Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : Quantenfeldtheorie
Hallo,
ich habe hier in den letzten Tagen viel gepostet. Hier ist nochmal eine grundsätzliche Verständnisfrage:
Ich habe aus den Antworten meiner Posts herausgehört, dass man folgendes unterscheiden muss:
In QM1 wird ein Teilchen quasi schon als Feld behandelt, in dem Sinne, dass es dort eine Wellengleichung gibt, die das Teilchen beschreibt. Wo genau ist der Unterschied zur der Quantenfeldtheorie?
Ups, der Post wurde schon abgesendet.
Es geht darum, dass jemand mir den Unterschied zwischen der Wellengleichung eines Teilchens erklärt (oder auch einer Vielteilchen-Wellenfunktion) und der Felder in der Quantenfeldtheorie?
Bei beidem ist wohl der Hilbertraum die mathematische Grundlage. Ich hoffe jemand versteht das Problem, dass ich da habe.
Ich habe mir den Hilbertraum genauer angeschaut. Vll lässt sich hier mein Problem klären.
Benutzt man in QM1 und Quantenfeldtheorie verschieden strukturierte Hilberträume?
Was ist ein Element im Hilbertraum bei QM1 und Quantenfeldtheorie?
In QM1 kann man die Einteilchen-Wellenfunktion als Funktion aus dem R³ in die komplexen Zahlen verstehen, die quadrat-integrabel sein muss.
In der QM1 benutzt man im wesentlichen den L²(B) der quadratintegrablen Funktionen f über einem Bereich B, oder den l² der quadrat-summierbaren Folgen. Für einen kompakten Bereich B kann man einen Isomorphism finden, gegeben durch die Fouriertransformation o.ä.
Für nicht-kompakte Bereiche funktioniert das zunächst nicht, da die Fouriertransformation eine unitäre Transformation auf dem L² selbst ist. Allerdings kann man für Wellenpakete auf dem L²(-∞,+∞) argumentieren, dass diese mittels Legendrefunktionen als Basis des L² dargestellt werden können; dann definieren die Koeffizienten bzgl. dieser Basis gerade wieder eine Folge im l².
Ebene Wellen oder temperierte Distributionen im Abschluss des L² sind meiner Meinung nach lediglich Artefakte der Rechenmethodik und haben keine physikalische Relevanz. Physikalische Zustände sind immer in gewisser Weise lokalisierte Zustände. Damit landet man in der QM1 immer beim l².
Elemente des l² entsprechen nun gerade den Zuständen des N-dim. quantenmechanischen Oszillators. Ein Basisvektoren des letzteren lautet gerade |n₁, n₂, ...>, ein beliebiger Zustand kann durch Superposition aus diesen Basiszuständen konstruiert werden, z.B. für N = 3
|ψ> = ψ₁₀₀ |1,0,0> + ψ₂₀₀ |2,0,0> + ψ₁₀₁ |1,0,1>
Nun ist natürlich nicht jedes Problem ein N-dim. harmonischer Oszillator. Da jedoch zwischen beliebigen separablen Hilberträumen immer ein Isomorphismus existiert, kann jedes Problem auf diesen Hilbertraum abgebildet werden (was für konkrete Berechnungen völlig impraktikabel wäre ;-) Die strukturelle Unterscheidung zwischen den Problemen liegt dann aber nicht in den Hilberträumen oder den Zuständen begründet, sondern in den darauf zu betrachtenden Operatoren. Nicht der Zustand trägt die Bedeutung, sondern nur der Zustand bezogen auf die Observablen, also z.B. den Hamiltonoperatoren
H = p²/2m + ½ mω²x²
H = p²/2m - α/r
Einen a-Teilchen-Hilbertraum Hª erhältst du formal als direktes Produkt mit Symmetrisierung über diesen 1-Teilchen-Hilberträumen h = h¹
Hª = (h ⊗ h ⊗ ...) = ⨂ª h
In der Hamiltonschen Formulierung der QFT benutzt man den Fockraum F als Verallgemeinerung des Hilbertraumes für unendlich viele Teilchen.
