Kommutierende Observablen

[Godsend]

Hi,
Ein Satz besagt das kommutierende Observablen einen gemeinsamen Satz von Eigenvektoren besitzen. Es seien A und B die 2 Observablen, man kann dann zeigen, dass durch entsprechende Diagonalierung der Blockmatrix in den Unterräumen von <U,n,i|B|U,n,i> JEDER Eigenvektor von A AUCH Eigenvektor von B ist. (U bezeichne die Eigenvektor von A, n ist Indize zum Eigenwert an, i bezeichne den Entartungsgrad)


Meine Frage ist nun ob nun auch JEDER Eigenvektor von B AUCH Eigenvektor von A ist, meiner Meinung nach bedarf dies einem weiteren Beweis.

Besitzen beide Observablen die gleiche Anzahl von Eigenvektoren? Meiner Meinung nach muss man das erst noch zeigen, ich hab aber in der Literatur dazu nichts gefunden.

Kann man eventuell mit einem Widerspruchsbeweis zeigen, dass beide die gleiche Anzahl von Eigenvektoren haben müssen?

Mit besten Dank auf eine Antwort

[Uli]

Hi,
Ein Satz besagt das kommutierende Observablen einen gemeinsamen Satz von Eigenvektoren besitzen. Es seien A und B die 2 Observablen, man kann dann zeigen, dass durch entsprechende Diagonalierung der Blockmatrix in den Unterräumen von <U,n,i|B|U,n,i> JEDER Eigenvektor von A AUCH Eigenvektor von B ist. (U bezeichne die Eigenvektor von A, n ist Indize zum Eigenwert an, i bezeichne den Entartungsgrad)


Meine Frage ist nun ob nun auch JEDER Eigenvektor von B AUCH Eigenvektor von A ist, meiner Meinung nach bedarf dies einem weiteren Beweis.


Die Fragestellung ist doch völlig symmetrisch in A und B; deshalb ist die Antwort ganz klar ein "ja".


Besitzen beide Observablen die gleiche Anzahl von Eigenvektoren? Meiner Meinung nach muss man das erst noch zeigen, ich hab aber in der Literatur dazu nichts gefunden.
...


Was um Himmels Willen meinst du denn mit "gleicher Anzahl von Eigenvektoren" ?
Diese spannnen ja i.a. einen Hilbert-Raum mit einer unbegrenzten Anzahl von Dimensionen auf; die Anzahlen der Basisvektoren ist also jeweils unbegrenzt und kann schlecht verglichen werden.

Nachtrag: für endlich-dimensionale Lösungsräume ist die Antwort eher "nein". Numm z.B. Drehimpulse.
Der Betrag L des Drehimpulses und seine z-Komponente Lz sind simultan messbar: zu jedem Eigenwert von L hast du aber (2L+1) Eigenvektoren in Lz).

Interessanter ist m.E. die Frage der Unterräume zu den Quantenzahlen ("Entartung"). Denk z.B. ans Wasserstoffatom: die Eigenlösungen zu den verschiedenen Energieniveaus entarten und können anhand der Drehimpulsquantenzahlen unterschieden werden. Man hat pro Energieniveau einen Unterraum von (2L+1) Dimensionen (wenn L = Bahndrehimpuls).
Diese Klassifizierung von Orbitalen ist eine Folge der simultanen Messbarkeit einer Drehimpulskomponente und der Energie beim H-Atom - letztlich also eine Konsequenz der Kommutativität von Energie und Drehimpuls (die wiederum aus der Rotationbssymmetrie des Problems folgt).

Gruss, Uli