Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : Pauli-Prinzip und Atomphysik
wolfgang6444
25.11.18, 08:26
Ich habe eine Problem mit dem Pauli-Prinizp - genauer seiner Anwendung auf die Atomphysik.
Was ich verstanden (zu haben glaube):
Fermionen => Gesamtzuzstandsfunktion aendert Vorzeichen bei Vertauschung zweier identischer Teilchen.
Betrachtung 1) He-atom ohne Spin-Bahn-Kopplung und ohne Elektron-Elektron Wechselwirkung.
Wegen der fehlenden Wechselwrikungen faktorisiert die Zustandsfunktion vollstaendig:
psi(r1,r2,s1,s2)=phi1(r1)*phi2(r2)*S1(s1)*S2(s2)
Da die Teilchen identisch sind gilt S1(s) =S2(s)=:S(s)
Angenommen beide Teilchen haetten gleichen Spin
=>s1=s2=:s
Angenommen beide Teilchen seien im gleichen Zustand der Ortszustands-Funktion also phi1(r)=phi2(r) =: phi(r)
=>psi = phi(r1)*phi(r2)*S(s)*S(s)
Da die Teilchen identisch sind gilt
psi -> -psi fuer r1<-> r2 (Vertauschung des spins sinnlos, da eh identisch angenommen)
=>phi(r1)*phi(r2) =-phi(r2)*phi(r1)
Das geht nur, wenn ph(r) identisch gleich Null, was natuerlich keinen Sinn macht.
Das ergibt dann die aus der Schulchemie bekannte Aussage:
Haben zwei Elektronen im (Atom) gleichen Spin, so koennen sie sich nicht im gleichen Zustand (der Ortszustandsfunktion) befinden. Oder andersherum:
Im Grundzsustand des He-Atoms (beide Elektronen im gleichen Ortszustand) haben die Elektronen gegensaetzlichen Spin.
Was ich nicht mehr verstehe:
2)Wenn man die Coulomb-Wechselwirkung zwischen den Elektronen einschaltet (immernoch ohne Spin-Bahn-Kopplung) (siehe z.B. https://de.wikipedia.org/wiki/Austauschwechselwirkung), so folgt scheinbar, dass im Grundzustand beide e- GLEICHEN spin haben.
Die Argumentation geht (qualitativ) in etwa so:
Wegen der fehlenden Spin-Bahn-Kopplung faktorisiert die Zustandsfunktion immernoch in Spin- und Bahn-Term. Der Bahn-Term faktorisiert aber nicht weiter. Man kommt also nur bis
psi = phi(r1,r2)*S(s1)*S(s2)
Fuer gleichen Spin folgt dann aus dem Pauli-Prinzip nicht mehr, dass die Ortsfunktion identisch gleich null sein muss, sondern lediglich, dass sie fuer r1=r2 verschwindet.
Das bedeutet, der Zustand mit gleichem Spin ist grundsaetzlich moeglich. Es fragt sich nur, ob er der Grundzustand sein kann.
Die sehr gewagte - aber irgendwie plausible - Argumentation geht so: wegen phi(r,r)= 0 kann man annehmen, dass auch |phi(r1,r2)|^2 fuer benachbarte r1, und r2 klein sein wird.
Das bedeutet, dass die Elektronen sich seltener (oder mit geringerer Wahrscheinlichkeit) nahe beeinander befinden, wenn sie den gleiche Spin haben. Da sie sich wegen der Coulomb-Wechselwirkung abstossen ist dieser Zustand (gleicher Spin) energetisch guenstiger als der entsprechende Zustand mit anitparallelem Spin. => Der Grundzustand hat parallelen Spin.
Irgendetwas kann hier nicht stimmen: Durch das Einschalten der Coulombwechselwirkung wechselt der Spin des Grundzustandes - und dass auch schon wenn man die Coulombwechselwirkung nur zu x% einschaltet mit x gegen null.
Fuer eine Erhellung waere ich sehr dankbar.
Wolfgang
(sorry fuer den den langen ersten post)
Ich denke, da steckt bereits in der Grundannahme ein Fehler:
He-Atom ohne Spin-Bahn-Kopplung und ohne Elektron-Elektron Wechselwirkungen. Wegen der fehlenden Wechselwirkungen faktorisiert die Zustandsfunktion vollstaendig ...
Das ist nicht korrekt. Die Antisymmetrisierung für Fermionen gilt auch für nicht-wechselwirkende Systeme und folgt keineswegs erst aus der Wechselwirkung.
wolfgang6444
25.11.18, 10:19
Was genau ist nicht korrekt?