Der Fockraum ist die direkte Summe der symmetrischen Tensoren über den a-Teilchen-Hilberträumen
F = ⨁ Hª = 1 ⊕ h ⊕ (h ⊗ h) ⊕ (h ⊗ h ⊗ h) ⊕ ...
Benutzt man in QM1 und Quantenfeldtheorie verschieden strukturierte Hilberträume?
Nicht wirklich.
Die zugrundeliegenden Hilberträume sind identisch. Man könnte auch ein N-Teilchen-Problem der QM1 im Fockraum definieren; der wesentliche Punkt ist, dass in der QM1 keine Operatoren verwendet werden, die die Teilchenzahl ändern.
"der wesentliche Punkt ist, dass in der QM1 keine Operatoren verwendet werden, die die Teilchenzahl ändern. "
Auch hier habe ich eine Frage:
Die Erzeugungs und Vernichtungsoperatoren stellen doch keinen physikalischen Vorgang da!? Oder doch?
Meiner bisherigen Anschauung nach, hat man einen Zustand im Hilbertraum und ein physikalischer Vorgang ist die Anwendung des Zeitentwicklungsoperators auf diesen Zustand!?
Die Erzeugungs und Vernichtungsoperatoren stellen doch keinen physikalischen Vorgang da!? Oder doch?
Ein einzelner derartiger Operator stellt keinen physikalischen Vorgang dar; z.B. würde das im Falle des Elektrons die Erhaltungssätze für Energie, Impuls, Drehimpuls und Ladung verletzen.
Aber diverse Kombinationen stellen durchaus reale Vorgänge dar; z.B. wird die Vernichtung von Elektron und Positron mit Erzeugung eines Photons durch ein Produkt dreier derartiger Operatoren beschreiben.
Meiner bisherigen Anschauung nach, hat man einen Zustand im Hilbertraum und ein physikalischer Vorgang ist die Anwendung des Zeitentwicklungsoperators auf diesen Zustand!?
Richtig. Und im Hamiltonoperator der QED kommt u.a. dieses o.g. Produkt vor.
Die Erzeugungs und Vernichtungsoperatoren stellen doch keinen physikalischen Vorgang da!? Oder doch?
Ich verstehe es beim Feldoperator so, dass dieser ja bereits die Messung des Feldes beschreiben soll und das geht natürlich nur, wenn der Detektor mit dem Feld wechselwirkt. Insofern macht es Sinn den Feldoperator über die Kombination eines Erzeugungs- und eines Vernichtungsoperators zu beschreiben. Dies entspricht der Emission oder Absorption eines Teilchens bei dem Messvorgang. Die Fourieranalyse des Feldes ergibt die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten für beide Vorgänge.
Man findet diese Sichweise übrigens "so in etwa" auch in einem der populärwissenschaftlichen Bücher von R. Feynman. Ich denke es war: QED - Die seltsame Theorie des Lichts und der Materie. D.h. in dem Buch wird das ansatzweise so formuliert.
Meiner bisherigen Anschauung nach, hat man einen Zustand im Hilbertraum und ein physikalischer Vorgang ist die Anwendung des Zeitentwicklungsoperators auf diesen Zustand!?
Anders ausgedrückt: Die Dynamik (d.h. Zeitentwicklung) eines quantenmechanischen Systems wird mit Hilfe des zugehörigen Hamiltonoperators beschrieben.
Ich verstehe es beim Feldoperator so, dass dieser ja bereits die Messung des Feldes beschreiben soll und das geht natürlich nur, wenn der Detektor mit dem Feld wechselwirkt. Insofern macht es Sinn den Feldoperator über die Kombination eines Erzeugungs- und eines Vernichtungsoperators zu beschreiben. Dies entspricht der Emission oder Absorption eines Teilchens bei dem Messvorgang. Die Fourieranalyse des Feldes ergibt die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten für beide Vorgänge.
