzfall das Ergbnis rS * Pi/2.

Bernhard
22.12.17, 18:40
dt = dtau * E / (mc²) * (1 - (2*rS / (3 *c * tau))^(2/3))^(-1)
Diese Formel zeigt übrigens eine Kuriosität, die auch schon mal im Astronews-Forum erwähnt wurde:

Ein Freifaller mit r0 > rS reist in der Nähe der Singularität rechnerisch in die Vergangenheit des Außenraumes des Schwarzen Loches, weil der Nenner im Verlauf des freien Falles sein Vorzeichen wechselt.

Timm
22.12.17, 19:47
Genau. Man nennt der Übersichtlichkeit halber rS = a und erhält nach einer kleinen Umformung: http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+sqrt(x%2F(a-x)) . Man kann in dem Ergebnis noch das sqrt(x) kürzen und die verbleibende Wurzel im Nenner in den geklammerten Term multiplizieren. Der erste Summand trägt nichts bei wegen x=0 und x=a. Der zweite Term liefert im Grenzfall das Ergbnis rS * Pi/2.
Ok, danke.

Bernhard
22.12.17, 23:36
Ok, danke.
Nichts zu danken. Die Überlegung in #30 war für mich so auch neu.

Marco Polo
23.12.17, 00:48
Man möchte also für jedes dr , das man sowieso gehen muss, möglichst viel Eigenzeit herausschinden.
Dann folgt eigentlich direkt aus der Metrik, dass jedes dtheta, dphi oder dt, das man dazugibt, die Eigenzeit verringert. Also hält man die alle zu Null, und ist auf einer Linie konstanten ts unterwegs.

Genau das ist der springende Punkt. Das Prinzip der maximalen Eigenzeit.

Hier ein YouTube-Video zu dieser Thematik:

https://www.youtube.com/watch?v=PjxB4LmFDI8

TomS
23.12.17, 07:34
Diese Formel zeigt übrigens eine Kuriosität, die auch schon mal im Astronews-Forum erwähnt wurde:

Ein Freifaller mit r0 > rS reist in der Nähe der Singularität rechnerisch in die Vergangenheit des Außenraumes des Schwarzen Loches, weil der Nenner im Verlauf des freien Falles sein Vorzeichen wechselt.
Dem würde ich keine Bedeutung beimessen.

Die Koordinaten im Außen- sowie im Innenraum haben nichts miteinander zu tun, denn sie sind bei rS singulär. Es handelt sich um zwei verschiedene Karten, für die in Schwarzschildkoordinaten kein Überlapp existiert.

Dass wir dieselben Buchstaben r und t verwenden spielt dabei keine Rolle.

Bernhard
23.12.17, 09:56
Genau das ist der springende Punkt. Das Prinzip der maximalen Eigenzeit.
Die allgemeine Gleichung für eine Geodäte kann man damit nicht herleiten. Dafür wird die Schwarzschild-Metrik in diesem Sinne angewendet. Gerade für dieses Thema ist es damit ein recht hilfreicher Punkt.

Bernhard
23.12.17, 10:01
Dem würde ich keine Bedeutung beimessen.
Innenraum und Außenraum eines Schwarzen Loches sind natürlich kausal getrennt. In diesem Sinne ist die Aussage bedeutungslos.

Trotzdem kann man über die Schwarzschild-Metrik, wie oben gezeigt, auch Aussagen über den Innenraum ableiten.

TomS
23.12.17, 10:20
Innenraum und Außenraum eines Schwarzen Loches sind natürlich kausal getrennt. In diesem Sinne ist die Aussage bedeutungslos.
Das meine ich nicht.

Es ist ganz einfach so, dass man in der Schwarzschildmetrik für Innen- und Außenraum jeweils die Koordinaten (r,t) verwendet. Aber da sie bei rS singulär werden, hat die Namensgleichheit der Koordinaten keinerlei Bedeutung.

Die Aussage "Ein Freifaller mit r0 > rS reist in der Nähe der Singularität rechnerisch in die Vergangenheit des Außenraumes des Schwarzen Loches, weil der Nenner im Verlauf des freien Falles sein Vorzeichen wechselt" ist irreführend, weil die Koordinate t im Innenraum nichts mit der Koordinate t im Außenraum zu tun hat; man darf sie nicht vergleichen.