Klar gilt das Pauli-Prinizip fuer Systeme mit oder ohne direkter Wechselwirkung zwischen den Elektronen. Das ist ja die Grundlage der ersten Betrachtung mit dem Ergebnis "Grundzustand hat antiparallelen Spin".
Die fehlende Wechslewirkung ist halt die Voraussetzung dass die Ortszustandsfunktion faktorisiert d.h. bei vorhandener e- e- Wechselwirkung kann man nicht mehr annehmen psi(r1,r2,s1,s2)=phi1(r1)*phi2(r2)*S(s1,s2). Mehr soll der Satz nicht aussagen.
Die Wellenfunktion faktorisiert eben nicht.
wolfgang6444
25.11.18, 10:30
Hallo Tom,
kannst Du das etwas genauer ausfuehren? Fuer mich impliziert fehlende Wechselwirkung Unabhaengigkeit der Teilchen voneinander. Das bedeutet anschaulich: Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Elektrons ist unabhaengig von der des anderen und genau das ist mathematisch ausgedrueckt psi(r1,r2)=phi1(r1)*phi2(r2).
wolfgang6444
25.11.18, 11:38
Irgendwie raffe ich das nicht.
Hier nochmal ganz ohne Mathe:
http://hydrogen.physik.uni-wuppertal.de/hyperphysics/hyperphysics/hbase/quantum/helium.html#c2
Da steht oben: Orthohelium (antiparalleler Spin) hat geringere Energie => Grundzustand ist Orthohelium.
Im Text darunter wird begruendegt, dass bei parallelem Spin (Parahelium) die Abschirmung des Kerns geringer ist, die Elektronen also staerker gebunden sind => Parahelium ist der Grundzustand.
Was verstehe ich hier falsch?
wolfgang6444
25.11.18, 12:09
Sind jetzt bei Parahelium die Spins parallel oder antiparallel?
http://hydrogen.physik.uni-wuppertal.de/hyperphysics/hyperphysics/hbase/quantum/helium.html#c2
:
"Ein Eektron in einem höheren Niveau kann einen Spin parallel (S=0, Singulett, Parahelium) oder antiparallel zu dem Elektron im Grundzustand haben (S=1, Triplett, Orthohelium)."
Also Singulett, S=0, Parahelium, paraller Spin
http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/ap-2015/ap-2015se30.html:
"Man bezeichnet He im Singulett-System als Parahelium, He im Triplettsystem wird als Orthohelium bezeichnet. Im Singulettsystem von Helium wird keine Feinstruktur beobachtet. Das bedeutet, dass die Spins der Elektronen antiparallel sein müssen."
Also Singulett, S=0, Spins antiparallel
Was stimmt hier?
kannst Du das etwas genauer ausfuehren? Fuer mich impliziert fehlende Wechselwirkung Unabhaengigkeit der Teilchen voneinander.
Sie sind dynamisch unabhängig, jedoch nicht algebraisch. Der Zustandsraum enthält nur total antisymmetrische Zustände.
Betrachten wir einen vollständigen Satz Observablen mit einer Menge von Eigenwerten M, N, z.B. {Impuls, Spin, Isospin, ...}. Der Hilbertraum eines Einteilchensystems wird aufgespannt durch die Vektoren |M>, wobei M alle Elemente von {...} durchläuft; der Hilbertraum eines Zweiteilchensystems wird aufgespannt durch die Vektoren |M> ⊗ |N>, wobei M,N alle Elemente von {...} durchlaufen; analog für n-Teilchen-Systeme mit n Faktoren |M> ⊗ |N> ⊗ ... Dabei steht der Zustand des k-ten Teilchens an der k-ten Stelle.
Nach dem Spin-Statistik-Theorem (https://en.m.wikipedia.org/wiki/Spin%E2%80%93statistics_theorem) sind jedoch für Fermionen (Bosonen) nur vollständig antisymmetrische (symmetrische) Zustände möglich.
Für zwei Fermionen mit jeweils zwei möglichen Zuständen |1> bzw. |2> bedeutet dies, dass der resultierende Zustandsraum nicht 4-dimensional gemäß |1> ⊗ |1>, |1> ⊗ |2>, |2> ⊗ |1>, |2> ⊗ |1> sondern gemäß Antisymmetrisierung nur eindimensional entsprechend |1> ⊗ |2> - |2> ⊗ |1> ist.
Wenn beide Teilchen untereinander nicht wechselwirken, dann entsprechen diese Zustände denen der freien Teilchen. Du kannst sie beliebig in derartige Zustände |M> ⊗ |N> setzen - vorausgesetzt dass M ≠ N. Das ist keine Aussge zur Dynamik und zur Wechselwirkung; es ist nicht so, dass die Wechselwirkung irgendwie den Zustand |M> ⊗ |M> verhindern würde, er existiert einfach nicht. Daran ändert auch das „Einschalten“ einer Wechselwirkung nichts. Sie würde die Zustände ändern, jedoch keine Zustände verbieten oder zulassen.
