Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : Bewegungsgleichung nach Lagrange
Hallo zusammen,
kann mir jemand Hilfestellung geben bei der Aufstellung einer Bewegungsgleichung nach Lagrange.
Ich habe mal einen Ansatz gemacht, bin mir aber dabei sehr unsicher, ob dass so seine Richtigkeit hat und ob ich gemäß meines Ansatz weiterfahren kann.
Über jegliche Hilfestellung bin ich mit Dank verbunden.
MFG Lisa
https://www.bilder-upload.eu/thumb/7fc382-1546693893.jpeg (https://www.bilder-upload.eu/bild-7fc382-1546693893.jpeg.html)
https://www.bilder-upload.eu/thumb/cd1870-1546693946.jpg (https://www.bilder-upload.eu/bild-cd1870-1546693946.jpg.html)
Hallo Klisa,
Ich habe mal einen Ansatz gemacht, bin mir aber dabei sehr unsicher, ob dass so seine Richtigkeit hat und ob ich gemäß meines Ansatz weiterfahren kann.
schau mal ob das Quadrat wirklich korrekt sitzt. Tipp: Die potentielle Energie ist linear in der Ausdehnung der Feder. Die kinetische Energie ist quadratisch in der Geschwindigkeit.
Da Lagrange-Funktionen typischerweise an der Uni verwendet werden, verschiebe ich das Thema.
Hallo Klisa,
schau mal ob das Quadrat wirklich korrekt sitzt. Tipp: Die potentielle Energie ist linear in der Ausdehnung der Feder. Die kinetische Energie ist quadratisch in der Geschwindigkeit.
Da Lagrange-Funktionen typischerweise an der Uni verwendet werden, verschiebe ich das Thema.
Vielen Dank für deine Hilfe und nur das Beste im neuen Jahr wünsch ich dir Bernhard. Da hab ich wohl das Quadrat bei bei der Geschwindigkeit bei der Kinetischen Energie vergessen. Ich habe eine Bitte, könntest du ggf. auch jemand anders checken, ob ich die Längen richtig eingesetzt habe bzw. ob generell mein Ansatz stimmt, so dass ich die Bewegungsgleichung im Anschluss aufstellen kann.
Besten Dank für eure Hilfe.
Freundlich Grüßt
Lisa
https://www.bilder-upload.eu/thumb/165752-1546719305.jpg (https://www.bilder-upload.eu/bild-165752-1546719305.jpg.html)
Hallo Lisa,
Dir auch ein gutes neues Jahr, doch jetzt gleich zur Aufgabe:
Ich habe eine Bitte, könntest du ggf. auch jemand anders checken, ob ich die Längen richtig eingesetzt habe bzw. ob generell mein Ansatz stimmt, so dass ich die Bewegungsgleichung im Anschluss aufstellen kann.
Der generelle Ansatz stimmt, da sich die Lagrange-Funktion zweiter Art aus der kinetischen und potentiellen Energie zusammensetzt. Die kinetische Energie sieht jetzt schon besser aus, allerdings fehlt im ersten Term die Abhängigkeit von x1. Die Bewegung von m2 und m3 wird vom Kippwinkel phi festgelegt. Die Bewegung von m1 wird jedoch von x1 festgelegt.
Bei der potentiellen Energie musst Du ebenfall die beiden Variablen phi und x1 verwenden. Das hooksche Gesetzt hast Du korrekt angewendet.
Ich hoffe mal, dass Du noch etwas Zeit mit der Aufgabe hast.
Hallo Lisa,
Dir auch ein gutes neues Jahr, doch jetzt gleich zur Aufgabe:
Der generelle Ansatz stimmt, da sich die Lagrange-Funktion zweiter Art aus der kinetischen und potentiellen Energie zusammensetzt. Die kinetische Energie sieht jetzt schon besser aus, allerdings fehlt im ersten Term die Abhängigkeit von x1. Die Bewegung von m2 und m3 wird vom Kippwinkel phi festgelegt. Die Bewegung von m1 wird jedoch von x1 festgelegt.
Bei der potentiellen Energie musst Du ebenfall die beiden Variablen phi und x1 verwenden. Das hooksche Gesetzt hast Du korrekt angewendet.
Ich hoffe mal, dass Du noch etwas Zeit mit der Aufgabe hast.
Nochmals vielen Dank für deine Hilfe! Ich habe es ein weiteres mal versucht, mir ist jedoch immer noch nicht so ganz wohl dabei. Kannst du nochmal einen Blick darüber werfen?
https://www.bilder-upload.eu/thumb/dc25a0-1546775610.jpg (https://www.bilder-upload.eu/bild-dc25a0-1546775610.jpg.html)
Kannst du nochmal einen Blick darüber werfen?
So langsam wird das schon. Berücksichtige noch, dass x2 für kleine Auslenkungen ungefähr gleich phi * l ist. Die Lagrange-Funktion soll ja in den beiden Variablen x1 und x2 formuliert werden. (Das hatte ich übersehen und ist auf dem Scan auch schlecht zu sehen). Du musst also das phi durch x2 ausdrücken und so aus der Lagrange-Funktion entfernen, d.h. phi = x2 / l und d phi/dt = 1/l * dx2 / dt.