Trotzdem kann man über die Schwarzschild-Metrik, wie oben gezeigt, auch Aussagen über den Innenraum ableiten.
Klar.

Timm
23.12.17, 12:35
Wenn man die Beschleunigung nie beendet, wie in Fig. 2, erwischt man die Geodäte natürlich nie. Man schießt man entweder darüber hinaus oder erreicht es noch nicht. Beides suboptimal, aber wenigstens mit einem lokalen Maximum in der Eigenzeit, wo man am wenigsten weit daneben liegt.
Das ist also nicht das echte Optimum, sondern nur das Optimum unter der Randbedingung konstanter Beschleunigung
Mir ist nicht klar, warum es mit konstanter Beschleunigung ein lokales Maximum der Eigenzeit gibt. Hast Du eine Idee dazu?
Falls man das rechnen wollte, müßte man wohl von der Metrik ausgehen. Aber wie würde man vorgehen? Die Metrik ändert sich im Inneren insofern als (1-2M/r) negativ wird und dann abnehmendes r quasi den Verlauf der Zeit repräsentiert. Es wäre interessant zu sehen, wie man die Eigenzeit mit konstanter Beschleunigung erhält.

Bernhard
23.12.17, 14:23
Es wäre interessant zu sehen, wie man die Eigenzeit mit konstanter Beschleunigung erhält.
Man hat doch die Gleichungen 8, 9 , 14 und 15. Das sind vier Gleichungen für die vier Funktionen a^t, a^r, u^t und u^r. Kennt man die beiden Funktionen u^t und u^r, so kann man über eine Integration prinzipiell die Eigenzeit dieser Weltlinie berechnen.

Bernhard
23.12.17, 14:38
Aber da sie bei rS singulär werden, hat die Namensgleichheit der Koordinaten keinerlei Bedeutung.
Für t mag das so sein. Für r, theta und Phi gilt das angeblich aber nicht.

Timm
23.12.17, 17:03
Man hat doch die Gleichungen 8, 9 , 14 und 15. Das sind vier Gleichungen für die vier Funktionen a^t, a^r, u^t und u^r. Kennt man die beiden Funktionen u^t und u^r, so kann man über eine Integration prinzipiell die Eigenzeit dieser Weltlinie berechnen.
Ich kann mit diesen Gleichungen nicht umgehen. Die Integration ergibt dann wohl die Eigenzeit als Funktion der Beschleunigung. Dann sollte man daraus die Beschleunigung für die maximale Eigenzeit erhalten. Vielleicht macht es Dir Spaß, die zu berechnen?:)

Rechnen ist die eine Sache. Siehst Du die grundsätzliche Überlegung, die zur Annahme eines Maximums führt? Was sagt die Intuition?

Bernhard
23.12.17, 18:11
Vielleicht macht es Dir Spaß, die zu berechnen?:)
EDIT: Sorry, aber es zeigt sich sehr schnell, dass diese Rechnung schnell recht kompliziert wird und zudem unvollständig ist, weil die konkrete Geodäten-Gleichung auch noch benötigt wird. Ein Blick in das Paper zeigt aber, wie die ganzen Kurven berechnet wurden. Es ist eine numerische Integration der Gleichung 11. Mit Papier und Bleistift kommt man hier also nicht besonders weit. Man müsste das Maximum numerisch berechnen, müsste dazu aber erst mal odepack aufsetzen oder etwas programmieren und das ist mir momentan eigentlich zu aufwendig.

Siehst Du die grundsätzliche Überlegung, die zur Annahme eines Maximums führt?
Fig 2 zeigt, dass es so ein Maximum gibt. 'Ich' hat es bereits erklärt, dass man sich mit Hilfe der Triebwerke prinzipiell möglichst nahe an den freien Fall mit r0 = rS annähern muss und dann die Triebwerke abschalten kann. Bei konstanter Beschleunigung bekommt man ein entsprechendes Optimierungsproblem.