Später mehr zum Helium ...
Beim Helium gehen wir zunächst von nicht untereinander wechselwirkenden Elektronen aus. Jeder Elektron wird dann durch die Quantenzahlen n=1,2,...; l=0,1,...,n-1; l₃=-l...+l; s₃=-½,+½ beschrieben, d.h. die Zustände lauten |n,l,l₃,s₃>. Die ungestörten Energieniveaus werden wir beim Wasserstoff berechnet, die Störung durch die Elektron-Elektron-Wechselwirkung wir in erster Ordnung durch das Matrixelement von 1/|r₁ - r₂| im jeweiligen Zustand berechnet.
Zum Termschema siehe hier:
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Helium_atom#/media/File%3AHelium-term-scheme.svg
Insgs. werden die vier möglichen Kombinationen der beiden s₃, nämlich -½,-½; -½,+½; +½,-½; +½,+½ zu einem Singulett mit Gesamtspin S=0, S₃=0 sowie einem Triplett S=1 mit S₃=-1,0,+1 gekoppelt. Parahelium entspricht dem Singulett mit antiparallelem Spin, Orthohelium dem Triplett.
Der Einelektron-Grundzustand ist zweifach entartet und lautet |1,0,0,s₃> mit s₃=-½,+½.
Für den Zweielektron-Grundzustand gilt Antisymmetrisierung, d.h. dass nicht beide Elektronen im selben Einelektron-Grundzustand sein können.
Im Falle des Parahelium mit antiparallelem Spin und S=0 ist jedoch
|1,0,0,+½> ⊗ |1,0,0,-½> - |1,0,0,-½> ⊗ |1,0,0,+½>
möglich, d.h. beide Elektronen sitzen im Zustand |100>.
Im Falle des Orthoheliums mit parallelem Spin und S=1 wäre dieser Zustand verboten, d.h. im Grundzustand sitzt bereits ein Elektron im Zustand |200> d.h. z.B.
|1,0,0,+½> ⊗ |2,0,0,+½> - |2,0,0,+½> ⊗ |1,0,0,+½>
Dies entspräche einem Spin-Zustand des Tripletts, nämlich |S=1, S₃=+1>.
wolfgang6444
27.11.18, 18:30
Hallo Tom,
zunaechst einmal vielen Dank fuer die ausfuerhlichen Antworten.
zum Pauli-Prinzip: Ich habe den Eindruck, dass wir hier irgendwie aneinander vorbeireden.
Du zwingst mich, praeziser zu formulieren, und das ist gut weil ich dann versuche praeziser zu denken,
Die Faktorisierung der Zustandsfunktion (manchmal auch Separation der Koordinaten genannt) hat nach meinem Verstaendnis noch garnichts mit dem Pauli-Prinzip zu tun, sondern ist fuer mich pure Mathematik:
Wenn sich ein vollstaendiger Satz an Observablen eines Systems so in disjunkte Klassen aufteilen laesst, dass der (potentielle Anteil) des Hamilton-Operators aus des zeitunabhaengigen Schroedinger-Gleichung des Systems in Summanden zerfaellt, die jeweils nur von den Elementen einer Klasse abhaengen, so laesst sich die zeitunabhaengige Zustandsfunktion des Systems als Produkt von Einzelzustandsfunktionen schreiben, die ihreresits nur von den Elementen dieser Klasse abhaengen.
Kurz:
Wenn V(x,y)=V1(x)+V2(y) dann kann man die Loesung der zeitunabhaengigen Schroedingergelichung schreiben als psi(x,y)=phi1(x)*phi2(y), wobei phi1 und phi2 dann ihrerseits irgendwelchen partiellen DGLs nur in ihren eignen Observablen genuegen muessen, mit entsprechenden Eigenfunktionen, Quanternzahlen etc.
Das laeuft doch analog zu der "ueblichen Separation der Zeit" in der Schroedingergleichung siehe z.B. http://ravel.pctc.uni-kiel.de/scripts/TC_I/herleitungen.pdf
Stimmt das soweit? Sonst muesste ich versuchen die Gleichungen hier irgendwie reinzubekommen.
