Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : Kleines Geometrierätsel
Hi Leute
Zur Abwechslung will ich euch mal was fragen...
http://www.trostorf.de/Geometrie.gif
Wie kommt da plötzlich das Loch zustande..
Gibts da irgendeine Erklärung?
Marco Polo
09.07.08, 21:23
Hi JGC,
ich grüble jetzt schon ne halbe Stunde über dem Problem.
Das ist schon mysteriös, muss ich sagen.
Mir fällt auf, dass da mal schwarze, mal graue Linien in unregelmässigen Abständen sind. Bewirken die eine Art von optischer Täuschung? Keine Ahnung.
Schau dir mal das obere grüne Dreieck an. Da scheinen die grauen und die schwarzen Linien versetzt zu sein. Hat das was zu sagen?
Ich blicks im Moment noch nicht.
Das habe ich mich auch jedes mal gefragt, wenn mir dieses "Wunder" begegnet ist.
Dieses mal scheint das Denken Früchte zu tragen:
Ich denke es handelt sich tatsächlich um 2 Vierecke, deren eine Ecke einen Winkel von fast 180° hat.
Das obere ist demnach ein konkaves Viereck.
Bekomme ich jetzt einen Preis?
Wenns nicht stimmt, darf man auch gerne mit Melonen nach mir schmeißen.:)
salve,
ich sitze auch dran. Ein Unterschied? Nur die Farben sind vertauscht. Ansich scheint es keinen Unterschied zu geben. Hat der Autor mit dem magischen Hammer ein Lego so rausgeklopft, dass es nicht negativ gezählt werden kann? Fülle es ein, und es wäre zu viel. Ich hab schon Verhältnisse geprüft, entdecke aber auch keine oT (optische Täuschung). :p
Gruß Uranor
Eyk van Bommel
09.07.08, 21:43
Ich grüble auch schon eine Weile.:mad:
Aber mir fällt nur auf, das es der lang gesuchte Beweis für das Postulat: Platz gibt es in der kleinesten Hütte. ist :p
Und dann noch, dass die Quadrate im Hintergrund andere Schnittpunkte haben? Also irgendwie hat das wohl mit den Winkeln zu tun :rolleyes: :confused: – wie Hermes es sagt.
Marco Polo
09.07.08, 21:45
Das habe ich mich auch jedes mal gefragt, wenn mir dieses "Wunder" begegnet ist.
Dieses mal scheint das Denken Früchte zu tragen:
Ich denke es handelt sich tatsächlich um 2 Vierecke, deren eine Ecke einen Winkel von fast 180° hat.
Das obere ist demnach ein konkaves Viereck.
Du hast Recht. Dort wo jeweils das grüne und das rote Dreieck zusammenstossen, da ist ein minimaler Winkel, den man kaum sieht. Und dieser Winkel ist beim oberen und unteren Dreieck entgegengesetzt. Unterstützt wird das Ganze durch die grauen und schwarzen Linien, die ganz leicht versetzt sind. Es handelt sich also tatsächlich nicht um Dreiecke sondern um Vierecke. Klar dass dann die Fläche beider Vierecke unterschiedlich ist und ein kleines Quadrat beim unteren Dreieck/Viereck frei wird.
Gut gemacht Hermes.
Ich glaube, der Trick kommt durch unsaubere Zeichnung.
Ich behaupte: Die beiden (großen) Dreiecke sind nicht deckungsgleich.
Das musste ich mal überprüfen. Ergebnis im Anhang.
Die Dreiecke sind mit einem Bildbearbeitungsprogramm (Gimp) übernander gelegt worden.
Versuch doch mal bitte jemand per Rechnung zu zeigen, dass die Teilkörper (rot, 2xgrün und gelb) zusammen nicht den gleichen Flächeninhalt haben, wie das Gesamtdreieck.
Marco Polo
09.07.08, 22:12
Ich glaube, der Trick kommt durch unsaubere Zeichnung.
Ich behaupte: Die beiden (großen) Dreiecke sind nicht deckungsgleich.