Timm
23.12.17, 20:36
Mit Papier und Bleistift kommt man hier also nicht besonders weit. Man müsste das Maximum numerisch berechnen, müsste dazu aber erst mal odepack aufsetzen oder etwas programmieren und das ist mir momentan eigentlich zu aufwendig.
Verstehe ich natürlich. Immerhin ist der Weg aufgezeigt.


Fig 2 zeigt, dass es so ein Maximum gibt. 'Ich' hat es bereits erklärt, dass man sich mit Hilfe der Triebwerke prinzipiell möglichst nahe an den freien Fall mit r0 = rS annähern muss und dann die Triebwerke abschalten kann. Bei konstanter Beschleunigung bekommt man ein entsprechendes Optimierungsproblem.
Mit Start bei r = 3 M hat man mit konstanter Beschleunigung (rote Linie in Fig 2.) nach Passieren des EH die unter diesen Umständen erreichbare maximale Eigenzeit, die größer ist als die mit freiem Fall ab r = 3M bis zu r =0. Mit Start bei r = rS sind die Voraussetzungen anders.
Die Tatsache, daß es dieses Maximum gibt, spricht sicherlich für ein Optimierungsproblem, erklärt dieses aber nicht, zumindest sehe ich das nicht. Eine heuristische Erklärung, nach der ich suche, wäre vielleicht die, daß mit extrem hoher Beschleunigung eine asymptotische Annäherung an die Null (sprich Null Eigenzeit) Geodäte verbunden ist. Aber ob das wirklich Sinn macht, weiß ich nicht.

Bernhard
23.12.17, 23:18
Verstehe ich natürlich. Immerhin ist der Weg aufgezeigt.
Mal sehen. Man könnte es auch mit einer numerischen Runge-Kutta-Integration von Gleichung 5 probieren. Vielleicht findet sich ja noch jemand, der das mal austesten will.

Eine heuristische Erklärung, nach der ich suche, wäre vielleicht die, daß mit extrem hoher Beschleunigung eine asymptotische Annäherung an die Null (sprich Null Eigenzeit) Geodäte verbunden ist. Aber ob das wirklich Sinn macht, weiß ich nicht.
Die ideale Strategie bei r0 = 3M ist ein starkes Beschleunigen unmittelbar nach dem Überqueren des EH, um möglichst nahe an die Bahn mit r0 = 2M zu kommen und ein anschließendes Abschalten der Triebwerke. Die rote Kurve erfüllt die Abschaltungs-Bedingung wesentlich besser, als die blaue Kurve, was meiner Meinung nach die deutlich höhere Eigenzeit erklärt.

Bernhard
24.12.17, 09:29
Man erhält dann die Formel:
dt = dtau * E / (mc²) * (1 - (2*rS / (3 *c * tau))^(2/3))^(-1)

Ich habe hier leider übersehen, dass diese Formel nur unter der Bedingung E=mc² gilt, d.h. für r0 = infty. Das oben Beschriebene bleibt aber gültig. Man sieht unmittelbar aus der zweiten Formel von https://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_geodesics#Orbits_of_test_particles , dass aus E=0 auch dt = 0 folgt.

Bernhard
24.12.17, 09:37
Mal sehen. Man könnte es auch mit einer numerischen Runge-Kutta-Integration von Gleichung 5 probieren.
Dazu würde ich allerdings auf Gullstrand-Painleve-Koordinaten gehen. Dort ist die Metrik nochmal etwas einfacher, wodurch sich die Rechnungen vereinfachen sollten.

Man kann über die oben angegebene Formel für E und den Wikipedia-Link auf die Schwarzschild-Geodäten als Startbedingung auch noch u^r = 0 ableiten. Das gilt dann sowohl für die Eddington-Finkelstein-, als auch für Gullstrand-Painleve-Koordinaten, weil das r für alle drei Koordinatensysteme gleich bleibt.