Genau dieser Zerfall des Potentials in Summanden, die nur von einzelnen Observablen abhanegen bedeutet fuer mich "Wechselwirkungsfreiheit": Es gibt ein Potential, das nur von x abhaengt abhanegt und eines nur von y -aber KEINEN Term, der sich nur durch eine Abhaengigkeit von beiden Koordinaten gemeinsam ausdruecken laesst
Jetzt koennen aber in einem Mehrteilchensystem x und y (alias r1 und r2) jeweils fuer die 3 Raumkkodinaten der einzelnen Teilchen stehen. Wenn dann im Potential nur Terme wie 1/|r1| oder 1/|r2| auftauchen, aber nicht 1/|r1-r2| dann separariert psi(r1,r2) ind phi1(r1)*phi(r2).
Stimmt das soweit?
bis hierher alles ohne Pauli
Die Faktorisierung der Zustandsfunktion (manchmal auch Separation der Koordinaten genannt) hat nach meinem Verstaendnis noch garnichts mit dem Pauli-Prinzip zu tun, sondern ist fuer mich pure Mathematik:
Wenn sich ein vollstaendiger Satz an Observablen eines Systems so in disjunkte Klassen aufteilen laesst, dass der (potentielle Anteil) des Hamilton-Operators aus des zeitunabhaengigen Schroedinger-Gleichung des Systems in Summanden zerfaellt, die jeweils nur von den Elementen einer Klasse abhaengen, so laesst sich die zeitunabhaengige Zustandsfunktion des Systems als Produkt von Einzelzustandsfunktionen schreiben, die ihreresits nur von den Elementen dieser Klasse abhaengen.
Das ist der bekannte Ansatz aus der Quantenmechanik.
Er ist jedoch falsch für ununterscheidbare Teilchen. Für diese gilt zwingend, dass bei Vertauschen der beiden Teilchen derselbe Zustand modulo eines Vorzeichens resultiert. Das ist mit dem Produktansatz nicht der Fall, und deswegen muss dieser Ansatz verworfen werden werden.
Jetzt koennen aber in einem Mehrteilchensystem x und y (alias r1 und r2) jeweils fuer die 3 Raumkkodinaten der einzelnen Teilchen stehen. Wenn dann im Potential nur Terme wie 1/|r1| oder 1/|r2| auftauchen, aber nicht 1/|r1-r2| dann separariert psi(r1,r2) in phi1(r1)*phi(r2).
Stimmt das soweit?
Normalerweise ja, für ununterscheidbare Teilchen nein.
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Identical_particles
https://www.uni-muenster.de/imperia/md/content/physik_ft/pdf/ss13/statistischephysik/skript/kap_09.pdf - insbs. 9.2, darin (9.21)
Nochmal: die Antisymmetrisierung ist zwingend für Fermionen; dies hat nichts mit irgendeiner speziellen Dynamik oder irgendeinem Hamiltonoperator zu tun, sondern sie gilt für beliebige Systeme.
Du hattest zu Beginn das Pauliprinzip genannt. Bei Anwendung des Pauliprinzips für zwei Fermionen mit jeweils zwei möglichen Zuständen |A> bzw. |B> bedeutet dies, dass der resultierende Zustandsraum nicht 4-dimensional gemäß |A> ⊗ |A>, |A> ⊗ |B>, |B> ⊗ |A>, |B> ⊗ |B> sondern gemäß Antisymmetrisierung nur eindimensional entsprechend |A> ⊗ |B> - |B> ⊗ |A> ist. Das Pauliprinzip erzwingt diese Form des Zustandsvektors und verbietet den naiven Separationsansatz.
Daher ist es auch nicht so, dass der Wechselwirkungsterm hier etwas grundsätzliches ändern würde; der Produktansatz ist schon für wechselwirkungsfreie Fermionen nicht mehr gegeben.
OK, evtl. kommen wir so nicht weiter, deswegen ein konkreter Ansatz:
In deinem 2-Elektronen-System sei die Elektron-Elektron-Wechselwirkung zunächst Null bzw. sehr schwach. Außerdem hänge der Hamiltonian nicht vom Spin ab. Letzteres bedeutet, dass für die 1-Elektron-Wellenfunktion der Separationsansatz
Ψ(r,s) = φ(r) · χ(s)
erlaubt ist.
Für den Spinoperator S² sowie die 3-Komponenten S₃ gelten die Eigenwertgleichungen
S² χ = ½ (½+ 1) χ = ¾ χ
S₃ χ = s χ; s = ± ½
i.A. wäre Ψ ein zweikomponentiger Spinor; aufgrund des Separationsansatzes erhalten wir eine einkomponentige Wellenfunktion φ sowie die zweikomponentigen Spinoren
χ(+½) = (+½, 0)
χ(-½) = (0, -½)
Für den Grundzustand (!) setzen wir nun
Ψ(r₁, s₁; r₂, s₂) = φ(r₁) · χ(+½) ⊗ φ(r₂) · χ(-½) – φ(r₁) · χ(-½) ⊗ φ(r₂) · χ(+½)
Man beachte, dass beide Elektronen dieselbe (!) räumliche Wellenfunktion φ(r) jedoch unterschiedliche χ(+½), χ(-½) haben. Daraus folgt
Ψ(r₁, s₁; r₂, s₂) = φ(r₁) · φ(r₂) [χ(+½) ⊗ χ(-½) – χ(-½) ⊗ χ(+½)]
Der räumliche Anteil ist symmetrisch, der Spin-Anteil antisymmetrisch unter Vertauschung von 1 und 2; d.h. insgs., ist Ψ antisymmetrisch, so wie es sein muss.