Das musste ich mal überprüfen. Ergebnis im Anhang.
Die Dreiecke sind mit einem Bildbearbeitungsprogramm (Gimp) übernander gelegt worden.
Versuch doch mal bitte jemand per Rechnung zu zeigen, dass die Teilkörper (rot, 2xgrün und gelb) zusammen nicht den gleichen Flächeninhalt haben, wie das Gesamtdreieck.
Hi Hamilton,
da kann man nichts rechnen, da es sich um eine optische Täuschung handelt, würde ich sagen. Es ist vielmehr so, dass es sich wegen der unterschiedlichen Winkel (da ist eine zusätzliche Ecke bei der Zusammenkunft der beiden Dreiecke) um unterschiedliche Gesamtflächen des oberen und unteren "scheinbaren" Dreiecks handelt. Es sind halt Vierecke. Rechnen kannst du nur, wenn du die Winkel der zusätzlichen Ecke kennst. Kennst du aber nicht, da du sie ausmessen müsstest. Das dürfte schwierig werden. Die falschen Abstände zwischen den grauen und schwarzen Linien kaschieren das Ganze.
Gruss, Marco Polo
http://home.arcor.de/richardon/2008/raetsel.gif
Ich mache auch schon eine Weile rum, glaube aber nicht dass hier getrickst wird. Ich habe die Aufgabenstellung etwas geaendert.
Warum ist das Rechteck A nicht Flaechengleich mit dem Rechteck B ?
Marco Polo
09.07.08, 22:21
http://home.arcor.de/richardon/2008/raetsel.gif
Ich mache auch schon eine Weile rum, glaube aber nicht dass hier getrickst wird. Ich habe die Aufgabenstellung etwas geaendert.
Warum ist das Rechteck A nicht Flaechengleich mit dem Rechteck B ?
Hi richy,
das hat imho nichts mit den Rechtecken zu tun. Die scheinbare Gerade, die das Gesamtviereck in deiner Zeichnug teilt, ist keine. Da ist in der Mitte ein Knick, den man wegen der gewollten optischen Täuschung (unterschiedlicher Abstand zwischen den grauen und schwarzen Linien) nicht so leicht erkennt. Das ist schon alles.
Gruss, Marco Polo
Natürlich kann man da was rechnen:
Die Zeichnung suggeriert, dass die Teilstücke aus
einem rechtwinkligen Dreieck 8x3/2 = 12
einem rechtwinkligen Dreieck 2x5/2 = 5
einem gelben etwas mit 7
und einem grünen etwas mit 8 Kästchen Inhalt besteht. Summe=32
Das ganze Dreieck hat aber 13x5/2=65/2 = 32,5 Kästchen
Also ist durch Rechnung klar, dass irgendwo geschummelt wurde.
Ich glaube die anderen sind da schon auf der richtigen Spur. Ich sehe es auch so, dass es sich nicht um ein Dreieck handelt sondern um ein Viereck (man erkennt es halt nicht als solches, weil der eine Winkel fast 180° beträgt).
Wenn man es als Dreieck zeichnet, stimmt die zusätzliche resp. die abzügliche Fläche zum Viereck genau mit der Fläche des fehlenden Quadrätchens überein - et voilà.
Ich hab im Anhang mal eine Skizze gemacht, welches dies verdeutlichen soll.
Marco Polo
09.07.08, 22:31
Natürlich kann man da was rechnen:
Die Zeichnung suggeriert, dass die Teilstücke aus
einem rechtwinkligen Dreieck 8x3/2 = 12
einem rechtwinkligen Dreieck 2x5/2 = 5
einem gelben etwas mit 7
und einem grünen etwas mit 8 Kästchen Inhalt besteht. Summe=32
Das ganze Dreieck hat aber 13x5/2=65/2 = 32,5 Kästchen
Also ist durch Rechnung klar, dass irgendwo geschummelt wurde.