Bei der potentiellen Energie muss in dem Term, der die Feder mit der Federkonstante C2 enthält, die Ortsabhängigkeit von x1 und x2 berücksichtig werden.
Die beiden Dämpfungen müssen auch noch untergebracht werden.
So langsam wird das schon. Berücksichtige noch, dass x2 für kleine Auslenkungen ungefähr gleich phi * l ist. Die Lagrange-Funktion soll ja in den beiden Variablen x1 und x2 formuliert werden. (Das hatte ich übersehen und ist auf dem Scan auch schlecht zu sehen). Du musst also das phi durch x2 ausdrücken und so aus der Lagrange-Funktion entfernen, d.h. phi = x2 / l und d phi/dt = 1/l * dx2 / dt.
Bei der potentiellen Energie muss in dem Term, der die Feder mit der Federkonstante C2 enthält, die Ortsabhängigkeit von x1 und x2 berücksichtig werden.
Die beiden Dämpfungen müssen auch noch untergebracht werden.
Auf ein neues :confused:
https://www.bilder-upload.eu/thumb/12a628-1546880881.jpg (https://www.bilder-upload.eu/bild-12a628-1546880881.jpg.html)
Sorry, ich hatte auch nicht gleich den Überblick. Jetzt sind die Variablen richtig.
Trotzdem müssen da noch einige grundlegende Dinge geklärt werden.
a) Die Position der Masse mit m2 ist x2. Damit ist die Geschwindigkeit dieser Masse einfach x2-punkt.
b) Überlege dir dann das Folgende:
m2 werde um x2 bewegt. Um welchen Betrag bewegt sich dann die Masse mit m3 und der Punkt, an dem die Feder mit c2 befestigt ist? Überprüfe bei deinem Ergebnis, ob die physikalischen Einheiten stimmen.
Sorry, ich hatte auch nicht gleich den Überblick. Jetzt sind die Variablen richtig.
Trotzdem müssen da noch einige grundlegende Dinge geklärt werden.
a) Die Position der Masse mit m2 ist x2. Damit ist die Geschwindigkeit dieser Masse einfach x2-punkt.
b) Überlege dir dann das Folgende:
m2 werde um x2 bewegt. Um welchen Betrag bewegt sich dann die Masse mit m3 und der Punkt, an dem die Feder mit c2 befestigt ist? Überprüfe bei deinem Ergebnis, ob die physikalischen Einheiten stimmen.
Sehe ich das richtig, dass sich die Masse von m3, vierfach so schnell bewegt. Die Einheiten sind identisch.
Ich habe probe halber mal 5 m/s eingesetzt, was eigentlich gar nicht notwendig gewesen wäre, denn man sieht es ja schon an den Vorfaktoren.
https://www.bilder-upload.eu/thumb/bb00d2-1546958493.jpg (https://www.bilder-upload.eu/bild-bb00d2-1546958493.jpg.html)
Matrixdarstellung der Bewegungsgleichung:
https://www.bilder-upload.eu/thumb/970f37-1546963604.jpg (https://www.bilder-upload.eu/bild-970f37-1546963604.jpg.html)
Sehe ich das richtig, dass sich die Masse von m3, vierfach so schnell bewegt.
Für kleine Auslenkungen kann man den Strahlensatz (https://de.wikipedia.org/wiki/Strahlensatz) anwenden, d.h. m3 bewegt sich halb so schnell wie m2. Der untere Punkt der Feder mit c2 bewegt sich viermal langsamer als m2.
EDIT: T_m3 = 1/2 * m3 * (x2-punkt / 2) * (x2-punkt / 2) = 1/8 * m3 * x2-punkt * x2-punkt
EDIT_EDIT: Die physikalische Einheit der T-Terme ist immer kg * m/s * m/s = N * m = J. Du darfst diese Terme nicht durch l² dividieren, weil l die Einheit m hat.
Für kleine Auslenkungen kann man den Strahlensatz (https://de.wikipedia.org/wiki/Strahlensatz) anwenden, d.h. m3 bewegt sich halb so schnell wie m2. Der untere Punkt der Feder mit c2 bewegt sich viermal langsamer als m2.
EDIT: T_m3 = 1/2 * m3 * (x2-punkt / 2) * (x2-punkt / 2) = 1/8 * m3 * x2-punkt * x2-punkt
Habe gerade in dem Moment eine Änderung bei meinem Post oben vorgenommen, wo du mir geantwortet hast. Es wurde von mir noch die Bewegungsgleichung in Matrixform hinzugefügt.
Ich danke dir hundert mal für deine Hilfe
Ich danke dir hundert mal für deine Hilfe
Gern geschehen. Ich hoffe aber, du erkennst noch die verbleibenden Fehler in den letzten Uploads? Die physikalischen Einheiten stimmen so noch nicht.