Sorry, nein, mit einer Messung hat das nichts zu tun.
Messung und Detektor sind nicht Bestandteil des Formalismus der QFT (so wie auch in der orthodoxen QM).
Tatsache ist, dass man asymptotischen Zuständen scharf definierten Impuls etc. zuschreibt und dass es gerade diese asymptotischen Zustände sind, die üblicherweise mittels der Feldoperatoren sowie Fouriertransformation eingeführt werden. Das ist jedoch weder notwendig - man kann auch andere Zustände verwenden - noch immer sinnvoll - nämlich dann nicht, wenn z.B. keine asymptotischen Zustände existieren wie im Falle des Confinements von Quarks und Gluonen.
Dass es gerade diese asymptotischen Zustände sind, die man Streuexperimenten misst, bedeutet keineswegs, dass der Formalismus diese Messung oder den Detektor mathematisch beschreibt. Man benutzt im Formalismus lediglich mathematische Objekte, die man dann im Kontext einer Messung interpretieren kann.
Anders ausgedrückt: Die Dynamik (d.h. Zeitentwicklung) eines quantenmechanischen Systems wird mit Hilfe des zugehörigen Hamiltonoperators beschrieben.
Genau.
Sorry, nein, mit einer Messung hat das nichts zu tun.
Schade. Ich dachte man käme so zu einer möglichst anschaulichen Deutung, aber ich bekomme da aktuell leider auch nicht mehr hin.
Hallo,
ich habe hier in den letzten Tagen viel gepostet. Hier ist nochmal eine grundsätzliche Verständnisfrage:
Ich habe aus den Antworten meiner Posts herausgehört, dass man folgendes unterscheiden muss:
In QM1 wird ein Teilchen quasi schon als Feld behandelt, in dem Sinne, dass es dort eine Wellengleichung gibt, die das Teilchen beschreibt. Wo genau ist der Unterschied zur der Quantenfeldtheorie?
Die Quantenmechanik (auch die relativistische) ist nur in der Lage, ein System mit einer konstanten Anzahl von Teilchen zu beschreiben: Prozesse, wie sie etwa Alltag in Beschleunigern sind (Vernichtung und Entstehung von Teilchen) liegen außerhalb des Rahmens der Quantenmechanik.
Zudem kennt die Quantenfeldtheorie keinen fundamentalen Unterschied zwischen Teilchen und Wechselwirkungen ("Feldern") mehr: sie werden gleich behandelt; Wechselwirkung werden über Felder/Quanten vermittelt.
Oder war das schon beantwortet worden?
Oder war das schon beantwortet worden?
Alles OK. Und selbst wenn, so kann es nicht schaden, es mit anderen Worten zu wiederholen.
Hallo,
wenn ich mich ne Zeitlang nicht zurückmelde liegt es daran, dass ich mich mit Logik beschäftige. Meine Fragen sind noch nicht geklärt!
Wenn ich das richtig herausgehört habe, kann man wenn es keine Erzeugung und Vernichtung gibt, eine Einteilchen oder Vielteilchen Wellenfunktion aufstellen, die sich gemäß einer Wellengleichung, wie die Diraqgleichung, verhält. Auch ein Potential ist kein Problem einzubauen, wie in QM1 wo man eine Einteilchenwellenfunktion in einem Potential betrachtet.
Interessant wird es wenn man die Wechselwirkung, z.B. zwischen einem Elektron und einem Photon beschreibt. Hier liegt kein Potential vor, sondern Feldquanten.
Ich möchte nun ein Elektron betrachten, welches sich in einem Potential befindet, welches ein Photon absorbiert oder emmitiert. Wenn ein Prozess durch Erzeuger und Vernichter dargestellt wird muss die Energie und der Impuls ja erhalten bleiben. Das sollte erfüllt sein, wenn ein Elektron in einem Potential durch Absorbation eines Photons in einen höheren Zustand übergeht. Man würde einen Vernichtungsoperator anwenden, um das Elektron "verschwinden" zu lassen, um es durch einen Erzeuger in dem neuen Zustand wieder "auftauchen" lassen. Durch diese Beschreibung kann man nicht fragen, wo es in der Zwischenzeit war.