Oh. Tschuldigung, Du hast natürlich völlig Recht. Wie geschummelt wurde, hatte ich aber hoffentlich richtig dargelegt? (eher Hermes Antwort etwas ausgeschmückt) :o
Marco Polo
09.07.08, 22:32
Ich glaube die anderen sind da schon auf der richtigen Spur. Ich sehe es auch so, dass es sich nicht um ein Dreieck handelt sondern um ein Viereck (man erkennt es halt nicht als solches, weil der eine Winkel fast 180° beträgt).
Wenn man es als Dreieck zeichnet, stimmt die zusätzliche resp. die abzügliche Fläche zum Viereck genau mit der Fläche des fehlenden Quadrätchens überein - et voilà.
Ich hab im Anhang mal eine Skizze gemacht, welches dies verdeutlichen soll.
Ganz genau Lorenzy. So sehe ich das auch. Zudem wird die optische Täuschung durch die etwas dickeren grauen Linien unterstützt. Das ganze Raster ist nämlich gar nicht exakt symmetrisch, gell?
Na doch.
Schneide das ganze entlang der Diagonalen auf.
Wenn du den oberen Teil um 180 Grad gegen den Uhrzeigersinn drehst ist es
der erste Fall der Originalaufgabenstellung.
Und das "weisse" Rechteck A entpricht den 15 Flaecheneinheiten der L- Teile.
Ich meine ich zweifle auch schon an meinem Verstand.
Der sagt mir :
Das grosse Gesamtdreieck ist 8+5=12 breit und 2+3=5 hoch.
In allen Faellen. Alle Dreiecke sind in den beiden Faellen (auch meiner auf den Kopf gestellten Darstellung) gleich. Damit haben sie auch die selbe Flaeche.
Wenn ich jetzt von der Flaeche des ganzen Dreiecks die beiden kleineren Dreiecke abziehe, muss doch immer die selbe Flaeche uebrig bleiben !
Jetzt gibt es noch eine weitere Moeglichkeit die Restflaeche zu bestimmen.
Sie entspricht naemlich der Hoehe des linken Dreiecks mal der Breite des rechten Dreiecks.
Fall 1)
Hoehe rot mal Breite gruen : 3*5=15
Fall 2)
Hoehe gruen mal Breite rot : 2*8=16
16-15=1 (das fehlende Teil)
Ich rechne das jetzt einfach mal aus.
Ich hab mir das mal ausgedruckt, ausgeschnitten und bring das morgen mal zur Arbeit mit. Bin mal gespannt wer's lösen kann. Ist wirklich ein witziges Rätsel. :)
Hi Leute...
Ich hab das Ding auch nur zufälligerweise beim Gockeln entdeckt, ich dachte halt, ich stells mal ein...
Ich seh schon, ich druck mir mal das Bild aus und schneide mir die Flächen aus Karton raus und prüfe das mal..
Aber heute nicht mehr..
Gruß an alle...
JGC
Marco Polo
09.07.08, 22:44
Da doch.
Schneide das ganze entlan der Diagonalen auf.
Wenn du den oberen Teil um 180 Grad gegen den Uhrzeigersinn drehst ist es
der erste Fall der Originalaufgabenstellung.
Und das "weisse" Rechteck A entpricht den 15 Flaecheneinheiten der L- Teile.
Ich meine ich zweifle auch schon an meinem Verstand.
Der sagt mir :
Das grosse Gesamtdreieck ist 8+5=12 breit und 2+3=5 hoch.
In allen Faellen. Alle Dreiecke sind in den beiden Faellen (auch meiner auf den Kopf gestellten Darstellung) gleich. Damit haben sie auch die selbe Flaeche.
Wenn ich jetzt von der Flaeche des ganzen Dreiecks die beiden kleineren Dreiecke abziehe, muss doch immer die selbe Flaeche uebrig bleiben !
Jetzt gibt es noch eine weitere Moeglichkeit die Restflaeche zu bestimmen.
Sie entspricht naemlich der Hoehe des linken Dreiecks mal der Breite des rechten Dreiecks.
Fall 1)
Hoehe rot mal Breite gruen : 3*5=15
Fall 2)
Hoehe gruen mal Breite rot : 2*8=16
16-15=1 (das fehlende Teil)
Jetzt wundert man sich schon weniger.