Der Spin-Anteil beschreibt ein Singulett, wie man mittels der Anwendung des Operators
[S ⊗ 1 + 1 ⊗ S]² = S² ⊗ 1 + 1 ⊗ S² + 2 S ⊗ S
auf die o.g. Wellenfunktion sofort berechnet.
Da nun der Hamiltonian spinunabhängig ist, reduziert sich die Eigenwertgleichung
(H – E) Ψ(r₁, s₁; r₂, s₂) = 0
auf
(H – E) φ(r₁) · φ(r₂) = 0
Und damit landest du wieder bei einem Separationsansatz mit einer symmetrischen Ortsraumwellenfunktion. Du musst jedoch beachten, dass dies nicht allgemeingültig ist und erst nach Faktorisierung von Ψ funktioniert.
wolfgang6444
29.11.18, 20:02
Das mit den Eigenwertgleichungen fuer den Spin und dessen Transformationsverhalten muss ich mir nochmal anschauen - ist zu lange her -, den Rest habe ich jetzt verstanden, denke ich:
Für den Grundzustand (!) setzen wir nun
Ψ(r₁, s₁; r₂, s₂) = φ(r₁) · χ(+½) ⊗ φ(r₂) · χ(-½) – φ(r₁) · χ(-½) ⊗ φ(r₂) · χ(+½)
Hier wird von der Separarierbarkeit der Ortswellenfunktion wegen der Annahme fehlender Coulomb-Wechselwirkung zwischen den e- Gebrauch gemacht.
Im Grundzustand sind die Ortswellenfunktionen beider e- per definitionem gleich (ohne Wechselwirkung), oder im Falle einer Wechselwirkung symmetrisch bzgl. Vertauschung.
Um die totale Antisymmetrie der Gesamtwellenfuntion zu erreichen, muss man dann also mit entgegengesetztem Spin linearkombinieren (Singulett, Parahelium). Das Gleiche gilt fuer alle anderen Zustaende mit gleichen Ortsquantenzahlen in beiden e-.
Wenn sich die Ortsquantenzahlen unterscheiden, kann man die totale Antisymmetrie auch bei parallelem Spin erreichen. Hier gibt es also Singulett und Triplet.
Beim Triplet muss wegen der totalen Antisymmetrie der Gesamtfunktion und dem gleichen Spin gelten Ψ(r, s₁; r, s₂)=0.
"Die Elektronen gehen sich aus dem Weg". Also weniger Coulombabstossung bzw. Kernabschirmung => fester gebunden.
Die Zustaende im Ortohelium sind (wenn es sie gibt) also fester gebunden als die entsprechenden im Parahelium.
Offenbar unterscheiden sich die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten der einzelnen Elektronen nicht zwischen Parahelium und Orthohelium.
Gilt das auch mit Coulombwechselwirkung ?
Lediglich die kombinierten Aufenthaltswahrscheinlichkeiten sind so, dass sich im Triplet 'die e- aus dem Weg gehen'.
Ich glaube ich habe wieder etwas dazugelernt.
Danke!
Hier wird von der Separarierbarkeit der Ortswellenfunktion wegen der Annahme fehlender Coulomb-Wechselwirkung zwischen den e- Gebrauch gemacht.
Im Grundzustand sind die Ortswellenfunktionen beider e- per definitionem gleich (ohne Wechselwirkung), oder im Falle einer Wechselwirkung symmetrisch bzgl. Vertauschung.
Nicht per definitionem sondern per Theorem.
Offenbar unterscheiden sich die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten der einzelnen Elektronen nicht zwischen Parahelium und Orthohelium.
Gilt das auch mit Coulombwechselwirkung ?
Das muss ich mir auch ohne Coulombwechselwirkung für allgemeine Zustände nochmal überlegen.
Danke!
Gerne!
Offenbar unterscheiden sich die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten der einzelnen Elektronen nicht zwischen Parahelium und Orthohelium.
Tom hat die Zustände doch bereits beschrieben.