Für kleine Auslenkungen kann man den Strahlensatz (https://de.wikipedia.org/wiki/Strahlensatz) anwenden, d.h. m3 bewegt sich halb so schnell wie m2. Der untere Punkt der Feder mit c2 bewegt sich viermal langsamer als m2.
EDIT: T_m3 = 1/2 * m3 * (x2-punkt / 2) * (x2-punkt / 2) = 1/8 * m3 * x2-punkt * x2-punkt
EDIT_EDIT: Die physikalische Einheit der T-Terme ist immer kg * m/s * m/s = N * m = J. Du darfst diese Terme nicht durch l² dividieren, weil l die Einheit m hat.
Oh mein Gott jetzt bin ich verwirrt. Wir haben doch gesagt, dass bei kleinen Auslenkungen x= phi*l ist und wir alles in x darstellen müssen laut Aufgabenstellung. Das haben wir nun doch gemacht. Der Einheiten vergleich, den du mir nun aufzeigst besagt nun, dass dies falsch ist. Kannst du mir noch einen Tipp geben wie ich die Terme umschreiben soll?
Kannst du mir noch einen Tipp geben wie ich die Terme umschreiben soll?
Schau dir das EDIT an. In diesem Term kommt kein phi und auch keine Zeitableitung davon vor. "x2-punkt" verwende ich als Abkürzung für "die Zeitableitung von x2". Wir haben hier im Forum leider keinen Formel-Editor.
Ich warte mal ab, ob du damit die Lagrange-Funktion korrigieren kannst.
Wir haben doch gesagt, dass bei kleinen Auslenkungen x= phi*l ist ...
Das ist schon richtig, wird aber nicht unbedingt benötigt, wenn man den Strahlensatz direkt verwendet. Dein Start mit phi war etwas unglücklich gewählt und es zeigt, wie wichtig es ist, den Aufgabentext möglichst gewissenhaft zu lesen.
Schau dir das EDIT an. In diesem Term kommt kein phi und auch keine Zeitableitung davon vor. "x2-punkt" verwende ich als Abkürzung für "die Zeitableitung von x2". Wir haben hier im Forum leider keinen Formel-Editor.
Ich warte mal ab, ob du damit die Lagrange-Funktion korrigieren kannst.
Kannst du mir bitte bitte verraten wie du das angestellt hast?
Kannst du mir bitte bitte verraten wie du das angestellt hast?
Ich will die Position x3 der Masse mit m3 berechnen. Es gilt:
x3 = phi * l/2
oder
phi = 2 * x3 / l
Es gilt aber auch:
x2 = phi * l
oder
phi = x2 / l
Aus phi = phi folgt nun:
2 * x3 / l = x2 / l
oder
2 * x3 = x2
oder
x3 = x2 / 2
EDIT: Dieses Ergebnis kann man im Prinzip aber auch direkt hinschreiben, wenn man den Strahlensatz als Quelle zitiert.
Ich will die Position x3 der Masse mit m3 berechnen. Es gilt:
x3 = phi * l/2
oder
phi = 2 * x3 / l
Es gilt aber auch:
x2 = phi * l
oder
phi = x2 / l
Aus phi = phi folgt nun:
2 * x3 / l = x2 / l
oder
2 * x3 = x2
oder
x3 = x2 / 2
EDIT: Dieses Ergebnis kann man im Prinzip aber auch direkt hinschreiben, wenn man den Strahlensatz als Quelle zitiert.
Ich hoffe du winkst mich einmal durch!
Es ist diesmal ein PDF, welches du unter dem Link öffnen kannst.
Tausend Dank im Voraus!!!!!
Musterlösung der Übungsaufgabe von Moderation entfernt.
Ich hoffe du winkst mich einmal durch!
Vorab: Sieht gut aus :cool: . Ich muss mir nur noch die Dämpfung ansehen.
Tausend Dank im Voraus!!!!!
War mir ein Vergnügen.
Ich muss mir nur noch die Dämpfung ansehen.
Wenn ich gemäß diesem Thema (https://matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=32980&ref=https%3A%2F%2Fwww.ecosia.org%2F) rechne, bekomme ich etwas bis deutlich kompliziertere Terme. Die Dissipationsfunktion lautet:
F = 1/2 * d3 * x2-punkt * x2-punkt + 1/2 * d2 * x-punkt * x-punkt
mit x-punkt = d/dt (x1 - x4)
x1 - x4 hast du bereits berechnet, wobei ich da noch einen (formalen) Flüchtigkeitsfehler (ohne Folgefehler) im pdf gefunden habe. Auf Seite 1 hast du
Delta l2^2 = x1 - x4
korrekt muss es da Delta l2^2 = (x1 - x4)² heißen.
Möchtest Du das x-punkt noch genauer ansehen?
EDIT: Bei einer Benotung dieser Aufgabe mit Schulnoten wäre das dann wohl schlimmstenfalls das Heben der Note von 2 auf 1.
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