Ich rechne das jetzt einfach mal aus.
Also irgendwie glaube ich, du bist auf dem falschen Weg. Lies dir mal die anderen Posts durch. Vielleicht hilfts? Könnte mich natürlich auch irren. Glaub ich aber nicht. :cool:
Hi..
Jetzt hat es mir doch keine Ruhe gelassen...
Also im Ausdruck kann man nicht behaupten, das in der Teilung der Hypotenuse ein Knick drin wäre...
Ausgeschnitten hab ich die Flächen auch und umgelegt wie angegeben, hab trotzdem ein "Loch"
Muss mal drüber schlafen...:D
http://home.arcor.de/richardon/2008/raetsel.gif
Ich meine meine kleine Erweiterung stellt das ganze doch in einem Bild dar.
Und ich rechne das jetzt einfach mal aus.
Mein ganzer Kasten hat die Breite a1+a2 und die Hohe h1+h2
a1=5, a2=8, h1=2, h2=3
Das gesamte Dreieck die Flaeche (a1+a2)*(h1+h2)/2=13*6/2=39
Das kleine die Flaeche 10/2=5
Das grosse die Flaeche 24/2=12
Summe= 17:
39-17=12
Also weder 15 noch 16 *kopf kratz
Zudem wird die optische Täuschung durch die etwas dickeren grauen Linien unterstützt. Das ganze Raster ist nämlich gar nicht exakt symmetrisch, gell?
Ja, die dicken Linien vertuschen das wesentliche. Aber das Raster ist symetrisch. Ich hab beide Dreiecke mal mit Photoshop transparent übereinander gelegt. Das Raster stimmt haargenau überein, aber man erkennt die überstehende Linie (grau, habs leider nicht besser hinbekommen) der ca. 180° Ecke.
Ich habs jetzt mit Paint nochmals rekonstruiert. Zeichnet einfach mal zwei 5x13 Raster. Ihr müsst dann nur einmal ein Viereck mit dem blauen Schnittpunkt zeichnen und einmal ein Viereck mit dem roten Schnittpunkt.
Legt man es übereinander erhält man die fehlende/zusätzliche Fläche.
Marco Polo
09.07.08, 23:29
Ich habs jetzt mit Paint nochmals rekonstruiert. Zeichnet einfach mal zwei 5x13 Raster. Ihr müsst dann nur einmal ein Viereck mit dem blauen Schnittpunkt zeichnen und einmal ein Viereck mit dem roten Schnittpunkt.
Legt man es übereinander erhält man die fehlende/zusätzliche Fläche.
Damit scheint bewiesen zu sein, dass es sich um zwei Vierecke mit unterschiedlichen Winkeln zwischen den beiden Dreiecken (blau/rot) handelt.
-Die Kathetenlängen sind bei beiden Dreiecken gleich.
-Die Hypotenuse ist im oberen Dreieck deutlich durchgebogen (also keine Gerade). Kann man einfach sehen, wenn man z.B. ein Lineal daran legt.
-Resultierend ist die Höhe (Abstand Ankathete zu Hypot.) resp. die Gesamtfläche des unteren Dreiecks größer als die des oberen. Den Höhenunterschied kann man ebenfalls mit einem Lineal ausmessen.
-Das Flächenintegral zwischen oberer und unterer Hypotenuse (wie auf Exmod Lorenzys Darstellung prima zu erkennen) ergibt genau die Fläche des Lochs.
-Durch Vertauschung der Farben sowie das z.T. verschwommene und verzerrte Raster im Hintergrund der Farben, fällt nicht/kaum auf, dass das Raster hinter den Farben bei beiden Dreiecken versch. groß (inhomogen) bzw. beim unteren leicht geschrumpft ist und so insg. Platz für ein zus. Quadrat oder Rechteck entsteht.
Oder so ähnlich:)
Gr.
MCD
Marco Polo
10.07.08, 00:09
-Die Kathetenlängen sind bei beiden Dreiecken gleich.