Einmal sind es zwei Elektronen mit n=1 und das andere mal ein Elektron mit n=1 und das zweite Elektron mit n=2.
Die einzelnen Aufenthaltswahrscheinlichkeiten der Elektronen im Ortsraum sind damit ganz klar zu unterscheiden.
Für antiparallele Spins existiere einfach mehr Zustände als für parallele. Die Frage ist, ob und wie die Zustände, die in beiden Fällen existieren, sich unterscheiden.
Für antiparallele Spins existiere einfach mehr Zustände als für parallele.
Die unterscheiden sich aber nicht in der Aufenthaltswahrscheinlichkeit.
Um das zu diskutieren müssen wir Zustände betrachten, bei denen beide Teilchen sowohl verschiedenen als auch identischen Spin haben können. Dazu müssen die Ortszustände zwingend verschieden sein. D.h.
Ψ(r₁, s₁; r₂, s₂) = φ(r₁) · χ(+½) ⊗ ξ(r₂) · χ(±½) – ξ(r₁) · χ(±½) ⊗ φ(r₂) · χ(+½)
D.h. wir haben zwei verschiedenen Ortsraum-Wellenfunktionen φ ≠ ξ, ein Teilchen hat immer Spin +½, das andere ±½.
Wir betrachten für letzteres die beiden Fälle getrennt:
+)
Ψ[φ,+; ξ,+] = φ(r₁) · χ(+½) ⊗ ξ(r₂) · χ(+½) – ξ(r₁) · χ(+½) ⊗ φ(r₂) · χ(+½) = [φ(r₁) ξ(r₂) - ξ(r₁) φ(r₂)] · χ(+½) ⊗ · χ(+½)
-)
Ψ[φ,+; ξ,-] = φ(r₁) · χ(+½) ⊗ ξ(r₂) · χ(-½) – ξ(r₁) · χ(-½) ⊗ φ(r₂) · χ(+½)
Projektion auf die Spins liefert
+)
< χ(+½) ⊗ · χ(+½) | Ψ[φ,+; ξ,+] > = φ(r₁) ξ(r₂) - ξ(r₁) φ(r₂)
alle anderen Null
-)
< χ(+½) ⊗ · χ(+½) | Ψ[φ,+; ξ,-] > = 0
< χ(+½) ⊗ · χ(-½) | Ψ[φ,+; ξ,-] > = φ(r₁) · ξ(r₂)
< χ(-½) ⊗ · χ(+½) | Ψ[φ,+; ξ,-] > = - ξ(r₁) · φ(r₂)
< χ(-½) ⊗ · χ(-½) | Ψ[φ,+; ξ,-] > = 0
Die unterscheiden sich aber nicht in der Aufenthaltswahrscheinlichkeit.
Ich beziehe mich dabei auf den WP-Artikel zum Heliumatom. Beim Parahelium haben wir in guter Näherung eine symmetrische Ortswellenfunktion gegen Vertauschung der Elektronen und eine antisymmetrische Spinwellenfunktion (Singulett). Die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten werden in diesem Fall also durch eine Wellenfunktion für beide Elektronen beschrieben.
wolfgang6444
30.11.18, 18:11
D.h. dann doch, dass ich im Orthohelium zwar immernoch un-unterscheidbare e- habe, aber sehrwohl den Zustande "e- in φ hat positiven spin und e- in ξ hat negativen spin" von Zustand "e- in φ hat negativen spin und e- in ξ hat positiven spin" unterscheiden kann.
Wenn ich die spins nicht praepariere bekomme ich dann fuer Orthohelium eine unkorrelierte Ueberlagerung beider Zustaende und damit die kombinierte Wahrscheinlichkeit:
|φ(r₁) · ξ(r₂)|^2 + |φ(r₂) · ξ(r₁)|^2
waherend ich fuer Parahelium bekomme:
|φ(r₁) · ξ(r₂) - φ(r₂) · ξ(r₁)|^2
???
Nein, es liegen nie unterscheidbare Teilchen vor, in dem Sinne, dass das erste den Zustand A und das zweite den Zustand B hätte. Eines hat den Zustand A, eines B. Welches das jeweils ist, ist nicht feststellbar, da die Elektronen kein weiteres Merkmal hätten, anhand dessen man sie unterscheiden könnte.
Sie wären unterscheidbar, wenn keine Antisymmetrisierung vorläge. Aber das führt zu theoretischen Inkonsistenzen sowie zu Widersprüchen zum Experiment.
wolfgang6444
30.11.18, 18:34
Bist Du Dir da sicher?