Was passiert mit dem Feldquant Photon? Man müsste wohl hier einen Vernichter anwenden. Insgesamt hätte man einen physikalischen Vorgang, der durch Erzeuger und Vernichter beschrieben wäre.
Einen physikalischen Vorgang müsste man stets durch einen Zeitentwicklungsoperator beschreiben können. Wie sähe dieser für den beschriebenen Prozess aus?
Könnte mir vorstellen, dass die Beschreibung durch eine Wellengleichung hier zusammenbricht, da das Photon ja verschwindet und dessen Wellengleichung irgengwo "zusammenbricht"?
Benutzt man hier Feymanngraphen um das zu beschreiben? Meines Wissens sind Feynmanngraphen nur eine Möglichkeit sowas auszurechnen. So wie ich diese verstanden habe, betrachtet man immer reelle Teilchen, die in den Graphen hinein und am Ende herauskommen. Und macht eine Reihenentwicklung nach der Kopplungskonstanten. Ich verstehe das so, dass ein einzelner Feynmanngraph nicht einen bestimmten physikalischen Vorgang beschreibt, sondern nur die gesammte Reihenentwicklung als ganzes ein "messbares" Ergebnis produziert.
Ich hoffe, die Diskussion geht an dieser Stelle weiter.
Hallo,
wenn ich mich ne Zeitlang nicht zurückmelde liegt es daran, dass ich mich mit Logik beschäftige. Meine Fragen sind noch nicht geklärt!
Wenn ich das richtig herausgehört habe, kann man wenn es keine Erzeugung und Vernichtung gibt, eine Einteilchen oder Vielteilchen Wellenfunktion aufstellen, die sich gemäß einer Wellengleichung, wie die Diraqgleichung, verhält. Auch ein Potential ist kein Problem einzubauen, wie in QM1 wo man eine Einteilchenwellenfunktion in einem Potential betrachtet.
Interessant wird es wenn man die Wechselwirkung, z.B. zwischen einem Elektron und einem Photon beschreibt. Hier liegt kein Potential vor, sondern Feldquanten.
Ich möchte nun ein Elektron betrachten, welches sich in einem Potential befindet, welches ein Photon absorbiert oder emmitiert. Wenn ein Prozess durch Erzeuger und Vernichter dargestellt wird muss die Energie und der Impuls ja erhalten bleiben. Das sollte erfüllt sein, wenn ein Elektron in einem Potential durch Absorbation eines Photons in einen höheren Zustand übergeht. Man würde einen Vernichtungsoperator anwenden, um das Elektron "verschwinden" zu lassen, um es durch einen Erzeuger in dem neuen Zustand wieder "auftauchen" lassen. Durch diese Beschreibung kann man nicht fragen, wo es in der Zwischenzeit war.
Was passiert mit dem Feldquant Photon? Man müsste wohl hier einen Vernichter anwenden. Insgesamt hätte man einen physikalischen Vorgang, der durch Erzeuger und Vernichter beschrieben wäre.
Einen physikalischen Vorgang müsste man stets durch einen Zeitentwicklungsoperator beschreiben können. Wie sähe dieser für den beschriebenen Prozess aus?
Könnte mir vorstellen, dass die Beschreibung durch eine Wellengleichung hier zusammenbricht, da das Photon ja verschwindet und dessen Wellengleichung irgengwo "zusammenbricht"?
Benutzt man hier Feymanngraphen um das zu beschreiben? Meines Wissens sind Feynmanngraphen nur eine Möglichkeit sowas auszurechnen. So wie ich diese verstanden habe, betrachtet man immer reelle Teilchen, die in den Graphen hinein und am Ende herauskommen. Und macht eine Reihenentwicklung nach der Kopplungskonstanten. Ich verstehe das so, dass ein einzelner Feynmanngraph nicht einen bestimmten physikalischen Vorgang beschreibt, sondern nur die gesammte Reihenentwicklung als ganzes ein "messbares" Ergebnis produziert.