-Die Hypotenuse ist im oberen Dreieck deutlich durchgebogen (also keine Gerade). Kann man einfach sehen, wenn man z.B. ein Lineal daran legt.
-Resultierend ist die Höhe (Abstand Ankathete zu Hypot.) resp. die Gesamtfläche des unteren Dreiecks größer als die des oberen. Den Höhenunterschied kann man ebenfalls mit einem Lineal ausmessen.
-Das Flächenintegral zwischen oberer und unterer Hypotenuse (wie auf Exmod Lorenzys Darstellung prima zu erkennen) ergibt genau die Fläche des Lochs.
-Durch Vertauschung der Farben sowie das z.T. verschwommene und verzerrte Raster im Hintergrund der Farben, fällt nicht/kaum auf, dass das Raster hinter den Farben bei beiden Dreiecken versch. groß (inhomogen) bzw. beim unteren leicht geschrumpft ist und so insg. Platz für ein zus. Quadrat oder Rechteck entsteht.
Yep, so ist es. :)
http://home.arcor.de/richardon/2008/raetsel.gif
Als Test ob ein Fake vorliegt kann man sich fragen :
Haben die beiden Dreiecke in der suggerierten Darstellung die selben Winkel ?
8/3 <> 5/2. Die Winkel sind also leicht unterschiedlich.
So glatt wie es die Grafik sugerriert kann der Sachverhalt also gar nicht sein.
Aber wirkt sich das so krass aus ? Darum geht es wohl.
Die Flaechen von Rechteck A und B sind gleich wenn gilt :
a1*h2=h1*a2
=>
a1/h1=a2/h2
Naja expliziter kann es nicht dastehen :
Denn cot(alpha)=a1/h1=a2/h2
Wenn die Winkel der Dreiecke uebereinstimmen und in einer korrekten
Zeichnung wuerden sie uebereinstimmen waeren auch die Flaechen A und B
gleich.
Das Raetsel ist also tatsaechlich ein Fake. (Schade :-)
Vielleicht soll es zeigen wie sich kleine Ungenauigkeiten auswirken koennen.
Oder Rubrik: Optische Taeuschung.
(Meine Version stellt im selben Fake Raster sehr wohl den selben Sachverhalt dar.)
Zur Probe noch folgende kleine Rechnung :
Berechnen der Flaeche durch Abziehen der Flaeche der Dreiecke:
((a1+a2)*(h1+h2)-(a1*h1)-(a2*h2))/2=
(a1*h1+a1*h2+a2*h1+a2*h2)-(a1*h1)-(a2*h2))/2=
(a1*h2+a2*h1)/2
*************
Das ist formal erstmal nicht das selbige Ergebnis wie Rechteck A oder B
in der Zeichnung. Sondern deren Mittelwert.
Da deren Flaecheninhalt aber gleich ist passt es natuerlich :-)
@Lorency MCD MP
Gute Detektivarbeit ;-)
BTW: Es gibt keine grauen Linien. Diese werden durch die Darstellung im
Webrowser verursacht. Drueckt man im Firefox auf die Lupe hat die Grafik
ein ganz normales Koordinatenraster.
Vielleicht noch eine Fehlerrechnung :
Ein Quadrat der Seitenlaenge 4 besitzt den Flaecheninhalt 16.
Jetzt moechte ich diesen auf den Flaecheninhalt 15 reduzieren.
Die Seitenlaenge muss dann 3.87298335 betragen.
Um dies in einem optischen Fake zu implementieren muss ich die Skalierung um
den Faktor 4 / 3.87298335 = 1.03279556 aendern.
Gerade mal 3%
Vertraue also keinem Geodreieck :-)
Hallo Zusammen:
Man fügt einfach mal mit einem Bildbearbeitungsprogramm das eine Bild auf das andere und schon sieht man den Trick;) :
http://www.quanten.de/forum/attachment.php5?attachmentid=86&stc=1&d=1215647983
Also: Die Steigung des ursprünglich roten (3/8) und blauen(2/5) Dreieckes ist ungleich. Durch das vertauschen geht der Flächeninhalt des ganzen Dreiecks ein wenig nach außern. Dieser Flächeninhalt ist dann gleich dem ausgelassenen Kasten. Eine genaue Berechnung ist an dieser stelle glaub ich nicht mehr notwendig.