Ich will doch nicht die e- unterscheiden sondern die beiden Zustaende.
wolfgang6444
30.11.18, 18:52
Konkret:
Wenn ich zwei weit entfernte Wasserstoffatome habe, kann ich doch die Faelle:
1s1+ und 2s1- unterscheiden von
1s1- und 2s1+
ohne dass ich dazu ein e- "rot anmalen" muss.
Das ist hier fuer mich das gleiche, nur dass beide e- hier um dasselbe Proton kreisen.
Ich will doch nicht die e- unterscheiden sondern die beiden Zustaende.
Du musst aber zwischen Einteilchen- und Zweiteilchen-Zuständen unterscheiden.
Im Fall, dass zwei Elektronen die zwei verschiedenen Einteilchen-Zustände psi1(x) und psi2(x) besetzen, kannst du daraus per Antisymmetrisierung
psi(x1,x2) := 1/sqrt(2) * psi1(x1) * psi2(x2) - 1/sqrt(2) * psi1(x2) * psi2(x1)
einen physikalisch korrekten Zweiteilchen-Zustand konstruieren.
Bist Du Dir da sicher?
Ja, bin ich; es liegen nie unterscheidbare Teilchen vor.
Ich will doch nicht die e- unterscheiden sondern die beiden Zustaende.
Und ja, da hast du auch recht; du kannst die Zustände unterscheiden, nicht jedoch die einzelnen Elektronen.
Sorry, ich hatte falsch gelesen.
wolfgang6444
01.12.18, 07:43
Ich stelle mir das jetzt so vor:
Wir machen zwei parallele Versuche. Dazu praeparieren wir He in einen Zustand mit jeweils zwei unterschiedlichen Einzelelektronortsfunktionen fuer beide e- ; etwa φ und ξ (z.B. 1s1 und 2s1).
In Versuch a) praeparieren wir die als Orthoheliumin Versuch b) als Parahelium
Dann gibt es fuer a) nur eine moegliche Zustandsfunktion:
[φ(r₁) ξ(r₂) - ξ(r₁) φ(r₂)] · χ(+½) ⊗ · χ(+½) (Triplet, Gesamtspin 1, dreifach entartet wegen mS, ). Damit ist die "Aufenthaltswahrscheinlichkeit" hier eindeutig:
|φ(r₁) · ξ(r₂) - φ(r₂) · ξ(r₁)|^2.
Bei Parahelium gibt es mehrere Moeglichkeiten:
b1) : φ(r₁) · χ(+½) ⊗ ξ(r₂) · χ(-½) – ξ(r₁) · χ(-½) ⊗ φ(r₂) · χ(+½)
und b2): φ(r₁) · χ(-½) ⊗ ξ(r₂) · χ(+½) – ξ(r₁) · χ(+½) ⊗ φ(r₂) · χ(-½)
Die Zustandsfunktionen b1 und b2 sind jeweils totalantisymmetrisch (Pauli ist happy), aber meiner Meinung nach wohlunterscheidbar: in b1 hat φ immer positiven Spin und ξ negativen, in b2 hat φ immer negativen Spin und ξ positiven.
Wenn ich jetzt bei der Praeparartion keinen Wert auf den Spin lege, bekomme ich eine "unkorrelierte" Ueberlagerung beider Zustaende, soll heissen, keine Uebergaenge, keine Wechselwirkung, keine Austauchintegrale - nichts.
Und dann sollte sich die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten doch berechnen koennen gemaess:
|φ(r₁) · ξ(r₂)|^2 + |φ(r₂) · ξ(r₁)|^2
Was ist daran falsch?
Ich dachte eigentlich, Tom wollte mit den Projektionen genau das ausdruecken.
Dann gibt es fuer a) nur eine moegliche Zustandsfunktion:
[φ(r₁) ξ(r₂) - ξ(r₁) φ(r₂)] · χ(+½) ⊗ · χ(+½)
Das ist laut WP ein Zustand des Orthoheliums.
EDIT: Laut letztem Abschnitt im WP-Artikel sind die Darstellungen über Einteilchenwellenfunktionen scheinbar auch nur als (grobe) Veranschaulichungen zu verstehen. Ich hoffe aber, dass wenigstens die Symmetriebetrachtungen passen, d.h.
Parahelium: Symmetrische Ortswellenfunktion, antisymmetrische Spinwellenfunktion (Singulett)
Orthohelium: Antisymmetrische Ortswellenfunktion, symmetrische Spinwellenfunktion (Triplett)
Die Zustandsfunktionen b1 und b2 sind jeweils totalantisymmetrisch, aber meiner Meinung nach wohlunterscheidbar: in b1 hat φ immer positiven Spin und ξ negativen, in b2 hat φ immer negativen Spin und ξ positiven.
Richtig.