Timm
24.12.17, 12:31
Die ideale Strategie bei r0 = 3M ist ein starkes Beschleunigen unmittelbar nach dem Überqueren des EH, um möglichst nahe an die Bahn mit r0 = 2M zu kommen und ein anschließendes Abschalten der Triebwerke. Die rote Kurve erfüllt die Abschaltungs-Bedingung wesentlich besser, als die blaue Kurve, was meiner Meinung nach die deutlich höhere Eigenzeit erklärt.
Fig. 4 zeigt, daß nach Überqueren des EH bei einer bestimmten gewählten Beschleunigung hier a = 2 die Eigenzeit bis r = 0 bei nicht abschalten kürzer ist (rote Linie). Diese Eigenzeit ist mit a = 0,5 maximal s. Fig. 2. Von daher ist dieses "Suboptimum" klar. Wie kann man ohne Einbeziehung der Abschaltvariante und ohne auf die Rechnung zu verweisen die Behauptung widerlegen, daß kontinuierlich zunehmende konstante Beschleunigung die Eigenzeit kontinuierlich erhöht?

Timm
26.12.17, 11:54
Also: Das Killingvektorfeld besteht in jedem Punkt aus einem Vektor, der eine Koordinateneinheit in t-Richtung lang ist. Die Bedeutung des Feldes ist: Wenn du irgendein physikalisches Geschehen in Koordinaten beschreibst, und dann in jedem Punkt die t-Koordinaten um ein überall gleiches Vielfaches des Killingvektors verschiebst, dann ändert das nichts an dem beschriebenen Geschehen.
Wenn du stattdessen z.B. überall um eine Sekunde Eigenzeit (also entsprechend mehr Koordinatenzeit) verschieben würdest, dann wäre die Situation nicht mehr die gleiche.
Sind die Vektoren, die das Killingvektorfeld beschreiben, Zeit- und Ortsvektoren, oder beliebige Vektoren?

Ein paar Beispiele für "physikalisches Geschehen" wären super. Etwa Vektoren wie Vierergeschwindigkeit oder Viererimpuls? Oder Dinge wie freier Fall, Orbit, Beschleunigung ... ?

Wenn ich mich richtig erinnere, ist das zeitartige Killingvektorfeld einer statischen Raumzeit Null. Falls richtig, ist das so, weil alle Vektoren null sind? Gibt es andere typische Aussagen, die sich auf das Killingvektorfeld beziehen?

Ich
26.12.17, 22:25
Sind die Vektoren, die das Killingvektorfeld beschreiben, Zeit- und Ortsvektoren, oder beliebige Vektoren?Meinst du raumartig oder zeitartig? Sie können beides sein, das häng von der Symmetrie ab. Sie bezeichnen aber keine Punkte in Raum und Zeit, falls du das meinst, sondern Verschiebungen.
Ein paar Beispiele für "physikalisches Geschehen" wären super. Etwa Vektoren wie Vierergeschwindigkeit oder Viererimpuls? Oder Dinge wie freier Fall, Orbit, Beschleunigung ... ?A und B stationär in der Schwarzschildmetrik. B hat Zeitdilatationsfaktor 1/2, A ist weiter drinnen mit Faktor 1/4.
A sendet zur Koordinatenzeit t=0 einSignal Richtung B, das der bei t=1 reflektiert, so dass es zu t=2 wieder bei A ist. Wir können das Ganze um Koordinatenzeit t=5 in die Zukunft verschieben, dann lauten die Zahlen eben 5,6 und 7, aber es ist immer noch genau dasselbe. Die jeweiligen Eigenzeiten lauten A 0, B 0.5, A 0.5.
Wenn ich hingegen um Eigenzeit tau=5 verschiebe, dann sind die Eigenzeiten bei A 5, B 5.5, A 5.5 und die entsprechenden Koordinatenzeiten sind A 20, B 11, A 22. Das ist nicht dasselbe, sondern totaler Käse. Also ist eine Verschiebung um konstante Koordinatenzeit eine Symmetrieoperation, eine Verschiebung um konstante Eigenzeit aber irgendein Mist. Deswegen ist ein Vektor konstanter Koordinatenzeitverschiebung (dt,0,0,0) ein Killingvektor. Diese Vektoren sind in echt überall unterschiedlich lang, und ihre Gesamtheit bildet ein Vektorfeld, eben besagtes Killingfeld.
Wenn ich mich richtig erinnere, ist das zeitartige Killingvektorfeld einer statischen Raumzeit Null. Falls richtig, ist das so, weil alle Vektoren null sind? Gibt es andere typische Aussagen, die sich auf das Killingvektorfeld beziehen?Nö, das zeitartige Killingfeld einer solchen Raumzeit ist (1,0,0,0), wenn die erste Koordinate die Zeit bedeutet, unter der die Metrik zeitunabhängig ist.