Ich hoffe, die Diskussion geht an dieser Stelle weiter.
Entwicklung nach Feynman-Graphen ist ein störungstheoretischer Ansatz, d.h. die Kopplungskonstante der WW muss klein genug sein, um zu garantieren, dass die Beiträge mit steigender Ordnung auch wirklich kleiner werden bzw. konvergieren, ansonsten würde man einen unabschätzbar großen Fehler machen, wenn man nur bis zu einer gewissen Ordnung rechnet. Zum anderen geht die Entwicklung nach Feynman-Graphen davon aus, dass die ein- und auslaufenden Teilchen nicht nur reell sondern auch frei sind, denn sie werden durch ebene Wellen approximiert. Typische Anwendungen für Feynman-Graphen sind deshalb Streuprozesse. Für ein im Potenzial gebundenes Elektron wie in deinem Beispiel sind Feynman-Graphen aber nicht so gut geeignet. Übergänge in Atomen beschreibt man i.a. durch Lösungen der Schrödinger- (oder Dirac-) Gleichung. Quantenfeldtheoretische Rechnungen fließen dann ggf. als Korrekturen ein (Lamb-Shift etc).
Man kann das schon in etwa so mittels Störungstheorie und ggf. Feynmandiagrammen beschreiben. Letztere sind ja nur Buchhaltungstricks für bestimmte Matrixelemente.
Im Falle eines Potentials kann man jedoch für die Elektronen keine ebenen Wellen / freie Teilchen ansetzen, sondern man muss die Störungstheorie für gebundene Elektronen formulieren. Dies würde dann nicht auf die üblichen Feynmanregeln führen, denn diese wurden für freie Teilchen abgeleitet. D.h. dass zwar die selbe Diagramme vorliegen, dass die Rechenregeln jedoch angepasst werden. Oder man verzichtet ganz auf die Diagramme und berechnet das Matrixelement "zu Fuß".
Ein bekannter Anwendungsfall ist die Lamb-Shift der gebundenen Elektronen im Wassertoffatom. Da man hier im Ein- und Ausgangszustand ausschließlich jeweils ein Elektron hat, ist der niedrigsten Beiträge der QED das 1-Loop-Diagramm mit einem virtuellen Photon (soweit ich mich erinnern kann :-)
Leider haben wir hier kein LaTeX; es ist vom Konzept her nicht so schwer zu verstehen.
Hallo,
ich habe mir eine andere Antwort erhofft. Die Feymanngraphen habe ich ungefähr verstanden.
Wenn ich z.B. ein Elektron betrachte, dann kann ich eine Wellengleichung des Elektrons aufstellen, wobei ich wohl die Diraqgleichung hernehme oder die Schrödingergleichung im nicht-relativistischen Fall. Ich kann auch ein Potential hinzunehmen und z.B. das Wasserstoffatom lösen. Ich kann mir auch die Konstruktion einer Vielteilchen-Wellenfunktion vorstellen, mit den richtigen Vertauschungsregeln, die durch eine Wellengleichung beschrieben ist.
Mir geht es darum wie ein Fermion mit einem Feldquant aus dem Bosonenfeld wechselwirkt. Wie man dabei die Erzeuger und Vernichter in die Beschreibung einbaut. Bis jetzt verstehe ich nur, dass man mit Erzeuger und Vernichter eine Feldkonfiguration aufbauen kann, die sich dann gemäß einer Wellengleichung zeitlich fortbewegt.
Wenn ein Elektron ein Photon absorbiert, würde man mit Erzeuger und Vernichter einen physikalischen Vorgang beschreiben, nicht bloß den Aufbau einer Feldkonfiguration.
Dann müssten doch Erzeuger und Vernichter explizit im Zeitendwicklungsoperator auftauchen?