“Ununterscheidbar” bedeutet lediglich, dass du nicht sagen kannst “das erste Elektron ist im Zustand 1s mit Spin-up”.
Du kannst jedoch sehr wohl sagen “das Elektron mit Spin-up ist im Ortszustand 1s”.
wolfgang6444
01.12.18, 10:12
@Bernhard:
ja da habe ich Ortho - und Para wieder verwechselt - danke! -ist inzwischen korrigiert.
Ja, das mit den Einteilchenwellenfunktionen setzt Separierbarkeit voraus, und das geht nur wenn man jegliche Wechselwirkung zwischen den e- abschaltet. In diesem Sinne eine "mehr oder weniger grobe" Vereinfachung. Siehe oben imselben thread.
Gruss,
Wolfang
... das mit den Einteilchenwellenfunktionen setzt Separierbarkeit voraus, und das geht nur wenn man jegliche Wechselwirkung zwischen den e- abschaltet.
Nochmal - nein.
Die o.g. Wellenfunktionen gelten für abgeschaltete WW, sind jedoch aufgrund der Antisymmetrisierung nicht separabel.
wolfgang6444
01.12.18, 10:47
O.k.,
dann habe ich es immer noch nicht verstanden.
Ich dachte wir haetten uns geeinigt, dass, wenn man statt φ(r₁,r₂) schreibt φ(r₁)*ξ(r₂) (und sich daraus eine totalantisymmetrische Wellenfunktion baut) man von der Separierbarkeit des zu dem System gehoerigen Hamiltonian Gebrauch macht, was wiederum Wechselwirkungsfreiheit voraussetzt.
Deswegen geht die Betrachtung mit Einteilchenzustandsfunktionen φ(r₁)*ξ(r₂) statt der allgemeineren Form φ(r₁,r₂) nur, wenn der Hamiltonian separierbar ist, was gleichbedeutend mit der Wechselwirkungsfreiheit ist.
???
Der Hamiltonian ist prinzipiell separabel. Aber im Falle ununterscheidbarer Teilchen sind die separablen Produktwellenfunktionen nicht die zulässigen Lösungen. Diese sind jedoch aufgrund der Antisymmetrisierung nicht separabel.
Evtl. wird das aber auch nur uneinheitlich oder missverständlich verwendet.
Ich beziehe mich auf diese Definition: Separabilität (Quantenmechanik) (https://de.m.wikipedia.org/wiki/Separabilit%C3%A4t_(Quantenmechanik)))
wolfgang6444
01.12.18, 11:00
Ja, mir ist wirklich klar, dass φ(r₁) ξ(r₂) alleine fuer ununterscheidbare Teichen KEINE zulaessige Zustandfunktion ist. Die muss man zu einer antisymmetrischen Zustandsfunktion kombinieren, wie Du ja schon mehrfach vorgefuehrt hast.
Ich glaube, wir haben da unterschiedliche Terminologie, und ich bin gerne bereit mich ueber die richtige belehren zu lassen.
Fuer mich gibt es:
a)Die Separarierbarkeit des Hamiltonian und damit die Faktorisierung der Zustandsfunktionen (als BESTANDTEIL einer antisymmetrischen Gesamtzustandsfunktion). = Wechselwirkungsfreiheit.
b)Die Ununterscheidbarlkeit gleicher Teilchen (nicht Zustaende!), mit der Konsequenz der "Notwendigkeit" einer totalantisymmetrischen Zustandsfunktion (Pauli-Prinzip)
c)Der "zufaellige" Zusammenfall prinzipiell unterscheidbarer Zustaende =Entartung, z.B. weil gerade mal kein Magnetfeld anliegt.
Das sind 3 fundamental unterschiedliche Sachverhalte, die man begrifflich sauber trennen muss.
Wie ist die richtige Bezeichnung fuer die 3 ?
Wolfgang
P.S.: Der URL fuehrt fuer mich ins Leere
Ich glaube, wir haben da unterschiedliche Terminologie, und ich bin gerne bereit mich ueber die richtige belehren zu lassen.
Es gibt "separierbar" und "separabel". Der erste Begriff wird in der Berechnung der Einteilchen-Zustände (d.h. ohne WW) verwendet, siehe dein a)
P.S.: Der URL fuehrt fuer mich ins Leere
Nimm den hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Separabilit%C3%A4t_(Quantenmechanik)
a) zu separierbarem Hamiltonian bzw. partiellen DGLs:
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Separation_of_variables
b) zu separablen Zuständen etc.:
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Separable_state
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Identical_particles
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Pauli_exclusion_principle
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Spin%E2%80%93statistics_theorem
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Quantum_entanglement
c) zu entarteten Zuständen:
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Degenerate_energy_levels
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