Gruß
Den Unterschied der Steigungen 3/8 und 5/8 ist natuerlich gegeben, aber auf den ersten Blick minimal. Und die ganzzahligen Werte sind ja suggeriert und nicht explizit angegeben.
Man koente sich fragen. Stimmt das Ganze prinzipiell doch.Dass die Flaechen nicht gleich sind.
Natuerlich nicht.
Ich meine meine Zeichnung zeigt am besten den Fake.
(In der ist der Fake eingebaut)
http://home.arcor.de/richardon/2008/raetsel.gif
Rechteck A und B sind Flaechengleich wenn gilt ;
a1*h2=h1*a2
<=>
a1/h1=a2/h2
Daran gibt es nichts zu ruetteln !
Beide Proportionen repraesentieren den Winkel der Dreiecke.
Und wenn die Dreiecke winkeltreu sind, sind die Flaechen gleich !
Das Ganze ist damit ein Fake
Doof von mir, dass ich das nicht gleich gesehen habe.
Damit scheint bewiesen zu sein, dass es sich um zwei Vierecke mit unterschiedlichen Winkeln zwischen den beiden Dreiecken (blau/rot) handelt.
Das ist auch schon damit bewiesen dass 8/3 ungleich 5/2 ist :-)
Marco Polo
10.07.08, 02:10
Das ist auch schon damit bewiesen dass 8/3 ungleich 5/2 ist :-)
Bewiesen scheint auch zu sein, des i a bisserl dusselig bin... :)
Das gemeine an dem Raetsel ist, dass es einfach ein Betrug ist.
Auch die Randbemerkungen sind in gewissem Sinne einfach erlogen.
Ich habe mich fuer eine kurze Zeit tatsaechlich mit der Frage beschaeftigt,
ob die intuitive Loesung, eine Betrachtung ueber Flaecheninhalte vielleicht
einen Fehler aufweisen koennte. Das haette ich selber nicht verstanden.
So hat sich ja aber alles in Wohlgefallen aufgeloest,
Die Gleichung a1/h1=a2/h2 ist gegenueber dem Auszaehlen irgendwelcher unserioes angebrachter Kaestchen natuerlich vorzuziehen.
Die Rechtecke A und B sind flaechengleich wemm die Winkel gleich sind.
Und in der Zeichnung sind sie das nicht.
Hi..
Ich hab die Flächen des Dreiecks auf kariertes Zeichenpapier aufgemalt und ausgeschnitten...
Da funzt es genauso...
Wo also soll bitte die Fälschung drin begründet liegen?
(auch am Kopf kratz)
JGC
Ich glaube jetzt hab ich es auch entdeckt..
So wie auf dem gezeigten Bild passen die Schnittkanten der Dreiecke nicht genau auf die Ecken der Koordinatenraster und müssten ein bisschen "hingeschummelt" werden..
Somit ergeben sich unterschiedliche Kantenverhältnisse..
Also keine direkte Fälschung, sondern eher eine optische Täuschung?
Hi Leute,
es gibt wirklich keinen Grund mehr zu rätseln.
Da ist auch nichts geschummelt!
Habe gerade das gefunden:
http://de.wikipedia.org/wiki/Missing_square_puzzle
Ehrenwort: Bin selbst drauf gekommen!:D
Deutlicher als diese Grafik von Lorenzy kann man des Rätsels Lösung eigentlich nicht illustrieren.
Ein schönes Beispiel dafür, wie etwas sein kann, was nicht sein kann, wenn nur eine als selbstverständlich angenommene Grundannahme (Dreieck) 'ein bißchen' nicht stimmt...
Etwas entsteht aus 'Nichts'. Ein Loch. Womöglich ein kleines schwarzes?;)
Oh prima..
Da hätt ich auch draufkommen können, dort mal nach zu sehen.. :(
JGC
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