Timm
27.12.17, 18:07
A und B stationär in der Schwarzschildmetrik. B hat Zeitdilatationsfaktor 1/2, A ist weiter drinnen mit Faktor 1/4.
A sendet zur Koordinatenzeit t=0 einSignal Richtung B, das der bei t=1 reflektiert, so dass es zu t=2 wieder bei A ist. Wir können das Ganze um Koordinatenzeit t=5 in die Zukunft verschieben, dann lauten die Zalen eben 5,6 und 7, aber es ist immer noch genau dasselbe. Die jeweiligen Eigenzeiten lauten A 0, B 0.5, A 0.5.
Wenn ich hingegen um Eigenzeit tau=5 verschiebe, dann sind die Eigenzeiten bei A 5, B 5.5, A 5.5 und die entsprechenden Koordinatenzeiten sind A 20, B 11, A 22. Das ist nicht dasselbe, sondern totaler Käse. Also ist eine Verschiebung um konstante Koordinatenzeit eine Symmetrieoperation, eine Verschiebung um konstante Eigenzeit aber irgendein Mist. Deswegen ist ein Vektor konstanter Koordinatenzeitverschiebung (dt,0,0,0). Diese Vektoren sind in echt überall unterschiedlich lang, und ihre Gesamtheit bildet ein Vektorfeld, eben besagtes Killingfeld.
Danke, das ist ein super Beispiel. Dann ist es wohl so, daß die durch den Metriktensor festgelegten Längen unverändert bleiben müssen als Voraussetzung für einen zeitartigen Killingvektor, denn sonst wären die Differenzen der Koordinatenzeiten nicht konstant. Was ja eigentlich eine statische Raumzeit, wie die Schwarzschild Raumzeit erfordert.

Welche Translationen neben der Zeit sind denn noch von Bedeutung?

Hat eine nicht-statische Raumzeit gar keine Killingvektoren oder nur keine zeitartigen?

Ich
27.12.17, 21:33
Welche Translationen neben der Zeit sind denn noch von Bedeutung?Am zweitwichtigsten sind wohl die räumlichen Verschiebungen und die Drehungen. Aus denen folgen die Erhaltungssätze für Impuls und Drehimpuls.
Hat eine nicht-statische Raumzeit gar keine Killingvektoren oder nur keine zeitartigen?Wenn sie rotiert, könnte sie auch zeitartige Killingvektoren haben. Eine solche Metrik heiß stationär. Wenn auch das nicht gegeben ist, dann können durchaus noch verschiedene Killingvektoren vorhanden sein. Ein Beispiel sind Verschiebungen um eine bestimmte mitbewegte Länge in kosmologischen Koordinaten. Verschiebungen um eine bestimmte echte Länge wären keine.
Deshalb ist in kosmologischen Koordinaten auch nicht der Impuls p erhalten, sondern dessen Produkt mit dem Skalenfaktor a*p. Ein Beispiel dafür ist die kosmologosche Rotverschiebung.

Timm
27.12.17, 22:07
Wenn sie rotiert, könnte sie auch zeitartige Killingvektoren haben. Eine solche Metrik heiß stationär.
Aha, man muß also zwischen stationärer und statischer Metrik unterscheiden. Ist dann stationär übergeordnet, also eine stationäre Metrik immer auch statisch aber nicht umgekehrt?

Wenn auch das nicht gegeben ist, dann können durchaus noch verschiedene Killingvektoren vorhanden sein. Ein Beispiel sind Verschiebungen um eine bestimmte mitbewegte Länge in kosmologischen Koordinaten. Verschiebungen um eine bestimmte echte Länge wären keine.
Ok, das scheint zu bedeuten, daß Killingvektoren nicht oder nicht immer invariant sind, oder?