Wenn ich z.B. ein Elektron betrachte, dann kann ich eine Wellengleichung des Elektrons aufstellen, wobei ich wohl die Diraqgleichung hernehme ...
Das ist relativistische Quantenmechanik.
Ich kann auch ein Potential hinzunehmen und z.B. das Wasserstoffatom lösen. Ich kann mir auch die Konstruktion einer Vielteilchen-Wellenfunktion vorstellen, mit den richtigen Vertauschungsregeln, die durch eine Wellengleichung beschrieben ist.
Das ist immer noch relativistische Quantenmechanik.
Mir geht es darum wie ein Fermion mit einem Feldquant aus dem Bosonenfeld wechselwirkt. Wie man dabei die Erzeuger und Vernichter in die Beschreibung einbaut. Bis jetzt verstehe ich nur, dass man mit Erzeuger und Vernichter eine Feldkonfiguration aufbauen kann, die sich dann gemäß einer Wellengleichung zeitlich fortbewegt.
Das ist jetzt Quantenfeldtheorie.
Zunächst mal musst du verstehen, dass das Feld ψ eine völlig andere Rolle spielt. In der relativistischen Quantenmechanik ist das Diracfeld soetwas wie eine verallgemeinerte Wellenfunktionen, in der Quantenfeldtheorie wird es zu einem Operator. Im ersten Fall trägt ψ die Information über des Zustand des quantenmechanischen Systems, in der Quantenfeldtheorie nicht! Hier ist es ein Feldoperatorer, der Zustand wird im Fockraum beschrieben.
Die Quantisierung funktioniert wie folgt: du löst die Diracgleichung
(iDγ - m)ψ = 0
mit der kovarianten Ableitung D und den Eichfeld A.
D = ∂ - ieA
Im Falle A = 0 resultieren daraus verallgemeinerte ebene Wellen U(k,x) V(k,x), im Falle des Wasserstoffatoms mit A₀ ~ 1/r verallgemeinerte Kugelwellen; erstere sind von der Form
U(k,x) = u(k) exp
Nun führst du eine verallgemeinerte Fourierzerlegung des Feldes bzgl. dieser Lösungen u,v durch, d.h.
ψ(x) = ∫ dk b(k) U(k,x) + ...
Die b(k) ... sind verallgemeinerte Fourierkomponenten bzgl. der Basis (k,x).
[I]Diese Fourierkomponenten werden nun als Operatoren interpretiert.
Nun betrachtet man die Lagrangedichte ℒ bzw. die daraus abgeleitete Hamilton- bzw. Energiedichte ℋ und den Hamiltonoperator
H = ∫ dx ℋ
Darin existiert u.a. ein Wechselwirkungsterm jA, analog zur klassischen Elektrodynamik. Der fermionische Strom j ist bilinear in den Diracfeldern ψ. Aus diesem Term stammt auch das Eichfeld A in der Diracgleichung.
Für das Eichfeld verwendet man eine analoge Vorgehensweise.
Führt man nun die Integration ∫ dx ℋ durch, so folgt
H = ∫ dk dk‘ dl ℋ
Diagonale Terme in k, k‘ mit δ(k-k‘) sind bilinear in den Erzeugern und Vernichtern beschreiben freie Teilchen; nicht-diagonale Terme in k, k’, l sind (mindestens) trilinear in Erzeugern und Vernichtern; in der QED vor der Eichfixierung wird der Fermion-Boson-Vertex durch Terme beschrieben, die zwei fermionische und einen bosonischen Operator enthalten.
Danke Tom, ich nehme deine Ausführungen zur Grundlage weiterer Recherche und Fragen.
Eine Frage zunächst: In der Lagrangefunktion wird die Wechselwirkung über die kovariante Ableitung eingeführt, so wie du es auch in deiner Beschreibung machst: D = ∂ - ieA
Ist dies DIE exakte Beschreibung oder nur eine Näherung für z.B. schwache Felder?
Dies gilt für beliebige Felder und stellt keine Näherung dar.
Hast du meine PN gelesen?
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