Bernhard
27.12.17, 23:18
Ist dann stationär übergeordnet, also eine stationäre Metrik immer auch statisch aber nicht umgekehrt?
Um mal die Begriffe zu klären: Statisch (zeitunabhängig) ist ein Spezialfall von stationär. Jede statische Metrik ist also stationär, aber scheinbar nicht umgekehrt.

Timm
28.12.17, 09:26
Um mal die Begriffe zu klären: Statisch (zeitunabhängig) ist ein Spezialfall von stationär. Jede statische Metrik ist also stationär, aber scheinbar nicht umgekehrt.
Ok, dann scheinst Du meiner Vermutung "Ist dann stationär übergeordnet, also eine stationäre Metrik immer auch statisch aber nicht umgekehrt?" zuzustimmen.

Ich
28.12.17, 11:28
Ok, das scheint zu bedeuten, daß Killingvektoren nicht oder nicht immer invariant sind, oder?Die Frage verstehe ich nicht. Die Metrik ist invariant, wenn man global jedes Ereignis um ein Vielfaches des Killingvektors verschiebt. Das ist auch hier der Fall.

Timm
28.12.17, 15:24
Die Frage verstehe ich nicht. Die Metrik ist invariant, wenn man global jedes Ereignis um ein Vielfaches des Killingvektors verschiebt. Das ist auch hier der Fall.

Eines der Beispiele für Killingvektoren waren "Verschiebungen um eine bestimmte mitbewegte Länge in kosmologischen Koordinaten." Das erschien mir bezogen auf FRW-Koordinaten, also koordinatenabhängig. Aber die Überlegung macht wohl keinen Sinn, entscheidend ist die Invarianz der Metrik.
Was verwechsle ich da?

Ich
28.12.17, 16:26
Eines der Beispiele für Killingvektoren waren "Verschiebungen um eine bestimmte mitbewegte Länge in kosmologischen Koordinaten." Das erschien mir bezogen auf FRW-Koordinaten, also koordinatenabhängig. Aber die Überlegung macht wohl keinen Sinn, entscheidend ist die Invarianz der Metrik.
Was verwechsle ich da?Die Koordinaten sind ja so gewählt, dass sie diese Symmetrie widerspiegeln. Sie wäre auch da, wenn man andere Koordinaten gewählt hätte.
Das ist auch eine Symmetrie auf einem Teilgebiet der leeren Raumzeit (Milne). Ganz allgemein hat man aber nichts davon, wenn nicht auch irgendwelche Dinge entsprechend symmetrisch angeordnet sind.

Timm
28.12.17, 17:33
Die Koordinaten sind ja so gewählt, dass sie diese Symmetrie widerspiegeln. Sie wäre auch da, wenn man andere Koordinaten gewählt hätte.
Das ist auch eine Symmetrie auf einem Teilgebiet der leeren Raumzeit (Milne). Ganz allgemein hat man aber nichts davon, wenn nicht auch irgendwelche Dinge entsprechend symmetrisch angeordnet sind.
Ok, Milne ist ein gutes Beispiel. Symmetrien sind koordinatenunabhängig und damit sind das auch Killing Felder, die Symmetrien ausdrücken.

Danke, Du hast mir eine Vorstellung vermittelt um was es da überhaupt geht.

Bernhard
28.12.17, 17:55
Ok, dann scheinst Du meiner Vermutung "Ist dann stationär übergeordnet, also eine stationäre Metrik immer auch statisch aber nicht umgekehrt?" zuzustimmen.
So wie ich 'Ich' verstanden habe, gibt es eine Metrik zur Beschreibung einer rotierenden Raumzeit, welche stationär aber nicht statisch ist.

Timm
28.12.17, 20:52
So wie ich 'Ich' verstanden habe, gibt es eine Metrik zur Beschreibung einer rotierenden Raumzeit, welche stationär aber nicht statisch ist.
Ja.

https://en.wikipedia.org/wiki/Static_spacetime
In general relativity, a spacetime is said to be static if it does not change over time and is also irrotational. It is a special case of a stationary spacetime: the geometry of a stationary spacetime does not change in time; however, it can rotate. Thus, the Kerr solution provides an example of a stationary spacetime that is not static; the non-rotating Schwarzschild solution is an example that is static.